-
PARAMETRI ILI BROJNE KARAKTERISTIKE SLUAJNIH
PROMENLJIVIH
-
Funkcija raspodele ili zakon raspodele, za diskretnu sluajnu
promenljivu, i funkcija raspodele ili gustina raspodele verovatnoa,
za neprekidnu sluajnu promenljivu predstavljaju potpune
karakteristike tih promenljivih.
Te funkcije daju nam najvanija obavetenja o raspodeli te sluajne
promenljive.
Meutim, u mnogim praktinim problemima, nije potrebno
okarakterisati sluajnu promenljivu u potpunosti. Najee je potrebno
ukazati samo na neke parametre (numerike pokazatelje) koji do
izvesne mere karakteriu bitne osobine raspodele verovatnoa.
Najvei praktini znaaj imaju dve grupe parametara. 1. Parametri
koji reprezentuju centar rasturanja vrednosti sluajne
promenljive,2. Parametri koji mere to rasturanje oko centra
rasturanja.
-
PARAMETRI KOJI REPREZENTUJU CENTAR RASTURANJA
Matematiko oekivanje oekivana vrednost, srednja vrednost,prosena
vrednostDefinicija:
Ako je X diskretna sluajna promenljiva ija je raspodela
verovatnoa jednaka
onda je matematiko oekivanje sluajne promenljive X
( ) ( )1 2
1 2
x xp x p x
1 2 1np p p+ + + =
( ) 1 1 2 21
n
i i n ni
E X x p x p x p x p=
= = + + +
.
-
Definicija:
Ako je X neprekidna sluajna promenljiva sa gustinom raspodele
f(x), onda je matematiko oekivanje sluajne promenljive X
( ) ( )E X x f x dx+
=
-
Ako red, odnosno integral, konvergiraju, tada postoji matematiko
oekivanje. (ako ima konano mnogo vrednosti sluajne promenljive
matematiko oekivanje uvek postoji)
Matematiko oekivanje je, u stvari, srednja ( prosena ) vrednost
sluajne promenljive .
-
Primer:Neka je dat zakon raspodele za X sa
Izraunati E(X)
3 5 21 6 3
10 10 10
-
Primer:Neka je dat zakon raspodele za X sa
Izraunati E(X),
matematiko oekivanje je
3 5 21 6 3
10 10 10
( ) 1 1 2 2 2 21 6 3 393 5 2
10 10 10 10E X x p x p x p= + + = + + =
-
Primer:Data je neprekidna sluajna promenljiva sa funkcijom
gustine
Matematiko oekivanje je
( )1 ,
0, ,
a x bf x b a
x a x b
= < >
-
Primer:Data je neprekidna sluajna promenljiva sa funkcijom
gustine
Matematiko oekivanje je
( )1 ,
0, ,
a x bf x b a
x a x b
= < >
( ) 12
b
a
a bE X x dxb a
+= =
-
OSOBINE MATEMATIKOG OCEKIVANJA
Neka je C proizvoljni realni broj, a X i Y sluajne promenljive.
Tada vai:
Ako su X i Y nezavisne sluajne promenljive
Iako se naziva oekivanje , matematiko oekivanje nije vrednost
koju treba oekivati, ak ne mora da bude mogua vrednost sluajne
promenljive.
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
E C C
E CX CE X
E X Y E X E Y
=
=
+ = +
( ) ( ) ( )E XY E X E Y=
-
Neka sluajna promenljive predstavlja broj pisama u 3 bacanja
novia Zakon raspodele sluajne promenljive X je
Matematiko oekivanje je
0 1 2 3: 1 3 3 1
8 8 8 8X
( ) 1 3 3 10 1 2 3 1,58 8 8 8
E X = + + + =
-
Dva igraa bacaju kocku. Pre bacanja prvi igra uplati unapred
neku svotu novca. Posle bacanja drugi igra plaa prvom igrau onoliko
dinara koliki broj padne. Koliko treba da uplati prvi igra da bi
igra bila fer?
Ako bi prvi igra uplatio dinar, posle prvog bacanja drugi igra
bi mu morao da da 1 dinar, a verovatno i vie.(igra je nepovoljna za
drugog igraa)
Ako bi prvi igra uplatio 6 dinara, moe da dobije uoeni novac,
ali je verovatnije da nee dobiti, pa je igra nepovoljnija za
njega.
Znai prvi igra treba da uplati 3,5 dinara da bi igra bila
podjednako povoljna za obojcu igraa
( ) 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 3,56 6 6 6 6 6
E X = + + + + + =
-
PARAMETRI KOJI MERE RASTURANJE SLUAJNE PROMENLJIVE OKO
CENTRA
RASTURANJA
Ako se kae da je prosena temperatura u nekom mestu 15 stepeni,
imamo utisak prijatne klime, ali moda je leti 40, a zimi -10
stepeni.
Srednja vrednost, koja predstavlja centar raspodele, nije
dovoljna za opisivanje pojava.
Prema tome treba znati kakva su odstupanja moguih vrednosti
sluajne promenljive X od srednje vrednosti, odnosno kakva je njena
rasprostranjenost, rasturanje, disperzija ( od latinske rei
dispergere).
-
Definicija: Neka je X diskretna sluajna promenljiva sa
matematikim oekivanjem E(X) .
Varijansa ili disperzija sluajne promenljive X se definie kao
matematiko oekivanje kvadrata odstupanja sluajne promenljive X od
matematikog oekivanja
Kvadratni koren varijanse naziva se standardnom devijacijom
( ) ( )( )2D X E X E X=
( ) ( )X D X =
( ) ( )( ) ( )( )2
2
1
n
i ii
D X E X E X x E X p=
= =
-
Ako je X neprekidna sluajna promenljiva ija je f(x) funkcija
gustine, E(x) matematiko oekivanje , tada je disperzija
( ) ( )( ) ( )2
D x x E x f x dx
=
-
Disperzija predstavlja meru rasturanja vrednosti sluajne
promenljive X oko sredine . Ako je koncentracija vrednosti oko
sredine velika, disperzija je mala, dok ako se vrednosti sluajne
promenljive znaajno rasipaju oko sredine, disperzija je velika. Ova
injenica je ilustrovana na narednom grafiku.
E =
mala disperzija
velika disperzija
x
( )f x
-
OSOBINE VARIJANSE
Neka je C proizvoljni realni broj, a X i Y sluajne promenljive.
Tada vai:
Ako su X i Y nezavisne sluajne promenljive
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
22
2
0
0 1
D C
Ako je D C P X a
D X E X E X
D CX C D X
D X a D X
=
= = =
=
=
+ =
( ) ( ) ( )D X Y D X D Y+ = +
-
Primer:Izraunati disperziju i standardnu devijaciju sluajne
promenljive X, ako je
0 1 21 3 12 8 8
-
Primer:Izraunati disperziju i standardnu devijaciju sluajne
promenljive X, ako je
0 1 21 3 12 8 8
( )
( )
( )
2 2 2 2
1 3 1 50 1 22 8 8 8
5 5 1 5 3 5 1 310 1 28 8 2 8 8 8 8 6 4
3164
E X
D X E X
X
= + + =
= = + + =
=
-
Ili koristei se vezom
( ) ( ) ( )22D X E X E X=
-
Ili koristei se vezom
( ) ( ) ( )22D X E X E X=
20 1 4
: 1 3 12 8 8
X
( )2 1 3 1 70 1 42 8 8 8E X = + + =
( ) ( ) ( )2
22 7 5 318 8 64
D X E X E X = = =
-
Primer:Neka je data gustina raspodeleverovatnoe sluajne
promenljive X, nai disperziju
( )1 1 1 , 0 23 20, 0, 2
x xf x
x x
+ = < >
-
Primer:Neka je data gustina raspodeleverovatnoe sluajne
promenljive X
( )1 1 1 , 0 23 20, 0, 2
x xf x
x x
+ = < >
( ) ( )
( )
( )
2
022
0
1 1 101 ,2 2 9
10 1 1 261 ,9 2 2 81
2681
E X x f x dx x x dx
D X x x dx
X
+
= = + =
= + =
=
PARAMETRI ILI BROJNE KARAKTERISTIKE SLUAJNIH PROMENLJIVIHSlide
Number 2PARAMETRI KOJI REPREZENTUJU CENTAR RASTURANJASlide Number
4Slide Number 5Slide Number 6Slide Number 7Slide Number 8Slide
Number 9OSOBINE MATEMATIKOG OCEKIVANJASlide Number 11Slide Number
12PARAMETRI KOJI MERE RASTURANJE SLUAJNE PROMENLJIVE OKO CENTRA
RASTURANJASlide Number 14Slide Number 15Slide Number 16OSOBINE
VARIJANSESlide Number 18Slide Number 19Slide Number 20Slide Number
21Slide Number 22Slide Number 23
