5.1 ÇFTLENML SALINICILAR (Coupled Oscillators)
Bundan önceki bölümlerde tek bir doal frekansa sahip sistemleri inceledik. Bu
bölümde birçok farkl frekanslarda titreebilen sistemleri inceleyeceiz. Önce iki
çiftlenimli salncdan oluan sistemlerin serbest salnmlarn ele alacaz. Bu
sistemlerin analizinde baz kurallar gelitireceiz ve bunlar çok sayda çiftlenimli
salncdan meydana gelen sistemlerin analizinde kullanacaz. Daha sonra bu sistemleri
periyodik d kuvvet etkisinde ele alacaz. Basitten balayarak kristal örgü gibi daha
karmak olaylarn dinamik özelliklerini anlamaya çalacaz. Elde edeceimiz bilgi
birikimini çiftlenimli elektrik devrelerinin analizinde kullanma becerisi edineceiz.
Fizik Lab-IV dersinde bu kavramlarn uygulamalarn göreceksiniz. Özellikle iletim
hatlar deneyinin iyi anlalmas için bu bilgilere ihtiyaç duyacaksnz.
5.1.1 ki Çiftlenimli Sarkaç
Birbirine benzer A ve B sarkaçlarnn ekil-5.1a’deki gibi gerilmemi bir yay ile
birbirine baland (çiftlendii) sistemi göz önüne alalm. Burada basitlik olmas
bakmndan sarkaç boylarnn ve kütlelerinin eit olduunu kabul edeceiz
( = = = = ).
ekil-5.1 Özde iki sarkacn k yay ile çiftlenimi.(a) Sistemin serbest hali. (b) B sarkac
dururken A sarkacn xa kadar yana çekip serbest braklmas.
ekil-5.1b’deki gibi B sarkac dururken A sarkacn xa kadar yana çekip sistemi serbest
braktmzda olacak olaylarn geliimi aada özetlenmitir.
2
A sarkac salnma balar.
Bir süre sonra balangçta durgun olan B sarkac da salnma geçer.
A sarkacnn genlii giderek azalrken B sarkacnn genlii artmaya balar.
Daha sonra A ve B sarkaçlarnn genlikleri eit olur.
Salnm devam ettikçe, A sarkacnn genlii azalrken B sarkacnn genlii A
sarkacnn genliinin ilk deerine eit olana kadar artmaya devam eder.
B sarkacnn genlii A sarkacnn ilk genliine eit olduktan sonra, balangç
koulu tersine çevrilmi olur. Sisteme sürtünme gibi yitirici kuvvetler etki
etmedii sürece bu genlik deiimi sürekli kendini tekrarlar.
Çiftlenimi iki sarkaç arasndaki k yay salar. A kütlesi titreirken, aradaki k yay B
kütlesini iter ve çeker. Böylece bu yay B kütlesi üzerinde bir d kuvvet oluturur ve
onu harekete geçirir. Ayn zamanda bu yay, A kütlesini de iter ve çeker.
imdi ekil-5.1’de verilen sisteme biraz daha yakndan bakalm ve baz özel
durumlar için sistemin davrann anlamaya çalalm:
(i) MOD-I: A ve B sarkaç kütlelerini eit miktarda ( = ) saa çektiimizi ve
sonra bunlar ayn anda serbest braktmz farz edelim (ekil-5.2).
ekil-5.2 A ve B sarkaçlar eit miktarda ( = ) saa çekilip serbest braklyor.
Bu durumda sarkaç toplar arasndaki uzaklk, dolaysyla yayn boyu, deimez. Yayn
boyunda deiiklik olmad için yaydan dolay sarkaçlara bir kuvvet etki etmez. Bu
durumda A sarkacna ait kütlesinin hareket denklemi için
2
3
2
= = ω1 (5.2c)
ifadesini yazabiliriz. Bu çözüm bize A ve B sarkaçlarnn ayn frekans (1 = √ ⁄ ),
ayn faz ve ayn genlikli (A) ve aralarndaki uzaklk sabit kalacak ekilde basit
harmonik hareket (BHH) yaptklarn gösterir. Bu özel durumda sistemdeki yayn bir
etkisi yoktur. Her iki sarkaç birbirinden bamsz gibi hareket eder yani sarkaçlar sanki
çiftlenmemi gibi davranr. Bu çiftlenim biçimi çiftlenimli salnc sistemin bir normal
modunu (kipini) temsil eder. Burada mod sözcüünü kip veya öztitreim anlamnda
kullanyoruz. Farkl kitaplarda bu türden adlandrmalar görebilirsiniz.
(ii) MOD-II: A ve B sarkaç toplarnn zt yönlerde fakat eit miktarlarda ( = −)
yanlara çekilip ayn anda serbest brakldn farz edelim (ekil-5.3).
ekil-5.3 A ve B sarkaçlar zt yönde = − olacak ekilde çekilip serbest
braklyor.
4
Bu durumda kütleleri birbirine balayan yay uzar veya skr ve yay kütlelere bir
kuvvet uygular. A ve B sarkaçlarnn hareketi birbirinin aynadaki görüntüsü eklinde
olacaktr.
Bu hareket srasnda yaydaki uzama miktar 2 = 2 = 2 kadar olacaktr. Yay her
bir kütleye ( = = ) 2kx kadarlk bir geri çarc kuvvet uygular. Burada,
küçük salnmlarda, her iki sarkacn kütlelerine yer çekiminden dolay = −(
)
geri çarc kuvvetinin de uygulandna dikkat ediniz. Böylece A sarkacnn hareket
denklemi için
2
2 +

2
eklinde yazabiliriz. Bu diferansiyel denklemin 2 frekansl bir BHH’ye karlk geldii
açktr. Bu denklemin çözümü için
= cos (ω2) (5.5a)
yazabiliriz. Benzer ekilde B sarkacnn hareketi için
= − cos (ω2) (5.5b)
yazabiliriz. Sonuç olarak ikinci modda da her bir sarkaç BHH yapan bir sistem gibi
davranr. Fakat aradaki yayn etkisi geri çarc kuvveti artrc yönde olduundan,
titreim frekans çiftlenimsiz duruma göre daha büyüktür yani 2 > 1 dir. A ve B
sarkaçlar ayn frekansta, ayn genlikte fakat aralarnda 180°’lik faz fark olan BHH
yapar. A ve B sarkaçlarna ait uzanmlarnn zamanla deiimleri ekil-5.4’de
verilmitir.
5
deiimi.
5.1.2 Normal modlarn üst üste gelmesi
imdi A sarkacndaki kütlenin yer deitirmesinin xa , B sarkacndaki kütlenin yer
deitirmesinin ise xb kadar olduu rastgele bir durumu göz önüne alalm (ekil-5.5).
ekil-5.5 Çiftlenimli sarkaçta ≠ durumu.
Bu durumda aradaki yay ( − ) kadar uzar ve A ve B sarkaçlar üzerine
( − ) kadarlk geri çarc bir kuvvet uygular.
A kütlesi üzerindeki toplam geri çarc kuvvet (yerçekimi+yay):
= −
B kütlesi üzerindeki toplam geri çarc kuvvet (yerçekimi+yay):
= −
ifadeleri ile verilebilecei açktr.
A ve B sarkaç kütlelerinin hareket denklemleri = bantsndan
2
2 = −
ve
2
2
( − ) = 0 (5.8b)
Burada A kütlesi için yazlan (5.8a) denklemi, B sarkacna ait terimini; B kütlesi için
yazlan (5.8b) denklemi ise A sarkacna ait terimini içermekte olduuna dikkat
ediniz. Baka bir deyile A sarkacnn hareketi B sarkacnn hareketini etkilemektedir.
Bunun tersi de geçerlidir. Bu nedenle bu iki diferansiyel denklem birbirinden bamsz
çözülemez.
Bu denklemlerin birlikte çözümü için (5.8a) ve (5.8b) denklemlerini taraf tarafa
toplayarak,
ve çkararak,
2(−)
denklemleri elde edilir.
ω1 2 =
21
eklinde yazabiliriz. Bu iki denklemin, yer deitirmeleri 1 ve 2; frekanslar 1 ve 2
olan bamsz BHH yapan iki sisteme kar geldii açktr.
Bu denklemlerin (5.12a ve 5.12b) çözümleri için
1 = 1 (1 + 1) (5.13a)
2 = 2 (2 + 2) (5.13b)
yazabiliriz. Burada C1 ve C2 genlikler, 1 ve 2 ise faz sabitleri olup balangç
koullarndan tayin edilir.
Böylece iki bamsz titreime sahip oluruz. Buradaki 1 ve 2 deikenleri normal
koordinatlar; 1ve 2 ise normal frekanslar olarak adlandrlr.
Tekrar orijinal koordinatlarmz olan ve ’ye geri dönelim:
1 = ( + )
2 = ( − )
= 1
yazabiliriz.
Bu eitliklerden u sonuca varlr: her bir sarkacn hareketi iki normal modun
süperpozisyonu eklindendir.
Balangç koullar olarak 1 = 2 = 0 olduunu kabul edelim. Bu durumda (5.14a) ve
(5.14b) eitlikleri için
= 1
yazabiliriz.
imdi üç farkl balangç koulu için yukardaki çözümleri ele alalm:
(i) t = 0 annda her iki kütle durgun ve = ve =
(ii) t = 0 annda her iki kütle durgun ve = ve = −
(iii) t = 0 annda her iki kütle durgun ve = ve = 0
8
i) t=0 annda = ve =
Bu deerleri (5.15a) ve (5.15b) denklemlerinde yerlerine yazarak
1
Bu durumda
= 1
= 1
olur. Bu ise daha önce incelediimiz birinci normal mod çözümleridir. Bu özel
durumda aradaki yayn sisteme bir etkisi yoktur yani iki sarkaç, ayn genlik, ayn faz ve
ayn 1 = √
(ii) t=0 annda = ve = −
Bu deerleri (5.15a) ve (5.15b) denklemlerinde yerlerine yazarak
1
2 [1 − 2] = −
elde ederiz. Buradan 1 = 0 ve 2 = 2 bulunur. Bu durumda çözümler için
= 2
= −2
yazabiliriz. Bu da daha önce incelediimiz ikinci normal mod çözümleridir.
Bu özel durumda aradaki yay çiftlenimi salar ve iki sarkaç ayn genlikli, ayn frekansl
ve 180 faz fark (zt fazl) ile salnm yapar.
(iii) t=0 annda = ve =
Bu deerleri (5.15a) ve (5.15b) denklemlerinde yerlerine yazarak
1
2 [1 − 2] = 0
elde ederiz. Buradan 1 = ve 2 = bulunur. Bu durumda çözümler için
9
2 cos
α + β
2 sin α + β
= ( 2−1
2 ) (
2 ) (
2 + 1 2
2 −
2 )
(5.16b)
ifadeleri elde edilir. Buradan xa ve xb uzanmlarnn ω2−ω1
2 ve (
( ω2−ω1
genlii maksimum iken dierinin modüle olmu genlii sfrdr (ekil-5.6).
ekil-5.6 Çiftlenimli sarkaçta modülasyon durumu.
10
imdi yatay dorultuda çiftlenimli osilatör örneini ele alalm. Kütleler ile yatay düzlem
arasnda sürtünme olmadn kabul edeceiz. Basitlik açsndan kütlelerin ve yaylarn
özde olduu durumu ele alacaz. ekil-5.7’de özde ve bamsz iki kütle-yay
osilatörü verilmitir.
ekil-5.7 Çiftlenmemi iki bamsz kütle-yay osilatörü.
Bu iki osilatörü kuvvet sabiti 1 olan üçüncü bir yay ile birbirine balayarak
çiftlenmimli bir sistem haline getirebiliriz (ekil-5.8a). ekildeki gibi, A kütlesinin xa,
B kütlesini ise xb kadar saa doru çekelim.
ekil-5.8a Yatay düzlemde çiftlenimli osilatör.
Çiftlenimli sistemde, xb>xa olmas durumda, ortadaki yay ( − ) kadar gerilmi olur.
Bu durumda,
A kütlesine sol taraftaki yaydan doan − ve ortadaki yaydan doan
1( − ) kuvvetleri etki eder.
B kütlesine ise sadaki yaydan doan − ve ortadaki yaydan doan
−1( − ) kuvvetleri etki eder.
xb>xa olmas halinde ortadaki 1 yaynn boyu net olarak uzam demektir yani 1 yay
gerilmitir. Bu durumda 1 yaynn A kütlesine uygulad kuvvet saa doru yani
( − ) yönünde; B kütlesine uygulad kuvvet sola doru yani −( − ) yönünde
olacaktr. Bu durumda , srasyla, A ve B kütleleri için hareket denklemleri
11
2
2
2 + ( + 1) − 1 = 0 (5.18b)
eklinde ifade edebiliriz. Bu denklemlerin her biri hem xa hem de xb’yi içerdii için
birbirinden bamsz olarak çözülemez. Bu nedenle her ikisini de içerecek bir deiken
deitirmeye gitmek uygun olacaktr. Bunun için (5.18a) ve (5.18b) denklemleri taraf
tarafa toplanarak,
ve çkarlarak,
denklemleri elde edilir. Burada, 1 = (+ )
2 = ( −)
ω1 2 = /
ksaltmalar yaplarak (5.19a) ve (5.19b) denklemleri
21
eklinde yazlabilir. Bunlar BHH’nin denklemiyle ayndr. Bu denklemlerin çözümü
için
yazabiliriz.
12
= 1
= 1
2 [1 (ω1 + 1) − 2 (ω2 + 2)] (5.22b)
Balangç koullar olarak 1 = 2 = 0 olduunu kabul edelim ve aadaki özel
durumlar için A ve B kütlelerinin titreimlerini inceleyelim.
(i) t = 0 annda her iki kütle durgun ve = ve =
(ii) t = 0 annda her iki kütle durgun ve = ve = −
(iii) t = 0 annda her iki kütle durgun ve = ve = 0
imdi bu özel durumlar tek tek ele alalm.
i) t= 0 annda = ve =
Bu deerleri (5.22a) ve (5.22b) denklemlerinde yerlerine yazarak
1
2 [1 − 2] =
ve buradan 1 = 2 ve 2 = 0 elde edilir. Bu durumda çözümler için
= 1
= 1
yazlr.
Her iki kütle ayn genlik, ayn faz ve ayn 1 = √k/m açsal frekans ile titreir. Bunun
anlam ortadaki 1 çiftlenim yaynn sisteme bir etkisi yoktur. Bu durum daha önce
sarkaç sisteminde anlatlan 1. normal mod durumuna kar geldiine dikkat ediniz.
(ii) t=0 annda ve = ve = −
Bu deerleri (23a) ve (23b) denklemlerinde yerlerine yazarak
1
13
ve burada 1 = 0 ve 2 = 2 elde edilir. Bu durumda çözümler için
= 2
= −2
yazlabilir.
Her iki kütle ayn genlik ve ayn 2 = √( + 21)/ açsal frekans ile titreir ancak
aralarnda (=180) kadar faz fark vardr. Çiftlenim yay geri çarc ek bir kuvvet
oluturduundan 2 açsal frekans birinci durumda verilen çiftlenimsiz durumun
frekansndan daha büyüktür 2 > 1. Bu durum daha önce sarkaç sisteminde anlatlan
2. normal mod durumuna kar geldiine dikkat ediniz. Eer çiftlenimi salayan yayn
kuvvet sabiti de dier iki yayn kuvvet sabitine eit olursa yani 1 = olursa, 2 =
√3/ olur. ekil-5.8b’de simetrik ve antisimetrik modlar gösterilmitir.
ekil-5.8b. Simetrik ve antisimetrik modlar.
(iii) t=0 annda ve = ve =
Bu deerleri (5.22a) ve (5.22b) denklemlerinde yerlerine yazarak
1
2 [1 − 2] = 0
ve buradan, 1 = ve 2 = elde edilir. Bu durumda çözümler için
= 1
= 1
elde ederiz. Bu ifadeleri
2 cos
α+β
2 (5.24a)
2 sin
α+β
2 (5.24b)
xa = A cos ( ω2−ω1
2 t) cos (
2 t) sin (
olduuna dikkat ediniz. Bu nedenle çiftlenimli sarkaç örneinde yaplan yorumlar
burada da geçerli olacaktr.
5.3 ZORLAMALI ÇFTLENML SALINICILAR VE REZONANS
u ana kadar çiftlenimli bir sistemin belli kurallar içinde titretii durumda sistemin
karakteristik doal frekanslarn bulmak için sistemin serbest titreimlerini göz önüne
aldk.
Eer sisteme periyodik bir d kuvvet etkirse ne olur? Örnein çiftlenimli bir salnc
için rezonans halinin nasl ortaya çktn tartacaz. Tartmamz daha önce
inceldiimiz zorlamal salnclarn analizine benzer olacaktr. Burada sönüm etkilerini
dikkate almayacaz. Fakat titreimlerin oldukça çok salnmdan sonra geçi etkilerinin
ortadan kaybolduu ve böylece her salncnn hareketinin d kuvvetin frekansnda ve
sabit genlikte olduunu varsayacaz.
A ve B kütlelerinin aralarnda bir yay ile birbirine baland çiftlenimli salncnn A
kütlesine bal S yayna = 0 cos eklinde periyodik bir d kuvvetin
uygulandn varsayalm (ekil-5.9). Yaylarn ve kütlelerin özde olduunu kabul
edeceiz.
15
D kuvvet nedeni ile S yaynn boyunda = cos eklinde bir deiim olacaktr.
Burada = 0
dir. S yayna uygulanan periyodik d kuvvet A kütlesine zorlamal
titreim hareketi yaptrr. Ortadaki çiftlenim yay bu zorlamal kuvvetin etkisini B’ye
iletir. Bu durumda A ve B kütlelerinin hareket denklemleri,
2
= 0 (5.26a)
2
cos ifadesi yerine konarak, yeniden düzenlenirse
2
2
= 0 (5.27b)
yazlabilir. Bu son iki denklem (5.27a ve 5.27b) taraf tarafa toplanr ve çkarlrsa
2
+ = 1 ; − = 2 (5.29)
eklinde deiken deitirmesi yapmak bu denklemleri çözmeyi kolaylatracaktr.
21
2 +

16
elde ederiz. Burada (5.31a) ve (5.31b) denklemleri 1 ve 2 doal frekansl iki
zorlamal harmonik salncya benzemektedir. Bu denklemlerin kararl hal çözümlerini
aadaki eitliklerle tanmlayabiliriz:
1 = 1 (5.32a)
2 = 2 (5.32b)
Bu ifadeleri ve türevlerini (5.31a) ve (5.31b)’de kullanrsak, C1 ve C2 için
1 = 0 ⁄
(ω1 2−ω2)
1 ve 2 genlik ifadeleri, dördüncü bölümde incelediimiz sönümsüz zorlamal bir
salncnn gösterdii rezonans davranna benzer bir davran gösterecei açktr.
Yeniden xa ve xb’ye geçelim.
= 1
= 1
2 (1 − 2) cosω = cosω (5.34b)
Buradan, a ve b kütlelerinin titreim genliklerinin (A ve B) ’ya bal ifadeleri
= 1
eklindendir. A ve B genliklerinin uygulanan d kuvvetin frekansna bal davranlar
ekil-5.10’de verilmitir.
ekil-5.10. A ve B genliklerinin uygulanan d kuvvetin frekansna bal davranlar.
17
< 1 bölgesinde A ve B kütleleri ayn fazda titreirler.
0 = √ 1 2+2
2 deerinde = 0 dr.
= 1 ve = 2 olduunda sistem rezonans durumuna girer ve kütleler çok
büyük genlikli salnm yaparlar. Bu olaydan yararlanarak sistemin normal
modlar (1 ve 2) deneysel olarak belirlenebilir.
> 2 bölgesinde A ve B kütleleri zt fazda titreirler
Bu tür sistemlere CO2 gibi ikiden fazla atoma sahip olan moleküllerin titreimi güzel bir
örnek oluturur. Atomlar üç kütle (ortadaki C, kenarlardakiler ise O atomlar) ve
atomlar arasndaki moleküler balar da yaylar ile temsil edebiliriz (ekil-5.11).
ekil-5.11. CO2 molekülünün titreim modlar.
ekil-5.11’den görüldüü gibi bu sistemin titreiminin iki adet normal modu vardr.
Bunlar simetrik ve asimetik gerilme olarak isimlendirilirler. Simetrik gerilme modunda
merkezdeki C atomu sabit durur, kenardaki O atomlar zt yönlerde eit frekansl ve eit
genlikli olarak titreir (ekil-5.11a). Asimetrik gerilme modunda ise, kenardaki O
atomlar aralarndaki uzaklk sabit kalacak ekilde ayn yönde hareket ederler.
Merkezdeki C atomu ise sistemin kütle merkezinin hareketsiz kalmasn salayacak
ekilde O atomlarnn hareket yönünün tersi yönde hareket eder (ekil-5.11b). Sistemin
normal frekanslar sourma spektrumu ile deneysel olarak belirlenmektedir. CO2
molekülünün normal modlarna kar gelen frekanslar 4.0x10 13
s -1
(ekil-5.11a) ve
7.0x10 13
s -1
(ekil-5.11b) dr. Bu molekülün ayrca bir de bükülme modu vardr ve buna
kar gelen frekans ise 2.0x10 13
s -1
dir (ekil-5.11c).
Daha önce kütle-yay sisteminin boyuna titreimlerini inceledik. imdi bir veya daha
fazla kütle ve iki veya daha fazla yaydan oluan sistemlerin enine salnmlarn
inceleyeceiz.
5.4.1 Bir kütle-iki yaydan oluan sisteminin enine salnmlar
Özde yaylarla bal olan m kütlesinin küçük bir miktar kadar enine çekilip
brakldn düünelim (ekil-5.12).
Yaylardaki uzama miktar ,
= ′ − (5.36)
cos =
elde ederiz. Bu deeri (5.36)’da yerine yazarak için
= ′ − = (
cos − 1) (5.38)
yazabiliriz. Burada y yer deitirmesinin küçük ve buna bal olarak açsnn küçük
olduu durumu ele alacaz. Küçük 'lar için kosinüs fonksiyonunun seriye açlmndan
cos = 1 − 2
= ( 1
1
1− = 1 + + 2 ++ +, −1 < < 1 (5.40a)
19
1
1
≅ [1 + 2
2 (5.42)
elde ederiz. Bu durumda çok küçük ise (5.36) ifadesi ile verilen uzamasn ihmal
edebiliriz. Bu durumda yaydaki T gerilme kuvvetini sabit kabul edebiliriz.
Yaylardaki gerilme kuvveti kütle üzerine aa doru bir geri çarc kuvvet oluturur.
Bu kuvvetin deeri
sin + sin = 2 sin (5.43)
olup yönü aa doru (-y yönünde) olacaktr. Bu durumda hareket denklemi için
2

(5.44)
yazabiliriz (küçük açlarda ≅ sin ≅ tan alndna dikkat ediniz). Bu ifade yeniden
düzenlenerek
Bu denklemin çözümü için
= ( − ) (5.48)
yazabiliriz (BHH örneine baknz). Bu durumda sistemin bir tek normal modu vardr.
Sistemin frekans ve periyodu için
20
ile kartrlmamas gerekir)
5.4.2 ki kütle - üç yaydan oluan sisteminin enine salnmlar
imdi iki özde kütlenin birbirine üç özde yay ile baland durumu ele alalm (ekil-
13).
Yukardaki tartmay dikkate alarak, küçük titreimler için, problemi irdeleyeceiz. A
ve B kütlelerinin hareket denklemleri için
A kütlesi için : 2
2 = −1
2 = − 2

üçgenlerden
yazlabilir. Bunlar (5.50a) ve (5.50b) denkleminde kullanarak A ve B kütlelerinin
hareket denklemleri için
yazabiliriz. (5.52a) ve (5.52b) denklemleri çözümü için kompleks formda çözüm
önerelim (Ayn denklemlere trigonometrik fonksiyonlar cinsinden de çözüm
önerebileceimizi biliyorsunuz).
[−ω2 + 2
[−ω2 + 2
veya
( 2
yazlabilir.
(5.56a) ve (5.56b) denklem sisteminin çözümünden A ve B tayin edilebilir. Çözümün
olmasnn gerek ve yeter koulu katsay determinantnn sfr olmasdr:
| ( 2
22
elde edilir. Burada için iki farkl deer elde edilir. Bu deerler sistemin normal
titreim modlarna denk gelmektedir.
(i) NORMAL MOD I

deeri (5.56a) veya (5.56b)’de yerine yazlarak = elde edilir. Bu
durumda çözüm fonksiyonlar
= ω1 (5.60a)
= ω1 (5.60b)
olacaktr. Bu durum sistemin birinci moduna kar gelir. Her iki kütle ekil-5.14a’daki
gibi ayn faz, ayn genlik ve ayn 1 = √
açsal frekans ile titreir. Bunun anlam
ortadaki çiftlenim yaynn sisteme bir etkisi yoktur.
ekil-5.14a
(5.61)
Yazabiliriz. Bu deer (5.56a) veya (5.56b)’de yerine yazlarak = − elde ederiz. Bu
durumda çözüm fonksiyonlar
= ω2 (5.62a)
= − ω2 (5.62b)
Bu durum sistemin ikinci titreim moduna kar gelir. ki kütle ekil-5.14b’deki gibi
zt yönde titreirler, ancak titreim genlikleri ve frekanslar ayndr. Ortadaki yay
23
çiftlenimi salamaktadr ve kütlelere ek bir geri çarc kuvvet uygulad için sistemin
titreim frekans birinci modun frekansnn √3 ≅ 1,7 kat olmutur.
ekil-5.14b
Bu durum, ileride gerilmi bir ipteki duran dalgay incelerken iimize yarayacaktr. Bu
örnek ayn zamanda daha çok sayda kütlenin yaylar ile birbirlerine baland durumu
anlamamzda da faydal olacaktr.
5.5 N- KÜTLEL ÇFTLENML SALINICILAR
Kütlesi ihmal edilebilen bir ip boyunca her birinin kütlesi m olan N tane kütlenin
(boncuk olarak düünebilirsiniz) aralarndaki uzaklk l olacak ekilde dizildiini
düünelim (ekil-5.15). pin iki ucu bal olsun ve bu bal olan uçlarda da m kütleleri
bulunsun. Bu durumda kütleleri 0’dan N+1’e kadar ardk saylarla numaralayabiliriz.
ekil-5.15. ki ucundan sabitlenmi ip üzerinde eit aralklarla dizilmi kütleler.
Enine titreimleri göz önünde canlandrmak daha kolay olduu için, önce çok sayda
kütleden oluan bir sistemin enine titreimlerini ele alacaz (ekil-5.16). Daha sonra
yaylarla birbirine balanm kütlelerin boyuna titreimlerini de ele alacaz.
ekil-5.16. Gerilmi ip üzerine eit aralklarla dizilmi N tane kütlenin enine
titreimleri.
24
pteki balangç geriliminin T olduunu ve kütlelerin sadece küçük enine yer
deitirmeler yaptn kabul edersek, kütleler titreirken ipteki gerilmenin artn
önemsemeyebiliriz (Tek kütleli örnekte bu durum tartlmt).
1. kütlenin 1 , 2. kütlenin 2 ,. 'nci kütlenin ise kadar yer deitirdiini kabul
edelim. Bundan önceki örnekte gördüümüz gibi p’nci kütleye etkiyen kuvveti () ,
= −−1 + (5.63)
eklinde yazabiliriz. Burada küçük yer deitirmeler olduunu kabul ettiimiz için
−1 ≅ −1 = −−1
(5.64a)
= −
= −−1 + = − −−1
−
yazabiliriz. 2. Newton yasasn kullanarak p kütlesinin hareket denklemi için
2
2 = −
yazabiliriz. Bu denklemin her iki tarafn m’ye bölerek yeniden
2
yazabiliriz.

formunda yazlabilir.
Benzer ekilde tane kütlenin her biri için hareket denklemi yazabiliriz. Böylece 1'den
'ye kadar, 'nin her bir deeri için bir tane olmak üzere tane diferansiyel denklem
seti elde edilir. Ancak sol ve sa uçlar bal olduu için 0 = 0 +1 = 0 olacan
unutmayalm.
25
(i) = için çözüm:
Kütlesi m olan bir cisim eit uzunluklu gerilmi iki ip ile ekil-5.17’daki gibi
baldr. Bu cismin hareket denklemini (5.69) denklemini kullanarak yazabiliriz:
ekil-5.17. (a) Gerilmi ipin ortasna bal tek kütle. (b) Tek kütlenin enine titreimi.
Bir tek kütle olduu için = 1 alnr. Bu durumda hareket denklemi için
21
21 −ω0 2(0 + 2) = 0 (5.70)
yazlabilir. Uçlarn bal olmas nedeniyle 0 = 0 ve 2 = 0 olacaktr. Bu durumda
hareket denklemi
= (√2ω0) (5.72)
olacaktr.
(ii) N = 2 için çözüm:
Sistemde iki tane kütle ekil-5.18’daki gibi baldr. Bu kütlelerin hareket denklemleri
(5.69) eitliinde p= 1 ve p = 2 yazlarak elde edilir.
ekil-5.18. Gerilmi bir ip üzerinde eit aralklarala balanm iki kütle.
26
21
22
22 − 0 21 = 0 (5.73b)
olacaktr. Uçlardaki kütleler bal olduu için 0 = 0 ve 3 = 0 alndna dikkat
ediniz. Bu denklemler kütle yay sistemlerinde elde edilen denklemlere
benzemektedirler. Bu durumdaki sistemin 1 2 =

frekanslarnda iki normal mod titreimi vardr (ekil-5.19). Birinci modda genlikler eit
ve ayn fazl (ekil-5.19a); ikinci modda genlikler eit ancak zt fazl (ekil-5.19b)
olduu açktr.
ekil-5.19. Gerilmi ip üzerindeki iki kütlenin enine titreim modlar. (a) Birinci mod.
(b) kinci mod.
Bu son iki özel durumu daha önce de incelemitik. Burada sadece genel hareket
denkleminden ayn sonuçlara ulalaca gösterilmitir.
5.6 N-KÜTLEL ÇFTLENML SALINICININ NORMAL MODLARININ
BULUNMASI
tane kütlenin her biri için hareket denklemi (5.69) eitlii kullanlarak yazlabilir.
2
2 −ω0 2(−1 + +1) = 0
Bu genel ifadede p=1,2,3,…,N-1,N yazlarak tüm sistem için toplam tane diferansiyel
denklem seti elde edilir. Bu denklemlerin çözümü için, her bir kütlenin titreim genlii
farkl olmak üzere, tüm kütlelerin ayn frekans ile titretiini kabul ederek, sinüzoidal
çözümler önereceiz. Böylece p’inci kütle için
27
çözümünü alabiliriz. Balangç koulu olarak,
= 0 annda
= = 0 ve = 0 seçebiliriz. Bu durumda çözüm için
= cosω , = 1, 2 , . . . , (5.75)
yazlr. Önerilen bu çözümü (5.69) denkleminde kullanarak
2
[(−ω2 + 2ω0 2) −ω0
yazabiliriz. Tüm anlarnda bunun salanmas için parantez içindeki ifadenin sfr
olmas gerekir:
Buradan
ω0 2 , = 1 , 2 , . . . , (5.78)
elde ederiz. Burada 'nn herhangi bir temel durumu için (5.78) ifadesinin sa taraf
sabittir. Böylece sol taraftaki (−1 + +1) ⁄ oran da 'den bamsz bir sabit
olmaldr.
’ya hangi deerleri verelim ki 0 = 0 ve +1 = 0 koulu ayn anda gerçeklesin
(Uçlarn bal olmas nedeniyle)? Bu koullar salayacak
= (5.79)
). Bundan
esinlenerek (5.79) ile tanml fonksiyon önerildi. Bu çözüm kullanlarak
−1 + +1 = [sin( − 1) + sin( + 1) ] (5.80a)
yazlabilir. Burada iki sinüs fonksiyonunun toplam ilgili trigonometrik özdelikten
yararlanarak
yazabiliriz. Bu durumda −1++1
oran için
sonucunu elde ederiz. Bu sonucu (5.78) eitliinde yerine yazacak olursak
2 = −ω2 + 2ω0
2 2(
= 20 |sin (
2 )| (5.83b)
ifadesini de yazabiliriz. Burada ’nn deeri hep pozitif olaca için sin (
2 )’nin mutlak
adlandrlr. Ancak henüz k’nn ne olduunu belirlemedik. Snr koullar kullanlarak
k’nn deeri belirlenir.
Snr koullar nedeniyle = + 1’de = +1 = 0 olmaldr:
+1 = ( + 1) = 0 (5.84)
Bunun olmasnn gerek ve yeter koulu
( + 1) = (5.85)
=
ile verilir.
Burada n’nin farkl deerleri titreimin farkl modlarna kar gelir. Buna kar gelen
frekanslar ise (5.83b) bants kullanlarak belirlenir:
= 20| (/2)| = 20 |
(+1)

29
5.6.1 N - kütleli çiftlenimli salncnn normal modlarnn özellikleri
Denklem (5.87)'ye göre tam saysnn farkl deerleri farkl modlara karlk gelir.
’inci moda ait frekans ile gösterirsek (5.87) denkleminden
ω = 2ω0 |sin (
yazabiliriz.
p üzerindeki bir kütlenin hareketinin, hem mod saysna () hem de kütle numarasna
() bal olduuna dikkat ediniz. Böylece, ’inci modda titreen p’inci parçacn
titreim genliini
eklinde yazabiliriz. Buradaki , uyarlan ’inci modunun genliini gösterir. Kütlelerin
tamam n’inci modda titreecei için p’inci kütlenin yer deitirmesi,
() = ω (5.90)
ifadesi ile verilir. Buradaki ω ve (5.88) ve (5.89) denklemleri ile tanmldr.
= 0 annda her bir kütle durgundur. ki kütleden oluan çiftlenimli salnc
probleminde olduu gibi bu ifadeyi
() = (ωt − ) (5.91)
eklinde yazabiliriz. Burada her farkl modun, farkl bir fazna sahip olaca açktr.
5.6.2 Kaç tane normal mod vardr?
Daha önce iki kütleden oluan bir çiftlenimli salnc için iki normal modun olduunu
görmütük. tane kütle için de tane bamsz mod vardr. (5.88) ve (5.89)
denklemleri 'nin tam say deerleri için tanmldr. Ancak 'nin deeri 'den büyük
olduunda bu eitlikler herhangi bir yeni fiziksel durum tanmlamaz. ekil-5.20’de
’nin [2( + 1)⁄ ] niceliine kar grafii verilmitir.
30
ekil-5.20. ’nin [2( + 1)⁄ ] niceliine kar grafii.
= 1 ‘den = ’ye gittikçe tane farkl karakteristik frekans buluruz. Apsis
üzerinde 2⁄ ’ye kar gelen = + 1'de (= 20) eklinde bir maksimum frekansa
ular. = 20 frekansna kesilim frekans (cut off frequency) denir. Fakat bu
frekansta mümkün olan bir hareket yoktur. Çünkü Eitlik-5.89’da = + 1 ’de
= 0 ’dr. Baka bir deyile nπ
2(N+1) = π
2 olduunda = + 1 deerini alr ve
= + 1 deerinde tüm (+1) = 0 dr. Buradan = + 1 durumunun herhangi
bir fiziksel duruma kar gelmediini söyleriz. ekilde kesikli-beyaz çizgi ile gösterilen
ksmlar çözüm olamaz. Baka bir deyile = ’den daha sonrasndaki frekanslar
kendini tekrar ederler ve yeni bir mod elde edilmez. Sonuç olarak N parçackl
çiftlenimli osilatörlerin ancak N tane normal modunun olabileceini söyleyebiliriz.
5.6.3 Deiik modlarn ekilleri
Birinci mod: n=1
imdi parçackl bir sistemin modlarna ait titreim ekillerini inceleyelim. lk mod
= 1 ile verilir. Bu durumda kütlelerin yer deitirmeler,
1 = 1 sin (
+1 ) 1, = 1,2,… (5.92)
ifadesi ile verilir. Verilen herhangi bir t annda 11 çarpan tüm kütleler için
ayndr. Bu nedenle sadece sin (
+1 ) çarpan farkl kütlelerin yer deitirmelerini ayrt
eder (ekil-5.21).
31
ekil-5.21 a) En düük normal modda (n=1) 'nin fonksiyonu olarak sin (
+1 ) 'nin
çizimi. Kütleler düzgün bir ip üzerinde ve p'nin tam say deerlerine karlk gelen
konumlara yerlemilerdir.
kinci mod: =
2 = 2 sin ( 2
+1 ) 2, = 1,2,… (5.93)
ifadesi ile verilir. kinci modda titreim yapan kütleli bir sistemde kütlelerin yer
deitirmesini deiik zamanlardaki grafii ekil-5.22'de verilmitir. Eer sistemdeki
kütle says tek say ise, ipin orta noktasnda bir kütle yer alr ve ortadaki kütle
ekildeki gibi hareketsiz kalacaktr. kinci modda titreim yapan sistemde en az 2
parçack olmaldr ( ≥ 2).
ekil-5.22. kinci mod için ( = 2) deiik anlarda kütlelerin konumlar.
32
Daha önceki bölümlerde bir ve iki parçackl sistemlerin boyuna salnmlarn
incelemitik imdi N-parçackl bir sistemin boyuna salnmn inceleyerek genel
ifadeler bulacaz.
ekil-5.23’de bir çizgi boyunca özde yaylarla birbirine balanm m kütleli N tane
özde parçack sistemini göz önüne alalm. Kütleler hareketsizken yaylarn uzunluunun
l olduunu kabul edelim. Bir kristaldeki atomlarn bir sras böyle bir modele
benzemektedir.
ekil-5.23. Bir çizgi boyunca özde yaylarla birbirine balanm m kütleli N tane özde
parçack sistemi.
ekilde görüldüü gibi p kütlesini , soldaki komu p-1 kütlesini −1 ve sadaki
komu p+1 kütlesini de +1 kadar saa doru çekelim ve daha sonra bunlar ayn anda
serbest brakalm. Bu kütleler titreim hareketi yapacak ve daha sonra birlerini
etkileyeceklerdir. Burada da küçük genlikli titreim hareketi yaklamn kabul
edeceiz. Bu durumda geri çarc kuvvetler yaylarn skmas ya da uzamas ile
meydana gelir. Her yayn kuvvet sabiti = ω0 2 olarak yazlabilir.
Kütlelerin denge konumundan itibaren yer deitirmeleri 1, 2, −1, , +1… ,
ile gösterelim. Bu durumda ’inci kütlenin hareket denklemini
2
veya
yazabiliriz. Burada daha önceleri de yaptmz gibi ω0 2 =

33
eklinde yazabiliriz. Bu denklem daha önce enine titreimleri incelerken elde ettiimiz
(5.69) denklemi ile ayn formdadr. Bu nedenle bu denklemin çözümü için
() = sin (
+1 ) cosω (5.95)
ω = 2ω0 [
2(+1) ] (5.96)
bants yazlabilir. Sonuç olarak daha önce enine titreimleri için yaplan tartmalarn
burada da geçerli olaca açktr.
34
N tane kütle-yay sisteminden oluan sistemin boyuna (veya enine) titreim modlarn
incelemek için sistemi oluturan her kütleye ait hareket denkleminin doru yazlmas
gerekir. Her kütlenin solundaki ve sandaki kütlelerin hareketinden etkilendiini
biliyoruz. Çou kez hareket denklemlerinin yazlmasnda hatalar yaplmakta ve
dolaysyla problemin çözümü de hatal olmaktadr. Eer aada özetlenen sistematii
takip edersek hata yapma olasl azalr. Burada kütlelerin ve yaylarn farkl olduunu
kabul ederek en genel durum için izlenecek yol verilmitir. ekil-5.23’deki sistemi
dikkatle inceleyiniz. ekilden de görüldüü gibi p kütlesinin solundaki kütlenin
numaras p-1 ve sandaki kütlenin numaras ise p+1 seçilmitir. p kütlesinin solundaki
yayn numaras p (kuvvet sabiti ) ve sandaki yayn numaras p+1 (kuvvet sabiti
+1) olarak seçilmitir. Bu sistematie dikkat ederek herhangi bir kütleye ait hareket
denklemini aadaki yolu uygulayarak yazabilirsiniz:
ekil-5.23
p numaral kütleye ait terimini yaznz (Burada = 2
2 ksaltmas
yaplmtr.);
p numaral kütlenin yer deitirmesinden (), p’nin solundaki p-1 numaral kütlenin
yer deitirmesini ( −1) çkarn ve elde edilen ( - −1) deerini p kütlesinin
solundaki yayn kuvvet sabiti olan ile çarpn ( - −1);
p numaral kütlenin yer deitirmesinden ( ), p’nin sandaki p+1 numaral
kütlenin yer deitirmesini ( +1 ) çkarn ve bunu p kütlesinin sandaki yayn
kuvvet sabiti olan +1 ile çarpn: +1( - +1);
Elde edilen bu deerleri toplayn ve toplam sfra eitleyin;
+ ( - −1) + +1( - +1) = 0 (5.97)
35
Yukardaki sistematii kullanarak N = 3 olan bir kütle-yay sistemi için hareket
denklemlerini yazalm:
2 2 + 2(2 - 1) + 3(2 - 3) = 0
3 3 + 3(3 - 2) + 4(3) = 0
Bu yöntemin aynsnn enine titreimler için de geçerli olacan söyleyebiliriz.
5.7.1 Parçack says ′ çok büyük olmas durumu
Çiftlenimli sistemde kütle says N’nin oldukça büyük olduu duruma bakalm. Burada
gerilmi ip üzerindeki kütlelerin enine salnm hareketini göz önüne alacaz. Benzer
tartma boyuna salnmlar için de yapabilir.
N’nin çok büyük olduu durumu aadaki kabullenmeler ile ele alacaz:
N’nin artt ancak ipin (veya telin) toplam L boyunun deimeden kalmas için
komu kütleler arasndaki uzakln (l) azaldn kabul edeceiz yani
= ( + 1) (5.98a)
Toplam kütlenin (M) deimeden kalmas için her bir parçacn kütlesinin (m)
azaldn kabul edeceiz yani
alnabilir.
Parçack says N büyüdükçe sistemin giderek sürekli bir ip (veya tel) gibi
davranacana dikkat ediniz. Bu kavram bizi kesikli sistemlerden sürekli sistemlere
geçie hazrlayacaktr.
imdi N çok büyük olursa, normal mod frekanslar ne olur sorusunu kendimize soralm.
Daha önce n’inci mod frekans için
ω = 2ω0 [
2(+1) ] = 2√
36
Öncelikle mod says 'nin küçük olduu normal modlar göz önüne alalm. çok
büyük olduu için, frekans ifadesindeki sinüsün argüman küçülür ve küçük aç
yaklam geçerli olur. Bu durumda
[
2(+1) ] ≅
√
μ (5.100)
eklinde yazabiliriz. = ( + 1) ipin (veya telin) toplam uzunluu, = ⁄ ise birim
uzunluk bana kütledir. Sonuç olarak için
ω ≅
√
μ (5.101)
ω1 =
√
μ (5.102)
ω = ω1 (5.103)
yazabiliriz. Böylece normal mod frekanslar, en düük mod frekansnn tam katlar
olduu anlalr. Ancak bu ifadenin durumu için elde edildiini de unutmamak
gerekir.
= sin (
+1 ) cosω (5.104)
ifadesini elde etmitik. p üzerindeki kütleleri 1, 2, 3, . . . , , . . . , + 1 eklinde
numaralamtk. Bunun yerine kütleleri, ipin sol ucuna uzakl olan ile tanmlayalm.
Bu durumda ‘inci kütleyi = ile tanmlayabiliriz. Böylece (5.104) eitliinde
sinüsün argümann,

yazabiliriz. (N+1)l=L ve pl=x deerleri de kullanlarak
37


eklinde yazabiliriz. Bu durumda yerine, ip enine titretii zaman sabit uçtan (sol
uç) itibaren x uzaklnda yer alan kütlenin t anndaki yer deitirmesini (, )ile
gösterebiliriz yani
yazabiliriz.
büyüdükçe kütlelerin yerini belirten deerleri birbirine yaklar ve x’in deeri
= 0’dan = 'ye deiir. Böylece ip üzerindeki kütleler yerine sürekli sisteme geçi
admn atm oluruz.
imdi en yüksek mod olan = durumunu göz önüne alalm. Eer çok büyük ise
daha önce ele ettiimiz ifadesi
ω = 2ωsin (
2(+1) ) ≅ 2ωsin (
(5.107)
eklinde maksimum deerini alr. Bu modda ( = ) her bir kütle her an en yakn
komusunun yer deitirmesine ters iarette ancak yaklak eit bir yer deitirmeye
sahiptir. Bu yer deitirmeler ekil-5.24’de gösterilmitir.
ekil-5.24 Gerilmi bir ipteki kütleler dizisinin en yüksek modda enine
titreimleri.
= sin (
= sin (

trigonometrik özdelii kullanlarak
+1 ) = [sin
= −() (
+1 ) (5.110)
yazlabilir. 'nin deeri ne olursa olsun, 'den + 1 'e gidildiinde genliin iareti
tersine döner. Örnein, tek ise + 1 çift olacaktr. Bu durumda, = −1 ve
( + 1) = 1 olur.
Sonuç olarak ardk kütle numaralarnda ile (+1) ardk genlikler olup zt
iaretlidir.
imdi ardk genliklerin büyüklüklerinin || |(+1)| yaklak eit olduunu
görelim:
+ 1 |
lim →∞
+1 = 10
100
olarak N çok büyük ise ||
|(+1)| oran 1’e yaklar. Baka bir deyile ardk genlikler
yaklak eittir diyebiliriz. ki ucu bal bir ip için
=
+ 1
genlii = 0 ve = + 1 için sfrdr. Bu nedenle en yüksek modda ( = )
kütleler dizisinin enine salnmlarnn genliklerinin dalmnn iki uç arasnda bir yarm
sinüs erisi üzerine düeceini ifade eder (ekil-5.25).
ekil-5.25 Her iki ucu bal bir ipin üzerinde düzgün bir ekilde dizilmi
kütlelerin en yüksek moda ( = ) salnm genlikleri.
39
Böylece merkez çizginin alt ve üstündeki yer deitirmeler her zaman yaklak eit ve
zt iaretli olduunu söyleyebiliriz.
ekil-5.25'daki kütlesini göz önüne alalm. Bu kütlenin herhangi bir andaki yer
deitirmesi ise bunun her iki komusunun da yer deitirmesi yaklak − 'dir.
Böylece iki ucundan bal ipdeki gerilim ise her iki komudan kaynaklanan
kuvvetlerin enine bileenleri yaklak (2 ⁄ ) 'dir. kütlesinin hareket denklemi
(yaklak olarak)
2
2 ≅ −2(
2 ≅ 0 (5.113b)
elde edilir. Bu ise açsal frekans yaklak 2 0 olan bir basit harmonik hareket
denklemidir. Bu sonucun n=N modu için elde ettiimiz ω ≅ 2ω = 2√
deeriyle
Önceki kesimde yaplan analizler katlarn titreim modlarn anlamak için oldukça
baarl sonuçlar verir. Küçük yer deitirmeler söz konusu olduu zaman komu
atomlar arasndaki etkilemeler bir yay ile benzerlik gösterir. Bu benzerlik nedeniyle
ω = 2ω0 [
2(+1) ] (5.114a)
denklemlerini bir katya uygulamak istersek, örgünün temel eksenleri boyunca bir
atomlar dizisini göz önüne almamz gerekir. Bu durumda , birim uzunluk bana bütün
atomlarn toplam kütlesi ya da aralklarla dizilmi atomlardan birinin kütlesinin 'ye
bölümüdür.
Boyut olarak, ipteki gerilimin boyca kütle younluuna oran ⁄ ile Young
modülünün younlua oran ⁄ ayndr. Bu iki ifadeyi birbiri yerine kullanabiliriz.
Böylece kristalin titreim frekanslar, (5.114a) eitliinden yararlanarak,
40
2 (
modülü ve younluklar verilmitir.
3 )
104 3⁄ mertebesinde olduklarndan / oran 1072 2⁄ mertebesindedir. Katlar
için l atomlar aras uzaklk ise 10−10 m mertebelerinde olduundan,
0 = 1
2 (
) 1 2⁄ ≅ 1013−1 (5.116)
deeri elde edilir. Bu deer bir örgünün dayanabilecei en yüksek titreim frekansdr.
Dier modlar ise
ifadesi ile verilir. Buradaki L, katnn kalnldr. Böylece 1cm'lik bir kristalin
titreimlerinin en düük frekans (n=1) 105 Hz mertebesindedir.
41
ÖRNEK-1
ki özde sarkaç bir yay ile balanarak çiftlenimli hale getirilmitir. Her bir sarkacn
boyu 0,4 m olup, yer çekim ivmesinin 9,8 m/s 2 olduu bir yerde bulunmaktadrlar.
Sarkaçlardan biri sabit tutulurken dierinin periyodu 1,25 s ölçülmütür. Sarkaçlarn her
ikisi de hareketli iken normal modlarn periyotlarn bulunuz.
Çözüm
Soldaki b-sarkac sabit tutup, sadaki a-sarkac kadar saa doru çekip serbest
braktmz düünelim (Aadaki ekildeki gibi). Bu durumda sarkacn periyodu 1,25
s ölçülüyor. Bu olay srasnda b-sarkacnn hareket etmeyeceine dikkat ediniz. Bu
durumda problem aadaki ekildeki gibi düünülebilir.
Bu durumda a-sarkacnn hareket denklemi için
2 2
yazabiliriz (Ders notlarna baknz). Her iki taraf m’ye bölerek
2 2

yazlr. T=1,25 s, g=9,8 m/s 2 ve l=0,4 m deerleri kullanlarak

elde edilir.
modunun olduunu ve mod frekanslarnn
1 = √
Buradan 1.modun periyodu için
2 = 2
ÖRNEK-2
Kütleleri m olan A ve B cisimleri, kuvvet sabitleri ve olan yaylar ile duvara, yay
sabiti olan bir yay ile de birbirlerine balanmlardr. Sistem ekildeki gibi
sürtünmesiz yatay bir masa üzerindedir. A kütlesi ve B kütlesi kadar saa doru
çekilip serbest braklyor.
a) Sistemin 1 ve 2 normal mod frekanslarn bulunuz.
b) Eer 2 = ise titreimin normal modlarn bulunuz. (French-p5.4)
43
Çözüm:
+ ( - −1) + +1( - +1) = 0
bantsn kullanarak yazabiliriz (Ders notlarna baknz).
+ + ( - ) = 0 (1A)
+ + ( - ) = 0 (1B)
(1A) ve (1B) denklemleri yeniden düzenlenerek
+ +
= (3A)
= (3B)
Bu fonksiyonlarn ikinci türevleri alnarak (3A) ve (3B) denklemlerinde yerine yazlarak
(−2 + +
(−2 + + )− = 0 (5A)
− + (−2 + + ) = 0 (5B)
A ve B’ye göre homojen, çizgisel denklem sisteminin çözümü olabilmesi için katsay
determinantnn sfr olmas gerekir:
| −2 + + −
Buradan
2 = 0
44
24 − [ + + 2] 2 + [ + + ] = 0
yazmak mümkündür. Burada 2 = diyerek
2 − [ + + 2] + [ + + ] = 0
yazarz. Bu ifade u’ya göre ikinci dereceden bir denklemdir. Buradan 1 ve 2 kökleri
için
2−4[++]
2 (6)
yazlr. Karekök içindeki ifade açlr ve gerekli ilemler yaplrsa ve 1,2 = 1,2 2
olduu kullanlrsa titreimin mod frekanslar için
1,2 2 =
2] 1/2
elde edilir.
b) (7) ifadesinde karekök içindeki açlr ve = 2 alnrsa
[( − 2
1,2 2 =
45
ÖRNEK-3
Doal titreim frekanslar 0 ve kütleleri m olan iki özde A ve B sönümsüz
osilatörlerini düünelim. A osilatörü üzerine 2
2 ve B ösilatörü üzerine
2
2
küvvetleri etkiyerek çiftlenimli hale getiriliyor. Bu ifadelerdeki , 1’den küçük deere
sahip olup çiftlenim sabitidir. Bu çiftlenimli sistemin normal modlarn ve bu modlarn
frekanslarn bulunuz. (French-p5.5)
2
2 +0
2
2
2 = 0 (2B)
Bu durumda A’nn denklemi B’ye ait bilgiyi ve B’nin denklemi ise A’ya ait bilgiyi
içermektedir. Bu nedenle bu iki osilatör çiftlenimli duruma gelmitir.
Her iki kütle için harmonik çözümler alabiliriz:
= (3A)
= (3B)
Bu fonksiyonlarn ikinci türevleri alnarak (3A) ve (3B) denklemlerinde yerine yazlrsa
(−2 − 2 +0 2) = 0 (4A)
(−2 − 2 +0 2) = 0 (4B)
veya
veya
46
yazabiliriz.
A ve B’ye göre homojen, çizgisel denklem sisteminin çözümü olabilmesi
için katsay determinantnn sfr olmas gerekir:
| −2 + 0
2 −2
Buradan
−2 +0 2 = 2
( )2 = 0 2
(1 )2 = 0 2
1 = 0
√1 +
47
ÖRNEK-4
Kütlesi ihmal edilebilen 3 uzunluundaki bir ipin uçlar iki sabit noktaya
tutturulmutur. pteki gerilme ise T’dir.
a) m kütleli bir parçack ekildeki gibi ipin bir ucundan itibaren uzunluunda bir
noktaya tutturulmu durumda iken m kütlesinin enine titreimlerinin hareket
denklemini yazarak, periyodunu bulunuz.
b) m kütleli baka bir parçack ekildeki gibi ipin dier ucundan itibaren
uzaklna tutturulmutur. pteki gerilim yine T’dir. Enine salnmlar için farkl
normal modda kütlelerin ve ipin görünümünü çiziniz.
c) Yüksek mod frekans ’y hesaplaynz. (French-p5.13)
Çözüm:
= −1 − 2
−
2
2 + 3
48
olaca açktr. Burada her iki taraf m’ye bölünerek hareket denklemi için
2
2 = 3
ifadesini buluruz.
b ve c klarnn yant ders notlarnda aynen vardr (Ders notlarna bakmadan problemi
çözmeye çaln). Titreim modlarnn davran frekanslar aada verilmitir.
Düük modlu titreim. 1 = √


49
ÖRNEK-5
ekilde gösterildii gibi M ve m kütleli iki cisim kuvvet sabitleri 1 ve 2 olan yaylar
ile tavana asldr.
a) M kütlesi 0 kuvveti ile aa doru sürülmektedir. Kütlelerin
hareket denklemlerinin
22 2
+ 22 − 21 = 0
olduunu gösteriniz. Burada 1 ve 2 srasyla M ve m kütlelerinin düey
dorultuda yer deitirmeleridir.
b) 1 = ve 2 = ifadelerinin çözüm olabilmesi için
= 0(2 −
2) − 2 2
2) − 2 2
olmas gerektiini gösteriniz.
c) = √ 1
olmas durumunda
gösteriniz. George C. King, p4.9)
50
Çözüm:
a) ekilde verilen sistemde M kütlesini 1 kadar, m kütlesini ise 2 kadar düey
dorultuda çekip serbest brakalm. Bu durumda M kütlesine etkiyen kuvvet için
= −11 − 2(1 − 2) + 0
yazabiliriz. Bu durumda M kütlesinin hareket denklemi için
21 2
veya
= −2(2 − 1)
22 2
+ 22 − 21 = 0
b) Verilen 1 = ve 2 = çözümlerinin ikinci türevleri alnarak
hareket denklemlerinde yerine yazlrsa
Elde edilir. Buradan
veya
yazabiliriz. Ayn ilem m kütlesinin hareket denklemi için yaplrsa
(−2 + 2) − 2 = 0 (1b)
yazlr. (1b) denkleminden
elde edilir. Bu sonucu (1a) denkleminde yerine yazarak A için
= 0(2−
2)−2 2 (3)
elde etmek zor deildir. Bu sonucu (2) bantsnda kullanarak B için
= 02
2)−2 2 (4)
2)−2 2
1 )
0
sonucu elde edilir.
Çözüm:
+ ( - −1) + +1( - +1) = 0
Bantsn kullanarak yazabiliriz (Ders notlarna baknz)
52
2. 22 + (2 − 1) + (2 − 3) = 0 (1)
3. 3 + (3 − 2) = 0
Bu denklemler yeniden düzenlenerek
2. 22 + 22 − 1 − 3 = 0 (2)
3. 3 + 3 − 2 = 0
eklinde yazlabilir.
Her üç kütle ayn frekansla harmonik hareket yapacaktr. Bu nedenle kütlelerin
hareketini
verilen denklemlerde yerine yazarak
2. −22 + 2 − − = 0 (4)
3. −2 + − = 0
Bu denklemler yeniden düzenlenerek
2. − + (2 − 22) − = 0 (5)
3. − + ( −2) = 0
yazlabilir. Bu denklem sisteminin çözümünün olabilmesi için katsay determinantnn
sfra eit olmas gerekir:
| 4 − 42 − 0
| = 0
elde edilir. Bu ifade biraz daha düzenlenirse
4( −2)[8( − 2)2 − 52] = 0
53
1. −2 = 0 ⇒ 2 = √

8 2 ⇒ −2 =
ve
1 = 0,46√/ , 2 = √/, 3 = 1,34√/
yazabiliriz.
ÖRNEK-7
ekilde gerilmi ip üzerinde eit aralklarla, kütleleri eit (1 = 2 = 3 = ) olan
üç boncuk baldr. Sistem küçük genliklerle enine titreim yapyor. pteki gerilimin
sabit kaldn kabul ediniz (T=sabit). Ortadaki kütleye 0 periyodik d kuvveti
uygulanyor. Kütlelerin titreim genliklerini belirleyiniz. Genliklerin frekansa bal
davrann kabaca çiziniz.
kütleler sanki kuvvet sabiti
volan yaylarla balanm gibi düünülebilir (Ders notlarna
baknz).
54
+ ( - −1) + +1( - +1) = 0
ifadesinden faydalanarak yazabiliriz (Ders notlarna baknz).
1. 11 +
3. 33 +
(3 − 2) +
1. 1 +
denklemlerinde yerlerine yazlrsa,
− 2) = 0
Bu denklem sistemini Cramer kural ile çözerek A, B ve C genliklerini belirleriz.
Katsay determinant
4] − 0 4(20
=
4]
Elde edilir. Burad A=C olduuna dikkat ediniz. Bu sonuç problemin simetrisi ile de
uyumludur.
A, B ve C genliklerinin frekansna bal davranlar aadaki ekildeki gibi olacaktr
(ekil ölçekli deildir).
56
ÖRNEK-8
Kütlesi m olan iki özde parçaçk uzunluu l olan iplerle birbirine balanarak ekil-
1’deki gibi tavana aslmlardr. Sistem küçük genlikli salnm hareketi yapmaktadr.
Küçük genlikli salnm srasnda iplerdeki gerilimlerin statik durumdaki deerine göre
deimediini kabul ediniz. Küçük aç yaklamnda ≅ alnabildiini
biliyorsunuz.
ekil-1
21 2
b) 1 = ve 2 = eklinde harmonik çözümler olduunu kabul
ederek sistemim frekanslar 1,2 √(2 √2)/ olan iki tane normal modununun
olduunu gösteriniz ve bu modlar için B/A genlik orann belirleyiniz.
c) = 1,0 alarak iki titreim modunun periyotlarn hesaplaynz. Sonucu
= 1,0 uzunluklu basit sarkacn periyodu ile karlatrnz ( = 9,81 −2
alnz).
57
Çözüm:
Sistem denge durumundayken üsteki kütleyi tavana balayan ipteki gerilimin
1 = 2 ve alttaki kütlenin baland ipteki gerilimin ise 2 = olaca açktr
(ekil-2a). Küçük salnmlar durumunda bu gerilimlerin deimeyeceini kabul
edeceiz.
ekil-2
Üstteki kütleye etkiyen kuvvetin yatay bileeni için:
1 ≅ −11 + 22 = −1 1 + 2
2 − 1
2 ≅ −22 = −2 2 − 1
yazabiliriz (ekil-2b). Bu ifadelerde 1 ve 2deerleri yerine yazlarak
1 ≅ −2 1 +
2 − 1
= − 2 +
21 2
21 2
kullanlarak
(−2 + 3
) −
olmaldr. Bu denklemlerin çözümünün olabilmesinin gerek ve yeter koulu katsay
determinantnn sfra eit olmas gerekir:
| −2 +
3
2 − 4
59
12 =
i) 1 = √(2 − √2)


i)
ii)
elde ederiz.
= 2√/ ≅ 2,00
dir. Burada 1 > > 2 olduuna dikkat ediniz.
60
ÖRNEK-9
Kütleleri ve boylar eit ( = = = = ) iki fiziksel sarkaç ekildeki
gibi sarkaçlarn aslma ucundan h kadar aadan kuvvet sabiti k olan bir yay ile
birbirine balanarak çiftlenimli hale getiriliyor. Sarkaç çubuklarnn kütlelerinin ihmal
edilecek kadar küçük olduunu kabul ediniz. Burada kütlesi hafifçe saa doru xA
kadar, kütlesi ise xB kadar çekilip serbest braklyor. a) ve kütlelerinin bal
olduu sarkaçlar için hareket denklemini yaznz. b) Bu denklem sisteminin çözümünü
yapnz. c) Titreim modlarnn açsal frekanslarn belirleyiniz.
Çözüm:
Serbest durumda A ve B sarkaçlarn denge konumundan itibaren küçük θA ve θB açlar
kadar uzaklatrlp serbest brakldnda kütlelere etki eden geri çarc kuvvetleri için
= −
= −
= −
= −
olacaktr. Sarkaç kütleleri xA ve xB kadar saa çekildiinde çiftlenimi salayan yayn
boyundaki deiim − kadar olaca açktr. ekildeki üçgenlerden
=
=
⇒ =
− =
( − )
yazlabilir. Bu durumda çiftlenim yayndan dolay A ve B kütlelerine etkiyen kuvvetler
Hook yasasndan
= −
( − )
= −
( − )
Bu sonuçlar kullanlarak A ve B sarkaçlarnn etki eden toplam torklar ise
= + = − −
( − )
( − )
Bu ifadeler küçük aç yaklamnda ( ≅ , ≅ ; ≅ 1, ≅ 1)
= + = − −
( − ) = − −
( − ) = − −
( − )
yazlr. Burada I eylemsizlik momenti olup bu sistem için = 2 dir. Burada ≅

2( + )
2 +
ω1 2 =
= 1
ifadeleri elde edilir. Titreim modlarnn açsal frekanslar ise
1 = √
ekilde verilen sistemdeki 1 kütlesi sürtünmesiz masa üzerindedir ve kuvvet sabiti k
olan bir yayla O noktasndan duvara baldr. Kütlesi 2, uzunluu olan basit sarkaç
ise bir iple ekildeki gibi 1kütlesine baldr. Sistem serbest brakldnda ≈
≈ 2−1
edilmitir.)
a) 1 ve 2 kütlelerinin hareket denklemlerini yaznz.
b) 1 = 2 = özel durumu için sistemin normal modlarnn açsal frekanslarn
bulunuz.
ÇÖZÜM:
a) Bu çiftlenimli salncda 1kütlesine hem yay tarafndan −1 geri çarc kuvvet
hem de 2 kütleli sarkacn salnmn salayan 2 kuvveti etki etmektedir.
Burada küçük salnmlar koulu nedeniyle ≈ 2−1
alnabilir. Bu durumda 1
kütlesinin salnmn salayan net kuvvet için
= −1 +2 2 − 1
yazabiliriz. Newton’un ikici yasas kullanlarak 1 kütlesinin hareket denklemi için
1 1 = −1 +2 2 − 1
veya
= 0
yazabiliriz.
64
2 kütlesinin hareket denklemi için ise basit sarkaç örneinden de bildiimiz gibi
2 2 + 2 2−1
= 0
1 + (
1 + 2
1 ) 1 −
c)
eklinde harmonik çözümler olduu kabul edilerek
−2 + (
+
) −
65
yazlr. Bu denklem sisteminin çözümünün olmas için gerek ve yeter koul katsay
determinantnn sfra eit olmasdr:
2 =
2 +
1 = √
2 +