4x - 5y = 3 2x + 10y = 29...28 Libro para el maestro 12 secuencia 18 En esta secuencia construirás sucesiones de números con signo a partir de una regla dada y obtendrás la regla

45

90

135

y= 4.500

x= -8.000

y= -7.000

4x - 5y = 32x + 10y = 29

45

90

135

y= 4.500

x= -8.000

y= -7.000

4x - 5y = 32x + 10y = 29

45

90

135

y= 4.500

x= -8.000

y= -7.000

4x - 5y = 32x + 10y = 29

45

90

135

y= 4.500

x= -8.000

y= -7.000

4x - 5y = 32x + 10y = 29

BLOQUE 3

28 L ib ro para e l maest ro

12

secuencia 18

En esta secuencia construirás sucesiones de números con signo a partir de una regla dada y obtendrás la regla que genera una sucesión de números con signo.

¿CUÁL ES LA REGLA?Para empezarSucesiones de números

En la secuencia 3 de tu libro Matemáticas i, volumen i trabajaste con sucesiones defiguras y con sucesiones de números. En esta secuencia, continuarás estudiando las su-cesiones de números y las reglas que permiten obtener cada uno de sus términos.

Consideremos lo siguienteCompleta los términos que faltan en la siguiente sucesión de números:

–5, –2, , 4, 7, 10, , 16, , , 25, 28, 31, , 37, , …

a) Escribe una regla para obtener cada uno de los términos de la sucesión.

b) ¿Cuál es el término que está en el lugar 30?

c) ¿Qué lugar ocupa el número 121 en esta sucesión?

Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar la regla.

Manos a la obrai. Señala cuáles de las siguientes sucesiones se pueden obtener utilizando la regla su-

mar tres al término anterior.

• –15, –11, –7, –3, 1, 5, …

• 3, 6, 9, 12, 15, 18, …

• –4, –1, 2, 5, 8, 11, …

• –8, –3, 2, 7, 12, 17, …

• –7, –4, –1, 2, 5, 8, 11, …

• –14, –6, 2, 10, 18, 26, …

• –12, –9, –6, –3, 0, 3, …

SESión 1

Sucesiones de números con signo

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Propósitos de la sesión. Obtener la regla verbal que genera una sucesión de números con signo en la que el valor de los términos va aumentando; en la regla se dice cuánto hay que sumar a cada término para obtener el siguiente y cuál es el primer término de la sucesión. Obtener la sucesión a partir de una regla de ese tipo.

Sugerencia didáctica. Si lo considera conveniente recuerde a los alumnos a qué se refieren las expresiones “término” y “lugar del término”. Puede preguntarles ¿Cuál es el primer término de la sucesión… y el segundo?, ¿En qué lugar de la sucesión está el término 7 y el 25?

Descripción del video. Se hace una introduc-ción al tema con la presentación y descripción de sucesiones famosas a lo largo de la historia tales como la sucesión de Fibonacci y la dada por Gauss para obtener la suma de los primeros 100 números naturales.

Propósito de la sesión en el aula de medios. Hallar los números que faltan para completar una tabla que contiene números con signo.

Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 1.

Propósito de la actividad. La sucesión es parecida a las que se trabajaron en primero, la diferencia es que ahora se incluyen términos negativos. Se espera que los alumnos logren expresar la regla de manera verbal.

Posibles procedimientos. Es relativamente sencillo que los alumnos logren identificar que los términos van aumentando de 3 en 3 ; es posible que identifiquen esta regularidad primero con los números positivos y que después la apliquen a los números negativos con los que inicia la sucesión. Para formular la regla general es probable que la expresen verbalmente por ejemplo: “van de tres en tres”, “aumenta de tres en tres y empieza en –5” , “Se suma tres al término anterior”. La regla algebraica es 3n – 8, sin embargo es poco probable que los alumnos la expresen de esa manera; en caso de que alguno llegara a formularla, invítelo a que la compare con las reglas verbales de otros compañeros. Para encontrar el término en el lugar 30 pueden hacer la lista con los primeros 30 términos. También es probable que algunos alumnos continúen la lista hasta los primeros 43 términos para determinar que lugar ocupa el número 121. Durante el intercambio grupal motive a los alumnos para que identifiquen una o más reglas que permitan obtener la sucesión.

Propósito del interactivo. Explorar diferentes sucesiones numéricas. Que los alumnos analicen y completen diferentes sucesiones numéricas.

Propósito de las actividades I y II. Se espera que los alumnos identifiquen que, con una regla verbal del tipo sumar tres al término anterior o sumar cinco al término anterior, se pueden obtener muchas sucesiones distintas, pero si se indica cuál es el primer término, entonces sólo se obtiene una sucesión.

Respuestas. 3, 6, 9, 12, 15, 18, …

–4, –1, 2, 5, 8, 11, …

–7, –4, –1, 2, 5, 8, 11, …

–12, –9, –6, –3, 0, 3, …

1 13 19 22 34 40

“Van de tres en tres”, “Aumenta de tres en tres y empieza en -5”

82

El lugar 43

29L ib ro para e l maest ro

13

IIMATEMÁTICASII. Responde las preguntas:

a) ¿Con la regla sumar cinco al término anterior, podemos obtener muchas sucesio-

nes o una sola sucesión?

b) Encuentra una sucesión que se obtenga con esta regla.

c) Una regla más precisa para obtener la sucesión que escribiste es sumar cinco al

término anterior y el primer término es

d) ¿Por qué crees que esta regla sea más precisa?

Comparen sus respuestas y comenten: la diferencia entre dos términos consecuti-vos de una sucesión se obtiene al restar a un término el término anterior. ¿Cuál es ladiferencia entre dos términos consecutivos de las sucesiones que encontraron en elinciso b)? . Obtengan tres sucesiones en las que la diferencia entre dostérminos consecutivos sea 7.

III.Completa lo que falta en las siguientes expresiones y responde las preguntas:

a) Una regla para obtener la sucesión 5, 11, 17, 23, 29, 35, … es sumar seis al tér-

mino anterior y el primer término es

b) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?

c) Una regla para obtener la sucesión –12, –10, –8, –6, –4, –2, … es sumar

al término anterior y el primer término es

d) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?

e) Escribe la sucesión que se obtiene con la regla sumar cinco al término anterior y

el primer término es –14:

f) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esa sucesión?

A lo que llegamos

En las sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante, cada término se obtiene sumando una misma cantidad al término anterior.

La regla verbal para obtener este tipo de sucesiones se puede expresar diciendo cuántohay que sumar a cada término para obtener el siguiente y cuál es el primer término. Por ejemplo:

En la sucesión –8, –3, 2, 7, 12, 17, …

MAT2 B3 S18.indd 13 9/10/07 12:28:22 PM

Sugerencia didáctica. Comente con sus alumnos a qué se refiere la expresión “La diferencia entre dos términos consecutivos de una sucesión”; si lo considera conveniente pida a algunos alumnos que pasen al pizarrón a hacer la resta para encontrar la diferencia en una sucesión. La diferencia entre dos términos les servirá, posteriormente, para encontrar las reglas algebraicas y para distinguir si una sucesión es creciente o decreciente.

Propósitos de la actividad. Que obtengan la diferencia entre dos términos consecutivos de cada sucesión; identifiquen la regla verbal que sirve para obtener de manera única una sucesión, y que obtengan una sucesión a partir de la regla verbal.

Respuestas:

a) Sumar seis al término anterior y el primer término es 5.

b) La diferencia es 6.

c) Sumar dos al término anterior y el primer término es –12.

d) La diferencia es 2.

e) –14, –9, –4, 1 , 6, 11,…

f) La diferencia es 5.

Sugerencia didáctica. Lea esta información junto con sus alumnos apoyándose en el ejemplo que se muestra. Posteriormente puede pedir a los alumnos que propongan otra sucesión numérica como ejemplo y que den la regla verbal para obtener esta sucesión.

Eje

Sentido numérico y pensamiento algebraico.

Tema

Significado y uso de las literales.

Antecedentes

En la secuencia 3 de Matemáticas I, volumen I, los alumnos aprendieron a representar sucesiones numéricas o con figuras a partir de una regla dada y viceversa; en la secuencia 4 del mismo libro aprendieron a interpretar las letras como números generales con los que es posible operar.

En Matemáticas II se retoman las sucesiones numéricas con la finalidad de que los alumnos continúen buscando regularidades, y de que aprendan a formularlas, y a argumentar su validez. En esta ocasión las sucesiones incluyen números con signo.

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo.

Sesión Propósitos de la sesión Recursos

1

¿Cuál es la regla? Obtener la regla verbal que genera una sucesión de números con signo en la que el valor de los términos va aumentando; en la regla se dice cuánto hay que sumar a cada término para obtener el siguiente y cuál es el primer término de la sucesión. Obtener la sucesión a partir de una regla de ese tipo.

Video Sucesiones de números

Interactivo Sucesiones de números

con signo Aula de medios

Descripción de programas (Calculadora)

2

Números que crecen Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla de la forma an + b, con a > 0.Obtener la regla algebraica que genera una sucesión de números con signo de este tipo.

Interactivo Sucesiones de números

con signo

3

De mayor a menor Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla de la forma an + b, con a < 0.Obtener la regla algebraica que genera una sucesión de números con signo de este tipo.

Interactivo Sucesiones geométricas

con Logo Programa integrador 13


14

secuencia 18La diferencia entre dos términos consecutivos se calcula al restar a un término el térmi-no anterior, por ejemplo: 7 – 2 = 5.

La regla verbal es: sumar 5 al término anterior y el primer término es –8.

Si no se indica cuál es el primer término, se pueden obtener muchas sucesiones utilizan-do la misma regla.

iV.Una regla para obtener la sucesión –5, –2, 1, 4, 7, 10, … (es la misma que está en el

apartado Consideremos lo siguiente) es sumar al término anterior y el

primer término es

a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?

b) Completa la siguiente tabla con algunos de los términos de la sucesión.

Lugar del término Término de la sucesión

1 –5

2 –2

3 1

4 4

5 7

10

15

20

30

40

c) Para pasar del término en el lugar 30 al término en el lugar 40, se avanza 10 lu-

gares. ¿Cuánto cambia el valor del término?

d) ¿Cuál es el término que está en el lugar 50?

e) ¿Cuál es el término que está en el lugar 100?

Comparen sus respuestas y comenten cómo hicieron para encontrar todos los términos.

MAT2 B3 S18.indd 14 9/10/07 12:28:24 PM

Propósito de la actividad. Que amplíen la sucesión que trabajaron en el apartado Consideremos lo siguiente con la finalidad de que identifiquen la dificultad de encontrar cualquier término utilizando sólo una regla verbal.

Posibles procedimientos. Pueden observar que, si se avanza 5 lugares, por ejemplo del término en el lugar 5 al término en el lugar 10, el valor del término aumenta 15 y si se avanza 10 lugares, el valor del término aumenta 30.

Respuestas.

c) Aumenta 30.

d) 142.

e) 292.

22

37

52

82

112

3

3–5


Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que con distintas reglas, se obtienen sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es la misma.

15

IIMATEMÁTICAS

Lo que aprendimosResponde las preguntas para la siguiente sucesión:

–23, –16, –9, –2, 5, 12,19, ...


b) ¿Cuál es la regla verbal que nos permite obtener cada uno de los términos de la suce-sión?

nÚMEROS QUE CRECEnPara empezarEn la sesión anterior encontraste la regla verbal para una sucesión de números con signodiciendo cuánto hay que sumar a cada término para obtener el siguiente y cuál es elprimer término. En esta sesión obtendrás la regla algebraica utilizando el lugar que ocu-pa cada término.

Para la siguiente sucesión de números:

2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, …


b) Señalen con cuáles de las siguientes reglas podemos obtenerlos términos de la sucesión. La n indica el lugar del término.

• 2n + 4.

• Sumar cuatro al término anterior y el primer término es 2.

• 4n + 2.

• 4n – 2.

c) Comenten si algunas de las reglas anteriores son equivalentes.

Consideremos lo siguienteCompleta la siguiente tabla para encontrar los términos que se indican en cada sucesión:

Lugar del término

Reglas algebraicas

3n 3n + 1 3n – 7 3n – 10 3n – 16

1

2

3

4

10

100

115

Recuerden que:

• La diferencia entre dos términos

consecutivos se calcula al restar

a un término el término anterior.

• Cuando hay varias reglas para

obtener la misma sucesión de

números, se dice que son reglas

equivalentes.

SESión 2

MAT2 B3 S18.indd 15 9/10/07 12:28:26 PM

Respuestas.

a) La diferencia es 7.

b) La regla verbal es: sumar 7 al término anterior y el primer término es –23.

Propósitos de la sesión. Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla de la forma an + b, con a > 0. Obtener la regla algebraica que genera una sucesión de números con signo de este tipo.

Propósito de la actividad. Proponer reglas verbales y algebraicas en las que utilizan el lugar del término .

Respuestas.a) La diferencia es 4.

b) Hay dos respuestas correctas: 4n – 2 y sumar cuatro al término anterior y el primer término es 2.

c) Las reglas equivalentes son sumar cuatro al término anterior y el primer término es 2 y 4n – 2.

Sugerencia didáctica. En el inciso b) se espera que los alumnos identifiquen las dos reglas correctas, en caso de que sólo identifiquen una de ellas usted puede animarlos a buscar si hay otra más. Si eligen una regla incorrecta, durante la confrontación grupal pídales que identifiquen los primeros términos de la sucesión que se obtienen con esa regla.

Para el inciso c) invítelos a que justifiquen por qué consideran que tales reglas son equivalentes.

Propósito del Interactivo. Que los alumnos identifiquen que con distintas reglas, se obtienen sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es la misma.

3 4 –4 –7 –13 6 7 –1 –4 –10 9 10 2 –1 –7 12 13 5 2 –4 30 31 23 20 14 300 301 293 290 284 345 346 338 335 329


16

secuencia 18a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos en cada una de estas sucesiones?

b) Para la sucesión –5, –2, 1, 4, 7, … ¿Cuál es la regla algebraica que nos permite en-

contrar el término que está en el lugar n ?

c) ¿Aparece en esta sucesión el número 278?

Comparen sus respuestas y comenten cómo hicieron para encontrar la regla.

Manos a la obrai. Responde las preguntas sobre la sucesión que se obtiene con la regla 3n – 7.

a) Una regla equivalente para obtener esta sucesión es sumar al término

anterior y el primer término es

b) ¿Cuál es el término que está en el lugar 40?

c) ¿Cuál de las dos reglas utilizaste para encontrar ese término?


ii. Responde las preguntas sobre la sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16, …

a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión?

b) Observa las dos sucesiones

3, 6, 9, 12, 15, 18, …

1, 4, 7, 10, 13, 16, …

¿Cuál es la regla algebraica para obtener la primera sucesión (3, 6, 9, 12,

15, 18, …)?

c) Subraya la operación que debemos hacer para pasar de cada término en la prime-ra sucesión a su correspondiente término en la segunda sucesión:

• Restar 2

• Sumar 2

d) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16, …?

MAT2 B3 S18.indd 16 9/10/07 12:28:28 PM

Respuestas.a) La diferencia es 3.

b) 3n –8.

c) El número 278 no aparece en la sucesión.

Sugerencia didáctica. Si observa que algunos alumnos tienen dificultades para encontrar la regla de la sucesión –5, –2, 1, 4, 7, ... puede sugerirles que intenten encontrar los términos de otras sucesiones que tengan reglas en las que la n se multiplica por 3.

Si tienen dificultades para determinar si el número 278 está en la sucesión, usted puede sugerirles que obtengan algunos términos de la sucesión que se acerquen a 300. Un buen procedimiento es encontrar el término en el lugar 100 (es 292) y observar que 289, 286, 283, 280 y 277 sí están en la sucesión, pero 278 no.

Otra forma de resolver, es explorar si 278 resulta de la aplicación de la regla 3n – 8: a 278 se le suma 8, y el resultado se divide entre 3. Este procedimiento implica despejar a n ; no se espera que los alumnos lo resuelvan de esta manera, pero si algunos de ellos se acercan a este procedimiento, usted puede ayudarles precisando las relaciones entre los datos.

Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos comenten cómo cambian las sucesiones cuando cambia la regla, para ello usted puede preguntar cómo cambia el valor del primer término en cada una de las sucesiones.

Propósito de la actividad. Que comparen la utilidad de los dos tipos de reglas (la verbal y la algebraica) para encontrar cualquier término en la sucesión.

Respuestas.

a) Sumar 3 al término anterior y el primer término es –4.

b) 113.

d) 137.

Sugerencia didáctica. Es probable que algunos alumnos consideren que la regla algebraica es más difícil de utilizar que la regla verbal; si fuera el caso usted puede preguntarles cómo utilizarían cada una de las reglas para encontrar el término que está en el lugar 1 350. Con este ejemplo se espera que los alumnos identifiquen la utilidad de la regla algebraica.

Propósito de la actividad. Que los alumnos conozcan una forma de establecer la regla algebraica de una sucesión.

Se comparan los términos de la sucesión que se obtiene con la regla 3n con los de la otra sucesión (1, 4, 7, 10, 13, 16, …), esto se hace con la finalidad de establecer la operación que permite pasar de un término de la primera sucesión, al término que le corresponde en la segunda sucesión y de esta manera encontrar la regla algebraica para obtener la segunda sucesión. En este caso la operación que se debe hacer es restar 2 y entonces la regla algebraica para obtener la sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16, … es 3n – 2.

Es posible que algunos alumnos hayan encontrado sus propios procedimientos para obtener la regla algebraica. Se sugiere que pida a esos alumnos que pasen al pizarrón a explicar sus procedimientos.

Respuestas.


b) 3n.

c) Restar 2.

d) 3n – 2.


17

IIMATEMÁTICASIII.Observa el diagrama y responde las preguntas.

5, 10, 15, 20, 25, 30, …

6, 11, 16, 21, 26, 31, …

a) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la primera sucesión?

b) ¿Cuál es la operación que debemos hacer para pasar de cada término en la prime-

ra sucesión a su correspondiente término en la segunda sucesión?

c) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión 6, 11, 16, 21, 26, 31, …?

d) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión –15, –10, –5, 0, 5, 10, …?

Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar las reglas algebraicasy encuentren la regla verbal y la regla algebraica para obtener la sucesión –11, –6, –1, 4, 9, 14, …

A lo que llegamosEn las sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecu-tivos es una constante, podemos dar la regla algebraica multiplican-do el lugar del término por la diferencia de los términos consecutivosy sumando o restando una constante adecuada.

Por ejemplo:

En la sucesión –8, –3, 2, 7, 12, 17, …, la diferencia es de 5.

Para encontrar la regla, sabemos que para pasar de cada término en la sucesión que se obtiene con la regla 5n, a su correspondiente término en la sucesión –8, –3, 2, 7, 12, 17, …, debemos restar 13.

Entonces la regla para obtener la sucesión –8, –3, 2, 7, 12, 17, … es 5n – 13.

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Propósito de la actividad. Que los alumnos comparen la sucesión que se obtiene con la regla 5n con dos sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es 5, de esta manera lograrán obtener la regla algebraica de cada sucesión.

En la confrontación grupal usted puede pedir a un alumno que pase al pizarrón a hacer el diagrama para comparar la sucesión que se obtiene con la regla 5n con la sucesión –11, –6, –1, 4, 9, 14, …

Respuestas.

a) 5n.

b) Sumar 1.

c) 5n + 1.

d) 5n –20.

Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con sus alumnos apoyándose en el ejemplo que se muestra. Posteriormente usted puede proponer otra sucesión para que identifiquen la diferencia entre los términos consecutivos y para que establezcan la regla algebraica.


Respuestas.

a) 492.

b) No.

c) Sí.

d) 142.

e) Está en el lugar 28.

Una forma de averiguar si un número está en una sucesión determinada, es por medio de estimacio-nes: a partir de un término que ya se conoce de la sucesión y que sea cercano al término propuesto. Para obtener el lugar de un término, se puede proceder también por aproximaciones; otra forma es recurrir a la misma regla para despejar a n, por ejemplo, para encontrar el lugar del término del número 132 a partir de la regla 5n – 8, se suma 8 y luego se divide entre 5.

Sugerencia didáctica. La sucesión que se obtiene con la regla del inciso c) tiene números decimales; es importante que los alumnos practiquen el manejo de estos números al obtener la sucesión.

Respuestas.

a) –19, –11, –3, 5, 13, 21, 29, 37, 45, 53,…

b) –18, –11, –4, 3, 10, 17, 24, 31, 38, 45,…

c) –2.5, –0.5, 1.5, 3.5, 5.5, 7.5, 9.5, 11.5, 13.5, 15.5,…

18

secuencia 18iV.Para la sucesión que se obtiene con la regla 5n – 8:

a) ¿Cuál es el término que está en el lugar 100?

b) ¿El número 500 está en la sucesión?

c) ¿El número 497 está en la sucesión?


e) ¿En que lugar de término está el número 132?

Comparen sus respuestas.

Lo que aprendimos1. Encuentra los primeros 10 términos de las sucesiones que se obtienen con las si-

guientes reglas:

a) Sumar 8 al término anterior y el primer término es –19

b) 7n – 25

c) 2n – 4.5

2. Responde las preguntas para la sucesión –23, –16, –9, –2, 5, 12,19, …


b) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión?

c) La regla verbal para obtener esta sucesión es sumar al término an-

terior y el primer término es

d) ¿Cuál es el término que ocupa el lugar 78?

e) ¿En qué lugar de término está el número 201?

3. Responde a las preguntas sobre la siguiente sucesión:

–2.5, –1.5, –0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, …


b) Expresa la regla algebraica para obtener la sucesión.

c) ¿Cuál es el término que ocupa el lugar 25 en la sucesión?

d) ¿Cuál es el término que ocupa el lugar 278?

e) ¿Qué lugar ocupa el número 101.5 en esta sucesión?

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Propósito de la actividad. Que los alumnos trabajen con sucesiones en las que la diferencia entre dos términos sucesivos es 1, por lo que en la regla algebraica la n aparece sin coeficiente, al estar multiplicada por 1.

Respuestas.


b) n – 3.5

c) 21.5

d) 274.5

e) El lugar 105.

Respuestas.


b) 7n – 30.

c) Sumar 7 al término anterior y el primer término es –23.

d) 516.

e) En el lugar 37.


19

IIMATEMÁTICAS4. En la columna de la izquierda se presentan los primeros términos de algunas sucesio-

nes y en la columna de la derecha, algunas reglas. Relaciona ambas columnas.

Términos de la sucesión Reglas

( ) –10, –8, –6, –4, –2, 0, 2, 4, …

( ) –7, –3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, …

( ) –13, –8, –3, 2, 7, 12, 17, 22, …

( ) –11, –7 –3, 1, 5, 9, 13, 17, …

( ) –11, –6, –1, 4, 9, 14, 19, 24, …

( ) –8, –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, …

(a) 5n – 13

(b) 2n – 12

(c) 4n – 15

(d) 2n – 8

(e) 4n – 7

(f) 5n – 16

(g) 4n – 11

(h) 5n – 18

(i) 2n – 10

DE MAYOR A MEnORPara empezarEn la sesión anterior, encontraste reglas para sucesiones en las que los términos iban au-mentando. Ahora trabajarás con sucesiones en las que los términos van disminuyendo.

Encuentren los primeros 10 términos de la sucesión que se obtiene con la regla –4n.

¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?

Consideremos lo siguienteCompleta la siguiente sucesión de números:

6, 2, , , –10, , –18, –22, , , , …


b) Escribe una regla para encontrar el término en el lugar n.

Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar la regla y la diferen-cia entre dos términos consecutivos.

SESión 3

MAT2 B3 S18.indd 19 9/10/07 12:28:32 PM

Propósitos de la sesión. Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla de la forma an + b, con a < 0. Obtener la regla algebraica que genera una sucesión de números con signo de este tipo.

Propósito de la actividad. Que los alumnos exploren una regla algebraica en la que la n está multiplicada por un número negativo. Se espera que los alumnos generen la sucesión numérica que se obtiene al aplicar la regla –4n ; esta sucesión será importante para elaborar, posteriormente, la regla que permite encontrar el término en el lugar n.

Sugerencia didáctica. Para obtener la diferencia usted puede pedir a un alumno que pase al pizarrón a realizar la operación:

(–8) – (–4) = (–8) + 4 = –4

De esta manera, además, podrán recordar cómo se hace una resta de números negativos.

b

g

h

c

f

i

Propósito de la actividad. Proponer la regla algebraica para obtener una sucesión en la que los términos van disminuyendo.

Posible respuesta. Algunos alumnos podrían escribir Restar 4 al término anterior y el primer término es 6. Si bien esta regla es correcta, lo que se pide es el término en el lugar n y esto debe hacerse con una regla algebraica; no obstante esa regla verbal es aceptable por el momento.

Posibles errores. Algunos alumnos podrían considerar que la diferencia es de 4 y que la regla es 4n + 2. Otros más podrían considerar que la diferencia es de –4, pero pueden proponer reglas incorrectas: –4n + 2 o –4n –2. Durante la confrontación grupal puede pedirles que pasen al pizarrón a escribir los primeros términos de la sucesión que se obtienen con estas reglas e invitarlos a que discutan cuáles reglas son válidas y cuáles no.

Respuestas.

6, 2, –2, –6, –10, –14, –18, –22, –26, –30, –34, …

a) –4.

b) –4n + 10.

–4, –8, –12, –16, –20, –24, –28, –32, –36, –40

–4


Propósito de la actividad. Identificar que hay tres reglas posibles para obtener esta sucesión: dos reglas verbales y la regla algebraica. Durante la sesión se utilizan reglas verbales del tipo sumar (–4) al término anterior y el primer término es, para que identifique que, en estas sucesiones, la diferencia entre dos términos consecutivos es –4 y en la regla algebraica se multiplica la n por –4.

Respuestas.

Restar 4 al término anterior y el primer término es 6.

–4n + 10.

Sumar (–4) al término anterior y el primer término es 6.

Propósito de la actividad. Que los alumnos expresen la regla verbal para obtener una sucesión en la que los términos van disminuyen-do y que encuentren la diferencia entre dos términos consecutivos de esa sucesión.

Respuestas.

a) Van aumentando.

b) 4.

c) Van disminuyendo.

d) Restar 4 al término anterior y el primer término es 14.

e) Sumar –4 al término anterior y el primer término es 14.

f) 10 – 14 = –4.

•

•

•

20

secuencia 18

Manos a la obrai. Señala con cuáles de las siguientes reglas podemos obtener cada uno de los términos

de la sucesión.

• Sumar 4 al término anterior y el primer término es 6.

• Restar 4 al término anterior y el primer término es 6.

• –4n – 2

• –4n + 10

• 4n + 2

• Sumar (–4) al término anterior y el primer término es 6.

ii. Responde las preguntas:

a) En la sucesión –7, –3, 1, 5, 9, … ¿los términos van aumentando o disminuyendo?

b) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión?

c) En la sucesión 14, 10, 6, 2, –2, … ¿los términos van aumentando o disminuyendo?

d) Una regla verbal para obtener esta última sucesión es restar al


e) La sucesión también la podemos obtener con la regla sumar al


f) Para calcular la diferencia entre dos términos consecutivos, haz la resta del segun-

do término menos el primer término: – =

iii.Encuentra los primeros diez términos de las sucesiones que se obtienen con las reglasindicadas.

Lugar del término

Regla algebraica

–4n + 6 –4n – 2 –4n – 5

1 (–4) × 1 + 6 = (–4) × 1 − 2 = (–4) × 1 − 5 =

2 (–4) × 2 + 6 = (–4) × 2 − 2 = (–4) × 2 − 5 =

3

4

5

6

7

8

9

10

Recuerda que:

Las multiplicaciones

y divisiones se

hacen antes que las

sumas y restas.

MAT2 B3 S18.indd 20 9/10/07 12:28:35 PM

2 –6 –9 –2 –10 –13 –6 –14 –17 –10 –18 –21 –14 –22 –25 –18 –26 –29 –22 –30 –33 –26 –34 –37 –30 –38 –41 –34 –42 –45

Propósito de la actividad. Que los alumnos apliquen reglas algebraicas en las que la n está multiplicada por un número negativo.


21

IIMATEMÁTICASa) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de estas sucesiones?

b) En estas sucesiones, ¿los términos van aumentando o disminuyendo?


IV.Responde las preguntas sobre la sucesión 7, 3, –1, –5, –9, –13, …

a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión?

b) En la regla algebraica para obtener cada uno de los términos de la sucesión, debe-

mos multiplicar la n por

c) Observa las dos sucesiones:

–4, –8, –12, –16, –20, –24, …

7, 3, –1, –5, –9, –13, …

¿Cuál es la operación que debemos hacer para pasar de cada término en la prime-

ra sucesión a su correspondiente término en la segunda sucesión?

d) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión 7, 3, –1, –5, –9, –13, …?

Comparen sus respuestas. Encuentren la regla algebraica para obtener la sucesión–11, –15, –19, –23, –27, –31, …

A lo que llegamosPara las sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante:

• Si la constante es positiva, los términos van aumentando.

• Si la constante es negativa, los términos van disminuyendo.

En estas sucesiones podemos dar la regla algebraica multiplicando el lugar del término por la diferencia de los términos consecutivos y sumando o restando una constante adecuada.

Por ejemplo:En la sucesión –2, –5, –8, –11, –14, –17, –20, …., la diferencia es de –3.

Para encontrar la regla, sabemos que para pasar de cada término en la sucesión que se obtiene con la regla –3n, a su correspondiente término en la sucesión –2, –5, –8, –11,–14, –17, –20, …, debemos sumar 1.

Entonces la regla para obtener la sucesión –2, –5, –8, –11, –14, –17, –20, … es –3n + 1.

MAT2 B3 S18.indd 21 9/10/07 12:28:38 PM

Respuestas.

a) La diferencia es –4.

b) Van disminuyendo.

Propósito de la actividad. Que los alumnos comparen la sucesión que se obtiene con la regla –4n con la sucesión 7, 3, –1, –5, –9, –13, ..., para obtener la regla algebraica de la sucesión que se les presenta.

Respuestas.

a) –4.

b) –4.

c) Sumar 11.

d) –4n + 11.

Respuesta.

La regla es –4n –7.

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que regresen al problema del apartado Considere-mos lo siguiente y que apliquen el mismo procedimiento que se plantea en la actividad IV para verificar si la regla que propusieron es correcta o no.

Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con los alumnos, posteriormente puede pedirles que escriban en sus cuadernos otras sucesiones y sus reglas algebraicas en las que la diferencia sea negativa.


Respuestas.

a) 23, 17, 11, 5, –1, –7, –13, –19, –25, –31.

b) –6n + 29.

c) 7, 2, –3, –8, –13, –18, –23, –28, –33, –38.

d) Sí son equivalentes.

Sugerencia didáctica. Si los alumnos tienen dificultades usted puede pedirles que obtengan los primeros términos de cada sucesión. Una manera algebraica de ver que son equivalente es transformando la segunda expresión en una suma: 23 – 6n = 23 + (–6n) = –6n + 23.

Respuesta.

Son equivalentes.

Sugerencia didáctica. Usted puede pedirles a dos alumnos que pasen al pizarrón a obtener los primeros términos de cada sucesión. Otra manera de verlo es:

7 – n = 7 + (–n) = –n + 7.

Respuestas.

a) Van aumentando.

b) 5.

c) 5n – 17.

d) Sumar 5 al término anterior y el primer término es –12.

e) Van disminuyendo.

f) –5.

g) –5n.

h) Sumar –5 al término anterior y el primer término es –5.

22

secuencia 18V. Responde las preguntas.

a) Encuentra los primeros 10 términos de la sucesión que se obtiene con la reglasumar (–6) al término anterior y el primer término es 23.

b) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión?

c) ¿Cuáles son los primeros 10 términos de la sucesión que se obtiene con la regla

–5n + 12?

d) ¿Son equivalentes las reglas –6n + 23 y 23 – 6n? Explica tu respuesta:

Comparen sus respuestas. Comenten si son equivalentes las reglas 7 – n y –n + 7.

Lo que aprendimos1. Responde las preguntas.

a) ¿En la sucesión –12, –7, –2, 3, 8, 13, … los términos van aumentando o disminu-

yendo?

b) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos en la sucesión?

c) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión?

d) Otra regla para obtener la sucesión es sumar al término anterior y

el primer término es

e) ¿En la sucesión –5, –10, –15, –20, –25, –30, … los términos van aumentando o

disminuyendo?

f) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos en la sucesión?

g) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión?

h) Otra regla para obtener la sucesión es sumar al término anterior y

el primer término es

2. Encuentra los primeros 10 términos de la sucesión que se obtiene con la regla –n – 18.Indica la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión.

MAT2 B3 S18.indd 22 9/10/07 12:28:38 PM

Integrar al portafolios. Considere los problemas 2, 3 y 4 para evaluar los aprendizajes de los alumnos.

Respuestas problema 2.

Primeros 10 términos de la sucesión: –19, –20, –21, –22, –23, –24, –25, –26, –27, –28.

La diferencia entre dos términos sucesivos es –1.


23

IIMATEMÁTICAS3. Encuentra una regla para las siguientes sucesiones:

a) Que el segundo término sea 7 y el cuarto término sea 19.

b) Que el tercer término sea 1 y el sexto término sea –14.

4. En la columna de la izquierda se presentan algunas reglas algebraicas y en la colum-na de la derecha, algunas reglas verbales. Relaciona las columnas con las reglas equi-valentes.

Regla algebraicas Reglas verbales

( ) 4n – 12

( ) –4n – 8

( ) –7n + 10

( ) 7n – 10

( ) –4n – 12

( ) 7n – 4

(a) Sumar (–7) al término anterior y el primer término es 10

(b) Sumar 4 al término anterior y el primer término es –12

(c) Sumar 7 al término anterior y el primer término es –3

(d) Sumar (–4) al término anterior y el primer término es –16

(e) Sumar (–7) al término anterior y el primer término es 3

(f) Sumar 7 al término anterior y el primer término es 3

(g) Sumar 4 al término anterior y el primer término es −8

(h) Sumar (−4) al término anterior y el primer término es −12

5. Para conocer más sucesiones de números con signo pueden ver el programa Sucesio-nes de números con signo.

Para saber más

Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Ruiz, Concepción y Sergio de Régules. El piropo matemático, de los números a las estrellas. México: SEP/Edi-torial Lectorum, Libros del Rincón, 2003.

Sobre las sucesiones de números con signo consulta:http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Bach_HCS_2/Sucesiones_numeros_reales_limites/Progresiones_aritmeticas.htm[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España.

Explora las actividades del interactivo Sucesiones geométricas con Logo.

MAT2 B3 S18.indd 23 9/10/07 12:28:39 PM

Propósito de la actividad. Este problema presenta un grado de dificultad mayor, pues no se conocen dos términos consecutivos; este tipo de problemas permite que los alumnos exploren otros aspectos de las sucesiones numéricas y de las reglas que las determinan; en este caso, les permite indagar sobre las condiciones presenta-das que establecen la diferencia entre dos términos consecutivos.

Posibles procedimientos. Una estrategia para resolver es calcular cuánto cambió el valor de los términos considerando el número de lugares entre un término y otro: en la primera sucesión, la diferencia entre 7 y 19 es 12 unidades, y hay 2 lugares entre ambos términos: 12 ÷ 2 = 6 ; la diferencia entre dos términos consecutivos es 6. La sucesión es 1, 7, 13, 19, 25, 31, … En la segunda sucesión, entre 1 y –14 se disminuye 15 unidades, y hay 3 lugares entre esos dos términos: –15 ÷ 3 = –5 ; la diferencia entre dos términos consecutivos es –5. La sucesión es 11, 6, 1, –4, –9, –14, –19, …

Respuestas:

a) Regla verbal: sumar 6 al término anterior y el primer término es 1. Regla algebraica: 6n – 5.

b) Regla verbal: sumar –5 al término anterior y el primer término es 11. Regla algebraica: –5n + 16.

Propósito del programa integrador 13. Ejemplificar cómo se construye una sucesión de números con signo a partir de una regla dada y mostrar cómo se obtiene la regla que genera una sucesión de este tipo.

Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.

g

h

e

c

d

f

Propósito del interactivo. Explorar y construir sucesiones geométricas.


24

secuencia 19

Ecuaciones deprimer grado

En esta secuencia resolverás problemas que impliquen el plantea-miento y resolución de ecuaciones con una incógnita.

Piensa un númeroPara empezar• El jugador A piensa un número y sin mostrarlo al jugador B, lo escribe en el cuadro

entrada. Después realiza las operaciones indicadas y le dice a B el número que obtu-vo en el cuadro salida.

Entrada

Súmale 12

Salida

Multiplícalo por 10

Diagrama 1

• El jugador B tiene que encontrar el número que el jugador A escribió en la entrada y decírselo.

• Cuando el jugador B acierte, cambian los papeles y juegan otro turno.

Consideremos lo siguienteLos números de la siguiente tabla resultaron de aplicar las operaciones del diagrama anterior. Escriban los números de entrada correspondientes.

Nombre Entrada Salida

Brenda 53 542

Saúl 69 702

Jesús 824.5

Raúl 4

Comparen sus respuestas y expliquen cómo las obtuvieron.

sesión 1

MAT2 B3 S19.indd 24 9/10/07 12:29:11 PM

Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de la forma ax + b = c, invirtiendo las operaciones y el orden en que aparecen.

Sugerencia didáctica. Con la finalidad de que las reglas queden claras, inicie usted el juego “adivinando” los números que piensen dos o tres de sus alumnos. Primero puede pedir a los alumnos que piensen números naturales de 1 o 2 cifras, posteriormente puede indicarles que utilicen números decimales y negativos.

Propósito de la sesión en el aula de medios. Resolver ecuaciones de primer grado de la forma ax + b = c.


Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos puedan identificar que, para obtener el número de entrada, es necesario invertir las operaciones: al número que se obtiene en la salida, se le resta 12 y luego se divide entre 10.

Posibles dificultades. En caso de que algunos alumnos hayan optado por un procedimiento erróneo, ese procedimiento encontrará sus limitaciones en el caso de Raúl, pues el número de entrada es negativo.

Respuestas.

Jesús: 81.25

Raúl: –0.8

Eje

Sentido numérico y pensamiento algebraico.

Tema

Significado y uso de las literales.

Antecedentes

En Matemáticas I, los alumnos aprendieron a resolver ecuaciones de la forma a + x = b, ax = b y ax + b = c, con coeficientes enteros positivos. En esta secuencia aprenderán a plantear y resolver ecuaciones de la forma ax + b = cx + d y con parénte-sis, con coeficientes enteros o fraccionarios, enteros y negativos.

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones con una incógnita.


1

Piensa un número Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de la forma ax + b = c, invirtiendo las operaciones y el orden en que aparecen.

Aula de medios Ecuaciones (2)

(Hoja de cálculo)

2

El modelo de la balanza Resolver problemas que impliquen el planteamiento y reso-lución de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d, utilizando las propiedades de la igualdad.

Video La balanza Interactivo

Resolución de ecuaciones Aula de medios

Números perdidos (Calculadora)

3

Más allá del modelo de la balanza Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d y con paréntesis, con coeficientes enteros y fraccionarios, positivos y negativos.

4

Miscelánea de problemas Aplicar lo aprendido en las tres primeras sesiones mediante la solución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado.

Programa integrador 14


25

IIMATEMÁTICAS

Manos a la obraI. Consideren que el número de Salida es 72. Escriban los números que deben ir en el

círculo azul y en el cuadro rojo.

72

Entrada

Súmale 12

Salida

Multiplícalo por 10

Diagrama 2

a) ¿Qué operación hicieron con el número 72 para encontrar el número que va en el

círculo azul?

b) ¿Qué operación hicieron con el número del círculo azul para encontrar el número

del cuadro de Entrada?

c) Completen el siguiente diagrama escribiendo las operaciones que hicieron para encontrar los números faltantes.

824.5

Entrada Salida

Diagrama 3

II. Completen el siguiente diagrama.

8

Entrada Salida

Súmale 12Multiplícalo por 10

MAT2 B3 S19.indd 25 9/10/07 12:29:12 PM

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen la regla que permite encontrar el número de Entrada.

Respuestas.

a) Restar: 72 – 12 = 60

b) Dividir: 60 ÷ 10 = 6

Sugerencia didáctica. Aclare a los alumnos que las líneas punteadas indican el procedimiento “de regreso” para encontrar el número inicial.

Divídelo entre 10 Réstale 12


26

secuencia 19iii. Consideren la siguiente adivinanza:

Pensé un número. Lo llamé p, le resté 5, el resultado lo dividí entre 4 y obtuve 2.75.

a) ¿Cuál de los siguientes diagramas sirve para encontrar el valor de p?

Diagrama 1 p 2.75

Réstale 5Divídelo entre 4


Diagrama 2 p 2.75

Divídelo entre 4Réstale 5

Multiplícalo por 4Súmale 5

Diagrama 3 p 2.75



b) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la adivinanza? Subráyenla.

• p4

+ 5 = 2.75

• p – 54

= 2.75

• (p − 5) 4 = 2.75

c) ¿Cuál es el valor de p ?

Comparen sus respuestas y verifiquen sus soluciones usando el diagrama que escogieron.

Recuerden que:

Una ecuación es una igualdad donde hay

un valor desconocido llamado incógnita.

Resolver la ecuación significa encontrar el

valor de la incógnita.

MAT2 B3 S19.indd 26 9/10/07 12:29:13 PM

Respuestas.

a) Diagrama 2

b) p – 54

= 2.75

c) 16

Sugerencia didáctica. Organice la comparación de resultados empezando por pedir el valor de p y revise con todo el grupo que, con las operacio-nes indicadas, se obtenga 2.75. Para verificar que la ecuación que señalaron es la correcta, puede pedir a tres alumnos que pasen al pizarrón a sustituir la p por el valor encontrado.

El valor de p es 16,

En la primera ecuación p 4

+ 5 = 2.75, se obtiene 16

4 + 5 = 4 + 5 = 9. No es igual a 2.75

En la segunda ecuación p – 54

= 2.75, se obtiene 16 – 5

4 = 11

4 = 2.75

En la tercera ecuación (p – 5) × 4 = 2.75, se obtiene (16 – 5) × 4 = 11 × 4 = 44. No es igual a 2.75

Aproveche este momento para precisar que es necesario invertir las operaciones que se indican en el diagrama 2; esto puede verse de manera más clara en el apartado A lo que llegamos.


27

IIMATEMÁTICAS

A lo que llegamosLa ecuación 10y + 12 = 4 se puede resolver haciendo un diagrama e invirtiendo las operaciones de la siguiente manera.

Con lenguaje algebraico, se escribe: Haciendo un diagrama, se escribe:

10y + 12 = 4 y 10y + 12 = 4

+ 12× 10

10y

10y = 4 – 12

10y = –8

y 10y + 12 = 4

+ 12× 10

10y

– 12

y = (–8) ÷ 10

y = –0.8

y 10y + 12 = 4

+ 12× 10

10y

– 12÷ 10

IV. Completen el siguiente diagrama para resolver la ecuación 6x + 22 = 4.

¿Cuál es el valor de x? x = x 4

Sumar 22Multiplícalo por 6

6x

Comparen sus respuestas y verifiquen sus soluciones usando el diagrama que escogieron. Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente. Para cada renglón de la tabla escriban la ecuación correspondiente considerando que x es el número de entrada. Resuelvan la ecuación y verifiquen si es el resultado que habían obtenido.

MAT2 B3 S19.indd 27 9/10/07 12:29:14 PM

Respuestas.

Se resta 22 y después se divide entre 6. El valor de x es –3.

Sugerencia didáctica. Durante la confronta-ción, usted puede escribir los dos pasos para resolver la ecuación

6x + 22 = 4

6x = 4–22 Primer paso

6x = –18

x = –186

Segundo paso

x = – 3

Sugerencia didáctica. Solicite a los alumnos que realicen la verificación en sus cuadernos. Para verificar pueden utilizar el diagrama o pueden sustituir por el valor de y.

Verificación. En la ecuación 10y + 12 = 4, se sustituye la y por −0.8.

10 (-0.8) + 12 = (−8) + 12 = 4.


28

secuencia 19

Lo que aprendimos1. Planteen y resuelvan la ecuación que corresponde al siguiente diagrama:

a) Ecuación:

b) ¿Cuál es el valor de p ? p =

2. Resuelvan la ecuación 7x + 18 = 31. Verifiquen las soluciones.

eL MODeLO De LA BALAnZAPara empezarLa balanza

El modelo de la balanza nos permite representar y resolver ecuaciones. Para ello es nece-sario que las acciones que se realicen en ambos lados de la balanza mantengan siempre el equilibrio.

Consideremos lo siguienteLa siguiente balanza está en equilibrio. En ella se colocaron anillos y pesas de un gramo 1 . El peso de los anillos no se conoce, pero todos los anillos pesan lo mismo.

=

Figura 1

¿Cuánto pesa cada anillo?

Comparen sus respuestas y comenten cómo encontraron el valor de cada anillo.

sesión 2

p 34.5


MAT2 B3 S19.indd 28 9/10/07 12:29:15 PM

Respuestas.

a) p 4

– 5 = 34.5

b) 158

Sugerencia didáctica. En caso de que los alumnos tengan dificultades para plantear la ecuación, usted puede, con la participación de todo el grupo, hacer el planteamiento:

p 4

– 5 = 34.5

p 4

= 34.5 +5 = 39.5

p = 4 x 39.5 = 158

Respuesta.

x = 13 7

Verificación:

7 ( 137

) + 18 =

13 + 18 = 31

Sugerencia didáctica. La verificación se puede hacer usando el diagrama.

Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d, utilizando las propiedades de la igualdad.

Descripción del video. Se muestra cómo en una balanza pueden representarse ecuaciones de primer grado y resolverlas manteniendo siempre el equilibro. Conviene que se observe el video antes de comenzar la actividad para que los alumnos vean cómo funciona una balanza para mantener el equilibrio y después trasladar el ejemplo aplicando las propiedades de la igualdad.

Propósito de la sesión en el aula de medios. Resolver problemas que impliquen el plantea-miento y resolución de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d, utilizando las propiedades de la igualdad.


Propósito del interactivo. Que los alumnos se familiaricen con el modelo de la balanza para resolver ecuaciones.

Posibles procedimientos. Los alumnos pueden resolver el problema si identifican que la diferencia entre el lado izquierdo y el derecho de la balanza es de 4 anillos, y si consideran las 2 pesas de un gramo de la balanza izquierda: El peso de los 4 anillos equivale a las 22 pesas de un gramo del lado derecho, menos las 2 pesas de un gramo del lado izquierdo. Esto es cada anillo pesa 5 gramos.

Un posible error es que dividan los 22 gramos entre los 4 anillos sin considerar las 2 pesas que ya están del lado izquierdo.

Sugerencia didáctica. Invite a los alumnos a comentar cómo es y para qué sirve una balanza, de ser posible lleve una balanza.

Comente también con los alumnos qué quiere decir que la balanza se mantenga en equilibrio


29

IIMATEMÁTICAS

Manos a la obraI. ¿Cuáles de las siguientes acciones mantendrían la balanza en equilibrio? Subráyenlas.

Pasar un anillo del lado izquierdo al lado derecho.

Quitar 1 anillo de ambos lados.

Cambiar un anillo por una pesa de 1 gramo en el lado derecho.

Quitar el mismo número de pesas de 1 gramo en ambos lados.

Quitar 1 pesa de 1 gramo en ambos lados.

Comparen sus respuestas y comenten porqué creen que mantienen el equilibrio de la balanza.

II. A continuación se presenta una nueva situación con la balanza, completa lo que se te pide para hallar el peso de estos otros anillos.

a) ¿Cuántas pesas de 1 gramo se pueden qui-

tar de cada lado sin que la balanza pierda el

equilibrio?

b) Ahora, ¿cuántos anillos del mismo peso pue-

den quitarse de cada lado sin que se altere el

equilibrio de la balanza?

Después de quitar las pesas de 1 gramo y los ani-llos del mismo peso,

c) ¿cuántos anillos quedan del lado izquierdo de

la balanza?

d) ¿Cuántas pesas de 1 gramo quedan del lado derecho?

e) Si dos anillos pesan 28 gramos, ¿cuántos gra-

mos pesa cada anillo?

•

•

•

•

•

MAT2 B3 S19.indd 29 9/10/07 12:29:17 PM

Respuesta. La segunda, cuarta y quinta acciones son correctas.

Sugerencia didáctica. Propicie que los alumnos concluyan que, para mantener el equilibrio de la balanza, se tiene que hacer la misma acción en ambos lados.

También puede ilustrar cómo se pierde el equilibrio haciendo acciones diferentes en ambos lados.

Respuestas.

a) 2

b) 1

c) 2

d) 28

e) 14 gramos


30

secuencia 19Comparen sus respuestas. Verifíquenlas sustituyendo el peso de los anillos en la ba-lanza. Después lean con ayuda de su profesor la siguiente información.

A lo que llegamosPara encontrar un peso desconocido en el modelo de la balanza se realizan las mismas acciones en ambos lados de la balanza de manera que siempre se mantenga el equilibrio.

En la siguiente balanza se tiene representada la ecuación:

6x + 3 = 2x + 15

Donde x representa el peso de un cubo.

Para encontrar x se pueden quitar de ambos lados 3pesas de 1 gramo.

6x + 3 – 3 = 2x + 15 – 3

6x = 2x + 12

Después, se pueden quitar de ambos lados 2 cubos.

6x – 2x = 2x + 12 – 2x4x = 12

Al final, el peso de se puede encontrar dividiendo las 12 pesas de 1 gramo entre 4.

x = 124

= 3

Cada cubo pesa 3 gramos.

MAT2 B3 S19.indd 30 9/10/07 12:29:19 PM

Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos por qué en este caso conviene quitar en ambos lados 3 pesas de un gramo y por qué conviene quitar 2 cubos en ambos lados. Esto se hace para que de un lado de la balanza sólo queden cubos y del otro lado sólo queden pesas.

Después de que revisen la información en este apartado puede indicarles que, para verificar la solución, es necesario sustituir la x por el valor encontrado.

Verificación: El valor de x es 3, al hacer la sustitución se obtiene, del lado izquierdo, 6 (3) + 3 = 21, y del lado derecho, 2(3) + 15 = 21. Como en ambos lados se obtiene el mismo resultado, esto quiere decir que el valor de x encontrado es la solución de la ecuación.

Solicite a los alumnos que realicen en sus cuadernos la verificación de la solución de la segunda ecuación.

Propósito del interactivo. Mostrar dinámica-mente que, para mantener el equilibrio en la balanza se necesitan realizar las mismas acciones en ambos lados.


31

IIMATEMÁTICAS

Resolvamos otro ejemplo, la ecuación 4x + 75 = 13x + 3.

Primero se puede restar 3 de ambos lados:

4x + 75 – 3 = 13x + 3 – 3

4x + 72 = 13x

Después, se puede restar 4x de ambos lados:

4x + 72 – 4x = 13x – 4x72 = 9x

Finalmente el valor de la incógnita se encuentra dividiendo 72 entre 9.

x = 729

= 8

III. El método de la balanza también se puede usar con números decimales y fracciona-rios, por ejemplo, la ecuación:

3.2x + 9 = 5.7x + 1.5

a) ¿Qué número pueden restar en ambos lados de la ecuación para eliminar uno de

los términos numéricos? Escriban cómo queda la ecuación:

b) ¿Cuál expresión con la letra x pueden restar en ambos lados de la ecuación ante-

rior para que sólo quede un término numérico y un término con la incógnita x ?

Escriban cómo queda la ecuación:

c) ¿Cuál es el valor de x?

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros, observen cómo pueden restar términos en diferente orden pero, si lo hacen correctamente, todos llegan al mismo resultado.

Lo que aprendimosResuelve las siguientes ecuaciones utilizando el método de la balanza:

a) 4x + 3 = 2x + 5

b) 3x + 1 = x + 5

c) x + 10 = 5x + 2

d) 32 x + 1 = x + 2

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Respuestas.

Los pasos para resolver la ecuación son los siguientes:

Se resta 1.5

3.2x + 9 – 1.5 = 5.7x + 1.5 – 1.5

Queda 3.2x + 7.5 = 5.7x

Se resta 3.2x

3.2x + 7.5 – 3.2x = 5.7x – 3.2x

Queda 7.5 = 2.5x

Se divide ambos lados entre 2.5

x = 3

En el modelo de la balanza, en el primer paso no se puede restar 9 y en el segundo paso no se puede restar 5.7x, porque de un lado quedaría una cantidad negativa, y esto no tiene sentido en una balanza. Al resolver ecuaciones si puede hacerse, pero es más conveniente realizarlo del modo mostrado, porque de esta manera se evita trabajar con signos negativos.

Sugerencia didáctica. En la confrontación grupal pida a los alumnos que hagan la verificación. Ésta se hace al resolver las operaciones separando los lados de la igualdad como se muestra:

Lado izquierdo:

3.2(3) + 9 = 9.6 + 9 = 18.6

Lado derecho:

5.7(3) + 1.5 = 17.1 + 1.5 = 18.6

Propósito del interactivo. Expresar algebraica-mente las transformaciones que se hacen en la balanza.

Respuestas.

a) x = 1

b) x = 2

c) x = 2

d) x = 2

Sugerencia didáctica. Se sugiere darle una atención especial a la ecuación del inciso d)

3 2

x + 1 = x + 2

3 2

x + 1 –1 = x + 2 – 1

3 2

x = x + 1

3 2

x – x = x + 1 – x

1 2

x = 1

x = 2, porque la mitad de 2 es 1.

Integrar al portafolios. Diga a los alumnos que le den una copia de sus respuestas a estos cuatro incisos. Si lo considera necesario, propóngales otras ecuaciones para practicar la resolución por el modelo de la balanza.


32

secuencia 19

MÁs ALLÁ DeL MODeLO De LA BALAnZAPara empezarEn la sesión anterior resolviste algunas ecuaciones mediante el modelo de la balanza. En esta sesión resolverás ecuaciones con coeficientes negativos, con paréntesis y con deno-minadores.

Consideremos lo siguienteDurante un juego de adivinaza de números, Luis y Ana pensaron un mismo número, hi-cieron diferentes operaciones y al final obtuvieron el mismo resultado.

Luis pensó un número, lo multiplicó por 3 y al resultado obtenido le sumó 5.

Ana pensó el mismo número que Luis, lo multiplicó por 2, al producto obtenido le restó 3 y obtuvo el mismo resultado final que Luis.

Hicieron un diagrama y les quedó de la siguiente manera.

Entrada

+ 5

Salida

× 3

– 3× 2

a) ¿Qué ecuación puede plantearse para encontrar el valor de x?

b) ¿Cuál fue el número que pensaron Luis y Ana?

Comparen sus respuestas y comenten sus procedimientos.

Manos a la obrai. Relaciona los diagramas siguientes de la columna derecha con su correspondiente

ecuación en la columna izquierda.

•

•

sesión 3

MAT2 B3 S19.indd 32 9/10/07 12:29:21 PM

Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d y con paréntesis, con coeficientes enteros y fracciona-rios, positivos y negativos.

Propósito de la actividad. Que a partir de dos ecuaciones que se plantean a través de dos diagramas, los alumnos exploren la posibilidad de plantearlas en una sola ecuación.

Sugerencia didáctica. Es posible que sean pocos los alumnos que logren plantear la ecuación que se les solicita; lo importante en este momento es que puedan comprender la situación y que exploren alguna forma de plantearla; en las actividades del siguiente apartado podrán verificar y, si es necesario, corregir sus respuestas.

Respuestas.

a) 3x + 5 = 2x – 3

b) –8


33

IIMATEMÁTICAS

( ) (3x ) (2) = 5x – 3

( ) 3x + 2x = 5 – 3

( ) 3x + 2 = 5x – 3

( ) 3x + 5 = 2x – 3

Entrada

+ 5

Salida

× 3

– 3× 2

Diagrama A

Entrada

× 2

Salida

× 3

– 3× 5

Diagrama B

Entrada

+ 2

Salida

× 3

– 3× 5

Diagrama C

II. El método de la balanza se puede utilizar para resolver la ecuación:

3x + 5 = 2x – 3

Para eso hay que realizar siempre las mismas operaciones en ambos lados de la ecua-ción de manera que se conserve la igualdad. Contesta lo que se te pide.

a) Resta 5 en ambos lados de la ecuación 3x + 5 – = 2x – 3 –

b) Reduce los términos semejantes: =

MAT2 B3 S19.indd 33 9/10/07 12:29:22 PM

Respuestas.

( B ) (3x ) × (2) = 5x – 3

( ) 3x + 2x = 5 – 3

( C ) 3x + 2 = 5x – 3

( A ) 3x + 5 = 2x – 3

Propósito de la actividad. Que los alumnos logren identificar el tipo de ecuaciones que pueden resolver utilizando el modelo de la balanza.

Respuestas.

a) 3x + 5 – 5 = 2x – 3 – 5

b) 3x = 2x – 8


34

secuencia 19c) ¿Qué te conviene hacer para que del lado izquierdo del igual quede sólo x?

Si lo haces, ¿cómo queda la ecuación?

d) ¿Cuál es el número que pensaron Luis y Ana?

Comparen sus soluciones. Verifíquenlas sustituyendo el valor de x en el diagrama de Ana y Luis.

A lo que llegamosPara solucionar cualquier ecuación usando el modelo de la balanza hay que conservar la igualdad realizando las mismas operaciones en ambos lados de la ecuación.

Por ejemplo, al resolver la ecuación: 3x + 5 = 6 + (–2x )

• Para eliminar el término +5 se resta 5en ambos lados de la igualdad.

3x + 5 – 5 = 6 + (–2x ) – 5

• Se reducen los términos semejantes 3x = 1 + (–2x )

• Para eliminar el término –2x se suma 2xen ambos lados de la igualdad.

3x + 2x = 1 + (–2x)+ 2x

• Se reducen los términos semejantes 5x = 1

• Finalmente, se divide 1 entre 5 para encontrar el valor de x.

x = 15

iii. No siempre se puede usar de manera inmediata el modelo de la balanza para resol-ver ecuaciones. En ocasiones hay que hacer operaciones antes de comenzar a elimi-nar términos.

Por ejemplo, para resolver la ecuación

5 (2x – 3) = 6x +14

a) Primero se puede hacer la multiplicación que indica el paréntesis. Completa:

5 (2x – 3) = 6x +14

– = 6x + 14

MAT2 B3 S19.indd 34 9/10/07 12:29:23 PM

Respuestas.

c) El término que conviene restar en ambos lados es 2x.

d) –8

Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información junto con sus alumnos; posterior-mente presente otro ejemplo.

Propósito de la actividad. Que los alumnos sepan cómo trabajar con el modelo de la balanza cuando se les presentan ecuaciones con paréntesis.

Respuesta.

a) 10x – 15 = 6x + 14


35

IIMATEMÁTICASb) Encuentra el valor de x y verifícalo.

x =

IV. Para resolver la ecuación:

y – 45

=y + 1

3

a) Se pueden aplicar los productos cruzados para “eliminar” los denominadores.

y – 45

=y + 1

3= 3 (y – 4) = 5 (y + 1)

b) Realiza las multiplicaciones indicadas y encuentra el valor de y . Verifícalo.

y =

Comparen sus soluciones.

Lo que aprendimos1. Juan pensó un número y lo introdujo en la entrada del siguiente diagrama compues-

to. Por ambas rutas obtuvo el mismo resultado.

Entrada

× 7

Salida

– 1

× 3+ 6

Recuerda que:

Si 2 fracciones son equivalentes, entonces

sus productos cruzados son iguales.

AB

= CD

entonces

AD = BC

MAT2 B3 S19.indd 35 9/10/07 12:29:24 PM

Respuesta.

b) x = 7.25

Posibles procedimientos. Esta ecuación se puede resolver de varias formas:

Para evitar signos negativos en el coeficiente del término de primer grado.

3y –12 = 5y + 5

3y – 12 – 5 = 5y + 5 –5

3y – 17 = 5y

3y–17–3y = 5y –3y

–17 = 2y

y = – 172 = –8.5

Para que el término de primer grado quede en el lado izquierdo

3y –12 = 5y + 5

3y – 12 +12 = 5y + 5 + 12

3y = 5y + 17

3y – –5y = 5y + 17 –5y

– 2y = + 17

y = – 172 = –8.5

•

•

Sugerencia didáctica. Lea y comente junto con los alumnos la información del Recuerda que; esta información es importante porque permite justificar el procedimiento para eliminar los denominadores en dos fracciones equivalentes.


Respuestas.

a) (p – 1) (7) = (p + 6) (3)

b) 6.25

Respuestas.

a) 3x + 12 = –5x – 36

8x = –48

x = –6

b) 5r + 30 = –5r + 20

10r = –10

r = –1

c) 9z – 54 = 4z + 16

5z = 70

z = 14

Propósito de la sesión. Aplicar lo aprendido en las tres primeras sesiones mediante la solución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado.

36

secuencia 19a) ¿Cuál es la ecuación que hay que resolver?

b) ¿Qué número fue el que pensó Juan?

2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 3(x + 4) = – 5x – 36

b)r + 6– 5

=r – 4

5

c)z – 6

4=

z + 49

MISCELÁNEA DE PROBLEMASLo que aprendimosResuelve los problemas siguientes mediante el planteamiento y resolución de una ecuación.

1. El hexágono rojo y el rectángulo azul tienen igual perímetro. Contesta lo que se te pide para encontrar el perímetro de cada figura.

a 2x – 1 B

c

De

x

FaB = De

Bc = cD = eF = Fa

2x + 4.5

x

SESIÓN 4

MAT2 B3 S19.indd 36 9/10/07 12:29:25 PM

Sugerencia didáctica. Aclare a los alumnos que x representa la medida en centímetros del ancho del rectángulo.

Integrar al portafolios. Considere el problema 1 para evaluar los aprendizajes de los alumnos.


37

IIMATEMÁTICASa) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro del hexágono?

b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro del rectángulo?

c) ¿Cuál es la ecuación que hay que resolver para encontrar el valor de x?

d) Resuelve la ecuación anterior en tu cuaderno. ¿Cuál es el valor de x?

e) ¿Cuál es el perímetro del rectángulo?

f) ¿Cuál es el perímetro del hexágono?

2. Para cultivar y mantener una hectárea de jitomate se invierte en planta, fertilizante, fumigante y agua de riego cinco veces lo que se invierte en mano de obra. El costo total por hectárea es $80 000.00.

Ecuación:

¿Cuánto dinero cuesta la mano de obra para cultivar y atender 3.5 hectáreas de jito-mate?

3. Un avión que vuela a una velocidad de 1 040 kilómetros por hora, va a alcanzar a otro que lleva una delantera de 5 horas y está volando a 640 kilómetros por hora. ¿Cuánto tardará el primer avión en alcanzar al segundo?

Ecuación:

4. La edad actual de José es 38 de la de su hermano, y dentro de 4 años tendrá 1

2 de la que entonces tenga su hermano. ¿Cuál es la edad actual del hermano?

Ecuación:

5. Una cancha de volibol se encuentra dentro de una cancha de basquetbol. El largo de la cancha de volibol es el doble de su ancho.

2x

x

MAT2 B3 S19.indd 37 9/10/07 12:29:25 PM

Respuestas.

a) 2(2x – 1) + 4x = 4x – 2 + 4x = 8x – 2

b) 2(x + 4.5) + 2x = 2x + 9 + 2x = 4x + 9

c) 8x – 2 = 4x + 9

d) 11 4

= 2.75

e) 20

f) 20

Sugerencia didáctica. En los problemas 2, 3 y 4 se propone una ecuación para resolverlos, pero no es necesario que los alumnos utilicen la misma ecuación o la misma variable. Incluso podrían resolverlos con otros métodos, sin utilizar explícitamente las ecuaciones. Lo importante en estos problemas es que los alumnos intenten encontrar la solución y que sean capaces de argumentar sus respuestas, aún cuando éstas sean incorrectas.

Respuesta.

$ 46,666.66

Respuesta.

8 horas.

Respuesta.

16 años.

5x + x = 280 000

1 040t = 640t + 3 200

3 8

h + 4 = 1 2

(h + 4)


38

secuencia 19Las medidas de ambas canchas se relacionan como sigue:

El largo de la cancha de basquetbol es 10 metros mayor que el largo de la cancha de volibol.

El ancho de la cancha de basquetbol es 6 metros, mayor que el ancho de la cancha de volibol.

El área de la cancha de basquetbol es 258 m2 mayor que el área de la cancha de volibol.

Contesta lo que se te pide para encontrar cuáles son las medidas de cada cancha.

La letra x representa la medida del ancho de la cancha de volibol.

a) ¿Cómo se representa la medida del largo de la cancha de volibol?

b) ¿Cómo se representa el área de la cancha de volibol?

c) ¿Cómo se representa la medida del ancho de la cancha de basquetbol?

d ) ¿Cómo se representa la medida del largo de la cancha de basquetbol?

e) ¿Cómo se representa el área de la cancha de basquetbol?

f) ¿Qué ecuación representa la relación “El área de la cancha de basquetbol es 258 m2

mayor que el área de la cancha de volibol”?. Complétala y resuélvela.

Pista: el término 2×2 se elimina en ambos lados de la igualdad.

(2x + 10) (x + 6) = 258 +

g) Completa la tabla siguiente para verificar tu solución.

Cancha Largo Ancho Área

Volibol

Basquetbol

6. Para conocer más sobre la solución de ecuaciones pueden ver el programa ecuacio-nes de primer grado en la vida cotidiana.

•

•

•

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Respuestas. En este problema se espera que los alumnos encuentren dos expresiones para el área de la cancha de básquetbol.

a) 2x

b) 2x 2

c) 2x +10

d) x + 6

e) (2x + 10) (x + 6) = 2x 2 + 22x + 60

Aquí los alumnos podrían escribir como respuesta:

2x 2 + 258, lo cual es correcto.

Si los alumnos dan esta respuesta se sugiere usted pregunte:

¿Qué obtienen al multiplicar el largo de la cancha de básquetbol por su ancho?

(2x + 10) (x + 6)

Esto permitirá a los alumnos encontrar otra expresión equivalente al área:

2x 2 + 22x + 60.

Lo que lleva a establecer la ecuación:

2x 2 + 22x + 60 = 2x 2 + 258

2x 2 + 22x + 60 – 2x 2 = 2x 2 + 258 – 2x 2

22x + 60 = 258

22x = 198

x = 9

18 m 9 m 162 m2

28 m 15 m 420 m2

Propósito del programa integrador 14. Mostrar diferentes métodos para resolver problemas que impliquen el planteamiento de ecuaciones de primer grado de la forma ax + bx + c = dx + ex + f.



39

IIMATEMÁTICAS

Para saber más

Sobre la resolución de problemas mediante el planteamiento y solución de ecuacio-nes consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:

Ruiz, Concepción y Sergio de Régules. “Algebra egipcia y babilónica”, “El epitafio deDiofanto”, “La dama misteriosa”, en Crónicas algebraicas. México: SEP/Santillana,Libros del Rincón, 2003.

Bosch Carlos y Claudia Gómez. “La balanza y las ecuaciones”, ”Resolución de ecuacio-nes lineales” en Una ventana a las incógnitas. México: SEP/Santillana, Libros delRincón, 2003.

Hernández, Carlos. “Ecuaciones de primer grado” en Matemáticas y deportes. México:SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.

Tahan, Malba. El hombre que calculaba. México: SEP/Editorial Limusa, Libros del Rin-cón, 2005, pp. 97,125-128, 180,183.

Sobre resolución de ecuaciones de primer grado consulta:http://descartes.cnice.mecd.esRuta: Aplicaciones Álgebra Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Resolverecuaciones de 1r y 2º grado Resolución de ecuaciones sencillas; o Resolución deecuaciones de primer grado.[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia, España.

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40

secuencia 20

En el mundo y en el Universo nos podemos encontrar con un sinfín de fenómenos donde una cantidad depende de otra: el costo de unos tomates y su peso; lo que tarda una piedra en caer y su altura; la fuerza de atracción entre planetas y su distancia; etcétera.

A estas relaciones, se les conoce como relaciones funcionales. Y para entenderlas, el ser humano ha inventado las expresiones algebraicas y las gráficas.

LA COLA DE LAS TORTILLASPara empezarEn tu libro de Matemáticas i, volumen ii hiciste las gráficas de situaciones de proporcio-nalidad directa e inversa. Aprendiste que el plano cartesiano tiene dos ejes: el eje de las abscisas y de las ordenadas, y que cada punto del plano tiene dos coordenadas.

En esta sesión estudiarás algunas gráficas donde los ejes no están graduados; no te pre-ocupes, no es necesario graduar ni medir las longitudes. Sólo observa con cuidado cómo están acomodados los datos.

Consideremos lo siguienteUn lunes por la tarde, en la tortillería El Rosario, se hizo una larga cola para comprar las tortillas. Había personas de diferentes estaturas y edades como se puede ver en la ima-gen de abajo.

SESIón 1

Relación funcional

Jorge Lola Jesús Alma Luis Valentina

MAT2 B3 S20.indd 40 9/10/07 12:32:19 PM

Propósito de la sesión. Considerar las gráficas como un objeto que permite hacer lecturas cualitativas de datos.

Sugerencia didáctica. Trace la gráfica en el pizarrón para que la comenten en grupo. Resalte cosas como las siguientes: las dos personas más altas son la anciana y uno de los jóvenes; el anciano y el otro joven tienen la misma estatura; el niño es quien tiene la menor estatura de todos, etcétera.

Propósito del interactivo. Recordar cómo se pueden representar datos en el plano cartesiano.

Propósitos de la secuencia Reconocer en situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras

disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar esta relación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b.

Construir, interpretar y utilizar gráficas de relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos.


1La cola de las tortillas Considerar a las gráficas como un objeto que permite hacer lecturas cualitativas de datos.

Interactivo Descripción de fenómenos con rectas

2

¡Cómo hablan por teléfono! Recordar que al representar cantidades directamente proporcionales se obtiene una recta y redescubrir este hecho como una propiedad útil para interpretar gráficas.

Aula de medios Variación lineal (2)

(Hoja de cálculo)

3

El taxi Construir la gráfica asociada a un fenómeno donde dos cantidades están relacionadas con una expresión de la forma y = mx + b y reconocer estas gráficas como líneas rectas.


Aula de medios Gráficas de funciones (Logo)

4El resorte Reconocer fenómenos lineales a partir de datos en una tabla y describirlos mediante una relación del tipo y = mx + b.


Aula de medios ¿Grados Fahrenheit o centígrados? (Calculadora)

5El plan perfecto Usar expresiones lineales y gráficas para dar respuesta a problemas que involucran la comparación de varias relaciones.

Video Los celulares


Programa integrador 15

Eje

Sentido numérico y pensamiento algebraico. Manejo de la información.

Tema

Significado y uso de las literales. Representación de la información.

Antecedentes

En primer grado los alumnos resolvieron problemas que implicaron ecuaciones de primer grado de la forma ax + b = c; analizaron la relación entre cantidades que varían proporcionalmente y la representaron mediante una tabla, una gráfica y la expresión y = kx. En esta secuencia se pretende que los alumnos retomen esas relaciones entre cantidades reconociéndolas en situaciones particulares.


41

IIMATEMÁTICASEn el siguiente plano cartesiano se han representado con un punto la estatura y edad de cada persona.

Edad

Estatura

F

D

A

C

B

E

Anoten en cada punto de la gráfica el nombre de la persona, según corresponda.


Manos a la obraI. Ana y Beto llegaron a formarse en la cola después. En el siguiente plano cartesiano se

han dibujado los puntos que les corresponden.

Edad

Estatura

Ana

Beto

a) ¿Quién tiene mayor estatura, Ana o Beto?

b) ¿Quién tiene mayor edad?

MAT2 B3 S20.indd 41 9/10/07 12:32:20 PM

Posibles dificultades. Algunos alumnos encontrarán confusa la gráfica, pues los ejes no están graduados. Es posible que piensen que para poderla interpretar necesitan saber la edad de las personas, la estatura, o las coordenadas de los puntos A, B, ..., F. Explíqueles que no es necesario conocer el valor exacto de cada punto de la gráfica, basta con observar dónde está cada punto con respecto a los otros. Déles tiempo para que lo resuelvan y no se preocupe si no lo logran, más adelante habrá algunas preguntas que los ayudarán.

Respuestas.

A - Jesús.

B - Lola.

C - Alma.

D - Valentina.

E - Luis.

F - Jorge.

Sugerencia didáctica. Si considera que existen dudas sobre cómo interpretar las gráficas haga énfasis en que mientras más arriba se encuentre un punto con respecto al eje Edad, la persona será más vieja; y que mientras más hacia la derecha se encuentre un punto con respecto al eje Estatura, la persona será más alta.

Puede ser útil que, tomando como ejemplo a una familia en la que haya personas de distintas edades y estaturas, hagan una gráfica como éstas en el pizarrón.

Respuestas.

a) Beto tiene mayor estatura.

b) Ana tiene mayor edad.


42

secuencia 20Comparen sus respuestas y comenten:

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) y cuáles falsas (F)?

Entre más alta sea una persona, más arriba está el punto que la representa.

Entre más edad tenga una persona, más arriba está el punto que la representa.

Si dos puntos están en la misma línea horizontal, las personas representadas por estos puntos tienen la misma edad.

Si dos puntos están en la misma línea vertical, las personas representadas por estos puntos tienen la misma edad.

ii. De las personas que estaban formadas en la cola, antes de que llegaran Ana y Beto:

a) ¿Quienes son las más altas?

b) ¿En cuáles puntos deben de estar sus nombres?

c) ¿Qué nombre debe estar en el punto B?

d) ¿Qué nombre debe ir en el punto E?

A lo que llegamosLas coordenadas de puntos en el plano cartesiano permiten comparar los datos que se presentan en él.

Por ejemplo, en la gráfica de la derecha se puede ver que:

• Patricia y Mauro tienen la misma edad, pues están sobre la misma línea hori-zontal y son los de mayor edad, pues están hasta arriba.

• José y Guillermo tienen la misma estatu-ra, pues están en la misma línea vertical.

• El más alto es Mauro, pues es el que está más a la derecha.

Las siguientes reglas permiten comparar las coordenadas de puntos en el plano:

• Entre más a la derecha esté un punto, más grande será el valor de su abscisa.

• Entre más arriba esté un punto, másgrande será el valor de su ordenada.

Edad

Estatura

Patricia Mauro

José

Brenda Guillermo

MAT2 B3 S20.indd 42 9/10/07 12:32:21 PM

Respuestas.

a) Lola y Luis.

b) B y E.

c) Lola.

d) Luis.

Sugerencia didáctica. Puede hacer más preguntas como:

¿Quién es la persona con más edad y más estatura?, ¿en cuál punto debe estar su nombre?

¿Quién es la persona con menos edad y menos estatura?, ¿en cuál punto debe estar su nombre?

¿En la gráfica es cierto que a mayor edad mayor estatura?, ¿y viceversa?

Sugerencia didáctica. Pida a dos alumnos que escriban en una cartulina esta información y péguenla en el salón. Si lo considera necesario, añadan cuál es el eje de las abscisas (el de las x) y cuál el de las ordenadas (el de las y).

•

•

•

FVV

F


43

IIMATEMÁTICAS

Lo que aprendimos1. Observen las figuras geométricas de la izquierda y escriban el nombre de la figura que

corresponde en cada punto del plano de la derecha.

Trapecio Cuadrado Rectángulo Triángulo

Base

Alt

ura

2. Dibujen en sus cuadernos cuatro rectángulos distintos con perímetro 20 cm. Anoten la base y la altura de cada uno en la tabla. Para cada rectángulo localicen en el plano el punto correspondiente.

Alt

ura

Base

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

RectánguloMedida

de la base (cm)

Medidade altura

(cm)

A

B

C

D

MAT2 B3 S20.indd 43 9/10/07 12:32:22 PM

Respuestas. En el orden de escritura (de izquierda a derecha y de arriba a abajo) las figuras son:

Rectángulo (es tan alto como el triángulo, pero tiene menor base).

Triángulo (tiene mayor base, por eso el punto está más a la derecha que el del rectángulo).

Cuadrado (tiene la misma altura que el trapecio pero menor base y ésta es igual a la del triángulo).

Trapecio (es el de mayor base, por ello el punto es el que está más a la derecha, y tiene la misma altura que el cuadrado).

Posibles respuestas. Los alumnos deben hallar cuatro rectángulos distintos con perímetros igual a 20 cm, por lo que en la tabla la medida de la base más la de la altura será igual a 10 cm. Por ejemplo:

Base Altura

A 7 3

B 5 5

C 7.5 2.5

D 1 9

Al graficar las medidas se encontrarán con que todos los puntos están sobre la línea roja. Analice con los alumnos esta situación preguntándoles por qué creen que sucede así.

Recuerde que. Un rectángulo es un paralelogra-mo con todos sus ángulos rectos, por lo que un cuadrado es también un rectángulo.

Propósito del interactivo. Presentar diferentes problemas para que los alumnos interpreten cualitativamente los datos presentados en gráficas y encuentren la gráfica correspondiente a una descripción cualitativa dada.


44

secuencia 20

¡CóMO HABLAn POR TELÉFOnO!Para empezar En México y en el mundo, las compañías telefónicas tienen diferentes tarifas. Por ejemplo, una compañía mexicana decidió no cobrar renta mensual y sólo cobrar por las llamadas realizadas. La forma de cobrar cambia de acuerdo con los siguientes tipos de llamadas:

1. Llamadas locales. Son las llamadas hechas entre números telefónicos dentro de la misma ciudad. Se cobran por llamada, no importa cuántos minutos dure.

2. Llamadas de larga distancia. Son las llamadas hechas entre números ubicados en diferentes lugares de México o en el Mundo. Se cobran por minuto y el costo por minuto depende de la ciudad o el país al que se hable. Un sólo minuto es más caro que el costo de toda una llamada local.

Consideremos lo siguienteEn la casa de Jesús contrataron el servicio telefónico con la compañía arriba menciona-da. Jesús vive con sus padres y sus tres hermanos: José, Iván y Luis. Durante el mes de diciembre, cada miembro de la familia hizo una sola llamada telefónica y apuntó el cos-to y la duración. Por órdenes del papá cada uno redondeó la duración de la llamada al minuto entero siguiente, por ejemplo:

Si la llamada duró 3 minutos y 18 segundos, apuntaron que la duración fue de 4 mi-nutos, para los dos tipos de llamadas: locales o de larga distancia.

Con los datos anotados se obtuvo la siguiente gráfica contesten las siguientes preguntas:

SESIón 2

a) Un miembro de la familia hizo una llamada

local, ¿quién fue?

b) Uno de los miembros de la familia hizo una

llamada que tuvo el mismo costo que la llama-

da de José, ¿quién la hizo?

c) ¿Quién pagó el mayor costo por minuto?

d) Tres miembros de la familia hicieron llamadas

que tenían el mismo precio por minuto, ¿quie-

nes crees que fueron? ,

y


Duración (minutos)

Co

sto

(pes

os)

Luis

Jesús

Madre

Iván

Padre José

Gráfica 1

MAT2 B3 S20.indd 44 9/10/07 12:32:23 PM

Propósito de la sesión. Recordar que las cantidades en proporción directa están sobre una recta y redescubrir este hecho como una propiedad útil para interpretar gráficas.

Propósito de la sesión en el aula de medios. Analizar de forma gráfica las características de relaciones lineales de la forma y = ax + b mediante ejemplos. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 2.

Sugerencia didáctica. Pida a un alumno que lea en voz alta esta información. Es importante que se asegure de que todos los alumnos la han comprendido antes de pasar al siguiente apartado, ya que si existen dudas no les será posible contestarlo. También puede ser útil anotar la información en el pizarrón para que la tengan siempre presente y puedan volver a ella cuando la necesiten.

Sugerencia didáctica. Haga énfasis en esta información para que no existan confusiones debido a cómo se determina la duración de las llamadas. Puede plantearles otros casos, como:

Una llamada que dura 2 minutos y 1 segundo ¿cómo se cobra?

¿Qué es más caro, hacer una llamada de larga distancia que dura 4 minutos y 59 segundos o una que dura 4 minutos y 1 segundo?, ¿cómo se anotarían en el registro de llamadas?

•

•

Posibles dificultades. Quizá para algunos alumnos estas preguntas sean capciosas o crean que se trata de descifrar algún truco para poder responderlas.

Siempre es importante que los alumnos entiendan qué es lo que les están preguntando aunque en un primer momento no sepan las respuestas ni se imaginen cómo obtenerlas. Si es el caso, pida a dos o tres estudiantes que expliquen sus dificultades al resto del grupo. Pregunte: ¿alguien tiene una duda parecida?, ¿alguien sabe cómo solucionar la duda del compañero?, ¿alguien tiene una duda distinta?

Sugerencia didáctica. Para poder contestar estas preguntas es necesario tener presente la información sobre el tipo de llamadas y su costo. Si anotó la información en el pizarrón invite a los alumnos a que la consulten ahí, de lo contrario, pídales que vuelvan a leer el apartado Para empezar de esta sesión.

Si los alumnos no logran contestar correctamen-te las preguntas no les diga las respuestas ni les dé pistas, permítales continuar y luego regresen a esta parte para corregir los errores.

Respuestas.

a) Las dos llamadas más baratas (la de Jesús y la de Luis) tuvieron distinta duración (la de Jesús fue más larga). Entonces puede inferirse que la llamada de Jesús fue la llamada local, porque a pesar de haber durado más tiempo que la de Luis, costó menos. Recuerde a los alumnos que la llamada local tiene un precio fijo sin importar la duración.

b) El padre.

c) Las llamadas del padre y de José fueron las más caras, sin embargo, la de José duró más tiempo, así que quien pagó más por minuto fue el padre.

d) Podrían ser Luis, Iván y José porque son los únicos tres donde se observa una relación mayor duración ™ mayor costo, pero esto no asegura que en verdad lo sean. Más adelante se verán algunos elementos que ayudarán a dar respuesta con certeza.

La pregunta d) requiere reconocer el costo por minuto a partir de la gráfica. Muchos alumnos podrían confundir esto con el costo de la llamada, pero insista en que no es así, se trata del precio de la llamada entre el número de minutos que duró.


45

IIMATEMÁTICAS

Manos a la obraI. Contesten las siguientes preguntas:

a) En una ocasión, en casa de Jesús, alguien anotó que una llamada costó $15 y duró

5 minutos, ¿cuánto costó cada minuto de esta llamada?

b) Si otra llamada costó lo mismo por cada minuto que la anterior y duró 10 minu-

tos, ¿cuánto se debió pagar por esta llamada?

c) Y si la llamada hubiera durado 8 minutos, ¿cuánto se debería pagar?

d) Completen la siguiente tabla usando este costo por minuto y dibujen la gráfica correspondiente.

Duraciónde la llamada (en minutos)

Costode la llamada

(en pesos)

1

2

3

4

5 15

6

7

8

9

10

II. En otra ocasión, en casa de Jesús, se hicieron tres llamadas de larga distancia donde el costo por minuto fue el mismo.

¿Cuál de las siguientes gráficas se obtuvo con esos datos?

Duración (minutos)

Co

sto

(pes

os) 30

28

26

24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Duración (minutos)

Co

sto

(p

eso

s)

Duración (minutos)

Co

sto

(pes

os)

Duración (minutos)

Co

sto

(pes

os)

Duración (minutos)

Co

sto

(pes

os)

a) b) c) d)

MAT2 B3 S20.indd 45 9/10/07 12:32:24 PM

Propósito de la actividad. Se pretende que el alumno reconozca que las llamadas que cuestan lo mismo por minuto representan cantidades que están en proporción directa y que su gráfica debe ser una colección de puntos sobre una línea recta que pasa por el origen.

Posibles dificultades. Las gráficas a) y d) presentan situaciones que los alumnos quizá no asocien a relaciones de proporcionalidad directa, sin embargo, es posible que duden entre las gráficas b) y c). La diferencia es que ésta última no pasa por el origen, mientras que la recta b) sí, lo que la hace la opción correcta, ya que es cierto que una llamada de cero minutos cuesta cero pesos. Si algunos alumnos tienen problemas para contestar esta pregunta, sugiérales que la comparen con la gráfica que acaban de hacer en la actividad I y hagan comentarios grupales sobre lo que implica en el contexto de las llamadas que la recta pase por el origen o no.

Sugerencia didáctica. Plantee la siguiente actividad a los alumnos: pídales que trabajen en parejas y asigne a cada pareja una de las cuatro gráficas. El ejercicio consiste en que uno de los miembros de la pareja tiene que utilizar todos los argumentos que pueda para convencer a su compañero de que es cierto que la gráfica que les tocó corresponde a tres llamadas de larga distancia en donde el costo por minuto fue el mismo. Cuando termine de exponer sus argumentos, el compañero debe hacer lo mismo pero tratando de convencerlo de que esa afirmación es falsa. Aclare que es un juego, que tienen que pensar que la gráfica que les tocó es la correcta (o bien, la incorrecta) aunque ellos no lo crean así. Dé aproximadamente 10 minutos para la actividad y comenten en grupo qué fue lo que pasó en cada pareja.


46

secuencia 20Comparen sus respuestas y comenten:

a) ¿Cómo decidieron cuál de las gráficas era la correcta?

b) Regresen a la gráfica del apartado Consideremos lo siguiente y contesten:

¿Cuáles puntos están sobre una recta que pasa por el origen?

A lo que llegamosEl costo de una llamada de larga distancia y su duración son cantidades directamente proporcionales. La constante de proporcionalidad es el costo por minuto.

La gráfica de costo y duración de varias llamadas que costa-ron lo mismo por minuto son puntos que están en una línea recta que pasa por el origen.

iii. En el mes de diciembre, faltó apuntar una llamada hecha por el vecino Guillermo, quién habló a la misma ciudad que la madre pero duró hablando lo mismo que Iván. Dibujen el punto faltante en la gráfica.

Duración (minutos)

Co

sto

(pes

os)

Luis

Jesús

Madre

Iván

Padre José

Lo que aprendimos A continuación se presenta una gráfica que relaciona el costo y peso de la compra de unas verduras: jitomate, limón, cebolla, pepino y aguacate. Por cada verdura, se graficó el peso comprado (en kilogramos) y el costo correspondiente a la cantidad comprada (en pesos).

Duración (minutos)

Co

sto

(pes

os)

MAT2 B3 S20.indd 46 9/10/07 12:32:25 PM

Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos si el costo de una llamada local y su duración son también cantidades directamente proporcio-nales. Si no están seguros, pídales que hagan una tabla con un caso y que la grafiquen.

Sugerencia didáctica. Dé a los alumnos un tiempo para esta actividad. Si lo considera útil, haga hincapié en que en las llamadas de larga distancia, el costo y duración son cantidades directamente proporcionales, por lo que todos los puntos estarán sobre una misma recta que pasa por el origen.

Respuesta. Todas las llamadas hechas a la ciudad a la que habló la madre estarán en la misma línea recta (que puede trazarse considerando el punto que representa a la llamada que hizo la madre y el origen). Si la llamada que hizo Guillermo duró lo mismo que la de Iván, esa será la ubicación del nuevo punto con respecto al eje "Duración".

Posibles dificultades. Los alumnos podrían confundir el costo con el precio por kilogramo. Coménteles que el “Costo” (marcado en la gráfica) se refiere a la cantidad pagada por uno o más kilos de verdura, y el “Peso” se refiere a la cantidad de kilos comprados. El "Costo por kilogramo" es algo que debe inferirse a partir de la gráfica, pero no es necesariamente igual al “Costo”. Por ejemplo: Si se hubieran pagado 27 pesos por 3 kilogramos de cebolla:

El costo serían 27 pesos.

El peso serían 3 kilogramos.

El costo por kilogramo sería de 9 pesos.

Sugerencia didáctica. Si los alumnos tienen dificultades para contestar el inciso b) puede pedirles que dibujen una gráfica en la que se muestren los siguientes puntos:

Dos kilogramos de papa 24 pesos.

Tres kilogramos de calabaza 36 pesos.

Un kilogramo de ejote 12 pesos.

Como el precio por kilogramo de los tres productos es igual, los tres puntos estarán sobre una línea recta que pasa por el origen (lo mismo que sucede en la gráfica con el pepino y el limón).

Respuestas.

a) El aguacate.

b) El pepino y el limón.

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad. Si lo considera necesario, revisen nuevamente las actividades del Manos a la obra de ésta sesión y la anterior.

•

•

•

•

•

•


47

IIMATEMÁTICAS

Peso (kg)

Co

sto

($)

Pepino

Limón

Jitomate

AguacateCebolla

a) De las verduras, ¿cuál costó más por kilogramo?

b) Hay dos verduras para las cuales el costo por kilogramo fue el mismo, ¿cuáles fueron?

y

EL TAXIConsideremos lo siguienteUn taxi cobra por su servicio $10 más $2 por cada kilómetro recorrido. Observa las si-guientes gráficas y decide cuál de ellas representa esta situación.

Distancia (kilómetros)

Co

bro

(pes

os) 30

28

26

24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


Co

bro

(pes

os) 30

28

26

24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

SESIón 3

a) b)

MAT2 B3 S20.indd 47 9/10/07 12:32:26 PM

Propósito de la sesión. Construir la gráfica asociada a un fenómeno donde dos cantidades están relacionadas con una expresión de la forma y = mx + b, y reconocer estas gráficas como líneas rectas.

Propósito de la actividad. Los alumnos han trabajado con distintos tipos de gráficas y se espera que echen mano de sus conocimientos para determinar cuál de las gráficas es la correcta.

Es posible que tengan dudas, por lo que es conveniente darles tiempo para que dentro de cada pareja haya un intercambio de ideas.

Respuesta. La gráfica correcta es la del inciso a). Tanto ésta como la del inciso b) representan rectas que no pasan por el origen, pero mientras en la a) es cierto que por cada kilómetro se cobran dos pesos, en la b) por cada kilómetro se cobra un peso. En la gráfica d) la recta pasa por el origen, de manera que no está considerando los 10 pesos que el taxi cobra por el servicio (en esa situación es cierto que a cero kilómetros corresponden 10 pesos). La gráfica c) no es lineal, por lo tanto, no es la que representa una relación de la forma y = mx + b.

Propósito del interactivo. Presentar diferentes problemas para que los alumnos interpreten cualitativamente los datos presentados en gráficas y encuentren la gráfica correspondiente a una descripción cualitativa dada.

Que los alumnos dibujen la gráfica correspon-diente a la descripción de un fenómeno lineal.

Propósito de la sesión en el aula de medios. Construir gráficas cartesianas de funciones de la forma y = mx = b y ubicar puntos.



48

secuencia 20

Comparen sus respuestas y comenten cómo hicieron para decidir cuál gráfica es la correcta.

Manos a la obrai. Contesten lo siguiente:

a) Si el taxi recorre 2 km, ¿cuánto cobrará?

b) Si el taxi recorre 10 km, ¿cuánto cobrará?

c) Escriban una expresión que sirva para formular la cantidad que cobra el taxista (y)a partir del número de kilómetros recorridos (x).

y =

ii. Usen la expresión que acaban de formular para completar la siguiente tabla.

xNúmero de kilómetros

yCantidad a cobrar en pesos

2

4

6

8

10


Co

bro

(pes

os) 30

28

26

24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


Co

bro

(pes

os) 30

28

26

24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

c) d)

MAT2 B3 S20.indd 48 9/10/07 12:32:26 PM

Propósito de la actividad. Aquí se pretende que los alumnos asocien a una situación o fenómeno una expresión algebraica, una tabla y una gráfica.

Respuestas.

a) 14 pesos; son 4 pesos por los dos kilómetros recorridos más 10 pesos del servicio.

b) 30 pesos.

c) y = 2x + 10

14 18 22 26 30


49

IIMATEMÁTICASIII. Localicen los valores de la tabla en el siguiente plano cartesiano

x(kilómetros)

y (

pes

os) 30

28

26

24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Comparen sus respuestas y comenten,

a) Los puntos que localizaron, ¿están sobre la gráfica que habían elegido?

b) ¿Están en alguna de las otras gráficas?

A lo que llegamosAl igual que en el caso del taxi, a menudo encontramos cantidades relacionadas en las que su gráfica asociada son puntos sobre un línea recta. A este tipo de relaciones se les conoce como relaciones lineales.

Las relaciones de proporcionalidad también son relaciones lineales, pues su gráfica es una línea recta.

Las relaciones de proporcionalidad tienen nombre propio pues satis-facen más propiedades que las relaciones lineales. Por ejemplo, no toda gráfica de una relación lineal pasa por el origen, pero como ya se vio, las asociadas a relaciones de proporcionalidad siempre pasan por el origen.

IV. Si un pasajero se sube al taxi y sólo tiene $32, ¿cuántos kilómetros puede viajar?

MAT2 B3 S20.indd 49 9/10/07 12:32:27 PM

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que revisen sus respuestas en el apartado Considere-mos lo siguiente y que hagan las correcciones necesarias.

Posibles procedimientos. El alumno tiene suficientes elementos para poder contestar a esta pregunta: la gráfica, la tabla y la relación.

Se esperaría que pudieran contestar la pregunta usando la relación y = 2x + 10 para plantear la ecuación 32 = 2x + 10, sin embargo, procedi-mientos en los que se utilice la gráfica o la tabla también son correctos.

Si son pocos los alumnos que usaron la ecuación, puede usted presentar esta solución en el pizarrón cómo un método muy efectivo especialmente cuando las cantidades son grandes y no están en la parte visible de la gráfica o en la tabla, con la intención de que en el futuro los alumnos lo utilicen.

Respuesta. 11 kilómetros.


50

secuencia 20V. Se ha decidido llenar un tinaco con capacidad de 1 000 litros de agua. El tinaco,

actualmente contiene 100 litros de agua. Se ha abierto una llave que arroja en el tinaco 10 litros de agua cada minuto.

a) Si ha pasado 1 minuto desde que se abrió la llave, ¿cuánta agua habrá en el tina-

co? ¿Y si han pasado 2 minutos?

¿Y si han pasado 10 minutos?

b) Escriban una expresión que relacione y (la cantidad de agua en el tinaco) con x(los minutos que lleva abierta la llave).

y =

c) Dibujen la gráfica de la relación que obtuvieron.

Comparen sus respuestas y comenten:

¿En qué valor interseca la gráfica al eje y?

A lo que llegamos

600

400

300

200

100

5 10 15 20 25 30 35 400x

y

y

x(0, b )

Al valor dónde la gráfica de una relación lineal interseca al eje yse le conoce como ordenada al origen.

En la siguiente figura, la letra b representa la ordenada al origen.

MAT2 B3 S20.indd 50 9/10/07 12:32:28 PM

Sugerencia didáctica. Aquí usted puede explicar que para trazar la gráfica sin que falte ningún punto es necesario dibujar toda la recta porque ésta contiene a todos los puntos. A partir de ésta se pueden localizar todos los valores de y dado cualquier valor de x.

Posibles dificultades. Para algunos estudiantes puede ser difícil escribir la expresión que se les solicita en el inciso b). Si es el caso, sugiérales que hagan una tabla (como la del apartado Manos a la obra II) ya que puede serles de ayuda tener las cantidades a la vista para darse cuenta de cómo van cambiando y hallar la relación.

Respuestas.

a) Después de un minuto habrá 110 litros; después de dos minutos 120 litros; después de 10 minutos 200 litros.

b) La expresión sería y = 10x + 100.

Sugerencia didáctica. Si no surge la idea de hacer una tabla y graficar algunos puntos, podría sugerirlo usted.

Si los alumnos dibujan sólo algunos puntos en lugar de toda la línea, sugiérales que dibujen más puntos. Si entre ellos no surge la idea de unirlos, espere a la discusión grupal.

Posibles dificultades. La expresión “ordenada al origen” puede ser desconocida para algunos alumnos. Explíqueles que cuando se localiza un punto cuyo valor en el eje x es cero, se le llama ordenada al origen.

La coordenada (0,b) también puede resultarles extraña. Explíqueles que es posible utilizar escalas no numéricas en los ejes, y pídales que en esa misma gráfica (la del apartado A lo que llegamos) señalen los puntos:

(0,c)

(b,0)

•

•

Se verían así:

y

x(b,0)

(0,b)(0,c)


51

IIMATEMÁTICAS

Lo que aprendimosEn una ocasión se decidió llenar una cisterna con una llave que arrojaba cierta cantidad de litros de agua cada minuto. Cuando se empezó a llenar el tinaco, éste tenía 100 litros de agua. Después de 10 minutos de haber abierto la llave, el tinaco tenía 180 litros de agua.

a) ¿Cuántos litros arrojó la llave en 10 minutos?

b) ¿Cuántos litros habrá arrojado en 5 minutos?

c) ¿Cuántos litros arroja la llave cada minuto?

d) Después de 11 minutos de haber abierto la llave, ¿cuántos litros de agua habrá en el

tinaco?

e) Escribe una expresión que relacione y (la cantidad de litros de agua que hay en el tinaco) con x (el número de minutos que han pasado desde que se abrió la llave).

y =

EL RESORTEConsideremos lo siguienteAl colgar diferentes pesos sobre un resorte éste cambia su tamaño, entre mayor sea el peso que se le cuelgue más se alarga.

En un laboratorio escolar se colgaron varios pesos a un resorte que mide 8 cm en reposo. Se registraron los cambios de longitud en cada caso y con ello se obtuvo la siguiente tabla.

Peso Longitud

1 kg 10 cm

2 kg 12 cm

3 kg 14 cm

4 kg 16 cm

¿Cuál crees que será la longitud del resorte si se le cuelgan 5 kg?

¿Cuál crees que será la longitud del resorte si se le cuelgan 8 kg?

¿Y si se le cuelgan 3.5 kg?


¿Cómo calcularon las longitudes?

Si se le colgara una pesa de 6.2 kg, ¿cuál será la longitud del resorte?

¿Cómo podrían decidir cuál será la medida del resorte al colgarle cualquier otro peso?

SESIón 4

Longitud

Peso

MAT2 B3 S20.indd 51 9/10/07 12:32:29 PM

Respuestas.

a) 80 litros.

b) 40 litros.

c) 8 litros.

d) 188 litros.

e) y = 8x + 100

Integrar al portafolios. Este problema puede servirle para valorar si los alumnos han comprendido lo que hasta ahora se ha presentado en la secuencia. Si los alumnos tienen dificultades para poder escribir la expresión, hagan un repaso.

Propósito de la sesión. Reconocer fenómenos lineales a partir de datos en una tabla y describirlos mediante una relación del tipo y = mx + b.

Propósito de la actividad. Se quiere que el alumno descubra regularidades en los datos que arrojó el experimento para predecir el comporta-miento del resorte. Posteriormente se formaliza-rán dichas regularidades en una expresión.

Posibles dificultades. Posiblemente algunos alumnos intenten utilizar técnicas de proporcio-nalidad en este problema, por ejemplo, podrían pensar que como el resorte mide 10 cm cuando se le cuelga 1 kg, el valor unitario es 10 ; sin embargo, es incorrecto porque ésta no es una relación de proporcionalidad directa.

Es importante que no corrija a los alumnos en este momento, pero en la siguiente comparación de resultados, pídales que expliquen sus respuestas y comenten por qué esos procedi-mientos no son válidos aquí.

Respuestas.

Con 5 kg mediría 18 cm.

Con 8 kg mediría 24 cm.

Con 3.5 kg mediría 15 cm.

Para contestar las primeras dos preguntas basta con observar que cada vez que el peso aumenta 1 kg, la longitud aumenta 2 cm. Para contestar la tercera es necesario observar que la longitud del resorte debe aumentar algo entre 14 y 16.

Propósito del interactivo. Ilustrar el comportamiento de un resorte al sostener diferentes pesos.

Sugerencia didáctica. Si hay estudiantes que piensan que ésta es una relación de proporcio-nalidad directa, puede ser útil recordarles las características de dichas relaciones, como:

Cuando una cantidad aumenta el doble, la otra también aumenta el doble, si aumenta el triple la otra también aumenta el triple, etcétera.

Si se representa en una gráfica se obtiene una recta que pasa por el origen.

Si se representan los datos en una tabla el cociente entre los elementos de los dos conjuntos se mantiene constante.

Su expresión algebraica es y = kx.

•

•

•

•

Propósito de la sesión en el aula de medios. Obtener las ecuaciones que relacionan a las escalas de temperatura Farenheit y centígrada; y construir la gráfica.



52

secuencia 20

Manos a la obrai. Llamemos longitud de aumento a la cantidad de centímetros que aumentó la longi-

tud del resorte al colgarle un peso. Calculen la longitud de aumento para cada peso indicado en la tabla y después contesten lo que se pide.

Peso(kg)

Longitudde aumento

(cm)

1

2

3

4

a) Observen que esta tabla es de proporcionalidad, ¿cuál es la constante

de proporcionalidad?

b) Llamemos x al número de kilogramos colgados y llamemos y a la longitud de aumento. Escriban una expresión que sirva para calcular y a partir de x.

y =

c) Al colgar 5 kg, ¿cuál es la longitud de aumento?

d) Y al colgar 6.2 kg, ¿cuál será la longitud de aumento?

e) Para el caso anterior, ¿cuál será la longitud del resorte?

Comparen sus respuestas y comenten: ¿Es posible calcular la longitud de aumento para cualquier peso que se quiera? ¿Cómo?

Una vez que se tiene la longitud de aumento, ¿se podrá calcular la longitud del resorte? ¿Cómo?

ii. Encuentren una expresión que sirva para calcular la longitud y que tendrá el resorte al colgarle x kilogramos.

y =

iii. Usen la expresión anterior para calcular la longitud del resorte para los diferentes pesos indicados en la tabla.

Peso x 0 1 2 5 6 6.2 7.6

Longitud y

Comparen sus respuestas y grafiquen la relación para ver si es lineal.

Encuentra la ordenada al origen.

Recuerden que:

Una relación es lineal si su gráfica es una línea recta.

Longitud de

aumento

MAT2 B3 S20.indd 52 9/10/07 12:32:31 PM

Propósito de la actividad. Se pretende que el alumno pueda escribir una expresión del tipo y = mx + b y usarla al calcular la longitud del resorte para cualquier peso que se le cuelgue.

Sugerencia didáctica. Es importante que primero completen la tabla y luego contesten las preguntas. Puede ser útil recordarles que el resorte sin ningún peso tiene una longitud de 8 cm.

Respuestas.

a) Es 2 porque el peso debe multiplicarse por 2 para obtener la longitud de aumento.

b) y = 2x

c) 10 cm.

d) 12.4 cm.

e) 20.4 cm porque hay que sumar la longitud del resorte antes de colgarle el peso. Como ya se sabe que con una pesa de 1 kg el resorte mide 10 cm, entonces el resorte sin peso mide 8 cm.

Sugerencia didáctica. Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos y anote algunas respuestas en el pizarrón para recuperarlas al final de la sesión. Resalte las diferencias y semejanzas entre las participaciones de los alumnos.

Respuesta. Como el resorte sin peso mide 8 cm hay que aumentar dicha longitud siempre, por lo que la expresión sería y = 2x + 8.

2

4

6

8

8 10 12 18 20 20.4 23.2

Respuesta. Si ya sabe cual es la longitud del aumento, entonces sólo le deben sumar los 8 cm que mide el resorte sin peso, así que la expresión sería y = 8.

Sugerencia didáctica. Cuando los alumnos hayan comparado sus respuestas enfatice que aunque el problema puede resolverse por otros métodos, hacer los cálculos a partir de la expresión es más económico.

Si no hay tiempo suficiente en la clase, deje de tarea la gráfica y comenten al siguiente día:

si es lineal o no y,

cuál es la ordenada al origen (en este caso será el punto (0,8).

•

•


53

IIMATEMÁTICAS

A lo que llegamosComo en el caso del resorte, con frecuencia es útil calcular la expresión que relaciona dos cantidades x y y . Si esta relación es lineal, es posible encontrar la expresión al calcular la ordenada al origen (en el ejemplo, cuando no hay peso colgado al resorte) y el incremento de y cuando x cambia de cero a uno (por ejemplo, lo que aumenta el resorte al colgar un kilogramo). Una vez encontrados estos números, la expresión se puede escribir así:

y = (incremento al aumentar uno) x + (ordenada al origen)

Comúnmente esto se escribe como y = mx + b.

Lo que aprendimos1. Para medir la temperatura se usan dos unidades distintas: los grados Celsius y los

grados Fahrenheit. La relación que permite pasar de una unidad a la otra es lineal. La siguiente figura muestra la gráfica de dicha relación.

0

60

50

40

30

20

10

5 10 15

Fah

ren

hei

t

Celsius

x

y

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Sugerencia didáctica. Algunos alumnos podrían confundirse al encontrar esta expresión, ya que ellos conocen al “incremento al aumentar uno” o constante, como k. El empleo de una notación u otra tiene que ver con lo siguiente. Las relaciones de proporcionalidad son también del tipo y = mx + b (donde b vale cero) pero en ellas se usa la literal k para denotar el incremento en uno (y = kx) porque la proporcio-nalidad tiene propiedades únicas (por ejemplo, cuando x aumenta el doble y aumenta también al doble) que la hacen ganarse el derecho a tener expresión y nombre propios.

Posibles dificultades. Los alumnos podrían sentirse confundidos respecto a lo que se les pide. Para ayudarles, puede intentar hacer un diagrama como el siguiente:

0 ºC ----> ? ºF

5 ºC ----> ? ºF

Y explicar que de 0 a 5 aumentó 5 grados (lado izquierdo del diagrama), y que lo que deseamos saber son las temperaturas equivalentes en Fahrenheit (lado derecho del diagrama).


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secuencia 20a) Cuando la temperatura es de 0 °C, ¿cuál es la temperatura en grados Fahrenheit?

(Es decir, ¿cuál es la ordenada al origen?)

b) Cuando la temperatura es de 5 °C, ¿cuál es la temperatura en grados Fahrenheit?

c) Cuando la temperatura es de 10 °C, ¿cuál es la temperatura en grados Fahrenheit?

d) Cuando la temperatura cambia de 0 °C a 5 °C , ¿cuántos grados Fahrenheit au-

mentó?

e) Decidan cuál de las siguientes cantidades fue el aumento de temperatura, si la

temperatura cambió de 0 °C a 1 °C.

A) 1 .7 °F B) 2 °F C) 1.8 °F D) 1.9 °F

f) Escriban una expresión que relacione y (la temperatura medida en grados Fahren-

heit) con x (la temperatura medida en grados Celsius). y =

2. La longitud de los metales se modifica al ser sometidos a cambios de temperatura. La siguiente tabla muestra cómo varía la longitud de una barra de hierro al someterla a distintas temperaturas.

Temperatura (°c) 0 10 20 30 40

Longitud de la barra de hierro (m) 10 10.012 10.024 10.036 10.048

Si x es la temperatura y y la longitud de la barra de hierro, ¿cuál es la expresión que

permite encontrar y a partir de x? y =

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Respuestas.

a) 32ºF

b) 41ºF

c) 50ºF

d) 9ºF

e) 1.8ºF

f) y = 1.8x + 32

Posibles dificultades. Para contestar correctamente el inciso e) el método gráfico no será suficiente: tendrán que recurrir a argumen-tos de proporcionalidad. Por ejemplo, cuando la temperatura aumenta 5ºC, en Fahrenheit aumenta 9ºF, por lo tanto, si aumenta 1ºC la temperatura en Fahrenheit debe aumentar la quinta parte de 9ºF, es decir, 1.8ºF.

Respuesta. y = 0.0012x + 10


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IIMATEMÁTICAS

EL PLAn PERFECTOConsideremos lo siguienteLos celulares

Las compañías de teléfonos celulares Mexcel, Tele-cel e ILcel tienen las siguientes tari-fas:

Mexcel: $100 de renta mensual más $1.00 el minuto.

Tele-cel: $60 de renta mensual más $2.00 el minuto.

ILcel: no cobra renta pero las llamadas cuestan $5 el minuto.

Completen la siguiente tabla para saber cuánto cobra cada compañía por hablar x mi-nutos durante un mes.

x(minutos)

Mexcel cobra (en pesos)

Tele-cel cobra (en pesos)

ILcel cobra (en pesos)

10

30

60

a) Si una persona habla 15 minutos en un mes, ¿qué compañía le cobrará menos?

b) Si una persona habla 30 minutos en un mes, ¿qué compañía le cobrará menos?

c) Si una persona habla 60 minutos en un mes, ¿qué compañía le cobrará menos?


Si una persona habla entre 25 y 35 minutos al mes, ¿con cuál compañía le saldrá más barato?

¿Para qué cantidades de minutos al mes es más barato hablar por Tele-cel?

SESIón 5

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Propósito de la sesión. Usar expresiones lineales y gráficas para dar respuesta a problemas que involucran la comparación de varias relaciones.

Descripción del video. Se brinda información acerca del creciente uso de los teléfonos celulares en México y en el mundo. Mediante ejemplos, se presenta la diversidad de tarifas y los complejos sitemas de cobro.

Propósito de la actividad. Se pretende que para resolver la situación que se plantea los alumnos utilicen gráficas lineales con las que comparen las tarifas de las distintas compañías de telefonía celular.

Respuestas.

a) ILcel.

b) Tele-cel.

c) Mexcel.

110 80 50

130 120 150

160 180 300

Posibles respuestas. Los alumnos podrían dar distintas respuestas a esta pregunta o pensar que no se puede responder con la información de la tabla. Pida a dos o tres alumnos que hayan contestado cosas distintas, que las expliquen a todo el grupo, pero no intente que lleguen a una respuesta correcta. Más adelante podrán hacerlo con la gráfica.


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secuencia 20

Manos a la obrai. Usen la letra x para representar la duración de la llamada (en minutos) y la letra y

para representar el costo de la llamada (en pesos) correspondiente. Si una persona habló x minutos en un mes:

a) ¿Cuál es la expresión que representa lo que le cobrará Mexcel?

y =

b) ¿Cuál es la expresión que representa lo que le cobrará Tele-cel?

y =

c) ¿Cuál es la expresión que representa lo que le cobrará iLcel?

y =

ii. Completen la siguiente tabla con las expresiones que encontraron:

x(minutos)

Mexcel cobra (en pesos)

Tele-cel cobra (en pesos)

ILcel cobra (en pesos)

10

20

30

40

50

60

iii. Ayudándose de los valores en la tabla, dibujen las gráficas de las tres relaciones en el siguiente plano cartesiano. Pinten de diferentes colores las gráficas, por ejemplo: rosa para Mexcel, azul para Tele-cel y verde para iLcel.

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Sugerencia didáctica. Forme parejas con alumnos que no suelan trabajar juntos. También puede ser provechoso que sean alumnos con diferentes niveles de experiencia o de conoci-mientos de los contenidos matemáticos.

Respuestas.

a) y = x + 100

b) y = 2x + 60

c) y = 5x

110 80 50

120 100 100

130 120 150

140 140 200

150 160 250

160 180 300


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IIMATEMÁTICAS

Observen sus gráficas y contesten:

a) Cuando la duración está entre 0 min y 20 min, ¿cuál de las tres gráficas está más abajo?

b) Cuando la duración está entre 20 min y 40 min, ¿cuál de las tres gráficas está más abajo?

c) ¿Cuándo está la gráfica de Mexcel más abajo que las otras?

IV. Ayudándose de las gráficas que construyeron, completen las siguientes frases de ma-nera que sean correctas.

a) Si una persona acumula minutos en llamadas durante un mes, no

importa si contrata el servicio con Tele-cel o ILcel, ambas le cobrarán lo mismo.

b) Si una persona acumula entre cero y minutos en llamadas durante un

mes, le conviene más contratar el servicio de ILcel, pero si excede esos limítes, le

conviene más Tele-cel.

300

250

200

150

100

50

10 20 30 40 50 60

Co

sto

Duración

x

y

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Respuestas.

a) La de ILcel.

b) La de Tele-cel.

c) Cuando se habla por más de 40 minutos.

20

20


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secuencia 20c) Si una persona acumula entre y minutos en lla-

madas al mes le conviene más contratar el servicio de Tele-cel.

d) Si una persona acumula más de minutos en llamadas al mes le

conviene más contratar el servicio de Mexcel.


A lo que llegamosPara comparar dos o más relaciones lineales, puede ser útil construir sus gráficas en el mismo plano cartesiano.

Por ejemplo, las gráficas de las relaciones lineales y = 4x + 1 y y = 2x + 5 se han dibujado en el siguiente plano cartesiano.

15

10

5

5 10 15

Eje

y

Eje x

De esta gráfica se puede ver que: el valor de la expresión y = 4x + 1es menor que el de la expresión y = 2x + 5 cuando x toma valores menores a 2 (pues la gráfica roja está por debajo), y los papeles se invierten cuando x toma valores mayores que 2.

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Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren el comportamiento de dos fenómenos lineales en términos de los parámetros que los definen (m y b).

20 40

40


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IIMATEMÁTICAS

Lo que aprendimos1. En una escuela telesecundaria quieren rentar un autobús para realizar una excursión.

Se contactaron 3 compañías de autobuses las cuales proporcionaron la siguiente in-formación:

Compañía A: cobra $1 500 más $20 por cada kilómetro recorrido.

Compañía B: cobra $2 000 más $15 por cada kilómetro recorrido.

Compañía C: cobra $3 000 más $10 por cada kilómetro recorrido.

Calcula las expresiones que relacionan el cobro con el número de kilómetros recorridos-para cada compañía.

¿En cuál intervalo es más barato contratar a la compañía B? Entre km y

km.

2. Para conocer más sobre la construcción de gráficas de fenómenos de ecuaciones pue-den ver el programa Relaciones funcionales, expresiones algebraicas y gráficas.

Para saber más

Sobre relaciones lineales en problemas consulta:http://descartes.cnice.mecd.es/Analisis/familias_funciones/Funciones_lineales.htm [Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia, España.

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Sugerencia didáctica. Si considera que es necesario, sugiera a los alumnos que elaboren una tabla para cada compañía de autobuses y una gráfica para comparar los costos (como se hizo con las compañías de teléfonos celulares).

Respuestas. Las expresiones son:

Compañía A: y = 20x + 1 500

Compañía B: y = 15x + 2 000

Compañía C: y = 10x + 3 000

Si el recorrido que va a hacerse se encuentra en el intervalo de entre 100 y 200 kilómetros, la compañía C es la más barata.

Integrar al portafolios. En este problema se involucra la escritura de la expresión, el hacer una tabla con los datos y posiblemente una gráfica para efectuar la comparación, por lo que puede ser un buen indicativo de lo que los alumnos han logrado aprender. Si fuera necesario, pueden revisar nuevamente el Manos a la obra de esta secuencia para interpretar correctamente las gráficas.

Propósito del programa integrador 15. Mostrar que en algunos fenómenos hay relaciones entre cantidades que varían una en función de la otra y que se modelan con expresiones de la forma y = ax + b.


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4x - 5y = 3 2x + 10y = 29...28 Libro para el maestro 12 secuencia 18 En esta secuencia construirás sucesiones de números con signo a partir de una regla dada y obtendrás la regla