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5 Exemplos de verificação
5.1. Considerações gerais
Com o objetivo de verificar as novas implementações realizadas no
programa, foram analisados vários exemplos a fim de comparar os resultados
numéricos do GEOFLUX3D com resultados analíticos (quando disponíveis),
experimentais (conhecidos na literatura) ou numéricos (programas comerciais de
reconhecida confiabilidade). Os exemplos de verificação abordados neste capítulo
encontram-se listados na tabela (5-1). Como pode se apreciar, o nível de
complexidade destes exemplos foi incrementando-se a fim de testar todos os
métodos de solução anteriormente apresentados.
Tabela 5-1.- Exemplos de verificação.
# Exemplo Tipo de análise 1 Infiltração em um solo estratificado parcialmente saturado Fluxo 2 Carregamento de uma sapata corrida rígida Tensão-deformação 3 Adensamento unidimensional Acoplamento linear 4 Adensamento bidimensional Acoplamento linear 5 Adensamento tridimensional Acoplamento linear 6 Carregamento de uma fundação de solo elastoplástico em
condições não drenadas Acoplamento não linear
7 Ensaios triaxiais em amostras de solo parcialmente saturado Acoplamento não linear
5.2. Análises desacopladas
5.2.1. Análise do fenômeno de fluxo
Este problema foi proposto por Forsyth et al. (1995) e representa um
problema de infiltração bidimensional em solo estratificado parcialmente
saturado. Segundo Forsyth et al. (1995), quando um solo estratificado apresenta
graus de saturação próximos do residual na condição inicial, a solução numérica
do problema torna-se bastante complicada em função da não linearidade originada
pelas relações constitutivas hidráulicas. Por esta razão, este exemplo é um
excelente teste para verificar o método de solução não linear (MNRA). A
geometria do problema e as condições de contorno estão apresentadas na figura
(5.1). A malha é composta por 9766 elementos TRIA3 e 5001 nós.
Exemplos de verificação
85
Figura 5.1.- Geometria e malha de elementos finitos utilizadas na modelagem de um solo
não saturado estratificado submetido a infiltração.
Os parâmetros do modelo de van Genuchten, para cada estratificação ou
zona, estão listados na tabela (5-2) e a figura (5.2) apresenta as curvas
características obtidas com estes parâmetros. Observe que os parâmetros das
zonas 3 e 4 são similares, mas ksat da zona 4 e 10 vezes o valor da zona 3.
Tabela 5-2.- Parâmetros utilizados na análise do fenômeno de fluxo.
Parâmetros\zona 1 2 3 4 Unidades Permeabilidade saturada (ksat) 8,0611 4,7952 4,2319 42,319 [m/dia] Porosidade (n) 0,3680 0,3510 0,3250 0,3250 [-] Saturação residual ( r
lS ) 0,2771 0,2806 0,2643 0,2643 [-]
Parâmetro de Van Genuchten (vg) 3,3400 3,6300 3,4500 3,4500 [m-1] Parâmetro de Van Genuchten (nvg) 1,9820 1,6320 1,5730 1,5730 [-]
0.01 0.1 1 10 100 1000 10000s (kPa)
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Sl (
-)
zona 1zona 2zonas 3 e 4
1E-005 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100kr ksat (m/dia)
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Sl (
-)
zona 1zona 2zona 3zona 4
Figura 5.2.- Curvas características das zonas de solo utilizadas na análise de infiltração
em solo estratificado.
Exemplos de verificação
86
Como condição inicial adotou-se uma carga hidráulica de pressão de -7,34m
em todo o modelo. Todos os contornos do modelo, exceto o trecho sujeito à
infiltração, foram considerados impermeáveis.
As tolerâncias utilizadas foram: ITOL = 10-4 e DTOL = 10-3. Os
incrementos de tempo adotados foram: t0 = 10-2dias; tmin = 10-3dias e tmax =
2dias. O tempo total de simulação foi Timetotal = 30dias.
A figura (5.3) apresenta os resultados dos contornos de graus de saturação
correspondentes a 40, 50 e 60% no final do período de simulação. Nesta figura, os
resultados do GEOFLUX3D foram comparados com aqueles obtidos
recentemente por Therrien et al. (2010), observando-se uma boa concordância. Da
figura (5.3) também pode ser observado que as taxas de infiltração não foram
suficientes para saturar nenhuma camada de solo após 30 dias de simulação.
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0x (m)
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
y (m
)
Geoflux3D - Sl = 40%
Geoflux3D - Sl = 50%
Geoflux3D - Sl = 60%
Hydrogeosphere
Figura 5.3.- Contornos de saturação no solo após 30 dias de simulação.
5.2.2. Análise do fenômeno de tensão-deformação
Neste exemplo verificaram-se as implementações realizadas para o modelo
Cam-Clay Modificado. Para este fim, foi escolhido o problema proposto por
Sheng & Sloan (2003), que consiste na aplicação de deslocamentos prescritos na
superfície de uma argila normalmente consolidada, simulando uma sapata corrida
rígida. Segundo Sheng & Sloan (2003), a simulação deste tipo de problema é um
excelente teste para os algoritmos de solução, já que ocorre uma forte rotação das
Exemplos de verificação
87
tensões principais ao redor da sapata. Por esta razão, este problema serviu para
verificar os métodos de integração de tensão (MIEA) e de solução não linear
(MNRA).
Devido à simetria da sapata, apenas a metade do problema é modelado no
estado plano de deformações, utilizando uma malha de 144 elementos QUAD8 e
481 nós, como mostra a figura (5.4). Os parâmetros utilizados na simulação
encontram-se listados na tabela (5-3).
Figura 5.4.- Geometria e malha de elementos finitos empregadas na simulação de uma
sapata corrida rígida sobre um solo normalmente consolidado.
Tabela 5-3.- Parâmetros utilizados na análise do fenômeno de tensão-deformação.
Parâmetros Valores Unidades Ângulo de atrito (ϕ’) 23,0 [°] Módulo de Poisson () 0,30 [-] Inclinação da LCN (λ0) 0,25 [-] Inclinação da LCD ( ) 0,05 [-] Peso específico dos grãos sólidos (s) 26,8 [kN/m3] Porosidade na LCN com p’=1kPa (n) 0,643 [-]
O estado inicial de tensão foi determinado aplicando as forças de corpo com
K0=0,72 e RPA =1,0.
Como condições de contorno, os deslocamentos horizontais foram restritos
nas linhas localizadas em x=0 e x=5B; já na linha localizada em y=0, os
deslocamentos foram restritos tanto na vertical quanto na horizontal.
Exemplos de verificação
88
Deslocamentos verticais de 1,25B foram impostos no trecho indicado na figura
(5.4) a fim de simular uma sapata corrida rígida.
A superfície de escoamento no plano desviador foi representada pelo
hexágono de Mohr-Coulomb com o critério de arredondamento proposto por
Sheng et al. (2000).
As tolerâncias utilizadas foram: FTOL =10-6, ITOL = 10-5 e DTOL = 10-3.
Os incrementos de tempo adotados foram: t0 = 10-2unds; tmin = 10-3unds e
tmax = 50unds. Os deslocamentos prescritos foram aplicados em um tempo total
de simulação Timetotal = 1000unds.
A figura (5.5) apresenta a distribuição do estado de tensão, tanto no início
quanto no final da simulação. Verifica-se a rotação das tensões principais,
principalmente na região próxima à borda da sapata em que as tensões principais
máximas inicialmente tinham uma direção vertical e posteriormente rotacionaram
para a direção horizontal.
a) b)
Figura 5.5.- Distribuição das tensões principais: a) no inicio da simulação e b) no final da
simulação. Malha indeformada.
A figura (5.6) apresenta os resultados, obtidos por Sheng & Sloan (2003) e
pelo GEOFLUX3D, para o desenvolvimento das pressões na base da sapata em
função dos deslocamentos prescritos. Esta pressão na base da sapata foi calculada
como a soma das reações verticais dos nós que simulam a sapata corrida rígida.
Observa-se que ambos os resultados tiveram uma excelente concordância. No
final da simulação, o GEOFLUX3D determinou uma pressão de 26,7kPa,
Exemplos de verificação
89
resultando numa diferença de 1,4% em relação à pressão determinada por Sheng
& Sloan (2003), que forneceu um valor de 27,1kPa.
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25/B (-)
0
5
10
15
20
25
30P
ress
ão (
kPa
)
Geoflux3D
Sheng & Sloan, 2003
Figura 5.6.- Pressão na base da sapata versus deslocamentos prescritos.
5.3. Análises acopladas de problemas de adensamento linear
As análises apresentadas nesta seção são baseadas na teoria de Biot e tratam
do problema de adensamento de solos em uma, duas e três dimensões. Para
representar o fenômeno de tensão-deformação empregou-se o modelo elástico
linear e para representar o fenômeno de fluxo empregou-se o modelo de saturado.
Observe que pela adoção destes modelos, as matrizes globais devem permanecer
constantes durante todo o tempo das análises, e em consequência, a solução destes
problemas apenas dependerá do tamanho dos incrementos de tempo que sejam
escolhidos. Por esta razão, estes exemplos são excelentes testes para o método de
solução temporal implementado (MITA), já que se sabe que a solução dos
problemas de adensamento pode sofrer oscilações, principalmente nos instantes
iniciais de simulação.
5.3.1. Adensamento unidimensional
Este problema foi estudado inicialmente por Terzaghi (1943) e consiste no
adensamento de uma coluna de solo de altura L=15m pela aplicação de um
carregamento Q=10kPa no seu topo drenante, como ilustrado na figura (5.7).
Exemplos de verificação
90
Figura 5.7.- Geometria e malha de elementos finitos empregadas na simulação de uma
coluna de solo saturado homogêneo submetida a um carregamento.
A coluna de solo saturado foi modelada com uma malha de 20 elementos
tipo BRICK8 e 248 nós. Os parâmetros do modelo encontram-se listados na tabela
(5-4). Como condição inicial, admitiu-se uma condição de equilíbrio hidrostático
com a superfície freática estabelecida no topo da coluna.
Como condições de contorno, nos nós correspondentes a este topo aplicou-
se uma pressão nula a fim de simular a condição drenante que produz o
adensamento do solo. Todas as outras superfícies do modelo foram consideradas
impermeáveis. Os deslocamentos horizontais em todos os nós foram restritos a
fim de caracterizar o adensamento unidimensional. Na base do modelo também
foram restritos os deslocamentos verticais.
Tabela 5-4.- Parâmetros utilizados na análise de adensamento unidimensional.
Parâmetros Valores Unidades Módulo de Young do esqueleto sólido (E) 1x105 [kPa] Módulo de Poisson do esqueleto sólido () 0,25 [-] Permeabilidade isotrópica saturada (ksat) 1x10-5 [m/s]
O carregamento foi aplicado incrementalmente em um período de tempo de
0,1s. Após este período o carregamento foi mantido constante até o final da
simulação. As tolerâncias utilizadas foram ITOL = 10-5 e DTOL = 10-3. Os
incrementos de tempo adotados foram t0 = 0,1s; tmin = 10-5s e tmax = 10s. O
tempo total de simulação foi Timetotal = 3600s.
Exemplos de verificação
91
Observe que este problema satisfaz as hipóteses de desacoplamento de
Terzaghi, por tanto é possível obter soluções analíticas tanto para os excessos de
poropressão quanto para os deslocamentos verticais em toda a coluna de solo.
Neste sentido é necessário definir o “fator adimensional de Terzaghi” como
2v )21)(1(
)1(T
L
tEk
l
sat
(5.1)
Durante o processo de solução verificaram-se reduções do primeiro
incremento de tempo pelo método de solução temporal (MITA) até um valor de
7x10-4s. Após este subincremento de tempo, os novos incrementos de tempo
foram acrescidos até atingir o incremento de tempo máximo em 175s de
simulação.
A figura (5.8) apresenta as evoluções temporais, analítica e numérica, dos
excessos de poropressão normalizados na base da coluna, observando-se uma
excelente concordância nos resultados.
0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10Tv
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
pl/Q
Geoflux3D
Terzaghi
Figura 5.8. Excesso de poropressão normalizado na base da coluna versus fator tempo.
Da mesma forma, as evoluções temporais, analítica e numérica, dos
deslocamentos no topo da coluna podem ser comparadas, como apresenta a figura
(5.9), observando-se novamente, uma excelente concordância de resultados.
Exemplos de verificação
92
0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10Tv
-0.00140
-0.00105
-0.00070
-0.00035
0.00000
uz (
m)
Geoflux3D
Terzaghi
Figura 5.9. Deslocamentos verticais no topo da coluna versus fator tempo.
Finalmente, as figuras (5.10) e (5.11) apresentam os excessos de
poropressão e os deslocamentos verticais, respectivamente, obtidos pelas soluções
analítica e numérica, ao longo da coluna de solo em quatro instantes de tempo.
0 2 4 6 8 10pl (kPa)
-15
-12
-9
-6
-3
0
z (m
)
Geoflux3D - 60s
Geoflux3D - 600s
Geoflux3D - 1800s
Geoflux3D - 3600s
Terzaghi
Figura 5.10. Excesso de poropressão na coluna de solo em quatro instantes de tempo.
Exemplos de verificação
93
-0.00140 -0.00105 -0.00070 -0.00035 0.00000uz (m)
-15
-12
-9
-6
-3
0
z (m
)
Geoflux3D - 60s
Geoflux3D - 600s
Geoflux3D - 1800s
Geoflux3D - 3600s
Terzaghi
Figura 5.11. Deslocamentos verticais na coluna de solo em quatro instantes de tempo.
Novamente, ambas as soluções apresentaram uma excelente concordância.
Das figuras (5.8) e (5.10) se observa que os excessos de poropressão foram
praticamente dissipados após os 3600s da simulação. Já nas figuras (5.9) e (5.11)
se observa que os maiores assentamentos ocorreram no topo da coluna, na ordem
de 1,25mm, valores estes baixos em função da elevada rigidez do solo em
comparação com o carregamento aplicado.
5.3.2. Adensamento bidimensional
Neste exemplo, proposto por Pinto (2004), modela-se o adensamento
bidimensional de um meio estratificado de baixas permeabilidades. Um
carregamento Q é aplicado em parte da superfície do solo da fundação, simulando
uma sapata corrida flexível que provoca deformações tanto na direção vertical
quanto na horizontal.
Devido à simetria da sapata, apenas a metade do problema é modelado no
estado plano de deformações, utilizando uma malha de 270 elementos QUAD8 e
877 nós, como mostra a figura (5.12). Os parâmetros utilizados na simulação
encontram-se listados na tabela (5-5). O solo mais superficial (solo 1) tem uma
profundidade de B/2=6m e o solo mais profundo (solo 2) tem uma profundidade
de 7B/6=14m.
Como condição inicial, foram aplicadas cargas hidráulicas totais de 20m em
todo o modelo.
Exemplos de verificação
94
Figura 5.12.- Geometria e malha de elementos finitos empregadas na simulação de uma
sapata flexível sobre um solo heterogêneo.
Tabela 5-5.- Parâmetros utilizados na análise do adensamento bidimensional.
Parâmetros Valores Unidades Módulo de Young do esqueleto sólido no solo 1 (E1) 1x104 [kPa] Módulo de Poisson do esqueleto sólido no solo 1 (1) 0,0 [-] Permeabilidade isotrópica saturada no solo 1(ksat1) 36x10-5 [m/min] Módulo de Young do esqueleto sólido no solo 2 (E2) 4x104 [kPa] Módulo de Poisson do esqueleto sólido no solo 2 (2 ) 0,0 [-] Permeabilidade isotrópica saturada no solo 2(ksat2) 5,4x10-5 [m/min]
Como condições de contorno foram aplicadas cargas de pressão nulas sobre
os nós que simulam a sapata a fim de simular a condição drenante que produz o
adensamento do solo. No contorno localizado em x=5B/2 aplicou-se uma carga
total prescrita de 20m. Todos os outros contornos foram considerados
impermeáveis. Os deslocamentos horizontais foram restritos em x=0 e x=5B/2. Os
deslocamentos verticais foram restritos em y=0.
Um carregamento Q=200kPa foi aplicado incrementalmente em um período
de tempo total de 0,1min. Posteriormente, este foi mantido constante até a
completa dissipação dos excessos de poropressão.
As tolerâncias utilizadas foram: ITOL = 10-5 e DTOL = 10-3. Os
incrementos de tempo adotados foram: t0 = 10-1min; tmin = 10-2min e tmax =
50min. O tempo total de simulação foi Timetotal = 2000min.
Durante o processo de solução deste exemplo, novamente verificaram-se
reduções do primeiro incremento de tempo pelo método de solução temporal
Exemplos de verificação
95
(MITA) até um valor de 2x10-2min. Após este subincremento de tempo, os novos
foram acrescidos até atingir o incremento de tempo máximo em 764min de
simulação.
A figura (5.13) apresenta os excessos de poropressão obtidos pelo
GEOFLUX3D em dois instantes de tempo de simulação. No tempo t=16,5min, os
excessos de poropressão são elevados, em torno de 126,5kPa. Já no tempo
t=1914.5min, esses excessos são praticamente dissipados e deformações ocorrem
nas regiões próximas à sapata.
a) b) Figura 5.13.- Excessos de poropressão no solo simulados pelo GEOFLUX3D para dois
instantes de tempo: a) 16,5 minutos e b) 1914,5 minutos. Malha deformada com fator de
escala = 10.
Os resultados obtidos com o GEOFLUX3D foram comparados com aqueles
obtidos por Pinto (2004) empregando o programa ANLOG (Nogueira, 1998),
como mostra a figura (5.14). Observa-se que as soluções numéricas de ambos os
programas apresentaram uma excelente concordância.
0 20 40 60 80 100 120 140
Excesso de poropressão (kPa)
-20.0
-16.0
-12.0
-8.0
-4.0
0.0
Pro
fun
did
ade
(m
)
-0.18 -0.15 -0.12 -0.09 -0.06 -0.03 0
Deslocamentos verticais (m)
-20.0
-16.0
-12.0
-8.0
-4.0
0.0
tempo = 16,5min
tempo = 114,5min
tempo = 514,5min
tempo = 1914,5min
Abaqus
a) b)
Figura 5.14.- a) Excessos de poropressão e b) deslocamentos verticais ao longo do
plano de simetria para quatro instantes de tempo.
Exemplos de verificação
96
Na figura (5.14a) observam-se excessos de poropressão elevados nos
primeiros 16,5 minutos, principalmente na interface dos solos 1 e 2. Com o passar
do tempo, as poropressões se reduzem em ambas as camadas, mas com maiores
taxas no solo 1. Isto ocorre porque esta camada tem uma permeabilidade saturada
superior e porque está mais próxima ao contorno drenante. Da figura (5.14a)
observa-se que os excessos de poropressão em ambos os solos foram totalmente
dissipados após 1914,5min de simulação.
Na figura (5.14b) observa-se que ocorre um assentamento máximo de
16,5cm, valor este similar ao de 16,55cm obtido por uma simulação desacoplada
empregando o GEOFLUX3D.
5.3.3. Adensamento tridimensional
Neste exemplo se analisa o adensamento de uma argila saturada de baixa
permeabilidade que é submetida instantaneamente a um carregamento. Nestas
condições têm se observado, como nos exemplos de adensamento 1D e 2D, que é
a água que suporta inicialmente todo o carregamento, gerando poropressões da
mesma ordem de grandeza.
Entretanto, em alguns casos também têm se observado que estas
poropressões podem atingir valores superiores àquele do carregamento que foi
aplicado. Este comportamento paradoxo foi observado inicialmente por Mandel
(1953) através de ensaios triaxiais e posteriormente por Cryer (1963) através da
análise do adensamento de uma esfera. Assim, este fenômeno de adensamento
passou a ser conhecido na literatura como fenômeno de Mandel-Cryer.
Com o intuito de reproduzir o fenômeno de Mandel-Cryer, neste exemplo
empregou-se uma esfera de argila de baixa permeabilidade que sofre um repentino
incremento na sua pressão de confinamento. A geometria e a malha do modelo
são apresentadas na figura (5.15). Observe que, devido à simetria da esfera, o
modelo foi representado por apenas 1/8 desta, empregando-se uma malha
composta por 4835 elementos TETR4 e 990 nós.
Os parâmetros utilizados são apresentados na tabela (5-6). Como condição
inicial, as cargas hidráulicas de pressão em toda a esfera foram consideradas
nulas. A ação das forças gravitacionais foi desabilitada para este problema.
Exemplos de verificação
97
Figura 5.15.- Geometria e malha de elementos finitos empregadas na análise de uma
esfera de argila submetida a uma pressão confinante.
Como condições de contorno, os deslocamentos nos planos de simetria
foram impedidos nas suas respectivas direções normais. Estes planos de simetria
foram considerados impermeáveis e foi aplicada uma pressão nula na superfície
externa da esfera a fim de modelar uma condição drenante que gera o
adensamento.
Tabela 5-6.- Parâmetros utilizados na análise do adensamento tridimensional.
Parâmetros Valores Unidades Módulo de Young do esqueleto sólido (E) 1x104 [kPa] Módulo de Poisson do esqueleto sólido () 0,33 [-] Permeabilidade isotrópica saturada (ksat) 4,91x10-5 [m/s]
A pressão confinante foi aplicada incrementalmente em um período total de
0,6s. Após este período, esta pressão foi mantida constante até o final da
simulação. As tolerâncias utilizadas foram ITOL = 10-5 e DTOL = 10-3. Os
incrementos de tempo adotados foram t0 = 10-2s; tmin = 10-6s e tmax = 0,4s. O
tempo total de simulação foi Timetotal = 14s.
Gibson et al. (1963) apresentaram gráficos da solução analítica deste
problema, mostrando a evolução temporal da poropressão no centro da esfera.
Posteriormente, Wong et al. (1998) e Cruz (2008) utilizaram essas soluções
analíticas para validar suas soluções numéricas. Isto também foi realizado
empregando o GEOFLUX3D.
Durante o processo de solução deste exemplo, também se verificaram
reduções do primeiro incremento de tempo pelo método de solução temporal
(MITA) até um valor de 10-5s. Após este subincremento de tempo, os novos
Exemplos de verificação
98
incrementos foram acrescidos até atingir um valor máximo de 0,07s em 2,15s de
simulação. O incremento de tempo máximo não foi atingido.
A figura (5.16) apresenta os resultados dos excessos de poropressão gerados
pelo carregamento em dois instantes de tempo da simulação. No tempo t=0,6s
observam-se excessos de poropressão elevados, em torno de 121kPa, que são
praticamente dissipados após 14 segundos de simulação.
Tempo = 0,6 segundos Tempo = 14 segundos
Figura 5.16.- Excessos de poropressão simulados para dois instantes de tempo.
Para efeitos de comparação entre os resultados analíticos e numéricos, a
poropressão no centro da esfera foi normalizada em relação à pressão de
confinamento e foi utilizado o fator adimensional de Terzaghi empregando o raio
da esfera no lugar de L na equação (5.1).
A evolução temporal da poropressão no centro da esfera é apresentada na
figura (5.17). Observa-se uma excelente concordância entre os resultados
analíticos e numéricos.
Nesta figura, verifica-se também o efeito de Mandel-Cryer, mediante o qual
a poropressão atinge valores superiores aos da pressão de confinamento
(poropressão normalizada acima da unidade). A solução numérica forneceu uma
poropressão normalizada máxima de 1,187 após 0,6s de simulação, enquanto que
a solução analítica forneceu 1,192, resultando num erro relativo de 0,42%.
Exemplos de verificação
99
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0raiz(Tv)
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
pl/P
cGeoflux3D
Gibson et al, (1963)
Figura 5.17.- Evolução temporal da poropressão normalizada no centro da esfera de
Cryer.
5.4. Análises acopladas de problemas não lineares
Após a análise dos exemplos de adensamento com acoplamento linear,
partiu-se para a análise de problemas com acoplamento não linear. Neste sentido,
os exemplos a seguir constituem testes mais rigorosos para os algoritmos de
solução desenvolvidos, principalmente para o método de solução não linear
(MNRA).
5.4.1. Carregamento de uma fundação de solo elastoplástico em condições não drenadas
Neste exemplo verificaram-se as implementações realizadas no modelo de
Mohr-Coulomb. Para este fim, foi escolhido o problema proposto por Sloan &
Abbo (1999b), consistente na aplicação de uma carga distribuída em condições
não drenadas na superfície de um solo saturado, simulando uma sapata corrida
flexível.
De acordo com Sloan & Abbo (1999b), a análise deste tipo de problema em
tensões efetivas é incapaz de modelar corretamente a capacidade de suporte do
solo de uma fundação, a menos que um ângulo de dilatância nulo seja utilizado.
Esta teoria foi inicialmente proposta por Small (1977), que verificou que o uso de
Exemplos de verificação
100
um ângulo de dilatância não nulo produz uma queda no excesso de poropressão e
consequentemente, um ganho na resistência do solo quando submetido a
carregamentos em condições não drenadas.
O modelo e a malha utilizados nesta simulação são apresentados na figura
(5.18). Novamente, em função da simetria da sapata de comprimento B=2m,
apenas a metade da geometria foi modelada no estado plano de deformações,
utilizando uma malha de 190 elementos QUAD8 e 629 nós. Os parâmetros
utilizados são apresentados na tabela (5-7).
Figura 5.18.- Geometria e malha de elementos finitos empregadas na análise de um solo
elastoplástico com comportamento não drenado submetido a uma carga distribuída.
Tabela 5-7.- Parâmetros utilizados na análise com acoplamento não linear.
Parâmetros Valores Unidades Módulo de Young (E) 2x104 [kPa] Módulo de Poisson () 0,30 [-] Coesão (c’) 100,0 [kPa] Ângulo de atrito (’) 20,0 [DEG] Porosidade (n) 0,50 [-] Permeabilidade isotrópica saturada (ksat) 1,67x10-5 [m/s]
Como condição inicial, foram aplicadas tensões e cargas de pressão nulas
em todo o modelo.
Como condições de contorno, os deslocamentos horizontais foram
restringidos em x=0m e em x=8B enquanto que os deslocamentos verticais e
horizontais foram restringidos em y=0m. Um carregamento Q=1000kPa foi
aplicado incrementalmente até aproximar o colapso do solo.
Exemplos de verificação
101
Para representar a superfície de escoamento de Mohr-Coulomb no plano
desviador, empregou o critério de arredondamento proposto por Abbo (1997), que
somente arredonda pequenas regiões próximas aos vértices do hexágono.
As tolerâncias utilizadas foram: ITOL = 10-5 e DTOL = 10-3. Os
incrementos de tempo adotados foram: t0 = 10-1s; tmin = 10-2s e tmax = 2s. O
tempo total de simulação foi Timetotal = 200s.
Sloan & Abbo (1999b) realizaram quatro simulações empregando diferentes
valores para o ângulo de dilatância (): 0°, 1°, 5° e 20°. Essas mesmas simulações
foram realizadas com o GEOFLUX3D.
A figura (5.19) apresenta os deslocamentos verticais da sapata no eixo de
simetria (x = 0m) em função do carregamento aplicado. Verifica-se uma excelente
concordância entre os resultados do GEOFLUX3D e aqueles apresentados por
Sloan & Abbo (1999b). Observa-se também que o comportamento linear elástico
do solo, para todos os ângulos de dilatância, permanece até um carregamento
aplicado de 300kPa. A partir desse valor, o solo começa a sofrer deformações
plásticas e o comportamento das quatro simulações torna-se diferente.
0 150 300 450 600 750 900
Carga (kPa)
-0.14
-0.12
-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
Des
loca
men
to v
ert
ical
(m
)
= 0o
= 1o
= 5o
= 20o
Sloan & Abbo (1999)
Pressão de colapso
Figura 5.19.- Deslocamentos verticais em função do carregamento no centro da sapata
flexível.
Na simulação com =0°, o solo está próximo do colapso para um
carregamento de 482kPa, reproduzindo a resposta obtida através de uma análise
Exemplos de verificação
102
não drenada. Na simulação com =1°, o colapso do solo ocorre para uma
carregamento em torno de 525kPa. Já nas simulações com =5° e =20°, o solo
da fundação pode suportar carregamentos superiores daqueles obtidos para =0° e
=1°.
Estes comportamentos ocorrem porque, para o modelo de Mohr-Coulomb,
ângulos de dilatância não nulos produzem deformações plásticas negativas que
ocasionam uma queda no excesso de poropressão à medida que o carregamento
continua sendo aplicado. Em consequência, o solo aparentemente pode suportar
maiores cargas antes do colapso. Estes resultados confirmam o exposto por Small
(1977), que concluiu que análises em tensões efetivas com ângulos de dilatância
não nulos podem ir contra a segurança, superestimando a pressão de colapso de
um solo em condições não drenadas.
Para avaliar a influência que os critérios de arredondamento exercem nos
resultados, duas novas simulações foram realizadas empregando o exemplo
anterior com =0° e utilizando os critérios propostos por Abbo (1997) e Sheng et
al. (2000) junto com círculo de Drucker & Prager. A figura (5.20) apresenta os
deslocamentos verticais no centro da sapata em função da carga aplicada para
cada forma da superfície de escoamento no plano desviador.
0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
Carga (kPa)
-0.14
-0.12
-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
Des
loca
men
to v
ert
ica
l (m
)
Mohr-Coulomb
Sheng-Sloan
Drucker-Prager
Figura 5.20.- Deslocamento vertical no centro da sapata em função da carga para cada
forma da superfície de escoamento no plano desviador.
Exemplos de verificação
103
Observa-se que o critério de Drucker-Prager superestima a pressão de
colapso do solo, fornecendo baixos deslocamentos quando é aplicado um
carregamento de 483kPa. Neste caso, as deformações plásticas ocorrem a partir de
uma carga de 350kPa, isto é, 50kPa após o resultado correto. Comportamento
similar ocorre com o critério de Sheng et al. (2000); no entanto, este superestima a
pressão de colapso em um valor menor porque adota uma forma que se aproxima
mais àquela do hexágono de Mohr-Coulomb.
5.4.2. Ensaios triaxiais em amostras de solo parcialmente saturado
Neste exemplo verificaram-se as implementações realizadas para o modelo
Barcelona. Para este fim, foi escolhido o problema proposto por Sheng et al.
(2003b) que consiste na simulação de ensaios de compressão triaxial em amostras
previamente submetidas a diferentes sucções. A simulação deste tipo de problema
é um excelente teste para o algoritmo de integração de tensões (MIEA), já que
ocorre uma contribuição das sucções na definição das tensões constitutivas e das
superfícies de escoamento.
Os ensaios triaxiais foram simulados por Sheng et al. (2003b) em duas
fases. Na primeira fase, foram aplicados incrementos de sucção pela base das
amostras mantendo o valor inicial da pressão de confinamento. Estes incrementos
de sucção foram lentamente aplicados de tal forma que a sucção foi
uniformemente distribuída em todas as amostras. Na segunda fase, as amostras
foram comprimidas axialmente sob condições drenadas mantendo a sucção
atingida na fase anterior.
Observe que, como ocorre uma distribuição uniforme da sucção em ambas
as fases, estes ensaios podem ser modelados por um acoplamento parcial, já que
as sucções podem ser prescritas durante toda a simulação. Com isto, apenas os
deslocamentos constituem os graus de liberdade do problema; no entanto, a
contribuição da sucção, na avaliação das tensões constitutivas, ainda deve ser
avaliada. Análises deste tipo foram inicialmente adotadas na concepção do BBM e
continuam sendo muito utilizadas por alguns pesquisadores (Abed, 2008; Nian et
al., 2011a). Por esta razão, análises similares foram utilizadas na modelagem dos
ensaios triaxiais.
As amostras cilíndricas simuladas por Sheng et al. (2003b) tiveram 4cm de
diâmetro e 8cm de altura. Entretanto, devido à simetria das amostras, apenas uma
Exemplos de verificação
104
quarta parte destas foi modelada utilizando uma malha de 70 elementos BRICK20
e 452 nós, como mostra a figura (5.21). Os parâmetros utilizados na simulação
encontram-se listados na tabela (5-8).
Figura 5.21.- Geometria e malha de 1 elemento finito empregadas na análise do ensaio
triaxial.
Tabela 5-8.- Propriedades mecânicas e hidráulicas das amostras utilizadas nos ensaios
triaxiais.
Parâmetros Valores Unidades Ângulo de atrito (ϕ’) 20,0 [DEG] Módulo de Poisson () 0,30 [-] Inclinação da LCN (λ0) 0,25 [-] Inclinação da LCD ( ) 0,05 [-] Peso específico dos grãos sólidos (s) 26,8 [kN/m3] Porosidade na LCN com p’=1kPa (n) 0,66 [-] Parâmetro para determinar λs (r) 0,75 [-] Parâmetro para determinar λs ( s ) 0,012 [kPa-1]
Saturação residual ( rwS ) 0,0 [-]
Permeabilidade isotrópica saturada (ksat) 10-8 [m/s] Parâmetro de Van Genuchten (vg) 1,0 [m-1] Parâmetro de Van Genuchten (nvg) 0,5 [-] Parâmetro de Van Genuchten (mvg) 1,0 [-]
Como condição inicial, aplicou-se uma tensão hidrostática de 20kPa em
todo o modelo das amostras com uma RPA=1,2. Cargas de pressão nula também
foram consideradas como condições iniciais.
Como condições de contorno, os deslocamentos horizontais na direção x
foram restringidos no plano x=0cm, os deslocamentos horizontais na direção y
foram restringidos no plano y=0cm e os deslocamentos verticais foram
restringidos no plano z=0cm. Na primeira fase do ensaio, sucções de 0kPa,
Exemplos de verificação
105
100kPa e 200kPa, correspondentes aos três ensaios, foram aplicadas em 100
incrementos em todos o modelo. Na segunda fase, foram aplicados deslocamentos
verticais prescritos de -2cm na superfície z=4cm em outros 100 incrementos.
As tolerâncias utilizadas foram ITOL = 10-6 e DTOL = 10-3, STOL = 10-6,
FTOL = 10-6. Os incrementos de tempo adotados foram: t0 = 10-2unds;
tmin = 10-6unds e tmax = 1,0unds. O tempo total de simulação foi Timetotal =
200unds.
A figura (5.22) apresenta as curvas de tensão de desvio (q) em função da
deformação axial das amostras. Observa-se que, quando a amostra está saturada, o
máximo valor de q é de 20,11kPa; para uma sucção de 100kPa, este valor atinge
45,12kPa; e para uma sucção de 200kPa, atinge um valor de 58,3kPa. Desta
forma, verifica-se que os incrementos de sucção aumentam a resistência ao
cisalhamento da amostra. Nesta figura, verifica-se também a boa concordância
dos resultados obtidos com aqueles apresentados por Sheng et al. (2003b).
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
deformação axial
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
q(k
Pa)
s = 200kPas = 100kPas = 0kPaSheng et al. 2003
Figura 5.22.- Curvas de tensão de desvio (q) versus deformação axial para cada
amostra analisada.
A figura (5.23) apresenta diversas curvas de resultados das simulações dos
ensaios. Novamente, foram observadas boas concordâncias dos resultados do
GEOFLUX3D com aqueles obtidos por Sheng et al. (2003b). Nestas figuras, as
letras maiúsculas referem-se aos estágios do ensaio: (A) início da primeira fase
em todos os ensaios; (B) início da segunda fase; (C) fim do ensaio. Os números
que seguem as letras B e C indicam a sucção aplicada no ensaio.
Exemplos de verificação
106
0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0p'(kPa)
0.0
50.0
100.0
150.0
200.0
250.0
s(kP
a)
s = 200kPas = 100 kPas = 0kPaSheng et al. 2003
A,B0
B100
B200
C0
C100
C200
0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0q(kPa)
0.0
50.0
100.0
150.0
200.0
250.0
s(kP
a)
s = 200kPas = 100kPas = 0kPaSheng et al. 2003
B100
A,B0
B200
C0
C100
C200
a) b)
0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0p'(kPa)
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
q(kP
a)
s = 200kPas = 100 kPas = 0kPaSheng et al. 2003LEC
A,B0
B100
B200
C200
C100
C0
0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0p'(kPa)
2.0
2.0
2.1
2.1
2.2
2.2
2.3
s = 200kPas = 100 kPas = 0kPaSheng et al. 2003
C100
B100 B200
A,B0
C0C200
c) d)
Figura 5.23.- Resultados das simulações dos ensaios triaxiais com sucção controlada.
Nas figuras (5.23a-b), apresentam-se a variação da tensão octaédrica (p’) e
da tensão de desvio (q) em função da sucção (s). Observa-se que, na primeira fase,
estes incrementos de sucção produzem incrementos de p’, mas não de q. Isto
ocorre porque os incrementos de s afetam por igual os três componentes de tensão
principal e como consequência, q é nulo. Já na segunda fase, os ensaios com
maiores valores de sucção apresentaram acréscimos superiores de p’ e q.
Na figura (5.23c), apresentam-se as trajetórias de tensão no espaço
p’ versus q. Verifica-se que os incrementos de sucção fazem com que as
trajetórias de tensão atinjam a LEC com valores superiores de q, mostrando que o
solo apresenta maior resistência quanto maior for a sucção aplicada.
Na figura (5.23d), apresenta-se a variação do volume específico (ν) em
função de p’. Na primeira fase de secagem, observa-se que o volume das amostras
reduz-se à medida que a sucção é incrementada. No entanto, na segunda fase de
carregamento, a diminuição do volume é menor nas amostras que experimentaram
valores superiores de sucção. Este comportamento ocorre porque, à medida que a
sucção se incrementa, p’ e a pressão de pré-adensamento p’0 também são
incrementadas, porém em taxas diferentes, em função dos parâmetros r e
Exemplos de verificação
107
utilizados. Para os parâmetros adotados neste exemplo, a pressão de pré-
adensamento se incrementa mais rapidamente que a tensão efetiva durante a fase
de secagem. Por esta razão, nesta fase, a RPA das amostras que foram secadas
também se incrementa, fazendo com que estas fiquem mais rígidas e portanto,
experimentem menores deformações volumétricas plásticas quando o
carregamento é aplicado. De acordo com Sheng et al. (2003b), os parâmetros r e
podem ser ajustados de tal forma que as tensões efetivas se incrementem mais
rapidamente que a pressão de pré-adensamento durante a fase de secagem; desta
forma, as amostras poderiam experimentar deformações plásticas já na fase de
secagem.
