5 - Esercizi: Probabilità e Distribuzioni di Probabilità (Uniforme, Gaussiana)

• Esercizio 1: Una variabile casuale e’ caratterizzata da una distribuzione uniforme tra 0 e 10. Calcolare

- a) la probabilità di ottenere un numero maggiore di 8.2

- b) la probabilità che estraendo 3 volte, si ottenga sempre un numero maggiore 8.2

• Soluzione Esercizio 1:

f(x) = 1b�a = 1

10�0 per 0 < x < 10

f(x) = 0 per x < 0U x > 10

P (x > x0) =Rx

max

x0f(x)dx =

R 108.2

110dx = (10� 8.2)/10 = 0.18 = 18%

P (x > x0 in 3 estrazioni indipendenti) = P (x > x0)3= 0.18

3= 0.58%

Distribuzione di probabilita uniforme da 0 e 10

• Esercizio 2: Disegnare la distribuzione di probabilità della variabile casuale data dalla differenza tra il valore di 2 dadi lanciati simultaneamente. Calcolare la probabilità che, lanciando per tre volte consecutive una coppia di dadi, si ottenga tutte e tre le volte lo stesso valore su ciascun dado.

• Soluzione Esercizio 2: Il risultato del lancio di un dado e’ una variabile casuale discreta x che puo

assumere 6 valori diversi (1,2,3,4,5,6)

x1 risultato del primo lancio, x2 risultato del secondo lancio

La di↵erenza tra i due risultati e’ anch’essa una variabile casuale � = x1�x2

di cui si vuole determinare la funzione di distribuzione di probabilita.

La variabile � e’ compresa tra -5 (quando x1 = 1 e x2 = 6) e +5 (viceversa),

assumendo i valori discreti: -5, -4, ...0, ..., +4, +5

Si calcola il numero di combinazioni dei risultati con cui si puo’ ottenere un

certo valore di � (casi favorevoli).

� = �5 ! x1 = 1 x2 = 6 ! N(�5) = 1

� = �4 ! x1 = 1 x2 = 5 ; x1 = 2 x2 = 6 ! N(�4) = 2

� = �3 ! x1 = 1 x2 = 4 ; x1 = 2 x2 = 5 ; x1 = 3x2 = 6 ! N(�3) = 3

� = �2 ! ... ! N(�2) = 4

� = �1 ! ... ! N(�1) = 5

� = 0 ! ... ! N(0) = 6

Si ottiene inoltre che N(��) = N(�) per simmetria. Il numero totale dei

casi Ntot

= 36 (casi possibili).

La probabilita di ottenere un certo valore di � e’ quindi P (�) = N(�)/Ntot

.

P (�5) = P (5) = 136 , P (�4) = P (4) = 2

36 , P (�3) = P (3) = 336 , P (�2) =

P (2) = 436 , P (�1) = P (1) = 5

36 , P (0) = 636 ,

Ottenere lo stesso risultato nei due lanci di dadi equivale a x1 = x2 ovvero� = 0. La probabilita di avere � = 0 in 3 serie consecutive di lanci di unacoppia di dadi e’ quindi P (0 3 volte) = P (0)3 = ( 6

36 )3 = 0.46%

La distribuzione di probabilita e’ quella riportata in figura (distribuzione

triangolare)

6− 4− 2− 0 2 4 62 - x1 = x∆

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Prob

abilit

a'

• Esercizio 3: Una macchina confeziona sacchetti di caramelle del peso medio μ=200 g con una deviazione standard σ=10 g. Assumendo una distribuzione gaussiana, calcolare su un numero molto grande di sacchetti prodotti dalla macchina:

- a) la percentuale di sacchetti che pesano più di 220 g

- b) la percentuale di sacchetti che pesano più di 190 g

• Soluzione Esercizio 3: La percentuale di sacchetti che pesa piu di m1 = 220 g e’ uguale alla prob-

abilita P1(m > m1) =R +1m1

Gµ,�(x)dx.

Si calcola il numero di deviazioni standard (t1) che separano il valore m1 daµ: t1 = |m1�µ

� | = | 220�20010 | = 2 (2 deviazioni standard)

P1(m > m1) =R +1µ Gµ,�(x)dx�

R µ+t1�µ Gµ,�(x)dx = 50%�Q(t1)

dove l’integrale Q(t) =R µ+t�µ Gµ,�(x)dx viene riportato nelle tabelle gaussiane.

Quindi: P1(m > m1) = 50%�Q(t1) = 50%�Q(2) = 50%� 47.72% ⇠ 2.3%

NOTA: in questo caso non serviva utilizzare le tabelle gaussiane in quanto e’ben nota la probabilita che la variabile si trovi entro ±2� da µ, pari a circa il95.5%: quindi P1(m > m1) = P (m > µ+ 2�) = (100%� 95.5%)/2 ⇠ 2.3%

Si risolve analogamente per la probabilita che m > m2 = 190 g.

t2 = |m2�µ� | = | 190�200

10 | = 1 (1 deviazione standard)

Tenendo conto che m2 < µ:P2(m > m2) = 50% +Q(t2) = 50% +Q(1) = 50% + 34.13% ⇠ 84%

NOTA: anche in questo caso non serviva utilizzare le tabelle gaussiane inquanto e’ ben nota la probabilita che la variabile si trovi entro ±1� da µ, pari acirca il 68%. Quindi P2(m > m2) = P (m > µ�1�) ⇠ 68%+(100%�68%)/2 =84%

• Esercizio 4: Un bambino di 4 anni ha un peso di 22.5 Kg. Dalla tabella dei “percentili“ i suoi genitori desumono che si trova al 90-esimo percentile. Il cugino avente la stessa eta’ ha un peso di 18.2 Kg e si trova al 40-esimo percentile. Determinare μ e σ della distribuzione gaussiana che descrive i pesi dei bambini di 4 anni.

Si definisce “percentile” la probabilità che un valore sia minore del valore dato secondo la distribuzione in questione.

• Soluzione Esercizio 4: Il peso del bambino e’ una variabile casuale x distribuita secondo una gaus-

siana.

Il bambino 1 pesa x1 = 22.5 Kg: P (x < x1) = 90% (90-esimo percentile) ovvero

P (x > x1) = 10%.

Il bambino 2 pesa x2 = 18.2 Kg: P (x < x2) = 40% (40-esimo percentile) ovvero

P (x > x2) = 60%.

t1 = |x1�µ

�

| e t2 = |x2�µ

�

|Si conoscono le probabilita: P (x > x1) = 50% � Q(t1) = 10% e P (x > x2) =

50% + Q(t2) = 60% da cui Q(t1) = 40% e Q(t2) = 10%: utilizzando le tabelle

per Q(t) e’ possibile ottenere i valori di t1 e t2 che soddisfano le due equazioni

riportate sopra. Si ottengono t1 ⇠ 1.28 e t2 ⇠ 0.255.

Essendo x1 al 90-esimo percentile, x1 > µ da cui: x1 � µ = �t1.

Essendo x2 al 40-esimo percentile, x2 < µ da cui: �x2 + µ = �t2.

E’ un sistema di 2 equazioni in 2 incognite (µ e �):

� =

x1�x2t1�t2

=

22.5�18.21.28+0.255 Kg ⇠ 2.8 Kg

µ = x1 � �t1 = (22.5� 2.8 · 1.28) Kg ⇠ 18.9 Kg

• Esercizio 5: Si misura la grandezza x per N=6 volte e si ottengono i seguenti valori:

- 51, 53, 54, 55, 52, 53

• a) Assumendo che queste misure siano distribuite secondo una gaussiana, calcolare la miglior stime per il valor vero e la deviazione standard della distribuzione gaussiana.

• b) Assumendo che la σ sia esattamente uguale alla stima ottenuta tramite la deviazione standard del campione, calcolare la probabilità che una nuova misura cada al di fuori dell’intervallo delle prime sei (x<50.5 e x>55.5)

• c) Calcolare l’incertezza sulla stima della σ (δσ)

• d) Ricalcolare la probabilità richiesta al punto b) assumendo questa volta che il valore vero di σ sia σ+δσ o σ-δσ e confrontare i risultati con quelli del punto b)

• Soluzione Esercizio 5:

La media e’ miglior stima del parametro µ della gaussiana: x =P

i

x

i

N

= 53La deviazione standard campionaria e’ la miglior stima del parametro � della

gaussiana: �x

=qP

i

(xi

�x)2

N�1 =p2 ⇠ 1.4

x1 = 50.5 ed x2 = 55.5 da cui t1 = |x1�µ

�

| = 1.79 e t2 = |x2�µ

�

| = 1.79ovvero t1 = t2 = t = 1.79. Essendo l’intervallo simmetrico attorno a µ, la prob-abilita richiesta e’ quindi P (x < x1 ORx > x2) = 100% � P (x1 < x < x2) =100%� 2 ·Q(t) = 100%� 2 ·Q(1.79) = 100%� 2 · 46.33% ⇠ 7.3%

Si e’ assunto che � = �x

: questo e’ vero solo per un numero infinito di mis-ure (N ! 1). In questo caso in cui il numero di misure e’ piccolo (solo 6),questa stima e’ a↵etta da grandi incertezze statistiche. L’errore relativo sullastima della deviazione standard e’ ��

�

x

= 1p2(N�1)

= 1p2(6�1)

⇠ 32% da cui:

� = �x

± �� = 1.40± 0.45.

Si ricalcolano le probabilita della prima domanda assumendo due valori di-versi della deviazione standard: �+ = �

x

+ �� = 1.85 e �� = �x

� �� = 0.95.I corrispondenti valori di t sono: t1,+ = t2,+ = 1.35 e t1,� = t2,� = 2.63. Lecorrispondenti probabilita sono: P+(x < x1 ORx > x2) = 17.7% e P�(x <x1 ORx > x2) = 0.86%, da confrontare con il valore P (x < x1 ORx > x2) =7.3% calcolato per � = �

x

. E’ evidente che con un numero piccolo di misure leprobabilita ottenute in questo modo sono a↵ette da grandi incertezze.NOTA: Per un gran numero di applicazioni pratiche si puo dimostrare che questoe↵etto e’ sostanzialmente trascurabile se il numero di misure e’ superiore a circa20 (vedi distribuzione ”t-Student” per approfondimenti).

Q(t) =R µ+t�µ Gµ,�(x)dx

µ µ+ t�

Gaussiana