55

5 Elektrický prúd

Usmernený kolektívny pohyb elektrických nábojov nazývame elektrický prúd. Môže ísť o pohyb elektrónov, protónov, kladných alebo záporných iónov. Pohyb týchto elektrických nábojov sa môže konať buď vo vákuu alebo v materiálnom prostredí. Všeobecne budeme nazývať vodičom látku, v ktorej sú voľne pohyblivé elektricky nabité častice. Voľnými nabitými časticami v kovovom vodiči sú záporné elektróny, v elektrolytoch sú to kladné a záporné ióny, v plyne môže ísť o pohyb ako kladných a záporných iónov tak aj alektrónov, v polovodiči hovoríme o pohybe elektrónov a „dier“. Je zrejmé, že charakter a mechanizmus pohybu elektrických nábojov v tuhom, kvapalnom a plynnom prostredí sa bude značne odlišovať. Budeme sa zaoberať všeobecnými zákonitosťami platnými pre elektrické prúdy, bez ohľadu na konkrétny mechanizmus vedenia elektrického prúdu v jednotlivých médiách.

5.1 Základné pojmy a zákony 5.1.1 Elektrický prúd

Fyzikálna veličina charakterizujúca pohyb elektrického náboja je elektrický prúd:

ddQIt

= (5.1)

Elektrický prúd je celkové množstvo elektrického náboja, ktoré pretečie prierezom vodiča za jednotku času. Jednotkou elektrického prúdu je 1 ampér, ktorý je aj základnou jednotkou SI. O jeho definícii sa zmienime v kapitole o silových účinkoch vodičov pretekaných prúdmi. Nosiče elektrického náboja sa bez prítomnosti elektrického poľa vo vodiči pohybujú neusporiadane. Cez jednotkovú plochu prierezu vodiča prejde rovnaké množstvo elektrického náboja obidvomi smermi. Aby mohol nastať usmernený pohyb nosičov náboja, musí na voľné častice pôsobiť sila, teda vo vodiči musíme udržovať nenulové elektrické pole. Ak intenzita elektrického poľa je E, potom na každý elektrický náboj bude pôsobiť sila F = Q E. Ak má intenzita elektrického poľa stále rovnaký smer, vznikne jednosmerný elektrický prúd. Ak sa smer intenzity periodicky mení na opačný, vzniká striedavý elektrický prúd. Ak chceme, aby vodičom tiekol stály elektrický prúd, musíme udržovať vo vodiči stále elektrické pole, teda rozdiel potenciálov. Elektrické pole potom premiestňuje voľné kladné náboje z miest vyššieho elektrického potenciálu do miest s nižším potenciálom, teda v smere intenzity elektrického poľa E a záporné elektrické náboje opačne. Ak by sa elektrické náboje pohybovali len pod vplyvom elektrického poľa, boli by stále urýchľované. Pri svojom pohybe však stále narážajú na seba navzájom a tiež na mriežku materiálu, ktorému odovzdávajú časť svojej kinetickej energie. V dôsledku toho sa vodič zahrieva. Zrážkový mechanizmus umožňuje vznik ustáleného stavu.

56

5.1.2 Hustota elektrického prúdu Z definície elektrického prúdu nie je zrejmé ako sa elektrické náboje pohybujú, môžu

pretekať prierezom vodiča rôznymi smermi. Veličina I je skalárnou veličinou a preto kvôli popisu nielen veľkosti elektrického prúdu, ale aj jeho smeru (orientácie) sa zavádza vektorová veličina – hustota elektrického prúdu J. Smer vektora hustoty elektrického prúdu sa historicky definoval v smere pohybu kladného náboja. Veľkosť hustoty elektrického prúdu sa rovná súčtu kladného elektrického náboja, ktorý prejde v smere intenzity elektrického poľa E za jednotku času cez plošnú jednotku kolmú na smer intenzity a záporného elektrického náboja, ktorý cez tú istú plôšku prejde v opačnom smere (obr.5.1)

-2+ [A m ]ρ ρ− + − −= + = ++J J J v v , (5.2)

kde ρ+, ρ− sú objemové hustoty príslušného kladného, resp. záporného elektrického náboja, v+, v− sú ich stredné usmernené rýchlosti. Poznámka: Je potrebné si uvedomiť, že zatiaľ čo vektory v+, v- sú nesúhlasne rovnobežné, vektory J+ a J- sú súhlasne rovnobežné a rovnobežné s vektorom intenzity elektrického poľa E (obr. 5.1).

Priestor, v ktorom preteká prúd, nazvime pole vektora J. Prúdové čiary sú myslené čiary, ku ktorým má v každom bode vektor J smer dotyčnice. Elektrické náboje sa pohybujú po prúdových čiarach. Časť priestoru vymedzená plášťom sústavy

prúdových čiar sa nazýva prúdová trubica. Uvažujme prúdovú trubicu prierezu S, ktorou preteká elektrický náboj (jednej polarity) s objemovou hustotou ρ (obr. 5.2a). Takou prúdovou trubicou je napríklad tenký vodič. Nech d je posunutie elektrického náboja v trubici za čas dt strednou rýchlosťou v, kolmou

na prierez. Objem prúdovej trubice, v ktorom sa elektrické náboje za tento čas dt posunú o vzdialenosť d je dV = Sv dt. Potom pre veľkosť hustoty elektrického prúdu môžeme písať

d dd d

Q Q IJV S t S

ρ= = = =v v vv

. (5.3)

Ak tento postup zovšeobecníme pre pretekanie elementárneho elektrického prúdu dI

nekonečne malou plôškou dS, kolmou na vektor J, dostaneme vzťah d .d

IJS

=

-+

E

J = J++ J-

v-

v+

J+ J-

Obr. 5.1

-+

E

J = J++ J-

v-

v+

J+ J-

Obr. 5.1

J

dS

dS´ = dS cosα

αS

dSJ

Obr. 5.2a Obr. 5.2b

d dt= v

J

dS

dS´ = dS cosα

αJ

dS

dS´ = dS cosα

αS

dSJ

Obr. 5.2a

SdSJ

Obr. 5.2a Obr. 5.2b

d dt= v

57

V prípade, že plôška dS nie je kolmá na vektor J a normála k plôške zviera s vektorom J uhol

α, bude platiť (obr. 5.2b): d .d cos

IJS α

=

Odtiaľ pre elektrický prúd vyplýva

d d d .S

I I= ⇒ ∫J S = J S⋅ ⋅ (5.4)

Elektrický prúd je tokom vektora hustoty elektrického prúdu cez plochu S. 5.1.3 Ohmov zákon

Ako sme už uviedli, podmienkou vzniku usmerneného pohybu elektrónov vo vodiči, teda podmienkou vzniku elektrického prúdu je existencia elektrického poľa. Výsledky experimentov s elektrickými prúdmi v kovových vodičoch ukázali, že pri konštantnej teplote hustota elektrického prúdu vo vodiči je priamo úmerná intenzite elektrického poľa.

Pritom platí, že v izotropnom prostredí má vektor hustoty elektrického prúdu J rovnaký smer ako vektor intenzity elektrického poľa E (prúdové čiary sú totožné so siločiarami). Matematicky môžeme tento zákon vyjadriť v tvare

σ=J E , (5.5) kde konštanta úmernosti σ sa nazýva konduktivita a závisí od vlastností materiálu. Vzťah (5.5) platí len pre slabé elektrické polia, pri silných poliach je linearita vzťahu porušená v dôsledku zmien v mechanizme zrážok (obr. 5.3). Súvislosť intenzity elektrického poľa a vektora hustoty elektrického prúdu môžeme vyjadriť aj nasledovne:

1 ρσ

= =E J J . (5.6)

Prevrátená hodnota konduktivity sa nazýva rezistivita ρ. Platí, že vo vodiči, ktorým preteká ustálený elektrický prúd je E ≠ 0 a naopak, ak E = 0 elektrický prúd vo vodiči neexistuje.

Vzťahy (5.5), resp. (5.6) majú názov podľa nemeckého fyzika Georga Simona Ohma (1789-1854) a voláme ich Ohmove zákony v diferenciálnom tvare. Tieto formulácie

nezávisia od tvaru a objemu vodiča. Uvažujme časť vodiča, a v ňom

elementárnu prúdovú trubicu (obr. 5.4). V izotropnom prostredí bude smer vektora intenzity E rovnobežný s vektorom J a rovnobežný s osou trubice. Zvoľme si na tomto úseku vodiča dva prierezy A a B. Každá prierezová plocha S nech je ekvipotenciálnou plochou. Charakterizujme tieto plochy elektrickými potenciálmi VA, VB, pričom nech platí VA > VB. Zvolený dĺžkový element ležiaci na prúdovej čiare nech je d . Medzi

elektrickým potenciálom a intenzitou elektrického poľa platí vzťah (2.51) d d .V= −E ⋅

J

EObr. 5.3

J

E

J

EObr. 5.3

A B

VA

VB

E

Jd

Obr. 5.4

A B

VA

VB

E

Jd

Obr. 5.4

58

Dosadením vzťahu (5.6) a integrovaním po prúdovej čiare od hladiny A do B dostaneme

B

A

B B

A BΑ Α

d dV

V

IdV V VS

ρ ρ= − ⇒ = −∫ ∫ ∫J ⋅ .

Pri úprave sme využili predpoklad d↑↑ ↑↑E J a uvažovali sme strednú hodnotu hustoty elektrického prúdu J = I/S. Predošlý výraz môžeme upraviť do tvaru

B

A

d ,I U IR USρ

= ⇒ =∫ (5.7)

kde U = VA − VB je napätie medzi hladinami potenciálov vodiča, R je koeficient úmernosti medzi elektrickým prúdom a napätím na danom úseku vodiča a nazýva sa elektrický odpor. Integrálny tvar Ohmovho zákona môžeme formulovať nasledovne: Elektrický prúd daným úsekom vodiča pri danej teplote a pre daný materiál je priamo úmerný rozdielu potenciálov (napätiu) na koncoch tohto vodiča. Matematicky môžeme túto lineárnu závislosť medzi elektrickým napätím a prúdom vyjadriť vzťahom

1, resp.U R I I U GUR

= = = (5.8)

pričom G =1/R je elektrická vodivosť úseku vodiča. Grafické vyjadrenie Ohmovho zákona je na obr. 5.5a. Ako vidieť z grafu I(U),

v prípade, že elektrický odpor je konštantný (R = konšt.) dostávame priamku so smernicou 1tg .GR

α = =

Závislosť elektrického prúdu od elektrického odporu I(R) pri konštantnom napätí U je znázornená hyberbolou na obr. 5.5b.

I [A]

U [V]Obr. 5.5a

α

I [A]

R [Ω]Obr. 5.5b

U = konšt.

I [A]

U [V]Obr. 5.5a

α

I [A]

R [Ω]Obr. 5.5b

U = konšt.

59

5.1.4 Elektrický odpor vodiča Pri odvodení Ohmovho zákona v integrálnom tvare sme definovali novú veličinu -elektrický odpor úseku vodiča vzťahom

B

A

d .RSρ

= ∫ (5.9)

Táto veličina závisí od druhu materiálu, od geometrie vodiča (jeho dĺžky a prierezu) a závisí aj od teploty. Elektrický odpor kovov závisí napríklad aj od ich spracovania. Pre homogénne vodiče konštantného prierezu pri danej teplote platí

,RS

ρ= (5.10)

kde je dĺžka uvažovaného úseku vodiča. Jednotkou elektrického odporu R vodiča je 1 ohm (1 Ω). Z Ohmovho zákona vyplýva jeho definícia: Jeden ohm je elektrický odpor vodiča, na ktorom pri elektrickom prúde 1 A vznikne medzi jeho koncami napätie (potenciálový spád) 1 V.

Platí: 2 3 21V1 1m kg s A1A

− −Ω = = ⋅ ⋅ ⋅ .

Jednotkou elektrickej vodivosti G = 1/R je 1 siemens (1 S) a platí: 1 S = 1 Ω−1. Materiálové konštanty – rezistivita ρ a konduktivita σ (definované v časti 5.1.3) majú nasledovné jednotky: [ ] 1m , [S m ] .ρ σ −Ω ⋅ ⋅ Hodnoty konduktivity sa pre jednotlivé druhy materiálov výrazne líšia. Pre dobré vodiče (napr. meď) sú rádovo 108 S⋅m−1 a naopak v prípade izolantov sú rádove 10−17 S⋅m−1. Veľký vplyv na konduktivitu majú rôzne prímesi. Malé množstvo prímesi môže veľmi zmenšiť konduktivitu čistého kovu. 5.1.4.1 Spájanie rezistorov

Elektrotechnické súčiastky, ktoré môžeme charakterizovať elektrickým odporom R, budeme nazývať rezistory. Pre potreby praxe potom môžeme takéto súčiastky – rezistory -spájať buď do série, paralelne alebo do rôznych sériovo-parelných zapojení, podľa toho, aký potrebujeme výsledný elektrický odpor.

Sériové zapojenie rezistorov – tzv. zapojenie za sebou znamená, že spojíme vždy výstupnú svorku jedného rezistora so vstupnou svorkou nasledujúceho (obr.5.6a). Nech rezistory majú elektrické odpory R1, R2, R3, ... Rn. Pre takéto zapojenie rezistorov potom platí: a) všetkými rezistormi preteká rovnaký elektrický prúd I a platí Ohmov zákon v tvare

U = R I,

b) výsledné napätie U medzi bodmi A, B sa rozdelí na napäťové spády Ui na jednotlivých rezistoroch, pričom platí

1 2 3 1 2 3 1 2 31 1

... ... ( ...)n n

i ii i

U U U U U R I R I R I R R R I I R= =

= = + + + = + + + = + + + =∑ ∑

60

c) ekvivalentný elektrický odpor sériového zapojenia rezistorov R potom bude

1

n

ii

UR RI =

= =∑ (5.11)

Výsledný elektrický odpor sústavy je rovný súčtu elektrických odporov jednotlivých rezistorov. Takéto zapojenie používame, ak potrebujeme elektrický odpor zväčšiť. Paralelné zapojenie rezistorov – tzv. zapojenie vedľa seba (obr. 5.6b). Spojíme navzájom vstupné svorky všetkých rezistorov ako aj všetky výstupné svorky. Potom platí: a) napätie na všetkých rezistoroch je rovnaké U, je to spoločné napätie medzi uzlom

vstupným a výstupným, b) elektrický prúd v nerozvetvenej časti sa rovná súčtu elektrických prúdov v jednotlivých

vetvách 1 2 31 11 2 3 1 2 3

1 1 1 1... ... ( ...)n n

ii i i

U U UI I I I I U UR R R R R R R= =

= = + + + = + + + = + + + =∑ ∑ ,

c) ak je R ekvivalentný elektrický odpor rozvetvenej časti medzi bodmi A, B, platí pre

elektrický prúd I: 1I UR

= ,

d) porovnaním predošlých vzťahov dostaneme pre výsledný elektrický odpor paralelného

zapojenia: 1

1 1n

i iR R=

= ∑ , resp. pre výslednú elektrickú vodivosť: 1

.n

ii

G G=

= ∑ (5.12)

Výsledný elektrický odpor je teda menší ako elektrický odpor ktorejkoľvek vetvy.

5.1.4.2 Teplotná závislosť elektrického odporu

Elektrický odpor materiálov závisí od teploty. Pre kovy a väčšinu vodivých látok

môžeme túto závislosť vyjadriť vzťahom

0

1 1

0

AT TR R e⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠= , (5.13)

kde R je elektrický odpor pri teplote T, R0 je elektrický odpor pri teplote T0, A je konštanta s rozmerom teploty. Pre kovy platí A < 0, pre polovodiče A > 0. Pre charakterizovanie teplotnej závislosti zaveďme novú veličinu - teplotný koeficient elektrického odporu vzťahom

I

I1

I2

I3

In

R1

R2

R3

Rn

A B

U

A BR

U

Obr. 5.6b

A BR1 R2 R3 Rn

U1 U2 UnU

U

RA B

I

Obr. 5. 6a

I

I1

I2

I3

In

R1

R2

R3

Rn

A B

U

A BR

U

Obr. 5.6b

A BR1 R2 R3 Rn

U1 U2 UnU

U

RA B

I

Obr. 5. 6a

61

11 d [K ] ,dT

RR T

α −= (5.14)

ktorý vyjadruje relatívnu zmenu elektrického odporu pri jednotkovej zmene teploty. Po derivácii vzťahu (5.13) podľa teploty T a dosadení do (5.14) dostaneme súvis medzi konštantou A a koeficientom αT

2 .TA

Tα = − (5.15)

Pre kovy a ich zliatiny je tento koeficient kladný, pre polovodiče a izolanty záporný. Hodnoty rezistivít a teplotných koeficientov elektrického odporu sú pre niektoré materiály uvedené v tabuľke 5.1.

Ak dosadíme (5.15) do (5.13), urobíme Taylorov rozvoj vzťahu (5.13) a zanedbáme vyššie mocniny, dostaneme

22 2 2

00 0

1 1 1 1 1 1[1 ( ) ...]1! 2!T TR R T T

T T T Tα α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠,

čo môžeme zjednodušene zapísať v tvare: 2 3

0[1 ( ) ( ) ...]R R T T Tα β γ≅ + Δ + Δ + Δ + (5.16) pričom platí: 0T T TΔ = − , α, β, γ ... sú koeficienty závislé od teploty a určia sa meraním

elektrického odporu pri rôznych teplotách. Pre malé zmeny teploty v okolí teploty t = 0°C je závislosť elektrického odporu väčšiny kovov od teploty lineárna. Stačí uvažovať len prvý člen radu (5.16) a platí

0 (1 )R R tα= + , (5.17) resp. analogicky pre rezistivitu materiálu

0 (1 )tρ ρ α= + , (5.18) pričom ρ0 je rezistivita materiálu pri teplote t = 0 °C. Hodnota koeficientu α je závislá od vzťažnej teploty.

Nielen hodnoty rezistivít ale aj teplotných koeficientov elektrického odporu veľmi silne závisia od čistoty materiálu a od spôsobu spracovania. Väčšina čistých kovov má teplotný koeficient α približne rovnaký α ≅ 4⋅10−3 K−1 v rozmedzí teplôt od 0 do 100 °C.

Závislosti rezistivity od teploty pre čisté kovy (krivka a) ako aj pre kovy s prímesou (krivka b) a pre porovnanie aj závislosť rezistivity od teploty pre polovodiče (krivka c) sú na obr. 5.7. Už malé množstvo prímesi spôsobí veľké zvýšenie elektrického odporu. 5.1.4.3 Supravodivosť

Pri veľmi nízkych teplotách je elektrický odpor kovov veľmi malý a pre niektoré kovy

v blízkosti absolútnej nuly elektrický odpor zaniká takmer úplne. Tento jav sa nazýva supravodivosť a experimentálne ho objavil r. 1911 holandský fyzik Kammerlingh-Onnes (1853-1926). Prechod do supravodivého stavu nastáva skokom pri určitej, tzv. kritickej teplote Tc, ktorá je charakteristická pre daný kov, resp. zliatinu (obr. 5.7, krivka a). Napríklad

5 150

T [K]

0ρ ρ

a

b

c

Obr. 5.7

Tc5 150

T [K]

0ρ ρ

a

b

c

Obr. 5.7

Tc

62

pre olovo je to teplota 7,26 K, pričom elektrický odpor olova pri tejto teplote je 1022 krát menší ako pri izbovej teplote.

Ak v supravodivom prstenci vzbudíme elektrický prúd, potom aj pri odpojenom zdroji elektrického prúdu sa bude elektrický náboj pohybovať bez akýchkoľvek strát. Boli popísané experimenty, pri ktorých bol pokles elektrického prúdu v takomto supravodivom materiáli aj po uplynutí roka ledva merateľný. Zaujímavý jav u supravodičov objavili r. 1933 Meissner a Ochsenfeld - totiž, že magnetické pole po prechode látky do supravodivého stavu je v supravodiči nulové (B = 0). Táto skutočnosť je základom tzv. supravodivej levitácie. Ak priblížime k supravodivej doštičke pri príslušnej nízkej teplote magnet, bude sa tento magnet vznášať v určitej výške nad povrchom doštičky. Približujúci sa magnet vyvolá v supravodiči vznik indukovaných elektrických prúdov, ktorých magnetické pole spôsobí levitáciu.

Negatívnym javom u supravodičov je, že pôsobením magnetického poľa supravodivosť zaniká. Každý materiál v supravodivom stave má tzv. prahovú hodnotu magnetickej indukcie, pri ktorej ešte ostáva supravodivým. Zistilo sa tiež, že niektoré kovy (napr. Cu, Ag, Au, Fe) nie je možné dostať do supravodivého stavu.

Široké praktické využitie supravodivosti limituje fakt, že sa dosahuje len pri veľmi nízkych teplotách (teploty kvapalného hélia), čo je cenovo veľmi náročné. Po r. 1986 boli však objavené také keramické materiály, ktoré dosahovali supravodivosť pri oveľa vyšších teplotách, napr. teplote kvapalného dusíka. V súčasnosti sa hľadajú supravodiče pri izbovej teplote. Cieľom výskumov v oblasti supravodivosti je nájsť materiál, ktorý by bol supravodivý pri čo najvyššej teplote, dali by sa z neho vytvárať magnety a súčasne by mal vysokú prahovú hodnotu magnetickej indukcie.

Spektrum aplikácií supravodivosti už v súčasnosti je veľké. Využívajú sa najmä v supravodivých cievkach na vytváranie silných magnetických polí, supravodivé vinutia generátorov, v kozmickom výskume a jadrovej technike, na konštrukciu magnetov pre magneto-hydrodynamické generátory (MHD) pri výskume termojadrových syntéz, ale budúcnosť môžu mať aj aplikácie v bežnom živote, napr. pohyb vozidiel na supravodivých magnetických poduškách. 5.1.5 Zdroje elektromotorického napätia

Na voľné nosiče elektrického náboja vo vodiči musí stále pôsobiť sila, aby vodičom

tiekol elektrický prúd. Ak by sme prepojili nabité dosky kondenzátora vodičom, bude kladný elektrický náboj prechádzať z dosky (elektródy) s vyšším elektrickým potenciálom do miesta s nižším elektrickým potenciálom. Dokiaľ sa elektrické náboje na doskách kondenzátora nevyrovnajú, vodičom potečie elektrický prúd. Ak chceme vo vodiči dosiahnuť ustálený elektrický prúd, musíme stále dodávať kladný elektrický náboj zo zápornej dosky (elektródy) na kladnú (obr. 5.8a). Zariadenie, ktoré dopĺňa elektrické náboje na týchto elektródach tak, že udržuje na nich konštantný rozdiel potenciálov sa nazýva zdroj elektromotorického napätia. Elektróda s vyšším elektrickým potenciálom je kladný pól zdroja (+ svorka), druhá elektróda sa nazýva záporný pól zdroja (− svorka). Vnútri takéhoto zdroja sa kladné elektrické náboje pohybujú z miest s nižším elektrickým potenciálom do miest s vyšším potenciálom, teda ku kladnému pólu zdroja. Je to práve opačný smer, než smer, v ktorom by sa pohybovali za účinku elektrického poľa medzi týmito elektródami. V zdroji elektromotorického napätia preto musia existovať sily, ktoré konajú prácu proti silám elektrického poľa. Tieto sily sú neelektrického pôvodu a nazývame ich cudzie alebo vnútené sily Fc. Môžu mať napr. mechanickú, chemickú, difúznu, elektromagnetickú povahu. Pre intenzitu takéhoto vnúteného poľa môžeme písať

63

cc .

Q=

FE (5.19)

Výsledná intenzita je daná vektorovým súčtom intenzity elektrického poľa a vnúteného poľa Evýsl. = Ec + E . (5.20)

Základnými charakteristikami zdroja sú elektromotorické napätie (EMN) a vnútorný elektrický odpor zdroja. Definujme si postupne obe tieto veličiny. Elektromotorické napätie zdroja sa rovná práci, ktorú vykoná cudzia sila pri prenesení jednotkového kladného elektrického náboja z miesta nižšieho elektrického potenciálu (zo zápornej svorky zdroja) do miesta s vyšším potenciálom (kladná svorka) proti silám existujúceho elektrického poľa. Matematicky túto definíciu zapíšeme nasledovne

ccd dW

Q Q

+ +−→+

− −

= = ⋅ = ⋅∫ ∫EF E . (5.21a)

Intenzita cudzích (vnútených) síl je nenulová iba vo vnútri zdroja a definíciu elektromotorického napätia môžeme rozšíriť na integráciu po uzatvorenej krivke prechádzajúcej zdrojom ale v smere od svorky – po svorku +

c cd d+

−

= ⋅ = ⋅∫ ∫E E E . (5.21b)

Uvažujme najprv tzv. nezaťažený zdroj, teda zdroj neprepojený elektrickým obvodom. Elektrický prúd je nulový a hustota elektrického prúdu je tiež nulová. Na základe Ohmovho zákona môžeme písať: c c( )ρ = = + ⇒ −0J E E E = E . Z definície EMN potom dostaneme:

c d d d d d d d V V U+ + − ∞ − ∞ ∞

+ −− − + + ∞ + −

= ⋅ = − ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫E E E E E E E E . (5.22)

Rozdiel potenciálov na svorkách zdroja sa nazýva svorkové napätie. Napätie na svorkách nezaťaženého zdroja sa rovná elektromotorickému napätiu zdroja.

Ak pripojíme k svorkám zdroja EMN „záťaž“ – teda napr. určitý spotrebič s elektrickým odporom R a obvod uzavrieme, bude pretekať elektrický prúd od kladnej svorky zdroja cez odporovú záťaž k zápornej svorke zdroja a odtiaľ cez zdroj opäť ku kladnému pólu zdroja (obr. 5.8a). Vynásobme vektor hustoty elektrického prúdu skalárne dĺžkovým elementom prúdnice d a integrujme rovnicu pozdĺž celého obvodu. Smer integračnej cesty volíme tak, aby práca vnútených síl bola kladná, smer elektrických prúdov je kladný v smere integračnej cesty.

c

c cd ( ) d d d .

ρ

ρ

= +

⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫ ∫J E E

J E E E E (5.23)

Prvý integrál na pravej strane predstavuje podľa (5.21b) elektromotorické napätie zdroja, druhý integrál je nulový, pretože elektrické pole je konzervatívne a teda

cd d .ρ ⋅ = ⋅∫ ∫J E (5.24) Rozpíšme integrál na ľavej strane ako súčet integrálov pozdĺž vonkajšej časti obvodu a integrál po ceste „cez zdroj“ nasledovne:

64

d d d .ρ ρ ρ− +

+ −

⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫J J J

Pretože smery vektorov J a d sú súhlasne rovnobežné, platí d dJ⋅ =J , pričom môžeme

dosadiť za veľkosť hustoty elektrického prúdu vzťah IJS

= . Nakoniec dostávame

iobv. zdroja i

d d

d d ( ) , resp. ,

J J

I I I R R IS S R R

ρ ρ

ρ ρ

− +

+ −

− +

+ −

+ =

+ = ⇒ + = =+

∫ ∫

∫ ∫

E

E E E

(5.25)

pričom výraz obv.

dRSρ−

+

= ∫ predstavuje elektrický odpor vonkajšieho obvodu – t.j. elektrický

odpor záťaže, a analogicky výraz

izdroja

dRSρ+

−

= ∫ (5.26)

znamená vnútorný elektrický odpor zdroja. Na základe odvodeného vzťahu (5.24) si môžeme predstaviť náhradnú schému zdroja

EMN tak, že reálny zdroj EMN nahradíme sériovým zapojením ideálneho (bezodporového) zdroja EMN a jeho vnútorného elektrického odporu Ri (obr. 5.8b).

Súvis medzi elektromotorickým E a svorkovým napätím U môžeme ďalej vyjadriť:

ii i

i

( ) (1 )

resp. .

RI R R U IR UR

U IR

= + = + = +

= −

E

E (5.27)

Svorkové napätie U = R I je súčasne napätím na záťaži s elektrickým odporom R. Svorkové napätie je menšie ako elektromotorické napätie o napäťový úbytok na vnútornom elektrickom odpore zdroja. Svorkové napätie sa rovná elektromotorickému napätiu v prípade nezaťaženého zdroja (I = 0) alebo v prípade “ideálneho“ zdroja, pri ktorom môžeme jeho vnútorný odpor zanedbať (Ri = 0).

Zdrojmi elektromotorického napätia sú napr. galvanické články, akumulátory, dynamá, termočlánky a pod. Podľa veľkosti vnútorného elektrického odporu delíme zdroje na tvrdé a mäkké. Ak má zdroj malý vnútorný odpor hovoríme o tvrdých zdrojoch EMN. Na takomto zdroji je napäťový spád malý v porovnaní s elektromotorickým napätím. Ide napr. o akumulátor používaný v autách, ktorého vnútorný elektrický odpor je rádovo 10−3 Ω a preto aj keď štartovací prúd je asi 200 A, predstavuje úbytok napätia na vnútornom elektrickom odpore len 0,2 V.

+

I

R

E

Ec

+ _ I

R

+ _

Ri E

Obr. 5.8a Obr. 5.8b

+

I

R

E

Ec

+ _

+

I

R

E

Ec

+ _ I

R

+ _

Ri E

Obr. 5.8a Obr. 5.8b

65

Mäkké napäťové zdroje sú zdroje s veľkým vnútorným elektrickým odporom – sú to napr. elektrostatické generátory napätia.

Zdroje EMN môžeme spájať do série aj paralelne. Pri sériovom zapojení zdrojov dostaneme výsledný zdroj, ktorého EMN bude dané súčtom EMN jednotlivých zdrojov (napr. zmienený 12 V akumulátor je sériovým spojením šiestich článkov, každý s EMN = 2 V), ale súčasne aj vnútorný elektrický odpor výsledného zdroja je sumou vnútorných odporov jednotlivých zdrojov, a preto sa výsledný zdroj stáva mäkším. Toto tvrdenie vyplýva z 2. Kirchhoffovho zákona (rovnica 5.41), ktorý si objasníme v časti 5.2.2. Paralelne môžeme zapojiť len identické zdroje, pričom spájame spolu svorky rovnakej polarity. Výsledné EMN tohto radenia je rovnaké ako EMN jedného zdroja, ale vnútorný elektrický odpor klesne n-krát v porovnaní s vnútorným odporom jedného zdroja. Môžeme tým dostať tvrdší zdroj napätia.

5.1.6 Práca a výkon elektrického prúdu Uvažujme zdroj elektromotorického napätia pripojený k spotrebiču (obr. 5.8b). Nech

zdroj EMN má vnútorný elektrický odpor Ri a spotrebič má elektrický odpor R. Obvodom bude tiecť elektrický prúd, potenciálna energia elektrických nábojov sa v spotrebiči mení na iné formy energie – napr. na mechanickú prácu, na chemickú energiu, na teplo. Vyjadrime elementárnu prácu zdroja EMN pri prenášaní náboja dQ cez uzavretý obvod

2výsl. i id d d d d ( ) ( ) d ,W Q Q I t R R I I R R t= ⋅ = = + = +∫ EE (5.28)

pričom sme využili úpravu integrálu analogicky ako v rovniciach (5.23) a (5.24). Práca vykonaná za jednotku času je výkon

22 2 2 2i

i i

d d , resp.d d

d ( )d .d d

W QP It t

W I R R tP RI R I I RI R It t

= = =

+= = = + ⇒ = +

EE

E (5.29)

Po dosadení elementárnej práce (5.28) sme dostali energetickú bilanciu v obvode – celkový odovzdávaný výkon zo zdroja Pc =E I sa rovná súčtu výkonu spotrebovaného v spotrebiči P = R I2 a výkonu, ktorý sa spotrebuje v samotnom zdroji Pi = Ri I2. Stratový výkon v zdroji sa prejaví zahrievaním zdroja, elektrická energia sa premieňa na Jouleovo teplo.

Skúmajme teraz užitočný výkon, spotrebovaný v záťaži. Dosaďme za elektrický prúd priebeh závislosti elektrického prúdu od elektrického odporu zo vzťahu (5.25). Potom pre užitočný výkon dostaneme

22

2i

.( )

P RI RR R

= =+E (5.30)

Uvažujme limitné prípady: a) Ak elektrický odpor záťaže R = 0, hovoríme, že zdroj je skratovaný. Obvodom bude

pretekať maximálny – tzv. skratový elektrický prúd skri

IR

=E .

Užitočný výkon P = 0, celý výkon zdroja sa realizuje ako stratový výkon v zdroji a môže

spôsobiť zničenie zdroja: 2

skri

PR

=E .

66

b) Ak elektrický odpor záťaže R = ∞, ide o otvorený zdroj, tzv. zapojenie „zdroja naprázdno“.Platí

I = 0, P = 0. Ak meníme hodnotu elektrického odporu záťaže v intervale R ∈ <0, ∞>, mení sa užitočný

výkon, pričom v týchto limitných prípadoch je nulový. Musí preto existovať taká hodnota elektrického odporu záťaže, pri ktorej dosiahne užitočný výkon svoje maximum. Hľadajme preto extrém funkcie (5.30)

22 i i

i4i

( ) 2( )0 0 .( )

P R R R R R R RR R R∂ + − +

= ⇒ = ⇒ =∂ +

E (5.31)

Zdroj bude odovzdávať do záťaže maximálny výkon vtedy, keď bude splnená podmienka výkonového prispôsobenia zdroja a záťaže, t. j. ak elektrický odpor záťaže je rovný vnútornému elektrickému odporu zdroja. Takáto záťaž sa nazýva prispôsobená záťaž. Maximálny užitočný výkon potom bude

2

i

.4

PR

=E (5.32)

Ak vyjadríme účinnosť zdroja ako pomer užitočného a celkového výkonu 2

2ic i

1( ) 1

P RIRP R R IR

η = = =+ +

(5.33)

vidíme, že v prípade prispôsobenej záťaže dodáva síce zdroj do záťaže maximálny výkon, ale je to len polovica celkového výkonu zdroja, účinnosť je η = 1/2. Druhá polovica výkonu spôsobuje veľké zahrievanie zdroja. V takomto režime môžu pracovať zdroje len krátkodobo, keď je potrebné dodať do spotrebiča okamžite veľkú energiu – napr. pre štartovanie motora. V bežnej energetickej prevádzke sa vyžaduje čo najvyššia účinnosť η →1 (aj na úkor toho, že užitočný výkon nebude maximálny). To dosiahneme vtedy, keď elektrický odpor záťaže bude oveľa väčší ako vnútorný elektrický odpor zdroja R >>Ri. Priebeh užitočného výkonu P ako aj účinnosti zdroja η v závislosti od pomeru R/Ri je na obr. 5.9.

P2

i4RE 1

0,5

η

η

P

0 1 2 3

i

RR

Obr. 5.9

P2

i4RE 1

0,5

η

η

P

0 1 2 3

i

RR

Obr. 5.9

67

5.2 Jednosmerné elektrické obvody Pod elektrickou sieťou rozumieme zapojenie rôznych elektrotechnických prvkov ako

sú kondenzátory, rezistory, cievky a zdroje EMN do určitých uzavretých konfigurácií. Jednosmerná sieť je potom taká elektrická sieť, v ktorej tečie ustálený jednosmerný elektrický prúd. Pozostáva len zo zdrojov EMN, rezistorov a spojovacích vodičov. Uzlom siete nazývame miesto, kde sa spájajú aspoň tri vodiče. Vetva siete je vodivé spojenie sériovo zapojených rezistorov a zdrojov EMN medzi dvoma uzlami. Časť elektrickej siete, tvoriaca uzavretý nerozvetvený obvod sa nazýva slučka. Riešiť elektrickú sieť znamená vypočítať jednotlivé elektrické prúdy v jednotlivých vetvách obvodu.

5.2.1 Rovnica kontinuity elektrického prúdu

Jedným zo zákonov charakterizujúcich vlastnosti elektrického náboja je zákon zachovania elektrického náboja. Uvažujme spojenie viac ako dvoch vodičov - uzol v elektrickej sieti. Vodičmi nech pretekajú ustálené (stacionárne) elektrické prúdy Ii. Celkový elektrický náboj vtekajúci do uzla sa musí rovnať elektrickému náboju vytekajúcemu z uzla, pretože elektrický náboj podľa zákona zachovania elektrického náboja nemohol zaniknúť a ani sa nikde hromadiť, pretože elektrické prúdy sú ustálené. Bilanciu elektrického náboja v elektrických prúdoch Ii. vyjadríme rovnicou

vst vysti j

i jI I=∑ ∑ . (5.34)

Rovnica (5.34) vyjadruje I. Kirchhoffov zákon a je dôsledkom zákona zachovania elektrického náboja pre stacionárne elektrické prúdy.

Elektrický prúd má v skutočnosti nespojitý charakter, pretože ide o pohyb nabitých mikročastíc. Pre elektrické prúdy, ktoré nie sú extrémne malé môžeme zaviesť predstavu elektrického prúdu ako pohybu spojitého rozloženia elektrického náboja s určitou objemovou hustotou. Rovnica spojitosti, resp. kontinuity vyplýva zo zákona zachovania elektrického náboja. Zvoľme si vo vodiči (obr. 5.10) objem τ, ohraničený plochou S, a nech v tomto

objeme je elektrický náboj Q s objemovou

hustotou d , potom ddQ Q

τ

ρ ρ ττ

= = ∫ .

Výtok vektora hustoty elektrického prúdu J z uzavretej plochy sa rovná časovému úbytku náboja z objemu τ:

( )

dddS

Qtτ

⋅ = −∫ J S (5.35)

Rovnica (5.35) je rovnica kontinuity elektrického prúdu v integrálnom tvare.

ρ

S

τJ

dS

Obr. 5.10

ρ

S

τJ

dS

Obr. 5.10

ρ

S

τJ

dS

Obr. 5.10

68

5.2.1.1 Rovnica kontinuity elektrického prúdu v diferenciálnom tvare* Ľavú stranu rovnice (5.35) môžeme prepísať pomocou Gaussovej vety vektorovej

analýzy na objemový integrál z divergencie vektora J. Ak na pravej strane vyjadríme celkový elektrický náboj pomocou objemovej hustoty náboja dostaneme

ddiv d dd

div d d

t

t

τ τ

τ τ

τ ρ τ

ρτ τ

= −

∂= −

∂

∫ ∫

∫ ∫

J

J . (5.36)

Keďže hustota elektrického náboja môže závisieť nielen od času ale aj od polohy, prešla obyčajná derivácia v predošlom vzťahu na parciálnu deriváciu. Obor integrácie je na obidvoch stranách rovnice rovnaký, preto musí platiť

div = 0tρ∂∂

J + . (5.37)

Rovnica (5.37) je rovnica spojitosti elektrického prúdu v diferenciálnom tvare a rovnako ako (5.35) vyjadruje zákon zachovania elektrického náboja.

Rovnica spojitosti elektrického prúdu platí ako pre jednosmerné, tak pre nízkofrekvenčné aj vysokofrekvenčné elektrické prúdy. Dosaďme do rovnice (5.37) Ohmov zákon (5.5) v diferenciálnom tvare J = σ E a za intenzitu elektrického poľa diferenciálny tvar

Gaussovho zákona z elektrostatiky: 0

div ρε

=E . Dostaneme

0

div 0 .t tρ ρ ρσ σ

ε∂ ∂

+ = ⇒ = −∂ ∂

E

Separáciou premenných a integráciou dostaneme časovú závislosť objemovej hustoty elektrického náboja v tvare

0

0

0 0 00

0

d d lnt

t

t t

e

ρ

ρ

σε

ρ σ ρ σρ ε ρ ε

ρ ρ−

= − ⇒ = −

=

∫ ∫. (5.38)

Vidíme, že ak sa vo vnútri vodiča z nejakej príčiny vytvoril elektrický náboj, tak sa s časom „rozplynie“ podľa uvedenej rovnice, pričom mierou „rýchlosti návratu“ k pôvodnému stavu

r0 je časová konštanta 0ετσ

= (pre vodiče je τ rádovo 10−15 – 10−13s, pre polovodiče

10−13 – 10−10 s). 5.2.2 Kirchhoffove zákony Z rovnice spojitosti (5.35) pre stacionárny (od času nezávislý) stav d 0

dQt= vyplýva

d = 0S

⋅∫ J S . (5.39)

Uvažujme teraz časť elektrickej siete – uzol, v ktorom sa stretajú napr. štyri vodiče. Obklopme uzol myslenou uzavretou plochou S, ktorá vytína na prierezoch vodičov plochy S1, S2, S3, S4. Týmito vodičmi pretekajú elektrické prúdy I1, I2, I3, I4 (obr. 5.11). V takomto prípade musí platiť

69

1 2 3 4

1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 40 d = d d d dS S S S S

I I I I= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = − + + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫J S J S J S J S J S .

Vektor hustoty elektrického prúdu mimo vodičov je nulový, preto tok vektora hustoty elektrického prúdu cez celú uzavretú plochu S je daný súčtom integrálov, ktoré predstavujú elektrické prúdy jednotlivými vodičmi. Znamienko pri jednotlivých elektrických prúdoch závisí od toho, či vektory J a dS sú súhlasne rovnobežné (prúd prierezom vyteká) alebo nesúhlasne rovnobežné (prúd prierezom vteká do uzla). Ak zovšeobecníme túto úvahu pre n-vodičov, stretávajúcich sa v uzle, môžeme pre

jednosmerný stacionárny stav matematicky a slovne vyjadriť 1. Kirchhoffov zákon nasledovne:

vst vyst alg, resp. 0i j ki j k

I I I= =∑ ∑ ∑ . (5.40)

Súčet elektrických prúdov do uzla vtekajúcich sa rovná súčtu elektrických prúdov z uzla vytekajúcich.

Tento zákon sme v úvode k tejto časti

jednoducho formulovali pre ustálené prúdy. Teraz sme videli, ako vyplýva zo všeobecne platnej rovnice kontinuity.

Majme časť elektrickej siete, tvoriacu uzavretý obvod, tzv. slučku. Jednotlivé vetvy

siete - medzi susednými uzlami obsahujú zdroje jednosmerného napätia, charakterizované elektromotorickými napätiami Ei, a rezistory s elektrickými odpormi Rk (vnútorný elektrický odpor zdrojov môžeme formálne zahrnúť do elektrického odporu danej vetvy).

Postupujme teraz tak ako v prípade jednoduchého elektrického obvodu a rozpíšme rovnicu (5.24) cd dρ ⋅ = ⋅∫ ∫J E pre slučku na obr. 5.12 zvlášť pre jej ľavú a pravú stranu.

Pre ľavú stranu dostávame B C D A B C D A

1 2 3 4A B C D A B C D

1 1 2 2 3 3 4 4

d d d dd d d d d I I I IS S S S

I R I R I R I R

ρ ρ ρ ρρ ρ ρ ρ ρ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + − − =

= + − −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫J J J J J

uzolS1

S4

S3

S2I1

I4

I3

I2

Obr. 5.11

uzolS1

S4

S3

S2I1

I4

I3

I2

Obr. 5.11

A

B

C

D

E2

E1

R3

R4

R1

R2

I1

I4

I2

I3+

+

Obr. 5.12

A

B

C

D

E2

E1

R3

R4

R1

R2

I1

I4

I2

I3+

+

A

B

C

D

E2

E1

R3

R4

R1

R2

I1

I4

I2

I3+

+

Obr. 5.12

70

Pre pravú stranu dostávame

B C D A

c c c c c 1 2 2 1A B C D

d d d d d 0 ( ) 0⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + − + + = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ E E E EE E E E E .

Ak zovšeobecníme tento postup na n zdrojov EMN a m elektrických odporov v danej slučke, môžeme formulovať 2. Kirchhoffov zákon

alg alg

1 1( )

n m

i k ki k

R I= =

=∑ ∑E . (5.41)

Algebraický súčet elektromotorických napätí zdrojov v ľubovoľnom uzavretom obvode sa rovná algebraickému súčtu napäťových úbytkov na jednotlivých vetvách. Znamienka zdrojov a napäťových úbytkov v „algebraickom“ súčte sú určené nasledovne: Znamienko elektromotorického napätia zdroja je kladné, ak integračná cesta vo vnútri zdroja je od zápornej svorky ku kladnej, znamienko napäťového úbytku je kladné, ak zvolený smer elektrického prúdu má smer rovnaký ako je smer integrácie. 5.2.3 Riešenie jednoduchých elektrických sietí

Pomocou 1. a 2. Kirchhoffovho zákona môžeme riešiť jednoduché elektrické siete. Pod

„riešením“ rozumieme výpočet elektrických prúdov vo všetkých vetvách danej siete alebo určenie elektrických potenciálov všetkých uzlov. Postup pri analýze elektrickej siete je nasledovný:

1. Ľubovoľne si zvolíme a do schémy šípkami označíme smery elektrických prúdov

v jednotlivých vetvách. (Ak vypočítaná hodnota elektrického prúdu bude kladná – smer elektrického prúdu v danej vetve bol zvolený správne, ak vypočítaný elektrický prúd bude záporný, tečie v skutočnosti elektrický prúd opačným smerom ako bola naša voľba.)

2. Zvolíme si kladný smer obehu slučky (je to v podstate voľba smeru integrácie). 3. Zakreslíme si do schémy smery intenzity Ec v zdrojoch od zápornej svorky ku kladnej. 4. Ak máme v analyzovanej sieti celkove p-prúdov a u -uzlov, zostavíme podľa

1. Kirchhoffovho zákona (u −1) lineárne nezávislých rovníc pre elektrické prúdy. 5. Zostavíme pomocou 2. Kirchhoffovho zákona rovnice pre n nezávislých uzavretých

obvodov, pričom musí platiť: n = p − (u −1), pretože aby sme mohli vypočítať p – neznámych elektrických prúdov potrebujeme zostaviť celkove p lineárne nezávislých rovníc.

6. Ak smer obehu slučky je totožný so smerom Ec, resp. so smerom elektrických prúdov vo

vetvách, budú EMN napätia Ei, resp. napäťové úbytky RkIk kladné, v opačnom prípade záporné.

7. Riešime sústavu lineárnych rovníc a vypočítame neznáme elektrické prúdy.

71

Pre ilustráciu zostavme na základe 1. a 2. Kirchhoffovho zákona a použitím uvedenej konvencie a postupu sústavu lineárne nezávislých rovníc pre elektrický obvod na obr. 5.13.

1 2 3

1 1 2 2 1

2 2 3 4 2

0

( )

I I IR I R I

R I R R

− − =+ =

− + + = −E

E

Riešením týchto lineárne nezávislých rovníc môžeme dostať neznáme elektrické prúdy I1, I2 a I3:

1 2 3 4 2 21

1 2 3 4 2 3 4

1 3 4 2 12

1 2 3 4 2 3 4

1 2 2 1 23

1 2 3 4 2 3 4

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

R R R RIR R R R R R R

R R RIR R R R R R R

R R RIR R R R R R R

+ + −=

+ + + ++ +

=+ + + +

− +=

+ + + +

E E

E E

E E

5.2.4 Prechodové javy v RC obvode

Každý elektrický obvod, obsahujúci kondenzátor (resp. cievku) prechádza pri akejkoľvek zmene napätia tzv. prechodovým stavom. Popíšeme prechodový jav, vznikajúci na kondenzátore v RC obvode jednosmerného elektrického prúdu (obr. 5.14) pri pripojení (spojenie kontaktu 1) a odpojení zdroja elektromotorického napätia (spojenie kontaktu 2). Časovo závislé napätia a elektrické prúdy budeme v ďalšom označovať malými písmenami. Nech je kondenzátor v čase t0 = 0 nenabitý. V okamihu pripojenia (prepínač v polohe 1) jednosmerného zdroja elektromotorického napätia E bude obvodom pretekať

elektrický prúd:

0(0)i IR

= =E

kondenzátor bude predstavovať skrat, a elektromotorické napätie zdroja sa bude rovnať napäťovému úbytku na rezistore: E = UR0 .

E1

Obr. 5.13

R3

R2

R4R1

E2

I1 I3I2

E1

Obr. 5.13

R3

R2

R4R1

E2

I1 I3I2

R

C+−

Obr. 5.14

E

1

2R

C+−

Obr. 5.14

E

1

2

72

Nabíjací elektrický prúd d ( )( )dQ ti t

t= privádza na dosky kondenzátora elektrický

náboj, na kondenzátore vzniká elektrické napätie: C( )( ) Q tu tC

= . V čase t sa už napätie zdroja

bude rovnať súčtu napätí na rezistore a na kondenzátore, pričom napätie na kondenzátore počas tohto prechodového javu narastá, napätie na rezistore klesá. Časový priebeh však nie je lineárny. Aplikujme 2. Kirchhoffov zákon pre danú slučku a dosaďme doňho priebeh napätia na kondenzátore uC(t) a definíciu elektrického prúdu i(t). Proces nabíjania kondenzátora bude charakterizovať potom diferenciálna rovnica, ktorú riešime separáciou premenných.

R C

0 0

( )( ) ( ) ( )

d ( ) ( )d

d 1 d 1( ) dd

1ln

Q t

tRC

Q tu t u t Ri tC

Q t Q tRt C

Q Q Q tQt R C RC

QQCC t e

R C−

= + = +

= +

= − ⇒ =−

−− = ⇒ − =

∫ ∫

E

E

EE

EE E

E

Z poslednej rovnice dostávame časový priebeh elektrického náboja na kondenzátore, resp. hľadaný priebeh napätia na kondenzátore v tvare:

C

C

( ) ( ) (1 ) ,

( ) (1 ) .

tRC

tRC

Q t Cu t C e

u t e

−

−

= = −

= −

E

E

(5.42)

Konštantu τ = RC voláme časová konštanta RC obvodu. Ak uplynie čas t = τ, potom napätie na kondenzátore dosiahne hodnotu uC(τ) = 0,632

E. Prechodový stav pri nabíjaní kondenzátora skončí približne za čas t = 3τ, kedy napätie na kondenzátore vzrastie na 95 % napätia zdroja.

Elektrický nabíjací prúd ako aj napätie na rezistore budú počas tohto deja exponenciálne klesať z počiatočnej hodnoty I0 (resp. UR0)

0

R 0 R0

d ( ) d[ (1 e )]( ) e e ,d d

( ) ( ) e e .

tt tRC

RC RC

t tRC RC

Q t Ci t It t R

u t Ri t RI U

−− −

− −

−= = = =

= = =

E E (5.43)

Podobný prechodový jav vzniká aj pri odpojení zdroja (prepínač v polohe 2).

Kondenzátor je nabitý na napätie U0 (pričom hodnota U0 = E), počiatočný elektrický náboj kondenzátora je Q0 = CU0. Kondenzátor sa začne vybíjacím elektrickým prúdom vybíjať cez rezistor s elektrickým odporom R. Pri vybíjaní sa vlastne premieňa elektrická energia

Obr. 5.15 a

0 tτ 2τ 3τ

uR

UR0

0 tτ 2τ 3τ

uC

0 tτ 2τ 3τ

E

Obr. 5.15 b

0 t

τ 2τ 3τ

uR

0 tτ 2τ 3τ

E

0 tτ 2τ 3τ

uC

Obr. 5.15 a

0 tτ 2τ 3τ

uR

UR0

0 tτ 2τ 3τ

uC

0 tτ 2τ 3τ

E

Obr. 5.15 b

0 t

τ 2τ 3τ

uR

0 tτ 2τ 3τ

E

0 tτ 2τ 3τ

uC

73

akumulovaná v kondenzátore na tepelnú energiu spotrebovanú v rezistore. Základná rovnica, popisujúca tento dej bude (zdroj je odpojený, preto E = 0)

0

R C

0

00

C 0

( ) ( ) 0( )( ) 0

d d 1 dd

ln e ,

resp. ( ) e

Q t

Q

tRC

tRC

u t u tQ tRi t

CQ Q Q tt RC Q RC

Q t Q QQ RC

u t U

−

−

+ =

+ = ⇒

= − ⇒ =−

= − ⇒ =

=

∫ ∫ (5.44)

a jej riešením sme dostali exponenciálny pokles napätia na kondenzátore. Časový priebeh vybíjacieho elektrického prúdu, resp. priebeh napätia na rezistore bude:

0 00

R 0 R0

d( e )d ( )( ) e e ,d d

( ) ( ) e e .

tt tRC

RC RC

t tRC RC

Q QQ ti t It t RC

u t Ri t RI U

−− −

− −

= = = − = −

= = − = −

(5.45)

Na rezistore vzniká pri vybíjaní napätie opačnej polarity ako pri nabíjaní. Napätia na kondenzátore a na rezistore sa zmenšujú, za čas t = τ, napätie na kondenzátore dosiahne hodnotu uC(τ) = 0,368 U0 . Prechodový stav zanikne približne po uplynutí doby t = 3τ. Časové priebehy napätia na kondenzátore a na rezistore pri zapínaní a vypínaní zdroja sú na obr. 5.15a, b. 5.2.5 Meranie jednosmerného elektrického prúdu a napätia

Elektrické meracie prístroje využívajú väčšinou magnetické účinky elektrických prúdov alebo naopak magnetické pôsobenie na elektrické prúdy. Ide o magnetoelektrické (deprézske) prístroje, elektromagnetické a elektrodynamické meracie prístroje. V každom prípade preteká meracím prístrojom elektrický prúd. Ak má merací prístroj malý vnútorný elektrický odpor RA [≈ (0,1 – 1) Ω pri rozsahu 1A], zapájame ho do elektrického obvodu sériovo a jeho výchylka je potom priamo úmerná pretekajúcemu elektrickému prúdu. Stupnica tohto prístroja je okalibrovaná v jednotkách elektrického prúdu a prístroj nazývame ampérmeter, resp. miliampérmeter, mikroampérmeter, podľa rozsahu meraných elektrických

prúdov. Ak rovnaký merací prístroj, ale s veľkým

vnútorným elektrickým odporom RV (RV > 103Ω ) pripojíme paralelne k zdroju alebo spotrebiču, bude slúžiť ako merač napätia. Prístroj nazývame voltmeter (milivoltmeter) a jeho stupnica je priamo okalibrovaná v jednotkách napätia. Vnútorný elektrický odpor voltmetra musí byť podstatne vyšší ako vnútorný elektrický odpor zdroja EMN RV >> Ri, aby sa jeho svorkové napätie pripojením voltmetra podstatne nezmenilo. Schéma zapojenia ampérmetra a voltmetra Obr. 5.16

R

I

V

A

E

Ri

Obr. 5.16

R

I

V

A

E

Ri

E

Ri

74

v jednoduchom elektrickom obvode je na obr.5.16. V súčasnosti sa najviac používajú digitálne meracie prístroje. Základ týchto prístrojov tvorí digitálno-analógový prevodník.

Na reguláciu jednosmerných elektrických prúdov a napätí používame reostaty a potenciometre. Ide zvyčajne o navinutý drôt na keramickom valci, po vinutí sa pohybuje tzv. jazdec – uhlíkový zberný kontakt. Podľa spôsobu zapojenia takéhoto rezistora v elektrickom obvode môžeme regulovať buď elektrický prúd alebo napätie.

V zapojení podľa obr. 5.17a plynule regulujeme elektrický prúd v obvode pomocou reostatu. Jeho premenlivá časť s elektrickým odporom Rr medzi svorkami 1 a J je sériovo

pripojená k rezistoru spotrebiča s elektrickým odporom R. Tým dokážeme meniť celkový elektrický odpor v obvode a teda aj elektrický prúd, pretekajúci spotrebičom v rozmedzí

r

, .U UIR R R

∈< >+

V zapojení podľa obr. 5.17b môžeme dosiahnuť plynulú reguláciu napätia od 0 po celkové svorkové napätie zdroja U. Rezistor s pohyblivým jazdcom je teraz vo funkcii potenciometra – deliča napätia. V obidvoch zapojeniach nesmieme prekročiť dovolené prúdové zaťaženie ako zdroja, tak rezistorov v ich celom regulačnom rozsahu.

5.2.5.1 Zväčšovanie rozsahov prístrojov

Rozsah ampérmetra môžeme zväčšiť tak, že časť meraného elektrického prúdu

odvedieme do paralelnej vetvy – do tzv. bočníka – s elektrickým odporom Rb. Zo schémy (obr. 5.18a) vidíme, že vo vnútri ampérmetra ide o paralelné radenie rezistorov s elektrickými odpormi ampérmetra RA a bočníka Rb. Na základe Kirchhoffových zákonov musí platiť

Rr

RU+

−

Obr. 5.17a

1J

URp

R+

−

Obr. 5.17b

1 J

2

Rr

RU+

−

Obr. 5.17a

1J

Rr

RU+

−

Obr. 5.17a

1J

URp

R+

−

Obr. 5.17b

1 J

2

RpR

+

−

Obr. 5.17b

1 J

2

Obr. 5.18a

R

I

V

E

Ri

IA

Ib

RA

Rb

ampérmeter

Obr. 5.18b

R

IVA

E

Ri

Rp

RV

U

UV

Up

voltmeter

Obr. 5.18a

R

I

V

E

Ri

IA

Ib

RA

Rb

ampérmeter

Obr. 5.18b

R

IVA

E

Ri

Rp

RV

U

UV

Up

voltmeter

75

A b

b b A A 0 .I I IR I R I= +

− =

Ak základný rozsah ampérmetra je elektrický prúd IA (hodnota nameraná pri maximálnej výchylke základnej stupnice prístroja), a chceme merať elektrický prúd, ktorý je n – krát väčší, t.j. I = n IA, musíme v prístroji zaradiť bočník, ktorého elektrický odpor bude

A A A A A A Ab

b A A A

.n n 1

R I R I R I RRI I I I I

= = = =− − −

(5.46)

Rozsah voltmetra zväčšujeme tak, že vo vnútri prístroja zaradíme sériovo tzv. predradný rezistor, ktorého elektrický odpor je Rp. Potom cez vnútorný elektrický odpor voltmetra RV a predradný odpor Rp tečie rovnaký elektrický prúd, a na elektrických odporoch dostávame vlastne napäťový delič (obr. 5.18b). Bude platiť:

V V V

VV p V p V V p

V

( ) ( ) .

U R IUU U U R R I R RR

=

= + = + = +

Ak chceme pôvodný rozsah voltmetra (plná výchylka meradla ukazuje hodnotu UV) zväčšiť n – krát, t.j. U = n UV, musíme pripojiť predradný rezistor s elektrickým odporom:

VV V p p V

V

( ) ( 1) .UnU R R R n RR

= + ⇒ = − (5.47)

5.2.5.2 Bezpečnosť práce s elektrickým napätím

Elektrický prúd pôsobí na ľudský organizmus rôznym spôsobom. Podľa Ohmovho zákona závisí elektrický prúd od aplikovaného napätia a od elektrického odporu. Nakoľko bunky ľudského tela obsahujú veľké percento vody aj s rozpustenými soľami (napr. NaCl) – vyznačujú sa veľkou vodivosťou. Izolačné vlastnosti má len povrchová vrstva pokožky, pokiaľ je v suchom stave. Pre jednosmerné elektrické prúdy (ako aj nízkofrekvenčné striedavé elektrické prúdy) je práve elektrický odpor kože rozhodujúci z hľadiska jeho účinkov na organizmus. Elektrický odpor kože sa mení rádovo od 105 Ω pre suchú kožu, po 103 Ω pre mokrú (spotenú) kožu. Preto elektrický prúd pretekajúci cez telo (ak uvažujeme napätie siete 220 V), môže nadobúdať hodnoty ≈ 2 mA, resp. 200 mA. Zatiaľ čo v prvom prípade pretekajúci elektrický prúd cez telo nespôsobí vážne poranenia, môže v druhom prípade byť smrteľným. Nebezpečie poškodenia organizmu elektrickým prúdom nezávisí len od jeho veľkosti ale aj od prúdovej cesty. Rovnako veľký elektrický prúd pretekajúci od prstov po rameno jednej ruky môže síce spôsobiť bolesti a nepríjemný šok, ale ten istý elektrický prúd prechádzajúci z jednej ruky do druhej cez pľúca môže byť fatálny. Jednotlivé časti ľudského tela sú rôzne citlivé na účinky elektrického prúdu. Najviac ohrozené sú mozog, nervové centrá kontrolujúce dýchanie a chod srdca a hrudné svaly. Elektrický prúd môže poškodiť ľudský organizmus tromi spôsobmi: - môže spôsobiť intenzívne zohriatie tela až horenie, - porušiť správnu činnosť nervového systému a srdca, - spôsobiť nekontrolovateľné a nekoordinované svalové kŕče a fibriláciu srdca. Pri veľkých elektrických prúdoch sa môže srdce zastaviť (bez fibrilácie), čo je z hľadiska oživenia činnosti srdca nádejnejšie ako stav fibrilácie. V prípade fibrilácie musíme najprv pomocou defibrilátora, (ktorým aplikujeme na srdečný sval krátkodobý elektrický prúd s

76

výkonom okolo 100 kW), vlastne srdce najprv celkom zastaviť a až potom nastavovať normálny srdcový rytmus. V nasledujúcej tabuľke sú orientačné hodnoty elektrického (nízkofrekvenčného) prúdu s uvedením ich účinkov na ľudský organizmus.

Elektrický prúd I [mA]

Biologický účinok

0 – 0,5 Žiadny 0,5 – 2,0 strata citlivosti 2 – 10 svalové kŕče, bolesti 10 – 20 svalové kŕče, poruchy činnosti orgánov 20 – 100 paralýza dýchania

100 – 3 000 smrteľné fibrilácie srdca > 3 000 Zastavenie srdca (pri krátkodobom šoku je možné srdce aktivovať),

ťažké popáleniny 5.3 Základy teórie vodivosti

V tejto časti kvalitatívne popíšeme rôzne mechanizmy vedenia elektrického prúdu v jednotlivých médiách – v kovoch, polovodičoch, elektrolytoch a v plynoch. 5.3.1 Elektrický prúd v kovoch

Valenčné elektróny voľných atómov kovov (atómov ešte nezabudovaných do kryštálovej mriežky kovu) sú pomerne slabo viazané. Ak sú atómy kovov usporiadané v kryštálovej mriežke kovu, tak tieto valenčné elektróny sa môžu od jedného atómu kovu k druhému voľne pohybovať. Kov si v prvom priblížení môžeme predstaviť tak, že je vytvorený z iónov atómov kovu umiestnených v kryštálovej mriežke kovu a plynu voľných elektrónov. Tieto elektróny sa z hľadiska pásmovej teórie aj nazývajú vodivostné elektróny. Pokiaľ nie je prítomné elektrické pole je výsledný elektrický prúd nulový, pretože počet elektrónov pohybujúcich sa v jednom smere je rovnaký ako počet elektrónov v smere opačnom. Až prítomnosť elektrického poľa usmerní pohyb elektrónov v určitom smere.

Klasická elektrónová teória vysvetľuje vznik ustáleného elektrického prúdu tak, že vodivostné elektróny v kovoch, pohybujúce sa pod vplyvom elektrického "urýchľovacieho" poľa, narážajú pri svojom pohybe na ióny v uzloch kryštalickej mriežky. Elektróny pritom strácajú časť energie získanej od elektrického poľa, s čím súvisí existencia elektrického odporu kovového materiálu.

Teória elektrónovej vodivosti kovov siaha do r. 1900, kedy P. Drude (1863-1906) navrhol klasickú teóriu vodivosti kovov. Pre strednú kinetickú energiu ideálneho „elektrónového plynu“ platí v rámci klasickej fyziky Maxwellovo-Boltzmannovo rozdelenie energie, pričom pre strednú hodnotu kinetickej energie pri absolutnej teplote T platí

23 12 2

E kT mv= = (5.48)

kde k je Boltzmannova konštanta, m je hmotnosť elektrónu, v je stredná tepelná rýchlosť elektrónov (pri izbových teplotách dosahuje hodnoty rádove 105 m s−1).

77

Ak na elektrón pôsobí sila od elektrického poľa, začne sa elektrón okrem tohto chaotického tepelného pohybu pohybovať aj „driftovou“ − unášavou rýchlosťou proti smeru intenzity elektrického poľa E, ktorú môžeme vyjadriť riešením pohybovej rovnice

eE eEma eE am v m

λ ττ= ⇒ = = =v , (5.49)

kde λ označuje strednú voľnú dráhu, je to stredná vzdialenosť, ktorú elektrón prejde medzi

dvomi zrážkami a t je čas, ktorý pritom uplynie: vλτ = .

Driftová rýchlosť v je stredná usmernená rýchlosť elektrónov v − , ktorú sme zaviedli

v rovnici (5.2) pri definovaní hustoty elektrického prúdu J−. Preto po dosadení vzťahu (5.49) do (5.2) dostaneme pre hustotu elektrického prúdu vzťah

2e nenem mτ τρ σ− − −= = = =

EJ E Ev . (5.50)

Objemovú hustotu náboja sme vyjadrili pomocou koncentrácie elektrónov n: ρ− = n e. Driftová rýchlosť usporiadaného pohybu vodivostných elektrónov je veľmi malá.

Napr. v medenom vodiči prierezu 1 mm2, ktorým preteká elektrický prúd 4A, bude usmernená rýchlosť elektrónov len ≈ 4⋅ 10-4 m s-1. Porovnaním výrazu (5.50) s Ohmovým zákonom v diferenciálnom tvare (5.5) dostaneme pre konduktivitu kovov výraz:

2nemvλσ = . (5.51)

Elektrické pole neovplyvní strednú dobu medzi zrážkami elektrónov, ktorá je závislá na strednej rýchlosti. Túto rýchlosť elektrické pole môže zmeniť iba o driftovú rýchlosť a tá je o mnoho rádov menšia. Výpočty konduktivity pre mnohé kovy (napriek obtiažnosti určenia λ) na základe tejto teórie pomerne dobre súhlasili s experimentom. Základným nedostatkom modelu však je, že na pohyb elektrónu je aplikovaný Newtonov zákon. Elektrón je mikročastica a pohyb mikročastíc sa riadi zákonmi kvantovej mechaniky.

Kvantová teória elektrickej vodivosti kovov uvažuje pohyb vodivostných

elektrónov v kove ako pohyb elektrónových vĺn. Pokiaľ by sme uvažovali dokonalý kryštál, elektróny by prechádzali cez takúto mriežku skoro tak ako vo vákuu, nenastával by žiaden rozptyl elektrónov. Akékoľvek "nedokonalosti" v mriežke kovu - ako sú defekty, prímesi, tepelné kmity a pod. sú miestami rozptylu elektrónov, kde vodivostné elektróny strácajú svoju hybnosť získanú od elektrického poľa. S rastúcou teplotou nastáva väčší rozptyl elektrónov na defektoch vzniknutých tepelnými kmitmi mriežky. Tým sa zväčšuje elektrický odpor kovu.

Základom kvantovomechanickej teórie supravodivosti je interakcia elektrónov s kmitmi atómov mriežky. Podľa J. Bardeena, L.N.Coopera a J.R. Schrieffera (Nobelova cena za fyziku v roku 1972) táto interakcia umožňuje vznik viazaných stavov dvoch elektrónov s opačnými spinmi („Cooperove páry“). Tieto elektrónové dvojice majú nulový spin a pre takto viazané dvojice elektrónov už neplatí Pauliho princíp. Môžu obsadiť najnižší energetický stav a umožňujú pri veľmi nízkych teplotách vznik supravodivosti. Je zaujímavé, že pre dobré vodiče ako sú zlato, striebro a meď je interakcia s kmitmi mriežky veľmi slabá a pre čisté materiály z týchto prvkov sa supravodivý stav získať nedá. Najlepšie technické uplatnenie majú rôzne zliatiny, napr. NbTi, Nb3Ge, Nb3Al a iné, s vyššími hodnotami kritických teplôt. Nádeje sa vkladajú do supravodivých keramických materiálov, u ktorých sa dosiahla supravodivosť nad teplotami kvapalného dusíka. (Súčasný „rekord“ má materiál na

78

báze (Hg0,8 Tl0,2)Ba2 Ca2 Cu2 O8,33 a to 138 K). Bariérou pre technické využitie keramík sú zlé mechanické vlastnosti a zánik supravodivosti v magnetickom poli. 5.3.2 Elektrický prúd v polovodičoch

Polovodiče môžeme definovať ako látky, ktoré za normálnych podmienok majú

elektrickú vodivosť väčšiu ako izolanty (nevodiče) a menšiu ako kovy. Ich rezistivita môže nadobúdať rádovo veľmi rozdielne hodnoty od 10−2 do 109 Ω⋅m. Ako sme už uviedli, ďalším charakteristickým znakom pre polovodiče je, že ich rezistivita s rastom teploty klesá (obr. 5.7, krivka c). Elektrickú vodivosť polovodičov môžeme popísať pomocou klasickej teórie analogicky ako pre kovy, ale pôvod nosičov elektrického náboja je iný.

Polovodiče delíme na tzv. vlastné a nevlastné (prímesové) polovodiče. Vo vlastných polovodičoch existujú v dôsledku preskoku elektrónov na vyššiu energetickú hladinu dva typy voľných nosičov náboja – voľné elektróny a kladné „diery“. Diera je vlastne zostatkový kladný elektrický náboj na mieste uvoľneného elektrónu. Výsledný elektrický prúd v polovodiči je súčtom elektrického prúdu, tvoreného elektrónmi a prúdu, tvoreného dierami. Takejto vodivosti hovoríme vlastná vodivosť. Typickými vlastnými polovodičmi sú germánium a kremík.

Závislosť konduktivity vlastných polovodičov od teploty môžeme vyjadriť rovnicou

20 e

EkTσ σΔ

−= (5.52)

kde ΔE je tzv. šírka zakázaného pásma, je to energia, ktorú musíme elektrónu dodať, aby sa uvoľnil z valenčného energetického pásu, k je Boltzmannova konštanta, σ0 je od teploty

nezávislá materiálová konštanta. Teplotná závislosť konduktivity vlastných

polovodičov sa využíva napr. v termistoroch, pri ktorých môžeme elektrický odpor riadiť teplotou. Konduktivita (resp. rezistivita) vlastných polovodičov závisí však nielen od teploty, ale aj od iných vplyvov, napr. od magnetického poľa, alebo od osvetlenia. Fotorezistory napr. využívajú možnosť regulácie elektrického odporu pomocou osvetlenia.

Meranie elektrickej vodivosti polovodičov sa robí dvojsondovou (štvorbodovou) metódou (obr. 5.

19). V bodoch 1, 2 sú napájacie bodové kontakty, ktorými privádzame elektrický prúd do polovodiča. V bodoch 3, 4 meriame elektrické napätie. Z nameraných hodnôt elektrického prúdu, napätia a zo známej geometrie polovodiča vieme určiť konduktivitu polovodiča.

Vodivosť nevlastných polovodičov je spôsobená prímesami. Hovoríme o polovodičoch typu N s elektrónovou vodivosťou, pri ktorých prímesové atómy – tzv. donory – obsahujú voľný elektrón, ktorý sa nezúčastňuje na kovalentnej väzbe so susednými atómami. Polovodiče typu P majú tzv. dierovú vodivosť, prímesové atómy v tomto prípade tzv. akceptory – prijímajú voľný väzbový elektrón z okolia, čím v danom mieste vznikne diera.

Z hľadiska využitia polovodičov sú dôležité najmä tzv. diódový a tranzistorový jav. Na rozhraní dvoch polovodičov s odlišným typom vodivosti vznikne prechod PN. Ide o elektrickú dvojvrstvu s iónmi opačnej polarity, ktorá vznikne v dôsledku difúzie elektrónov a dier z jednej vrstvy do druhej. Tým vzniká elektrické pole v prechode PN, brániace ďalšej difúzii majoritných nosičov náboja. Ak zapojíme takýto PN prechod do vonkajšieho

A

V

1 2

3 4

Obr. 5.19

AA

VV

1 2

3 4

Obr. 5.19

79

elektrického obvodu, môžeme ho zapojiť v tzv. priepustnom alebo závernom smere (obr.5.20 a, b). Ak vonkajšie pole pôsobí na majoritné nosiče elektrického náboja tak, že ich cez PN prechod urýchli, obvodom potečie elektrický prúd. Ak na PN prechod pripojíme zdroj opačnej polarity, PN prechodom potečie len veľmi malý, tzv. záverný elektrický prúd (tvorený minoritnými nosičmi elektrického náboja). Tento jav sa nazýva diódový jav a súčiastky, využívajúce tento jav nazývame polovodičové diódy. Využívajú sa na usmerňovanie napätia

Voltampérová charakteristika diódy je na obr.5.21. Ak spojíme dva PN prechody za sebou (ktoré môžeme realizovať ako PNP alebo NPN prechody), dostaneme polovodičové súčiastky, nazývané tranzistory. Tranzistory sa využívajú na zosilenie prúdu, alebo výkonu.

5.3.3 Elektrický prúd v kvapalinách

Chemicky čisté kvapaliny sú väčšinou zlými vodičmi elektrického prúdu. Napríklad destilovaná voda má konduktivitu rádovo 10−3 – 10−4 S m−1. Stačí ale pridať veľmi malé množstvo napr. soli, kyseliny alebo zásady a vodivosť roztoku sa zvýši miliónkrát. Meranie vodivosti vody sa preto dá využiť na posúdenie chemickej čistoty vody. Elektricky vodivé roztoky nazývame elektrolyty. Experimentálne je overené, že elektrický prúd pretekajúci elektrolytom má podobné účinky ako elektrický prúd v pevných látkach – teda, že vytvára vo svojom okolí magnetické pole, platí Ohmov zákon, pretekaním elektrického prúdu sa roztok

zahrieva a pod. Okrem toho je však pretekanie elektrického prúdu elektrolytom sprevádzané aj chemickými zmenami, ktoré Faraday nazval elektrolýzou. Voľnými nosičmi elektrických nábojov v roztokoch sú voľne pohyblivé ióny, vznikajúce disociáciou molekúl rozpustenej látky. Ak vložíme do elektrolytu elektródy, pripojené k zdroju napätia, začnú sa ióny pohybovať. Kladné ióny (katióny) sa pohybujú v smere intenzity elektrického poľa (smerom ku katóde), záporné ióny (anióny) opačným smerom – t.j. k anóde. Elektrická vodivosť v roztokoch je vodivosť iónová. Na anóde sa potom vylučuje vždy nekov alebo kyslá časť zlúčeniny, na katóde kov, resp. zásaditá časť zlúčeniny.

Disociácia nastáva bez pôsobenia vonkajšieho elektrického poľa, len pôsobením molekúl rozpúšťadla. Opačný dej k disociácii je rekombinácia – t. j. spojenie dvoch opačne nabitých iónov do neutrálnej molekuly. Vplyvom disociácie a rekombinácie sa v roztoku vytvorí dynamická rovnováha. V rovnovážnom stave môžeme definovať stupeň disociácie α ako pomer počtu disociovaných molekúl k celkovému počtu molekúl rozpustenej látky:

A

++ + +

+ +-- --

---- - -

N P

A

+++ +++-

--

---- --

N P

Obr. 5.20a Obr. 5.20b

A

++ + +

+ +-- --

---- - -

N P

AA

++++ ++ ++

++ ++---- ----

-------- -- --

N P

AA

++++++ +++++--

----

-------- ----

N P

Obr. 5.20a Obr. 5.20b

I [A]

U [V]Obr. 5.21

I [A]

U [V]Obr. 5.21

80

0d

0

nn

α = , (n0d, n0 sú odpovedajúce koncentrácie). Stupeň disociácie rastie s teplotou a zvyšuje

sa so zmenšením koncentrácie roztokov. Ak do disociovaného roztoku priložíme na elektródy napätie, vzniknuté elektrické pole spôsobí usporiadaný pohyb iónov, čím vzniká elektrický prúd. V elektrolyte pôsobí na každý ión sila elektrického poľa a proti pohybu sila trenia, ktorej veľkosť je úmerná rýchlosti pohybu iónu. Nech m+, v+, Q+, k+ sú hmotnosť, rýchlosť, elektrický náboj kladného iónu, k+ je konštanta charakterizujúca trenie kladného iónu pri pohybe kvapalinou, E je intenzita elektrického poľa. Analogický význam so znamienkom (–) budú mať veličiny pre záporné ióny. V ustálenom stave sa ióny budú pohybovať konštantnými rýchlosťami (sila od elektrického poľa sa rovná vtedy sile trenia):

, .Q Qu uk k+ −

+ + − −+ −

= = = =E EE Ev v (5.53)

V rovnici sme zaviedli nové veličiny: ,Q Qu uk k+ −

+ ++ −

= = , ktoré nazývame pohyblivosti

kladného, resp. záporného iónu. Pohyblivosť iónov závisí od ich druhu, rádovo má hodnotu 10−7 – 10−8 m2s−1V−1. Elektrický prúd v elektrolyte je daný súčtom elektrických prúdov kladných a záporných iónov. Pre hustotu elektrického prúdu môžeme preto písať:

0 0 0 ( ) .n Q n Q n Q u Q uα α α σ− + + − − + + − −= + = + = + =+J J J E Ev v (5.54) Posledná rovnica je vyjadrením Ohmovho zákona pre elektrolyty. V dôsledku rôznej pohyblivosti iónov u+, u−- , vznikajú v elektrolyte pri vedení elektrického prúdu zmeny koncentrácie, najmä pri elektródach. Ak z rovnice (5.54) vyjadríme konduktivitu elektrolytu dostávame

0 ( )n Q u Q uσ α + + − −= + . (5.55) Vidíme, že konduktivita priamo úmerne závisí od stupňa disociácie a od pohyblivostí iónov. Pre čisté rozpúšťadlo (α = 0) bude konduktivita nulová σ = 0. S rastúcim stupňom disociácie konduktivita rastie a pre veľmi zriedený roztok (α = 1), kde sú všetky molekuly disociované, bude maximálna. Prenos elektrického náboja iónmi cez elektrolyt sa na elektródach mení na prenos elektrického náboja elektrónmi v kovových vodičoch. Pri pohybe iónov v elektrolyte sa prenáša aj látka, ktorá sa vylučuje na elektródach. Tento proces – elektrolýzu - kvantitatívne prvýkrát popísal M. Faraday (r. 1833), pričom formuloval dva zákony. 1. Faradyov zákon: Hmotnosť látky vylúčená na elektróde je priamo úmerná prejdenému elektrickému náboju elektrolytom

m AIt AQ= = , (5.56) kde konštanta A [kg C−1] – tzv. elektrochemický ekvivalent, sa číselne rovná hmotnosti látky vylúčenej na elektróde pri prenose jednotkového elektrického náboja. Hmotnosť vylúčenej látky nezávisí ani od elektrického odporu elektrolytu, ani od jeho koncentrácie a teploty, nezávisí ani od veľkosti a vzdialenosti elektród, ani od svorkového napätia na nich. 2. Faradyov zákon: Uvažujme, že sa na elektróde vylúči n atómov, každý atóm má elektrický náboj Q = z e, kde z je nábojové číslo iónu. Hmotnosť atómu ma môžeme vyjadriť pomocou hmotnosti 1 mólu

81

látky M a Avogadrovej konštanty NA= 6,022⋅1023 mol−1, ktorá udáva počet atómov v jednom móle ma = M/NA. Po dosadení do konštanty A dostaneme

a

A

n mm M MAQ nQ N ze zF

= = = = , (5.57)

kde F = 9,649 ⋅104 C⋅mol−1 je Faradayova konštanta. Faradayova konštanta predstavuje náboj jedného mólu jednomocných iónov. Na vylúčenie hmotnosti 1 mólu látky je potrebný elektrický náboj číselne rovný Faradayovej konštante vynásobenej nábojovým číslom iónu.

Ak spojíme obidva zákony, môžeme formulovať spojený Faradayov zákon: Pri

elektrolýze sa na elektróde elektrickým nábojom Q vylúči látka hmotnosti m: Mm AQ QzF

= = . (5.58)

5.3.4 Elektrický prúd vo vákuu a v plynoch

V bežných podmienkach sú vákuum a plyny nevodivé látky, pretože neobsahujú

takmer žiadne voľné nosiče elektrického náboja. Plyny sa stanú vodivými, keď sa z neutrálnych atómov plynu vytvoria ióny alebo elektróny. Elektrický prúd v plynoch a vo vákuu je prúd konvekčný, zatiaľ čo v pevných látkach a kvapalinách išlo o kondukčný elektrický prúd. 5.3.4.1 Elektrický prúd vo vákuu

Prechod elektrického prúdu vo vákuu je možný vtedy, ak sa na elektródach uvoľnia

nosiče elektrických nábojov. Uvažujme evakuovanú sklenú trubicu so zatavenými dvomi elektródami. Katódu tvorí volfrámový drôt, druhá elektróda je pripojená na kladný pól zdroja a nazýva sa anóda. Ak katódu budeme žeraviť, pri dostatočne veľkej teplote sa z nej uvoľnia elektróny, a ak uzavrieme vonkajší elektrický obvod, potečie obvodom elektrický prúd. Popísaný spôsob uvoľnenia elektrónov z kovu sa nazýva termoemisia. Z rozžhaveného vlákna môžu uniknúť len tie elektróny, ktorých energia je väčšia ako výstupná práca pre daný kov. Výstupná práca závisí aj od čistoty kovu. Čím je výstupná práca menšia, tým kov lepšie emituje elektróny. Uvoľnené elektróny sú potom vo vákuovej trubici priťahované anódou, čím sa uzavrie prúdový obvod cez trubicu. Popísané zariadenie (obr. 5.22) sa nazýva vákuová dióda, jej voltampérová charakteristika je na obr. 5.23. Diódou tečie elektrický prúd aj pri nulovom napätí (pokiaľ je elektrický obvod uzavretý), pretože z katódy

Ia [A]

Obr. 5.23Ua [V]

mA

Obr. 5.22

A

K

Ia

Iž

VUa

Ia [A]

Obr. 5.23Ua [V]

mAmA

Obr. 5.22

A

K

Ia

Iž

VUa

82

vyletujúce elektróny s rýchlosťou v > 0 doletia k anóde aj bez napätia. S rastom napätia na anóde Ua rastie aj elektrický prúd Ia, a to až po nasýtený stav, kedy ďalším zvyšovaním napätia už elektrický prúd nerastie. Uvoľňovanie elektrónov z povrchu kovov je možné aj iným mechanizmom, nielen termoemisiou. Ide napr. o fotoemisiu – uvoľňovanie elektrónov účinkom svetla. S popisom fotoelektrického javu sa budeme zaoberať až v rámci základov kvantovej fyziky. Na fotoelektrickom jave sa zakladá činnosť vákuových fotóniek a fotonásobičov. Ďalším mechanizmom uvoľnenia elektrónov z vodičov aj polovodičov je tzv. studená emisia. Ide o pôsobenie silného elektrického poľa s intenzitou ≈ 1010 V⋅m−1, ktorá sa dá dosiahnuť len v blízkosti ostrých hrotov. 5.3.4.2 Elektrický prúd v plynoch

Vznik elektrického náboja v plyne sa nazýva ionizácia plynu. Takúto ionizáciu môže spôsobiť vonkajšie ionizačné pôsobenie. Ak máme uzavretý elektrický obvod cez výbojovú trubicu naplnenú plynom, na ktorý pôsobíme takýmto vonkajším ionizačným činidlom, zaregistrujeme elektrický prúd v obvode, ktorý ale zanikne ak odstránime vonkajšie pôsobenie. Ide o tzv. nesamostatnú vodivosť, v plyne nastáva nesamostatný výboj. Priebeh závislosti elektrického prúdu od napätia v plynoch je na obr. 5.24.

Prudké zvýšenie elektrického prúdu (oblasť c v obr. 5.24) už charakterizuje vznik samostatného výboja, ktorý sa udrží aj po odstránení vonkajšieho ionizačného pôsobenia.

Ionizáciu plynu môžeme dosiahnuť predovšetkým zvyšovaním teploty plynu – tzv. teplotná ionizácia, ožiarením plynu najmä ultrafialovým, röntgenovým a gama žiarením – ionizácia žiarením.

Ionizácia nárazom nastáva najčastejšie pri zrážkach molekúl plynu s elektrónmi. Podmienkou vzniku ionizácie je, aby energia – či už tepelného pohybu častíc, žiarenia, alebo kinetická energia elektrónu pri zrážkach s neutrálnou molekulou bola

väčšia ako ionizačná práca. Súčasne s ionizáciou nastáva v plyne rekombinácia, v stave dynamickej rovnováhy platí: im W m e+ −+ + , kde m je neutrálna molekula, m+ je kladný ión, e− je elektrón, Wi = e Ui je ionizačná práca.

Bez vonkajšieho napätia sa teda ustáli rovnováha medzi ionizáciou, vytvorenou vonkajším pôsobením a medzi rekombináciou, takže v časovej jednotke sa vytvorí rovnaký počet iónov ako ich ubudne v dôsledku rekombinácie. Keď priložíme vonkajšie napätie k výbojovej trubici, v ktorej už máme zionizovaný plyn a uzavrieme elektrický obvod, vznikne elektrický prúd, ktorý je súčtom elektrického prúdu kladných iónov smerom ku katóde a záporných iónov idúcich k anóde. Pri malých napätiach rastie elektrický prúd úmerne napätiu, väčšina iónov rekombinuje skôr ako sa dostanú na elektródu. Zvyšovaním napätia rekombinácia prakticky prestane, pretože všetky vytvorené nosiče elektrického náboja prídu na elektródy. Tak vzniká oblasť nasýteného elektrického prúdu (oblasť b v obr. 5.24). Pri ďalšom zvyšovaní napätia elektrický prúd začne prudko narastať. V plyne vznikla ionizácia nárazom bez vonkajšieho ionizačného pôsobenia. Takáto ionizácia nárazom má lavínovitý charakter, pretože prvotné elektróny − značne urýchlené zvyšujúcim sa napätím − vytvárajú pri zrážkach s neutrálnou molekulou ďalšie elektróny, takže ich počet so

Obr. 5.24

I [A]

U [V]

a

bc

In

Obr. 5.24

I [A]

U [V]

a

bc

In

83

vzdialenosťou exponenciálne narastá: 0 e xn n α= (α je ionizačný koeficient, n0 je hustota elektrónov vo vákuu, n – je hustota elektrónov v ionizovanom plyne). Ionizáciou nárazom vzniká samostatný výboj.

Z grafu I(U) je zrejmé, že v oblasti (a) – pokiaľ nenastane stav nasýtenia – platí aj v plynoch Ohmov zákon. V oblasti nasýteného prúdu potom elektrický odpor rastie a v oblasti nárazovej ionizácie prudko klesá.

Vyjadrime teraz Ohmov zákon pre plyny a konduktivitu plynu. Pri malých napätiach, t.j. pri malej intenzite elektrického poľa zaniká väčšina iónov rekombináciou, len malá časť z nich sa dostane k elektródam. Preto môžeme uvažovať, že počet vznikajúcich dvojíc iónov sa rovná počtu iónov podliehajúcich rekombinácii. Predpokladajme, že objemové hustoty kladných a záporných iónov sú rovnaké: n+

= n− = n. Označme n0 počet iónových dvojíc,

ktoré sa vytvoria v dôsledku pôsobenia ionizačného činidla v objemovej jednotke plynu za sekundu. Počet iónových dvojíc nr, ktoré v tomto objeme za sekundu podľahne rekombinácii je úmerné objemovým hustotám kladných a záporných iónov: nr = k n+

n− = k n2, kde k je rekombinačný koeficient. V stave rovnováhy medzi ionizáciou a rekombináciou bude platiť:

2 0r 0 0

nn n kn n nk

= ⇒ = ⇒ = . (5.59)

Pri stálom pôsobení ionizačného činidla s konštantnou účinnosťou je potom objemová hustota iónov v plyne daná vzťahom (5.59). Hustota elektrického prúdu je daná súčtom hustôt elektrického prúdu kladných a záporných iónov:

0( ) ( ) ( ) .nne e u uk

ρ+ − + − + − + −= + = + = + = +J J J Ev v v v (5.60)

Pri úprave rovnice (5.60) sme opäť – ako v kvapalinách – zaviedli pohyblivosti kladného a záporného iónu, ktoré udávajú rýchlosť daného iónu v elektrickom poli jednotkovej intenzity: ,u u+ + − −= =E Ev v . Ak porovnáme vzťah (5.60) s Ohmovým zákonom v diferenciálnom tvare J = σ E, dostaneme pre konduktivitu plynu:

0 ( )n e u uk

σ + −= + . (5.61)

Pri slabých elektrických poliach (oblasť a v obr.5.24) je konduktivita plynu závislá od objemovej hustoty iónov a od súčtu ich pohyblivostí. V ostatných oblastiach (b, c v obr. 5.24) výboja v plyne Ohmov zákon neplatí.

Nárazová ionizácia, ktorá prebieha v miestach s vysokou intenzitou elektrického poľa vedie k tzv. samostatnému elektrickému výboju v plyne. Rozlišujeme štyri základné typy samostatného výboja: tlecí, iskrový, korónový a oblúkový výboj.

Pri tlaku 210 Pap ≥ a dostatočnom napätí na elektródach prejde nesamostatný výboj na samostatný, obvykle tlecí výboj. Odpovedajúce napätie sa nazýva zápalné napätie. Elektrický prúd prudko vzrastie a VA charakteristika výboja má záporný sklon. Pri veľmi malej zmene napätia sa elektrický prúd prudko mení − to sa využíva v tzv. tlejivkách na stabilizáciu napätia. Výbojový stĺpec tlecieho výboja obsahuje vzbudené atómy, resp. molekuly, ktoré pri prechode do základného stavu vyžarujú fotóny, čo sa prejaví rôznou farbou vyžarujúceho svetla podľa druhu plynu vo výbojke (napr. argón – bledomodré svetlo, neón – červené). Z tejto vlastnosti vyplýva využitie tlecieho výboja v reklamných výbojkách, žiarivkách, skúšačkách napätia a pod. Hustota elektrického prúdu je ≈ (1 – 104) A⋅m−2, je najvyššia v osi výbojovej trubice.

Tlecí výboj môže prejsť vo výboj oblúkový, ak sa tlak plynu blíži k atmosférickému

84

tlaku a napätie je dostatočne veľké. Elektródy sa zohrejú elektrickým prúdom pri ich mechanickom kontakte, horúce elektródy sa oddialia, elektróny unikajúce termoemisiou a urýchľované v elektrickom poli medzi elektródami silne ionizujú plyn. Vznikne vodivý kanál s teplotou ≈ 5000°C, materiál katódy sa odparuje, prítomnosť jeho pár vo výboji je charakteristický pre oblúkový výboj. Hustota elektrického prúdu je ≈ 102 A⋅m−2. Oblúkový výboj sa v praxi využíva napríklad v oblúkových zdrojoch svetla, pri elektrickom zváraní, v magnetohydrodynamických generátoroch elektrického prúdu.

Iskrový výboj vzniká pri tlakoch plynu atmp p≥ a pri vysokom napätí. Ide o elektrický prieraz plynu. Vzniká napr. v okolí hrotov nabitých vodičov, pretože tam je veľmi silné elektrické pole, ktoré urýchľuje elektróny, ióny a tie potom nárazom ionizujú plyn. V iskrovom výboji vzniká viacnásobná ionizácia plynu. Teplota v iskrovom kanáli je veľmi vysoká ≈ 50 000 K, celkový výboj trvá veľmi krátko. Iskrový výboj je sprevádzaný praskotom, pretože Jouleovo teplo (vyvinuté veľkým okamžitým elektrickým prúdom) spôsobí veľké zohriatie plynu. Tým vznikne vysoký tlak, ktorý sa vyrovnáva tlakovou vlnou – praskotom. Napätie, pri ktorom dochádza k iskre závisí od tvaru a vzdialenosti elektród, od tlaku plynu a od jeho druhu. Špeciálnym prípadom iskrového výboja je blesk. Vzniká pri napätí (107 – 109)V medzi mrakom a zemou, alebo medzi dvomi mrakmi, trvá rádovo milisekundy a má energiu ≈ 5 MWh.

Tab. 5.1 Hodnoty rezistivít a teplotných koeficientov elektrického odporu pre niektoré materiály

Materiál Rezistivita ρ pri 20°C [Ω⋅m ]

Teplotný koeficient odporu

α [K-1] Striebro 1,63⋅10−8 3,8⋅10−3 Meď 1,72⋅10−8 3,93⋅10−3 Hliník 2,83⋅10−8 3,9⋅10−3 Železo 9,8⋅10−8 6,5⋅10−3 Zlato 2,3⋅10−8 4,0⋅10−3 Platina 10,6⋅10−8 3,9⋅10−3 Cín 11,5⋅10−8 4,2⋅10−3 Tantal 15,5⋅10−8 3,8⋅10−3 Volfrám 5,3⋅10−8 4,5⋅10−3

Čisté kovy

Nikel 7,8⋅10−8 6,0⋅10−3 Mosadz 7,5⋅10−8 (2-7)⋅10−3 Nichróm 108⋅10−8 2⋅10−4 Konštantan 44⋅10−8 ≈10−6

Zliatiny

Bronz 13⋅10−8 0,8⋅10−3 Uhlík 1,5⋅10−5 − (6-12) ⋅10−3 Germánium 5⋅10−1

Polovodiče

Kremík 2.5⋅103 −70⋅10−3 Bakelit 106-1012 Sklo 107-1012 Kremeň >5⋅1016

Izolanty

Porcelán 3⋅1012 Acetón 14 Etylalkohol 5⋅104 Najčistejšia voda vo vákuu 2,5⋅105 Destilovaná voda 103-104

Kvapaliny

Transformátorový olej 1011-1012