12
y 1 = A sin(kx - ωt), y 2 y 2 = A sin(kx + ωt). ω -ω v = ω/k y = y 1 + y 2 = A sin(kx - ωt)+ A sin(kx + ωt). sin(a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a y = A(sin kx cos ωt - sin ωt cos kx)+ + A(sin kx cos ωt + sin ωt cos kx)= = 2A sin kx cos ωt kx - ωt

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5. Ondas Estacionárias

1 O que são ondas estacionárias?

Comecemos por pensar numa onda progressiva,

y1 = A sin(kx− ωt), (1)

que se propaga num dado meio e que encontra uma parede, sendo re�ectida. Aonda re�ectida, y2, vai na direcção oposta, e por isso escreve-se

y2 = A sin(kx + ωt). (2)

Note-se que ao passar de uma equação para outra o que se fez foi trocar o sinalde ω, que passou a −ω, pois a velocidade é v = ω/k e tem sentidos opostos nosdois casos.

Estas duas ondas vão coexistir no mesmo meio e portanto vão sobrepôr-se.Pelo princípio da sobreposição sabemos que a onda total é

y = y1 + y2 = A sin(kx− ωt) + A sin(kx + ωt). (3)

Se usarmos o facto de que sin(a± b) = sin a cos b± sin b cos a, temos

y = A(sin kx cos ωt− sin ωt cos kx) +

+ A(sin kx cos ωt + sin ωt cos kx) =

= 2A sin kx cos ωt (4)

O que quer dizer esta expressão? Deixou de ser uma onda progressiva, porqueo factor conjunto kx−ωt desapareceu. Uma forma de tentar perceber a expressãoé fazermos um grá�co �história� ou �fotogra�a�. É isso que está feito na �gura 1.

A �gura 1 apresenta várias fotogra�as sobrepostas (tiradas nos instantes t=0,t=T/12, t=T/6, t=T/4, t=T/3, t=5T/12 e t=T/2).

Veri�camos que para qualquer destes instantes a sobreposição das duas ondas(incidente e re�ectida) dá origem a um padrão estacionário.

Em particular, reconhecemos a existência de pontos para os quais não hávibração - são os nodos.

Por outro lado existem pontos onde se dá a amplitude máxima de vibração -são os antinodos. A �gura 2 ilustra este ponto.

1

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Figura 1: Uma onda estacionária.

Figura 2: Nodos e antinodos.

2

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É muito fácil prever a posição dos nodos e antinodos. Uma vez que y =2A sin kx cos ωt, os antinodos são dados pela condição de que o seno seja máximo.Temos então

kx =π

2,3π

2,5π

2, . . . (5)

Como k = 2π/λ, temos que as posições dos antinodos são dadas por

x =λ

4,3λ

4,5λ

4, . . . , (6)

ou seja, de uma forma geral a posição dos antinodos é dada por

x =nλ

4, n = 1, 3, 5, 7 . . . . (7)

Quanto às posições dos nodos, são dadas pela condição de que o seno sejanulo. Temos então

kx = 0, π, 2π, 3π, . . . (8)

De novo, como k = 2π/λ, temos que as posições dos nodos são dadas por

x =λ

2, λ,

2, 2λ, . . . , (9)

ou seja, de uma forma geral a posição dos nodos é dada por

x =nλ

2, n = 0, 1, 2, 3, 4 . . . . (10)

• A distância entre dois antinodos sucessivos é λ/2, ou seja, metade do com-primento de onda.

• A distância entre dois nodos sucessivos também é λ/2, ou seja, metade docomprimento de onda.

• A distância entre um nodo e um antinodos adjacentes é λ/4, ou seja, umquarto do comprimento de onda.

2 Outra forma de ver as ondas estacionárias

Vamos agora tentar perceber a formação de ondas estacionárias sem recorrer amatemática, mas relembrando o que já aprendemos sobre re�exão de ondas.

A �gura 3 mostra o que acontece quando uma onda chega a uma parede e ére�ectida.

Quando a onda é re�ectida, ela é (neste caso) também invertida. O que queristo dizer? Consideremos a linha tracejada como o nível de referência da onda.

3

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Figura 3: Outra vez uma onda estacionária (retirado do site de Hyperphysics.Ver em http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.html#hph ).

Se a onda continuasse a sua evolução natural depois da re�exão ela continuariapara os valores negativos (já que antes da re�exão está nos positivos, acima dalinha de referência). No entanto, como se dá a inversão de fase, a onda volta paratrás, de novo pelos valores positivos.

As duas ondas agora vão sobrepor-se e interferir construtivamente, dandoorigem à onda estacionária.

Note-se, a este propósito que a amplitude máxima da onda estacionária é 2A[ver (4)], precisamente o dobro da amplitude das ondas incidente e re�ectida. Istotem precisamente a ver com o facto de que as ondas interferem construtivamentee a amplitude resultante é maior do que as amplitudes individuais.

3 Ondas estacionárias em cordas �xas nas duas

extremidades

Consideremos uma corda �xa nas duas extremidades. Podemos aplicar à vibraçãoda corda o que já aprendemos sobre ondas estacionárias: se uma onda incidirinicialmente numa das extremidades, ela será re�ectida e a sobreposição das duasondas forma um padrão estacionário, com nodos e antinodos.

No caso de uma corda com as duas extremidades �xas, no entanto, sabemosde antemão que as duas extremidades vão ser nodos, pois por estarem �xas nãopodem vibrar.

Assim, as possibilidaes para o padrão estacionário de vibração são os que seapresentam a seguir, na �gura 4.

Da �gura vemos que a vibração mais simples tem apenas um antinodo. Se for

4

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Figura 4: Harmónicas da vibração de uma corda.

L o comprimento da corda, vemos que L é metade do comprimento de onda davibração:

L =λ

2. (11)

No caso do segundo modo de vibração vemos que L corresponde exactamente aum comprimento de onda:

L = λ. (12)

No terceiro modo de vibração temos que em L cabe um comprimento de onda eainda sobra outro meio comprimento de onda:

L =3

2λ. (13)

É fácil de perceber que a generalização deste resultado é

L =n

2λ, n = 1, 2, 3, 4 . . . (14)

Este resultado quer dizer que apenas alguns modos de vibração estacionária sãopermitidos numa corda com as extremidades �xas. Esses modos de vibração têmnecessariamente comprimentos de onda da forma

λn =2L

n, n = 1, 2, 3, 4 . . . (15)

isto é, submúltiplos de 2L. Dito de outra forma, uma corda com as exttremi-dades �xas pode vibrar apenas com vibrações que tenham comprimento de ondasubmúltiplo de 2L.

5

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Podemos ainda traduzir este resultado em termos de frequência. Lembrandoque f = v/λ e que a velocidade de propagação da onda não depende da frequência,temos que

fn = nv

2L(16)

é a frequência do n-ésimo modo de vibração. A f1 = v/2L chamamos a frequên-cia fundamental. Às outras frequências chamamos harmónicas, Por exemplo,f2 = 2f1 = v/L é a segunda harmónica. O conjunto das harmónicas e da fre-quência fundamental constitui uma série harmónica.

4 Ondas estacionárias em colunas de ar

Podem criar-se ondas estacionárias em colunas de ar exactamente da mesmaforma que nas cordas. O princípio é o mesmo: a onda incidente é re�ectida,a onda re�ectida interfere construtivamente com a onda incidente e forma-se opadrão da onda estacionária.

No caso da corda temos a oscilação da própria corda. No caso das colunas dear temos o movimento oscilatório das partículas, a que correspondem ondas dedeslocamento e pressão, como vimos no último capítulo.

Podemos partir da analogia com as cordas para perceber o que se passa comas colunas de ar. No caso das cordas concluímos que as extremidades têm de sernodos porque estão �xas. No caso das colunas de ar temos dois casos distintos,ilustrados na �gura seguinte: as colunas de ar abertas nas duas extremidades eas colunas de ar fechadas numa das extremidades.

Figura 5: Colunas de ar abertas e fechadas.

Vejamos então o que podemos dizer sobre as duas extremidades diferentes:

• extremidade fechada

Se pensarmos em termos das ondas de deslocamento das partículas com-preendemos que a extremidade fechada tem de ser um nodo. Porquê?

6

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Porque as moléculas junto à parede não podem oscilar (batem na parede,não é?). Portanto o deslocamento das moléculas encostadas à parede émesmo zero. Temos de ter então um nodo junto à parede. A extremidadefechada comporta-se portanto como a extremidade �xa de uma corda.

• extremidade aberta

Neste caso é melhor começar por pensar em termos de ondas de pressão. Aextremidade aberta deve ser um nodo para as ondas de pressão. Porquê?Porque a extremidade da coluna está à pressão atmosférica, e a pressãoatmosférica é constante, não se altera. Portanto a amplitude de variaçãoda onda de pressão na extremidade da coluna deve ser nula � temos umnodo na onda de pressão1.

Lembremo-nos agora que as ondas de deslocamento e pressão estas des-fazadas de 90o (ver �gura 7 do capítulo anterior), o que quer dizer quequando a onda de pressão está np máximo a onda de deslocamento está emzero, e vice-versa. Isto quer dizer que um nodo da onda de pressão (ampli-tude de oscilação nula) quer dizer um antinodo da onda de deslocamento(amplitude de oscilação máxima). Portanto, enquanto uma extremidadefechada origina um nodo (da onda de deslocamento), uma extremidadeaberta origina um antinodo (da onda de deslocamento).

O resumo desta análise está feito gra�camente na �gura 6

Figura 6: Nodos e antinodos da onda de deslocamento em colunas de ar.

Vejamos então quais as ondas que se podem formar nas colunas de ar.

1Na realidada não é exactamente assim. A pressão não se reduz à pressão atmosféricaimediatamente à saída da coluna, mas um pouco depois. Isto quer dizer que podemos descrevera coluna através de um comprimento efectivo, maior do que o real. No entanto o essencial dafísica das ondas estacionárias em colunas de ar consegue-se perceber através da descrição maissimples que vamos seguir, que assume que o nodo da onda de pressão se situa exactamente naextremidade aberta

7

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4.1 Colunas fechadas numa das extremidades

Comecemos pelas colunas fechadas numa das extremidades. A onda estacionáriamais simples tem um nodo na extermidade fechada e um antinodo na extremidadeaberta, tal como ilustrado na �gura 7

Figura 7: Modo fundamental numa coluna com uma extremidade fechada.

Neste caso todo o comprimento da coluna é atravessado por apenas quarto deonda , pois de um mínimo a um máximo vai apenas um quarto de onda. Então,pare o modo fundamental temos

L =λ1

4⇒ λ1 = 4L. (17)

Quanto à frequência, ela vale

f1 =v

λ1

=v

4L. (18)

O segundo modo está ilustrado na �gura seguinte. Tem mais um nodo e umantinodo no meio.

Figura 8: Segundo modo numa coluna com uma extremidade fechada (3a har-mónica).

Neste caso todo o comprimento da coluna é atravessado por três quartos deonda , pois mínimo→máximo→mínimo→máximo é o percurso correspondentea três quartos de um ciclo. Então, para o segundo modo temos

L =3λ3

4⇒ λ3 =

4

3L. (19)

Quanto à frequência, ela vale

f3 =v

λ3

=3v

4L= 3f1. (20)

8

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A última igualdade permire compreender porque é que se usou o subscripto 3 enão 2: porque efectivamente a frequência do segundo modo é tripla do modo fun-damental. Portanto podemos dizer que não há 2a harmónica, há só 3a harmónica.

Exempliquemos ainda o terceiro modo, a que, como veremos, corresponde aquinta harmónica. O terceiro modo está ilustrado na �gura seguinte:

Figura 9: Terceio modo numa coluna com uma extremidade fechada (5a har-mónica).

Tem três nodos e três antinodos e corresponde a um período e ainda mais umquarto de período, ou seja, a 5/4 de período. Tem-se então, naturalmente

L =5

4λ5 ⇒ λ5 =

4

5(21)

e

f5 =v

λ5

=5v

4L= 5f1, (22)

o que mostra que realmemte se trata da quinta harmónica.

Podemos agora fazer a generalização. A �gura seguinte mostra globalmente osprimeiros cinco modos de vibração de uma coluna com uma extremidade fechada.

Figura 10: Os primeiros 5 modos numa coluna com uma extremidade fechada(Note-se que a notação da �gura é diferente da notação do texto. No textousou-se λ1, λ3, λ5, . . ., a que na �gura correspondem λ1, λ2, λ3, . . .).

9

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O comprimento de onda do n-ésimo modo é

λ2n−1 =4L

2n− 1, n = 1, 2, 3, 4, . . . (23)

e a frequência que lhe corresponde é

f2n−1 =v

λ2n−1

=(2n− 1)v

4L= (2n− 1)f1, n = 1, 2, 3, 4 . . . . (24)

Os valores de 2n−1 correspondem aos ímpares. Assim, concluímos que numa col-una de ar com uma extremidade fechada são possíveis apenas modos de vibraçãocorrespondentes a harmónicas ímpares da frequência fundamental.

4.2 Colunas abertas nas duas extremidades

Vejamos agora o que acontece com as colunas abertas nas duas extremidades.De acordo com o que vimos atrás temos de ter um antinodo em cada uma dasextremidades. Assim, o modo mais simples é o que está ilustrado na �guraseguinte:

Figura 11: Modo fundamental numa coluna com as extremidades fechadas.

Temos apenas um nodo no meio da coluna, o su�ciente para poder passarde um nodo a outro. Neste caso o comprimento da coluna corresponde a meiocomprimento de onda, pois meio comprimento de onda é o que vai de um máximoa outro. Temos então

L =λ1

2⇒ λ1 = 2L (25)

ef1 =

v

λ1

=v

2L. (26)

Vejamos agora o segundo modo, que está ilustrado na �gura seguinte.

Figura 12: Segundo modo numa coluna com uma extremidade fechada (2a har-mónica).

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Este modo tem dois nodos. Vemos que em geral o n-ésimo modo há-de ter nnodos. Neste caso o comprimento da coluna corresponde a um comprimento deonda, pois um comprimento de onda é o que vai entre dois máximos sucessivos.Temos então

L = λ2 ⇒ λ2 = L =2L

2(27)

e

f2 =v

λ2

=v

L=

2v

2L= 2f1. (28)

O segundo modo corresponde realmente à segunda harmónica.Podemos agora fazer uma generalização, como no caso da coluna com uma

extremidade fechada. A �gura seguinte mostra globalmente os primeiros cincomodos de vibração de uma coluna com as extremidades abertas.

Figura 13: Os primeiros 5 modos numa coluna com as extremidades abertas.

O comprimento de onda do n-ésimo modo é

λn =2L

n, n = 1, 2, 3, 4, . . . (29)

e a frequência que lhe corresponde é

fn =v

λn

=nv

2L= nf1, n = 1, 2, 3, 4 . . . . (30)

Assim, concluímos que numa coluna de ar com as duas extremidadea abertas sãopossíveis todos os modos de vibração correspondentes às harmónicas da frequênciafundamental.

5 Resumo dos modos

A tabela �nal apresenta o resumo dos três modos estudados: em cordas e emcolunas

11

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Meio fn

corda n v2L

coluna de ar fechada numa extremidade (2n− 1) v4L

coluna de ar aberta nas duas extremidades n v2L

Tabela 1: Resumo dos três modos

As expressões para uma corda e uma coluna aberta nas duas extremidadessão iguais porque as condições aos extremos são, nos dois casos, do mesmo tipo.No caso da corda devemos ter nodos aos extremos; no caso da coluna aberta nasduas extremidades devemos ter dois antinodos. Mas copmo nodos e antinodosestão separados da mesma distância, a peridicidade que daí advém é igual. Porisso a expressão geral de fn é igual nos dois casos.

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