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Logarithmic, Exponential, and Logarithmic, Exponential, and Other Transcendental FunctionsOther Transcendental Functions

5 5 對數函數、指數函數對數函數、指數函數 和其他超越函數 和其他超越函數

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5.1 自然對數函數：微分5.2 自然對數函數：積分5.3 反函數5.4 指數函數：微分與積分5.5 一般底數的指數函數和應用5.6 反三角函數：微分5.7 反三角函數：積分5.8 雙曲函數

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5.4 指數函數：微分與積分自然指數函數的定義

自然對數函數 f (x) = ln x 的反函數 f –1(x) 稱為自然指數函數，以記號 ex 表示： f –1(x) = ex

也就是 y = ex 若且唯若 x = ln y

自然對數函數和自然指數函數互為反函數的關係可以總結如下。

P.243Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

xexe xx ln)ln( 和

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圖 5.19 自然對數函數的反函數是自然指數函數。

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例 1 解指數方程式解 7 = ex + 1。解 將上式左右兩邊同時取自然對數，就可以把指數的形式改換成對數的形式。 7 = ex + 1 原式 ln 7 = ln(ex + 1) 兩邊取自然對數 ln 7 = x + 1 使用反函數性質 –1 + ln 7 = x 解 x

0.946 ≈ x 按計算機將 x 值代回驗算。

P.244Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

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例 2 解指數方程式解 ln(2x – 3) = 5 。解 上式兩邊代入指數函數，可以將左邊的對數消去，右邊得到 e5。 ln(2x – 3) = 5 原式 eln(2x – 3) = e5 兩邊取指數 2x – 3 = e5 使用反函數性質 x = ½(e5 + 3) 解 x

x ≈ 75.707 按計算機

P.244Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

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定理 5.10 指數函數的運算規則

證明 性質 1 的證明如下 ln(eaeb) = ln(ea) + ln(eb) = a + b = ln(ea + b)由於自然對數函數是一對一，所以 eaeb = ea + b

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圖 5.20 自然指數函數在整個實數線上遞增，圖形凹口向上。

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自然指數函數的性質1. 函數 f (x) = ex 的定義域是 (–∞,∞) ，值域是 (0,

∞) 。2. 函數 f (x) = ex 是連續、遞增，並且在整個定義域

上是一對一。3. 函數 f (x) = ex 的圖形在整個定義域上凹口向上。4.

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x

x

x

xee lim0lim 並且

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定理 5.11 自然指數函數的導函數

證明 關於性質 1 ，利用 ln ex = x ，對兩邊同時微分。 ln ex = x

至於性質 2 ，是連鎖規則的應用。P.245Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

][ln xdxde

dxd x

xxxx ee

dxde

dxd

e ][11

自然對數函數的定義兩邊同時對 x 微分

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例 3 指數函數的微分a.

b.

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1212 2 xux edxduee

dxd

2

/3/3

2/3 33

xee

xdxduee

dxd x

xux

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例 4 求相對極值求 f (x) = xex 的相對極值。解 f 的導函數是 f’(x) = x(ex) + ex(1) = ex(x + 1)由於 ex 絕不為 0 ，導數只在 x = –1 時為 0 ，又由一階導數檢定，可確定此點是一個相對極小，如圖 5.21 所示。又因 f '(x) = ex(x + 1) 對所有的 x 都有意義，因此並無其他的臨界點。

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圖 5.21 f 的導數在 x = –1 的左邊是負，右邊是正。

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例 5 標準常態機率密度函數求證標準常態機率密度函數 在 x = ±1有反曲點。解　先求二階導數為 0 的點。

在 x = ±1 時， f ''(x) = 0 。注意到在 1 的左邊 f '' 恆正，在 – 1 和 1 之間 f '' 恆負，而在 1 的右邊 f '' 恆正。因此推得 x = ± 1 確是反曲點（見圖 5.22 ）。P.246Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

2/2

21)( xexf

)1)((21])1())([(

21)(

)(21)(

22/2/2/

2/

222

2

xeeexxxf

exxf

xxx

x

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圖 5.22 常態機率密度函數的鐘形曲線。

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例 6 股票交易紐約證券交易所從 1990 到 2005 年的股票交易量 y （百萬單位）與時間 t 的關係如下： 式中 t 代表年， t = 0 對應 1990 年。請問在 2000 年交易量的改變率是多少？解　求 y 對 t 的微分

將 t = 10 代入，所求近似值即為 2000 年的改變率，約是一年 37,941 百萬股。如圖 5.23 所示。P.246Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

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圖 5.23

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定理 5.12 指數函數的積分規則

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例 7 指數函數的積分求 。解 令 u = 3x + 1 ，則 du = 3 dx 。

P.247Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

dxe x 13

Ce

Cedue

dxedxe

x

uu

xx

3

31

31

)3(31

13

1313

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例 8 指數函數的積分求 。解 令 u = –x2，則 du = –2x dx 或 x dx = –du/2 。

P.247Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

dxxe x2

5

CeCe

duedue

dxxedxxe

xu

uu

xx

2

22

25

25

25

25

)(55

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例 9 指數函數的積分

a.

b.

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Ce

dxx

edxx

e

x

due

xx

u

/1

2/1

2

/1 1

Ce

dxxedxexx

due

xx

u

cos

coscos sinsin

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例 10 求以指數函數為界區域的面積計算下列各定積分。a. b. c.

解a.

b.

c.

P.248Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

1

0dxe x

1

0 1dx

ee

x

x

0

1)]cos([ dxee xx

632.011)1(110

1

0 e

eedxe xx

620.02ln)1ln()1ln(1

10

1

0

eedxe

e xx

x

482.0)sin(1sin)sin()]cos([ 101

0

1

eedxee xxx

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圖 5.24