Oscilatii intretinute.Rezonanta

Oscilatiile intretinute apar sub actiunea a 3 forte:

-forta elastica: Fe=-kx;

-forta de rezistenta Fr=-rẋ

-forta periodica exterioara F=F0cosωt care intretine oscilatiile

Ecuatia de miscare mẍ=-kx-rẋ+ F0cosωt |:m

ẍ+��ẋ+

��x=

��� cosωt

Notam ��=2 δ, δ=coeficient de amortizare

��=ω0

2, pulsatia proprie- pulsatia pe care ar avea-o daca ar fi numai

forta elastica

F0/m- forta maxima pe unitatea de masa=f(N/Kg)

ẍ+2 δẋ+ ω02x=f cosωt (1)

In primele moment corpul nu poseda o amplitudine si o faza bine

determinate.

Acest regim tranzistoriu dureaza insa foarte putin si apoi miscarea se

stabilizeaza. Se constata ca in regim stationar corpul executa oscilatii

armonice avand pulsatia egala cu pulsatia fortei exterioare.Legea de

oscilatie este:

x= Acos(ωt+ φ) (2)

Se pune problema de a determina amplitudinea miscarii si faza

initiala in functie de caracteristicile miscarii δ, ω0, ω,f.

Pentru aceasta se va inlocui relatia (2) in ecuatia (1).

ẋ= - ω Asin(ωt+φ)

ẍ= - ω2 Acos(ωt+ φ)

- ω2 Acos(ωt+ φ) - 2 δ ω Asin(ωt+φ)+ ω0

2 Acos(ωt+ φ=f cosωt

(ω02

- ω2) cos(ωt+ φ)- 2 δ ω sin(ωt+φ)=

�� cosωt

Pentru t=0 => (ω02

- ω2) cos φ- 2 δ ω sinφ=

�� (alfa1)

t=T/4 => ωt= ωT/4 =2π/T * T/4=π/2

=> (ω02

- ω2) cos(π/2+ φ)- 2δω sin(π/2+φ)=

�� cosπ/2

(ω02

- ω2) sin φ - 2 δ ω cos φ =0 (alfa2)

tg φ=��

� ���

(alfa1)2+(alfa2)

2 => (ω0

2 - ω

2)

2+4 δ

2 ω

2 =

� �

=> A=�

�(�� �� ) ��� �

Se observa ca amplitudinea oscilatiilor intretinute depinde de

pulsatia fortei exterioare si de pulsatia proprie (ω, ω0)

ω0=ct => A=A(ω)

Pt ω=0 => A0=f/ ω02

Cand ω-> infinit Ainfinit=0 => Exista o pulsatie pentru care A

devine maxima. Aceasca pulsatie se numeste pulsatie de rezonanta si

valoarea ei se obtine din conditia de maxim. ����=0 ->

���[(ω0

2 - ω

2)

2+4 δ

2 ω

2]=0

(ω02

- ω2)(-2 ω)+ 8 δ

2 ω=0 => ωrez=�ω� − δ

Amplitudinea de rezonanta: Arez=�

���� ��

Reprezentarea grafica a amplitudinii in raport cu ω are forma:

Pentru diferit valori ale coeficientului de amortizare δ se obtin

diferite reprezentari grafice numite si curbe de rezonanta

Pe masura ce frecarea creste, Arez are valori din ce in ce mai mici.

Daca δ ≈ 0 , Arez ->infinit iar ωrez ≈ω0

In general de numeste rezonanta fenomenul de crestere a

amplitudinii unei oscilatii intretinute sub actiunea altei forte

periodice exterioare avand pulsatia apropiata de pulsatia proprie a

sistemului.

Fenomenul apare des in natura si explica dispersia undelor

electromagnetice.