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5. Conjuntos Numricos5.1 Smbolos Matemticosa, b, ...variveis e parmetros=Igual

A, B, ...Conjuntosdiferente

pertence a>maior que

no pertence b (a maior que b), se ab um nmero positivo. A este fato damos o nome de desigualdade. Outros tipos de desigualdade so: a < b, a b, a b.

5.2 Conjuntos Propriedades das Desigualdades Dada uma reta, podemos estabelecer uma relao entre seus pontos e os nmeros reais, de tal modo que a todo ponto corresponda um nico real e a todo real corresponda um nico ponto. Desta maneira podemos identificar todos os nmeros reais por pontos da reta dada. A idia e construir uma espcie de rgua em que constam tambm os nmeros negativos. Chamamos esta rgua de reta (ou eixo) real. Onde o ponto zero a origem.

1. Se a > b e b > c a > cEx. a = 5 , b = 3 , c = 21. Seja a > b :Se c >0 a . c > b . cEx. a = 5 , b = 3 , c = 2Se c < 0 a . c < b . cEx. a = 5 , b = 3 , c = -21. a > b a + c > b +c , c Rd)a > b e c > d a + c > b + dEx. a = 3 , b = 2 , c = - 3, d = - 4e) Se a > b > 0 e c > d >0 a . c > b. d Exemplo: a = 4 b = 2 c = 5 d = 3 a x c b x d 4 x 5 2 x 3 20 6Teoremasa) Sendo m e n naturais quaisquer, tem-se que m + n, m . n e mn so todos naturais ( lembre-se de que 00 = 1 ).b) Sendo h e k inteiros quaisquer, tem-se h + k, h k, h . k so todos inteiros. c) Sendo r e s racionais quaisquer, r + s, r s, r . s e r/s so todos racionais ( em r/s devemos ter s 0 ).d) Sendo r um nmero racional e x um nmero irracional, tem-se que r + x irracional. e) Sendo r, r 0, um racional e x um nmero irracional tem-se que r . x irracional. f) Sendo x um irracional qualquer no nulo, tem-se que 1/x irracional.g) Entre dois nmeros racionais existem infinitos outros racionais e infinitos nmeros irracionais. h) Entre dois nmeros irracionais existem infinitos outros nmeros irracionais e infinitos nmeros racionais.

5.2 Conjuntos Exemplos:1) Quantos so os elementos do conjunto {x / 10 < x 0 a > b ou a < -b ou a = b, b > 0 a = b ou a = -b 6) Se a, b R | a . b | = | a | . | b | a a7) Se a, b R, b 0 ----=---- b b 8) Se a, b R | a + b | | a | + | b |(Desigualdade Triangular) 9) Se a, b R | a | - | b | | a - b | | a | + | b |

5.2 Conjuntos Exerccios1) Se A e B so dois conjuntos tais que A B e A { }, ento: a) Sempre existe x A tal que x B b) Sempre existe x B tal que x A c) Se x B, ento x A d) Se x B, ento x Ae) A B = { }Resoluo:Vamos imaginar o conjunto A = { 1, 2, 3, 4 } e B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }Agora iremos analisar cada uma das alternativas.a) (Falsa), pois 1, 2, 3, 4 pertencem a Bb) (Falsa), pois 1, 2, 3, 4 pertencem a Ac) (Falsa), pois 5 e 6 no pertencem a A.d) (Verdadeira), exemplo: 7 A e 7 Be) (Falsa), { 1, 2, 3, 4 }Resposta: D 2) Supondo A, B e C trs conjuntos no vazios. assinale a alternativa correta.a) A C, B C = { } A B { } b) A B, C A { } C B c) A B, CB A C { } d) A B, B C { } A C { } e) A B, C A { } (A C) B Resoluo: Vamos imaginar os seguintes conjuntos.A = { 1, 2, 3 } B = { 4, 5, 6 } C = { 4, 5, 6 , 7 } Agora iremos analisar cada uma das alternativasa) (Falsa), A B = { } b) (Falsa), C B = { } c) (Falsa), A C = { } d) (Falsa), A C = { } e) Verdadeira, (A C) B = { 4, 5,. 6 } Resposta: E

5.2 Conjuntos Exerccios 3) Sejam A, B, e C conjuntos finitos. O nmero de elementos de A B 30, o nmero de elementos de A C 20 e o nmero de elementos de A B C 15, ento, o nmero de elementos de A B C ) .a) 35b) 15c) 50d) 45e) 20Dados: A B = 30A C = 20 A B C = 15 A B C ) = ?Resoluo:Temos que: A B C so os elementos comuns entre os conjuntos A, B e C. Portanto so 15 elementos. Temos que: A B so 30 elementos e A C so 20 elementos, logo. B C so 20 elementos Ento: A B C ) 15 + 20 = 35 elementosResposta: A 4) Se A e B e A B so conjuntos com 90, 50 e 30 elementos, respectivamente, ento o nmero de elementos do conjunto A B : a) 10b) 70c) 85d) 110e) 70Resoluo: Podemos fazer: A = 90B = 50 C = 30Temos que: A B C 90 + 50 + 30 = 170 Elementos(A B) C 90 + 50 30 140 30 = 110 elementos.Resposta: D5) Se A e B so dois conjuntos no vazios, tais que: A B = { 1, 2, 3 ,4 ,5, 6, 7, 8 }, A B = { 1, 3, 6, 7 }, B A = { 4, 8 }, ento A B o conjunto: a) {` } b) { 1, 4 } c) { 2, 5 } d) { 6, 7, 8 } e) { 1, 3, 4, 6, 7, 8 } Resoluo: No pertencem a B = { 1, 3, 6, 7}No Pertencem a A = { 4, 8} Conjunto A = {1, 2, 3, 5, 6 , 7}Conjunto B = { 2, 4, 5, 8 }A B = { 2, 5 }Resposta: C

5.2 Conjuntos Exerccios6) Se A = { 2, 3, 5, 6, 7, 8}, B = { 1, 2. 3, 6, 8 } e C = { 1, 4, 6 , 8 }, ento:a) ( A B ) C = { 2 } b) ( B A ) C = { 1 }c) ( A B ) C = { 1 }d) ( B A ) C = { 2 }e) N.D.A.Resoluo:Iremos analisar cada uma das alternativas.a) ( A B ) C = { 2 } A = { 2, 3, 5, 6, 7, 8}, B = { 1, 2. 3, 6, 8 } C {1, 4, 6, 8}, (5 , 7 ) C = { } falsa. b) ( B A ) C = { 1 } B = { 1, 2. 3, 6, 8 } A = { 2, 3, 5, 6, 7, 8} C { 1, 4, 6 , 8 }( 1 ) C { 1, 4, 6 , 8 } = { 1 } verdadeirac) ( A B ) C = { 1 } A = { 2, 3, 5, 6, 7, 8}, B = { 1, 2. 3, 6, 8 } C {1, 4, 6, 8}, (5 , 7 ) C = { } falsa. d) ( B A ) C = { 2 } B = { 1, 2. 3, 6, 8 } A = { 2, 3, 5, 6, 7, 8} C { 1, 4, 6 , 8 }( 1 ) C { 1, 4, 6 , 8 } = { 1 } falsaResposta: B 7) Sendo A = { 1, 2, 3, 5, 7, 8 } e B = { 2, 3, 7 }, ento o complemento de B em A : a) b) { 8 }c) { 8, 9, 10 }d) { 1, 5, 8 }e) N.D.A.Resoluo: A B = {1, 2, 3, 5 ,7 ,8 }A B = { 2, 3, 7 }A B = {1, 5, 8} Resposta: E

5.2 Conjuntos Exerccios8) Na festa da casa de Flvio observei que 18 convidados tomaram vodka, 12 tomaram cerveja, 11 tomaram Martine, 6 tomaram vodka e cerveja, 5 tomaram cerveja e Martine, 4 tomaram vodka e Martine, 2 tomaram vodka, cerveja e Martine. As 8 mulheres mais bonitas s tomaram vinho e as 6 mais feias s tomaram jurubeba e eu que no estava me sentindo muito bem s tomei Jack Daniels. Pergunta-se.a) Quantos convidados estavam na festa?b) Quantos convidados s tomaram cerveja?Resoluo:b) Quantos convidados s tomaram cerveja?Vamos colocar os dados em uma tabela para melhor visualizao da questo.AVodkaBCervejaCMartineDVinhoEJurubebaFJack DanielsGVodka e CervejaHCerveja e MartineIVodka e Martine

18 + 2 = 2012 + 2= 1411 + 2 = 13861654

Vamos calcular a diferena de conjunto na soluo da alternativa b.

A B

B = 14 G + H = 11

A B 14 11 = 3Resposta: 3 convidados s tomaram cerveja a) Quantos convidados estavam na festa?

A B A+B+C+D+E+F= 62 G + H + 2I = 19A B 62 19 = 43Resposta: 43 convidados estavam na festa5.2 Conjuntos Exerccios9) Se A B e A C , com A B C, ento podemos afirmar que:a) A B A Cb) ( C B ) A = C c) A = B C d) A = B C e) ( B C ) A = Vamos imaginar os conjuntos ABC, como:A = { 1, 2, 3, 4 }B = { 5, 6, 7 }C = { 8, 9 }Resoluo:Iremos analisar cada uma das alternativas a) (Falsa) , A B A C A B = { } A C = { } A B = A Cb) (Falsa), ( C B ) A = C {1, 2, 3, 4, ,8 ,9 } {8, 9}c) (Falsa) , A = B C A {5, 6, 7, 8, 9}d) (Falsa), A = B C A = { } A {1, 2, 3, 4,}e) (Verdadeira) ( B C ) A = {5, 6, 7) {1, 2, 3, 4} = Resposta: E 10) Se A = ] 3, 2 ], B = { x R/ 0 x 2 } e C = [ 1, + [ , ( A B ) ( C B ) igual a: a) ] 0, 2 [b) { x R / 1 x 2 }c) d) ] 3, 2 ]e) x R x 0 Resoluo:Iremos analisar cada uma das alternativas a) (Falsa)] 3, 2 ] ] 0, 2 [ -3 2 0 2O extremo -3 no pertence ao intervalob) (Falsa), { x R / 1 x 2 } { x R / x 0}, { x R / x 2}c) (Falsa), , C = [ 1, + [ um intervalo infinito semi-aberto direita 1 + Resposta: E

5.2 Conjuntos Exerccios11) Numa escola com 500 alunos, 300 praticam jud, 180 praticam karat e 90 no praticam qualquer modalidade de arte marcial. O nmero de alunos que praticam apenas karat .

X= 300 Y = 180 Z = 90X+Y-Z+K = 500300+180-90+K = 500480-90+K = 500390+K = 500K = 500 390K = 110Resposta: 110 alunos praticam karat12) Assinale as alternativas corretas sobre o conjunto A = { 1, 2, { 2 } } 1) 2) A4) { } A8) { 2 } A16) { { 2 } } A32) { 1 , 2 } A64) { 2 } AResoluo:Iremos analisar cada uma das alternativas 1) (Verdadeira), 2) (Verdadeira), A4) (Verdadeira), { } A8) (Verdadeira), { 2 } A16) (Verdadeira),{ { 2 } } A32) Falsa { 1 , 2 } A, { 2 } { { 2 } } 64) (Verdadeira), { 2 } AResposta: 95

5.2 Conjuntos Exerccios13) Numa sala tem 100 alunos. Destes 85 gostam de matemtica e 50 de fsica. Quantos alunos gostam de matemtica e fsica ao mesmo tempo.Resoluo:Vamos calcular a diferena de conjunto.

A B

85 50

A B 85 50 = 35 alunosResposta: 35 alunos 14) Assinale a alternativa correta.a) Se p primo, ento p impar. b) Se p primo,ento p + 2 imparc) Se p primo, ento p + 1 pard) Se p primo, ento p2 impare) N.D.A.Resoluo:Iremos analisar cada uma das alternativas a) (Falsa). 2 primo, ento 2 par.b) (Falsa). 2 primo, ento 2 + 2 par.c) (Falsa). 2 primo, ento 2 + 1 impar.d) (Falsa). 2 primo, ento 22 par.e) VerdeiraResposta: E

5.2 Conjuntos Exerccios15) Seja N o conjunto dos nmeros naturais K = { 3x / x N }, L = { 5x / x N } e M = { 15x / x N } . Qual a afirmativa correta?a) K L = M b) K L. c) N L = Md) K L = M e) K L = M Resoluo:Iremos analisar cada uma das alternativas a) (Falsa) K L = { 5x / x N } M = { 15x / x N } b) (Falsa) K L K = { 3x / x N } e L = { 5x / x N }c) (Falsa) N L = M N = { } , L = { 5x / x N } e M = { 15x / x N } d) (Falsa) . K L = M K = { 3x / x N }, L = { 5x / x N } e M = { 15x / x N }e) (Verdadeira). K L = M K = 1x, 2x, 3x/ x N L = 1x, 2x, 3x. 4x, 5x / x N K L = { 3x / x N } M = { 3x / x N }Resposta: E16) A interseco do conjunto de todos os inteiros mltiplos de 6 com o conjunto de todos os inteiros mltiplos de 15 o conjunto de todos os inteiros mltiplos de: Resoluo: A = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54 , 60}B = { 15, 30....}A B = 30Resposta: 30