5 tema. Matematinės statistikos pradmenys

1

5 tema. Matematinės statistikos pradmenys

Matematinė statistika nagrinėja:

1. Eksperimentų rezultatų apdorojimo būdus

2. Statistines išvadas

Matematinės statistikos dalys:

1. Įverčių teorija.

2. Hipotezių tikrinimas.

2

Matematinės statistikos metodų charakteristika

1. Įverčių teorijos sritis – metodai,taikant kuriuos

nustatoma: 1) Empirinė atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija

2) Jo skaitinės charakteristikos

2. Statistinės išvados – hipotezių tikrinimas• Statistinė hipotezė – tai prielaida

apie empirinį atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį ir/arba apie jo empirines skaitines charakteristikas.

3

Įverčių teorija

Skirtumas tarp tikrosios ir nustatytos iš imties skaitinių charakteristikų reikšmių ,

vadinamas imties paklaida.• Formulės:• 1. Pasikliautinoji tikimybė:

• čia Q – pasikliautinoji tikimybė; • m – empirinis vidurkis;• m – tikrasis, bet tyrėjui nežinomas vidurkis;• ε – bet koks pakankamai mažas dydis

)~( mmPQ

4

Įverčių teorija

2. Reikšmingumo lygmuo:

3. Pasikliautinasis intervalas

2

1 Q

]~,~[ mm

5

Įverčių teorija

4. Nagrinėjamas atsitiktinis dydis T:T = (m-m)/ S*,

S* - atsitiktinio dydžio m standartinis nuokrypis

–imties su numeriu i elemento reikšmė; n – elementų skaičius imtyje.

Atsitiktinis dydis T yra pasiskirstęs pagal Stjudento dėsnį.

•

)1(

)~(1

2

nn

mxS

n

ii

ix

6

Praktiški skaičiavimai

1. Turime n stebėjimo rezultatų.2. Apskaičiuojame tos imties reikšmių empirinį vidurkį m.3. Pasirenkame pageidaujamos pasikliautinosios tikimybės Q

dydį.

Reikia rasti pasikliautinąjį rėžį, atitinkantį tą tikimybę Q.4. Randame šio atsitiktinio dydžio standartinį nuokrypį S*.

5. Pagal stebėjimų skaičių n ir pasikliautinąją tikimybę Q

randame parametrą tα (žr. 1 priedą)6. Padauginame šią reikšme iš S*

ir gauname ε reikšmę, t.y. ε = tα S*.7. Ieškomasis pasikliautinasis rėžis yra [m- ε, m+ ε].

7

Audito rizika

Rizika gali būti dvejopos prigimties:

1. Audituojamojo, kai nepaisant to, kad organizacijos veikla yra gera, suformuluojama neigiama išvada;

2. Audito, kai suformuluojama teigiama išvada, nors organizacijos veikloje yra esminių trūkumų.

8

Rizikos pasiskirstymas tarp audituojamojo ir auditoriaus

Audito išvada Tikroji padėtis

Mažai neatitikimų

Daug neatitikimų

Neatitikimai neviršija leistino lygio

Teisinga išvada Audito rizika

Neatitikimai viršija leistiną lygį

audituojamojo rizika

Teisinga išvada

9

Audito rizikos tipai:

• Įgimta rizika – nukrypimai nuo optimalios veiklos strategijos dėl neveikiančios vidaus kontrolės (ĮR)

• Kontrolės rizika – rizika, kad vidaus kontrolė laiku nepastebės ir neištaisys nukrypimų (KR)

• Neaptikimo rizika –audito metu nebus nustatyti vidaus kontrolės neištaisyti veiklos trūkumai (NR)

• Audito rizika: AR = ĮR x KR x NR

10

Įgimtą riziką įtakojantys veiksniai:

• Veiklos pobūdis;• Veiklą reguliuojančios teisinės bazės

trūkumai;• Audituojamos institucijos personalo

kompetencijos, patirties, sąžiningumo stoka;

• Struktūros sudėtingumo laipsnis;• Nerealių reikalavimų egzistavimas;• Neįgyvendinti ankstesnių auditų rezultatai.

11

Kontrolės ir neaptikimo riziką įtakojantys veiksniai:

• 1. Vidaus kontrolės:• Vidaus auditorių skaičius• Jų kompetencija, kvalifikacija ir kruopštumas• Naudojamų metodikų kokybė• Atliekamų procedūrų tinkamumas ir išsamumas• 2. Neaptikimo rizika:

• specifinių situacijų neatpažinimas;• nekvalifikuotų ar netinkamų auditorių atranka;• netinkamų metodikų ir procedūrų panaudojimas;• Netiksli rezultatų interpretacija;• lėšų ir laiko stoka.

12

Audito rizikos matricaNeaptikimo rizika

Įgimta

rizika

Kontrolės rizika

Maža Vidutinė Aukšta

Maža Labai

aukšta

Aukšta Vidutinė

Vidutinė Aukšta Vidutinė Maža

Aukšta Vidutinė Maža Labai

maža

13

Įgimtos ir kontrolės rizikos lygiai (Lenkija)

Rizikos

tipas

Rizikos lygis

Žemas Vidutinis Aukštas

Įgimta

rizika

45% 65% 100%

Kontrolės rizika

17% 28% 100%

14

Neaptikimo rizikos apskaičiavimo pavyzdys

Įgimta rizika

Vidutinė, proc.

Kontrolės

Rizika, proc.

Neaptikimo

Rizika

65 Maža 17

65 Vidutinė 28

65 Aukšta 100

45.017.0*65.0

05.0NR

27.028.0*65.0

05.0NR

08.01*65.0

05.0NR

15

Statistinės išvadosHipotezės

1. Hipotezė – tai prielaida apie populiacijos požymių reikšmes

2. Tikrinama hipotezė yra vadinama nuline hipoteze ir žymima H03. Tradiciškai H0 yra hipotezė apie lygybę, t.y. „nulinį“ skirtumą. 4. Jai priešinga hipotezė žymima H1 ir vadinama alternatyviąja5. Hipotezėms tikrinti naudojami statistiniai kriterijai – taisyklės,

kuriomis remiantis hipotezės pripažįstamos teisingomis arba klaidingomis

• Kritinė sritis – tai aibė reikšmių, kurias statistikai įgijus nulinė hipotezė atmetama.

• Kritinė reikšmė – tai skaičius, kuris atskiria kritinę sritį nuo hipotezės neatmetimo srities.

16

Pirmosios ir antrosios rūšies paklaidos

• Tikimybė atmesti nulinę hipotezę, kai ji yra teisinga, – I rūšies klaida α – reikšmingumo lygmuo

• Tikimybė neatmesti nulinės hipotezės, kai ji klaidinga, - II rūšies klaida β

• Tikimybė atmesti nulinę hipotezę, kai ji yra klaidinga, vadinama kriterijaus galia

17

Pirmosios ir antrosios rūšies klaidos

Sprendimas

Tikroji padėtis

Nulinė hipotezė

teisinga

Nulinė hipotezė

neteisinga

Neatmesti nulinę hipotezę

Teisingas sprendimas II rūšies klaida

Atmesti nulinę hipotezę

I rūšies klaida

Reikšmingumo lygmuo:

Teisingas sprendimas

Kriterijaus galia:

p1p

p 1p

18

Kriterijaus galia

• Tikimybė pagrįstai atmesti nulinę hipotezę, jei ji yra klaidinga, vadinama kriterijaus galia.

• Jeigu teisinga nulinė hipotezė, tai tikimybė, kad testo statistika įgys reikšmes didesnes už kritinę reikšmę, yra lygi α.

• Kritinė reikšmė dalina statistikos skirstinį į dvi dalis.

• Kairioji alternatyvaus skirstinio dalis yra β – tikimybė priimti klaidingą nulinę hipotezę,

• Dešinioji jo dalis yra kriterijaus galia - tikimybė atmesti klaidingą.

19

Kriterijaus galia

• Galią įtakojantys veiksniai:

• Skirtumas, kurį norima aptikti: Kuo didesnį skirtumą norėtume aptikti, tuo didesnis būtų atstumas tarp nulinio ir alternatyviojo

pasiskirstymo tankio funkcijų; • Tiriamojo parametro dispersija: Kuo mažesnė . dispersija, tuo siauresnės būtų nulinio ir

alternatyviojo pasiskirstymo tankio funkcijos;

• imties dydis, kuris įtakoja pasiskirstymo funkcijų formą

20

Imties dydis

I. Kai vertinamos vieno atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos

II. Kai vertinamos dviejų atsitiktinių dydžių skaitinių charakteristikų lygybė – hipotezių tikrinimas

21

Imties dydisI

1. Atsitiktinis dydis normalus2. Žinomas standartinis nuokrypis

• Uždavinys:• kiek reikia duomenų, kad vidurkis,• nustatytas iš tų duomenų imties,• atitiktų patikimumo ir tikslumo

reikalavimus

22

Imties dydis I

• Sprendimas:

• - standartizuoto normaliojo skirstinio kritinė reikšmė

2

22

4

l

zn

2l

2

1 Q

z

23

Imties dydis I

1. Atsitiktinis dydis nėra normalus2. Standartinis nuokrypis nežinomas Imties dydis - Stjudento dėsnio α lygmens kritinė

reikšmė• – empirinė dispersija• - empirinis vidurkis

2,)1( 2

2

ll

sntn

)1( nt

2

s

m~

24

Imties dydis I

• 3. Proporcijų įverčiai:• Pasikliautinojo intervalo ilgis išreiškiamas

tokia nelygybe:

• Imties dydis

n

zl

2

2

4zn

25

Imties dydis II

• Pagrindiniai veiksniai, įtakojantys imties dydį yra:

• reikšmingumo lygmuo α;• galia 1-β;• tyrimui reikšmingas skirtumas δ, kurį norima

aptikti;• tiriamų populiacijų standartiniai nuokrypiai,

kurie dažniausiai nėra žinomi. • Jų reikšmės paprastai įvertinamos remiantis

ankstesnių tyrimų rezultatais, patirtimi arba naudojantis specialiaisiais metodais.

26

1. Imties dydis populiacijų vidurkių palyginimo atveju

• Dvi populiacijos• Tarkime, kad auditorius nori patikrinti, ar

dviejų populiacijų tiriamųjų požymių vidurkiai yra vienodi,

• Kokio dydžio imtis jis turėtų išrinkti iš tiriamų populiacijų, kad su pasirinktu reikšmingumo lygmeniu ir galia galėtų pagrįstai teigti, kad skirtumas tarp imčių vidurkių yra statistiškai reikšmingas?

27


• Dvi populiacijos, imčių dydžiai vienodi, standartiniai nuokrypiai skirtingi

• Imčių dydžiai:

• α - reikšmingumo lygmuo, • β – kriterijaus galia, • δ – tyrimui reikšmingas skirtumas, kurį norima

aptikti, • σ1 ir σ2 – standartiniai nuokrypiai,

2

22

2

2

1111 )2(

zzn 21

~~ mm

28


• Dvi populiacijos, imčių dydžiai vienodi, standartiniai nuokrypiai vienodi:

• Imčių dydžiai:

2

21

2

11

2

)~~(

)(2

mm

zzn

29


• Dvi populiacijos, imčių dydžiai skirtingi: m<n, standartiniai nuokrypiai vienodi:

• Imčių dydžiai:• Pirmosios – m• Antrosios vietoj n reikia l dydžio imties:

nm

mnl

2

30

1. Imties dydis populiacijų požymių proporcijų palyginimo atveju

• Lyginamų imčių dydis turi būti:

• -lyginamų proporcijų reikšmės

2

21

2

11

)(2

)(

pp

zzn

21, pp

31

Imties dydis esant n populiacijoms ir k kategorijoms

• Turime • N=n*k dydžio imtį

• Norime aptikti skirstiniuose

• dydžio skirtumus

Imties dydis turi būti:

21~~ mm

2

2

)1)(1(,

knN

32

Hipotezės apie homogeniškumą tikrinimas

• Tikrinama, ar kelios skirtingos populiacijos tam tikro požymio atžvilgiu yra vienodos (homogeniškos)

• Nagrinėjamos r skirtingoso puliacijos.• Vertinamas kiekvienos iš jų vienas

kategorinis kintamasis, susidedantis iš c kategorijų.

• Surinktus duomenis galima surašyti dažnių lentelėje (9 lentelė).

33


• Skirtingų populiacijų kategorinio kintamojo dažniai

Populiacijos Nr.

Kintamojo kategorija Iš viso

1 2 C

1

2

r

n

in

jm 1m 2m cm

1n

2n

rn

11o co112o

34


• Kriterijaus statistika

• Antroji šios formulės dalis – tikėtini dažniai• Laisvės laipsnių skaičius (c-1)(r-1)• Sprendimas: mulinė hipotezė atmetama, jei

apskaičiuta statistika didesnė už teorinę jos reikšmę

r

i

c

j

jiij

ij

ijij

n

mne

e

eo

1 1

22

,)(

35


• Taikant šį kriterijų reikia. kad:

1. Imtis būtų ne mažesnė nei 30.

2. Ne daugiau nei ketvirtadalis gardelių reikšmių būtų mažesnės nei 5.

3. Sprendimas: jei p<α, nulinė hipotezė atmetama

36

Hipotezės apie nepriklausomumą tikrinimas

• Kriterijus, veiksmai ir išvados analogiškos kaip ir tikrinant homogeniškumą

• Skirtumai:

1. 1 Stulpelyje išdėstomos vieno kintamojo reikšmės

2. 1 Eilutėje išdėstomos kito kintamojo reikšmės

3. Jei apskaičiuota statistika didesnė už teorinę, – kintamieji priklausomi

Documents

5 tema. Matematinės statistikos pradmenys