§5 磁场对载流导线的作用

5.1 安培力 叠加原理

B ldIFd

L

FdF

计算各种载流回路在外磁场作用下所受的力

5.2 平行无限长直导线间的相互作用

2210

1210

11 222 dl

a

IIdF

a

IBI I

的作用对产生

a

IIf

2

21012 ：单位长度受力 III 21

a

If

2

20 安或

70 102

2

afaf

I

电流强度的单位“安培”的定义 一恒定电流，若保持在处于真空中相距 1

m 的两无限长、而圆截面可忽略的平行直导线内，则在此两导线之间产生的力在每米长度上等于 210 － 7N ，则导线中的电流强度定义为 1A （ p117 ）

与 P91 的定义等价，但注意两个定义表述上的区别

例 如图所示，一根弯曲的刚性导线 载有电流 ，导线放在磁感应强度为 的均匀磁场中， 的方向垂直纸面向外，设 部分是半径为 的半圆， ．求该导线所受的合力．

abcdI B

B

bcR lcdab

x

yI

II

lId

xdF

ydF

d

oa c dbdF

解 根据安培定理， 、 两段所受安培力的大小为

ab cdlBIFF 31 ，方向都向下．

在 段上任取一电流元，它所受安培力的大小为 ．

bcsin2 dlBIdF

090dlBIdF 2

dlBIdFdF x coscos22

dlBIdFdF y sinsin22

dRdl

RdBIdF x cos2 RdBIdF y sin2

0cos022

RdBIdFF xx

BIRRdBIdFF yy 2sin022

)(2321 RlBIFFFF

的方向向下． F

5.3 矩形载流线圈在均匀磁场中所受力矩

在均匀磁场中 刚性矩形线圈——不发生形变； 合力 =0 ，合力矩＝？

sinsin

sin2

sin2

12

11

ISBBlIl

lF

lFL DABC

的方向方向

大小

Bn

ISBnISL

sin

磁矩 m

5.4 载流线圈的磁矩

在均匀磁场中 任意形状线圈 将线圈分割成若干个小窄条 小线圈所受力矩 dL

dhdldl 2211 sinsin

IBdhdFdF 21

021 FFIBdSxxIBdhdL )( 21:力矩

IBSIBdSdLL 总力矩

若线圈平面与磁场成任意角度，则可将 B 分解成

||BBB BmBnISL )(

结论： 线圈的磁矩所受的力矩

磁矩的方向

nISm BmL

5.5 磁偶极子与载流线圈的等价性 ( 略 )

5.6 直流电动机的原理 ( 略 )

5.7 电流计线圈所受磁偏转力矩 ( 略 )

§6 带电粒子在磁场中的运动

实验证明：运动电荷在磁场中受力

BFvF ,

的方向

的夹角与

Bv

BvBvqF

)(,,,

BvqF

洛仑兹力做功吗？洛仑兹力与安培力的关系？

6.1 洛仑兹力

sinvBqF 例 :P125

6.2 洛仑兹力与安培力的关系 电子数密度为 n ，漂移速度 u dl 内总电子数为 N=nSdl ， 每个电子受洛仑兹力 f N 个电子所受合力总和是安培力吗 ?

洛伦兹力 f 作用在金属内的电子上安培力 作用在导体金属上

作用在不同的对象上

自由电子受力后，不会越出金属导线，而是将获得的冲量传递给金属晶格骨架，使骨架受到力

Bue

证 明 ： 'ff

骨架受到的冲力

电子受洛仑兹力的合力

先说明导线中自由电子与宏观电流 I 的关系自由电子做定向运动，漂移速度 u ，电子数密度为 n电流强度 I ：单位时间内通过单位面积的电量则在 t 时间内，通过导体内任一面元 S 迁移的电量为

neStuq )cos( Su dneneudS

dt

dq

t

qdI

t

coslim0

电流 j 电流密度

N 个电子所受合力总和大小

lIBlBeunSeuBNfdF )(I

传递机制可以有多种，但最终达到稳恒状态时，如图导体内将建立起一个大小相等方向相反的横向电场 E （霍尔场）电子受力：洛伦兹力 f ， E 的作用力 f'

带正电的晶格在电场中受到 f" f"—— 与电子所受洛伦兹力 f 方向相同 安培力是晶格所带电荷受力 f" 的总和

结 论 ： 安 培 力是 电 子 所 受 洛伦 兹 力 的 宏 观表现

( 问题：这一过程是否与洛仑兹力不作功相矛盾？ )

洛仑兹力 BvqF

0F

qvBF

B v

F

R

2. Bv 时

Bv

//1. 时

带电粒子在均匀磁场中的运动

rv

mqvB2

qBmv

R

qBm

vR

T 22

mqB

Tf

21

回旋周期或回旋频率与带电粒子的速率及回旋半径无关．

时夹角为与 Bv

3.

B

R

d//v

vv

螺旋线的半径qB

mvR

sinvv 分解为v

cos// vv 和

回旋周期

qBm

vR

T 22

螺距qBmv

Tvd ////

2

从磁场中某点 发射一束很窄的带电粒子流，它们的速率 都很相近，且与 的夹角 都很小，尽管 会使各个粒子沿不同半径的螺旋线运动，但是 却近似相等，因此的螺距 也近似相等，所以各个粒子经过距离 后又会重新会聚在一起，称之为磁聚焦．

v B

vvv cos//

o

vvv sin

dd

o

B

d

螺距qBmv

qBmv

d 22 //

荷质比的测定 :

汤姆孙法测荷质比

磁聚焦法测荷质比

2RB

E

RB

v

m

e

22

28

B

U

m

e

交变电场的周期 qBmT 2

离子的最终速率m

qBRv

离子的动能m

RBqmvEk 22

1 2222

回旋加速器 : 回旋加速器的基本原理就是利用回旋频率与粒子速度无关的性质

回旋半径 qBmvR

霍耳效应 原理：带电粒子在磁场中运动 样品：导体或半导体长方形样品 载流子：带正电如图 a 载流子：带负电如图 b实验表明：

d

IBKU AA '

Hall 系数

E E

b

UE AA'

d

IB

nqnqd

IBb

nq

jBuBbEb

d

IBKU AA

1'

Hall 系数 带电粒子受

力平衡时

qEquB nquj jbdI

b

UE AA' K 取决于载流子浓度和带电

的正、负，可正、可负，

霍尔效应的应用 霍耳系数 K 与导体中的载梳子浓度 n 成反比 金属导体的载流子浓度 n 大—— K 和 UH 小 半导体的载流子浓度 n 小—— K 和 UH 大

判定半导体的导电类型 、测定载流子浓度 利用半导体材料制成霍耳元件得到广泛的应用

霍耳元件具有结构简单而牢靠、使用方便、成本低廉等优点，所以它在实际中将得到越来越普遍的应用。

测量磁场（恒定、非恒定） 测量直流或交流电路中的电流强度和功率 转换信号，如把直流电流转换成交流电流并对它进行调制；放大直流或交流信号等

带电粒子在非均匀磁场中的运动

如图正带电粒子处于磁感应线所在位置， vB ； 此时，粒子受洛仑兹力 FB ， F=F||+F

F提供向心力， F||指向磁场减弱的方向 粒子也将作螺旋运动，但并非等螺距，回旋半径也会改变

回旋半径因磁场增强而减小，同时，还受到指向磁场减弱方向的作

用力

回旋半径因磁场减弱而增大，同时，还受到指向磁场减弱方向的作

用力

vB

应用举例 磁镜

0,, |||||| vvWWB ；

||WWW 总动能

粒子在强磁场区受到指向弱磁场方向大力，向弱磁场方向运动——“反射”到中央，被约束在两镜之间

洛仑兹力不做功， W也不变

受指向弱磁场方向的力

可以证明 : 在梯度不太大的非均匀磁场中 , 带电粒子的磁矩M 是个不变量 .

BB

mvM

横向动能

2

21

地磁场——天然的磁镜捕集器范 .阿伦辐射带——由地磁场所俘获的带

电粒子（绝大部分为质子核电子）组成

等离子体磁约束 等离子体：部分或完全电离的气体。 特点：由大量自由电子和正离子及中性原子、

分子组成，宏观上近似中性，即所含正负电荷数处处相等。

带电粒子在磁场中沿螺旋线运动

cos

2cos,

sinv

qB

mTvh

qB

mvR

与 B成反

比强磁场中，每个带电粒子的活动被约束在一根磁力线上，此时，带电粒子回旋中心（引导中心）只能沿磁感应线作纵向运动，不能横越。——磁约束例：受控热核反应——托克马克、磁镜