Matemáticas Generales para Maestros Carlos Maza Gómez

I

1) Explica y demuestra dos formas distintas de determinar una fracción intermedia a otras dos.

2) Justifica la aplicación del teorema de Tales en la construcción geométrica de un cuartosegmento proporcional con otros tres dados y en la utilización del compás de reducción.

3) El mcm (a,b) = 340 y además la fracción a/b no varía si se añade 20 al numerador y 25 aldenominador. ¿Cuáles son los números a, b?.

4) Prueba que si dos números de cuatro cifras tienen las mismas cifras pero escritas en ordeninverso, su diferencia es múltiplo de 3.

5) Un triángulo equilátero y un exágono regular tienen el mismo perímetro. Si el triángulo tiene unasuperficie de 4 ? 3 m2, ¿qué área tiene el exágono?.

1) Demostrar que los puntos de la bisectriz de un ángulo AOB equidistan de los lados de dichoángulo............................ 2 puntos

2) Un número tiene la expresión 4 2 a 8) y 2 b 0 b 5). ¿Cómo se expresa este número en basedecimal?.......................... 2 puntos

Expresando este número en función de su base:

a + 2 x 8 + 4 x 82 = b + 0 x 5 + b x 52 + 2 x 53

a + 272 = 26 b + 250a + 22 = 26 ba = 26 b - 22

Como a, b están comprendidos entre 0 y 9, por ser un solo dígito, la única combinación que cumplea condición indicada es b = 1 a = 4 Porque para b = 2, a = 30 imposible.Luego el número buscado tiene la expresión

4 2 4 8) = 2 1 0 1 5)

que es4 + 2 x 8 + 4 x 82 = 276

ExámenesAño 2004

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II

3) Dibujas una circunferencia de diámetro 4. Se inscribe un exágono regular y se circunscribe uncuadrado. Hallar el área del exágono, del cuadrado y el área comprendida entre uno yotro........................ 2,5 puntos

Área de exágono inscrito

El radio de la circunferencia, coincidente con el lado del exágono, es r = 2Se considera el triángulo equilátero de la figura, de lado 2. Si trazamos la altura, se formará un triángulorectángulo de catetos 1 y h, y de hipotenusa 2. Por Pitágoras es:

h = R.3Siendo R.3 raíz cuadrada de 3.

Entonces el área del exágono se puede conseguir de dos formas. Considerar el área de este triánguloy multiplicarla por 6:AEXAGONO = 6 x (2 x R.3 / 2) = 6 R.3O bien por la fórmula clásica

AEXAGONO = ½ Perímetro x Apotema = ½ (6 x 2) x R.3 = 6 R.3

Área del cuadrado circunscrito

Como se puede observar en la figuras, el lado L del cuadrado circunscrito coincide con eldiámetro de la circunferencia, luego su área es

ACUADRADO = L2 = 42 = 16

La diferencia de las áreas será ACUADRADO -AEXAGONO = 16 - 6 R.3 = 5,6

4) Dispones de x euros en el bancocuando vas a una agencia de viajes.Allí te dicen que el avión te va a costarla cuarta parte de esa cantidad más el12 % de dicha cantidad en conceptode IVA. El hotel supone la terceraparte de lo que te queda después delavión. Si al final puedes contar paraotros gastos con 720 euros, ¿de quéc a n t i d a d x d i s p o n í a sinicialmente?............................ 2,5puntos

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III

Dispones inicialmente de ............... x eurosEl avión cuesta ..................... 1/4 x + 12/100 1/4 x = 112/100 1/4 x = 112/400 x = 28/100 xTe quedan .................... x - 28/100 x = 72/100 xEl hotel cuesta .............. 1/3 72/100 x = 72/300 x = 24/100 xTe queda después ......... 72/100 x - 24/100 x = 48/100 x

Que se iguala a lo que queda al final: 48/100 x = 720 de donde x = 1500 euros.

1) Resuelve la multiplicación 322 4) x 23 4) en base 4 utilizando el algoritmo en cuadrícula.

322 4) x 23 4) = 21332 4)

2) Justifica la regla a/b : c/d = a/b x d/c

3) Un vendedor de Cds vende en un primer momento la mitad de sus existencias. Acontinuación vende la mitad de lo que le quedaba pero le devuelven 2 Cds de la ventaanterior. En un tercer momento vende las 3/4 partes de lo que le quedaba y ledevuelven 1. Si al final le quedan 3 Cds ¿cuántos tenía inicialmente?.

Inicialmente dispone de x Cds.Momento 1: Vende ½ x Le queda: x - ½ x = ½ xMomento 2: Vende ½ (½ x) = 1/4 x

Le queda: ½ x - 1/4 x + 2 = 1/4 x + 2Momento 3: Vende 3/4 (1/4 x + 2) = 3/8 x + 3/2

Le queda: (1/4 x + 2) - (3/8 x + 3/2) + 1 = - 1/8 x + ½ = 3De donde x = 20 Cds

4) Demuestra el algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisormediante divisiones sucesivas.

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IV

5) Por un punto M de AM, bisectriz de un ángulo A, se trazan dos rectas que formansendos ángulos iguales con AM. Una corta a los lados del ángulo A en B y C, la otraa los mismos lados respectivamente en D y E. Demostrar:a) EM = BM ; b) MD = MC ; c) ED = BC.

Los triángulos AEM y ABM son iguales ya que tienen un lado común (AM) y los dos ángulosadyacentes (EMA = BMA, EAM = BAM). Por tanto, también EM = BM.

En segundo lugar, los triángulos AMD y AMC son iguales. En efecto, AMD = AMC por sersuplementarios de ángulos iguales. Además, los ángulos en A son iguales y el lado AM es común. Porconsiguiente, MD = MC.

De las igualdades EM = BM y MD = MC, resultaEM + MD = BM + MC, o sea ED = BC.