SWorld – 18-27 December 2012 http://www.sworld.com.ua/index.php/ru/conference/the-content-of-conferences/archives-of-individual-conferences/december-2012 MODERN PROBLEMS AND WAYS OF THEIR SOLUTION IN SCIENCE, TRANSPORT, PRODUCTION AND EDUCATION‘ 2012

УДК 53.07

Бутенко С.А., Артеменко Ю.А.

К ВОПРОСУ О СИЛОВЫХ ЛИНИЯХ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Донецкий национальный технический университет,

Донецк, Артема 58, 83001

UDC 53.07

Butenko S.A., Artemenko Yu.A.

ON POWER LINES ELECTRIC FIELD

Donetsk National Technical University,

Donetsk, Artema 58, 83001

В данном докладе рассматривается использование компьютерных

методов для расчетов электрических полей постоянных зарядов.

Ключевые слова: электрическое поле, эквипотенциальные поверхности,

электрического поля, силовые линии.

This report discusses the use of computer methods for calculating the electric

field of constant charge.

Key words: electric field, equipotential surfaces, electric field, the field lines.

Изучение физики в 11 классе начинается с раздела «Электростатика».

Давайте посмотрим, что приготовили авторы нового учебника по физике для

профильных классов [1] будущим выпускникам. Уже на 14 странице мы видим

рисунок, который изображает силовые линии двух положительных точечных

зарядов (рис.1).

Давайте мысленно проведем на рис.1 линию, равноудаленную от зарядов.

Она будет проходить через середину отрезка, соединяющего заряды

перпендикулярно ему. Представили? Тогда у вас так же, как и у нас создастся

впечатление, что ближайшие к этой условной линии силовые линии

асимптотически к ней приближаются. Это значит, напряженность поля там

будет бесконечно большой. А мы ведь понимаем, что это не так.

Рис.1. Рисунок 2.6 б из [1]

Поищем подобные картинки в других школьных учебниках, например в

[2]. В нем мы нашли аналогичный рисунок (рис.2). Снова центральные силовые

линии стремятся сойтись.

Рис.2. Рисунок 4.12 б [2]

В некоторых учебниках эти силовые линии расходятся, но отсутствует

линия соединяющая заряды. Откуда взялись такие существенные различия в

изображениях силовых линий? Мы понимаем, что при помощи этих линий поле

изображают схематически, но все же…

Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. На

рис.3 мы видим эквипотенциальные поверхности и силовые линии [1].

Удивительно, ведь в этом же учебнике на с.14 силовые линии в центральной

области сходились (рис.1), а на этом рисунке – идут параллельно друг другу.

Рис.3. Рисунок 4.2 из [1]

В другом учебнике [2] этот же рисунок выглядит иначе (рис.4).

Рис.4. Рисунок 4.27 из [2]

Обратите внимание, что расстояния между зарядами на последних двух

рисунках одинаково. Еще один вариант эквипотенциальных линий, представлен

на рис.5. [3]. На этом рисунке нас удивила эквипотенциальная линия,

соответствующая числовому значению 2,5 (единиц потенциала). Она

«вытянута» в обе стороны в отличие от соседней, соответствующей числовому

значению 3,0 (единиц потенциала). Это действительно особый случай, или же

неаккуратно построенный рисунок?

Рис.5. Рисунок 5 из [3]

Мы попытались самостоятельно создать программу для построения

эквипотенциальных линий систем точечных зарядов на плоскости.

Пусть заряды расположены так, как показано на рис.6 в прямоугольной

декартовой системе координат. Наша задача – построить линии равного

потенциала такой системы в плоскости xOy.

Рис.6. Расположение зарядов

Найдем выражение для потенциала, создаваемого этими зарядами в точке с

координатами ( );x y . Используя выражение для потенциала, создаваемого

точечным зарядом на расстоянии r , принцип суперпозиции, а также формулу

для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости, получим:

( )( ) ( )2 22 20

1 1,4

qx yx a y x a y

ϕπε

= ⋅ + − + + +

. (1)

Это уравнение некоторой поверхности, которую мы построили, используя

программу Mathcad. Она представлена на рис.7. Эта поверхность, конечно же,

не является эквипотенциальной. Но из неё можно получить эквипотенциальные

линии, «разрезая» её горизонтальными плоскостями, уравнения которых как

раз и будут иметь одинаковый потенциал. Из уравнения ( ),x y constϕ =

получить явную зависимость ( )y x очень непросто даже в нашей простой

системе, состоящей всего лишь из двух зарядов.

Рис.7. Зависимость ( ),x yϕ в рассматриваемой задаче

Доступные нам программы для построения линий уровня (это те же

эквипотенциальные линии, но с математической точки зрения) не вполне нас

удовлетворили. Поэтому мы поставили перед собой цель: самостоятельно

написать программу для построения эквипотенциальных линий системы

точечных зарядов на плоскости.

Для написания программы мы использовали элемент HTML5 – Canvas и

язык программирования JavaScript.

Построение одной из эквипотенциальных линий происходит следующим

образом. Присвоим функции ( ),x yϕ некоторое значение 0ϕ . Определим

точность вычислений, которая будет удовлетворительной. Потом «пробегаем»

по всем точкам плоскости ( );j jx y , и если значение функции ( ),j jx yϕ

равняется 0ϕ с учетом заданной точности, тогда закрашиваем эти точки.

Следующую линию получим, изменив значение 1ϕ на 0ϕ ϕ+ ∆ .

Скриншот рабочего окна программы представлен на рис.8. Пользователь

может самостоятельно выбрать положение и величину заряда, а также число и

шаг эквипотенциальных линий.

Рис.8. Интерфейс программы

Главный плюс программы состоит в том, что она работает на всех

платформах и операционных системах. Необходим лишь современный браузер

с поддержкой HTML5.

Рассмотрим полученные с помощью этой программы результаты.

На рис.9 представлено изображение эквипотенциальных линий системы,

состоящей из двух одинаковых точечных зарядов. Если мы вернемся к

рисункам из учебников, то увидим сходства и отличия с нашим «честно»

посчитанным рисунком.

Рис.9. Эквипотенциальные линии 2-х зарядов

По нашему мнению, картинка силовых линий могла бы выглядеть так:

Рис.10. Силовые линии двух зарядов.

Литература:

1. Бар’яхтар В.Г. Фізика. 11 клас. Академічний рівень. Профільний рівень :

Підручник для загальноосвіт. навч. закл. / В.Г. Бар’яхтар, Ф.Я. Божинова,

М.М. Кірюхін, О.О. Кірюхіна. — Х. : Видавництво «Ранок», 2011. — 320 с. : іл.

2. Физика: учеб. пособие для 10 кл. шк. и классов с углуб. изуч. физики /

О.Ф. Кабардин, В.А. Орлов, Э.Е. Эвенчик и др. ; Под ред. А.А. Пинского. — 2-е

изд. — М. : Просвещение, 1995. — 415 с .: ил.

3. Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. Механика. Берклеевский курс

физики. — М. : Наука, 1972. — 480 с.

References:

1. Bar'yahtar VG Fіzika. 11 classes. Akademіchny rіven. Profіlny rіven:

Pіdruchnik for zagalnoosvіt. navch. bookmark. / VG Bar'yahtar, FJ Bozhinova, MM

Kіryuhіn, OO Kіryuhіna. - H.: Vydavnytstvo "Ranok", 2011. - 320. : Іl.

2. Physics: Textbook. Guide for Grade 10. wk. and classes will deepen. studied.

Physics / O. Kabardin, VA Eagles, EE Evenchik and others, ed. AA Pinsky. - 2nd ed.

- M.: Education, 1995. - 415 p.: Ill

3. Kittel, C., Knight, W., Ruderman M. Mechanics. Berkeley Physics Course. -

Moscow: Nauka, 1972. - 480.