5. tjedan - zadaci 2 -hiperbolički paraboloid (hipar)

1. Modelirajte dio plohe hiperboličkog paraboloida Ψ koji je odred-en:

(a) vitoperim četverovrhom ABCD, gdje je A(−15,−8, 18), B(9,−8, 0),C(9, 16, 18) iD(−15, 16, 0);

(b) vitoperim četverovrhom EFGH, gdje je E(−10,−10, 19), F (10, 5,−1),G(−5, 25, 25)i H(−15, 5, 4);

(c) ravnalicama l1, l2 i l∞3 , gdje je

· l1 = KL[K(−20,−20, 25), L(40,−20,−5)],· l2 = MN [M(−50, 20,−5), N(30, 20, 35)],· a l∞3 je beskonačno daleki pravac vertikalne ravnine koja prolazi točkamaP (35,−30, 0) i Q(5, 30, 0);

(d) parabolom b koja klizi po paraboli a, gdje obe parabole imaju tjemena u točki(0, 0, 10), os na koordinatnoj osi z, a

· parabola a prolazi točkom (20, 0, 20),· parabola b prolazi točkom (10, 20, 0).

Neka je T ∈ Ψ i T (0, 0,−). Konstruirajte dvije izvodnice i tangencijalnu ravninu hiparaΨ u njegovoj točki T .

a b

c d

1

2. (a) Konstruirajte dvije parabole kojima se tjeme (u točki (0, 0, 20)) i os (koja je naz−osi) podudaraju, pri čemu je jedna parabola u xz ravnini i sadrži točku (20, 0, 12),a druga u yz ravnini i sadrži točku (0,20,24). Modelirajte hipar kao kliznu plohujedne parabole po drugoj, te ju omeđite s eliptičkim valjkom kojemu je baza u xyravnini tako da je središte elipse u ishodištu, a tjemena u točkama (19,0,0) i (0,12,0).

(b) Modelirajte hiperbolički paraboloid (hipar) zadan vitoperim četverovrhomABCD[A(−20, 15, 8), B(20, 15, 16), C(20,−13, 2), D(−20,−13, 2)], te omeđen seliptičkim stošcem kojemu je baza u xy ravnini tako da je središte elipse u ishodištu,a tjemena u točkama (13, 0, 0) i (0, 10, 0), te vrh stošca u točki (0, 0,−30).

3. U xy ravnini konstruirajte pravilni šesterokut kojemu je središte u ishodištu, a točka(20, 0, 0) polovište stranice AC. Modelirajte hipar Φ koji je zadan viroperim četverovrhomABCD, gdje je B(0, 0, 30), a D(30, 0, 10). Zadani šesterokutni tlocrt natkrijte sa 6 hiparakoji su sukladni hiparu Φ, a zatim to natkrivanje omed-ite rotacijskim valjkom čija je bazakružnica opisana zadanom šesterokutu.

10

1020

30

A

C

B

D

2

4. Modelirajte hipar koji je zadan u zadatku 2a kao pravčastu plohu, a onaj zadan u 1a kaokliznu plohu.

hipar iz zadatka 2a hipar iz zadatka 1a

5. Modelirajte natkrivanje sastavljeno od tri hiperbolička paraboloida koje je zadano tlocr-tom i nacrtom.

Uputa: Konstruirajte tlocrt objekta, a zatim tlocrte vrhova vitoperih četverokuta podignite naodgovarajuću visinu. Uočite ravninu simetrije zadanog objekta.

10 10 17

20

20

16

8

20

x’’

120°

20

3

6. U xz ravnini konstruirajte parabolu a kojoj je točka (0, 0, 15) tjeme, pravac z os, a prolazitočkom (60, 0, 30). U xy ravnini konstruirajte pravilni osmerokut kojemu je središte uishodištu, a točka (40, 0, 0) polovište njegove stranice AB. U vertikalnoj ravnini krozstranicu AB konstruirajte parabolu b koja prolazi točkama A i B, a tjeme joj je naparaboli a.

Modelirajte plohu koja nastaje klizanjem parabole b duž parabole a, a zatim prikažite onajnjezin dio koji je omed-en s dvije vertikalne ravnine kroz z i točke A i B te ravninama ukojima leže pobočne strane piramide kojoj je zadani osmerokut osnovica, a vrh u točki(0, 0,−60).Rotacijom oko osi z natkrijte zadani osmerokut sa četiri sukladna izreza hipara koji stemodelirali.

60

40

15

30

60

ab

A

B

Restoran Los Manantiales u Xochimilcu (Meksiko), arhitekt Felix Candela, izgrad-en 1958.

4

7. Hipar Ψ zadan je vitoperim četverovrhomABDC[A(−20,−20, 30), B(−20, 20, 0), C(20, 20, 30),D(20,−20, 0)]. Modelirajte plohu Ψ te za njezinu točku T (7.5,−12.5,−) konstruirajtesljedeće:

(a) Asimptotske linije hipara Ψ u točki T .(To su krivulje na plohi koje prolaze kroz točku T , a zakrivljenost u T im je 0.)

(b) Dirnu ravninu hipara u točki T .

(c) Ravnine glavnih (ekstremnih) zakrivljenosti hipara u točki T .

(d) Krivulje glavnih zakrivljenosti hipara u točki T i njihove oskulacijske kružnice u T .

Uputa: Za konstrukciju koristite sljedeća svojstva:

(a) Asimptotske linije hipara u T su, naravno, njegove izvodnice u T .

(b) Dirna ravnina hipara u T odred-ena je s njegove dvije izvodnice kroz T .

(c1) U dirnoj ravnini pravčaste plohe, simetrale kutova izmed-u asimptotskih smjerova odred-ujuglavne smjerove tj. te su simetrale tangente onih krivulja plohe koje imaju ekstremnuzakrivljenost u promatranoj točki plohe. Nazivamo ih glavnim tangentama plohe u tojtočki.

(c2) Glavne ravnine hipara u točki T odred-ene su njegovom normalom u T i glavnim smjerovimau T .

(d1) Krivulje ekstremnih zakrivljenosti hipara u točki T su njegovi presjeci s ravninama glavnihzakrivljenosti u T .

(d2) U Rhinu postoji naredba kojom se za odabranu krivulju i njezinu regularnu točku konstruiraoskulacijska kružnica te krivulje u toj točki (Analyze → Curvature Circle).

a – asimptotski smjerovi u T b – dirna ravnina u T

5

c1 – glavni smjerovi i normala u T c2 – ravnine glavnih zakrivljenosti u T

d1 – krivulje glavnih (ekstremnih)zakrivljenosti u T

d2 – oskulacijske kružnice krivulja glavnihzakrivljenosti u T

6