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Alonso Fernández Galián
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TEMA 5: LOS NÚMEROS COMPLEJOS
A partir del conjunto de los números naturales, 0, 1, 2, 3,…, se van introduciendo conjuntos nu-
méricos cada vez más generales para solucionar los distintos problemas que aparecen en la teo-
ría. Se tiene así, además del conjunto de los números naturales (ℕ), el conjunto de los números
enteros (ℤ), el de los racionales (ℚ) y finalmente el de los reales (ℝ). El último paso es la cons-
trucción del conjunto ℂ de los números complejos, que es el conjunto numérico más general que
puede concebirse.
5.1 INTRODUCCIÓN. LA UNIDAD IMAGINARIA
En esta sección vamos a justificar el interés por ampliar el conjunto de los números reales.
El problema. Para encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática es necesario calcular
previamente una raíz cuadrada:
a
Db
a
acbbxcbxax
22
40
22
De este modo, sucede que la ecuación puede tener dos, una o ninguna solución:
0D dos soluciones distintas.
0D una solución doble (dos soluciones iguales).
0D ninguna solución.
Sin embargo, para simplificar la teoría sería deseable que todas las ecuaciones cuadráticas tuvie-
ran dos soluciones (quizá iguales) lo que conduce directamente a la necesidad de considerar la
raíz cuadrada de un número negativo.
La solución. Queremos ampliar el conjunto de los números reales de manera que tenga sentido
considerar la raíz cuadrada de un número negativo.
? d
(donde d es positivo) La idea clave es observar que la raíz cuadrada de un número negativo
siempre se puede expresar a partir de 1 .
1 dd
Por ejemplo:
12144
13199
165,2177
De este modo, basta introducir un nuevo número i que sea igual a la raíz cuadrada de 1 :
1i
El número i se denomina unidad imaginaria.
Nota: Equivalentemente, se puede definir la unidad imaginaria como un número i tal que:
12 i
Matemáticas I
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Volvamos ahora a la cuestión inicial sobre el número de soluciones de una ecuación cuadrática.
Número de soluciones de la ecuación cuadrática. Según hemos visto, si ampliamos el conjunto
de los números reales ℝ añadiendo la unidad imaginaria se cumple que cualquier ecuación cua-
drática tiene dos soluciones (quizá iguales). Veamos varios ejemplos:
Nota: Se puede definir la unidad imaginaria, y en general el conjunto de los números complejos,
de un modo más formal; pero en la práctica se reduce a lo expuesto aquí.
•Ejemplo: Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:
(a) 0273 2 xx .
3/1
2
6
257
6
244970273 2
x
xxxxx
(b) 052 x .
5
55
2
52
2
20
2
2000052
x
xxxx
(c) 0962 xx .
3
3
2
06
2
06
2
363660962
x
xxxxx
(d) 01362 xx .
ix
ixi
ixxxx
23
2323
2
46
2
16601362
(e) 092 x .
ix
ixi
ixxx
3
33
2
6
2
360009 22
(f) 0562 2 xx .
ix
ix
ii
xxxx
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
4
26
4
460562 2
•Ejemplo: Expresar a partir de i las raíces cuadradas los primeros enteros negativos:
i1 ii 244 i77 i1010
i22 i55 ii 2288 i1111
i33 i66 ii 399 …
Tema 5: Los números complejos
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5.2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA
Se define la unidad imaginaria como un nuevo número igual a la raíz cuadrada de 1 o, equi-
valentemente, como un número cuyo cuadrado es igual a 1 . Se denota por i:
11 2 ii
A su vez, se define un número complejo como cualquier expresión que se obtenga operando
conjuntamente con los números reales y con la unidad imaginaria. Es fácil ver que todo número
complejo z puede expresarse en la forma:
biaz , (forma binómica de z)
donde a y b son números reales. Por ejemplo, son números complejos:
i52 i73 i5
3
5
1 i75,01 i25,3 i50
El conjunto de los números complejos se representa por ℂ. Es decir, ℂ babia ,/{ ℝ}.
Partes de un número complejo. Dado un número complejo biaz , los números a y b se de-
nominan parte real y parte imaginaria de z, respectivamente:
biaz
zdeimaginariaparteb
zderealpartea
:
:
Clasificación de los números complejos Notemos que un número complejo cuya parte imagina-
ria sea nula es simplemente un número real, iaa 0 . Por oposición, un número complejo con
parte imaginaria distinta de 0 se denomina número imaginario. Así:
Números reales, 0b .
Números complejos
biaz Números imaginarios, 0b .
En particular, un número imaginario con parte real nula se denomina número imaginario puro.
•Ejemplo: Escribe la parte real y la parte imaginaria de los siguientes números complejos:
(a) i52 (b) i4,03
Parte real: 2. Parte real: 3.
Parte imaginaria: 5. Parte imaginaria: 0,4.
(c) i 8 (d) i3
Parte real: 8 Parte real: 0.
Parte imaginaria: 1. Parte imaginaria: 3 .
(e) i6
5
3
1 (f) i5
Parte real: 3/1 Parte real: 0.
Parte imaginaria: 6/5 . Parte imaginaria: 5 .
Matemáticas I
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Representación gráfica de un número complejo. Un número complejo biaz puede repre-
sentarse gráficamente en el plano mediante el punto ba, , denominado afijo de z. El vector que
une el origen de coordenadas con el afijo de z se llama entonces vector de posición de z.
En este contexto, el plano coordenado se denomina plano complejo; y los ejes horizontal y ver-
tical se denominan eje real y eje imaginario, respectivamente.
El conjugado y el opuesto de un número complejo. A partir de un número complejo z se defi-
nen otros dos números especialmente útiles para hacer cálculos:
-El opuesto de un número complejo es el número que
tiene las partes real e imaginaria cambiadas de signo:
el opuesto de biaz es biaz
-El conjugado de un número complejo es el número
que tiene la parte real igual y la parte imaginaria
cambiada de signo:
el conjugado de biaz es biaz
•Ejemplo: Representar en el plano complejo los números iz 231 , iz 222 ,
iz 33 y iz 314 .
•Ejemplo: Clasifica como números reales o como números imaginarios los siguientes núme-
ros complejos:
i48 i3 i6
7
2
1 5 8,0 7 i25,1
Números reales: 8,0 y 7 .
Números imaginarios: i48 , i3 , i6
7
2
1 , i55 y i25,1 .
En particular, son imaginarios puros i3 y i55 .
Tema 5: Los números complejos
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5.3 OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA
Las operaciones entre números complejos se obtienen a partir de las operaciones con números
reales y del hecho de que 12 i . Veamos:
Suma: La suma de dos números complejos biaz y dicw es igual al número complejo
que tiene como parte real la suma de sus partes reales y como parte imaginaria la suma de sus
partes imaginarias:
idbcadicbiawz
Análogamente, la resta de dos números complejos se calcula restando las partes reales por un
lado y las partes imaginarias por otro. Alternativamente, podemos definir la resta como la suma
del opuesto:
wzwz
Es decir, para calcular wz cambiamos de signo a w y sumamos.
Nota: En la práctica, para sumar y restar números complejos es preferible operar paso a paso.
Nota: Gráficamente, la suma y la resta de números complejos corresponde a la suma y a la resta
de los respectivos vectores de posición.
Por ejemplo, representemos la suma y la resta
de los siguientes números complejos:
iz 4 y iw 31
Suma:
iiiwz 45314
Resta:
iiiwz 23314
Producto. Para multiplicar dos números complejos se aplica la propiedad distributiva utilizando
el hecho de que 12 i . Se llega así a que:
ibcadbdacdicbia
De nuevo, es preferible operar paso a paso en lugar de aplicar directamente la fórmula anterior.
•Ejemplo: Calcula las siguientes sumas de números complejos:
(a) iiiiiii 67246126412641 .
(b) iiiiiii 8231242123421234 .
(c) iiiiiii 49327327327 .
(f) 000662262626262 iiiiiii .
(e) iiiiiii 32474244724472
(g) iiiiiiii 220354434543454 .
Matemáticas I
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Cociente. Si multiplicamos un número complejo biaz por su conjugado, biaz , obte-
nemos un número real. Por ejemplo, dado iz 32 :
13949432323222 iiizz ℝ
Así, para dividir dos números complejos se multiplican numerador y denominador por el con-
jugado del denominador para que la unidad imaginaria desaparezca del denominador.
Inverso. Dado un número complejo z, su inverso es el número complejo zz /11 .
Nota: Desde un punto de vista algebraico, la resta y la división son operaciones superfluas, en el
sentido de que puede definirse a partir de la suma y de la multiplicación, respectivamente:
wzwz (restar es sumar el opuesto)
11 wzw
zw
z (dividir es multiplicar por el inverso)
De este modo, no es necesario estudiar propiedades específicas para estas operaciones.
•Ejemplo: Calcular el inverso de iz 24 :
iii
i
i
i
i
iizz
10
1
5
1
20
2
20
4
20
24
)2(4
24
24
24
24
1
24
1122
1
•Ejemplo: Calcular los siguientes cocientes de números complejos:
(a) iiii
i
ii
i
i
i
i
i
i
4
5
520
)1(4
24918
)(2
)2()29(
2
2
2
29
2
2922
(b) iiii
i
ii
i
i
i
i
i
i
10
9
10
3
20
186
)16(4
126126
)4(2
)42()33(
42
42
42
33
42
3322
•Ejemplo: Calcular wz / , donde:
iz 97 y iw 31
El conjugado de iw 31 es iw 31 . Por tanto:
iiii
i
ii
i
i
i
i
i
i
w
z32
10
3020
)9(1
279217
)3(1
)31()97(
31
31
31
97
31
9722
•Ejemplo: Calcular wz en los siguientes casos:
(a) iz 25 y iw 31 .
iiiiiiiiwz 17162155621553125 2
(b) iz 29 y iw 2 .
iiiiiiiiwz 7424362436223 2
Tema 5: Los números complejos
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5.4 FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
Veamos una manera alternativa de expresar un número complejo.
Módulo y argumento. A partir de la representación gráfica de los números complejos, se defi-
nen el módulo y el argumento de un número complejo de la siguiente manera:
-El módulo de biaz es la longitud de su vector de posi-
ción. Se denota por z .
22 baz
-El argumento de biaz es el ángulo que forma con el
semieje real positivo.
a
barctan
Nota: El argumento es un ángulo, y por tanto está definido salvo múltiplos de 360º.
•Ejemplo: Calcula el módulo y el argumento de los siguientes números complejos.
(a) iz 33 .
Módulo: 231833 22 z .
Argumento: º451arctan3
3arctan
. (z está en el primer cuadrante)
(b) iz 22 .
Módulo: 2284422 22z .
Argumento: º1351arctan2
2arctan
. (z está en el segundo cuadrante)
(c) iz 3 .
Módulo: 24131322
z .
Argumento: º3303
1arctan
. (z está en el cuarto cuadrante)
Matemáticas I
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Escritura de números complejos en forma trigonométrica. Un número complejo z puede
expresarse a partir de su módulo y su argumento. Veamos:
Dado un número complejo biaz con módulo rz y argumento , se tiene:
-Parte real:
coscos rar
a
-Parte imaginaria:
sen sen rbr
b
Por tanto:
sen cossen cos irirrbiaz
Es decir, cualquier número complejo puede expresarse en la forma:
sen cos irz (forma trigonométrica de z)
siendo r y , respectivamente, el módulo y el argumento de z.
•Ejemplo: Expresa en forma binómica el número complejo º30sen º30cos8 iz .
Debemos calcular el coseno y el seno de 30º y desarrollar la expresión:
ii
iiz 4342
8
2
38
2
1
2
38º30sen º30cos8
Así, iz 434 .
•Ejemplo: Expresa en forma trigonométrica los siguientes números complejos:
(a) iz 122 .
Módulo: 41612412222 zr .
Argumento: º603arctan2
32arctan
2
12arctan
.
La forma trigonométrica de z es, por tanto:
0º6sen º60cos4 iz
(b) iw 1 .
Módulo: 21122 wr .
Argumento: º.3151arctan1
1arctan
.
Por tanto:
315ºsen º315cos2 iz
Tema 5: Los números complejos
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5.5 PRODUCTO Y COCIENTE EN FORMA TRIGONOMÉTRICA
La suma y la diferencia de números complejos escritos en forma binómica no admite una expre-
sión sencilla. Sin embargo, el producto y el cociente son especialmente simples:
Producto de números complejos en forma trigonométrica: El producto de dos números com-
plejos tiene por módulo el producto de los módulos y por argumento la suma de los argumentos.
Es decir, dados sen cos irz y sen cos irw , se tiene:
sen cos irrwz
Demostración: Basta operar y aplicar las fórmulas trigonométricas de la suma de ángulos:
sen cossen cossen cossen cos iirririrwz
sen sen cossen sen coscoscos iirr
sen coscossen sen sen coscos irr
sen cos irr
donde en el último paso hemos usado las fórmulas de la suma de ángulos.
Cociente de números complejos en forma trigonométrica: El cociente de dos números comple-
jos tiene por módulo el cociente de los módulos y por argumento la diferencia de los argumen-
tos. Es decir, dados sen cos irz y sen cos irw , se tiene:
sen cos i
r
r
w
z
Demostración: El inverso de w es:
sen cos
sen cos
sen cos
11
sen cos
111
i
i
irirww
sen cos
1
1
sen cos1
sencos
sen cos1
sencos
sen cos12222
ir
i
r
i
ri
i
r
Por tanto:
sen cossen cos
11 ir
ri
rrwz
w
z
•Ejemplo: Dados 80ºsen º80cos4 iz y 30ºsen º30cos7 iz , calcular wz / .
º50senº50cos
7
4º30º80senº30º80cos
7
4ii
w
z
•Ejemplo: Dados 50ºsen º50cos2 iz y 70ºsen º70cos5 iz , calcular wz .
º120senº120cos10º70º50senº70º50cos52 iiwz
Pasando a forma binómica, tenemos iwz 355 .
Matemáticas I
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Nota (forma polar de un número complejo): La forma trigonométrica de un número complejo es
muy aparatosa. Por esta razón, en ocasiones se abrevia mediante la llamada forma polar:
rz (forma polar de z)
(en este contexto r y se denominan coordenadas polares de z). Por ejemplo, la forma polar de
135ºsen º135cos5055 iiz es, simplemente:
º13550z
De este modo, la multiplicación y la división de números complejos son especialmente breves:
rrrrwz
r
r
r
r
w
z
De todas formas, la forma trigonométrica muestra de manera más clara las propiedades geomé-
tricas de los números complejos, por lo que la preferiremos a la forma polar.
Interpretación geométrica del producto de números complejos. Al multiplicar dos números
complejos multiplicamos los módulos y sumamos los argumentos, lo que gráficamente corres-
ponde a una dilatación seguida de una rotación.
•Ejemplo: Considera el número complejo 45ºsen º45cos822 iiz .
Sea 60ºsen º60cos2 iw .
Al multiplicar z por w el módulo de z se multiplica por 2w y su argumento se aumenta
en º60 :
60º45ºsen 60º45ºcos28 iwz
Gráficamente:
Tema 5: Los números complejos
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5.6 POTENCIACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Veamos cómo calcular potencias de números complejos tanto en forma binómica como en for-
ma trigonométrica. Empecemos calculando las sucesivas potencias de la unidad imaginaria.
Potencias de la unidad imaginaria. El cuadrado de i es, por la propia definición de la unidad
imaginaria, igual a –1. A partir de esta relación se calcula el resto de potencias de i:
...
1
1
1
1
1
1
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 ii
i
ii
i
ii
i
ii
i
ii
i
ii
i
ii
Observemos que, en general, las potencias de i son periódicas de periodo 4.
Potencias en forma binómica: El binomio de Newton. Recordemos que las potencias de un bi-
nomio BA , donde A y B son dos números cualesquiera, se calculan mediante la fórmula del
binomio de Newton:
nnnnnnBA
n
nBA
n
nBA
nBA
nBA
nBA 01122110
1...
210
,
siendo
k
n los denominados coeficientes binómicos:
!!
!
knk
n
k
n
De esta forma podemos calcular directamente cualquier potencia de un número complejo escrito
en forma binómica, biaz .
•Ejemplo: Sea iz 52 . Calcular 3z .
3021120333 523
352
2
352
1
352
0
352 iiiiiz
ii 1251
3
3252
2
354
1
318
0
3
ii 1253
350
2
320
1
38
0
3
[…]
•Ejemplo: Calcular 275i .
Debemos dividir 275 entre 4:
683
4275
Por tanto, 3684275 . Así:
iiiiiii 3336843684275 1
Matemáticas I
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Nota: Los coeficientes binómicos para el exponente n son las entradas de la n-ésima fila del
triángulo de Tartaglia.
Potencias de números complejos en forma trigonométrica. Una potencia es un producto con
todos sus factores iguales, zzz n ... . Así, a partir de la fórmula del producto, se deduce que
la potencia n-ésima de un número complejo en forma trigonométrica, sen cos irz , es:
ninrirz nnn sen cossen cos
Esta expresión, llamada a veces fórmula de Moivre, es claramente una ventaja de la forma trigo-
nométrica frente a la forma binómica en el cálculo de potencias de números complejos.
Para calcular potencias de un número en forma binómica podemos pasarlo previamente a forma
trigonométrica.
•Ejemplo: Dado iz 31 , calcular 4z .
(i) Expresemos z en trigonométrica.
r 2
α 60
Por tanto:
z 2(cos 60 i sen 60).
(ii) Así, la potencia cuarta de z es:
z4 24 [cos (4·60) i sen (4·60)] 16 [cos 240 i sen 240]
(iii) Finalmente, expresamos el resultado en forma binómica:
_
z4 16 [cos 240 i sen 240] – 8 – 83 i
•Ejemplo: Sea º50sen º50cos2 iz . Calcular 4z :
00º2sen º200cos16º504sen º504cos244 iiz
[…]
Calculemos ahora los coeficientes binómicos:
1)123(1
123
!3!0
!3
)!03(!0
!3
0
3
. 3
1)12(
123
!1!2
!3
)!23(!2
!3
2
3
.
3)12(1
123
!2!1
!3
)!13(!1
!3
1
3
. 1
1)123(
123
!0!3
!3
)!33(!3
!3
3
3
.
Así, finalmente:
z3 (2 5i)3 1·8 3·20i – 3·50 – 1·125i 8 60i – 150i – 125i – 142 – 65i
Tema 5: Los números complejos
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5.7 RADICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Para calcular la raíz de un número complejo z se emplea su forma trigonométrica:
sen cos irz
Queremos calcular n zw , es decir, un número w tal que zwn . Si la forma trigonométrica
de w es sen cos isw , se tiene:
sen cossen cos irninszwzw nnn
Los módulos y los argumentos deben ser iguales. Además, recordemos que el argumento está
definido salvo múltiplos de 360º (es decir, salvo rotaciones en la circunferencia). Así:
n
k
rs
knrszw
n
nn
º360º360y
El número k puede tomar, en principio, cualquier valor entero. Pero se comprueba que a partir
de nk los argumentos se repiten. Así, el número z tiene exactamente n raíces n-ésimas:
n
ki
n
krw n
k
º360sen
º360 cos
.1,...,2,1,0 nk
Nota: En lugar de aplicar directamente la expresión anterior, es preferible calcular por separado
el módulo y los argumentos de las n raíces.
•Ejemplo: Calcular las raíces cúbicas de º210sen º210cos8 iz .
El número z tiene 3 raíces cúbicas, 0w , 1w , 2w , de la forma:
3
º360º210sen
3
º360º210 cos83 k
ik
wk
El módulo de las raíces es 283 .
Los argumentos son:
º703
0º360º210
º190
3
1º360º210
º310
3
2º360º210
Las tres raíces cúbicas de z son, por lo tanto:
0º7sen º70 cos20 iw , 190ºsen 190º cos21 iw , 10º3sen 10º3 cos22 iw
Nota: Gráficamente, las raíces cúbicas de un número complejo son los vértices de un polígo-
no regular de 3 lados (es decir, de un triángulo equilátero):
Matemáticas I
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ANEXO: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS CON RAÍCES COMPLEJAS
Según vimos en la introducción, admitiendo soluciones complejas toda ecuación cuadrática tie-
ne exactamente dos soluciones, quizá iguales. Equivalentemente, podemos afirmar que el poli-
nomio cbzazzP 2)( tiene exactamente dos raíces:
a
Dbz
a
Dbz
a
DbzcbzazzP
2
2
200)(
2
12
El polinomio cbzazzP 2)( se factoriza entonces como 21)( zzzzazP .
El resultado anterior se generaliza de la siguiente manera:
Nota: Que sepamos que existen n raíces no significa que sea fácil encontrarlas. Presentamos a
continuación varios ejemplos muy preparados.
El teorema fundamental del Álgebra: Un polinomio de grado n, )(zP , tiene exactamente n
raíces, nzzz ...,,, 21 , con algunas de ellas quizá repetidas. La factorización del polinomio es,
por lo tanto:
nzzzzzzazP ...)( 21
Además, si los coeficientes de )(zP son números reales, se tiene:
-Si n es impar, )(zP tiene al menos una raíz real.
-Las raíces complejas de )(zP son conjugadas dos a dos.
•Ejemplo: Factoriza los siguientes polinomios:
(a) 294)( 2 zzzP .
Las raíces de )(zP son:
02940)( 2 zzzP … iziz 52,52 21 .
Por tanto, izizzP 5252)( .
(b) 685)( 23 zzzzP .
Usando la regla de Ruffini se tiene 223)( 2 zzzzP . Calculemos ahora las raíces
del factor cuadrático:
0222 zz … iziz 1,1 21
Por tanto, izizzzP 113)( .
(c) 1)( 4 zzP .
Utilizando dos veces la identidad notable de la diferencia de cuadrados se obtiene:
izizzzzzzzP 11111)( 224
Tema 5: Los números complejos
- 15 -
Introducción. La unidad imaginaria
1. Expresa las siguientes raíces a partir de la unidad imaginaria, 1i :
(a) 49 (b) 100 (c) 15 (d) 20 (e) 4
25 (f)
9
7
2. Recordando que 12 i , calcula 3i , 4i y 5i .
3. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas con soluciones imaginaras:
(a) 01022 xx (b) 0502 2 x (c) 066 2 x (d) 027102 xx
Los números complejos en forma binómica
4. Escribe cuál es la parte real y cuál la parte imaginaria de los siguientes números complejos
escritos en forma binómica:
(a) i53 (b) i2 (c) i3
1
3
2 (d)
2
1 i (e) i5 (f) 7
5. Indica en cada caso cuánto deben valer x e y para que los pares de números complejos sean
iguales.
(a) ixi 6y61 (b) yixi y54 (c) yixi y6 (d) yix y3
6. Clasifica los siguientes números complejos en números reales y números imaginarios.
Después, indica cuáles de los números imaginarios son imaginarios puros.
17
5
2
1912432 iiii
ii
023
581334
Representación en el plano complejo
7. Representa en el plano los siguientes números complejos:
iz 241 , iz 212 , iz 353 , 54 z , iz 25 . iz 56 .
8. Calcula en cada caso el opuesto y el conjugado de z.
(a) iz 23 . (b) iz 51 . (c) iz 35 .
9. Calcula el opuesto y el conjugado de iz 42 y represéntalo.
10. Sea yixz . ¿El conjugado del opuesto de z es igual al opuesto del conjugado de z?
11. ¿Puede un número complejo ser igual a su conjugado?
EJERCICIOS DEL TEMA 5
Matemáticas I
- 16 -
Operaciones en forma binómica
12. Realiza las operaciones siguientes:
(a) )43()51( ii (b) )3()25( ii (c) )28()68( ii
(d) )32()2( ii (e)
ii
5
1
9
4
3
7 (f) i
i
2
3
35
13. Realiza las operaciones siguientes:
(a) )57()22()31( iii (b) )43()25()42( iii
14. A partir de los números complejos iz 21 y iw 3 , calcula wz , y representa
gráficamente la operación.
15. Sean los números complejos iz 23 y iw 4 . Representa gráficamente wz y wz .
16. Sean
iz 31 y iw 24 ,
Calcula wz , wz , wz y wz .
17. Calcula los siguientes productos:
(a) ii 4326 (b) 8 ii 274
(c) ii 3232 (d)
ii
3
1231
18. Calcula los siguientes productos:
(a) iii 1512 (b) iii 322 (c) iii 4122
19. Determina el valor de x para que el producto )4)(23( xii sea:
(a) Un número real.
(b) Un número imaginario puro.
20. Calcula:
(a) i
i
43
26
(b)
i
i
2
47 (c)
i53
8
21. Calcula:
(a) i
i
23
23
(b)
i
i
24
36
(c)
i
i
2
25
22. Calcula el inverso, 1z , de iz 43 .
23. Determina x para que el cociente i
xi
43
14
esté en la bisectriz del primer cuadrante.
Tema 5: Los números complejos
- 17 -
24. Calcula a y b para que se cumpla que ibi
ia81
1
10
.
25. Opera:
(a) )31(
3020
ii
i
(b)
3
3
1
)23(
i
ii
(c) 2)28( i
26. Sean los siguientes números complejos:
iz 251 , iz 32 , iz 323 , iz 434 .
Calcula:
(a) 2
31
z
zz (b)
i
zz 412 (c) 31 zz (d) 44
23 zzz
27. Obtener el valor de x para que xi
ix
1
)1(2 sea un número real.
Forma trigonométrica de un nº complejo
28. Calcula el módulo y el argumento de los siguientes números complejos.
(a) iz 31 (b) iz 232 (c) iz 44 (d) iz 7
29. Escribe en forma trigonométrica los siguientes números complejos:
(a) iz 1 (b) iz 3 (c) 5z (d) iz 2
30. Expresa en forma binómica los siguientes números complejos:
(a) 300ºsen º300cos3 iz
(b) 240ºsen º240cos6 iz
Operaciones en forma trigonométrica
31. Considera los siguientes números complejos:
120ºsen º120cos31 iz
30ºsen º30cos22 iz
15ºsen º15cos33 iz
240ºsen º240cos84 iz
Calcula y expresa los resultados en formas trigonométrica y binómica:
(a) 21 zz (b) 32 zz (c) 21 / zz (d) 142 /)( zzz
Potenciación y radicación de números complejos
32. Calcula las siguientes potencias de la unidad imaginaria:
(a) 3i (b)
7i (c) 9i (d)
12i (e) 83i (f)
144i (g) 261i (h)
398i
Matemáticas I
- 18 -
33. Sea iz 3 . Calcula 3z de dos formas:
(a) Mediante la fórmula del binomio de Newton.
(b) Mediante la fórmula de Moivre.
34. Calcula las siguientes potencias:
(a) 41 i (b) 10
1 i (c) 61 i
35. Calcula las cuatro raíces cuartas de –16.
Varios
36. La suma de un número complejo con su conjugado es 8, y la diferencia es 10i. ¿De qué
número se trata?
37. Dados los números
º180sen º180cos3 iz y º54sen º45cos3 iw ,
(a) calcula wz
(b) calcula w
z
(c) calcula z
w 4
(debes expresar los resultados en formas trigonométrica y binómica)
38. Calcula:
53 i 51 i .
39. Calcula a para que i
ia
125
2
sea un número imaginario puro.
40. Encuentra todos los números reales x e y que verifican que yixyix
yix
. Después,
expresa en forma trigonométrica y polar los números yix y yix .
__
41. La suma de dos números complejos es 4, y sus módulos son 5 y 17. Encuentra dichos
números.
