52616591 informe200901-fisica-i

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANOFACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL DE CIENCIAS FISICO MATEMATICAS

PRIMERA

PRACTICA PRE-PROFESIONAL

INFORME

CURSO : FISICA I

RESPONSABLE : JUAN CARLOS VILCA TISNADO

ASESOR : LIC. ELFI D. BUSTAMANTE YABAR

PUNO - PERU

2010

Universidad Nacional del AltiplanoFacultad de Ingenierıa Civil y Arquitectura

Escuela Profesional de Ciencias Fısico Matematicas

Informe No -2010-UNA-FICA

Al : Lic. Juan Carlos Benavides HuancaDirector de la Escuela Profesional de Ciencias Fısico Matematicas

De : Lic. Elfi D. Bustamante YabarAsunto : Informe de practicas Pre-Profesionales.Fecha : Puno, 12 de Enero del 2010

Es grato dirigirme a Ud. a fin de informarle sobre las practicas realizadas por el estudianteJUAN CARLOS VILCA TISNADO, el cual detallo a continuacion:

1. Mediante el MEMORANDO No -066-2008-D.E.C.F.M-FICA-UNA. de fecha 12 de Setiem-bre del 2008, se me asigna al estudiante JUAN CARLOS VILCA TISNADO para querealice las practicas pre-profesionales en la asignatura de FISICA I a mi cargo.

2. El estudiante realizo la practica pre-profesional a partir del 12 de setiembre del 2008 al 27de enero de 2009, por 02 horas semanales; acumulando un total de 30 horas academicas,que consistio en desarrollar la parte practica de la asignatura de FISICA I, correspondienteal II semestre de la E.P. Ingenierıa de minas.

3. Durante la realizacion de la practica pre-profesional el estudiante en mencion, demostro mucharesponsabilidad y dominio de los temas, tanto en la preparacion de sus sesiones, comodurante su desenvolviesemos ante los estudiantes, y demas tareas asignadas.

4. Concluida la practica pre-profesional, el estudiante alcanzo los objetivos establecidos,siendo ası, solicito a Ud. Senor Director realizar los tramites necesarios para la expedicionde la respectiva Resolucion.

Es cuanto puedo informar a Ud. Senor Director para los fines consiguientes.

———————————————-Lic. Elfi D. Bustamante Yabar

UNA-PUNO

Universidad Nacional del AltiplanoFacultad de Ingenierıa Civil y Arquitectura

Escuela Profesional de Ciencias Fısico Matematicas

Informe No -2010-UNA-FICA

Al : Lic. Elfi D. Bustamante YabarDe : Juan Carlos Vilca TisnadoAsunto : Informe de practicas Pre-Profesionales.Fecha : Puno, 11 de Enero del 2010

Es grato dirigirme a Ud. a fin de informarle sobre las practicas que realice, el cual detallo acontinuacion:

1. Mediante el MEMORANDO No -066-2008-D.E.C.F.M-FICA-UNA. de fecha 12 de Setiem-bre del 2008, se me asigna como asesor para que realice las practicas pre-profesionales enla asignatura de Fısica I a su cargo.

2. La realizacion de la practica pre-profesional fue en el escuela profesional de ingenierıa deminas en la asignatura de Fısica I.

3. Los detalles de la practica pre-profesional se encuentran en la documentacion adjunta aeste informe.

Es cuanto puedo informar a Ud. para los fines consiguientes.

————————————–Juan Carlos Vilca Tisnado

Presentacion

Estas notas se originan por las practicas pre-profesionales realizada del12 de Setiembre de 2008 al 27 de enero de 2009 en la asignatura de FısicaI en la Escuela Profesional de Ingenierıa de Minas de la UniversidadNacional del Altiplano.

En el capitulo 1 muestro los datos de la institucion donde realizo mispracticas pre-profesionales, como tambien los datos de la asignatura de-sarrollado.

En el capitulo 2 y capitulo 3 muestro la justificacion de mis practicaspre-profesionales como tambien los objetivos.

En el capitulo 4 al capitulo 9 muestro los ejercicios resueltos en clases decada seccion desarrollado.

En el capitulo 10 muestro la metodologıa que aplico en el desarrollo demis practicas pre-profesionales.

En el capitulo 11, muestro la lista de estudiantes , como tambien la listade asistencia.

Espero que este informe sirva como referencia para futuras practicas pre-profesionales que se realicen referente al tema.

Juan Carlos Vilca Tisnado .

i

Indice general

Presentacion I

Indice general II

1. Datos generales 11.1. Datos Personales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Datos de la Institucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Datos de la Asignatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Justificacion 2

3. Objetivos 43.1. Objetivos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2. Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4. Vectores 54.1. Graficamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2. Representacion cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.3. Vectores en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.4. Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.5. Vectores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.6. Adicion de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.6.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.7. Sustraccion de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.7.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.8. Ley de Cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.9. Ley de senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.10. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.11. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.12. Ejercicios resueltos de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

ii

INDICE GENERAL iii

5. Estatica 175.1. Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2. Condicion de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.3. Torque o momento de una fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.4. Ejercicios resueltos de estatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6. Cinematica 256.1. Vector posicion (~r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6.2. Desplazamiento ~d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.3. Velocidad promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.4. Velocidad instantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.5. Aceleracion promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.6. Aceleracion instantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.7. Movimiento parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.7.1. Movimiento horizontal (MRU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.7.2. Movimiento vertical (MRUV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.8. Altura maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.9. Alcance maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.10. Movimiento circular: Velocidad angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.11. Ejercicios resueltos de cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7. Dinamica de una partıcula 447.1. Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.2. Primera ley de Newton (Ley de inercia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.3. Segunda Ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.4. Tercera Ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.5. Diferencia entre masa y peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.5.1. Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.5.2. Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.6. Fuerzas de rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.6.1. Normal (N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.6.2. Fuerza de rozamiento estatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.6.3. Fuerza de rozamiento cinetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.7. Fuerza centrıpeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.8. Ejercicios resueltos de dinamica de una particula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8. Trabajo y Energıa 608.1. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608.2. Trabajo hecho por una fuerza variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.3. Teorema del trabajo y la energıa cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.3.1. Cuando la fuerza es constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628.3.2. Cuando la energıa es variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8.4. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.5. Fuerza conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.6. Energıa Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.6.1. Energıa potencial gravitatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.6.2. Energıa potencial elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Fisica I

INDICE GENERAL iv

8.7. Ejercicios de trabajo y energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

9. Cantidad de movimiento 719.1. Momentum lineal o cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719.2. Principio de conservacion de la cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . 719.3. Ejercicio de Cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10.Metodologıa 7510.1. Estrategias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.2. Metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.3. Medios y Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

11.Cronograma de Actividades 7611.1. Temas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7611.2. Cronograma de Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

12.Relacion de Estudiantes y Asistencias 7712.1. Relacion de estudiantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7712.2. Lista de Asistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Bibliografıa 79

Fisica I

CAPITULO 1

Datos generales

1.1. Datos Personales

Alumno Practicante : Juan Carlos Vilca TisnadoAsesor : Lic. Elfi D. Bustamante YabarAsignatura : Fısica IDuracion : 30 horas

1.2. Datos de la Institucion

Lugar : PunoInstitucion : Universidad Nacional del AltiplanoFacultad : Ingenierıa de MinasEscuela Profesional : Ingenierıa de Minas

1.3. Datos de la Asignatura

Asignatura : Fısica INumero de Horas : 4T. (Teorıa) + 2P. (practicas) = 6 HorasAno Academico : 2007 - IISemestre : IIArea Curricular : GeneralCondicion : Flexible

1

CAPITULO 2

Justificacion

La practica pre-profesional contribuye a lograr el perfil del futuro profesional de la E.P. deCiencias Fısico Matematicas, en sus aspectos: personal, profesional y promotor de cambio socialy desarrollo.

La practica pre-profesionales permite el logro de experiencias en las areas de desempenodocente, mediante la aplicacion de los conocimientos y el ejercicio de habilidades y destrezasdesarrolladas en la E.P. de Ciencias Fısico Matematicas.

La practica pre-profesional tiene sustento:

1ro En la curricula flexible por competencias de la C.P. de Ciencias Fısico Matematicas 2001-2006 en los reglamentos especıficos que habla de las practicas pre-profesionales en susartıculos 40-48 senalan:

Art. 40

El presente reglamento se sustenta en el estatuto de la U.N.A. que contempla la realizacionde practicas pre-profesionales en la formacion de todos los estudiantes de la universidad.

Art. 41

Los estudiantes de la Carrera Profesional de Cs. Fısico Matematicas estan obligadosa realizar practicas pre-profesionales pudiendo efectuarse despues de haber logrado unmınimo de 170 creditos.

Art. 42

Las practicas pre profesionales de la Carrera Profesional de Cs. Fısico Matematicas seranpracticas productivas y practicas de investigacion.

Art. 43

Las practicas productivas comprenderan practicas pedagogicas en centros de ensenanza denivel medio superior y universidades; practicas en centros productivos, convenio, proyectos

2

2. Justificacion 3

y otros que requieran la participacion de Fısicos Matematicos.

Art. 44

Las practicas de investigacion se realizan en la U.N.A. bajo la direccion de un profesordesignado especıficamente con este fin.

Art. 45

Las practicas productivas de investigacion tendran una duracion de un semestre academi-co.

Art. 46

Los estudiantes, despues de haber cumplido con sus practicas productivas y/o de investi-gacion presentaran el informe a la institucion donde se realizo y esta a su vez informarade su desarrollo a la Direccion de Carrera quien lo remitira a la comision de practicas preprofesionales para su aprobacion o desaprobacion.

Art. 47

En el caso de que la practica productiva y/o practicas de investigacion se realice en laUniversidad Nacional del Atiplado el practicante presentara el informe al docente a cargo,este a su vez informara su desarrollo a la Direccion de la Carrera para el visto bueno dela comision de practicas Pre-profesionales.

Art. 48

Los aspectos no contemplados en el presente reglamento seran absueltos por la Comisionde practicas pre profesionales.

2do En el Estatuto Universitario del Titulo VI del regimen academico y administrativo en sucapitulo II del regimen de estudios en la facultad, cuando nos habla de los estudios en suarticulo 122 que senala:

Art. 122

La actividad academica en una Escuela Profesional comprende:

Formacion general.

Formacion basica profesional.

Formacion profesional.

Investigacion.

Orientacion profesional.

Proyeccion y extension universitaria

Su diseno involucra la programacion curricular teorico-practica de cada asignatura; proyec-tos de investigacion sobre la realidad regional, nacional y mundial; plan de actividades deproyeccion y extension universitaria; y un plan de practicas pre-profesionales. Concor.:Arts.10, 12, 16 y ss. Ley 23733

Fisica I

CAPITULO 3

Objetivos

3.1. Objetivos Generales

Las practicas pre-profesionales tienen como objetivo poner en practica los conocimientosadquiridos plasmandolo en la ensenanza universitaria.

3.2. Objetivos Especıficos

Los objetivos especıficos que se tiene para la practica desarrollada en la respectiva asignaturadesignada son:

Familiarizarse en el desempeno de la docencia universitaria.

Afianzar los conocimientos adquiridos, para resolver problemas durante la practica pre-profesional.

Solucionar con metodos adecuados los problemas que se presentan.

Estar siempre disponible para absolver las inquietudes de los alumnos.

4

CAPITULO 4

Vectores

Definicion: Vector es un segmento de recta que tiene direccion, tamano, sentido y origen.

4.1. Graficamente

Se presenta de la siguiente manera:

Donde:

~v : Se lee vector

||~v|| = v : tamano o modulo del vector v

O : Punto de aplicacion u origen del vector.

→ : Esta dado por la linea del vector

5

4. Vectores 6

4.2. Representacion cartesiano

Sea una sistema XY , se define vectores unitarios (modulo igual a uno) en el eje X : i, eje

Y : j, definimos el vector−→Ov, ası

El modulo se define ||−→Ov|| = ||~v|| = v =

√v2x + v2

y , La direccion se define usando la razontrigonometrica tan θ que hace un angulo con el eje (+X):

tan θ =vxvy

4.3. Vectores en el espacio

Sea un sistema de coordenadas XY Z se define el vector unitario en los ejes X : i, Y : j yZ : k tal como se muestra en la figura

Fisica I

4. Vectores 7

Entonces se define el vector−→Ov = Ovxi+Ovy j +Ovzk, donde:

Ovx = ||−→Ov|| cosα = vx

Ovy = ||−→Ov|| cos β = vy

Ovz = ||−→Ov|| cos θ = vz

Su modulo es: ||−→Ov|| = v =

√v2x + v2

y + v2z Su direccion: para encontrar las direcciones usaremos

la Razones trigonometricas del cos que hacen el vector con los ejes (cosenos directores)

cosα =vxv, cos β =

vyv

y cos θ =vzv

existe una propiedad fundamental: cos2 α + cos2 β + cos2 θ = 1

4.4. Observaciones

Se define como punto de coordenadas

P1 = (x1, y1, z1)

P2 = (x2, y2, z2)

entonces el vector−−→P1P2 = P2−P1 = (x2, y2, z2)− (x1, y1, z1) donde queda de la forma siguiente

−−→P1P2 = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)

su modulo:||−−→P1P2|| =

√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

Fisica I

4. Vectores 8

4.5. Vectores unitarios

El vector unitario se define u = ~v||~v|| = ~v

v, entonces ~v = vu, esto quiere decir que todo vector

es igual a su modulo multiplicado por su vector unitario.

4.6. Adicion de vectores

Dados los vectores ~r, ~q, se define la suma de vectores, ası

~r = rxi+ ry j, ~q = qxi+ qy j

~r + ~q = (rx + qx)i+ (ry + qy)j

graficamente

4.6.1. Propiedades

i) Dado ~r y ~q entonces ~r + ~q = ~q + ~r (Ley de conmutativa)

ii) Dado ~r y ~q y R ∈ R; R(~r + ~q) = R~r +R~q (distribucion con respecto a un escalar)

4.7. Sustraccion de vectores

Dado los vectores ~r y ~q se define (~r − ~q) y sumamos a ~r el vector opuesto a ~q

4.7.1. Propiedades

i) Dado ~r y ~q entonces ~r − ~q = −(~q − ~r) (no cumple la conmutativa)

ii) Dado ~r, ~q, ~p entonces:~r − (~q − ~p) = (~r − ~q) + ~p (no cumple la Ley asciativa)

Fisica I

4. Vectores 9

4.8. Ley de Cosenos

DemostracionComo se trata de vectores libres se puede trasladar:

Teorema de pitagoras en el triangulo ABC en efecto tenemos:

R2 = (v2 sen θ)2 + (v1 + v2 cos θ)2

R2 = v22 sen2 θ + v2

1 + 2v1v2 cos θ + v22 cos2 θ

R2 = v22 + v2

1 + 2v1v2 cos θ

R =√v2

2 + v21 + 2v1v2 cos θ

Si θ = 90o entonces R =√v2

1 + v22, si θ = 120o entonces R = v1 − v2, si θ = 0o entonces

R = v1 + v2

Fisica I

4. Vectores 10

4.9. Ley de senos

Demostracion:

senα =h

r1

(1)

sen(180− β) = sen β =h

r3

(2)

(1)÷ (2) tendremos

hr1hr3

=senα

sen β=⇒ r3

r1

=senα

sen β=⇒ r3

senα=

r1

sen β(*)

por otro lado:

Fisica I

4. Vectores 11

senα =h′

r2

(3)

sen θ =h′

r3

(4)

(3)÷ (4) en efecto:h′

r2h′

r3

=senα

sen θ=⇒ r3

r2

=senα

sen θ=⇒ r3

sen θ=

r2

sen θ(**)

de (*) y (**)r1

sen β=

r2

sen θ=

r3

senα

4.10. Producto escalar

Dado los vectores: ~A = (Ax, Ay, Az) y ~B = (Bx, By, Bz) se define el producto escalar: ~A ·~B = AxBx + AyBy + AzBz si los vectores ~A y ~B forman un angulo θ, se define el producto~A · ~B = AB cos θ

4.11. Producto vectorial

Dado los vectores ~A = (Ax, Ay, Az) y ~B = (Bx, By, Bz) se define el producto vectorial

~A× ~B =

∣∣∣∣∣∣i j kAx Ay AzBx By Bz

∣∣∣∣∣∣ = i(AyBz − AzBy)− j(AxBz − AzBx) + k(AxBy − AyBx)

4.12. Ejercicios resueltos de vectores

Ejercicio No4. 1 Dado los vectores ~P y ~Q ~R = m~P + n~Q tal como se indica en la figura: siP = 3, Q = 5, R = 10 Hallar la relacion m

n=?

Fisica I

4. Vectores 12

SolucionSi

~R = m~P + n~Q (*)

~P = 3i, ~Q = 5j y ~R = R cos 45oi+R sen 45oj

~P = 3i~Q = 5j~R = R cos 45oi+R sen 45ojR = 10

(1)

Luego (1) en (*) tenemos

10 cos 45oi+ 10 sen 45oj = 3mi+ 5nj

tenemos10 cos 45oi = 3mi m = 10

3√

2

⇒10 sen 45oj = 5nj n = 2√

2

como te pide encontrar mn

=10

3√

22√2

= 53

Ejercicio No4. 2 Dado lo vectores ~P y ~Q que forman angulo θ demostrar: tanφ = Q sen θP+Q sen θ

Fisica I

4. Vectores 13

SolucionLa demostracion se hace de acuerdo a la grafica. Haciendo un trazo tenemos.

del triangulo ACD tenemos

tanφ =Q sen θ

P +Q cos θ

Ejercicio No4. 3 Hallar el vector ~C de la figura sabiendo que ~A = (−1, 2) , ~B = (4, 1) y C = 8

SolucionSea el vector ~C = (x, y) como: ~B · ~C = (4, 1)(x, y) = 4x+ y = || ~B||||~C|| cosα

4x+ y =√

17(8) cosα (1)

Luego hallamos: ~A · ~B = || ~A|||| ~B|| cos θ

(−1, 2) · (4, 1) =√

5√

17 cos θ

−4 + 2 =√

85 cos θ

−2 =√

85 cos θcos θ = − 2√

85

θ = arc cos(− 2√

85

)θ = 102.5o (2)

Fisica I

4. Vectores 14

Como α + θ + α = 1802α + 102.5 = 180

α = 38.75 (3)

Luego (3) en (1) tenemos:

4x+ y =√

17(8) cos(38.75) = 25.72

4x+ y = 25.72 (4)

como dato se tiene √x2 + y2 = 8 (5)

de (4) y (5) tenemos:x2 + (25.72− 4x)2 = 64

x2 + (25.72)2 − 2(4x)(25.72) + 16x2 = 64

17x2 − 205.76x+ 597.53 = 0

x = 7.27 , y = 25.72− 4x = −3.36x = 4.83 , y = 25.72− 4x = 6.4

Finalmente el vector toma 2 valores

~C = (7.27,−3.36) ~C = (4.33, 6.4)

Ejercicio No4. 4 Dado el modulo del vector |~P | = 8 y la relacion de sus cosenos directores es

9 : 3 :√

31, el vector ~R = (a,−10, 10) y el producto ~P × ~R = (62.3,−4.52,−66.5) Hallar el angulo

que hace ~P y ~R

SolucionComo sabemos

~P = Pxi+ Py j + Pzk (1)

~P = P cosαi+ P cos βj + P cos γk (2)

como:cosα

9=

cos β

3=

cos γ√31

cos β =1

3cosα y cos γ =

√31

9cosα (3)

Luego (3) en (2) tenemos

~P = 8 cosαi+8 cosα

3j +

8√

31

9cosαk (4)

||~P || =

√√√√(8 cosα)2 +

(8 cosα

3

)2

+

(8√

31

9cosα

)2

= 8

cosα = 0.818o, α = 35.1o (5)

Fisica I

4. Vectores 15

Luego (5) en (4) tenemos:

~P = 8 cos 35.1oi+8

3cos 35.1oj +

8√

31

9cos 35.1ok

y como por dato: ~R = (a,−10, 10)

~P × ~R =

∣∣∣∣∣∣i j k

6.54 2.18 4.05a −10 10

∣∣∣∣∣∣y ahora ~P × ~R = (62.3,−4.52,−66.5)

(62.3,−452,−66.5) = (10(2.18) + 10(4.05))i− (6.54(10)− a(4.05))j + (−6.54(10)− 2.18(a))k

Relacionando los componentes tenemos:

−(6.54− 4.05(a)) = −4.52−(6.54 + 2.18(a)) = −66.5

de donde obtenemos a = 0.5, luego ~R = (0.5,−10, 10), como se pide encontrar el angulo deseparacion entre los vectores sera:

~P · ~R = ||~P ||||~R|| cos θ

(6.54, 2.18, 4.05)(0.5,−10, 10) = (7.99)(14.15) cos θ6.54(0.5)− 2.18(10) + 4.05(10) = (7.99)(14.15) cos θ

21.97 = 7.99(14.15) cos θ

cos θ =21.97

7.99(14.15)= 0.194

θ = arctan(0.194) = 78.8

θ = 78.8

Ejercicio No4. 5 Los extremos de los vectores ~A = (6, 9, 6), ~B = (2, 1, 4) y ~C = (8, 6, 7)determinan un triangulo, demostrar si es rectangulo

SolucionPrimero tenemos que hallar los lados

−→AC,

−−→BC y

−→AB y

−→AC = C − A = (8, 6, 7)− (6, 9, 6)

−→AC = (2,−3, 1)

−→BA = B − A = (2, 1, 4)− (6, 9, 6)

−→BA = (−4,−8,−2)

−−→BC = B − C = (2, 1, 4)− (8, 6, 7)

−−→BC = (−6,−5,−3)

Fisica I

4. Vectores 16

Luego: −→AC ·

−−→BC = (2,−3, 1) · (−6,−5,−3)

−→AC ·

−−→BC = (−12 + 15− 3 = 0

−→AC ·

−→AB = (2,−3, 1) · (−4,−8,−2)−→AC ·

−→AB = −8 + 24− 2 = 14

−−→BC ·

−→AB = (−6,−5,−3) · (−4,−8,−2)−−→BC ·

−→AB = 24 + 40 + 6 = 70

Se observa que−→AC⊥

−−→BC luego el triangulo es recto en C

Fisica I

CAPITULO 5

Estatica

Es la parte de la mecanica cuyo objetivo es estudiar las condiciones de equilibrio quedeben cumplir las fuerzas que actuan sobre un cuerpo que esta se encuentre en equilibrio.La ESTATICA estudia a las fuerzas, a los cuerpos en equilibrio y centro de gravedad.

5.1. Fuerza

La fuerza se define como la causa de la deformacion de un cuerpo, de su cambio de posiciony de la variacion de su velocidad en consecuencia las fuerzas provocan aceleracion o deformacionsobre los cuerpos.

5.2. Condicion de equilibrio

Se dice que un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando el efecto total de la fuerza queactua sobre ella es nula o para que un cuerpo se encuentre en equilibrio la resultante de lasfuerzas que actuan sobre el debe ser igual a cero∑

~F = 0

Al efectuar la descomposicion vectorial sobre los ejes rectangulares se debe cumplir∑Fx = 0,

∑Fy = 0 y

∑Fz = 0

5.3. Torque o momento de una fuerza

Considerando una fuerza F que actua en un cuerpo C que puede rotar alrededor del puntoO(figura). Nuestra experiencia diarıa sugiere que la efectividad en la rotacion de F aumentacon la distancia perpendicular (denominado brazo de palanca) b = OB desde O a la linea de

17

5. Estatica 18

accion de la fuerza. Esta experiencia nos sugiere la conveniencia de definir una cantidad fısicaτ que llamaremos torque o momento de una fuerza, de acuerdo a la relacion o torque = fuerza× brazo de palanca.

~τ = ~F × ~r

notando de la figura que b = r sen θ tambien podemos escribir ası:

τ = Fr sen θ

En el cual ~r es el vector posicion con respecto al punto O recordando que ~r = xi + yj + k y~F = Fxi+ Fy j + Fzk tambien se puede obtener haciendo el producto × en efecto tenemos:

τ =

∣∣∣∣∣∣i j kx y zFx Fy Fz

∣∣∣∣∣∣ = (Fzy − Fyz)i− (Fzx− Fxz)j + (Fyx− Fxy)k

τ = Fzy − Fyz)i− (Fzx− Fxz)j + (Fyx− Fxy)k

5.4. Ejercicios resueltos de estatica

Ejercicio No5. 1 En el sistema adjunto hallar el peso w que produce el equilibrio

Fisica I

5. Estatica 19

Solucion

Para este consideremos el sistema de fuerzas de coordenadas en el punto B

Por la condicion de equilibrio:∑Fx = 0, T1 cos 60o − T2 cos 30o = 0, T1 =

T2 cos 30o

cos 60(1)

∑Fy = 0, T1 sen 60o + T2 sen 30o − w = 0, w = T1 sen 60 + T2 sen 30o (2)

pero es necesario en saber T2, para encontrar la tension T2 usaremos el sistema en el punto A

Tambien usando las ec. de equilibrio ∑Fx = 0

T2 cos 30o − T3 cos 45o = 0

T3 =T2 cos 30o

cos 45o(3)∑

Fy = 0, T3 sen 45o − 10− T2 sen 30o = 0 (4)

Luego de (3) y (4) tenemos:

Fisica I

5. Estatica 20

T2 cos 30o

cos 45o sen 45o − 10− T2 sen 30o = 0T2 cos 30o − T2 sen 30o = 10

T2 = 10cos 30o−sen 30o

T2 = 27.39N

Luego reemplazando en (1)

T1 =(27.39) cos 30o

cos 60o= 47.32N

Luego finalmente reemplazando T1, T2 en (2) se encontrara

w = (47.39) sen 60o + (27.39) sen 30o = 54.73N

Ejercicio No5. 2 Calcular el peso P necesario para mantener el sistema mostrado en la figuraadjunta en el cual A pesa 100Kgf , Q = 10Kgf el plano y las poleas son lisos la cuerda AC eshorizontal y la cuerda AB es paralelo al plano calcular tambien la reaccion del plano sobre el pesoA.

SolucionHaremos el diagrama de cuerpo libre del bloque:

Fisica I

5. Estatica 21

como A = 100Kgf y Q = 10Kgf ∑Fx′ = 0

P −Q cos 30o − A sen 30o = 0 (1)

P = Q cos 30o + A sen 30o

P = 10 cos 30o + 100 sen 30o

P = 10(√

32

) + 100(12)

P = 587Kgf∑Fy′ = 0

N − A cos 30o −Q sen 30o

N = 100 cos 30o − 10 sen 30o = 81.5Kgf

Ejercicio No5. 3 Una varilla de masa de 6Kg y longitud 0.8m esta colocado sobre un angulorecto liso como se muestra en la figura adjunta. Determinar la posicion equilibrio y las fuerzas dereaccion como una funcion del angulo α

SolucionHaremos el diagrama de cuerpo libre:

∑Fx = 0

Fisica I

5. Estatica 22

RB cosα−RA senα = 0

RA =RB cosα

senα(1)∑

Fy = 0

RA cosα +RB senα− w = 0

RA cosα +RB senα = w (2)

Luego (1) en (2) tenemosRB cosα

senαcosα +RB senα = w

RB cos2 α +RB sen2 α = w senαRB(sen2 α + cos2 α) = w senα

RB = w senα (3)


RA =w senα cosα

senα

RA = w cosα (4)

Ejercicio No5. 4 La viga uniforme AB de la figura adjunta tiene 4m de largo y pesa 100Kgf laviga puede rotar alrededor de un punto fijo C. La viga reposa en el punto A. un hombre que pesa75Kgf camina a lo largo de la viga partiendo de A. Calcular la maxima distancia que el hombrepuede caminar a partir A manteniendo el equilibrio. representar la reaccion en A como una funcionde la distancia x

SolucionDatos:

wb = 100Kgf

wh = 75Kgf∑Fy = 0

Realicemos el diagrama de cuerpo libre de la viga

Fisica I

5. Estatica 23

RA +RC − wb − wh = 0 (1)

Usando la segunda condicion de equilibrio en el punto A∑MA = 0

Rc(2.5)− 2wb − xwh = 0 (2)

la maxima distancia x es cuando RA = 0

RC = wb + wh (3)

luego (3) en (2) tenemos:RC = 15175Kgf

(175)(2.5)− 2(100)− x(75) = 0

2375 = x(75) =⇒ x = 3.17m

Ejercicio No5. 5 La viga AB de la figura tiene 1.2m de largo y pesa despreciable. Las esferasC y D (de 10Kg y 20Kg respectivamente), unidas por la barra CD, descansan sobre la viga. Ladistancia entre los centros de las esferas es de 0.3m calcular la distancia x de modo que la reaccionen B sea la mitad de la esfera.

SolucionDatos:

wC = 40Kg

wD = 20Kg

CD = 0.3m

RB =1

2RA

Realicemos el diagrama de cuerpo libre de la viga

Fisica I

5. Estatica 24

RA +RB − wC − wD = 0 (1)

usando la siguiente condicion de equilibrio en el punto A∑MA = 0

wC(1.2− x− 0.3) + wD(1.2− x)−RB(1.2) = 0

de (1) tenemos

RA +1

2RA = wC + wD

3RA

2= 40 + 20 = 60

RA =2.60

3= 40

RA = 40N RB = 20N

Luego tenemos que encontrar la distancia x:

40(1.2− x− 0.3) + 20(1.2− x) = 1.2(20)

4(0.9− x) + 2(1.2− x) = 2.4

3.6− 4x+ 2.4− 2x = 2.4

x = 0.6m

Fisica I

CAPITULO 6

Cinematica

La cinematica es la parte de la mecanica que estudia el movimiento en si, sin tomar encuenta sus causas y las acciones de fuerza extranas. La palabra viene de cinetica, que significamovimiento.

6.1. Vector posicion (~r)

Denominado tambien radio vector, determina la posicion de un cuerpo en cada instante conrespecto al sistema de referencia.

En la figura anterior consideremos el movimiento de una partıcula (bolita) de izquierda aderecha, ubicandoce en 3 tiempos diferentes (t1, t2, t3).

ubicado 3 vectores de posicion ~r1, ~r2, ~r3 que se forman respecto al sistema de referencia(punto O)

25

6. Cinematica 26

6.2. Desplazamiento ~d

Es el vector (~d) que define el cambio de posicion que experimenta un cuerpo con respecto aun sistema de referencia tal como se indica e la figura

en el triangulo vectorial verificamos que:

~d = ∆~r = ~r1 − ~r2 (6.1)

El modulo del vector desplazamiento tiene el nombre de distancia

6.3. Velocidad promedio

Se define la velocidad promedio de la partıcula durante un intervalo de tiempo ∆t como eldesplazamiento de una partıcula dividido entre el intervalo de tiempo

~v =~r2 − ~r1

t2 − t1=

∆~r

∆t(6.2)

Fisica I

6. Cinematica 27

6.4. Velocidad instantanea

Para definir la velocidad en un punto, se hace tender al limite el intervalo del tiempo(∆t→ 0) (el limite de la velocidad promedio)

~vinst = lım∆t→0

∆~r

∆t=d~r

dt(6.3)

6.5. Aceleracion promedio

Cuando la partıcula pasa por A en un tiempo t, tiene una velocidad v1,(La velocidad estangente a la curva en los puntos A y B) B tiene una velocidad v2 en t2, ver grafica, se definela aceleracion promedio

~a =∆~v

∆t=~v2 − ~v1

t2 − t1(6.4)

Fisica I

6. Cinematica 28

6.6. Aceleracion instantanea

Es el limite de la aceleracion promedio para siempre en cuando el tiempo debe de ser muypequeno por ese motivo (∆t→ 0)

~ainst = lım∆t→0

∆~v

∆t=d~v

dt(6.5)

y como ~v = d~rdt

y reemplazando en (6.5)

~ainst =d

dt

(d~r

dt

)=d2~r

dt2(6.6)

6.7. Movimiento parabolico

En este movimiento el movil lanzado con una velocidad v formando con la horizontal unangulo α describe una trayectoria parabolica que proviene generalmente de dos movimientossimples: cir horizontal (M.R.U.) y el otro vertical (M.R.U.V.)

6.7.1. Movimiento horizontal (MRU)

La velocidad es constantevox = vx = vo cosα

x = voxt = vo cosαt (6.7)

Fisica I

6. Cinematica 29

6.7.2. Movimiento vertical (MRUV)

El movimiento es uniforme acelerado

vy = voy − gt = vo senα− gt (6.8)

de la ecuacion tenemos

y = voy −1

2gt2 = vo senαt− 1

2gt2 (6.9)

de (6.7) despejando t y luego reemplazando en (6.9)

t =x

vo cosα

y =vo senαx

vo cosα− 1

2g

(x

vo cosα

)2

= x tanα− 1

2g

x2

v2o cosα

(6.10)

y = xvo tanα− 12g x2

v2o cosα; es la ecuacion de la parabola

6.8. Altura maxima

Es el maximo alcance cuando vy = 0 en la ecuacion (6.8)

0 = vo senα− gt, t =vo senα

g(6.11)

luego (6.11) en (6.9)

y = Hmax = vo senα

(vo senα

g

)− 1

2g

(vo senα

g

)2

Hmax =v2o sen2 α

g− 1

2gv2o sen2 α

g2=v2o sen2 α

g− 1

2

vo sen2 α

g

Hmax =v2o sen2 α

2g(6.12)

Fisica I

6. Cinematica 30

6.9. Alcance maximo

Consideremos cuando y = 0 en (6.9)

0 = vo senαt− 1

2gt2

1

2gt2 = vo senαt

tt =2vo senα

g(6.13)

donde tt: tiempo de vuelo del proyectil.observamos que este tiempo es el doble del anterior por ello se dice que el tiempo de subida

es igual al tiempo de bajada (6.13) en (6.7)

x = R = vo cosαtt = vo cosα

(2vo senα

g

)=v2o senα cosα

g

por angulo doble de identidad trigonometrica

R =vo sen 2α

g(6.14)

para un triangulo t, el vector resultante es: v =√v2x + v2

y, su direcciones tanα = vyvx

6.10. Movimiento circular: Velocidad angular

Consideremos ahora el caso especial en la cual la trayectoria es un circulo; esto es movimientocircular, la velocidad v, siendo tangente al circulo, es perpendicular al radio R = CA cuandomedimos distancias a lo largo de la circunferencia del circulo a partir de O, del grafico mostradotenemos.

del grafico tenemosS = Rθ

Fisica I

6. Cinematica 31

derivamos con respecto al tiempodS

st= R

dθ

dt= Rw

v = RW (6.15)

como sabemos la velocidad angular instantanea es:

w =dθ

dt(6.16)

derivamos nuevamente la ecu (6.15), con respecto a t

dv

dt= R

dw

dt= Rα

se define la aceleracion angular instantanea

α =dw

dt(6.17)

cuando la aceleracion es constante se define la velocidad media

w =wo + wt

2(6.18)

Hallaremos la relacion vectorial entre ~v y ~w del grafico mostrado

~v = ~w × ~rsabemos v = Rw, del grafico R = r senφ, v = (r senφ)w = wr senφ sabemos por definicion

de producto vectorial~v = ~w × ~r (6.19)

Fisica I

6. Cinematica 32

ademas ~a = d~vdt

= ddt

(~w × ~r)

~a =d~w

dt× ~r + ~w × d~r

dt= ~α× ~r + ~w × ~v

~a = ~α× ~r + ~w × ~v (6.20)

de donde tenemos

~aT = ~α× ~r (aceleracion tangencial)

~aN = ~w × ~v (aveleracion normal)

~a = ~aT + ~aN

6.11. Ejercicios resueltos de cinematica

Ejercicio No6. 1 Un movil se mueve segun v = t2−9, donde v(m/s) y t(seg), hallar la aceleracionpara v = 27m/s

Soluciondatos

v = 27m/s

Como te pide la aceleracion sabemos que:

~a =dv

dt=

d

dt(t2 − 9) =

d(t2)

dt− d(9)

dt

~a = 2t (1)

Fisica I

6. Cinematica 33

ahora tenemos que encontrar el tiempo de v

v = t2 − 9, v = 27m/s

27 = t2 − 9

t2 = 36

t = 6 (2)

finamente para encontrar la aceleracion (2) en (1)

~a = 2(6) = 12m/s2

~a = 12m/s2

Ejercicio No6. 2 Una partıcula se mueve en el plano XY , de acuerdo a las relacion ax =−2 sen 3t, ay = cos 3t, cuando t = 0, x = 0, y = 2, vx = 4m/s y vy = 1m/s, hallar la ecuacion dela trayectoria , la velocidad para t = π

6seg

Solucion

datos:

ax = −2 sen 3t, ay = cos 3t, x = 0, t = 0, y = 2, vx = 4m/s, vy = 1m/s

a) como sabemos que

~a =d~v

dt(1)

i) Para el eje X de (1) ∫d~vx =

∫~axdy

v − vx =∫ tto

(−2 sen 3t)dt

v − vx = −2∫ t

0sen 3tdt

v − vx = 23

cos 3t∣∣t0

v − vx = 23

cos 3t− 23

v =2

3cos 3t− 2

3+ 4 =

2

3cos 3t+

10

3(2)

ahora ~v = d~rdt ∫ r

ro

d~r =

∫ t

to

vdt

r − ro =

∫ t

0

(2

3cos 3t+

10

3

)dt

ri =2

9sen 3t+

10

3t

∣∣∣∣t0

=

(2

9sen 3t+

10t

3

)i (3)

Fisica I

6. Cinematica 34

ii) Para el eje Y de (1) ∫ v

vo=vy

dv =

∫ t

to=0

adt

v − vy =

∫ t

0

(cos 3t)dt

v =sen 3t

3+ 1 (4)

como ~v = d~rdt ∫ r

ro

dr =

∫ t

to

vdt

r − ro =

∫ t

0

(sen 3t

3+ 1

)dt

r − 2 = −1

9cos 3t+

1

9+ t

r =1

9cos 3t+

19

9+ t

ry =

(19

9+ t− 1

9cos 3t

)i (5)

de (3) y (5) tenemos

~r =

(10t

3+

2

9sen 3t

)i+

(19

9+ t− 1

9cos 3t

)j

b) La velocidad para t = π6seg de (2) y (4) tenemos

~v =

(2

3cos 3t+

10

3

)i+

(1

3sen 3t+ 1

)j

~v =

(2

3cos

π

2+

10

3

)i+

(1

3sen

π

2+ 1

)j =

10

3i+

4

3j

||~v|| =

√(10

3

)2

+

(4

3

)2

=

√116

3

Ejercicio No6. 3 Un cuerpo se mueve con una aceleracion de a = pt2, donde p es constante, sipara t = 0, v = 2m/s y cuando t = 2s, v = 16m/s y y = 1m. a) Hallar la posicion en funcion deltiempo. b) la distancia total recorrido en 2seg c) Cual es la posicion al cabo de 3s

Solucion

Fisica I

6. Cinematica 35

a) Si la aceleracion ~a = d~vdt

= pt2 datos: t = 0, vo = 2m/s, tf = 2 y vf = 16m/s∫ vvo=2

dv =∫ tfto=0

pt2dt

vf − v0 = p t3

3

vf − 2 = p(2)3

3

16− 2 = p(2)3

14(3)8

= pp = 5.25

Para encontrar la posicion

v = 2 +5.25

3t3, v =

dx

dt,

∫ x

1

dx =

∫ t

2

vdt

x− 1 =

∫ t

2

(2 +

5.25t3

3

)dt

x = 1 + 2t|t2 +5.25t4

12

∣∣∣∣t2

= 2t+5.25t4

12− 10

x = 2t+5.25t4

12− 10 (1)

b) Para hallar la distancia recorrida 1 a 2s debemos que hallar el area debajo de la funcionvelocidad - tiempo

como v = dxdt ∫ x2

x1

dx =

∫ 2

1

vdt

x2 − x1 =

∫ 2

1

(2 +

5.25t3

3

)dt

x2 − x1 = 2t|21 +5.25t4

12

∣∣∣∣21

x2 − x1 = 8.5625 (2)

Fisica I

6. Cinematica 36

c) La posicion al cabo de 3seg es de (1)

x = 2t+5.25t4

12− 12, t = 3

x = 2(3) +5.25(3)4

12− 10 = 7.81m

Ejercicio No6. 4 Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta de acuerdo a la ley v = t3 +4t2 +2si x = 4 cuando t = 2s encontrar el valor de x cuando t = 3s encontrar tambien su aceleracion

SolucionDatos x = 4m, t = 2s, t = 3ssi tenemos la expresion

v = t3 + 4t2 + 2 (1)

ademas v = dxdt ∫ x

xodx =

∫ ttovdt

x|xxo=4 =∫ t=3

to=2(t3 + 4t2 + 2)dt

x− 4 =(t4

4+ 4t3

3+ 2t

)∣∣∣32

x = 4 +(

814− 16

4+ 4(27)

3− 4(3)

3+ 2(3− 2)

)x = 4

(814

+ 36 + 6− 4− 323− 4)

x = 47.58m

Luego calculamos su aceleracion si sabemos que

a =dv

dt

a =d

dt(t3 + 4t2 + 2) = 3t2 + 8t

pero t = 3sega = 3(3)2 + 8(3)

a = 31m/s2

Ejercicio No6. 5 En el t = 0 un paracaidista (figura) que tiene un peso de magnitud mg estasituado en z = 0 y se mueve verticalmente hacia abajo con una velocidad vo si la fuerza o resistenciadel aire que actua sobre el paracaidista es perpendicular a la rapidez instantanea, hallar a) la rapidezb) la distancia

Solucion

Fisica I

6. Cinematica 37

a) Consideremos como una partıcula de masa m, esta situacion a una distancia z del origen,si k es un vector unitario en la direccion vectorial hacia abajo.

por la ley de Newton

ma =∑

F

mdv

dtk = (mg − βv)k (1)

mdv

dt= mg − βv

mdv

mg − βv= dt

integrando ∫mdv

mg − βv=

∫dt

−mβ

ln(mg − βv) = t+ c1 (2)

como v = vo cuando t = 0 e efecto

−mβ

ln(mg − βvo) = c1 (3)

luego (3) en (2)

−mβ

ln(mg − βv) = t− mβ

ln(mg − βvo)t = m

βln(mg − βvo)− m

βln(mg − βv)

t = mβ

ln(mg−βvomg−βv

)tβm

= ln(mg−βvomg−βv

)etβm = eln(mg−βvomg−βv )

etβm = mg−βvo

mg−βv

v =mg

β+

(vo −

mg

β

)e−

βzm (4)

Fisica I

6. Cinematica 38

b) Para encontrar la distancia recorrida de (4) tenemos dzdt

= v = mgβ

+(vo − mg

β

)e−

βtm , entonces

integramos ∫dz

dt=

∫mg

β+

(vo −

mg

β

)e−

βtm dt

z =mgt

β− β

m

(vo −

mg

β

)e−

βtm + c2 (5)

como z = 0, cuando t = 0

0 = − βm

(vo −

mg

β

)+ c2

c2 =β

b

(vo −

mg

β

)(6)

(5) en (6) tenemos

z =mgt

β+m

β

(vo −

mg

β

)(1− e−

βtm

)c) utilizando (4), es aceleracion esta dado por

a =dv

dt= − β

m

(vo −

mg

β

)e−

βtm =

(g − βvo

m

)e−

βtm

a =

(g − βvo

m

)e−

βtm

Ejercicio No6. 6 Un plano inclinado (figura) forma un angulo α con la horizontal. se dispara unproyectil desde el punto mas bajo A del plano inclinado con rapidez vo formando un angulo β conla horizontal.

a) Demostrar que el alcance R sobre el plano inclinado es

R =2v2

o sen(obeta− α) cos β

g cos2 α

b) Probar que el alcance maximo sobre el plano inclinado seda por Rmax = v2og(1+senα)

, que se obtienecuando β = π

4+ α

2

Fisica I

6. Cinematica 39

Solucion

Para el eje horizontal (MRU) y para el eje vertical (MRUV)

z = (vo cos βt); y = vo sen βt− 1

2gt2 (1)

el vector posicion del proyectil en cualquier tiempo t es

~r = yj + zz

de (1)

~r = (vo cos βt)j + (vo sen βt− 1

2gt2)k (2)

la ecuacion del plano inclinado (en el plano Y Z es una recta) es

z = y tanα (3)

reemplazando (1) en (3) tenemos

vo sen βt− 1

2gt2 = vo cos βt tanα

t =2vo(sen β cosα− cos β senα)

g cosα=

2vo sen(β − α)

g cosα(4)

el tiempo cuando este en el punto B del grafico

secα =R

y

R = y secα, luego reemplazando el valor de t en la primera ecu.

R =vo cos β2vo sen(β − α) secα

g cos2 α

R =2v2

o cos β sen(β − α)

g cos2 α

b) el alcance R puede expresar utilizando la identidad trigonometrica

senA cosB =1

2(sen(A+B) + senα)

Fisica I

6. Cinematica 40

es maximo cuando sen(2β − α) = 1 esto es 2β − α = π2

o β = α2

+ π4

y el valor de este maximoes

Rmax =v2o(1− senα)

g cos2 α=

v2o(1− senα)

g(1 + senα)(1− senα)

Rmax =v2o

g(1 + senα)

Ejercicio No6. 7 Un movil se mueve sobre la trayectoria x2 + y2 = 9 su ecuacion es S = 2t3,donde S se mide a partir del punto (3,0) sobre la trayectoria. Hallar la ecuacion del movil

SolucionLa aceleracion esta dado por

a =√a2N + a2

T (*)

si S = 2t3

v =dS

dt=

d

dt(2t3) = 6t2

a =dv

dt=d(6t2)

dt= 12t (1)

aN =v2

p=

(6t2)2

3=

36t4

3= 12t4 (2)

donde p = 3 y finalmente (1) y (2) en (*)

a =√

(12t4)2 + (12t)2 =√

144t8 + 144t2

a =√

144t8 + 144t2

Ejercicio No6. 8 Una partıcula parte con una velocidad inicial vo y se mueve aceleradamente poruna circunferencia de radio p en todo momento la aceleracion tangencial es el doble de la aceleracionnormal. Hallar la aceleracion total en funcion del arco S

Fisica I

6. Cinematica 41

SolucionEn todo instante

aT = 2aN (1)

La aceleracion total es:

a =√a2T + a2

N (2)

reemplazando (1) en (2)

a =√

(2aN)2 + (aN)2 =√

5a2N (3)

donde

aN =v2

p(4)

hallemos v segun la condicion del problema aT = 2aN ; dvdt

= 2v2

pharemos unos arreglos multi-

plicando por dSdS

dv

dt

dS

dS=dv

dS

dS

dt= v

dv

dS=

2v2

p(5)∫

dvv

= 2∫

dSp∫ v

vodvv

= 2p

∫ S0dS

ln(vvo

)= 2S

p

eln( vvo

) = e2Sp

v = voe2Sp (6)


aN =v2

p=

(voe

2Sp

)2

p=v2oe

4Sp

p

finalmente para encontrar la aceleracion de reemplazamos en (3)

a =√SaN =

√Sv2oe

4Sp

p

Fisica I

6. Cinematica 42

Ejercicio No6. 9 Un motor gira con una frecuencia constante de 360rpm. Calcular:

a) El periodo de rotacion en segundos

b) La frecuencia angular en rad/s

Solucion

f = 360rpm = 360rev

min= 360

rev

60s

f = 6rev/s

a) Calculo del periodo

T =1

f=

1

6

T =1

6s

b) Calculo de la frecuencia angularw = 2πf = 2π(6)

w = 12πrad

s

Ejercicio No6. 10 Un auto es capas de recorrer uniformemente 100m en 4s, si el radio de susllantas es 0.2m, determinar su velocidad angular durante el movimiento.

SolucionGraficando el movimiento realizado Solucion

Un observador en el auto diras = vt

s = wRt

Reemplazando100 = w(0.2)(4)

w = 125rad/s

Ejercicio No6. 11 Una rueda gira describiendo 80vueltas en 1 minuto. Si la rueda tiene un radiode 50cm, ¿Cual sera la aceleracion centrıpeta de la rueda?

Solucion

Fisica I

6. Cinematica 43

La aceleracion centrıpeta sera:acp = w2R

Pero

w =θ

t=

80vueltas

1minutos=

80(2πrad)

60s

w =8π

3

rad

s

Luego

acp =

(8

3π

)2

(0.5)

acp =32π2

9

m

s2

Fisica I

CAPITULO 7

Dinamica de una partıcula

Es la parte de la mecanica que tiene finalidad estudiar las relaciones entre las fuerzas y elmovimiento que estas producen. Es decir entre las causas y efectos. Estas relaciones entre lasfuerzas y el movimiento fueron enunciados por ISAAC NEWTON

7.1. Fuerza

Es una cantidad vectorial, que se define como el cambio con respecto al tiempo del movimien-to de una partıcula

~F =d~p

dt, donde: ~p: es momentun (7.1)

7.2. Primera ley de Newton (Ley de inercia)

Todo cuerpo permanece en reposo (velocidad igual a cero) o con un movimiento rectilineouniforme (velocidad constante) al menos que actua una fuerza que cambia su estado

7.3. Segunda Ley de Newton

Todo fuerza aplicada a un cuerpo le comunica una aceleracion a en la misma direccion ysentido donde la fuerza directamente proporcional en ella o inversamente proporcional a la masam del cuerpo. de 7.1

~F =d~p

dt, ~p = m~v

~F = d(m~v)dt

~F = md~vdt

~F = m~a (7.2)

44

7. Dinamica de una partıcula 45

La ecuacion (7.2) es la segunda Ley de Newton

7.4. Tercera Ley de Newton

Es cuando toda accion se opone siempre a una reaccion igual pero en sentido contrario

7.5. Diferencia entre masa y peso

7.5.1. Peso

Es la fuerza gravitacional que ejerce la tierra sobre el cuerpo, por ejemplo tenemos

El peso es una cantidad vectorial

Su direccion y sentido es hacia el centro de la tierra

7.5.2. Masa

Es una cantidad escalar

Se mide con la balanza

Es constante, salvo para velocidades proximas a la luz

7.6. Fuerzas de rozamiento

Cuando un cuerpo va a iniciar un movimiento o esta en movimiento, existe una fuerza fque se opone al movimiento relativo entre los cuerpos, tal como se indica en la figura

7.6.1. Normal (N)

La fuerza normal N es una fuerza perpendicular a la superficie en contacto, y es una reac-cion de la superficie fija sobre el cuerpo que se mueve, la fuerza de rozamiento siempre esperpendicular ala normal (N)

Fisica I


7.6.2. Fuerza de rozamiento estatico

Se define cuando se aplica una fuerza F sobre el cuerpo de peso ~w, al aumentar la fuerza~F , el cuerpo no se mueve entonces ~F alcanza un valor maximo, o limite Flim en el cual se diceque el cuerpo va iniciar su desplazamiento o el movimiento es inmediato, entonces la fuerza quese opone al movimiento que es la fuerza de rozamiento estatico fs experimentada, se halla queesta fuerza es proporcional a la normal

fs ∝ N, fs = µsN

donde µs : es el coeficiente de rozamiento estatico

7.6.3. Fuerza de rozamiento cinetico

Se define la fuerza de rozamiento cinetico, como la fuerza necesaria para mantener doscuerpos en movimientos uniformes relativo, se halla experimentalmente que fk es proporcionala la normal

fk ∝ N, fk = µkN

donde µk: es el coeficiente de rozamiento cinetico

Fisica I


7.7. Fuerza centrıpeta

Cuando un cuerpo describe un movimiento circular, siempre existe la fuerza centrıpeta,mediante un observador que usa una sistema de referencia inercial

Fc = mac, como ac = v2

R, tenemos

Fc = mv2

Rademas v = wR y reemplazando

Fc = m(wR)2

R= m

w2R2

R= mw2R

Fc = mw2R, donde w: velocidad angular.Tambien se puede expresar en funcion la frecuencia

w =2π

T= 2πf

Reemplazando en la ecuacion de la fuerza centrıpeta

Fc = m(2πf)2R = 4π2Rmf 2

7.8. Ejercicios resueltos de dinamica de una particula

Ejercicio No7. 1 En la figura AB es una mesa sin rozamiento, las masa m1 y m2 estan unidaspor una cuerda que pasa sobre una polea liviana en B. Determinar a) la aceleracion de la m2 b) latension de la cuerda

Fisica I


SolucionAnalizando para el bloque (2), m2 > m1

de la segunda Ley de Newton ∑Fy = ma

T2 −m2g = m2a2 (1)

T1 = m1a1 (2)

Luego (2) en (1) y T1 = T2 = T y a1 = a2 = a

m1a−m2a = m2am1 −m2a = m2g

a = m2gm1−m2

La tensionT = m2g +m2aT = m2g +m2

m2gm1−m2

T = m2g(

1 + m2

m1−m2

)= m2g

(m1−m2+m2

m1−m2

)T = m1m2g

m1−m2

Ejercicio No7. 2 Las masa A y B en la figura adjunta son respectivamente de 10Kg y 5kg elcoeficiente de friccion entre A y la masa es de 0,20, encontrar la masa minima de C que evita elmovimiento de A. Calcular la aceleracion del sistema si C se separa del sistema

Fisica I


SolucionCalculo de la masa C

De la 2da Ley de Newton ∑Fx = ma

T − Ff = (mA +mC)a (1)∑Fy = 0

N = (mA +mC)g (2)

si Ff = µNFf = (mA +mC)gµ (3)

del bloque B tenemos

Fisica I


De la 2da Ley de Newton ∑Fy = ma

mBg − T = mBa

T = mBg −mBa (4)

Luego (3) y (4) en (1) tenemos:

mBg −mBa− (mA +mC)gµ = (mA +mC)a

mBg − (mA +mC)gµ = (mA +mB +mC)a

a =mBg − (mA +mC)gµ

(mA +mB +mC), como FB = mBg, Fg = (mA +mC)gµ

a =FB − Ff

mA +mB +mC

(5)

Para que mC → minimo la aceleracion del sistema debe ser nula (a 6= 0) luego debe cumplir

FB = Ff (6)

(6) en (3)mBg = (mA +mC)gµ

mBg = mAµg +mCµg

mC =mAgµ−mB

µg=mAµ−mB

µ(7)

finalmente reemplazando los datos en (7) pera encontrar la masa C

mC =(5− (0.20)10)

0.20= 15Kg

mC = 15Kg

Para encontrar la aceleracion usamos la ecu. (5) tenemos

a =mBg − µmAg

mA +mB

=(5− (0.20)10)9.8

5 + 10= 1.96m/s2

a = 1.96m/s2

Ejercicio No7. 3 Un cuerpo cuya masa es de 0.30Kg, se encuentra sobre un plano inclinado 30o

el cuerpo se mueve con movimiento uniforme y con aceleracion de 0.10m/s2 el coeficiente de friccionde deslizamiento con el plano es de 0.30 y su velocidad es de 2m/s2 hacia arriba. ¿ Que distanciarecorre el cuerpo antes de detenerse?,¿ Cual es el menor del coeficiente de friccion de modo que elcuerpo una vez detenido no regrese hacia abajo?

SolucionRepresentemos graficamente el problema

Fisica I


Calcula de la distancia recorrida por el cuerpo tenemos:

x = vot+1

2at2 (1)

ademasv = vo + at (2)

segunda ley de movimiento ∑Fx′ = ma

−Ff −mg sen 30o = ma (3)

ma = −(Ff +mg sen 30o) (4)∑Fy′ = 0

N = mg cos 30o

como Ff = Nµ, tenemosFf = mg cos 30oµ = µmg cos 30o (5)

Luego (5) en (4)ma = −(µmg cos 30o +mg sen 30o)a = −(µg cos 30o + g sen 30o)a = −g(µ cos 30o + sen 30o)

Reemplazando los datos tenemos

a = −(9.8)(0.3 cos 30o + sen 30o)

a = −7.43m/s2 (6)

de (2), como v = 0

t = −voa

=−(0.10)

−(7.43)= 0.269s (7)

finalmente (6), (7) en (1) tenemos

x = 2(0.269) +1

2(−7.43)(0.269)2

x = 0.27m (8)

Fisica I


Calculemos el valor del coeficiente de friccion mınimo: tenemos:

Ff −mg sen 30o = 0 (9)

peroFf = µ′mg cos 30o (10)

igualando (9)=(10) tenemos

µ′mg cos 30o = mg sen 30o

µ′ = sen 30o

cos 30o = tan 30o

µ′ = 0.577

El grafico Para que el coeficiente sea mınimo

∑F ′x = 0

Ff −mg sen 30o = 0

Ff = mg sen 30o

Ejercicio No7. 4 La masa de A y B son de 3Kg y 1Kg respectivamente. Si se aplica una fuerzaF = 5t2 a la polea, encontrar la aceleracion de A y B en funcion de t ¿ que sucede despues que Balcanza la polea?

Fisica I


Solucioncomo se jala la polea haremos el analisis para el bloque B

De la 2da Ley de Newton ∑Fy = ma

TB −mBg = mBa (1)

luego el bloque A

∑Fx = 0

TA = mAg (2)

como:F = TA + TB (3)

luego (2) y (1) en (3)F = mBa+mBg +mAg

amB = F −mB −mAg

a =F

mB

− g (mB +mA)

mB

(4)

Reemplazando los datos F = 5t2, mA = 3Kg, mB = 1Kg

a = 5t2 − (39.2)

Luego A no tiene movimiento AA = 0

Fisica I


Ejercicio No7. 5 Una piedra cuya masa es de 0.4Kg esta atado al extremo de una cuerda de0.8m si la piedra describe un circulo a una velocidad de 80rev/min cuales la magnitud de la fuerzaque ejerce la cuerda sobre la piedra si la cuerda se rompe la tension en mayor de 50Kgf. ¿ Cual esla mayor velocidad angular positiva?

SolucionDatos: m = 0.4Kg, R = 0.8min Grafica del problema

La velocidad angular

w =8rev

min=

8πrad

3s

w =8πrad

3s(1)

como sabemos que:

FN =mv2

R= mRw2 (2)

luego reemplazando (1) y los datos en (2)

FN = (0.4)(0.8)

(4

32(3.14)

)2

= 22.42N

FN = 22.42N

Si la cuerda se rompe a la tension de 50Kg esta sera la maxima fuerza normal que podra so-portar, luego

FN = mRw2

w =

√FNmR

=

√(50)(9.8)

(0.4)(0.8)= 39.12rad/s

Ejercicio No7. 6 Una masa m muy pequena esta ligado con una cuerda al extremo de esta sehalla en el vertice de un cono a una altura L, el cual gira cierta velocidad w hallar el valor de wpara el cual la masa se separa ligeramente del cono tal como se indica en la figura

Fisica I


SolucionConsideremos que la masa gira junto con el cono y las fuerzas que actuan son la tension de lacuerda, el peso del cuerpo, y la reaccion N del cono sobre la masa

De la 2da Ley de Newton ∑Fx = mac

T sen θ −N cos θ = mRw2 (1)∑Fy = 0

T cos θ +N sen θ −mg = 0 (2)

segun el problema cuando se separa del cono N = 0 y (1) y (2)

T sen θ = mRw2 (3)

T cos θ = mg (4)

Fisica I


(3)÷ (4) comoT cos θ = mg, R = L sen θ (6)

Luego (6) en (??) tenemossen θ

cos θ=L sen θw2

g

w2 =g

L cos θ

w =

√g

L cos θ

Ejercicio No7. 7 Un cuerpo desliza del vertice de una esfera lisa de radio R Hallar la velocidaddel cuerpo en el momento de la separacion de la superficie de la esfera, si su velocidad inicial escero.

SolucionPresentemos graficamente el problema:

La partıcula esta en la posicion p(R, θ) y tiene una velocidad tangencial y por lo tanto unaaceleracion tangencial y una aceleracion centrıpeta en la direccion R∑

FR = mac =mv2

R

mg cos θ −N =mv2

R

si cuando se separa N = 0

mg cos θ =mv2

R(1)

Fisica I


La aceleracion tangencial en la direccion θ∑Fy = maT

mg sen θ = maT = mdv

dt

dv

dt= g sen θ (2)

como dvdt

= dvdθ· dθdt

= dvdθw

dv

dt=dv

dθ

( vR

)(3)

Luego tenemos:dv

dθ

( vR

)= g sen θ∫ v

0

v

Rdv =

∫ θ

0

sen dθ ⇒ v2

2

∣∣∣∣v0

= −gR cos θ|θ0

v2

2= −gR(cos θ − cos 0) = −gR(cos θ − 1)

v2 = 2gR(1− cos θ)

v =√

2gR(1− cos θ) (4)

de (1) y (4) tenemosRg cos θ = 2Rg(1− cos θ)

cos θ = 2− 2 cos θ3 cos θ = 2

cosθ =2

3(5)

luego de (1) en (5) tenemos

v2 = RG2

3⇒ v =

√2

2RG

Fisica I


Ejercicio No7. 8 Una cadena flexile de longitud L y peso W (figura adjunta) esta colocadoinicialmente en reposo sobre una superficie sin friccion ABC estando D a una distancia L − ade B demostrar que cuando el extremo D llega al punto B la velocidad de la cadena es v =√(

gL

)(L2 − a2) senα

SolucionComo sabemos que M es la masa total de la cuerda M

Les la masa longitudinal de la cuerda

entonces, la masa de la longitud x es

m =M

Lx (1)

Por la segunda Ley de Newton ∑F = ma

mg senα = Ma (2)

M

Lxg senα = Ma (3)

como :a = dvdtdxdx

= dvdx

dxdt

a = vdv

dx(4)

Luego de (4) y (3) tenemos

Mvdv

dx=Mx

Lg senα

Fisica I


∫ v

0

vdv =g senα

L

∫ L

0

xdx

v2

2=g senα

L

x2

2

∣∣∣∣L0

=g senα

2L(L2 − a2)

v2

2=g senα

2L(L2 − a2)

v =

√g senα

L(L2 − a2)

Fisica I

CAPITULO 8

Trabajo y Energıa

En este capitulo se comenzara por introducir el concepto de trabajo, el trabajo es efectuadopor una fuerza que actua sobre un objeto cuando el punto de aplicacion de esa fuerza se muevealguna distancia y la fuerza tiene una componente a la largo de la linea de movimiento.

8.1. Trabajo

Consideremos una partıcula en A que se mueve a lo largo de una curva C bajo la accion deuna fuerza F (figura), en un tiempo muy pequeno dt la partıcula se mueve de A a A’, siendo eldesplazamiento AA′ = dr. Al trabajo efectuado por la fuerza F durante el desplazamiento sedefine por el producto escalar

dw = ~F · d~r (8.1)

como se trata la distancia muy pequena se observa que dr ≈ ds, FT = F cos θ, tenemos

dw = FT = F cos θds = Fds cos θ

60

8. Trabajo y Energıa 61

dw = Fds cos θ (8.2)

8.2. Trabajo hecho por una fuerza variable

En este caso la fuerza no es constante en magnitud y es una funcion de la posicion y sedefine, mediante un proceso de integracion figura. El trabajo es el area de la funcion w = Areadebajo de la funcion :

como:∆w = Fx∆x

n∑i=1

∆w =n∑i=0

Fx∆x (8.3)

Si se permite que los desplazamientos se aproximen a cero la llevaremos a lım ∆x→ 0

∆w = Fx∆x

lım∆x→0

w = lım∆x→0

Fx∆x∫ w

0

dw =

∫ xf

xi

Fx

w =

∫ xf

xi

Fxdx (8.4)

8.3. Teorema del trabajo y la energıa cinetica

El teorema es unico, que se cumple si la fuerza es constante o no para este analizaremospara los dos casos

Fisica I


8.3.1. Cuando la fuerza es constante

Para esta consideremos ~F paralelo al desplazamiento en una solo direccion

El trabajo:w = ~F · ~r (8.5)

como ~F = m~a, tenemos ~r = xw = max (8.6)

y ademas v2f = v2

o + 2ax de (8.6) y (8.5) tenemos:

w = mv2f − v2

o

2=mv2

f

2− mv2

o

2(8.7)

de (8.7) tambien se define la energıa cinetica como la cantidad de trabajo que puede realizar elcuerpo sobre sus alrededores

8.3.2. Cuando la energıa es variable

Consideremos la fuerza variable de la ecu. (8.4)

w =

∫Fdx =

∫madx (8.8)

como:

a =dv

dt=dv

dt

dx

dx=dv

dx

dx

dt= v

dv

dx(8.9)

Lo reemplazamos (8.9)en (8.8) tenemos

w =

∫mv

dv

dxdx = m

∫ v

vo

vdv

w = mv2

2|vvo = m

(v2

2− v2

o

2

)=

1

2mv2 − 1

2mv2

o

w = K −Ko = ∆K (8.10)

Fisica I


8.4. Potencia

Se define la potencia media como la rapidez con la que se efectua trabajo o es el tiempo quese tarda en hacer el trabajo

P =w

t(8.11)

tambien se define la potencia instantanea Pinst = dwdt

, tambien∫dw =

∫ t2t1Pdt

w =

∫ t2

t1

Pdt (8.12)

8.5. Fuerza conservativas

Definicion: Una fuerza conservativa si el trabajo hecho por una partıcula que se mueveasignando un ∆K = 0 , w = 0, F = 0 es conservativa

circulo completo cualquiera es cero.Ahora si el trabajo hecho por una fuerza F es un circulo cerrado es diferente de cero,

entonces es fuerza no es conservativa.

∆K 6= 0,⇒ w 6= 0,⇒ F no es conservativa

Definicion: Una fuerza es conservativa si el trabajo hecho por ella sobre una partıcula que sedesplaza entre dos puntos depende solamente de eses puntos y no de la trayectoria siguiendo sise depende de la trayectoria la fuerza no es conservativa.

8.6. Energıa Potencial

8.6.1. Energıa potencial gravitatoria

Cuando un objeto cae hacia la tierra, esta ejerce sobre el una fuerza gravitatoria en direccionhacia el centro de la tierra y esta dado por:

F = mg

como sabemos que: de (8.4)

w =

∫Fdy

w =

∫ y

yo

mgdy = mg

∫ y

yo

dy = mg(y − yo)

w = mg∆y (8.13)

es el cambio de la energıa potencial

Fisica I


8.6.2. Energıa potencial elastica

Ahora consideremos un sistema de un bloque mas un resorte como se muestra en la figura,la fuerza que el ejerce sobre el bloque esta dada por Fs = −kx.

como en el caso anteriorw =

∫Fsdx

w =∫ xxo−kxdx = −k

∫ xxoxdx

w = −k x2

2|xxo = −k

2(x2 − x2

o)w = 1

2k(x2

o − x2)w = −∆U(x)

8.7. Ejercicios de trabajo y energıa

Ejercicio No8. 1 Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12N , cuyo punto de aplicacionse mueve 7m, si el angulo entre las direcciones de las fuerzas y el desplazamiento a) 0o b) 60o c)90o d) 145o e) 180o

SolucionComo sabemos por definicion que w =

∫~F · d~r es en la forma vectorial, tambien se puede

escribir en la forma escalar

w =

∫Fr cos θ

cuando esa en la direccion de la fuerza integrando tenemos

w = Fr cos θ

Para a) θ = 0o

w = (12)(7) cos 0o = 84J

Para b) θ = 60o

w = (12)(7) cos 60o = 42J

Fisica I


Para c) θ = 90o

w = (12)(7) cos 90o = 0J

Para d) θ = 145o

w = (12)(7) cos 145o = −68.8J

Para e) θ = 180o

w = (12)(7) cos 180o = −84J

Ejercicio No8. 2 Un cuerpo de 0.10Kg de masa cae de una altura de 3m sobre un monton dearena si el cuerpo penetra 3cm antes de detenerse que fuerza constante ejerce la arena sobre el

SolucionDatos: d1 = 3m, d2 = 3cm, m = 0.10Kg, F =? Como w = Fd1, ademas

F = fuerza = peso = mgF = (0.1)(9.8) = 0.98N

d1 = 3m

Luego w = Fd1 = (0.98N)(3m) = 2.74J Luego la energıa debe producir un trabajo al penetraren la arena osea

warena = Fd2 ⇒ F =w

d=

2.94

0.03= 98N

F = 98N

Ejercicio No8. 3 Sobre un plano inclinado de θ, se empuja un cuerpo de masa m si el coeficientede rozamiento es µk entre el cuerpo y el plano, que trabajo debe realizar para subir el cuerpo unadistancia de L , con una velocidad constante.

Solucion

Fisica I


Analizamos las fuerzas de la componente x′,∑Fx = F − fs −mg sen θ (1)

como la velocidad es constante ma = 0

F = ma = 0

F − fs −mg sen θ = 0

F = mg sen θ + fs (2)∑Fy = 0

N −m cos θ = 0

N = m cos θ (3)

y fs = µNfs = µmg cos θ (4)

Ahora como el trabajo esw = ~F · ~r (5)

donde r = L Luego (5) (3) y (2) tenemos:

w = (fs +mg sen θ)L = (µmg cos θ +mg sen θ)L

w = mgL(µ cos θ + sen θ)

Ejercicio No8. 4 sea una masa m, que se halla a una distancia h del extremo superior de unresorte de constante elastica k, tal como se muestra en la figura, Hallar la maxima compresion

Solucion

Fisica I


Del grafico podemos observar las fuerza que actua son el peso y el resorte tenemos: por conser-vacion de energıa

∆K + ∆Ue + ∆Ug = 0(1

2v2fm−

1

2v2om

)+

(1

2kx2 − 1

2kx2

o

)+ (mghf −mgho) = 0

(0− 0) + (1

2kx2 − 0) + (0−mg(h+ x)) = 0

x2 =2mg

k(h+ x)

x2 =2mg

kh+

2xmg

k

x2 −(

2mg

k

)x−

(2mgh

k

)= 0

factorizando tendremos

x =mg

k±√m2g2

k2+

2mgh

k

Ejercicio No8. 5 Una fuerza de 60dinas actua por 12s en cuerpo cuya masa es de 10gm. Elcuerpo tiene una velocidad inicial de 60cm/s en la misma direccion de la fuerza a) El trabajoefectuado por la fuerza, b) La energıa cinetica final c) La potencia desarrollada y d) el aumento dela energıa cinetica

Solucion

a) Trabajo efectuado: Datos: F = 60dinas, t = 12s, m = 10gm y v = 60cm/s Sabemos :

w =

∫~F · d~r (1)

ademas:

xf = vot+1

2at2 (2)

Fisica I


Pero:

a =F

m=

60

10= 6cm/s2 (3)

Luego (3) en (2)

x = (60)(12) +1

2(6)(12)2 = 1152cm

xo = 0; x1 = 1152cm

La distancia de 0 → 1152cm de (1) tenemos w =∫ x1

0F cos θdr, como esta en la misma

direccion θ = 0

w =

∫ 1152

0

(60)(cos 0)dr = 60(1152) = 69120J

b) Energıa cinetica

Ek =1

2mv2 (4)

ademasvf = vo + at (5)

en efecto vf = 60 + 6(12)vf = 132cm/s (6)


EKf =1

2mv2 =

1

2(10)(132)2

Ekf = 87.120J

c) Potencia desarrollada

P =w

t(7)

de (7) tenemos

P =69.120

12= 5.76× 10−4Watts

d) Aumento de la energıa cinetica∆Ek = Ekf − Eko

donde:

Eko =1

2mv2

o =1

2(10)(60)2 = 18000J

de lo anterior tenemos

Ekf = 87.120J, Eko = 18000J

∆Ek = 87120− 18000 = 69.120J

Ejercicio No8. 6 Sabemos un plano inclinado θ = 60o, esta situacion una masa de 20Kg, el cualdesliza una distancia de 5m, hasta la base del plano. despues recorre 2m antes de chocar con unresorte de constante de elasticidad 1000N/m, cuanto se comprime el resorte, si ambas superficiespresentan rozamiento cuyo coeficiente es 0,3

Fisica I


Solucion

Primeramente trabajamos el tramo AB por el teorema de conservacion de energıa

∆Ug + ∆K = −Wfs

(mghf −mgho) +

(1

2mv2

f −1

2mv2

o

)= −wfs (1)

hf = 0, vo = 0 tenemos

−mgL1 sen θ +1

2mv2

1 = −wfs (2)

como: wfs = fsd, fs = µN ∑Fy = 0

N = mg cos θ ⇒ fs = µmg cos θ, d = L1

wfs = µmg cos θL1 (3)


−mgL1 sen θ +1

2mv2

1 = −µmg cos θL1 (4)

ahora para el tramo BC el misma principio de conservacion de energıa

∆Ug + ∆K = −Wfs(1

2kx2

2 −1

2kx2

1

)+

(1

2v2

2 −1

2mv2

1

)= fsd

1

2kx2

2 −1

2mv2

1 = −µmg(L2 + x) (5)

Fisica I



mgL1(sen θ − µ cos θ) =1

2kx2 + µmg(x+ L2)

Luego reemplazando los valores tenemos, como: m = 20Kg, θ = 60o, L1 = 5m, L2 = 2m,µ = 0.3

(20)(5)(cos 30o + 0.3 sen 60o) =1

2100x2 + (0.3)(20)(9.8)(x+ 2)

resolviendo tenemos1000x2 + 12x− 24 = 0

finalmente x = 0.149m ≈ 0.15m

Fisica I

CAPITULO 9

Cantidad de movimiento

9.1. Momentum lineal o cantidad de movimiento

Es una magnitud vectorial que mide el grado de oposicion (inercia) que presenta un cuerpopara cambiar su movimiento.

~P = m~v (9.1)

9.2. Principio de conservacion de la cantidad de movimien-

to

∑~Pantes =

∑~Pdespues (9.2)

Este se cumple solo si la resultante de las fuerzas externas es nulo.

9.3. Ejercicio de Cantidad de movimiento

Ejercicio No9. 1 La figura adj. ilustra un pendulo balıstico se usa para determinar la velocidadde una bala midiendo la altura h a la que el bloque se eleva despues de que la bala se ha incrustadoen el. Hallar la velocidad de la bala antes de impacto.

71

9. Cantidad de movimiento 72

SolucionPor conservacion de momentumtenemos

m1v1 = (m1 +m2)v2

Ademas por conservacion de energıa

EMA= EMB

EKA + EpA = EKB + EpB1

2(m1 +m2)v2

2 = (m1 +m2)gh

v2 =√

2gh

Reemplazando v2 en la ecuacionm1v1 = (m1 +m2)v2

m1v1 = (m1 +m2)√

2gh

v1 =√

2gh

(m1 +m2

m1

)Ejercicio No9. 2 Una bala de masa m y velocidad v pasa atraes de la esfera de un pendulode masa M saliendo con una velocidad v/2. La esfera pendular cuelga del extremo de la cuerdade longitud l como se muestra en la figura. ¿Cual es el menor valor de v para el cual el pendulocompletara una circunferencia entera?

SolucionPor conservacion de momentumsabemos:

mv = MV +m(v

2

)Ademas

1

2m2v =

1

2MV 2 +

1

2m(v

2

)2

1

2mv2 =

1

2MV 2 +

1

8mv2

3

8mv2 =

1

2MV 2

Fisica I


Ahora bien: Por conservacion de energıa en la esfera

(Mg)2l =1

2MV 2

2Mgl =1

2MV 2

Reemplazando

3

8mv2 = 2MV 2

v2 =16Mgl

3m

v = 4

√Mgl

3m

Ejercicio No9. 3 Considere la superficie cilındrica de la figura desde la altura h se deja deslizarun bloque 1 de masa m que choca elasticamente con otro bloque 2 de masa 2m que se encuentraen el punto mas bajo del cilindro y en reposo, si entre los bloques y la superficie cilındrica no hayroce. Calcular las alturas maximas a los que llega los bloques 1 y 2 despues del choque.

SolucionPor conservacion de energıa, la velocidad v con que llega el bloque 1 al punto mas bajo delcilindro (justo antes del choque con el bloque 2)es:

EMi= EMf

hmg =1

2mv2

v =√

2gh

En el momento que se produce el choque se conserva el momentum lineal del sistema y laenergıa cinetica del mismo. Antes del choque las velocidades (Horizontales) de los bloques sonv y 0, respectivamente. Llamemos v1 y v2 las velocidades de los bloques respectivamente justodespues del choque. Por conservacion de momentum lineal,

P1 + P2 = P ′1 + P ′2mv = mv1 + 2mv2

Por conservacion de energıa

1

2mv2 =

1

2mv2

1 +1

2mv2

2

Fisica I


Ahora

v − v1 = 2v2

v2 − v21 = 2v2

2

dividiendo estas dos igualdades obtenemos

v + v1 = v2

Finalmente, resolviendo el par de ecuaciones lineales

v − v1 = 2v2

v + v1 = v2

encontramos las velocidades de cada uno de los bloques despues del choque:

v1 = −1

3v

v2 =2

3v

Para calcular las alturas a las que llegan los bloques, usamos conservacion de energıa para cadauno de ellos y obtenemosPara el bloque 1

Ei = Ef1

2mv1 = H1mg

1

2m(−1

3v)2 = H1mg

H1 =1

9h

Para el bloque 2

Ei = Ef1

2mv2 = H2mg

1

2m(

2

3v)2 = H2mg

H2 =4

9h

Fisica I

CAPITULO 10

Metodologıa

10.1. Estrategias

El desarrollo del curso, se realiza utilizando la estrategia del aprendizaje significativo, brin-dando apoyo a los alumnos en la solucion de los diferentes problemas que se les puede presentar.

10.2. Metodos

El metodo que se emplea para el desarrollo de las practicas pre-profesionales es el inductivoy deductivo

10.3. Medios y Materiales

Los medios y materiales para el desarrollo de las sesiones de aprendizaje son:

Auditivo: de acceso personal, esto es, voz humana.

Visual: empleo de pizarra, plumon y mota.

75

CAPITULO 11

Cronograma de Actividades

11.1. Temas

No Temas01 Vectores02 Estatica03 Cinematica04 Dinamica de una partıcula05 Trabajo Potencia y energıa06 Cantidad de movimiento

11.2. Cronograma de Actividades

FechasSetiembre Octubre Noviembre Enero

Temas 16 23 30 7 14 21 28 4 11 18 25 6 13 20 2701 ∗ ∗02 ∗ ∗03 ∗ ∗ ∗ ∗04 ∗ ∗ ∗05 ∗ ∗ ∗06 ∗ ∗ ∗

76

CAPITULO 12

Relacion de Estudiantes y Asistencias

12.1. Relacion de estudiantesNo CODIGO APELLIDOS Y NOMBRES1 073419 CCAMA MAMANI, SADDAM AGUST2 073420 CCASO YUCASI, EMERSON IVAN3 073417 CAMAZA MULLIRACA, EDWIN4 073439 MAMANI CHUI, JOEL5 073422 HUAMAN LOAYZA, ROMMEL6 073412 HANCO MAMANI, ABEL FERNANDO7 073442 MAMANI TURPO, IVAN JESUS8 064237 CACERES NAVARRO, LUDTWIN9 052075 PINTO ENRIQUEZ, JUMY MICHAEL10 071403 SIHUACOLLO VARGAS, MARCOS RENE

11 071900 LEON MUNOZ, CESAR GUSTAVO12 070800 COLLANTES SILLA, PABLO ANDRES13 070792 APAZA CRUZ, JUAN ANDRES14 071897 CORONEL COILA RONALD15 070812 MAMANI MAMANI, JAVIER RUFINO16 073410 APAZA SUCARI, RINALD17 073422 COILA TICONA, JAVINO ELLIOTT18 073447 TICONA PACOHUANACO, JUAN ROMAN19 073413 BRAVO MAMANI, JESUS20 073438 LUQUE PORCIA, ELMER EDUARDO21 001561 SUCASACA BELIZARIO, MAURICIO22 072171 PATRICIO TINTAYA, MILTON MANUEL23 064666 PAYVA AQUINO, RIBERT CRISTHIAN24 064667 PILCOMAMANI ARIAS, AMADOR25 062318 QUENTA YANAPA, AGUSTO FREDDY26 063891 QUISOCALA MOROCCO, SAMUEL27 075428 QUISPE BUSTINCIO, JHOVANY28 063892 QUISPE TECCE, ABEL29 062321 RAMOS GALINDO, DANTE30 990266 REYES CUBA, JOSE AMILCAR31 071262 SANTANDER PACORICONA, FREDDY VLADIMIR

77

12. Relacion de Estudiantes y Asistencias 78

12.2. Lista de Asistencia

Datos Setiembre Octubre Novienbre EneroNo CODIGO 16 23 30 7 14 21 28 4 11 18 25 6 13 20 271 073419 • • • • • • • • • • • • •2 073420 • • • • • • • • • • • • •3 073417 • • • • • • • • • • • • •4 073439 • • • • • • • • • • • • •5 073422 • • • • • • • • • • • •6 073412 • • • • • • • • • • • •7 073442 • • • • • • • • • • • • •8 064237 • • • • • • • • • • • • •9 052075 • • • • • • • • • • • • •10 071403 • • • • • • • • • • • • •11 071900 • • • • • • • • • • • • •12 070800 • • • • •13 070792 • • • • • • • • • • • •14 071897 • • • • • • • • • • • • • • •15 070812 • • • • • • • • • • • • • • •16 073410 • • • •17 073422 • • • • • • • • • • •18 073447 • • • • • • • • • • • • • • •19 073413 • • • • • • • • • • • • •20 07343821 001561 • • • • • • • • • • • • • •22 07217123 064666 • • • • • • • • • • • •24 064667 • • • • • • • • • • • • • • •25 062318 • • • • • • • • • • • •26 063891 • • • • • • • • • • • • • • •27 075428 • • • • • • • • • • • • •28 063892 • • • • • • • • • • • • • •29 062321 • • • • • • • • • • • • •30 990266 • • • • • • • • • • • • •31 071262 • • • • • • • • • • • • •

Fisica I

Bibliografıa

[1] Luis Rodriguez Valencia, Mecanica I, Departamento de Fısica,Universidad de Santiagode Chile, 2000

[2] Marcelo Alonso y Edward J. Finn, Fisica Volumen I Macanica , 1967

[3] R. A. Serway,Fisica Tomo I, McGraw-Hill,1982

79

Documents

52616591 informe200901-fisica-i