5.1 Konsep Anti Turunan - MatikZone · teknik-teknik dasar integrasi, dan integral tertentu. Ada delapan teknik dasar yang akan dipelajari, yaitu metode u-substitusi, integral bagian,

Bagian 5Integrasi

Dalam bagian 5 Integrasi, kita akan mempelajari konsep dasar integrasi, teknik-teknik dasar integrasi, dan integral tertentu. Ada delapan teknik dasar yang akan dipelajari, yaitu metode u-substitusi, integral bagian, integral sin dan cos berpangkat, integral sec dan tan berpangkat, integral fungsi trigonometri, integral fungsi rasional, integral fungsi hiperbolis, dan integral dengan berbagai macam substitusi. Penguasaan teknik integrasi yang sempurna akan membantu Anda dalam mengikuti mata kuliah lain, yaitu Matematika II, Matematika III, Matematika IV, Analisa Struktur, dan Hidrolika. Kompetensi yang diharapkan setelah Anda menyelesaikan bagian 5 Integrasi adalah Anda akan mampu : 1. Menjelaskan kembali prinsip anti turunan 2. Menyelesaikan soal integral tak tentu dengan menggunakan delapan

teknik dasar integrasi. 3. Menghitung integral tertentu.

5.1 Konsep Anti Turunan

Isaac Newton (1669) mengemukakan permasalahan integrasi dalam De Analysi per Aequetiones Numero Terminorum Infinitas yang dipublikasikan tahun 1711. Leibniz menemukan tahun 1673 dan dipublikasikan 11 November 1675. Seperti telah dikemukan pada bagian sebelummnya, konsep integral dibangun dari permasalahan menghitung luas.

Kita pandang suatu masalah:

A’(x) = h

xAhxAh

)()(0

lim −+

→

Matematika Teknik 1\Integrasi 70

Secara sederhana, pandang kasus dimana h > 0. Pembilang pada sisi kanan persamaan dibedakan atas dua luasan. Luasan antara a dan (x + h) dikurangi luasan antara a dan x. Jika dimisalkan c adalah titik tengah antara x dan (x + h) maka perbedaan luasan ini dapat diperkirakan dengan luasan segiempat dengan dasar h dan tinggi f(c). Jadi

=−+

hxAhxA )()(

hhcf ).(

Hal ini kelihatannya masuk akal, bahwa kesalahan dalam memprkirakan persamaan tersebut akan mendekati nol sebagaimana h→0 .

Al’(x) = h

xAhxAh

)()(0

lim −+

→

hcf

h

)(lim

0→=

Karena c adalah titik tengah antara x dan (x + h), hal tersebut menyatakan bahwa c→0 sebagaiman h→0. Tapi kita mempunyai asumsi f akan menjadi sebuah fungsi yang kontinu, jadi f(c)→f(x) sebagaimana c→x. Oleh karena itu:

0hlim(x)A1'→

= f(x)h

f(c)=

Sebuah fungsi dinamakan anti turunan dari fungsi f dalam selang yang diberikan jika F’(x) = f(x) untuk semua nilai x pada interval tersebut. Contoh 5.1 Carilah antiturunan fungsi x2 Penyelesaian Fungsi-fungsi x3/2 + 1, x3/3 – π, x3/3 – C adalah anti turunan pada interval (-≈, +≈) untuk fungsi f(x) = x2. Contoh-contoh tersebut memperlihatkan bahwa sebuah fungsi dapat mempunyai banyak anti turunan. Dalam kenyataannya, jika F(x) adalah sembarang anti turunan f(x) dan C adalah sembarang konstanta, maka: F(x) + C adalah juga anti turunan fungsi f(x). Dengan kata lain setiap anti turunan f(x) pada suatu interval dinyatakan dalam bentuk seperti di atas dengan C adalah konstanta. Proses untuk mendapatkan anti turunan ini dinamakan antidifferensiasi atau integrasi yang biasanya ditulis sebagai berikut:

∫ += CxFxf )()(


∫ adalah lambang integrasi, f(x) dinamakan integran, dan C konstanta

Pernyataan di atas dibaca: Integrasi tak tentu f(x) sama dengan F(x) + C.

Rumus-rumus Integral Tak Tentu

Rumus Differensiasi Rumus Integrasi

[ ] 1=xdxd ∫ += Cxdx

rxr

rxdxd

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+

1

1 ∫ +

+

+= C

r

rxdxrx1

1

[ ] xxdxd cos)sin( = ∫ += Cxdxx )sin()cos(

[ ] )sin()cos( xxdxd

=− ∫ += Cxdxx )sin()sin(

[ ] )(2sec)tan( xxdxd

= ∫ += Cxdxx )tan()(2sec

[ ] )(2cos)(cot xecxgdxd

=− ∫ +−= Cxgdxxec )(cot)(2cos

[ ] )tan().sec()sec( xxxdxd

= Cxdxxx +=∫ )sec()tan().sec(

[ ] )(cot).(cos)(cos xgxecxecdxd

=− ∫ +−= Cxecdxxgxec )(cos)(cot).(cos

Integrasi tak tentu mempunyai sifat-sifat:

∫ ∫= dxxfCdxxfC ).()(.

[ ]∫ ∫ ∫±=± dxxgdxxfdxxgxf )().()()(

Contoh 5.2 Evaluasi dan ∫ dxx .3 ∫ dx. Penyelesaian:

Cxdxx +=∫ 43

41.

Cxdx +=∫ . Bentuk lain integrasi dapat dinyatakan sebagai berikut.

∫ += CtFdttf )().(


Contoh 5.3

Evaluasi ∫ dxx

.13

Penyelesaian:

∫ dxx

.13 C

xCxCxdxx +−=+

−=+

+−=

−+−−∫ 2

2133

21

213.

Contoh 5.4 Evaluasi ∫ ++ dxxx ).1( 23

Penyelesaian:

∫ ++ dxxx ).15( 23 ∫∫∫ ++= dxdxxdxx .1.5. 23

( )CxCxCx ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += 34

31.5

41

Cxxx +++= 34

35

41

Latihan Soal 5.1

Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Evaluasi integrasi di bawah ini.

1. 2. ∫ dxx .6 dxx

.17∫

3. 4. dxx .9/5∫ dxxx ..3∫

5. 6. duuu .)73( 3∫ +− dxxxx .)tan(secsec∫ +

7. dxxx.

cos2sin

∫ 8. dtt

t .213

3

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

5.2 Integrasi U-substitusi

Integrasi u-substitusi merupakan teknik yang paling mudah dalam menyelesaikan persoalan integral. Kita memilih fungsi permisalan u dari sebuah integran. Jika fungsi u sudah dipilih, selanjutnya semua unsur yang mengandung nilai x kita gantikan dengan nilai u. Langkah-langkah penyelesaian teknik integrasi u-substitusi adalah: a. Pilih fungsi yang diganti, misalkan u = g(x) b. Hitung du/dx = g’(x) c. Buat substitusi u = g(x) dan du = g’(x)dx


d. Evaluasi proses integrasi e. Gantikan u oleh g(x) untuk jawaban akhir dalam x.

Contoh 5.5

Evaluasi ∫ + xdxx 250)12( Penyelesaian :

∫ + xdxx 250)12( misal : u = x2 + 1 du = 2x dx

( )∫ + 2xdx1x 502 = u.du50

∫

= C51u15

+

= ( ) C

511x 512

++

Contoh 5.6 ( )∫ + .dx9xSin Evaluasi

Penyelesaian :

( )∫ + .dx9xSin misalkan : u = x + 9 du = dx

( )∫ + .dx9xSin = ∫Sin(u).du = - Cos (u) + C = - Cos (x + 9) + C Contoh 5.7

.dxx

xCos∫Evaluasi

Penyelesaian :

.dxx

xCos∫ misalkan : u = √x

2du = dxx

1

∫ .dxx

xCos = ∫Cos(u).2du

= 2Sin(u) + C = 2Sin √x + C


Latihan Soal 5.2 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Selesaikan soal integral di bawah ini dengan menggunakan teknik integral u-substitusi.

1. ∫ dxxx

.sin1 2. ∫

+dx

xx .

543

2

2. 4. ∫ +++ dxxxx .)57)(72( 5/42 ∫ + dxxx .12

3. ∫ + dxxx .21 2 6. ∫ −dx

x.

)31(1

2

5.3 Integrasi Bagian Teknik integrasi bagian umumnya dilakukan jika kita menjumpai integran terdiri dari dua fungsi yang berbeda. Untuk integran yang terdiri dari dua buah fungsi, ada bagian integran yang dimisalkan sebagai fungsi u=g(x) dan unsur yang lain dimisalkan sebagai dv. Rumus umum untuk menyelesaikan soal integrasi bagian adalah:

∫ ∫−= duvvudvu ... Dalam hal ini kita harus hati-hati menentukan mana fungsi permisalan u dan mana bagian yang merupakan dv. Contoh 5.8 Evaluasi ∫ .Cos(x).dxex

Penyelesaian:

∫ .Cos(x).dxex misal u = ex du = ex dx dv = Cos (x) dx v = Sin (x)

∫ .Cos(x).dxex ∫= dvu.

= ∫− du.vv.u

( ) ∫−= dxexSinxSine xx .).(. misal u = du = ex dx dv = Sin (x).dx v = -Cos (x) [ ]∫ −−−−= dxexCosxexe xxx .).(cos.sin.


∫ .Cos(x).dxex = 0,5ex.Sin (x) + 0,5ex.Cos (x) + C Contoh 5.9 Evaluasi ∫ .dxx.ex

Penyelesaian:

∫ .dxx.ex misal: u = x du = dx dv = ex.dx v = ex

∫ .dxx.ex ∫= u.dv

∫−= v.du.vu

∫−= dxeex xx ..

Ceex xx +−= . Berdasarkan dua contoh di atas, dapat dibuat kesimpulan, bahwa penyelesaian soal integral dengan menggunakan teknik integrasi bagian akan menjumpai 3 (tiga) kemungkinan jawaban, yaitu: 1. Jika integral hasil ( ∫ duv. ) lebih sederhana dari integral soal ( ∫ dvu. ),

maka permisalan fungsi u dan dv sudah betul. Penyelesaian dapat diteruskan untuk mendapatkan jawaban akhir.

2. Jika integral hasil ( ∫ duv. ) setara dengan integral soal ( ∫ dvu. ), maka permisalan fungsi u dan dv sudah betul. Penyelesaian dapat diteruskan untuk mendapatkan jawaban akhir. Pada langkah selanjutnya akan ada hasil integrasi yang digabungkan dengan soal.

3. Jika integral hasil ( ∫ duv. ) lebih rumit dari integral soal ( ∫ dvu. ), maka permisalan fungsi u dan dv salah. Gantilah permisalan fungsi u dan dv untuk mendapatkan penyelesaian yang benar.

Untuk bentuk soal seperti contoh 5.9 dengan xn, dapat digunakan rumus reduksi:

∫∫ −−= dxexnexdxex xnxnxn .. 1

Latihan Soal 5.3 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Evaluasi integral berikut dengan menggunakan teknik integral bagian. 1. 2. ∫ − dxxe x . ∫ − dxex x .22

3. ∫ dxxx .ln 4. ∫ dxxx .sin


5. 6. ∫ dxxx .4sin ∫ + dxx ).32ln(

7. 8. ∫ dxxx .sin2 ∫ dxx).sin(ln

5.4 Integrasi Sin dan Cos Berpangkat Teknik integrasi sin dan cos berpangkat digunakan untuk menyelesaian persoalan integrasi fungsi sinus dan cosinus berpangkat banyak yang mempunyai bentuk ∫ dxxn .sin , ∫ dxxn .cos , dan ∫ dxxx nm .cos.sin . Dalam hal membuat penyelesaian, kita kadang-kadang memerlukan bantuan persamaan identitas trigonometri.

))2cos(1(21)(sin 2 xx −= ))2cos(1(

21)(cos2 xx +=

Contoh 5.10 Evaluasi ∫ dx.xSin4

Penyelesaian:

∫ dx.xSin4 [ ]∫= dxxSin .22

∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= dxxCos .))(1(21 2

( )∫ +−= dxxCosxCos .)2()2(2141 2

dxxCosxCos .)4(21

21)2(21

41∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=

CxSinxSinx ++−= )4(321)2(

41

83

Untuk fungsi sinus dan cosinus yang berpangkat lebih banyak, penyelesaian tidak menjadi sederhana lagi. Untuk memudahkan dalam mencari jawaban, kita menggunakan formula reduksi.

∫∫ −− −+−= dxx

nnxx

ndxx nnn .sin1cos.sin1.sin 21

∫∫ −− −+= dxx

nnxx

ndxx nnn .cos1sin.cos1.cos 21

Untuk persoalan integral yang dinyatakan dalam bentuk , prosedur penyelesaian sangat bergantung kepada nilai m dan nilai n. Tabel di bawah ini memperlihatkan kepada Anda tentang langkah-langkah penyelesaian.

∫ dxxx nm .cos.sin


ian Persamaan identitas Kondisi Langkah penyelesa

Jika n gan

= sin x

xx 22 sin1cos −=

jil • Pisahkan faktor cos x • Gunakan persamaan

identitas yang sesuai • Buatlah permisalan u

Jika m ganjil

cos x

xx 22 cos1sin −=

• Pisahkan faktor sin x • Gunakan persamaan

identitas yang sesuai • Buatlah permisalan u =

Jika n dangenap

urangi pangkat sin dan

n akan

formula reduksi

m • Gunakan persamaan identitas yang sesuai untuk mengcos.

• Sederhanakan persoaladengan menggun

( ))2cos(1sin 212 xx −=

( ))2cos(1cos 212 xx +=

Contoh 5.11

valuasi ∫ dxxx .cossin 54

Penyelesaian: n bernilai 5 (ganjil), jadi penyelesaian menggunakan

alternatif satu.

E

∫ dxx .cossin 54 x

∫ dxxx .cossin 54 ∫ −= dxxxx .cos)sin1(sin 224

∫ −= duuu .)1( 224

∫ +−= duuuu ).2( 864

Cuuu ++−= 975

91

72

51

Cxxx ++−= 975 sin91sin

72sin

51

Latihan Soal 5.4

Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!!

gral berikut dengan menggunakan teknik integral sin dan cos pangkat.

Evaluasi inteber1. 2. ∫ dxxx .sincos5 ∫ dxx.3cos2

3. 4. ∫ dxxx .sincos 22 ∫ dxxx .cossin 34

5. 6∫ dxaxax .cossin . ∫ dxxx .2cossin


5.5 Integrasi Tan dan Sec Berpangkat Teknik integrasi tan dan sec berpangkat digunakan untuk menyelesaian persoalan integrasi fungsi tangen dan secant berpangkat banyak yang mempunyai bentuk ∫ dxxn .tan , ∫ dxxn .sec , dan ∫ dxxx nm .sec.tan . Dalam membuat penyelesaian, kita kad

)(tan 2 =xa

entitas trigonometri

k memudahkan dalam mencari jawaban, ita menggunakan formula reduksi.

ng-kadang me1)(2 −x .

merlukan bantuan persamaan secid

Untuk fungsi tangen dan secant yang berpangkat lebih banyak, penyelesaian tidak menjadi sederhana lagi. Untuk

∫∫ −−

−−

+−

= dxxnn

nxxdxx n

nn .sec

12

1tan.sec.sec 2

2

∫ −−

−−

= dxxn

xdxx nn

n .tan1

tan.tan 21

12

∫ Contoh 5.

valuasi ∫ dxx.sec3

Penyelesaian: n bernilai 3

E

∫ dxx.sec3

∫ dxx.sec3 ∫+= dxxxx .sec21

2tansec

Cxxxx +++= tansecln21tansec

21

Contoh 5.13

valuasi ∫ dxx.tan5

Penyelesaian:

E

∫ dxx.tan5 ∫−= dxxx .tan4

tan 34

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−= ∫ dxxxx .tan

22tan

4tan 4

Cxxx++−= secln

2tan

4tan 24

Untuk persoalan integral yang dinyatakan dalam bentuk ∫ dxxx nm .sec.tan , prosedur penyelesaian sangat bergantung kepada nilai m dan nilai n. Tabel di


bawah ini memperlihatkan kepada Anda tentang langkah-langkah penyelesaian.

Kondisi Langkah penyelesaian Persamaan identitas

Jika n genap • Pisahkan faktor sec2 x • Gunakan persamaan identitas

yang sesuai • Buatlah permisalan u = tan x

1tansec 22 += xx

Jika m ganjil • Pisahkan faktor sec x tan x • Gunakan persamaan identitas

yang sesuai • Buatlah permisalan u = sec x

1sectan 22 −= xx

Jika m genap dan n ganjil

• Gunakan persamaan identitas yang sesuai untuk mengurangi pangkat sec x

• Sederhanakan persoalan dengan menggunakan formula reduksi

1sectan 22 −= xx

Contoh 5.14 Evaluasi ∫ dxxx ).(sec).(tan 42

Penyelesaian :

∫ dxxx ).(sec).(tan 42 ∫= dxxxx ).(sec).(sec).(tan 222

( )∫ += dxxxx ).(sec1)(tan).(tan 222 misalkan : u = tan (x) du = sec2 (x) dx

∫ += duuu ).1( 22

Cuu ++= 35

31

51

CxTanxTan ++= )(31)(

51 35

Latihan Soal 5.5 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Evaluasi integral berikut dengan menggunakan teknik integral tangen dan secant berpangkat. 1. 2. ∫ + dxx ).13(sec2 ∫ dxxx .sectan 22

2. 4. ∫ dxxx .sectan 45 ∫ dxxx .tansec 35


5. 6 ∫ dxxx .sectan5 . ∫ dxx.sectan 4

5.6 Integr

aimana mengevaluasi integral akan dalam bentuk:

asi Substitusi Trigonometri

ada bagian ini kita akan memperlihatkan bagPyang integrannya dinyat

( )22 ( )22 ( )22xa − xa + ax − dengan membuat substitusi dari fungsi trigonometri. Tabel di ba membantu Anda dalam mempelajari bagian ini.

Ungkapan Integral P

wah ini akan

Substitusi embatasan θ Identitas Trigonometri

( )22 xa − x = a Sin θ -π/2 < θ < π/2 a2 – a2 Sin2θ = a2Cos2θ

( )22 xa + x = a Tan θ -π/2 < θ < π/2 a2 + a2 Tan2θ = a2Sec2θ

( )22 ax − x = a Sec θ 0 < θ /2 if x > a π < θ < 3π/2 if x <-a a2 Sec2θ - a2 = a2Tan2θ < π

Contoh 5.15

∫ − )x4(xdx

22 Evaluasi integrasi

Penyelesaian:

∫ − )x4(xdx

22 misalkan : x = 2 Sin θ dx = 2 Cos θ dθ

∫ − )x4(xdx

22

( ) ( )∫−

=)(4Sin4)2Sin(

.d2cosθ θ22 θθ

)( ) (∫= )(2)(2)(2 θ θ

2 θθ CosSindCos

∫= θ.dθCsc2

( )C

xx

+−

=4

4 2

Contoh 5.16

( )∫ + 22 axdx

Evaluasi integral

Penyelesaian:


( )∫ + 22 axdx

misalkan : x = a Tan θ …. dx = a Sec2 θ dθ

( )∫ + 22 axdx

( )∫

+=

22

2

)(

).(

aaTan

daSec

θ

θθ

( )∫+

=1)(

.d22

2

θ

θθ

TanaaSec

∫= Se θθ dc ).(

= ln | )(Tan)(Sec θ+θ | + C’

( ) xax 2 ++= ln | | + C

Latihan Soa

l 5.6

Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih

ban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!!

knik in grasi substitusi trigonometri.

diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawa

Evaluasi integral di bawah ini dengan menggunakan te te

1. ∫ − dxx 24 2. ∫−

dxx

x

2

2

39

∫− 22 16 xx

dx 4. ∫

+ 2522 xxdx

3.

5. ∫− 22 16 xx

dx 6. ∫

+ 2522 xxdx

5.7 Integr

da dua macam bentuk persamaan rasional yang harus diperhatikan dalam persamaan fungsi rasional dengan

aktor Linier, bentuk : (ax + b)m Untuk fungsi rasional yang faktor-faktornya linier, maka pecahan dari faktor tersebut ditulis dalam bentuk:

asi Fungsi Rasional

Amenyelesaikan persoalan integrasi, yaitu faktor linier dan persamaan fungsi rasional dengan faktor kuadrat. F

( ) mm

33

221

)bax(A......

)bax(A

)bax(A

baxA

+++

++

++

+


Contoh 5.17

Evaluasi ∫ −+ 2xx

enyelesaian:

dx2

P

∫ −+ 2xxdx

2

tegran dapat juga ditulis dalam bentuk berikut : In

)2x(B

)1x(A11

==x )1x)(2x(2x +−−+−+2 +

1 = (x + 2)A 1)B ………….. A = 1/3 dan B = -1/3

lis menjadi :

Bilangan A dan B yang kita cari :

+ (x –

Sehingga soal dapat ditu

∫ −+ 2xxdx

2 = ∫ ∫ ++

−dx

2xBdx

1xA

= ∫ ∫ +−

− 2xdx

31

1xdx

31

= C2x1xln

31

++−

ontoh 5.18C

Evaluasi ∫ −+ dx

x2x4

23

enyelesaian:

x2

P

∫ −+ dx4x2

x2x 23

tegran dapat ditulis menjadi: In

2xC

xBA4x24x2++=

x)2x(xx2 −− 2223+

=+

x −

2x + 4 = (A + C)x2 + (- + B)x – 2C …… A = -2 B = -2 C = 2

lis menjadi :

2x + 4 = Ax(x – 2) + B(x -2) + Cx2

2A

Sehingga soal dapat ditu

∫ −+ 4x2 dx23 = ∫ ∫ ∫ −

+−−2x

dx2xdx

xdx2 2

x2x

= C|2x|ln2x2|x|ln2 +−++


= Cx

ln2x

++ 2x2 −

2 + bx + c)m

Untuk fungsi rasional yang faktor-faktornya kuadrat, maka pecahan dari faktor tersebut ditulis dalam bentuk:

Faktor kuadrat, bentuk : (ax

( ) ( ) ( )m2mm

3233

2222

1211

cbxax cbxaxBxA.......

)cbxax(BxA

cbxaxBxABxA

++

+++

+++

+++

++

+

ontoh 5.19

++

C

Selesaikan ∫ −+−−+ dx

1x3xx32xx

23

2

Penyelesaian :

∫ −+−−+ dx

1x3xx32xx

23

2

Integran dapat ditulis dalam bentuk :

1x1x3)1x)(1x3(1x3xx3 +−+−−+−C2

2223 =−

C)(3x – 1)

+ 3C)x + (A – C)

diperoleh A = -7/5 4/5 C = 3/5 Sehingga soal dapat ditulis menjadi:

BxA2xxxx 22 ++=

−++

x2 + x -2 = A(x2 +1) + (Bx + = (A + 3B)x2 + (-B

B =

∫ −+−−+ 2xx2

dx1x3xx3 23 = ∫ ∫ +

++

−− dx

1x5

3x54

1x3dx

57

2

= ( ) C)x(Tan531xln

52|1x3|ln

157 12 ++++−− −

Catatan:

ungsi rasional dengan pangkat penyebut lebih besar dari pangkat pembilangF inamakan fungsi rasional yang tidak umum (inproper rational functions).

i dapat dilakukan dengan cara membagi penyebut dengan pembilang

Latihan Soal 5.7

dIntegrasterlebih dahulu baru dilakukan proses pengintegralan.

Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!!


Evaluasi int wah ini dengan menggunakan teknik integraras

egral di ba si fungsi ional.

∫ −+ 432 xxdx

1. 2. ∫ −− dx

xxx 45

2 4

dxxx

x∫ −+

+472

171123. 4. ∫ −

−− dxxxxx

2

2 122

.

3

∫ −+− )3)(2)(1( xxxdx

6. ∫ +−− dxxx

x)5)(2(

13 5

5.8 Integr

bersifat oba-coba dan tidak ada cara khusus. Setiap persoalan dipandang secara

tegral yang menyangkut nilai x berpangkat rasional dapat disederhana kan engganti

u = x(1/n)

20

asi Dengan Bermacam-macam Substitusi

Integrasi dengan bermacam-macam substitusi tidak terlalu relevan dengan materi terdahulu. Hal itu disebabkan teknik integrasi yang dilakukancterpisah. Dengan kata lain tidak ada aturan penyelesaian yang baku. Indengan m

Contoh 5.

valuasi ∫ +1 3E dx

xx

Penyelesai an :

∫ + x1 3dxx

misalkan u = x1/6 x = u6 dx = 6u5

Sehingga s p t diubah menjadi : oal da a

∫ + x1 3dxx

= ( )( )∫ + u

duu61

u 53/16

2/16

= ∫ + u6 du

1u

2

8

= C)x(Tan6x6x2x56x

76 6/116/12/16/56/7 ++−+− −

Contoh 5.21

Evaluasi dxex Penyelesai

∫ +1

an:

dxex∫ +1 dimisalkan )1ln(.....1......1 22 −=−=+= uxueeu xx


duu

udxu

ududx

12..........

12

22 −=

−=

Sehingga soal menjadi:

dxex∫ +1 duu

uu∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

122

duu

u∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=1

22

2

duu∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+=

122 2

duuu

u ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−+=

11

112

Cuuu ++−−+= 1ln1ln2

Ceee

x

xx +

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

−+++=

1111ln12

Latihan Soal 5.8 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Evaluasi integral di bawah ini.

1. ∫ − dxxx .2 2. ∫ +dx

xx .9

3. ∫ +dx

x.

31

4. ∫ +dx

xx .

1

5. ∫ +dx

xx.1

3 6. ∫ − 5/3xx

dx

5.9 Integrasi Fungsi Hiperbolis

Teknik integrasi fungsi hiperbolis digunakan untuk menyelesaikan persoalan integral dimana integrannya dinyatakan oleh fungsi hiperbolis. Rumus-rumus dasar yang digunakan untuk mengevaluasi persoalan integral adalah: 1. = Cosh (u) + C ∫ du).u(Sinh

2. = Sinh (u) + C ∫ du).u(Cosh

3. = ln | Cosh (u) | + C ∫ du).u(Tanh

4. = ln | Sinh (u) | + C ∫ du).u(Cosh


5. = Tanh (u) + C ∫ du).u(Sech2

6. = - Cotgh (u) + C ∫ du).u(Csch2

7. = -Sech (u) + C ∫ du).u(Tanh).u(Sech

8. = - Csch(u) + C ∫ du).u(Cotgh).u(Csch

9. ∫ + 22 audu

= Sinh-1 Cau

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

10. ∫ − 22 audu

= CauCosh 1 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− u > a > 0

11. ∫ − 22 uadu

= CauTanh

a1 1 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− u2 < a2

12. ∫ − 22 audu

= CauCotgh

a1 1 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− − u2 > a2

Contoh 5.22 Evaluasi ∫ dxx.tanh Penyelesaian:

∫ dxx.tanh = ∫ dxxx .

coshsinh

Dimisalkan u = cosh x…du = sinh x dx

∫ dxxx .

coshsinh

= Cx +coshln

Latihan Soal 5.9

Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Evaluasi integral di bawah ini. 1. ∫ − dxx ).32cosh(

2. ∫ dxxx .coshsinh 6


5.10 Integral Tertentu

Fungsi Kontinu Dengan Nilai Tidak Negatif

sb. y (xk , f(xk)) y = f(x) sb. x

Jika fungsi f(x) adalah kontinu pada selang [a , b] dan jika f(x) > 0 untuk semua nilai x pada [a , b] maka luas (Area) di bawah kurva y = f(x) dan di atas selang [a , b] didefinisikan :

A = 0x.maxlim

k →Δ ∑=

Δn

1kkk x).x(f

Definisi di atas jika ditulis:

0x.maxlim

k →Δ ∑=

Δn

1kkk x).x(f = ∫

b

a

dx).x(f

Pernyataan pada sisi kanan dari persamaan dinamakan integral tertentu fungsi f(x) dari a ke b. Bilangan a dan b disebut batas atas dan batas bawah integral. Contoh 5.23

Hitunglah integral ∫ −4

2

)1( dxx

Penyelesaian :

426dxdx.xdx)1x(4

2

4

2

4

2

=−=−=− ∫∫ ∫

sb. y

f(x) = x - 1

sb. x


Fungsi Kontinu Dengan Nilai Positif dan Negatif

x3 x4

a x1 x2 x… xn b sb. x

Jika fungsi f(x) adalah kontinu pada selang [a , b] dan dapat diasumsikan keduanya bernilai positif dan negatif, maka luas sebenarnya (net signet area) A antara y = f(x) dan selang [a , b] didefinisikan :

= 0x.maxlim

k →Δ ∑=

Δn

1kkk x).x(f ∫

b

a

dx).x(f

Luas sebenarnya antara y = f(x) dan [a , b] dapat bernilai positif, negatif atau kosong. Contoh 5.24 Hitunglah integral pada contoh 5.23 dengan syarat batas bawah dan atas masing-masing x = 0 dan x = 2

Penyelesaian : Perhatikan gambar pada Contoh 5.23

∫ ∫ ∫ =−=−=−2

0

2

0

2

0

022dxdx.xdx)1x(

Sifat-sifat Integral Tertentu

a. ∫ =a

a

0dx).x(f

b. ∫ ∫−=b

a

a

b

dx).x(fdx).x(f

c. ∫ ∫=b

a

a

b

dx).x(f.Cdx).x(f.C

d. [ ] ∫∫ ∫ ±−=±b

a

b

a

a

b

dx).x(gdx).x(fdx.)x(g)x(f

e. ∫∫ ∫ +=b

c

b

a

c

a

dx).x(fdx).x(fdx).x(f


Latihan Soal 5.10 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Hitunglah integral di bawah ini dan buatlah sketsa gambarnya.

1. dxx∫4

1

2. dxx∫2

1

2

3. dxxx∫0

2

2 sin

4. dxx∫π

0

.cos


Documents

5.1 Konsep Anti Turunan - MatikZone · teknik-teknik dasar integrasi, dan integral tertentu. Ada delapan teknik dasar yang akan dipelajari, yaitu metode u-substitusi, integral bagian,