Variable aléatoire discrète _____________________

I Généralités Une épreuve fournit un univers Ω, muni d’une probabilité Pr. À toute éventualité ω, on associe un seul nombre réel X(ω) ; on dit alors que X est une variable aléatoire. On se place dans le cas où X prend un nombre fini parmi n valeurs x1,x2,…,xn rangés en ordre strictement croissant. On dit que X est une variable aléatoire discrète finie. 1 Loi de probabilité de X Elle est donnée par la fonction numérique p définie par p(x)=Pr(X=x). Cette loi de probabilité peut être présentée sous la forme du tableau suivant :

x x1 x2 … xi … xn

p(x)=Pr(X=x) p1 p2 … pi … pn

p1, p2,..., pn sont n réels positifs.

Ω étant la réunion des événements incompatibles deux à deux (X=x1), (X=x2), …,(X=xn), on a Pr(Ω)= Pr(X=x1)+ Pr(X=x2)+…+ Pr(X=xn) soit 1 = p1+ p2+…+ pn.

On écrit ainsi 1=∑ ip .

2 Fonction cumulative ou fonction de répartition Pour i entier compris entre 1 et n : L’événement (X≤ xi) est la réunion des i événements incompatibles deux à deux (X=x1), (X=x2), …,(X=xi) alors : Pr(X ≤ xi) = Pr(X=x1)+ Pr(X=x2)+…+ Pr(X=xi) .

La fonction x Pr(X≤ x) est la fonction de répartition de la variable aléatoire X . 3 Espérance mathématique, variance et écart type Le tableau du paragraphe 1 est analogue à un tableau statistique où p1, p2,..., pn donneraient des fréquences d’une variable statistique.

∗ Comme pour la valeur moyenne en statistique, on définit l’espérance mathématique de la variable aléatoire X , notée E(X) par l’égalité E(X) = ii xp∑ .

∗ Comme pour la variance en statistique, on définit la variance de la variable aléatoire X , notée V(X) par l’égalité V(X) = 2))(E( Xxp ii −∑ . V(X) est un réel positif (ou nul).

Comme en statistique, on a aussi :V(X)= 2ii xp∑ – (E(x)2

.

∗ L’écart type de X, noté σX ou σ(X), est défini par : σ(X)= )V(X .

D’après les formules précédentes, V(X)= E[(X–E(X))2] et V(X) = E(X

2) – [E(X)]2.

II Loi binomiale de probabilité

1 Définition

On considère une suite de n épreuves de même nature telle que

le résultat de chaque épreuve se trouve dans une alternative [succès, échec],

pour n’importe la quelle de ces épreuves, la probabilité d’obtenir succès est égale au

même nombre p,

les n épreuves sont indépendantes.

q=1–p est la probabilité d’obtenir échec pour n’importe laquelle de ces n épreuves.

On a bien pris note, n fois de suite, du résultat (soit succès, soit échec) de chacune de ces n

épreuves : Comme issue (ou résultat final) on obtient une suite de n éléments de l’ensemble

succès, échec.

Après cette suite de n épreuves, on obtient ainsi un nouvel univers qui est l’ensemble des

suites de n éléments de succès, échec.

Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de fois que l’on a obtenu le résultat succès dans

chaque issue.

On dit que X suit la loi binomiale (n, p).

2 Exemples

① Un atelier comporte 10 machines de même type, indépendantes. Chaque machine a une

probabilité p= 0,01 d’avoir une panne dans une journée donnée.

Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de machines ayant en panne dans la journée.

Déterminer la loi suivie par X.

Résolution

Numérotons les machines de 1 à 10 ; on a alors une suite de 10 épreuves :

Avec i entier compris entre 1 et 10, la ième

épreuve consiste à examiner le

fonctionnement de la machine n° i et à donner le résultat dans l’alternative [« panne

dans la journée » ; « bon fonctionnement dans la journée »] .

p=0,01 est la probabilité d’obtenir le résultat « panne dans la journée » dans chaque

épreuve.

Les 10 épreuves sont indépendantes.

A la fin de cette suite de 10 épreuves, X donne le nombre de fois que l’on trouve le résultat

« panne dans la journée ». Ainsi X suit la loi binomiale ℬ(10 ; 0,01).

② Cas d’un tirage avec remise

Dans la production d’une usine, la proportion de pièces défectueuses est p. Successivement, n

fois de suite, on tire, au hasard, une pièce de la production pour vérifier son état et on la

remet dans la production de l’usine.

Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de pièces défectueuses dans ce prélèvement

de n pièces.

Déterminer la loi suivie par X.

Résolution

On a une suite de n épreuves :

Chaque épreuve consiste à tirer au hasard une pièce de la production de l’usine, à

donner un résultat dans l’alternative [« pièce défectueuse », « pièce en bon état »], on

remet alors cette pièce dans la production de l’usine.

p est la probabilité d’obtenir le résultat « pièce défectueuse » dans chacune des

épreuves.

Ces n épreuves se déroulent de façon indépendante.

A la fin de cette suite de n épreuves, X donne le nombre de fois que l’on a trouvé le résultat

« pièce défectueuse ». Ainsi X suit la loi binomiale ℬ(n ; p) .

3 Loi de probabilité suivie par X

On reprend les hypothèses et notations du paragraphe 1 ; X ne peut prendre que les valeurs

entières 0, 1, 2, …, n.

k étant un de ces entiers, on va calculer Pr ( X=k).

Soit En l’ensemble des n premiers entiers naturels non nuls : En= 1, 2, …, n.

∗ K étant une combinaison d’ordre k de En, soit l’événement AK intitulé : “ On a obtenu

« succès » comme résultat à la ième

épreuve pour tout i dans K et on a obtenu « échec »

comme résultat à la ième

épreuve pour tout i dans En\K”.

Pour i dans En= 1, 2, …, n :

Si i est dans K, soit Ωi l’événement intitulé : “ On a obtenu « succès » comme résultat

à la ième

épreuve”. Cet événement a pour probabilité p.

Si i est dans En\K, soit Ωi l’événement intitulé : “ On a obtenu « échec » comme

résultat à la ième

épreuve”. Cet événement a pour probabilité q.

AK = Ω1∩Ω2∩…∩Ωn et les événements Ω1, Ω2, …, Ωn sont indépendants alors

Pr(AK)=Pr(Ω1) Pr(Ω2) … Pr(Ωn) où p= Pr(Ωi) pour i dans K et q= Pr(Ωi) pour i dans En\K.

Dans le produit précédent donnant Pr(AK), k termes sont ainsi égaux à p et les n–k autres

termes sont égaux à q et cela donne : Pr(AK)= pk q

n–k.

∗ L’événement (X=k) s’intitule aussi :“On a obtenu k fois comme résultat « succès » et n–k

fois « échec » comme résultat” . Cet événement est la réunion de tous les événements

incompatibles deux à deux AK où K est l’une des k

nC combinaisons d’ordre k de En ; chacun

de ces événements AK a pour probabilité pk q

n–k.

Pr(X=k) est alors la somme de k

nC probabilités égales à pk q

n–k et ainsi :

Pr(X=k) = k

nC pk q

n–k pour tout k de 0, 1, 2, …, n.

_____________________________________

On doit retenir le théorème suivant :

Avec n entier naturel non nul et p réel compris entre 0 et 1 :

X étant une variable aléatoire suivant la loi binomiale (n, p), X ne prend que des valeurs

entières comprises entre 0 et n et la loi de probabilité de X est donnée par :

Pr(X=k) = k

nC pk q

n–k pour tout k de 0, 1, 2, …, n où q= 1– p .

4 Espérance, variance et écart type

Avec les notations du théorème précédent, on peut encore vérifier directement que :

E(X)= np ; V(X)= np q ; σX = npq .

III Problèmes ① Une société fabrique des poutrelles. On admet que la probabilité pour qu’une poutrelle, tirée au hasard dans la production, soit défectueuse est égale à 0,04. On effectue un prélèvement de 100 poutrelles prises au hasard dans la production. Ce prélèvement peut être assimilé à un tirage avec remise. On désigne par X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 poutrelles ainsi réalisé, associe le nombre de poutrelles défectueuses dans cet échantillon.

a) Quelle loi suit la variable aléatoire X ? On justifiera la réponse et on précisera les paramètres de cette loi.

b) Calculer les probabilités P(X=0), P(X=1), P(2≤ X). On donnera des valeurs approchées des résultats à 10-4 près.

__________________________________ Résolution a) On a une suite de 100 épreuves :

Chaque épreuve consiste à tirer au hasard une poutrelle dans la production de l’usine, à donner un résultat dans l’alternative [« pièce défectueuse », « pièce en bon état »], on remet alors cette pièce dans la production de l’usine.

p= 0,04 est la probabilité d’obtenir le résultat « pièce défectueuse » dans chacune des épreuves.

Ces 100 épreuves se déroulent de façon indépendante. À la fin de cette suite de 100 épreuves, X donne le nombre de fois que l’on a trouvé le résultat « pièce défectueuse ». Ainsi X suit la loi binomiale ℬ(100 ; 0,04) ; la loi de probabilité est donnée de la manière suivante : X peut prendre toutes les valeurs entières de 0 à 100 ; pour tout entier k compris entre 0 et 100 : P(X=k)= k

C100 0,04k. 0,96100–k

b) ∗ On applique le résultat précédent à k= 0 et k=1 pour obtenir P(X=0)= 1×1×0,96100 soit P(X=0) = 0,96100 ≈ 0,0169

et P(X=1)= 100×0,04×0,9699 soit P(X=1)= 4×0,9699 ≈ 0,0703.

∗ L’univers Ω des résultats possibles est la réunion des 3 événements incompatibles deux à deux (X=0), (X=1) et (2≤ X) alors 1= P(Ω)= P(X=0)+P(X=1)+P(2≤X) d’où P(2≤ X) = 1– [P(X=0)+P(X=1)] =1–[ 0,96100+ 4×0,9699] = 1–0,9699[0,96+4] soit P(2≤ X) = 1– 4,96×0,9699 ≈ 0,9128.

② Une entreprise de matériel pour l’industrie produit des modules constitués de deux types de pièces : P1 et P2. 1° On note A l’événement : « Une pièce P1 choisie au hasard dans la production des pièces P1 est défectueuse ». On note de même B l’événement : « Une pièce P2 choisie au hasard dans la production des pièces P2 est défectueuse ». On admet que les probabilités des événements A et B sont P(A)=0,03 et P(B)=0,07 et on suppose que ces événements sont indépendants. Un module étant choisi au hasard dans la production, calculer, à 10-4 près, la probabilité de chacun des événements suivants :

E1 : « Les 2 pièces du module sont défectueuses », E2 : « Au moins une des deux pièces du module est défectueuse », E3 : « Aucune des 2 pièces constituant le module n’est défectueuse ».

2° Dans un important stock de ces modules, on prélève au hasard 10 modules pour vérification. Le stock est assez important pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 modules. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 10 modules, associe le nombre de modules réalisant l’événement E3 défini à la question précédente. On suppose que la probabilité de l’événement E3 est 0,902.

a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale ; déterminer les paramètres de cette loi. b) Calculer, à 10-3 près, la probabilité que, dans un tel prélèvement, 9 modules au moins

réalisent l’événement E3. -------------------------------------------------------------------------------

Résolution 1° On tire, au hasard, dans la production de l’entreprise un module et on fait les hypothèses suivantes sur les 2 événements A’ : « La pièce P1 du module est défectueuse » et B’ : « La pièce P2 du module est défectueuse » :

P(A’)= 0, 03 et P(B’) = 0,07, A’ et B’ sont indépendantes.

∗ E1 = A’∩ B’ et par indépendance de A’ et B’ : P(E1)=P(A’).P(B’) d’où P(E1)= 0,0021.

∗ E2 = A’∪ B’ et d’après le théorème des probabilités totales : P(E2) = P(A’)+P(B’)–P(E1) soit P(E2) = 0,03 + 0, 07 – 0,0021 d’où P(E2) = 0,0979.

∗ E3 est l’événement contraire de l’événement E2 et ainsi P(E3) =1–P(E2)= 1–0,0979 d’où P(E3)= 0,9021. 2° a) On a une suite de 10 épreuves :

Chaque épreuve consiste à tirer au hasard un module dans la production de l’entreprise, à donner un résultat dans l’alternative [« module en bon état », « module défectueux »], on remet alors cette pièce dans la production de l’usine.

p= 0,902 est la probabilité d’obtenir le résultat « module en bon état» dans chacune des épreuves.

Ces 10 épreuves se déroulent de façon indépendante. 1–p=0,098

À la fin de cette suite de 10 épreuves, X donne le nombre de fois que l’on a trouvé le résultat « module en bon état ». Ainsi X suit la loi binomiale ℬ(10 ; 0,902) ; la loi de probabilité est donnée de la manière suivante : X peut prendre toutes les valeurs entières de 0 à 10 ; pour tout entier k compris entre 0 et 10 : P(X=k)= k

C10 0,902k. 0,09810–k.

E(X) = 10×0,902 = 9,02 ; V(X)= 10×0,902×0,098=0,88396 et σX = 0,88396 ≈0,9402.

b) Il s’agit de calculer P(9≤ X) ; comme l’événement (9≤ X ) est la réunion des 2 événements incompatibles (X=9) et (X=10) on obtient P(9≤ X)= P(X=9) + P( X=10) soit : P(9≤ X) = 9

10C 0,9029. 0,098 + 1010C 0,90210.1 = 10(0,098)(0,902)9+ 1(0,902)10

P(9≤ X) = (0,902)9[0,98 + 0,902] soit P(9≤ X) = (0,902)9×1,882 ≈0,744.

③ Problème de synthèse

Une entreprise fabrique des moteurs électriques. Afin de vérifier la conformité des moteurs, on procède à deux tests : l’un de type mécanique, l’autre de type électrique. Un moteur est rejeté s’il présente au moins l’un des deux types de défaut. Un moteur est déclaré en parfait état de marche s’il ne présente aucun des deux types de défaut. Une étude statistique de la production conduit à dégager les résultats suivants :

- la probabilité qu’un moteur soit défectueux pour le test mécanique est 0,08, - la probabilité qu’un moteur soit défectueux pour le test électrique est 0,05, - la probabilité qu’un moteur soit défectueux pour les deux tests est 0,02.

On prélève au hasard un moteur dans la production. On appelle : DM l’événement “Le moteur prélevé présente un défaut de type mécanique”, et DE l’événement “Le moteur prélevé présente un défaut de type électrique”. 1.a) Les événements DM et DE sont ils indépendants ? b) Calculer la probabilité de l’événement DM sachant que l’événement DE est réalisé. 2.a) Calculer la probabilité de l’événement A :“Le moteur prélevé présente au moins un défaut”. b) Calculer la probabilité de l’événement B :“Le moteur prélevé est en parfait état de marche”. c) Déterminer la probabilité de l’événement C :“Le moteur prélevé présente un seul défaut”. 3. Soit X la variable aléatoire désignant le nombre de types de défaut (électrique ou mécanique) présenté par le moteur.

a) Quelles sont les valeurs prises par X ? b) Déterminer la loi de probabilité de X. c) Calculer l’espérance mathématique E(X). d) Calculer la variance V(X) et en déduire l’écart type de X. On donnera les résultats à 10-2 près.

4. On prélève 12 moteurs au hasard dans la production (on assimile cette épreuve à un tirage de 12 pièces successivement avec remise). Soit Y la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de 12 moteurs associe le nombre de moteurs en parfait état de marche de ce prélèvement.

a) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire Y ? b) Calculer la probabilité de l’événement ”Il y a au moins 10 moteurs en parfait état de marche”.

Résolution

Pour les 3 premières questions, l’univers est l’ensemble des moteurs produit par l’entreprise. Pr est la probabilité pour la quelle tous les événements élémentaires sont équiprobables, et par hypothèse :

Pr(DM)= 0,08 ; Pr(DE)= 0,05 ; Pr(DM ∩ DE) = 0,02. 1.a) Pr(DM) × Pr(DE)= 0,004 d’où Pr(DM) × Pr(DE) ≠ Pr(DM ∩ DE) . C’est la preuve que les 2 événements DM et DE ne sont pas indépendants.

1.b) Pr (DM/DE) = Pr(DM ∩ DE) / Pr(DE) = 0,02 / 0,05 soit Pr (DM/DE) = 2/5 = 0,4 . 2.a) A= DM ∪ DE et d’après le théorème des probabilités totales : Pr(A)=Pr(DM) + Pr(DE) – Pr(DM ∩ DE) soit Pr(A)= 0,08 + 0,05 – 0,02 soit Pr(A)=0,11 . b) B est l’événement contraire de A alors Pr(B)= 1–Pr(A), soit Pr(B)= 0,89 . c) Les deux événements C “ Le moteur prélevé présente un seul défaut ”et DM ∩ DE “Le moteur prélevé présente les 2 défauts” sont incompatibles et ont pour réunion l’événement A alors Pr(A) = Pr(C) + Pr(DM ∩ DE) d’où Pr(C) = Pr(A)–Pr(DM ∩ DE) = 0,11 – 0,02 soit : Pr(C) = 0,09 . 3.a) Il y a au plus deux défauts ; les valeurs entières pouvant être prises par X sont 0, 1 et 2. b) L’événement B s’intitule aussi “X=0”, l’événement C s’intitule aussi “X=1”, l’événement DM ∩ DE s’intitule aussi “X=2” ; on a déjà calculé les probabilités de ces événements. Cela permet de donner la loi de probabilité de X :

xi 0 1 2 Pr(X=xi) 0,89 0,09 0,02

c) E(X) = 0,89×0 + 0,09×1 + 0,02×2 soit E(X) = 0,13 .

d) V(X) = 0,89×0² + 0,09×1² + 0,02×2² – 0,13² d’où V(X) = 0,1531 ; σX = 1531,0 .

Cela donne V(X) ≈ 0,15 et σX ≈ 0,39. 4.a)On a une suite de 12 épreuves :

Chaque épreuve consiste à tirer au hasard un moteur dans la production de l’entreprise, à donner un résultat dans l’alternative [« moteur en parfait état de marche », « moteur défectueux »], on remet alors ce moteur dans la production de l’usine.

p= 0,89 est la probabilité d’obtenir le résultat « moteur en parfait état de marche» dans chacune des épreuves.

Ces 12 épreuves se déroulent de façon indépendante. 1–p=0,11

À la fin de cette suite de 12 épreuves, Y donne le nombre de fois que l’on a trouvé le résultat « moteur en parfait état de marche». Ainsi Y suit la loi binomiale ℬ(12 ; 0,89) ; la loi de probabilité de Y est donnée de la manière suivante : Y peut prendre toutes les valeurs entières de 0 à 12 ; pour tout entier k compris entre 0 et 12 : P(Y=k)= kC12 .0,89k. 0,1112–k. b) L’événement (10≤Y) est la réunion des 3 événements incompatibles (Y=10), (Y=11) et (Y=12) ainsi Pr(10≤Y) = Pr(Y=10) + Pr(Y=11) + Pr(Y=12) soit Pr(10≤Y) = 10

12C 0,8910. 0,112 + 1112C . 0,8911. 0,11 + 12

12C .0,8912×1

Pr(10≤Y) =66.(0,89)10.0,112 + 12.0,8911.0,11 + 0,8912 d’où Pr(10≤Y) = 0,8910[66×0,112 + 12×0,89×0,11 + 0,892] soit : Pr(10≤Y) = 2,7655×0,8910 ≈ 0,86 .