동아대학교 토목공학과 구조역학 1 강의: 박현우

Lecture 5 - 1

5. 보와 골조: 전단력과 휨모멘트

(Beams and Frames: Shear forces and bending moments)

수업목적:

평면상에서 하중을 받는 보와 골조에 발생하는 내력과 모

멘트 계산에 필요한 해석기법을 이해하고 습득.

수업내용:

전단력도와 모멘트도

하중, 전단력, 휨모멘트 사이의 관계

정성적 처짐형상

평면골조의 정적 정정, 부정정, 불안정

평면골조의 해석

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Lecture 5 - 2

5.1 축력, 전단력, 휨모멘트 (1) 부재에 발생하는 내력

트러스: 축력만 발생

보와 골조: 축력뿐만 아니라 전단력과 휨모멘트 발생

(2) 내력을 표현하기 위한 자유물체도

(3) 부호규약

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Lecture 5 - 3

(4) 보의 특정부위에 발생하는 내력 계산절차 (예시)

단순보의 점 B에서의 축력, 전단력, 휨모멘트를 계산

a) 지점 조건을 제거한 보 전체의 자유물체도에서 평형방정식을 이용하여 반력계산.

000 zyx MFF

b) 내력을 구하고자 하는 지점(B)을 기준으로 구조물을 두 부분으로 나눔. 이 때 다음 그림과 같이 나뉘진 지점에서 크기는 같고 부호는 반대인 내력을 도시.

Q = 축력; V = 전단력; M = 휨모멘트

VB

MB

QB

VB

QB MB

A C P

B

A C

P Ax Ay Cy

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Lecture 5 - 4

c) 지점반력과 B 지점의 내력을 포함하는 자유물체도(AB 부분 BC 부분 중 한쪽 선택) 에서 평형방정식을 이용하여 내력 계산.

000 zyx MFF

(5) 예제 1

B점에서의 축력, 전단력, 휨모멘트를 구하라.

a) 지점 조건을 제거한 보 전체의 자유물체도에서 평형방정식을 이용하여 반력계산.

A

Ax Ay VB

B

QB

MB B C

P VB Cy

QB

MB

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Lecture 5 - 5

b) 내력을 구하고자 하는 지점(B)을 기준으로 구조물을 두 부분으로 나눔. 이 때 다음 그림과 같이 나뉘진 지점에서 크기는 같고 부호는 반대인 내력을 도시.

c) 지점반력과 B 지점의 내력을 포함하는 자유물체도

(AB 부분 BC 부분 중 한쪽 선택) 에서 평형방정식을 이용하여 내력 계산.

Fx = 0 020 BQ QB = -20 = 20 k ()

Fy = 0 03025 BV VB = -5 = 5k ( )

MB = 0 0)18)(25()6(30 BM MB = 270 k-ft ()

VB

MB

QB

VB

MB

QB

VB

QB MB

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Lecture 5 - 6

(6) 예제 2

B점에서의 전단력, 휨모멘트를 구하라.

(Note) 이 문제의 경우는 반력을 구할 필요없이 BC 부분의 자유 물체도를 이용해서 내력을 직접 계산할 수 있다.

c) 지점반력과 B 지점의 내력을 포함하는 자유물체도

(AB 부분 BC 부분 중 한쪽 선택) 에서 평형방정식을 이용하여 내력 계산.

Fx = 0

Fy = 0 0204 BV VB = 80kN ()

MB = 0 05002204 BM MB = 340kN ()

VB

MB

x 방향 외력이 없기 때문에 생략, 이 다음 문제들도 마찬가지.

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Lecture 5 - 7

5.2 전단력도와 모멘트도

(1) 정의

부재의 길이방향을 따라 변화하는 전단력과 모멘트를 도시한 그림.

(2) 해석절차

a) 지점에 발생하는 반력을 계산. b) 구조물의 지점과 외력의 위치에 따라 내력을 계산하기 위한 단면구간의 설정.

c) b)에서 나눠진 각각의 단면구간을 대표할 수 있는 단면을 설정. 기준점으로부터 각 단면구간의 단면 위치를 x 로 표시하고 각 단면에 해당하는 자유물체도 구성한 뒤 내력에 대한 평형방정식을 계산.

d) c)에서 구한 각 단면구간에서의 전단력과 모멘트를 전체구간에 대해 x에 대한 그래프로 도시.

(3) 예제

다음 보의 전단력도와 모멘트도를 도시하라.

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Lecture 5 - 8

a) 지점에 발생하는 반력을 계산.

b) 구조물의 내부지점과 외력의 위치에 따라 내력을 계산하기 위한 단면구간의 설정. 이 문제의 경우 위의 그림과 같이 AB, BC, ED, DC 네개의 구간으로 나눌 수 있음.

c) b)에서 나눠진 각각의 단면구간을 대표할 수 있는 단면을 설정(이 문제의 경우 위의 그림처럼 aa, bb, cc, dd단면으로 구성). 기준점으로부터 각 단면구간의 단면 위치를 x 로 표시하고 각 단면에 해당하는 자유물체도 구성한 뒤 내력에 대한 평형방정식을 계산.

AB구간(0 x 10)의 자유물체도와 평형방정식

Fy = 0 046 ABV VAB = 46k

Mz= 0 046 xM AB MAB = 46x k-ft

VAB

MAB

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Lecture 5 - 9

BC구간(10 x 20)의 자유물체도와 평형방정식

Fy = 0 06046 BCV

VBC = -14 k

MZ = 0 0)10(6046 xxM AB MBC = -14x + 600 k-ft

ED구간(0 x1 10)의 자유물체도와 평형방정식

Fy = 0 02 1 xVED

VED = 2x1 k

MZ = 0 0)2

(2 11

xxM ED

MED = 21x k-ft

VED

MED

VBC

MBC

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Lecture 5 - 10

DC구간(10 x1 20)의 자유물체도와 평형방정식

Fy = 0 0542 1 xVDC

VDC = 2x1 – 54 k

MZ = 0 0)10(54)2

(2 11

1 xx

xM DC

MDC = 54054 121 xx k-ft

d) c)에서 구한 각 단면구간에서의 전단력과 모멘트를 전체구간에 대해 x에 대한 그래프로 도시.

VDC

MDC

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Lecture 5 - 11

5.3 하중, 전단력, 휨모멘트 사이의 관계

(1) 구조물에 발생하는 전단력과, 휨모멘트, 하중 사이에 존재하는 미분관계를 이용하면 전단력도와 모멘트도를 쉽게 구할 수 있음. (2) 전단력, 모멘트, 하중의 관계

a) 분포하중 q 를 받는 미소요소의 전단력, 모멘트, 하중 관계

+

Fy = 0 0)( dVVqdxV

qdx

dV

.

MZ = 0 0)()2

)(( dMMdx

qdxVdxM

Vdx

dM

V

V+dV

전단력도의 기울기 = 분포하중 크기

모멘트의 극값은 전단력이 0일 때 발생

q

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Lecture 5 - 12

qdx

Md

dx

dM

dx

d

dx

dV

2

2

)(

b) 집중하중 P 를 받는 미소요소에서 전단력, 모멘트, 하중 관계

Fy = 0 0)( dVVPV

PdV

MZ = 0 0)()2

( dMMdx

PVdxM

0)2

( dx

PVdxdM

Vdx

dM (집중하중 왼쪽), PVdVV

dx

dM (집중하

중 오른쪽)

c) 집중모멘트 M 을 받는 미소요소에서 전단력, 모멘트, 하중 관계

Fy = 0 0)( dVVV

V

V+dV

V

V+dV

분포하중과 모멘트의 관계

집중하중 지점에서 전단력 불연속 발생

집중하중 지점에서 모멘트 변화 무시

집중하중의 좌우에서 모멘트 기울기의 불연속 발생

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Lecture 5 - 13

0dV

MZ = 0 0)( dMMMVdxM

MMVdxdM

5.4 정성적인 처짐 형상 (1) 정의

주어진 하중 조건 하에서 변형된 구조물의 중립 표면이 갖게 되는 개략적이고 다소 과장된 형태를 도시한 것. (2) 고려사항

경계조건(지점조건) 모멘트도의 변곡점(모멘트가 0이 되는 위치) 모멘트도에서 모멘트의 부호 모멘트의 상대적인 크기 (3) 예제

다음과 같이 하중을 받는 내민 보의 정성적인 처짐형상을 도시하라.

20 kN/m 500 kNm

A CB

6 m 4 m

집중모멘트 지점에서 전단력 변화 없음

집중모멘트 지점에서 모멘트 불연속 발생

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Lecture 5 - 14

+

+

200 kN

-500 kNm

500 kNm

전단력도

모멘트도

정성적 처짐형상

m25

수직처짐,처짐각 = 0

변곡점

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Lecture 5 - 15

5.5 평면골조의 정적 정정, 부정정, 불안정 (1) 골조의 자유물체도와 내력

골조가 평형상태에 있기 위해서는 각 부재뿐만 아니라 접합부에서도 평형상태가 이루어져야 한다.

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Lecture 5 - 16

(2) 해석에서 구해야 하는 총 미지수의 개수 지점반력 [r] + 단부부재력(축력, 전단력, 휨모멘트) [6m]

(3) 해석에서 사용할 수 있는 총 조건식의 개수

각 접합부 자유물체도 [3j] + 각 부재 자유물체도 [3m] + 추가조건식 (힌지등) [ec]

(4) 부정정 차수(ie)

(5) 골조의 추가조건(힌지)에서 유의할 점

(Q) 여러 개의 부재가 하나의 힌지 접합부에 연결되어 있는 경우 접합부에 대한 조건식 개수는 몇 개가 늘어나는가?

ie = (6m +r)-(3j+3m+ec)=(3m+r)-(3j+ec)

3m + r < 3 j+ ec: 정적 불안정 골조

3m + r = 3 j+ ec: 정적 정정 골조

3m + r > 3 j+ ec: 정적 부정정 골조

m: 부재의 개수, r: 반력의 개수, j: 절점의 개수, 추 ec:추가조건식

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Lecture 5 - 17

(6) 다차 부정정 골조에서 부정정 차수 계산

(Q) 부재의 개수와 접합부의 개수를 이용하지 않고 복잡한 다차 부정정 골조의 차수를 계산하려면 어떻게 해야 하는가?

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Lecture 5 - 18

(7) 예제

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Lecture 5 - 19

5.6 평면골조의 해석

(1) 해석절차

a) 골조의 지점 반력 계산. b) 적절한 자유물체도를 이용해서 각 부재의 단부력 계산.

c) 각 부재 단부력, 지점 반력 그리고 외력을 고려하여 축력도, 전단력도, 휨모멘트도 도시.

(2) 예제

다음 골조를 해석하고 축력도, 전단력도, 휨모멘트도를 도시하라.

a) 골조의 지점 반력 계산

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Lecture 5 - 20

b) 적절한 자유물체도를 이용해서 각 부재의 단부력 계산.

c) 각 부재 단부력, 지점 반력 그리고 외력을 고려하여 축력도, 전단력도, 휨모멘트도 도시

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Lecture 5 - 21