4B ESO 09 Geometria Analitica

1. Los nmeros negativos

9

Geometra analtica

BLOQUE III: GEOMETRA

Grupo Editorial Bruo, SL. Matemticas de 4 B ESO. Autores Jos Mara Arias Cabezas e Ildefonso Maza Sez

E

l tema comienza con el estudio de los vectores en el plano. Se definen las caractersticas de un vector y se estudian las operaciones lineales con vectores. Este estudio se realiza geomtrica y analticamente. En la segunda parte del tema, y la ms importante, se presentan los conceptos de vector director, pendiente de una recta y vector normal. A continuacin se estudian las formas de la recta: vectorial, paramtricas, continua, general y explcita. Esta parte del tema se cierra con el estudio de la ecuacin de la recta en forma punto pendiente y la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos. El tema termina con el estudio de algunas propiedades afines y mtricas. Entre las primeras, se trabajan las posiciones relativas entre punto y recta y entre dos rectas. Entre las segundas, se estudia la distancia entre dos puntos, y, como aplicacin, la ecuacin de la circunferencia.

ORGANIZA TUS IDEASGEOMETRA ANALTICAestudia

los vectoresque se pueden operar

sumar restar multiplicar por un nmero

las ecuaciones de la recta: vectorial paramtricas continua general explcita punto-pendiente que pasa por dos puntos

propiedades afines y mtricas

que resuelven problemas de

posiciones relativas: punto y recta dos rectas

rectas: paralelas perpendiculares

distancias: distancia entre dos puntos ecuacin de la circunferencia

177


1. Vectores

PIENSA Y CALCULADibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(4, 3), B( 4, 3), C( 4, 3) y D(4, 3)

1.1. VectoresVector de posicinEl vector de posicin de un 8 punto A es el vector OA y generalmente se representa por 8 b), o bien 8 = (a, b) v(a, v

Un vector fijo es un segmento orientado. Se representa por OA. El punto O es el origen y el punto A es el extremo. Caractersticas de un vector 8 a) El mdulo: es su longitud. Se representa por |OA| b) La direccin: es la direccin de la recta que lo contiene. c) El sentido: es el que va del origen al extremo. Un vector libre es un vector fijo 8 = OA, que representa a todos los vectores v que tienen el mismo mdulo, direccin y sentido. 8

8

Y A(4, 3) 3 O 4 X

Relacin entre puntos y vectoresDado un vector cuyo origen, O, es el origen de coordenadas, sus componentes coinciden con las coordenadas del extremo del vector, A, y viceversa. Ejemplo 8 Dado el punto A(4, 3), halla el vector OA, represntalo y halla sus componentes. v(4, El vector es 8 3), la componente horizontal es 4, y la vertical, 3

8

v(4, 3)

Teorema de PitgorasEl clculo del mdulo de un vector es, en realidad, la aplicacin del teorema de Pitgoras, que consiste en hallar la hipotenusa cuando se conocen los catetos.

1.2. Clculo del mdulo y argumento de un vectorEl mdulo de un vector es su longitud. Para calcularlo, se aplica el teorema de Pitgoras 8 v(x, y) |8| = x2 + y2 v El argumento de un vector es el ngulo que forma el semieje positivo X con el vector. Para calcularlo se aplica la definicin de tangente: y tg a = x Ejemplo v( Calcula el mdulo y el argumento del vector 8 3, 4)

Y

a 3 48

X

|8| = ( 3)2 + ( 4)2 = 9 + 16 = 25 = 5 v tg a = 4 a = 233 7 48 3tan1 ( 4 3 ) = + 180 = 233 7 48

v(3, 4)

178



Y

1.3. Vector opuestoX

8

v(5, 2)

Analticamente, el vector opuesto es el que se obtiene al cambiar de signo sus componentes; geomtricamente, es el que tiene el mismo mdulo y direccin y sentido contrario. Ejemplo v( v(5, El opuesto del vector 8 5, 2) es 8 2) 8 Comprobacin ( 5, 2) + (5, 2) = (0, 0) = 0

8 2) v(5,

Vector cero, 08

8

1.4. Suma y resta de vectoresPara sumar y restar vectores analticamente, se suman o restan sus componentes. Para sumar vectores geomtricamente, se traslada uno sobre el extremo del otro; la suma es el vector que tiene como origen el origen del primero, y extremo, el del segundo. Para restar dos vectores geomtricamente, se le suma al primero el opuesto del segundo.

El vector cero, 0, es el caso particular de cuando el origen del vector coincide con el extremo. 8 8 0 = AA

Regla del paralelogramoY8

u + 8 = (9, 6) v

Para sumar y restar vectores geomtricamente, se forma un paralelogramo u v. uniendo por el origen los vectores 8 y 8 La diagonal que parte del origen de 8 v es el vector suma 8 + 8 y la diagonal que parte del extremo de 8 es el vector u v; v 8 8 resta u v Ejemplo Dados los vectores 8 2) y 8 4), calcula 8 + 8 y 8 8 u(6, v(3, u v u v 8 8 u + v = (6, 2) + (3, 4) = (9, 6) 8 u 8 = (6, 2) (3, 4) = (3, 2) v

8

v(3, 4)8

u(6, 2)8

X

u 8 = (3, 2) v

1.5. Producto de un nmero por un vectorY 38 6) v(3,8

v(1, 2)

X

Para multiplicar un nmero por un vector analticamente, se multiplica el nmero por las componentes del vector. Para multiplicar un nmero por un vector geomtricamente, se lleva tantas veces el vector sobre s mismo como indique el nmero. Ejemplo v(1, Multiplica por 3 el vector 8 2) 8 3 v = 3(1, 2) = (3, 6)

APLICA LA TEORA1 Dado el punto A( 5, 4), halla el vector OA, repre8

5 Dados los siguientes vectores:8

sntalo y halla sus componentes.2 Dado el vector 8 (3, 5), halla el punto A tal que el v

u ( 3, 2) y v (4, 3) calcula analtica y geomtricamente: a) u + v b) u v8 8 8 8

8

vector OA = v , y represntalo.3 Calcula el mdulo y el argumento de los siguientes

8

8

vectores: a) v (5, 2)8

b) v ( 4, 3)

8

6 Dado el vector 8 (3, 1), calcula analtica y geomtriv

camente: a) 2 v8 8

4 Halla el vector opuesto del vector 8 (5, 4) y reprev

sntalos en unos mismos ejes coordenados.

b) 2 v

9. GEOMETRA ANALTICA

179


2. Ecuaciones de la rectaHalla la pendiente del vector AB del primer dibujo del margen y simplifica el resultado.8

PIENSA Y CALCULA2.1. Componentes de un vector definido por dos puntosEl vector definido por dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) es el que se obtiene al restar el vector de posicin del extremo menos el del origen. AB = OB OA 8 Sus componentes son: AB = (x2 x1, y2 y1) Ejemplo 8 Dados los puntos A( 4, 1) y B(2, 5), calcula el vector AB 8 AB = (2 ( 4), 5 1) = (6, 4)8 8 8

Y B(2, 5) AB A(4, 1) O AB(6, 4) X

ObservacinUn vector director siempre se debe simplificar, porque lo nico que interesa es su direccin, no su longitud. Ejemplo 8 v(4, 6) || (2, 3)

2.2. Vector director y pendiente de una rectaUn vector director de una recta es un vector paralelo a la recta, es decir, tiene la misma direccin que la recta. Para hallar el vector director de una recta se toman dos puntos de la recta 8 v A(x1, y1) y B(x2, y2) y se calcula el vector 8 = AB = (x2 x1, y2 y1) La pendiente de una recta es la tangente del ngulo que forma el semieje positivo de las X con la recta, es decir, la tangente del ngulo del vector director de la recta. Se representa con la letra m v2 8 v(v1, v2) m = v1 Para obtener la pendiente de una recta a partir de dos puntos A(x1, y1) y 8 B(x2, y2), se calcula 8 = AB = (x2 x1, y2 y1) y se tiene: v y2 y1 m = x2 x1 Ejemplo Halla un vector director y la pendiente de la recta que pasa por los puntos A( 5, 2) y B( 2, 4) 8 v Vector director: 8 = AB = ( 2 ( 5), 4 2) = (3, 2) Pendiente: m = 2 3

Interpretacin de la pendienteLa pendiente de una recta es la tangente: v2 tg a = v1

Y B(2, 4) A(5, 2) 3 28

v(3, 2) X

a 2 3

Y8

v(3, 4) X

2.3. Vector normalUn vector normal a un vector es un vector perpendicular a dicho vector. v(v n(v Dado el vector 8 1, v2), un vector normal es 8 2, v1), es decir, las componentes se cambian de orden y una de ellas se cambia de signo. Ejemplo v(3, n(4, Halla un vector normal al vector 8 4): vector normal: 8 3)BLOQUE III: GEOMETRA

90

8

n(4, 3)

180


2.4. Ecuaciones de la rectaY X(x, y)

88 2v

x = 8 + t8 p v8

v

8 p+

8

P(p1, p2)8

8

p+8 v p O a v1

v(v1, v2) v2 X

Una recta queda determinada por un punto P(p1, p2) y un vector direcv(v tor 8 1, v2). Los puntos X(x, y) de la recta se determinan con un vector x p v, de posicin 8 = 8 + t8 donde t es un nmero real. Los elementos caractersticos de una recta son: Ejemplo: P( 5, 2) un punto P(p1, p2) 8 un vector director v(v1, v2) Ejemplo: 8 3) v(4, v2 3 la pendiente m = Ejemplo: m = v1 4 un vector normal 8 2, v1) n(v Ejemplo: 8 4) n(3,Ejemplo Halla la ecuacin de la recta determinada por el punto P( 5, 2) y el vector director 8 3) v(4, (x, y) = ( 5, 2) + t (4, 3); t x = 5 + 4t ;t y = 2 + 3t

Ecuaciones a) Ecuacin vectorial de la recta 8 x = 8 + t8 t p v; (x, y) = (p1, p2) + t (v1, v2); t b) Ecuaciones paramtricas Se obtienen de la ecuacin vectorial, al igualar las componentes. x = p1 + t v1 ;t y = p2 + t v2

}

}

c) Ecuacin continua Se obtiene de las ecuaciones paramtricas, despejando el parmetro, t, e igualando los valores. x p1 y p2 = v1 v2 d) Ecuacin general Se obtiene de la ecuacin continua, al realizar las operaciones y pasar todos los trminos al primer miembro. Ax + By + C = 0 n(A, Un vector normal es: 8 B) v(B, Un vector director es: 8 A) La pendiente es: m = A B e) Ecuacin explcita Se obtiene despejando y en la ecuacin general. y = mx + b m es la pendiente y b es la ordenada en el origen.

x+5 4 y2 t= 3 t=

}

x+5 y2 = 4 3

3(x + 5) = 4(y 2) 3x + 15 = 4y 8 3x 4y + 23 = 0 Un vector normal es: 8 4) n(3, Un vector director es: 8 3) v(4, 3 La pendiente es: m = 4 4y = 3x 23 4y = 3x + 23 y = 3/4 x + 23/4 La pendiente es: m = 3/4 La ordenada en el origen es: b = 23/4

APLICA LA TEORA7 Dados los puntos A( 2, 1) y B(3, 4), calcula el vec-

tor AB . Haz la representacin grfica.8 Representa la recta que pasa por los puntos A( 2, 3)

8

9 Representa la recta que pasa por el punto P(1, 4) y

tiene como vector director v (2, 3). Halla las distintas ecuaciones de dicha recta.10 Dada la recta 2x + 3y = 6, qu tipo de ecuacin es?

8

y B(1, 2). Halla un vector director y la pendiente de dicha recta.

Halla un punto, un vector normal, un vector director y la pendiente. Haz la representacin grfica.


181


3. Otras ecuaciones de la recta

PIENSA Y CALCULADibuja la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(5, 5) y halla su pendiente.Y A(4, 3) 2 1 X r

3.1. Ecuacin punto-pendienteLa ecuacin punto-pendiente es la ecuacin de una recta en la que se conoce un punto A(x1, y1) y la pendiente m. Es: y y1 = m(x x1) Ejemplo Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto A(4, 3) y tiene de pendiente 2 y 3 = 2(x 4) y 3 = 2x 8 y = 2x 5

ObservacinCuando se pide la ecuacin de una recta y no se indica cul, se suele hallar la general o la explcita.Y B(4, 5) A(3, 2) a 1 3 X

3.2. Ecuacin de la recta que pasa por dos puntosPara hallar la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), se halla el vector director para hallar la pendiente, y luego se aplica la ecuacin punto-pendiente. 8 y2 y1 8 v = AB = (x2 x1, y2 y1) m = x2 x1 Ejemplo Halla la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A(3, 2) y B(4, 5) 8 8 v = AB = (4 3, 5 2) = (1, 3) m = 3 y 2 = 3(x 3) y 2 = 3x 9 y = 3x 7

r

3.3. Ejes de coordenadasEje XY

Eje YY x=0

Base ortonormalB = { u1, u2} es la base ortonormal del plano porque sus vectores son perpendiculares y tienen de longitud uno. Tambin se llama cannica y a veces se representa por: B = {i, j} i(1, 0) j(0, 1)8 88 y=0 X u2(0, 1) O(0, 0) 81(1, 0) u

8 u2(0, 1) O(0, 0) 81(1, 0) u

X

Punto Vector director Vectorial Paramtricas General

8

O(0, 0) u1(1, 0)

8

O(0, 0) u2(0, 1)

Ecuaciones de los ejes de coordenadas (x, y) = t(1, 0); t x=t ;t y=0

}

(x, y) = t(0, 1); t x=0 ;t y=t

}

y=0

x=0

182



3.4. Rectas paralelas a los ejes de coordenadasParalela al eje XY y=3 A(2, 3)8

Paralela al eje YY x=4 A(4, 3) X8

u2(0, 1)

8

u2(0, 1)

X8

u1(1, 0)

u1(1, 0)

Punto Vector director Vectorial Paramtricas General

A(a1, a2)8

A(a1, a2)8

u1(1, 0)

u2(0, 1)

Ecuaciones de rectas paralelas a los ejes de coordenadas (x, y) = (a1, a2) + t(1, 0); t x = a1 + t ;t y = a2

}

(x, y) = (a1, a2) + t(0, 1); t x = a1 ;t y = a2 + t

}

y = a2

x = a1

Las ecuaciones de los ejes de coordenadas y las rectas paralelas a dichos ejes nunca se dan en forma continua, porque habra que dividir entre cero. Lo ms habitual es dar su ecuacin general.

3.5. Punto medio de un segmentoLas coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos A(x1, y1) y B(x2, y2)Y B(5, 3) A(3, 1) M(1, 2) X

x1 + x2 y1 + y2 M , 2 2

(

)

Ejemplo Calcula las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A( 3, 1) y B(5, 3) 3 + 5 1 + 3 , = M(1, 2) M 2 2

(

)

APLICA LA TEORA11 Dibuja la recta que pasa por el punto A( 2, 3) y 15 Halla la ecuacin general de las rectas representa-

que tiene de pendiente 4/5. Halla la ecuacin de dicha recta.12 Dibuja la recta que pasa por los puntos A( 3, 1) y

das en los siguientes ejes de coordenadas:Y b) c) Y

B(2, 5). Halla la ecuacin de dicha recta.13 Dibuja la recta que es paralela al eje X y que pasa

a)

X d)

X

por el punto A(3, 4). Escribe su ecuacin vectorial.14 Dibuja la recta que es paralela al eje Y y que pasa

por el punto A( 2, 5). Escribe su ecuacin paramtrica.

16 Halla el punto medio del segmento de extremos

A(3, 4) y B( 5, 2). Haz la representacin grfica.


183


4. Posiciones, distancia y circunferencia

PIENSA Y CALCULAHalla todos los puntos de coordenadas enteras en la recta del 1er dibujo del margen.

4.1. Posicin relativa de punto y rectaEntre un punto y una recta se pueden dar dos posiciones relativas: a) El punto est en la recta. b) El punto no est en la recta. El punto est en la recta si verifica la ecuacin de la recta, y no est en ella si no la verifica.A(4, 3) X 3x 2y = 6 r

Y B(1, 4)

Ejemplo Estudia la posicin relativa de los puntos A(4, 3), B(1, 4) respecto de la recta: r ~ 3x 2y = 6 A(4, 3) 3 4 2 3 = 12 6 = 6 A(4, 3) r B(1, 4) 3 1 2 4 = 3 8 = 5 ? 6 B(1, 4) r

r ~ Ax + By + C = 0 s ~ Ax + By + C = 0 Rectas secantes

4.2. Posiciones relativas de dos rectas en el planoEstudiar la posicin relativa de dos rectas consiste en ver si son secantes, paralelas o coincidentes.Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si no tienen ningn punto en comn. Se representa por || Criterio Los coeficientes de las variables son proporcionales y no lo son los trminos independientes: A = B ? C A B C Rectas coincidentes Dos rectas son coincidentes si son la misma recta.

Dos rectas son secantes si tienen un nico punto en comn.

Los coeficientes de las variables no son proporcionales: A ? B A B

Los coeficientes de las variables y los trminos independientes son proporcionales: A = B = C A B C

Ejemplo Estudia la posicin relativa de los siguientes pares de rectas:2x 3y + 5 = 0 x + 2y 8 = 0 2 ? 3 1 2 SecantesY s r P(2, 3) X

}

3x 4y 5 = 0 3x 4y + 2 = 0

}s

2x 3y 1 = 0 2x + 3y + 1 = 0

}

3 = 4 ? 5 3 4 2 ParalelasY

2 = 3 = 1 2 3 1 CoincidentesY

r X

r s X

184



4.3. Rectas paralelas y perpendicularesa) Dos rectas r y s son paralelas si tienen la misma pendiente: mr = ms b) Dos rectas r y t son perpendiculares si la pendiente de una es la opuesv1 v2 ta de la inversa de la otra: mr = , mt = v2 v1 Ejemplo Dada la recta r ~ 2x 3y + 5 = 0 a) halla la recta s paralela a r, que pase por el punto P(4, 1) b) halla la recta t perpendicular a r, que pase por el punto P(4, 1) a) La recta s tendr la misma pendiente que la recta r, que es: m= A = 2 = 2 B 3 3 y 1 = 2 (x 4) 3y 3 = 2x 8 2x + 3y + 5 = 0 2x 3y 5 = 0 3 b) Si la pendiente de r es mr = 2 , la pendiente de t ser mt = 3 3 2 3 (x 4) 2y 2 = 3x + 12 3x + 2y 14 = 0 y1= 2

Y t 90 r s P(4, 1) X

EjemploHalla la ecuacin de la circunferencia de centro C(2, 1) y de radio R = 3 (x 2)2 + (y 1)2 = 32 x2 4x + 4 + y2 2y + 1 = 9 x2 + y2 4x 2y = 4Y P(x, y) R=3 C(2, 1) X

4.4. Distancia entre dos puntosLa distancia entre dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) es el mdulo del vec8 tor AB(x2 x1, y2 y1) d(A, B) = (x2 x1)2 + (y2 y1)2 Ejemplo Halla la distancia que hay entre los puntos A(1, 2) y B(5, 5) 8 AB(4, 3) d(A, B) = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 = 5 unidades

4.5. CircunferenciaLa circunferencia de centro C(a, b) y radio R es el lugar geomtrico de los puntos del plano P(x, y) cuya distancia al centro C es R. Su ecuacin es: (x a)2 + (y b)2 = R2

APLICA LA TEORA17 Estudia analtica y grficamente la posicin relativa 19 Dada la recta r ~ 3x + y = 2, halla una recta s,

de los puntos A(1, 2) y B( 3, 4) respecto de la siguiente recta: r ~ 2x + 3y = 618 Estudia analticamente la posicin relativa de las

paralela a r, y otra perpendicular t, que pasen por el punto P(2, 1). Haz la representacin grfica.20 Halla la distancia que hay entre los puntos A( 3, 2)

y B(4, 5). Haz la representacin grfica.21 Halla el coeficiente a para que la recta ax + 4y = 11

siguientes pares de rectas. Si se cortan, halla el punto de corte: a) 2x + 3y = 5 2x 3y = 11

}

b) 2x y = 3 2x + y = 1

}

pase por el punto P(1, 2). Haz la representacin grfica.22 Halla la ecuacin de la circunferencia que tiene el cen-

Representa ambas rectas para comprobarlo.

tro en el punto C( 1, 1), y de radio, 4. Haz el dibujo.


185


Ejercicios y problemas1. Vectores23 Dado el punto A(2, 5), halla el vector OA ,8

32 Dada la recta y = 2x + 5, qu tipo de ecuacin

represntalo y halla sus componentes.24 Dado el vector 8 ( 4, 5), halla el punto A, tal v8 8

es? Halla un punto, la pendiente, un vector director y un vector normal. Haz la representacin grfica.

que el vector OA = v , y represntalo.25 Calcula el mdulo y el argumento de los

3. Otras ecuaciones de la recta33 Dibuja la recta que pasa por el punto A(1, 4) y

siguientes vectores: a) v (4, 2) b) v ( 3, 4)26 Halla el vector opuesto del vector 8 ( 3, 2) y v8 8

tiene de pendiente 2/3. Halla la ecuacin de dicha recta.34 Dibuja la recta que pasa por los puntos A( 1, 3)

represntalos en unos mismos ejes coordenados.27 Dados los siguientes vectores:8

y B(3, 0). Halla la ecuacin de dicha recta.35 Halla la ecuacin general de las rectas represen-

tadas en los siguientes ejes de coordenadas:Y a) b) X c) X d) Y

u (3, 2) y v (1, 4)8 8 8

8

calcula analtica y geomtricamente: a) v + v8

b) u v

28 Dado el vector 8(1, 2), calcula analtica y geov

mtricamente: a) 3v8 8

36 Dibuja la recta que es paralela al eje X y que

b) 3v

pasa por el punto A(2, 3). Escribe su ecuacin general.37 Dibuja la recta que es paralela al eje Y y que

2. Ecuaciones de la recta29 Dados los puntos A(1, 2) y B( 5, 4), calcula el

vector AB . Haz la representacin grfica.30 Halla un vector director y la pendiente de la 38 Halla la ecuacin explcita de las rectas represen-

8

pasa por el punto A(1, 4). Escribe su ecuacin general.

siguiente recta:Y r X

tadas en los siguientes ejes de coordenadas:Y b) a) X d) Y c)

X

31 Representa la recta que pasa por el punto

39 Halla mentalmente el punto medio del segmen-

P( 4, 1) y tiene como vector director v (3, 2). Halla las distintas ecuaciones de dicha recta.

8

to de extremos A(4, 3) y B( 1, 5). Haz la representacin grfica.

186



Ejercicios y problemas4. Posiciones, distancia y circunferencia40 Estudia analtica y grficamente la posicin relati43 Dada la recta r ~ 2x + y = 1, halla una recta t,

va de los puntos A(5, 1) y B( 2, 3) respecto de la siguiente recta: r ~ x 2y = 341 Estudia analticamente la posicin relativa de

perpendicular a r, que pase por el punto P(3, 2). Haz la representacin grfica.44 Halla la distancia que hay entre los siguientes

puntos: A( 1, 5) y B(2, 1) Haz la representacin grfica.45 Halla el coeficiente a para que la recta:

los siguientes pares de rectas. Si se cortan, halla el punto de corte: a) x 2y = 3 x + 2y = 3 2x y = 4 Representa ambas rectas para comprobarlo.42 Dada la recta r ~ x 3y = 1, halla una recta s,

}

b) 3x + 4y = 5

}

4x + ay = 7 pase por el punto P( 2, 3). Haz la representacin grfica.46 Halla la ecuacin de la circunferencia que tiene

paralela a r, que pase por el punto P(2, 5). Haz la representacin grfica.

el centro en el punto C(2, 1), y de radio, 3. Haz el dibujo.

Para ampliar47 Dado el siguiente cuadrado de centro el origen 50 Calcula mentalmente el mdulo y el argumento

de coordenadas y lado de longitud 10:Y

de los siguientes vectores:Y8

b8

X

8

c

a

X

8

d

a) Representa todos los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen como extremo uno de los vrtices del cuadrado. b) Escribe la expresin analtica de cada uno de los vectores representados.48 Calcula mentalmente las componentes de los8

51 Dada la siguiente recta:

(x, y) = ( 4, 1) + t(2, 3); t halla: a) el tipo de ecuacin. b) un punto. c) el vector director. d) un vector normal. e) la pendiente. f) Represntala.52 Halla mentalmente un vector normal y un vec-

vectores AB en los siguientes casos: a) A(3, 4), B(5, 7) b) A( 4, 1), B(2, 5) c) A(0, 5), B( 7, 2) d) A(0, 0), B(3, 5)49 Halla mentalmente dos vectores perpendicula8

tor director de cada una de las siguientes rectas: a) 2x + 3y = 5 c) 3x + y = 1 b) x 2y = 4 d) 5x 4y = 2

res al vector v (5, 2) y represntalos grficamente.


187


Ejercicios y problemas53 Halla mentalmente las ecuaciones generales de 57 Halla mentalmente la posicin relativa de los

las siguientes rectas: a) Eje X b) Eje Y

siguientes pares de rectas: 2x y = 2 4x + 2y = 1

54 Halla la ecuacin explcita de las siguientes rec-

}

tas representadas en los ejes de coordenadas.Y b) a) X

58 Halla mentalmente la posicin relativa de los

siguientes pares de rectas: 3x 6y = 3 x + 2y = 1

}

59 Halla mentalmente la posicin relativa de los

siguientes pares de rectas: x= 255 Representa y halla mentalmente las ecuaciones

generales de las rectas paralelas a los ejes coordenados, que pasan por el punto A(2, 3)56 Representa y halla mentalmente las ecuaciones

y = 3

}

Represntalas y halla el punto de corte.60 Halla mentalmente la ecuacin de la circunfe-

generales de las rectas paralelas a los ejes coordenados, que pasan por el punto A( 4, 1)

rencia de centro el origen de coordenadas y de radio R = 3 unidades. Represntala.

Problemas61 Dado el tringulo equiltero siguiente, de cen63 Halla la ecuacin general de las siguientes rec-

tro el origen de coordenadas y vrtice A(4, 0):Y B X A(4, 0) C

tas representadas en los ejes de coordenadas:Y b) a) X

a) representa todos los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen como extremo uno de los vrtices del tringulo equiltero. b) Aplicando las razones trigonomtricas, halla la expresin analtica de cada uno de los vectores representados.62 Dibuja y calcula el rea del tringulo compren-

64 De un paralelogramo se conocen tres vrtices

consecutivos:A( 4, 2), B( 1, 5) y C(4, 5)Y B(1, 5) A( 4, 2) C(4, 5) X

dido entre las rectas siguientes: x = 2, y = 1, x + y = 5

Halla las coordenadas del cuarto vrtice D utilizando la suma de vectores.

188



Ejercicios y problemas65 Halla analticamente un vector director y la 71 Halla el coeficiente k para que la recta:

pendiente de las rectas que estn definidas por los dos puntos siguientes: a) A(0, 0), B(3, 4) b) A(2, 1), B(4, 6) c) A( 2, 5), B(3, 4) d) A(3, 2), B(4, 1)66 Dada la siguiente recta:

kx + 3y = 8 pase por el punto A(1, 2)72 Halla mentalmente la posicin relativa de los

siguientes pares de rectas: 3x + 4y = 12 2x + y = 3

}

x2 y+1 = 3 4 halla: a) el tipo de ecuacin. b) un punto. c) el vector director. d) un vector normal. e) la pendiente. f) Represntala.67 Dada la siguiente recta:

Represntalas y halla el punto de corte.73 Dibuja un rectngulo sabiendo que tiene los

lados paralelos a los ejes coordenados, y que las coordenadas de dos vrtices opuestos son A( 3, 5) y B(3, 1). Dibuja y halla la longitud de la diagonal.74 Halla el valor de k para que las siguientes rec-

tas sean paralelas: 2x + 3y = 5 kx 6y = 1

y = 2x 3 halla: a) el tipo de ecuacin. b) un punto. c) la pendiente. d) un vector director. e) un vector normal. f) Represntala.68 Dado el tringulo que tiene los vrtices en los

}

75 Halla la ecuacin de la circunferencia que tiene

el centro en el punto A( 1, 2), y de radio, 4 unidades. Haz el dibujo.76 Halla la ecuacin de la siguiente circunferencia:Y

X

puntos A(3, 4), B( 1, 2) y C(5, 4): a) representa dicho tringulo y dibuja la recta que contiene la mediana definida por el vrtice A b) Halla la ecuacin de dicha recta.69 Dado el tringulo que tiene los vrtices en los 77 Dado el tringulo de la siguiente figura:Y C

puntos A(1, 4), B( 3, 2) y C(5, 4): a) representa dicho tringulo y dibuja la recta paralela al lado BC, que pasa por el vrtice A b) halla la ecuacin de dicha recta.70 Dibuja el segmento de extremos los puntosA

X

B

A(5, 4) y B( 1, 2) y su mediatriz. Halla la ecuacin de la mediatriz.

halla la ecuacin de la mediatriz del lado AB


189


Ejercicios y problemas78 Halla la ecuacin de la siguiente circunferencia:Y

82 Dado el tringulo que tiene los vrtices en los

puntos A( 2, 3), B( 5, 1) y C(5, 4) a) representa dicho tringulo y dibuja la recta que contiene al lado BCX

b) halla la ecuacin de dicha recta.83 Halla el coeficiente k para que la recta:

5x + ky = 1

Para profundizar79 Dada la circunferencia de centro el origen de

pase por el punto A( 3, 4)84 Un romboide tiene tres vrtices en los puntos

coordenadas, y radio, 5Y

A( 5, 1), B( 2, 5) y C(2, 5) Halla: a) el cuarto vrtice.X

b) la longitud de sus diagonales.85 Halla la longitud del segmento determinado

por los puntos de corte con los ejes coordenados de la recta siguiente: a) representa todos los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen como extremo un punto de la circunferencia de coordenadas enteras. b) Escribe la expresin analtica de cada uno de los vectores representados.80 Dados los vectores:8

3x + 4y = 1286 Dado el tringulo de la siguiente figura:Y C

X8

u (2, 3) y v ( 1, 4) calcula analticamente: a) 3u + 5v b) 5u 3v8 8 8 8

A

B

halla la ecuacin de la recta que contiene a la altura relativa al vrtice C87 Halla la ecuacin de la circunferencia que tiene

81 Dada la siguiente recta:

5x 2y + 9 = 0 halla: a) el tipo de ecuacin. b) un punto. c) un vector normal. d) un vector director. e) la pendiente. f) Represntala.

el centro en el punto C( 3, 4), y de radio, 2 unidades. Haz el dibujo.88 Halla la ecuacin de la siguiente circunferencia:Y

X

190



Aplica tus competenciasEcuacin general de la circunferencia Se llama ecuacin general de la circunferencia a la expresin: x2 + y2 + mx + ny + p = 0 Dada la ecuacin general de la circunferencia, para hallar el centro y el radio se aplican las frmulas siguientes: C(a, b) = m , n , R = a2 + b2 p 2 2

(

)

89

Halla mentalmente el centro y el radio de la siguiente circunferencia: x2 + y2 6x 4y 12 = 0 Halla mentalmente el centro y el radio de la siguiente circunferencia: x2 + y2 + 8x + 7 = 0 Halla mentalmente el centro y el radio de la siguiente circunferencia: x2 + y2 2x + 6y + 6 = 0

90

91

Comprueba lo que sabes1 2 3

Explica cmo se hallan las componentes de un vector definido por dos puntos. Pon un ejemplo. Calcula el mdulo y el argumento del vector 8 3) v(4, Dada la recta 4x 3y = 12, qu tipo de ecuacin es? Halla dos puntos, un vector normal, un vector director y la pendiente. Haz la representacin grfica. Dibuja la recta que pasa por el punto A(3, 1) y tiene de pendiente 2. Halla la ecuacin de dicha recta. Halla la ecuacin general de las rectas representadas en los siguientes ejes de coordenadas:Y b) Y d) X X

4 5

a)

c)

6

Estudia analticamente la posicin relativa del siguiente par de rectas. Si se cortan, halla el punto de corte: 2x + y = 5 x 3y = 6 Representa ambas rectas para comprobarlo.

Y A

}

X C B

7 8

Dada la recta 2x 3y = 6, halla su ecuacin vectorial. Dado el tringulo de la figura del margen, halla la ecuacin de la recta que contiene a la altura relativa al vrtice A


191


9. GEOMETRA ANALTICAPaso a pasoa) Crea en tu carpeta personal la subcarpeta 09 para guardar todos los ejercicios de este tema.92

Dibuja el vector u(4, 3) y sus componentes. Halla el mdulo y el argumento.

93

Dibuja la recta que pasa por el punto P( 5, 2) y tiene de vector director a v(4, 3). Halla la ecuacin de la recta.

Solucin: a) Activa la cuadrcula. b) Elige Vector entre dos puntos, haz clic en el origen de coordenadas y en el extremo, punto (4, 3) c) Dibuja una recta perpendicular al eje X y que pase por el extremo del vector. d) Halla el punto de interseccin de dicha recta con el eje X e) Oculta la recta. f ) Dibuja la componente horizontal de color verde. g) Dibuja la componente vertical de color azul. h) Elige Distancia y haz clic en el origen y extremo del vector. i) Dibuja el ngulo. j) Gurdalo en la carpeta 09 con el nombre 92 Geometra dinmica: interactividad k) Arrastra el extremo del vector v de forma que el nuevo vector sea v( 2, 5). Vers cmo cambian el mdulo y el argumento y las componentes.94

Solucin: a) En la barra de Entrada escribe P = ( 5, 2) b) En el men Contextual del punto elige Propiedades/Bsico/Expone rtulo y selecciona Nombre & Valor c) Dibuja el vector v(4, 3) y expn sus coordenadas. d) Elige Recta Paralela, haz clic en el punto P y en el vector v e) En el men Contextual de la recta elige Propiedades/Bsico/Expone rtulo y selecciona Nombre & Valor f ) Gurdalo en la carpeta 09 con el nombre 93 Geometra dinmica: interactividad g) Arrastra el punto P o el extremo del vector v y observa cmo se obtiene la nueva recta y su ecuacin. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemticas, curso y tema.

192



Linux/Windows GeoGebraAs funcionaPropiedades de un objeto Primero se crea el objeto, despus en su men Contextual se elige Propiedades y se modifican. La ventana Propiedades de una recta contiene las fichas: Bsico, Color, Estilo, lgebra y Avanzado. En la ficha Bsico tiene las opciones Nombre, Definicin, Expone objeto, Expone rtulo, en el que se puede elegir entre Nombre, Nombre & Valor y Valor; y Expone Trazo que deja un trazo al desplazarse. En la ficha lgebra se puede elegir el tipo de ecuacin: General, Explcita y Paramtrica.

Practica95

Dibuja la recta que pasa por los puntos A(3, 2) y B(4, 5) y halla su ecuacin.

97

Dada la recta r ~ 2x 3y + 5 = 0, halla una recta t, perpendicular a r, que pase por el punto P(4, 1)

Geometra dinmica: interactividad Arrastra uno de los puntos que definen la recta y observa cmo se obtiene la nueva ecuacin de la recta.96

Geometra dinmica: interactividad Modifica la recta o el punto P y observa cmo se obtiene la nueva recta perpendicular y su ecuacin.98

Dada la recta r ~ 2x 3y + 5 = 0, halla una recta s, paralela a r, que pase por el punto P(4, 1)

Dibuja la circunferencia de centro C(2, 1) y radio R = 3. Halla su ecuacin.

En la Entrada escribe: 2x 3y + 5 = 0 Geometra dinmica: interactividad Modifica la recta o el punto P y observa cmo se obtiene la nueva recta paralela y su ecuacin.

Geometra dinmica: interactividad Modifica el centro o el valor del radio y observa cmo se obtiene la nueva circunferencia y su ecuacin.


193


9. GEOMETRA ANALTICAPaso a pasoa) En la barra de mens elige Ayuda y Opciones/Mostrar atributos b) En la barra de herramientas elige Mostrar los ejes c) Elige Rejilla y haz clic en uno de los puntos de las divisiones de los ejes. d) Crea en tu carpeta la subcarpeta 09 para guardar todos los ejercicios de este tema.92

Dibuja el vector u(4, 3) y sus componentes. Halla el mdulo y el argumento.

93

Dibuja la recta que pasa por el punto P( 5, 2) y tiene de vector director a v(4, 3). Halla la ecuacin de la recta.

Solucin: Solucin: a) Elige Vector, selecciona color rojo y grosor mediano, haz clic en el origen de coordenadas y en el extremo, punto (4, 3) b) Dibuja una recta perpendicular al eje X y que pase por el extremo del vector. c) Halla el punto de interseccin de dicha recta con el eje X d) Oculta la recta. e) Dibuja la componente horizontal de color verde. f ) Dibuja la componente vertical de color azul. g) Elige Coord. o Ecuacin, haz clic en el extremo del vector v y escribe la letra v delante. h) Elige Distancia y longitud y haz clic en el vector, escribe delante m y el signo = i) Marca y mide el argumento. j) Gurdalo en la carpeta 09 con el nombre 92 Geometra dinmica: interactividad k) Arrastra el extremo del vector v de forma que el nuevo vector sea v( 2, 5). Vers cmo cambian el mdulo y el argumento. a) Dibuja el punto P( 5, 2) b) Elige Coord. o Ecuacin, haz clic en el punto P y escribe la letra P delante. c) Dibuja el vector v(4, 3) d) Elige Recta paralela, haz clic en el punto P y en el vector v e) Selecciona la recta haciendo clic sobre ella y en los atributos elige color rojo y grosor mediano. f ) En la barra de mens elige Opciones/Preferencias/Sistema de coordenadas y Ecuacin; en Recta selecciona ax + by + c = 0, que es la forma general. g) Elige Coord. o Ecuacin, haz clic en la recta para que escriba su ecuacin. h) Gurdalo en la carpeta 09 con el nombre 93 Geometra dinmica: interactividad i) Arrastra el punto P o el extremo del vector v y observa cmo se obtiene la nueva recta y su ecuacin.94

Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemticas, curso y tema.

194



Windows CabriAs funcionaPaleta de atributos La paleta de atributos permite modificar el aspecto de los objetos: color, grosor, punteado, etc. a) Para abrir la paleta de atributos, se elige en la barra de mens Opciones/Mostrar atributos. Tambin se puede abrir en la ltima herramienta Atributos b) Cada uno de los atributos contiene varias opciones. c) Para crear un objeto con un atributo, se elige primero la herramienta y luego el atributo, y se construye el objeto. d) Para cambiar los atributos de un objeto ya creado, se selecciona el objeto y se elige el atributo.

Practica95

Dibuja la recta que pasa por los puntos A(3, 2) y B(4, 5) y halla su ecuacin.

97

Dada la recta r ~ 2x 3y + 5 = 0, halla una recta t, perpendicular a r, que pase por el punto P(4, 1)

Geometra dinmica: interactividad Arrastra uno de los puntos que definen la recta y observa cmo se obtiene la nueva ecuacin de la recta.96

Geometra dinmica: interactividad Modifica la recta o el punto P y observa cmo se obtiene la nueva recta perpendicular y su ecuacin.98

Dada la recta r ~ 2x 3y + 5 = 0, halla una recta s, paralela a r, que pase por el punto P(4, 1)

Dibuja la circunferencia de centro C(2, 1) y radio R = 3. Halla su ecuacin.

En la Entrada escribe: 2x 3y + 5 = 0 Geometra dinmica: interactividad Modifica la recta o el punto P y observa cmo se obtiene la nueva recta paralela y su ecuacin.

Geometra dinmica: interactividad Modifica el centro o el valor del radio y observa cmo se obtiene la nueva circunferencia y su ecuacin.


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4B ESO 09 Geometria Analitica