4.HIDRODINAMIKA

•

proučava gibanje tekućina zajedno s uzrocima

zbog kojih gibanje nastaje, a to su

SILE•

proučava zavisnost sila i kretanja nastalog pod djelovanjem tih sila

•

osnovni element –

djelić

volumena ili elementarna čestica infinitezimalnih dimenzija nebitnog oblika, a ne molekula

SILE

•

1.

VOLUMENSKE ( vanjske

) –

koje su rezultat mase na koju djeluju i od koje potječu. Djeluju unutar volumena na svaki dio njegove mase. Rezultat položaja mase u polju sila (integracija preko volumena)

•

2.

POVRŠINSKE ( unutarnje)

– rezultat kontakta između pojedinih materijalnih čestica međusobno, te djelovanja čestica i podloge (stijenke) –integracija preko površine

VOLUMENSKE SILE•

1.

SILA TEŽINE

–

zbog

djelovanja sile teže (djelovanja Zemlje)

FG

= -∫ρgdV ( negativan predznak)

• 2.

SILA INERCIJE

(TROMOSTI) – akceleracijsko djelovanje

sile sadržano u inercijskoj reakciji tvari na koju sila djeluje

•

m dv/dt =ma=∑Fi

=FI

POVRŠINSKE SILE•

1.

SILA TLAKA

(normalna) –

rezultat djelovanja kapljevine na promatrane presječne površine

•

FN

= -∫pdA ( negativan predznak )

•

2.

POSMIČNA SILA

– rezultat trenja kapljevine i

stijenke

•

FT

= ∫τdA

SILE NA KAPLJEVINUVOLUMENSKE

POVRŠINSKE

TEŽINA TROMOST

TLAK TRENJE

FG

+FI

+FN

+FT

=∑Fi

=0

•

ako je promatrana kapljevina u stanju dinamičke ravnoteže zbroj vanjskih sila mora biti jednak 0

•

SILE U SLUČAJU MIROVANJA (hidrostatski problem)?

OSNOVNE DINAMIČKE JEDNADŽBE STRUJANJA KAPLJEVINE:

•

a)

ZAKON ODRŽANJA KOLIČINE GIBANJA

•

b)

BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA (1738)

A.)Zakon održanja količine gibanja•

količine gibanja= masa x brzina

•

svaki djelić

volumena ima svoju količinu gibanja

•

2.Newtonov zakon: promjena količine gibanja = impuls djelujućih sila

1.

član= ukupna promjena količine gibanja

(lijevo)2. član= lokalna promjena, odnosno promjena količine

gibanja po volumenu3. član = konvekcijska promjena, promjena količine gibanja

po površini

∫∫ ==Vm

vdVvdmK ρ

∑∫ ∫ =+= FdAvnvvdVtdt

dK

V A

)(ρρδδ

PRIMJENA:PRETPOSTAVKE:•

1.idealna tekućina

•

2. stacionarni tok•

3. ρ= const.

•

1.

PROTOK KOLIČINE GIBANJA ( flux mase)

•

2.

SILE –

unutarnje i vanjske ( volumenske i površinske)

•

3.

Po

= sila koja djeluje na plašt kao rezultat djelovanja sila unutar cijevi

oPGnApnApnvAvnvAv ++−−=− + 22211122221111 )()( ρρ

0222111222111 =++−−− oPGnApnApnvQnvQ ρρ

GRAFOANALITIČKI?

PRIMJER:

•

Iz cijevi promjera Do=250mm istječe mlaz brzinom vo i udara u zid pod kutem Θ=30o.Odredite reakciju zida na mlaz (FR

), odnosno tlak mlaza na zid. Protok iznosi Q=0,15m3/s

JEDNADŽBA KRETANJA IDEALNE TEKUĆINE

Eulerova jednadžba + sile inercije ( prema d′Alambertu)

ρ= gustoća ( masa jedinice volumena)

•

dxdydz

=volumen•

ρdxdydz

=masa

•

u,v,w= komponente vektora brzine

•

du/dt, dv/dt, dw/dt

= akceleracija

•

produkt mase i akceleracije = sila tromosti ( inercije)

dtdwdxdydz

dtdvdxdydz

dtdudxdydz

ρ

ρ

ρ

−

−

−

DEFINICIJA:

Gradijent ( promjena ) tlaka tekućine u

nekom smjeru jednak je

produktu gustoće i komponente akceleracije vanjskih sila u istom smjeru.

(OPĆA DIF. JEDNADŽBA HIDROSTATIKE)

Zzp

Yyp

Xxp

=

=

=

δδ

ρ

δδ

ρ

δδ

ρ

1

1

1

-ako gornje izraze uvrstimo u jednadžbe hidrostatike:

•

za os x:

01

10

=+−

−=−+−

dtduX

xp

dxdydzdtdtdxdydzXdxdydzdxdydz

xp

δδ

ρ

ρρρ

δδ

•

EULEROVE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE KRETANJA TEKUĆINE-

implicitni oblik

dtduX

xp

−=δδ

ρ1

dtdvY

yp

−=δδ

ρ1

dtdwZ

zp

−=δδ

ρ1

ρ= const.-

nema općeg rješenja –

4 nepoznanice, moguće je uz

određene pretpostavke:

•

1. STACIONARNO STRUJANJE•

2. matematičke transformacije ( 1. jednadžbu pomnožimo s dx, 2. s dy, a 3. s dz i sumiramo jednadžbe )

0)(21

0)(21

)(21

0)(1

)()(1

2

222

2

=−−++

=++−−++

=

=++−−++

=

=

=

++−++=++

WdpZdzYdyXdx

wvudpZdzYdyXdx

ududu

wdwvdvudupZdzYdyXdx

wdtdz

vdtdy

udtdx

dtdzdw

dtdydv

dtdxduZdzYdyXdxdz

zpdy

ypdx

xp

ρδρδ

δρ

δδ

δδ

δδ

ρ

-za strujnu cijev na koju djeluje samo gravitacija i u normalnom koordinatnom sustavu:

X=0, Y=0,

Z=-g

EULEROV INTEGRAL-

odnosno izvod Bernoullijeve jednadžbe primjenom Eulerovog integrala

.2

:int0)(21

2

2

constg

Wgpz

gegriranjemWdpgdz

=++

−=−−−

ρ

ρδ

2.IZVOD BERNOULLIJEVE JEDNADŽBE (1738)-

primjenom zakona održanja

količine gibanja

•

fiktivna strujna

cijev ili konačni element neke cijevi

•

stacionarno ili postupno promjenjivo strujanje

•

p1

A1

sila tlaka na ulazu ( uzvodni profil)•

p2

A2

sila tlaka na izlazu ( nizvodn profil)•

p1

+p2

/2 (A1

-A2

)

komponenta ukupne sile tlaka na plašt cijevi u smjeru strujanja

•

F

ukupna sila trenja na plašt•

ρQv1

količina gibanja na ulazu•

ρQv2

količina gibanja na izlazu•

G(FG

)

sila gravitacije•

G sinα

komponenta koja izaziva promjenu količine

gibanja ( u smjeru toka)

0sin)(2

2121

112221 =−−++

−−− − FGAAppApApQvQv αρρ

FGAAppApApQvQv ++++

+−=− αρρ sin)(2

2121

112221

gAF

gv

gpz

gv

gpz

gAFzz

gvv

gp

gp

gAFzzgAvvvvAApAp

vvAvAQ

gLAG

FLzzGvvQAApAAp

Lzz

sr

sr

ρρρ

ρρρ

ρρρ

ρ

ρ

α

+++=++

=−−−−

+−

=−−−−+

+−

+==

Δ=

=−Δ−

−−++

−−

Δ=

−

22

02

:0)())(2

(

2

0)(22

sin

2

22

222

211

1

122121

121221

21

21

1221

212

211

12

GUBICI

BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA ZA IDEALNU TEKUĆINU

•

oblik jednadžbe za idealnu tekućinu ( stacionarno strujanje nestlačive

kapljevine)

Hg

vg

pzg

vg

pz =++=++22

222

2

211

1ρρ

•

z1

,z2

= geodetska visina, visina težišta poprečnog presjeka u odnosu na neku horizontalnu ravninu (m)

•

p1

/ρg, p2

/ρg = hp

= pijezometarska ili tlačna visina = visina pijezometarskog tlaka koju pokazuje visina stupca tekućine u pijezometarskoj cijevi ( m)

•

v12/2g, v2

2/2g

= brzinska visina = visina s koje bi tijelo da pada imalo brzinu v

(m)

•

H= HIDRODINAMIČKI TLAK ili UKUPNA SPECIFIČNA ENERGIJA

•

pijezometarska i brzinska visina mogu se odrediti pomoću pijezometarske i Pitotove cijevi

-

suma ti visina je konstantna=H bez obzira koju strujnu cijev promatramo

•

SMISAO BERNOULLIJEVE JEDNADŽBE•

= konstantnost potencijalne energije (z+p/ρg) i kinetičke energije ( v2/2g), pa Bernoullijeva jednadžba predstavlja ZAKON ODRŽANJA ENERGIJE

→ jedinica mase

tekućine ima kod stacionarnog strujanja const. energiju duž

cijele strujne cijevi

•

kod idealne tekućine linije energije je const.

BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA ZA REALNU

TEKUĆINU

-

stacionarno strujanje nestlačive kapljevine

-

kod

realne

tekućine

uzimaju

se u obzir sile

otpora

pri

kojima

se dio

energije

troši

na

svladavanje

tog otpora

- mehanička

energija

duž

toka

ne

ostaje stalna

i

jedan

dio

se bespovratno

pretvara

( disipira

) u toplinsku

energiju

•

OBLIK JEDNADŽBE ZA REALNU TEKUĆINU

Hgv

gpz

gv

gpz Δ+++=++

22

2222

2

2111

1α

ρα

ρ

•

α1,2

= Coriolisov

koeficijent

ili

koeficijent kinetičke

energije

koji

pokazuje

odnos

stvarne

kinetičke

energije

mase

fluida

koji protječe

poprečnim

presjekom

u jedinici

vremena

i kinetičke

energije

određene

iz uvjeta

da

su

brzine

u svim

točkama

presjeka

jednake

( srednja

brzina)

•

-kod

strujanja

u cijevima

α=1,0, a kod strujanja

otvorenim

vodotocima

α=1,1

(najčešće)

•

ΔH= dio

specifične

energije

utrošen

na svladavanje

HIDRODINAMIČKIH OTPORA

strujanju

kapljevine.

13

3

≥=∫

Av

dAvAα

PRAKTIČNA PRIMJENA BERNOULLIJEVE JEDNADŽBE

1.

CIJEV POD TLAKOM•

d=const, Q=const ⇒

v=const.v1

=v2

Hg

pzg

pz Δ++=+ρρ

22

11

)()( 22

11

gpz

gpzH

ρρ+−+=Δ

-

gubitak

tlaka

= razlika

pijezometarskih visina

u presjecima

-

ako

je cijev

horizontalna

z1

=z2

⇒ direktno

očitavanje

pijezometara

2. OTVORENI VODOTOK

•

ako je strujanje jednoliko⇒ v= const.

•

Io

=Ie

=Ip

=I

•

p1

=p2

=pa•

atmosferski tlak djeluje

na površini

vodotoka-u pijezometrima se voda podiže do razine vode u vodotoku

-linija vodnog lica

= pijezometarska linija

3. VENTURIJEV VODOMJER

•

Za mjerenje količine vode ( gubici se zanemaruju –

idealna t.)•

z1

=z2

–

cijev je horizontalna•

h= razlika očitanja u pijezometrima

•

Jednadžba kontinuiteta A1

v1

=A2

v2

gp

gph

ρρ21

−=1

24

;22 4

2

1

211

22

2

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=−=

dd

ghdQg

vg

vh π

REŽIMI KRETANJA REALNE TEKUĆINE

•

-

tijekom kretanja realne tekućine javljaju se različiti otpori ( ovisno o viskoznosti)

•

-

BOUSSINESQ (1868) –

brzina čestica uz stijenku cijevi ili korita vodotoka=0

•

-

REYNOLDS ( 1883) –

svojstva i veličina otpora ovisi o režimu kretanja tekućine

•

-

PRANDTL ( 1904) –

2 područja u kojima se javljaju 2 režima tečenja

•

a)

GRANIČNI SLOJ-

tanki sloj uz stijenku•

b)

JEZGRA TEČENJA

–

dio vodene mase

unutar graničnog sloja

•

- ako je strujanje LAMINARNO –

slojevito, u

njemu nema izražene jezgre tečenja•

-

ako je strujanje TURBULENTNO –

s jezgrom

tečenja i graničnim slojem

REYNOLDSOVI POKUSI (1883)

•

1.

pri malim brzinama ulaz crvene boje neće se miješati s vodom

–strujnica je pravac

paralelan sa stijenkom cijevi( LAMINARNO STRUJANJE)

•

2. Povećanjem brzine strujnica ( otvaranjem S2 ) zadržava kontinuitet, ali gibanje postaje valovito-PRIJELAZNO STRUJANJE

•

3.

daljnjim

otvaranjem slavine

S2 ova pojava će ostati takva do određenog trenutka kada se karakter strujanja mijenja i počinje miješanje vode i boje (TURBULENTNO STRUJANJE)

a)

Stabilno strujanje kod malih brzinab)

Poremećaj zbog povećanje brzine-deformacija strujnica

c)

Na suženim dijelovima tlak pada zbog povećanja brzined)

Ako su sile viskoznosti veće od sila inercije strujanje će se stabilizirati, ako nisu javljaju se vrtlozi koji se pronose, remete tok i izmjenjuju količinu energije-

TURBULENTNO STRUJANJE

•

laminarni režim –

uvjetovan silama trenja•

turbulentni režim -

uvjetovan silama inercije

-

dimenzionalna analiza:

•

režim strujanja ovisi o kinematičkom koeficijentu viskoznosti, brzini strujanja i profilu cijevi

parametar onalnibezdimenziRe 2 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

sm

msm

vDυ

•

-

za Re ≈

2000 ( 2320)

– tečenje će biti laminarno

•

-

za Re > 2000 ( 2320)

– tečenje će biti turbulentno

•

-

približna kritična brzina pri kojoj se događa prijelaz iz laminarnog u turbulentno tečenje

PRIMJER: D=100 mm, vk

=0,02-0,012 m/s•

-

u cijevima je brzina oko 1,0 m/s što znači da je vrlo teško

postići laminarno strujanje, u vodotocima još

teže•

-

u strujanju PODZEMNIH VODA ili vrlo viskoznih tekućina

)/(2000 smD

vkυ

=

TURBULENTNO TEČENJE•

dolazi do jakog miješanja čestica i formiranja 2 područja

•

u GRANIČNOM SLOJU

–

brzina raste od 0 do neke vrijednosti na granici graničnog sloja i turbulentne jezgre i raste s viskoznošću

•

GRANIČNI SLOJ= područje strujanja tekućine u blizini podloge

-

po Prandlu:

vodotokotvoreni za Re

2R

cijev za Re

=

=

δ

δ d-

-u turbulentnoj jezgri brzina pulsira, dok je kod laminarnog u nekoj točki brzina konstantna → gubitak energije je veći kod turbulentnog tečenja

•

U cijevima

•

U otvorenim koritima

RAZVOJ GRANIČNOG SLOJA DUŽ

PLOČE

12

34 5

6

•

1.

strujnice su paralelne, brzina jednolika

•

2.

razvoj laminarnog graničnog sloja neovisno o režimu strujanja-odmicanje strujnica od ploće

•

3.daljnjim širenjem gr. sloja počinje se razvijati turbulencija ( povećanjem Re

do kritične

vrijednosti) i laminarno strujanje postaje nestabilno

•

4.zona turbulentnog toka postaje sve šira, a laminarnog sve uža-

pronošenje virova i u

područje bliže podlozi-izravnavanje profila brzina

•

5.

debljina graničnog sloja se ustaljuje, a formira se tanki sloj s velikim unutarnjim trenjem, velikih gradijenata brzina i pretežito laminarnim strujanjem –

viskozni podsloj

•

6.

vrlo kratko područje prijelaza iz laminarnog u turbulentni tok

•

Opisani razvoj graničnog sloja uzrokuje pojavu tangencijalnih naprezanja τo kojeg određuje gradijent brzina ili promjena količine gibanja)

cf = koeficijent otpora trenja ( nije const. već

se mijenja duž

ploče ovisno o razvoju graničnog

sloja)-

sila otpora trenja dobije se integriranjem tangencijalnih naprezanja po površini

•

Darcy-Weisbachov koeficijent otpora trenja λ=4cf

2

2o

fovc ρτ =

•

-

u realnosti –

kretanje preko hrapave podloge

•

LAMINARNO STRUJANJE –

nema pulsacije brzine i nema miješanja slojeva

•

- veličina hrapavosti ne utječe na režim strujanja graničnog sloja, manji dio miruje između izbočina, a veći dio klizi preko tako formiranog sloja

Re644

Re16

==

=

f

f

c

c

λ

-

-

kod okruglih cijevi :

VRIJEDI ZA Re ≤

2320 λ=f(Re)

•

TURBULENTNO STRUJANJE –

fizička hrpavost može dvojako utjecati

•

a)

apsolutna hrapavost ε•

debljina viskoznog podsloja δ′

•

ε < δ′

•

TUBULENTNO GLATKI REŽIM ( hidraulički glatka površina)

λ=f(Re)•

λ=0,316 Re –1/4

•

b)

apsolutna hrapavost ε•

debljina viskoznog podsloja δ′

•

ε

> δ′

•

TURBULENTNO HRAPAVI REŽIM ( hidraulički hrapava površina)

-veličina otpora ovisi isključivo o hrapavosti površineRe>4000λ=f(ε/D)

ε/D = relativna hrapavost

•

c)

TURBULENTNO PRIJELAZNI REŽIM

λ=f(Re, ε/d)

2320<Re<4000

•

ISTRAŽIVANJA NIKURADSE-a-za različite hrapavosti

•

(Moodyjev dijagram)

3,3

TEČENJE POD TLAKOM U ZATVORENIM PROFILIMA

•

-

kod zatvorenih profila tečenje može biti stacionarno i nestacionarno; tlačno i sa slobodnom vodnom površinom ( vodovodi, tlačne cijevi HE, hidrotehnički tuneli

•

-

ključni parametri Q, H i d

•

-

kod REALNIH tekućina javljaju se HIDRODINAMIČKI GUBICI

•

1.

LINIJSKI ( OTPOR TRENJA, OTPOR POVRŠINE) –

uslijed hidrauličkih otpora

koji se javljaju duž

cijevi

•

OVISE O: •

1.

hrapavosti stijenke (ε)

•

2.

brzini strujanja (v)•

3.

poprečnom presjeku (D)

•

4.

dužini cijevi (L)

JED.OVA WEISBACH2

2/ 22

gv

RLc

AgvLOc

gAFH f

fTtr

Δ=

Δ==Δ

ρρ

ρ

2

224

4

21

22

vvv

gv

DL

gv

DLcH

DR

ftr

+=

==Δ

=

λ

ZA OKRUGLE CIJEVI:

λ=4cf

•

-

ako je stacionarno i jednoliko strujanje ( const.D i const. Q)

–

može biti laminarno ili turbulentno što ovisi o srednjoj profilskoj brzini ( v, D i ν

) –

odnosno Reynoldsovom broju)

MOODYjev DIJAGRAM

TURBULENTNO HRAPAVI REŽIM

TURBULENTNO GLATKI REŽIM

TUBULENTNO PRIJELAZNI REŽIM

2.

LOKALNI GUBICI (OTPOR OBLIKA)

–

nastaju uslijed promjene

profila cijevi, loma cijevi ili bilo koje druge prepreke tečenju, odnosno lokalnih pojava koje narušavaju oblik tečenja

•

Gubici ovise o hidrodinamičkom oblikovanju•

Kontrakcija mlaza-pijezometarska linija naglo opada

•

Pojava podtlaka-moguća kavitacija

•

Hidrodinamičko oblikovanje ulaza•

Značajno manji gubici

•

Ne dolazi do odvajanja graničnog sloja

NAGLO PROŠIRENJE

•

Odvajanje graničnog sloja( )

gv

gv

AA

gv

vvH

gvvH

e

e

221

21

22

12

12

2

12

12

1

2

212

ζ−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=Δ

−−=Δ

NAGLO SUŽENJE

( )

ekontrakcij koef.

221

21

2

2

22

22

22

22

2

2

22

=

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=Δ

−−=Δ

=

εε

ζ

AAg

vg

vAA

gv

vvH

gvvH

c

c

ce

ce

UKUPNI GUBICI TLAKA NA CIJEVI

•

Primjer: Odredite brzinu, protok, energetsku i pijezometarsku liniju za sustav na slici. Strujanje se odvija od posude A s konstantnim tlakom, prema posudi B u kojoj je potlak ( što se vidi iz pijezometarskih očitanja)