a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

sHEMY WYSOKOGO PORQDKA

• sTANDARTNYE TVD SHEMY, IME@]IE WTOROJ PORQDOK TOˆNOSTI WDALI OT RAZRYWOW I

“KSTREMUMOW RE[ENIQ) HORO[O PODHODQT DLQ RASˆETA SWERHZWUKOWYH TEˆENIJ S NEBOLX[IM

ˆISLOM IZOLIROWANNYH UDARNYH WOLN. oDNAKO, ZADAˆI, SODERVA]IE KAK UDARNYE WOLNY,

TAK I MNOGOˆISLENNYE SLOVNYE STRUKTURY W OBLASTQH, GDE RE[ENIE GLADKOE, TREBU@T

PRIMENENIQ BOLEE TOˆNYH WYˆISLITELXNYH INSTRUMENTOW. iH NEOBHODIMOSTX OSOBENNO

OˆEWIDNA DLQ TAKIH PRILOVENIJ KAK

– PRQMOE ˆISLENNOE MODELIROWANIE (DNS) I MODELIROWANIE METODOM KRUPNYH WIHREJ

(LES) SVIMAEMYH PEREHODNYH I TURBULENTNYH TEˆENIJ,

– MODELIROWANIE OTRYWNYH I STRUJNYH TEˆENIJ,

– WYˆISLITELXNAQ A“ROAKUSTIKA,

– MODELIROWANIE SWERHZWUKOWOGO GORENIQ I DETONACII,

– . . . I DLQ MNOGIH DRUGIH!

• wAVNOJ CELX@ QWLQETSQ RAZWITIE ALGORITMOW I RASˆETNYH PROGRAMM, SPOSOBNYH

NADEVNO PROWODITX SKWOZNOJ SˆET SILXNYH UDARNYH WOLN I, ODNOWREMENNO, S WYSOKOJ

TOˆNOSTX@ MODELIROWATX GLADKU@ ˆASTX SWERHZWUKOWYH TEˆENIJ, WKL@ˆA@]IH SLOVNYE

WZAIMODEJSTWIQ UDARNYH WOLN MEVDU SOBOJ, S POGRANIˆNYMI SLOQMI, WIHRQMI,

AKUSTIˆESKIMI WOLNAMI I WOLNAMI GIDRODINAMIˆESKOJ NEUSTOJˆIWOSTI. sOWREMENNYE ENO

(essentially non-oscillatory) I WENO (weighted ENO) SHEMY PREDSTAWLQ@TSQ ESTESTWENNYMI

KANDIDATAMI NA ROLX BAZOWOGO WYˆISLITELXNOGO INSTRUMENTA W TAKIH ALGORITMAH I

PROGRAMMAH.

pRIMER: STARTOWYJ PROCESS W PLOSKOM SOPLE

pROCESS ZAPUSKA SOPLA

pADA@]AQ UDARNAQ WOLNA, DWIVU]AQSQ S

ˆISLOM mAHA SKAˆKA, RAWNYM 3, TOLXKO

ˆTO PRO[LA ˆEREZ PLOSKOE SOPLO. zA

“TOJ WOLNOJ IMEETSQ NESKOLXKO KONTAKTNYH

POWERHNOSTEJ, SODERVA]IH WIHRI; MEVDU

“TIMI POWERHNOSTQMI I GORLOM SOPLA —

WTORAQ UDARNAQ WOLNA, NAPRAWLENNAQ PROTIW

TEˆENIQ, NO SNOSIMAQ WNIZ PO POTOKU I

WYZYWA@]AQ OTRYW POGRANIˆNYH SLOEW.

iDU]IE OT STENKO WOLNY mAHA UKAZYWA@T NA USTANOWLENIE SWERHZWUKOWOGO TEˆENIQ WNIZ POPOTOKU OT GORLA. (Amann, H.-O., WOSPROIZWEDENO PO ”aLXBOMU TEˆENIJ VIDKOSTI I GAZA”, SOSTAWLENNOMUm. wAN-dAJKOM).

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

ENO cHEMY

oSNOWNAQ IDEQ: ISPOLXZOWATX KUSOˆNO-POLINOMIALXNU@ REKONSTRUKCI@ I

IZBEVATX INTERPOLIROWANIQ ˆEREZ RAZRYWY.

xx i-3/2 x x x

x

f(x)

i-1/2 i+1/2 i+3/2 i+5/2

∆ ∆i+1 i+2i-1∆ i∆

O(1)

O( x )

O( x )

r

r

∆

∆

oPREDELENIE:

rAZNOSTNYJ METOD QWLQETSQ

ENO SHEMOJ, ESLI WYPOLNQETSQ

SWOJSTWO

TV (Un+1) ≤ TV (Un)+O(∆xr)

DLQ WSEH n I NEKOTOROGO r.

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

sRAWNENIE RAZLIˆNYH ENO I WENO SHEM

• kONEˆNOOB˙EMNYE ENO SHEMY (Harten et al., 1987):

– ISPOLXZU@T LOKALXNYJ ADAPTIWNYJ [ABLON DLQ REKONSTRUKCII PEREMENNYH NA GRANICAH

QˆEEK UL,Rj+1/2 IZ SREDNIH PO QˆEJKAM U j;

– ISPOLXZU@T PRIBLIVENNOE RE[ENIE ZADAˆI rIMANA, ˆTOBY WYˆISLITX ˆISLENNYE POTOKI

Fj+1/2 = F (ULj+1/2, U

Rj+1/2).

• kONEˆNORAZNOSTNYE ENO SHEMY (Shu and Osher, 1988):

– ISPOLXZU@T RAS]EPLENIE POTOKOW W CENTRAH QˆEEK, ˆTOBY WYDELITX IH ”POLOVITELXNU@”

I ”OTRICATELXNU@”ˆASTI;

– ISPOLXZU@T LOKALXNYJ ADAPTIWNYJ [ABLON DLQ REKONSTRUKCII ˆISLENNYH POTOKOW

Fj+1/2 IZ ”RAS]EPLENNYH”POTOKOW W CENTRAH QˆEEK.

• kONEˆNOOB˙EMNYE WENO SHEMY (Liu, Osher and Chan, 1994):

– ISPOLXZU@T WYPUKLU@ LINEJNU@ KOMBINACI@ [ABLONOW S ADAPTIWNYMI KO“FFICI-

ENTAMI DLQ REKONSTRUKCII UL,Rj+1/2;

– ISPOLXZU@T PRIBLIVENNOE RE[ENIE ZADAˆI rIMANA PODOBNO KONEˆNOOB˙EMNYM ENO.

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

• kONEˆNORAZNOSTNYE WENO schemes (Jiang and Shu, 1996):

– ISPOLXZU@T RAS]EPLENIE POTOKOW PODOBNO KONEˆNORAZNOSTNYM ENO;

– ISPOLXZU@T WYPUKLU@ LINEJNU@ KOMBINACI@ [ABLONOW S ADAPTIWNYMI KO“FFICI-

ENTAMI DLQ REKONSTRUKCII Fi+1/2.

eSLI RE[ENIE DOSTATOˆNO GLADKOE:

DLQ KONEˆNOOB˙EMNYH ENO I WENO SHEM → U j = u(xj) + O(∆x2)

UL,Rj+1/2 = u(xj+1/2) + O(∆xr)

Fj+1/2 = f(xj+1/2) + O(∆xr)

DLQ KONEˆNORAZNOSTNYH ENO I WENO SHEM → Fj+1/2 = f(xj+1/2) + O(∆x2)

Fj+1/2 − Fj−1/2

∆x=

∂f

∂x(xj+1/2)+O(∆xr)

(GDE r — PORQDOK APPROKSIMACII SHEMY).

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

dWE ZADAˆI POLINOMIALXNOJ REKONSTRUKCII

• zADAˆA 1. dANY SREDNIE PO QˆEJKAM OT FUNKCII u(x):

U j =1

∆x

∫ xj+1/2

xj−1/2

u(ξ) dx, j = 1, 2, . . . , N.

dLQ KAVDOJ QˆEJKI ∆j = [xj−1/2, xj+1/2] NAJTI POLINOM pj(x) STEPENI NE WY[E k − 1,

APPROKSIMIRU@]IJ u(x) WNUTRI QˆEJKI S k-YM PORQDKOM TOˆNOSTI:

pj(x) = u(x) + O(∆xk), x ∈ ∆j, j = 1, 2, . . . , N.

w ˆASTNOSTI,

URj−1/2 ≡ pj(xj−1/2) = u(xj−1/2) + O(∆xk), UL

j+1/2 ≡ pj(xj+1/2) = u(xj+1/2) + O(∆xk).

• zADAˆA 2. dANY ZNAˆENIQ FUNKCII u(x) W CENTRAH QˆEEK Uj ≡ u(xj). nAJTI

WELIˆINY Uj+1/2 = U(Uj−r, . . . , Uj+s), j = 0, . . . , N , RAZNOSTX KOTORYH APPROKSIMIRUET

PROIZWODNU@ u′(x) S k-YM PORQDKOM TOˆNOSTI:

1

∆x

(Uj+1/2 − Uj−1/2

)= u′(xj) + O(∆xk), j = 1, 2, . . . , N.

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

rEKONSTRUKCIQ IZ SREDNIH PO QˆEJKAM

pUSTX k ZADANO. wYBEREM [ABLON S(j) ≡ ∆j−r, . . . , ∆j+s, SOSTOQ]IJ IZ QˆEJKI ∆j, r QˆEEK

SLEWA I s QˆEEK SPRAWA. sU]ESTWUET EDINSTWENNYJ POLINOM p(x) STEPENI k − 1 = r + s, ˆXI

SREDNIE PO KAVDOJ QˆEJKE [ABLONA SOWPADA@T SO SREDNIMI FUNKCII u(x):

1

∆x

∫ xi+1/2

xi−1/2

p(ξ) dξ = U i, i = j − r, . . . , j + s.

—TOT POLINOM I DAET ISKOMU@ REKONSTRUKCI@. ˜TO KASAETSQ ZNAˆENIJ NA GRANQH QˆEJKI, TO

ONI OKAZYWA@TSQ LINEJNYMI KOMBINACIQMI SREDNIH PO QˆEJKAM, S KO“FFICIENTAMI cri, cri, NE

ZAWISQ]IMI OT SAMOJ FUNKCII u(x):

URj+1/2 =

k−1∑

i=0

cri U j−r+i, ULj−1/2 =

k−1∑

i=0

cri U j−r+i.

eSLI MY IDENTIFICIRUEM r NE S QˆEJKOJ ∆j, A S TOˆKOJ xj+1/2, T.E. ISPOLXZUEM [ABLON S(j),

ˆTOBY APPROKSIMIROWATX ZNAˆENIE W TOˆKE xj+1/2, TOGDA MOVNO OPUSTITX INDEKSY ±. oˆEWIDNO

W “TOM SLUˆAE cri = cr−1,i. iTAK,

U j−r, . . . , U j−r+k−1, ⇒ Uj+1/2 =k−1∑

i=0

criU j−r+i, Uj+1/2 = U(xj+1/2) + O(∆xk).

kAK PRAKTIˆESKI POSTROITX p(x) I WYˆISLITX KO“FFICIENTY cri?

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

iSPOLXZOWANIE PERWOOBRAZNOJ FUNKCII

oPREDELIM PERWOOBRAZNU@ U(x) =∫ x

−∞ u(ξ) dξ. oˆEWIDNO

U(xj+1/2) =

j∑

i=−∞

∫ xi+1/2

xi−1/2

u(ξ) dξ =

i∑

i=−∞

U i∆x

pOSTROIM INTERPOLQCIONNYJ POLINOM lAGRANVA P(x) STEPENI k PO ZNAˆENIQM U(xj+1/2) W

k + 1 TOˆKE xj−r−1/2, . . . , xj+s+1/2 I POLOVIM p(x) = P ′(x). lEGKO PROWERITX, ˆTO

1

∆x

∫ xi+1/2

xi−1/2

p(ξ) dξ =1

∆x

∫ xi+1/2

xi−1/2

P ′(ξ) dξ =1

∆x

(U(xi+1/2 − U(xi+1/2

)=

1

∆x

(∫ xi+1/2

−∞

u(ξ) dξ −

∫ xi−1/2

−∞

u(ξ) dξ

)=

1

∆x

∫ xi+1/2

xi−1/2

u(ξ) dξ = U i, i = j − r, . . . , j + s.

dLQ KO“FFICIENTOW cri WYˆISLENIQ DA@T

cri =k∑

m=i+1

∑kl=0, l 6=m

∏kq=0, q 6=m,l (r − q + 1)

∏kl=0, l 6=0 (m − l)

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

tABLICA KO“FFICIENTOW cri

k r i=0 i=1 i=2 i=3

1 -1 1

0 1

-1 3/2 -1/2

2 0 1/2 1/2

1 -1/2 3/2

-1 11/6 -7/6 1/3

3 0 1/3 5/6 -1/6

1 -1/6 5/6 1/3

2 1/3 -7/6 11/6

-1 25/12 -23/12 13/12 -1/4

0 1/4 13/12 -5/12 1/12

4 1 -1/12 7/12 7/12 -1/12

2 1/12 -5/12 13/12 1/4

3 -1/4 13/12 -23/12 25/12

pRIMERY:

k = 2

r = −1 : Uj+1/2 = 32

U j+1 −12

U j+2

r = 0 : Uj+1/2 = 12

U j + 12

U j+1

r = 1 : Uj+1/2 = −12 U j−1 + 3

2 U j

+O(∆x2)

k = 3

r = −1 : Uj+1/2 = 116 U j+1 −

76 U j+2 + 1

3U j+3

r = 0 : Uj+1/2 = 13

U j + 56

U j+1 −16U j+2

r = 1 : Uj+1/2 = −16

U j−1 + 56

U j + 13U j+1

r = 2 : Uj+1/2 = 13 U j−2 −

76 U j−1 + 11

6 U j

+O(∆x3)

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

kONSERWATIWNAQ APPROKSIMACIQ PROIZWODNOJ

eSLI MOVNO NAJTI FUNKCI@ h(x), TAKU@ ˆTO u(x) = 1∆x

∫ x+∆x/2

x−∆x/2 h(ξ) dξ, TOGDA OˆEWIDNO

u′(x) = 1∆x

[h

(x + ∆x

2

)− h

(x − ∆x

2

)]I

Uj+1/2 = h(xj+1/2) + O(∆xk) ⇒1

∆x

(Uj+1/2 − Uj−1/2

)= u′(xj) + O(∆xk).

pOSKOLXKU u(x) — ”SKOLXZQ]EE SREDNEE”FUNKCII h(x), TO DLQ NAHOVDENIQ h(x) MOVNO SNOWA

ISPOLXZOWATX REKONSTRUKCI@ ˆEREZ PERWOOBRAZNU@. oPREDELIM H(x) =∫ x

−∞ h(ξ) dξ, TOGDA

H(xj+1/2) =

j∑

i=−∞

∫ xj+1/2

xj−1/2

h(ξ) dξ = ∆x

j∑

i=−∞

Ui.

dEJSTWUQ KAK RANX[E, NAHODIM APPROKSIMACI@ -OGO PORQDKA, KOTORU@ ZATEM BEREM W KAˆESTWE

” ISLENNOGO POTOKA” :

Uj+1/2 =k−1∑

i=0

criUj−r+i.

nAPRIMER, Uj+1/2 = −16 Uj−1 + 5

6 Uj + 13 Uj+1,

1

∆x

(Uj+1/2 − Uj−1/2

)= u′(xj)+O(∆x3).

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

aDAPTIWNYJ [ABLON

• kAK WYBRATX [ABLON TAK, ˆTOBY IZBEVATX REKONSTRUKCII POPEREK RAZRYWOW?

• oPREDELIM RAZDELENNYE RAZNOSTI

i = 0 : U [xj−1/2] ≡ U(xj−1/2)

i ≥ 1 : U [xj−1/2, . . . , xj−1/2+i] ≡U [xj+1/2, . . . , xj−1/2+i] − U [xj−1/2, . . . , xj−3/2+i]

xj−1/2+i − xj−1/2

oˆEWIDNO, U [xj−1/2, xj+1/2] =U(xj+1/2) − U(xj−1/2)

xj−1/2+i − xj−1/2= U j, TAK ˆTO WYS[IE

RAZDELENNYE RAZNOSTI U WYRAVA@TSQ ˆEREZ RAZNOSTI U .

• rAZDELENNYE RAZNOSTI MOGUT SLUVITX MEROJ GLADKOSTI RE[ENIQ, POSKOLXKU

U [xj−1/2, . . . , xj−1/2+i] = U (i)(ξ)/i!

DLQ NEKOTOROGO ξ WNUTRI [ABLONA xj−1/2 < ξ < j − 1/2 + i, ESLI FUNCIQ GLADKAQ, I

U [xj−1/2, . . . , xj−1/2+i] = O(1/∆xi),

ESLI WNUTRI [ABLONA SU]ESTWUET RAZRYW.

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

aDAPTIWNYJ [ABLON

tOGDA [ABLON MOVET BYTX OPREDELEN S POMO]X@ POSLEDOWATELXNOJ PROCEDURY:

1. w QˆEJKE ∆j NAˆINAEM S DWUHTOˆEˆNOGO [ABLONA S2(j) = xj−1/2, xj+1/2 DLQ U , KOTORYJ

“KWIWALENTEN S1(j) = xj DLQ u.

2. dLQ l = 2, . . . , k, PREDPOLAGAQ [ABLON Sl(j) = xi+1/2, . . . , xi−1/2+l IZWESTNYM, DOBAWLQEM

ODNU IZ DWUH SOSEDNIH TOˆEK, xi−1/2 ILI xi+1/2+l W SOOTWETSTWII S

eSLI |U [xj−1/2, . . . , xj−1/2+l]| < |U [xj+1/2, . . . , xj+1/2+i]|, TO DOBAWITX xi−1/2 K [ABLONU

Sl(j) I POLUˆITX Sl+1(j) = xj−1/2, . . . , xj−1/2+l.

iNAˆE DOBAWITX xj+1/2+i K [ABLONU Sl(j) I POLUˆITX Sl+1(j) = xj+1/2, . . . , xj+1/2+l.

3. oPREDELITX, ISPOLXZUQ TABLICU KO“FFICIENTOW, URj−1/2, UL

j+1/2. eSLI NUVNO, MOVNO TAKVE

POSTROITX Pj(x) I pj(x).

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

sWOJSTWA ENO REKONSTRUKCII

dLQ ENO REKONSTRUKCII WYPOLNQ@TSQ SWOJSTWA

1. Pj(x) = U(x) + O(∆xk+1, x ∈ ∆j DLQ L@BOJ QˆEJKI, NE SODERVA]EJ RAZRYWA. pOLNAQ

TOˆNOSTX WPLOTX DO RAZRYWA.

2. Pj(x) MONOTONNA W L@BOJ QˆEJKE, SODERVA]EJ RAZRYW U(x).

3. dANNAQ REKONSTRUKCIQ TVB (total variation bounded). —TO OZNAˆAET, ˆTO SU]ESTWUET

FUNKCIQ z(x), UDOWLETWORQ@]AQ

z(x) = Pj(x) + O(∆xk+1), x ∈ ∆i

DLQ L@BOJ QˆEJKI, WKL@ˆAQ SODERVA]IE RAZRYWY, TAKAQ ˆTO

TV (z) ≤ TV (U).

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

WENO REKONSTRUKCIQ

• kL@ˆEWAQ IDEQ: WMESTO ISPOLXZOWANIQ TOLXKO ODNOGO IZ ”[ABLONOW-KANDIDATOW”,

ISPOLXZOWATX IH WYPUKLU@ KOMBINACI@.

Sr(j) = xj−r, . . . , xj−r+k−1, ⇒ U(r)j+1/2 =

k−1∑

i=0

criU j−r+i, r = 0, . . . , k − 1

Uj+1/2 =

k−1∑

r=0

ωrU(r)j+1/2, ωr ≥ 0,

k−1∑

r=0

ωr = 1

• eSLI FUNKCIQ u(x) GLADKAQ, SU]ESTWU@T KONSTANTY Ωr, TAKIE ˆTO

Uj+1/2 =

k−1∑

r=0

ΩrU(r)j+1/2 = u(xj+1/2) + O(∆x2k−1).

Ω0 = 1, k = 1;

Ω0 = 2/3, Ω1 = 1/3, k = 2;

Ω0 = 3/10, Ω1 = 3/5, Ω2 = 1/10, k = 3.

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

WENO REKONSTRUKCIQ

• dLQ GLADKOGO SLUˆAQ VELATELXNO IMETX

ωr = Ωr + O(∆xk−1), ⇒ Uj+1/2 =

k−1∑

r=0

ωrU(r)j+1/2 = u(xj+1/2) + O(∆x2k−1).

• eSLI KAKOJ-TO [ABLON SODERVIT RAZRYW, SOOTWETSTWU@]IJ WESOWOJ KO“FFICIENT DOLVEN

BYTX BLIZKIM K NUL@.

• hORO[O RABOTA@T WESOWYE KO“FFICIENTY, WYBRANNYE KAK

ωr =σr∑k−1s=0 σs

, σr =Ωr

(ε + IS(r))2, ε ≈ 10−6, r = 0, . . . , k − 1.

• dLQ GLADKOJ FUNKCII IS(r) = O(∆2x), ωr = O(1).

• w SLUˆAE RAZRYWA IS(r) = O(1), ωr = O(∆x4).

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

iNDIKATORY GLADKOSTI

IS(r) =k−1∑

l=1

∫ xj+1/2

xj−1/2

∆x2l−1

(∂lpr(x)

∂xl

)2

dx

k=2:

IS(0) = (U j+1 − U j),

IS(1) = (U j − U j−1.

k=3:

IS(0) = 1312

(U j − 2U j+1 + U j+2)2 + 1

4(3U j − 4U j+1 + U j+2)

2,

IS(1) = 1312(U j−1 − 2U j + U j+1)

2 + 14(U j−1 − U j+1)

2,

IS(0) = 1312(U j−2 − 2U j−1 + U j)

2 + 14(U j−2 − 4U j + 3U j)

2.

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

kONEˆNOOB˙EMNYE SHEMY

1. iSPOLXZUQ ENO ILI WENO REKONSTRUKCI@ POLUˆITX IZ U j WELIˆINY ULj+1/2 I UR

j+1/2;

2. wYˆISLITX POTOKI Fj+1/2, RE[AQ (PRIBLIVENNO) ZADAˆU O RASPADE RAZRYWA NA GRANQH

MEVDU QˆEJKAMI;

3. pROINTEGRIROWATX PO WREMENI URAWNENIE

dU j

dt= −

1

∆x(Fj+1/2 − Fj−1/2).

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

kONEˆNORAZNOSTNYE SHEMY

1. rAS]EPITX POTOK NA POLOVITELXNU@ I OTRICATELXNU@ ˆASTI: f(u) = f+(u) + f−(u),

∂f+/∂u ≥ 0, ∂f−/∂u ≤ 0;

2. pOLOVITX V j = f+(uj) I ISPOLXZUQ ENO ILI WENO REKONSTRUKCI@ POLUˆITX WELIˆINY

F+j+1/2 = UL

j+1/2;

3. pOLOVITX V j = f−(uj) I ISPOLXZUQ ENO ILI WENO REKONSTRUKCI@ POLUˆITX WELIˆINY

F−j+1/2 = UR

j+1/2;

4. oBRAZOWATX POLNYJ POTOK Fj+1/2 = F+j+1/2 + F−

j+1/2;

5. pROINTEGRIROWATX PO WREMENI URAWNENIE

dUj

dt= −

1

∆x(Fj+1/2 − Fj−1/2).

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

kONEˆNORAZNOSTNAQ WENO SHEMA 5-GO PORQDKA

i+1i-1 i+2i-2 i+3i

i+1/2

S (1)

i+1i-1 i+2i-2 i+3i

i+1/2

S (2)

i+1i-1 i+2i-2 i+3i

i+1/2

S (3)

sKALQRNYJ ZAKON SOHRANENIQ

∂u∂t + ∂f(u)

∂x = 0, λ = ∂f∂u ≥ 0, ∂f

∂x ∼fi+1/2−fi−1/2

∆x

ENO:

fi+1/2 =

f(1)i+1/2 = 11

6 fi −76fi−1 + 2

6fi−2 ILI

f(2)i+1/2 = 2

6fi+1 + 5

6fi −

16fi−1 ILI

f(3)i+1/2 = −1

6fi+2 + 5

6fi+1 + 2

6fi

WENO:

fi+1/2 =3∑

ν=1ω(ν)f

(ν)i+1/2

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

kONEˆNORAZNOSTNAQ WENO SHEMA 5-GO PORQDKA

ω(ν) =σ(ν)

σ(1) + σ(2) + σ(3), σ(ν) =

Ω(ν)

[ε + IS(ν)

]p , p = 2, ε ∼ 10−6

oPTIMALXNYE KO“FFICIENTY:

Ω(1) = 1/10

Ω(2) = 6/10

Ω(3) = 3/10

iNDIKATOR GLADKOSTI:

IS(ν) =

xi+1/2∫xi−1/2

[∆x

(dfdx

)2

+ ∆x3(

d2fdx2

)2]

dx

s OPTIMALXNYMI KO“FFICIENTAMI WENO SHEMA “KWIWALENTNA NESIMMETRIˆNOJ SHEME 5-GO

PORQDKA:∂f

∂x=

−3fi+2 + 30fi+1 + 20fi − 60fi−1 + 15fi−2 − 2fi−3

60∆x

pRI λ = ∂f/∂u ≤ 0 ISPOLXZU@TSQ SIMMETRIˆNO OTRAVENNYE FORMULY.

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

dISPERSIONNYE I DISSIPATIWNYE SWOJSTWA

tOˆNOE DIFFERENCIROWANIE: ddx

eiαx = iαeiαx, RAZNOSTNAQ APPROKSIMACIQ = iα′(α, ∆) eiαx,

α′ = k + iD, ∆ – [AG SETKI.

0 0.25 0.5 0.75 1α∆/π

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

K

exact2nd order central2nd order upwind4th order central5th order WENO6th order compact

0 0.25 0.5 0.75 1α∆/π

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

Dexact1st order upwind2nd order upwind3rd order WENO5th order WENO

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

sISTEMY ZAKONOW SOHRANENIQ

ut + fx = 0, A(u) = ∂f/∂u = R−1(u) Λ(u) R(u)

• nAJDEM SREDNEE SOSTOQNIE Uj+1/2 (OBYˆNO S POMO]X@ USREDNENIQ PO rOU)

• oPREDELIM LOKALXNYE HARAKTERISTIˆESKIE PEREMENNYE

Wj−r = R−1j+1/2Uj−r, . . . , Wj+s = R−1

j+1/2Uj+s.

• rEKONSTRUKCI@ DELAEM W LOKALXNOM HARAKTERISTIˆESKOM POLE:

Wj → WL,Rj+1/2

• oBRATNOE PREOBRAZOWANIE K FIZIˆESKIM PEREMENNYM

UL,Rj+1/2 = Rj+1/2 WL

j+1/2

• w SLUˆAE KONEˆNORAZNOSTNYH (W)ENO SHEM REKONSTRUKCIQ PRIMENQETSQ K LOKALXNYM

HARAKTERISTIˆEKIM POTOKAM:

Φj−r = R−1j+1/2fj−r, . . . , Φj+s = R−1

j+1/2fj+s.

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

sPOSOBY RAS]EPLENIQ POTOKA

Φ = Φα, α = 1, . . . , n, Λ = diagλαi+1/2, α = 1, . . . , n,

• rAS]EPLENIE rOU

Φα+i =

Φα

i , λαj+1/2 ≥ 0

0, λαj+1/2 < 0

Φα−i =

Φα

i , λαj+1/2 < 0

0, λαj+1/2 ≥ 0

• lOKALXNOE RAS]EPLENIE lAKSA-fRIDRIHSA

Φα+i = (Φα

i + βW αi )/2, Φα−

i = (Φαi − βW α

i )/2, β = min(λαj , λ

αj+1)

• gLOBALXNOE RAS]EPLENIE lAKSA-fRIDRIHSA

Φα+i = (Φα

i + βW αi )/2, Φα−

i = (Φαi − βW α

i )/2, β = min1≤m≤N

(λαm)

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

oT ODNOMERNYH ZADAˆ K MNOGOMERNYM

∂u

∂t+

∂f

∂x+

∂g

∂y= 0

• kONEˆNOOB˙EMNYE SHEMY:

∆x ∆y∂Ui,j

∂t+

(Fi+1/2,j − Fi−1/2,j

)+

(Gi,j+1/2 −Gi,j−1/2

)= 0

Ui,j =1

∆x∆y

∫ yj+1/2

yj−1/2

∫ xi+1/2

xi−1/2

U(x, y) dx dy

pointsyk

Gaussian i,j

x

x

xFi−1/2,j =

∑k Ck F(xi−1/2, yk)

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

oT ODNOMERNYH ZADAˆ K MNOGOMERNYM

• kONEˆNORAZNOSTNYE SHEMY:

∂Ui,j

∂t+

Fi+1/2,j − Fi−1/2,j

∆x︸ ︷︷ ︸+

Gi,j+1/2 − Gi,j−1/2

∆y= 0

=∂F

∂x|i,j + O(∆xk)

i,j∆y

∆x

Fi+1/2,j = f(xi+1/2, yj) + O(∆x2)

Fi,j+1/2 = f(xi, yj+1/2) + O(∆y2)

• wREMQ SˆETA DLQ KONEˆNOOB˙EMNYH SHEM W 3.7 RAZA BOLX[E,ˆEM DLQ KONEˆNORAZNOSTNYH (Casper et al., 1993)

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

iNTEGRIROWANIE PO WREMENI

ut + fx = 0 ⇒ pROSTRANSTWENNAQ DISKRETIZACIQ ⇒ Ut = L(U)

pUSTX SHEMA USTOJˆIWA I TVD PRI INTEGRIROWANII METODOM —JLERA

Un+1 = Un + ∆tL(Un), ∆t ≤ ∆t1

tOGDA MOVNO POPYTATXSQ NAJTI METODY rUNGE-kUTTY, TAKVE USTOJˆIWYE I TVD PRI USLOWII

∆t ≤ c∆t1

• oB]IJ METOD rUNGE-kUTTY

U(i) =i−1∑

k=0

(αikU

(k) + ∆tβik L(U(k)))

, i = 1, . . . , m

U(0) = Un, U(m) = Un+1

BUDET TVD SHEMOJ, ESLI αik ≥ 0, βik ≥ 0, c = mini,k

αik

βik.

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

TVD SHEMY rUNGE-kUTTY

uDAETSQ POSTROITX TVD SHEMY rUNGE-kUTTY WPLOTX DO TRETXEGO PORQDKA. pRI “TOM c = 1.

• sHEMA WTOROGO PORQDKA

U(1) = Un + ∆tL(Un),

Un+1) =1

2Un +

1

2U(1) +

1

2∆tL(U(1))

• sHEMA TRETXEGO PORQDKA

U(1) = Un + ∆tL(Un),

U(2) =3

4Un +

1

4U(1) +

1

4∆tL(U(1))

Un+1) =1

3Un +

2

3U(2) +

2

3∆tL(U(2))

a.n.kUDRQWCEW. wYˆISLITELXNAQ GIDRODINAMIKA lEKCIQ 5

pRIMER: DIAGONALXNAQ KONWEKCIQ WIHRQ

iZ“NTROPIˆESKIJ WIHRX PERENOSITSQ SREDNIM POLEM SKOROSTI u = 1, v = 1

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0x

0.40

0.60

0.80

1.00

Den

sity

5th order WENO scheme − 80x80 grid

Exact solutiont=20t=60t=100

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0x

0.40

0.60

0.80

1.00

Den

sity

2nd order TVD scheme− Van Leer’s limiter − 80x80 grid

Exact solutiont=20t=60t=100

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0x

0.40

0.60

0.80

1.00

Den

sity

2nd order TVD scheme − Van Leer’s limiter − 200x200 grid

Exact solutiont=20t=60t=100

5th order WENO, 80×80 2nd order TVD, 80×80 2nd order TVD, 200×200