53924 Tähtien rakenne, luentomateriaalikevät 2015

Maarit J. Käpylä & Petri J. Käpylä

Fysiikan laitos, Helsingin yliopisto

2

Sisältö

Johdanto 7

1 Perusyhtälöiden johtaminen 91.1 Massan säilymislaki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Gravitaatiokenttä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Liikemäärän säilymislaki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 Polytrooppiset mallit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Viriaaliteoreema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Energian säilymislaki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5 Energian kuljetus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5.1 Säteily . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5.2 Johtuminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5.3 Konvektio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6 Yhtälö kemialliselle koostumukselle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6.1 Radiatiiviset alueet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6.2 Diffuusio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6.3 Konvektiiviset alueet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2 Perusyhtälöiden ratkaiseminen 412.1 Reunaehdot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.1 Reunaehdot tähden keskustassa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.2 Reunaehdot pinnalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Numeerisista ratkaisuista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3 Ratkaisujen olemassaolosta ja yksiselitteisyydestä . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Kaasun ominaisuudet tähdissä 473.1 Ideaalikaasu + säteily . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.1 Keskimääräinen molekyylipaino ja säteilypaine . . . . . . . . . . . 473.1.2 Termodynaamisia suureita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Ionisaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.1 Boltzmannin ja Sahan yhtälöt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.2 Vedyn ionisaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2.3 Sahan yhtälön pätevyysalue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3 Degeneroitunut elektronikaasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3.1 Täysin degeneroitunut elektronikaasu . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3.2 Osittain degeneroitunut kaasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.3.3 Yhteenveto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3

3.4 Kaasun tilanyhtälö tähdissä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4.1 Kiteytyminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4.2 Neutronisaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4 Energian tuotanto ydinreaktiolla 63

4.1 Yleistä asiaa ydinreaktioista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2 Tärkeimpiä ydinreaktioita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.1 Vedyn palaminen: pp–ketju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2.2 Vedyn palaminen: CNO–sykli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2.3 Heliumin reaktioita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2.4 Hiilen ja raskaampien aineiden palaminen . . . . . . . . . . . . . . 67

5 Tähtien varhainen kehitys 69

5.1 Prototähdet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.1.1 Tähtienvälisen pilven luhistuminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.1.2 Prototähden rakenteeseen vaikuttavia tekijöitä . . . . . . . . . . . 74

5.2 Pre-main Sequence–tähtien kehitys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6 Kehitys pääsarjassa 79

6.1 Siirtyminen pääsarjaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2 Nollaiän pääsarja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.2.1 Homologiset relaatiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.2.2 Massa-luminositeetti- ja massa-säderelaatiot . . . . . . . . . . . . . 876.2.3 Sisärakenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.2.4 Konvektiivisten osien sijainti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.3 Pienimassaisten tähtien kehitys pääsarjassa . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.4 Auringontyyppisten tähtien kehitys pääsarjassa . . . . . . . . . . . . . . . 926.5 Keskiraskaiden tähtien kehitys pääsarjassa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.6 Raskaiden tähtien kehitys pääsarjassa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7 Kehitys pääsarjan jälkeen 99

7.1 Tähtien kehitys punaisina jättiläisinä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.1.1 0.26–3 M⊙ –massaiset tähdet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.1.2 3–8 M⊙–massaiset tähdet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.1.3 M > 8M⊙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8 Tähtien elinkaaren loppuvaiheita 107

8.1 Räjähdykset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.1.1 Planetaariset sumut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.1.2 Tyypin Ia supernovat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.1.3 Tyypin II supernovat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.1.4 Tyypin Ib ja Ic supernovat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.2 Kompaktit objektit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.2.1 Valkoiset kääpiöt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.2.2 Neutronitähdet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158.2.3 Mustat aukot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4

9 Sykkivät tähdet 1199.1 Radiaalisesti sykkivät tähdet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.1.1 Kefeidit ja epästabiilisuuskaista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.2 Ei–radiaalisesti sykkivät tähdet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9.2.1 Yleinen teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5

6

Johdanto

Tällä kurssilla johdetaan tähtien rakenteen perusyhtälöt, sekä tarkastellaan niiden rat-kaisuja joissain yksinkertaisissa erikoistapauksissa. Kurssilla perehdytään myös energian-tuotantoon ja -siirtoon, sekä kaasun ominaisuuksiin tähdissä. Kurssin loppuosa keskittyynäiden yhtälöiden numeerisina ratkaisuina saatuihin malleihin, jotka nykykäsityksen mu-kaan kuvaavat parhaiten erityyppisten tähtien kehityskaaria.

Suositeltavia perustietoja:

• Maailmankaikkeus nyt.

• Tähtitieteen perusteet.

• Tieteellinen laskenta I.

• Fysiikan approbatur.

• Matemaattiset apuneuvot I & II (tai vastaavat matematiikan kurssit).

Kirjallisuutta:

• Suuri osa perusteoriaa käsittelevästä materiaalista löytyy kirjasta ‘Stellar Structureand Evolution’, R. Kippenhahn & A. Weigert, Springer–Verlag (3. painos 1994).Tästä lähtien kirjaan viitataan tekstissä lyhenteellä KW.

• Lisäksi kurssista löytyy aikaisemmilla luennoilla käytetty suomenkielinen luento-moniste (Huovelin, Schultz & Hackman 2011 (HSH); ladattavissa kurssin wiki-sivulta), josta löytyy myös näillä luennoilla läpikäyty perustieto, kuitenkin jonkinverran eri järjestyksessä.

Käsillä olevassa luentomateriaalissa asiat käydään läpi seuraten melko läheisesti kurs-sikirjan sisällysluetteloa. Luentomateriaali sisältää kokoelman tarvittavista luonnonva-kioista ja kaavoista, joka saa olla mukana tentissä.

7

8

Luku 1

Perusyhtälöiden johtaminen

Tarkastelkaamme kaasusta koostuvaa, pyörimätöntä, yksinäistä tähteä, jolla ei ole mer-kittäviä magneettikenttiä. Tällaisessa systeemissä ainoat vaikuttavat voimat aiheutuvatkaasun paineen gradientista ja gravitaatiosta, joiden vaikutuksesta syntyy pallosymmet-rinen konfiguraatio, jossa kaikki fysikaaliset suureet ovat vakioita samansäteisellä pallo-pinnalla (katso Kuva 1.1). Tällöin tarvitaan vain yksi avaruuskoordinaatti kuvaamaanniitä, nimittäin etäisyys kappaleen keskipisteessä, r. Nyt r = 0 vastaa tähden keskipis-tettä ja r = R tähden pintaa. Avaruuskoordinaatin lisäksi fysikaaliset suuret riippuvatajasta. Meillä on siis kaksi riippumatonta muuttujaa, r ja t, joista relevantit fysikaalisetsuureet riippuvat. Tällaista lähestymistapaa kutsutaan Eulerin konstruktioksi. Toinenmahdollisuus olisi kiinnittää koordinaatisto kappaleen säteen sijaan massaelementtiinitseensä, jolloin riippumattomat muuttujat olisivat m ja t. Tämä lähestymistapa on La-grangen konstruktio. Seuraavassa johdamme tähtien rakenteen perusyhtälöt molemmissatapauksissa, ja osoitamme eri lähestymistapojen erot ja hyödyt.

1.1 Massan säilymislaki

Gravitoivan pallosymmetrisen kaasukappaleen tapauksessa on relevanttia kirjoittaa yh-tälö säteen r sisäpuolelle jäävälle massalle m (Kuva 1.1; huomaa, että HSH käyttää m:nsijasta M :aa, joka nyt on kokonaismassa). Tämä siksi, että gravitaatiovoiman magnitudisäteellä r ei riipu massaelementeistä r:n ulkopuolella. Yleisestä massan määritelmästä

m = m(r, t) = ρV, (1.1)

missä ρ on tiheys ja V on tilavuus, saadaan

m(r, t) =4

3πr3ρ, (1.2)

josta differentioimalla r:n suhteen saadaan

∂m

∂r= 4πr2ρ. (1.3)

9

Kuva 1.1: Massan muutos säteen funktiona jollain ajanhetkellä t = t0. Tähden pinnallar = R, m =M ja m on säteen r sisäpuolelle jäävä massa. Ohuen pallokuoren r = r+dr,missä dr on pieni muutos säteessä, massa on dm, ja saadaan yhtälöstä (1.3). KW, s. 2.

Jos systeemissä on lisäksi jokin massavirtaus v = −∂r∂t ulospäin, saadaan kokonaisdiffe-

rentiaalista

dm =∂m

∂r· dr + ∂m

∂t· dt (1.4)

=∂m

∂r· dr + ∂m

∂r

∂r

∂t· dt

= 4πr2ρ · dr − 4πr2ρv · dt.Osittaisderivaatta ajan suhteen

∂m

∂t= −4πr2ρv (1.5)

antaa siis massajakauman muutoksen radiaalisen ulosvirtauksen vuoksi. Yhtälöistä (1.3)ja (1.5) voidaan johtaa yleinen massan säilymislaki, ns. jatkuvuusyhtälö, edelleen diffe-rentioimalla ensimmäinen yhtälö ajan suhteen, ja toinen paikan suhteen.

Kotitehtävä 1: Johda yleinen jatkuvuusyhtälö, eli yhtälö tiheyden muutok-selle ajan suhteen, edellä annetuilla ohjeilla.

Ensimmäinen tähtien rakenteen perusyhtälö on massan säilymislaki, joka Eu-lerin koordinaatistossa voidaan kirjoittaa muotoon:

∂m

∂r= 4πr2ρ. (1.6)

Osittaisderivaatta ∂/∂r voidaan korvata kokonaisderivaatalla d/dr, jos massa m ei rii-pu ajasta; tähän tapaukseen palataan myöhemmin, ja nyt jatkamme ongelman yleistä

10

käsittelyä. Johtakaamme nyt vastaava perusyhtälö Lagrangen koordinaatistossa, eli va-litkaamme riippumattomiksi muuttujiksi m ja t. Nyt siis myös massaelementin paikkar(m, t) muuttuu. Nyt m = 0 vastaa häviävää massaa keskipisteessä (r = 0), kun taasm = M on kokonaismassa pinnalla, missä r = R. Tästä voidaan heti havaita yksi etuEulerin koordinaatistoon: yleensä tähden massa on (lähes) säilyvä suure, kun taas sädesaattaa muuttua hyvin suuresti tähden elinkaareen aikana kuten myöhemmissä luvuissanähdään. Tällöin massan käyttö riippumattomana muuttujana on parempi vaihtoehtokuin säteen käyttö.

Suoritetaan muuttujan vaihto:

∂

∂m=

∂

∂r· ∂r∂m

, (1.7)(

∂

∂t

)

m

=∂

∂r·(

∂r

∂t

)

m

+

(

∂

∂t

)

r

. (1.8)

Soveltamalla yhtälöä (1.7) massaan itseensä, saadaan

∂m

∂m= 1 =

∂m

∂r· ∂r∂m

. (1.9)

Sijoitetaan yhtälö (1.3), jolloin saadaan välittömästi tähtien rakenteen ensimmäinenperusyhtälö Lagrangen koordinaatistossa

∂r

∂m=

1

4πr2ρ, (1.10)

ja yleinen muunnoskaava

∂

∂m=

1

4πr2ρ

∂

∂r. (1.11)

Yhtälö (1.8) kuvaa ns. Lagrangen kokonaisaikaderivaattaa. Lagrangen konstruktion toi-nen hyöty ilmenee tätä yhtälöä tarkastelemalla: koska koordinaatisto liikkuu nyt massae-lementin mukana, on aikaderivaatta paljon yksinkertaisempi laskea, kun advektionopeus(

∂r∂t

)

mei ole mukana.

1.1.1 Gravitaatiokenttä

Yleisessä tapauksessa gravitaatiokenttä tähden sisällä saadaan gravitaatiopotentiaalistaΦ Poissonin yhtälön avulla

∇2Φ = 4πGρ, (1.12)

missä G on yleinen gravitaatiovakio, ja ∇2 on Laplace-operaattori. Pallosymmetrisessä

tapauksessa tämä yksinkertaistuu muotoon:

1

r2∂

∂r

(

r2∂Φ

∂r

)

= 4πGρ. (1.13)

Yhtälön (1.6) avulla taas saadaan

∂Φ

∂r=Gm

r2. (1.14)

11

Kuva 1.2: Gravitaatiopotentiaali ja gravitaatiokiihtyvyysvektori pallosymmetrisessä täh-dessä, KW s. 5.

Gravitaatiovoimavektori osoittaa säteen suuntaisesti kohti tähden keskipistettä, eli pal-lokoordinaatistossa voidaan kirjoittaa g = (−g, 0, 0), ja vektoripotentiaalista saadaan

g = −∇Φ; g =∂Φ

∂r=Gm

r2. (1.15)

Integroimalla voidaan ratkaista gravitaatiopotentiaali

Φ =

∫ r

0

Gm

r2dr + vakio, (1.16)

missä integrointivakio valitaan siten, että vektoripotentiaali häviää äärettömän kaukana(ks. Kuva 1.2), ts. vakio = 0.

12

1.2 Liikemäärän säilymislaki

Liikemäärän säilymistä väliaineessa, jossa viskositeetti, pyöriminen ja magneettikentätovat merkityksettömiä, kuvaa Eulerin liikeyhtälö

dv

dt=d2r

dt2= −1

ρ∇P −∇Φ, (1.17)

missä v on nopeusvektori, ddt on Lagrangen kokonaisaikaderivaatta, P on terminen paine,

ρ on tiheys ja Φ gravitaatiopotentiaali. Yhtälö esitetään tässä ilman yksityiskohtaistajohtoa, mutta asiasta kiinnostuneet löytävät sen esim. Magnetohydrodynamiikka–kurssinluentomateriaalista1.

Joissakin vaiheissa tähtien kehitystä muutokset tapahtuvat niin hitaasti, että niitäkuvaavassa aikaskaalassa, olkoon se τ , ei käytännössä tapahtu mitään, jolloin liikeyh-tälöstä voidaan jättää pois nopeuden aikaderivaattaa eli kiihtyvyyttä kuvaava termi.Tällöin liikemäärän säilymislaista saadaan hydrostaattisen tasapainon yhtälö, eli tilanne,jossa paineen gradientti on yhtäsuuri mutta vastakkainen kuin gravitaatiovoima. Tätätasapainotilaa kuvaa yhtälö

∂P

∂r= −ρ∂Φ

∂r= −ρg = −Gm

r2ρ (1.18)

Eulerin koordinaatistossa. Lagrangen koordinaatistossa saadaan muuttujan vaihdoksella(r, t) → (m, t), kaavan (1.11) mukaisesti

∂P

∂m= − Gm

4πr4. (1.19)

Hydrostaattisen tasapainon yhtälö on toinen tähtien rakenteen perusyhtälö.Määritellään vielä hydrostaattinen aikaskaala, joka kuvaa muutosten nopeutta siinä

tilanteessa, että joko painetermi tai gravitaatiotermi häviäisivät äkillisesti Eulerin yh-tälöstä (1.17). Paineen hävitessä kiihtyvyystermin olisi kompensoitava gravitaatiotermi,eli

∣

∣

∣

∣

∂2r

∂t2

∣

∣

∣

∣

≈ R

τ2ff≈ g, (1.20)

missä aikaskaala τff kuvaa nyt äkillisestä paineen häviämisestä aiheutuvaa luhistumista.Tätä aikaskaalaa kutsutaan usein myös vapaan putoamisen aikaskaalaksi (free–fall time).Gravitaatiotermin hävitessä taas painetermin olisi kompensoitava kiihtyvyys, jolloin

R

τ2expl≈ 1

ρ

P

R, (1.21)

missä τexpl olisi äkillistä laajenemista kuvaava aikaskaala. Olkoon nyt hydrostaattinenaikaskaala,

τhydr ≈ τff ≈ τexpl. (1.22)

Jos τ ≫ τhydr, voidaan kiihtyvyystermit jättää huoletta pois liikeyhtälöstä. Aikaskaalaaτhydr kutsutaan usein myös dynaamiseksi aikaskaalaksi (esim. Tähtitieteen perusteet,

1https://wiki.helsinki.fi/pages/viewpage.action?pageId=35244402

13

HSH). Sijoittamalla gravitaatiokiihtyvyydeksi g ≈ GM/R2 saadaan vapaan putoamisenaikaskaalan yhtälösta (1.20):

τhydr =

√

R3

GM(1.23)

Kotitehtävä 2: Arvioi hydrostaattista aikaskaalaa Auringolle.

Tähän mennessä olemme siis johtaneet kaksi yhtälöä, jossa on kolme tuntematontamuuttujaa, nimittäin tiheys, paine ja massa (Euler) tai tiheys, paine ja säde (Lagran-ge). Ratkaistaksemme tämän mekaanisen yhtälön, tarvitsisimme relaation kahden tun-temattoman välille. Joissakin erikoistapauksissa on mahdollista löytää vaadittu relaatiotiheyden ja paineen välille. Tällöin yhtälöt voidaan esittää kokonaisdifferentiaaliyhtälöi-nä, ja niille on mahdollista löytää yksinkertaiset ratkaisut. Kaikista yksinkertaisin oletuson vakiotiheys, ts. ρ = ρ, missä ρ on keskimääräinen tiheys. Kun tähden massa lausu-taan keskimääräisen tiheyden avulla, m = 4

3πr3ρ, ja tämä sijoitetaan hydrostaattisen

tasapainon yhtälöön (1.18), saadaan

dP

dr= −4

3πGρ2r. (1.24)

Integroimalla puolittain saadaan∫ 0

PdP = −P (r) = −4

3πGρ2

∫ R

rrdr = −2

3πGρ2

(

R2 − r2)

, (1.25)

missä R on tähden säde.

Kotitehtävä 3: Arvioi painetta Auringossa eri syvyyksillä. Käytä ideaalikaa-sun tilayhtälöa P = R

µ ρT , ja arvioi lämpötilaa Auringossa eri syvyyksillä.Käytä keskimääräiselle molekyylipainolle arvoa µ = 0.61.

1.2.1 Polytrooppiset mallit

Muita ilman ‘termo–energetiikkaa’ ratkeavia tapauksia ovat barotrooppiset kaasut, joilletiheys on vain paineen funktio, esimerkiksi ideaalikaasu vakiolämpötilassa (isoterminen),jolle

ρ =µ

RP

T, (1.26)

missä T on vakio, ja polytrooppiset kaasut, joille

P = KρΓ, (1.27)

missä K on ns. polytrooppinen vakio ja Γ on polytrooppinen eksponentti. Usein polyt-rooppisen eksponentin sijasta käytetään polytrooppista indeksiä

n =1

Γ− 1. (1.28)

14

Isotermisessä tapauksessa Γ = 1 ja n = ∞, kokonaan degeneroituneelle elektronikaasulleei–relativistisessä tapauksessa Γ = 5/3 ja n = 3/2, relativistisessa tapauksessa Γ = 4/3ja n = 3. Polytrooppinen approksimaatio pätee hyvin myös tähtien sisäosien konvek-tiokerroksissa, missä stratifikaatio on hyvin lähellä adiabaattista. Tällöin saadaan myösΓ = 5/3 ja n = 3/2; tähän palataan kuitenkin myöhemmin energiansiirron yhteydessä.

Meillä on nyt siis ratkaistavana yhtälöryhmä joka muodostuu (Eulerin koordinaatis-tossa) yhtälöistä (1.6), (1.18) ja (1.27). Derivoimalla hydrostaattisen tasapainon yhtälöpuolittain säteen suhteen saadaan yhtälö

d

dr

(

r2

ρ

dP

dr

)

= −Gdmdr

, (1.29)

minkä oikealle puolelle sijoitamme nyt massan säilymislain. Tämän jälkeen sijoitammevielä polytrooppisen lain, jolloin lähestymme lopullista yhtälöä

1

r2d

dr

(

r2

ρ

dP

dr

)

=1

r2d

dr

(

r2

ρ

d(

KρΓ)

dr

)

=K

r2d

dr

(

r2

ρ

dρΓ

dr

)

= −4πGρ. (1.30)

Tuloksena saamme siis toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön, jonka ratkaisemiseksi tar-vitaan kaksi reunaehtoa. Tähden keskustassa niiden muodostaminen on helpointa:

ρ(r = 0) = ρc (1.31)

Lisäksi on fysikaalisesti perusteltua olettaa, että gravitaatiovoima häviää tähden keski-pisteessä, eli

g(r = 0) =Gm

r2= 0, koska m(r = 0) = 0. (1.32)

Hydrostaattisen tasapainon yhtälöstä nähdään, että tämä vaatimus keskustassa johtaatilanteeseen

KΓρΓ−1c

(

dρ

dr

)

c

= 0. (1.33)

Koska K, Γ, ja ρc ovat kaikki nollasta poikkeavia, saadaan toinen reunaehto

dρ

dr(r = 0) = 0. (1.34)

Nyt yhtälölle olisi mahdollista etsiä ratkaisuja parametriavaruudessa (K,Γ, ρc). Näppä-rällä muuttujanvaihdolla päästään kuitenkin tilanteeseen, jossa kolmiulotteisessa para-metriavaruudessa seikkailun sijaan polytrooppinen indeksi n kiinnittää ratkaisun. Teh-dään seuraavat valinnat:

ξ =r

α(1.35)

θ =

(

ρ

ρc

)1/n

, (1.36)

ja sijoitetaan Γ = 1 + 1/n, r = αξ, d/dr = α−1d/dξ ja ρ = ρcθn yhtälöön (1.30), jolloin

melko suoraviivaisesti saadaan(

K(n+ 1)ρ1/n−1c

4α2πG

)

1

ξ2d

dξ

(

ξ2dθ

dξ

)

= −θn. (1.37)

15

Kuva 1.3: Lane–Emden yhtälön ratkaisuja eri n:n arvoilla. y–akselilla on skaalattu tiheysθ ja x–akselilla skaalattu säde ξ. Tähden pinta sijaitsee kohdassa θ = 0.

Kun valitaan

α =

(

K(n+ 1)ρ1/n−1c

4πG

)1/2

(1.38)

saadaan mahdollisimman yksinkertainen muoto

1

ξ2d

dξ

(

ξ2dθ

dξ

)

= −θn, (1.39)

jota kutsutaan Lane–Emden–yhtälöksi. Uudet muuttujat voidaan yksinkertaisesti käsit-tää olevan uudelleen skaalattu säde (ξ) ja tiheys (θ). Edellä perustellut reunaehdot uusienmuuttujien avulla voidaan kirjoittaa

θ(ξ = 0) = 1 (1.40)dθ

dξ(ξ = 0) = 0. (1.41)

Yhtälöllä on analyyttisiä ratkaisuja n:n arvoilla n = 0, 1 ja 5. Kaikilla n < 5 po-lytrooppimallin säde saa äärellisiä arvoja, säteen kasvaessa monotonisesti polytrooppi-indeksin funktiona, mutta tätä suuremmilla arvoilla säde on ääretön. Joitakin yhtälön

16

ratkaisuja on plotattu kuvassa 1.3. Fysikaalisesti kiinnostavat ratkaisut olisivat n = 3/2ja n = 3, jotka on siis ratkaistava numeerisesti. Harjoituksen vuoksi tarkastellaan tapaus-ta n = 0, joka vastaa vakiotiheyttä ρ = ρc. Kun tämä sijoitetaan Lane–Emden yhtälöön(1.39), saadaan

d

dξ

(

ξ2dθ

dξ

)

= −ξ2 (1.42)

Integroimalla puolittain ξ:n suhteen saadaan

dθ

dξ= −1

3ξ +

C1

ξ2, (1.43)

ja reunaehdoista huomataan, että koska dθdξ (ξ = 0) = 0, C1 = 0. Edelleen integroimalla

saadaan siis

θ = −1

6ξ2 + C2, (1.44)

ja reunaehdosta θ(ξ = 0) = 1 saadaan C2 = 1. Tällöin siis θ(n = 0) = 1 − 16ξ

2. Tällepolytrooppi–indeksille tähden pinta löytyy kohdasta ξ =

√6, missä θ(n = 0) → 0.

Yhtälön analyyttiset ratkaisut indekseille n = 1 ja 5 saadaan samankaltaisesti, muttavälivaiheet ovat huomattavasti monimutkaisempia, ja sivuutetaan tässä. Kuten kuvasta1.3 huomataan, n = 1 ratkaisu on erikoinen, koska se vastaa harmonista oskillaattoria.

17

1.3 Viriaaliteoreema

Viriaaliteoreeman avulla yhdistetään kaksi tärkeää energiavarastoa tähdissä, nimittäingravitaatioenergia ja tähtien kaasun sisäenergia. Gravitaatioenergia saadaan integroi-mallla potentiaalienergia koko tähden massajakauman yli, eli

Eg ≡ −∫ M

0

Gm

rdm. (1.45)

Tästä yhtälöstä voimme nähdä, että jos kaikki massaelementit systeemissä laajenevatyhtä aikaa, gravitaatioenergia kasvaa, ja luhistumisessa gravitaatioenergia pienenee.

Tähden kokonaissisäenergia taas on

Ei =

∫ M

0e dm, (1.46)

missä e on kaasun sisäenergia per massayksikkö. Olettamalla, että kaasu on ideaalikaa-sua, voidaan sisäenergia lausua muodossa e = cvT , missä cv on ominaislämpökapasiteettivakiotilavuudessa ja T on lämpötila. Ideaalikaasun tilanyhtälöstä (1.26) saamme kirjoi-tettua sisäenergian paineen avulla

e =cVµ

RP

ρ, (1.47)

josta kerroin sievenee käyttämällä termodynamiikasta (toivottavasti) tuttuja2 relaatioitaR

µ = (cP − cV), missä cP on ominaislämpökapasiteetti vakiopaineessa, ja γ = cP/cV,minkä jälkeen saamme

e =1

γ − 1

P

ρ. (1.48)

Yksiatomiselle ideaalikaasulle γ = 5/3, joten tällöin saadaan yksinkertainen muoto

e =3

2

P

ρ. (1.49)

Kokonaissisäenergialle saadaan tällöin, käyttämällä hyväksi massan säilymislakia (1.6),

Ei =

∫ M

0

3

2

P

ρdm =

3

2

∫ R

04πr2Pdr (1.50)

Osittaisintegrointikaavaa (9.28) hyväksikäyttäen saadaan

Ei =3

2

[

4

3πr3P

]R

0

− 3

2

∫ R

0

4

3πr3

∂P

∂rdr, (1.51)

missä ensimmäinen termi menee nollaksi, koska pinnalla paine on nolla, ja keskustassasäde on nolla. Jäljelle jää siis vain jälkimmäinen termi, joka hydrostaattisen tasapaino-yhtälön (1.18) voidaan kirjoittaa muodossa

Ei = −3

2

∫ R

0

4

3πr3

(

−GMr2

ρ

)

dr. (1.52)

2Katso esim. KW, luku 4.1.

18

Käytetään taas massan säilymislakia ja sievennetään muutenkin, jolloin saadaan

Ei =1

2

∫ M

0

GM

rdm = −1

2Eg. (1.53)

Tästä saadaan systeemin viriaaliteoreema

2Ei + Eg = 0. (1.54)

Määritellään vielä systeemin kokonaisenergia

W = Ei + Eg. (1.55)

Kokonaisenergia muuttuu ajan funktiona, koska tähti säteilee ympäristöönsä. OlkoonL tähden luminositeetti, eli säteilyn aiheuttama energiahäviö per aikayksikkö. Tällöinenergian säilymislaista saadaan vaatimus

dW

dt+ L = 0, (1.56)

eli yksiatomiselle ideaalikaasulle hydrostaattisessa tasapainossa

L = −(

dEi

dt+dEg

dt

)

= −1

2

dEg

dt=dEi

dt. (1.57)

Tästä nähdään, että tähden kutistuessa (dEg/dt < 0) vapautuvasta energiasta puoletkuluu tähden sisäenergian muutokseen siten että kaasun lämpötila nousee, ja puoletenergiasta vapautuu säteilemällä ulos tähdestä.

Aikaskaalaa, jossa tähti säteilisi ulos kaiken gravitaatioenergiansa, kutsutaan Kelvin-Helmholtz aikaskaalaksi, ja se saadaan yksinkertaisesti jakamalla kokonaisgravitaatio-energia tähden luminositeetilla, eli

τKH =GM2

2RL. (1.58)

Tätä kutsutaan joskus myös termiseksi aikaskaalaksi, esimerkiksi HSH, Tähtitieteen pe-rusteet, jota merkitään yleensä τt:llä.

Kotitehtävä 4: Kuinka kauan Aurinko voisi säteillä, jos sen nykyinen lumi-nositeetti tulisi vain sen gravitaatioenergiasta? Vertaa tätä Auringon hydros-taattiseen aikaskaalaan ja ikään. Mitä voit päätellä?

19

Kuva 1.4: Energiavuo ohuen massakuoren läpi, KW s. 22.

1.4 Energian säilymislaki

Määritellään seuraavaksi nettoenergia l(r), joka kulkee r-säteisen pallopinnan läpi peraikayksikkö (ks. Kuva 1.4). Luminositeetti voidaan kirjoittaa pinnan läpi kulkevan ko-konaisenergiavuon F avulla l = 4πr2F . Tähden keskustassa l = 0, kun taas pinnalla lon tähden kokonaisluminositeetti L, ja välimaastossa l on monimutkainen funktio riip-puen energialähteiden ja energianielujen jakaumasta. Funktion l tulee ottaa huomioonerilaiset energiankuljetusmekanismit, periaatteessa myös neutriinojen vuo.

Tarkastellaan jälleen dr:n paksuista pallokuorta, jonka massa on dm (Kuva 1.4). Ol-koon alapuolelta tuleva energiavuo l, ja pinnalta lähtevä energiavuo l+ dl. Energiavuonmuutoksen voi aiheuttaa esim. ydinreaktioissa vapautuva energia, jäähtyminen, tai mas-saelementin laajentuminen tai kutistuminen. Tarkastellaan aluksi stationaarista tilan-netta, jossa dl:n vaikuttaa vain ydinreaktioissa vapautuva energia, olkoon se εn, jonkayksikkö on siis energia per massayksikkö per aika. Tällöin luminositeetin muutos on

dl = 4πr2ρεndr = εndm, (1.59)

josta saadaan

∂l

∂m= εn. (1.60)

20

Käytännössä εn riippuu lämpötilasta, tiheydestä ja alkuainepitoisuuksista, mutta tähänpalataan myöhemmin.

Tarkastellaan seuraavaksi ajasta riippuvia ratkaisuja, jolloin dl voi olla erisuuri kuinnolla ilman ydinreaktioitakin. Pallokuoren sisäenergia voi muuttua, ja se voi tehdä taisille voidaan tehdä mekaanista työtä (PdV ). Esimerkkinä ei-stationaarisesta prosessistavoidaan mainita gravitaatiokutistuminen, jota sivuttiin edellisessä luvussa. Stationaa-risen yhtälön (1.60) sijaan kirjoitamme nyt termodynamiikan ensimmäisen pääsäännönmukaan (9.5)

dq =

(

εn − ∂l

∂m

)

dt = de+ PdV = cPdT − δ

ρdP, (1.61)

missä dq on pallokuoreen lisätty lämpöenergia per massayksikkö aikavälillä dt ja δ =

−(

∂ ln ρ∂ lnT

)

P= T

V

(

∂V∂T

)

P. Termodynamiikan 1. pääsäännön johtaminen tähän muotoon on

esitetty yksityiskohtia myöten KW, s. 19-21. Ratkaisemalla jälleen ∂l∂m termin vasemmalle

puolelle, ja niputtamalla aikaderivaattoja sisältävät termit ns. lähdefunktioon

εg = −cP∂T

∂t+δ

ρ

∂P

∂t, (1.62)

saadaan luminositeetille yhtälö

∂l

∂m= εn + εg. (1.63)

Ydinreaktioissa syntyy myös huomattava määrä neutriinoja. Neutriinot vuorovaikutta-vat varsin heikosti materian kanssa, jolloin niiden sisältämän energian voidaan ajatella‘tunneloituvan’ tähden pinnalle vuorovaikuttamatta mitenkään massaelementtien kans-sa. Neutriinoilla on kuitenkin vaikutus syntypaikassaan, missä ne toimivat energianielui-na. Ottaen neutriinovuon huomioon, saadaan energiayhtälö, eli tähtien rakenteenkolmas perusyhtälö Lagrangen koordinaatistossa

∂l

∂m= εn − εν + εg. (1.64)

Kotitehtävä 5: Kirjoita energiayhtälö Eulerin koordinaatistossa.

Määritellään tässä yhteydessä myös adiabaattinen lämpötilagradientti

∇ad ≡(

∂ lnT

∂ lnP

)

s

, (1.65)

missä alaindeksi s viittaa siihen, että adiabaattisessa prosessissa entropia on vakio. Tällesaadaan johdettua relaatio termodynamiikan 1. pääsäännöstä, kun otetaan huomioon,että lisäksi adiabaattisessa prosessissa systeemin tuotu lämpöenergia dq = 0, mistä seu-raa

cPdT − δ

ρdP = 0, (1.66)

21

ja edelleen

∇ad =

(

d lnT

d lnP

)

s

=

(

P

T

dT

dP

)

s

=Pδ

TρcP. (1.67)

Kotitehtävä 6: Käytä ideaalikaasun tilanyhtälöä (1.26) osoittaaksesi että∇ad = (γ − 1)/γ.

Kirjoitetaan vielä lauseke kokonaisenergian säilymiselle ottaen huomioon tässä kap-paleessa mukaan otetut uudet efektit (aikaisemmin vain gravitaatio ja sisäenergia):

d

dt(Ekin + Eg + Ei + En) + L+ Lν = 0, (1.68)

missä Ekin on minkä tahansa radiaalisen liikkeen kineettinen energia, En on koko sys-teemin sisältämän ydinenergian määrä, L on säteilyn kokonaisluminositeetti, ja Lν ≡∫M0 ενdm kokonaisneutriinoluminositeetti. Tämä yhtälö saadaan lokaalista luminositeet-

tiyhtälöstä (1.64) integroimalla (ks. KW s. 23).Määritellään seuraavaksi ydinaikaskaala τn, joka kuvaa sitä, kuinka kauan tähden

ydinpolttoaine riittää ylläpitämään luminositeettia L

τn ≡ En

L. (1.69)

Yleensä kaikille tähdille, joiden pääasiallinen energiantuotanto tapahtuu vedyn ja heliu-min reaktioilla,

τn ≫ τKH ≫ τhydr. (1.70)

Tässä tapauksessa tähtimallien sanotaan olevan täydellisessä tasapainotilassa, sisältäenmekaanisen ja termisen tasapainon. Tällöin liikemäärän säilymislaista voidaan tiputtaapois kiihtyvyystermi, ja käyttää hydrostaattisen tasapainon yhtälöä (mekaaninen tasa-paino), sekä luminositeettiyhtälön aikaderivaatat voidaan jättää huomioimatta (terminentasapaino).

Kotitehtävä 7: Vedyn fuusioituessa heliumiksi, vapautuvan energian määräon noin Q = 6.3 × 1014 J kg−1. Oleta, että Aurinko koostuu kokonaan vedys-tä, ja laske ydinaikaskaala Auringolle. Vertaa tätä aikaisemmin laskettuihinrelevantteihin aikaskaaloihin τKH ja τhydr.

22

1.5 Energian kuljetus

Jotta ydinreaktioissa vapautuva energia pääsee tähden pinnalle, mistä se säteilee ym-päröivään avaruuteen, tarvitaan tehokas energiankuljetusmekanismi kuuman sisäosan japinnan välille. Tämän mahdollistaa nollasta poikkeava lämpötilagradientti tähden sisäl-lä. Riippuen fysikaalisista olosuhteista tietyllä syvyydellä, joista tärkeimmät ovat partik-keleiden vapaa matka ja lämpötilagradientti (partikkeli voi olla fotoni, elektroni, atomi,kaasukupla), energiankuljetus voi tapahtua joko säteilemällä, johtumalla tai massavir-tausten mukana siirtymällä eli konvektiolla. Energiankuljetusyhtälö, kirjoitettunalämpötilagradientin muodossa, on neljäs tähtien rakenteen perusyhtälö.

1.5.1 Säteily

Arvioidaan fotonien vapaata matkaa jossain tyypillisessä pisteessä tähden sisällä

lph =1

κρ, (1.71)

missä κ on kaikkien säteilytaajuuksien yli keskiarvotettu massa-absorptiokerroin (yksik-kö [m2 kg−1]). Tyypillisesti κ ≈ 0.1m2 kg−1, joten käyttäen Auringon keskimääräistätiheyttä, ρ⊙=1.4×103kg m−3, saadaan fotonien vapaaksi matkaksi noin lph ≈ 1 cm, elimaterian opasiteetti on hyvin suuri, eli se läpäisee säteilyä erittäin huonosti. Verrattunatähden säteeseen, fotonien vapaa matka on mitättömän pieni, lph/R⊙ ≈ 10−11. Tässätapauksessa säteilynkuljetusta voidaan kuvata diffuusioprosessina, minkä ansiosta välty-tään monimutkaisen säteilynkuljetusyhtälön

cos θdIνdτν

=jνκν

− Iν , (1.72)

missä θ on säteilyn tulokulma, Iν on säteilyn intensiteetti, jν on emissiokerroin, ja τνon optinen paksuus, ratkaisemiselta. Tämän yhtälön johto ja tarkempi analyysi löytyymm. HSH, s. 12. Diffuusioapproksimaatio pätee vain siinä tapauksessa, että fotonienvapaa matka on pieni verrattuna siihen matkaan, joka niiden olisi vielä kuljettava pääs-täkseen tähden pinnalle. Tämän vuoksi tähden pintaa lähestyttäessä, jolloin sekä tiheysettä kuljettava matka pienenevät, diffuusioapproksimaatio ei enää päde. Tähtien pin-taosien energiankuljetusta tarkasteltaessa on siis säteilyn osuus ratkaistavasäteilynkuljetusyhtälöstä.

Kotitehtävä 8: Arvioi, kuinka kauan fotonilta, joka ensimmäisen kerran emit-toituu konvektiokerroksen pohjalla (säteellä 0.7 R⊙), kestää kulkea Auringonpinnalle. Oletetaan, että massa-absorptiokerroin κ ≈ 0.1m2 kg−1 on vakio kokokonvektiokerroksessa, ja että absorptioiden ja uudelleenemissioiden kokonais-

määrä voidaan esittää kaavalla N =(

∆rlph

)2.

Määritellään nyt partikkeleiden diffusiivinen vuo (per pintaelementti per aika) par-tikkelitiheydeltään n eroavien paikkojen välillä

j = −D∇n, (1.73)

23

missä D on diffuusiokerroin

D =1

3vlp, (1.74)

missä v on partikkeleiden keskimääräinen nopeus ja lp niiden keskimääräinen vapaa mat-ka. Säteilylle, joka siis koostuu fotoneista, v tulee korvata valon nopeudella c, vapaa mat-ka lp fotonien vapaalla matkalla lph, ja partikkelitiheys n säteilyn energiatiheydellä

U = aT 4, (1.75)

missä a = 7.57 × 10−16J m−3 K−4 on ns. säteilytiheysvakio. Pallosymmetriasta seuraa,että diffusiivisellä vuolla on vain säteen suuntainen komponentti, joten säteilyn energia-tiheyden gradientiksi saadaan

∂U

∂r= 4aT 3∂T

∂r. (1.76)

Vertaamalla tätä yhtälöihin (1.73) ja (1.74), nähdään välittömästi, että säteilyvuo voi-daan määritellä diffuusioapproksimaation avulla seuraavasti:

F = − c

3κρ

∂U

∂r= −4ac

3

T 3

κρ

∂T

∂r. (1.77)

Ratkaistaan nyt tästä lämpötilagradientti, ja korvataan säteilyvuo lokaalilla luminosi-teetilla

l = 4πr2F, (1.78)

jolloin saadaan lämpötilagradientin yhtälö energian siirtyessä säteilemällä Eu-lerin koordinaatistossa, eli neljäs tähtien rakenteen perusyhtälö

∂T

∂r= − 3

16πac

κρl

r2T 3. (1.79)

Lagrangen koordinaatistossa vastaava yhtälö saadaan samoilla periaatteilla kuin aiemmin

∂T

∂m= − 3

64π2ac

κl

r4T 3. (1.80)

Näistä yhtälöistä nähdään heti, että suuri opasiteetti, eli suuri κ, mahdollistaa suurenradiatiivisen lämpötilagradientin, joka toisaalta mahdollistaa suuren luminositeetin.

Olettakaamme nyt, että hydrostaattinen tasapaino pätee, jolloin voimme sijoittaayhtälön (1.19) edelliseen yhtälöön. Tällöin saamme

∂T/∂m

∂P/∂m=

3

16πacG

κl

mT 3, (1.81)

mistä seuraa

∂T

∂P=T

P

(

∂lnT

∂lnP

)

=3

16πacG

κl

mT 3. (1.82)

24

Määritellään nyt radiatiivinen lämpötilagradientti

∇rad ≡(

∂lnT

∂lnP

)

rad

=3

16πacG

κlP

mT 4. (1.83)

Tämä gradientti kuvaa lämpötilan muutosta tähdessä syvyyden funktiona, joka on hydros-taattisessa tasapainossa, ja jonka sisällä energian kuljetus tapahtuu säteilemälla. Syvyy-den muutosta kuvaa nyt paine, joka kasvaa monotonisesti syvemmälle mentäessä. Ver-rattuna adiabaattiseen lämpötilagradienttiin (1.67), on huomattava tärkeä ero näidenmääritelmien välillä: ∇rad on osittaisderivaatta, joka antaa riippuvuuden kahden vie-rekkäisen massalementin lämpötilan ja paineen välille. ∇ad puolestaan kuvaa yhden jasaman massaelementin termodynaamisten suureiden muutosta adiabaattisessa kokoon-puristumisessa. Näillä kahdella gradientilla on yleisesti ottaen eri numeerinen arvo, paitsisiinä erikoistapauksessa, että lämpötilastratifikaatio on adiabaattinen. Radiatiivisen läm-pötilagradientin määritelmää tullaan myöhemmin käyttämään myös yhteyksissä, joissahydrostaattinen tasapaino ei päde. Tällöin voidaan ajatella, että ∇rad kuvaa gradienttia,johon radiatiivinen, hydrostaattinen kerros pyrkisi joillain tietyillä (P, T, l,m) arvoilla.

Lämpötilagradientin yhtälö (1.80) voidaan nyt kirjoittaa käyttämällä ∇rad:n määri-telmää

∂T

∂m= − GmT

4πr4P∇rad. (1.84)

Yleisessä tapauksessa, jolloin energia voi siirtyä muutenkin kuin säteilemällä, ∇rad onkorvattava yleisellä suureella ∇ = dlnT

dlnP . Kuten seuraavissa kappaleissa tullaan yksi-tyiskohtaisesti johtamaan, lämmönkuljetus johtumalla voidaan rinnastaa säteilynkulje-tukseen diffuusioapproksimaation avulla esitettynä, mutta konvektiivisen energiankul-jetuksen kyseessä ollessa on ∇ korvattava joko adiabaattisella gradientilla ∇ad (tähtienkonvektiokerrosten sisäosat) tai sekoituspituusteoriasta saatavalla ratkaisulla (superadia-baattiset ulko-osat).

Kotitehtävä 9: Kirjoita lämpötilagradientin yhtälö Eulerin koordinaatistossa.

Rosselandin keskimääräinen absorptiokerroin

Yllä johdetut yhtälöt ovat riippumattomia säteilyn taajuudesta ν; säteilyvuo ja lumi-nositeetti ovat näissä yhtälöissä suureita, jotka on integroitu kaikkien taajuuksien yli,ja κ on keskimääräinen, kaikkien taajuuksien yli laskettu absorptiokertoimen keskiarvo.Seuraavaksi kuvataan menetelmä, jolla keskiarvo voidaan määrittää järkevällä tavalla.

Tarkastellaan ensin tyypillisen lämpötilagradientin arvoa tähdessä, laskemalla kes-kiarvo keskustan (Tc ≈ 107K) ja pinnan (Ts = 104K) välillä:

∆T

∆r≈ Tc − Ts

R⊙

≈ 1.4× 10−4Kcm−1. (1.85)

Jos ∆r on lph, eli suuruusluokkaa senttimetri, lämpötilaero on suuruusluokkaa ∆T ≈10−4K fotonin vapaan matkan yli, joten säteilyn näkökulmasta kerros on hyvin lähelläisotermistä.

25

Näistä arvioista voidaan nähda, että tähtien sisäosat ovat hyvin lähellä termistä ta-sapainoa, eli lokaali termodynaaminen tasapaino (LTE) on hyvä approksimaatio. Tällöinsäteily noudattaa mustan kappaleen säteilylakia, missä tilanteessa säteilyn intensiteettitaajuudella ν ja lämpötilassa T saadaan Planckin funktiosta

Bν(T ) =2hν3

c21

ehν

kT − 1, (1.86)

missä h on Planckin vakio, k on Boltzmannin vakio, ja c on valon nopeus.Tarkastellaan nyt tilannetta lyhyellä taajuusvälillä [ν, ν+dν], ja kirjoitetaan diffusii-

vinen energiavuo

Fν = −Dν∇Uν , (1.87)

missä

Dν =1

3clν =

c

3κνρ, (1.88)

ja energiatiheys LTE:ssä Planckin funktiosta

Uν =4π

cB(ν, T ) =

8πh

c3ν3

ehν

kT − 1. (1.89)

Tämän gradientti lämpötilan suhteen on

∇Uν =4π

c

∂B

∂T∇T, (1.90)

jolloin voimme ratkaista kokonaisvuon integroimalla kaikkien taajuuksien yli

F = −[

4π

3ρ

∫

∞

0

1

κν

∂B

∂Tdν

]

∇T. (1.91)

Verrataan tätä nyt yhtälöön (1.77), jolloin voidaan suoraan huomata, että keskimääräi-selle absorptiokertoimelle κ saadaan yhtälö

1

κ=

π

acT 3

∫

∞

0

1

κν

∂B

∂Tdν. (1.92)

Tätä keskiarvoa kutsutaan Rosselandin keskimääräiseksi absorptiokertoimeksi.

1.5.2 Johtuminen

Lämmön siirtyessä johtumalla, energiansiirto tapahtuu partikkelien (elektronit ja yti-met kokonaan ionisoituneessa aineessa, tai atomit ja molekyylit neutraalissa aineessa)törmäysten välityksellä. Törmäyksiä tapahtuu partikkelien satunnaisen lämpöliikkeentakia. Ei-degeneroituneessa kaasussa johtuminen ei pysty osallistumaan merkittävästienergiankuljetukseen, koska partikkeleiden vapaa matka on useita kertaluokkia pienem-pi kuin fotonien vastaava, ja lisäksi partikkeleiden lämpöliikkeestä johtuva nopeus onvain muutama prosentti valonnopeudesta. Tämän vuoksi diffuusioapproksimaatiota voi-daan käyttää myös johtumista kuvaamaan, vaikkakin diffuusiokerroin yhtälössä (1.74)on paljon pienempi kuin säteilylle.

26

Lämmön johtumista voidaan siis kuvata diffusiivisena prosessina, jolloin sen aiheut-tama energiavuo voidaan kirjoittaa, analogisesti säteilyä kuvaavan energiavuon (1.77),muodossa

Fcd = −kcd∇T, (1.93)

missä kcd on johtumista kuvaava kerroin. Näiden kahden diffusiivisen energiavuon summavoidaan nyt kirjoittaa

F = Frad + Fcd = −(krad + kcd)∇T, (1.94)

missä krad = 4ac3

T 3

κρ , kuten yllä johdettiin. Analogisesti tähän voidaan määritellä

kcd =4ac

3

T 3

κcdρ, (1.95)

missä κcd on ns. konduktiivinen opasiteetti. Tällöin saadaan energiavuoksi

F = −4ac

3

T 3

ρ

(

1

κrad+

1

κcd

)

∇T (1.96)

joka on samanmuotoinen yhtälö kuin aiemmin, mutta nyt 1κ = 1

κrad+ 1

κcd. Eli, se me-

kanismi, jolle tähden sisällä oleva materiaali on ’läpinäkyvintä’, dominoi energiavuota,kokonaisopasiteetin ollessa κ. Säteilyn yhteydessä johdettujen yhtälöiden yleiset muo-dot pysyvät siis samoina, mutta on muistettava, että mukaan otetaan tästä lähtien sekäenergiankuljetus säteilemällä että johtumalla.

Yllä kuvattu tilanne kuitenkin muuttuu tähtien kehityksen myöhäisissä vaiheissa,jolloin tähtien ytimissä elektronikaasu saavuttaa korkean degeneraatioasteen. Tiheydetovat suuruusluokkaa 109 kg m−3 (vrt. Auringon keskitiheys ≈ 103 kg m−3). Degeneroitu-neen kaasun ominaisuuksia käsitellään tarkemmin myöhemmin, mutta tässä yhteydessäriittää todeta, että degeneroituneessa kaasussa elektronit liikkuvat paljon nopeammin.Lisäksi niiden vapaa matka kasvaa huomattavasti, koska kvanttiominaisuuksien vuoksitörmäystodennäköisyys pienenee. Tällöin lämmön johtumista kuvaava diffuusiokerroinkasvaa, saavuttaen jopa samaa suuruusluokkaa olevia arvoja kuin säteilemällä tapah-tuvan energiansiirron vastaava. Tämä ei kuitenkaan muuta edellä esitettyjä yhtälöitä,kokonaisopasiteetti vain määräytyy lämmön johtumisesta säteilyn sijaan.

1.5.3 Konvektio

Konvektiivinen energiankuljetus tarkoittaa sitä, että makroskooppiset massaelementit,konvektiosolut, kuljettavat energiaa dynaamisesti epästabiilissa konvektiokerroksessa.Ympäristöään kuumemmat solut liikkuvat kerrostuneessa väliaineessa kohti pienempäätiheyttä eli tähden pintaa, ja viileämmät kohti kasvavaa tiheyttä eli kohti keskustaa,kunnes sulautuvat uuteen ympäristöönsä vaihtaen energiaa sen kanssa. Tähtien raken-teen laskemisen kannalta konvektio on hyvin problemaattinen ilmiö, sillä siitä aiheutuvavirtaus on tähdissä hyvin turbulenttista eikä yleispätevää turbulenssin teoriaa ole vieläolemassa. Tähtien rakenteen malleissa tarvitaan mahdollisimman yksinkertainen kuvausturbulenttiselle konvektiiviselle energiankuljetukselle, joka toistaa vain kaikista olennai-simmat efektit. Tässä kappaleessa käsitellään ensiksi stabiilisuusehtoa, eli sitä ehtoa, joka

27

Kuva 1.5: Testikupla ‘e’ kerroksessa ‘S’, minkä kerroksen stabiilisuutta tarkastellaan.

määrää, voiko konvektiota syntyä tähden sisällä, vai kuljettuuko energia säteilemällä jajohtumalla konvektion sijaan. Sen lisäksi käytämme sekoituspituusteoriaa johtamaan ha-luttu yksinkertainen konvektiivisen turbulenssin kuvaus tähtien rakenteen laskemista var-ten. Pyrkimys on johtaa lämpötilagradientti ∇ = dlnT

dlnP konvektiivisessa alueessa; tällöinedellisessä kappaleessa johdettu ∇rad, joka kuvaa lämpötilagradienttia siinä tapaukses-sa, että energiankuljetus tapahtuu säteilemällä ja/tai johtumalla, korvataan vastaavallakonvektiivisella suureella. Stabiilisuuskriteeri kertoo, milloin kutakin on käytettävä.

Ledoux’n ja Schwarzschildin stabiilisuusehdot

Lähtekäämme liikkeelle tarkastelemalla kaasukuplan stabiilisuutta kerrostuneessa kaa-sussa, ts. ρ = ρ(r), T = T (r) ja g = −gr, jossa g > 0. Nostetaan pientä kaasukuplaaadiabaattisesti korkeudelta r korkeudelle r+∆r. Adiabaattinen muutos tarkoittaa tässäsitä että kuplan ja sen ympäristön välillä ei tapahdu energianvaihtoa. Tämän voidaan kat-soa pätevän varsin yleisesti esim. Auringon konvektiokerroksessa jossa kaasu on optisestipaksua ja äänennopeus suuri, jolloin kupla ja sen ympäristö pysyvät painetasapainos-sa. ‘Nostamisen’ taas voimme perustella sillä, että esim. partikkeleiden lämpöliikkeestäjohtuen massaelementit kokevat pieniä lämpötilafluktuaatioita δT , joista johtuen paikal-lisesti hieman kuumemmat/kylmemmät massaelementit pyrkiessään painetasapainoonympäristönsä kanssa, tulevat joko kevyemmiksi/raskaimmiksi, ja joko nousevat/painuvatkonvektiokerroksessa ylös-/alaspäin nostevoiman vaikutuksesta. Eli kiteyttäen voidaansanoa, että lämpötilafluktuaatioista aina seuraa pieniä radiaalisia nopeushäiriöitä, jotkavoivat toimia konvektioinstabiliteetin laukaisijoina.

Tarkastellaan nyt testikaasukuplaa ‘e’ kerroksessa ‘S’ (ks. Kuva 1.5), jossa tiheys al-kukorkeudella r on ρ. Uudella korkeudella r + ∆r kuplan ja sen ympäristön tiheys eiyleensä ole sama sillä taustatiheys ei välttämättä muutu adiabaattisesti. Olkoon taus-tatiheys nostokorkeudella ρ + ∆ρ. Tällöin kuplan ja sen ympäristön välinen tiheysero

28

voidaan lausua differentiaalilla

∆ρ =

[(

dρ

dr

)

e

−(

dρ

dr

)

S

]

∆r, (1.97)

missä alaindeksi ‘e’ viittaa testikuplan tiheyden muutokseen sen noustessa matkan ∆r, ja‘S’ ympäröivän kerroksen tiheyden muutokseen samalla matkalla. Mikä tahansa ∆ρ 6= 0aiheuttaa nostevoiman Kr = ∂tur = −g∆ρ, missä g on gravitaatiokiihtyvyys. Jos ∆ρ <0, kupla on ympäristöään keveämpi, Kr > 0, ja kupla jatkaa kohoamistaan kiihtyvällänopeudella. Tällöin alkuperäinen tasapainotila on epästabiili. Jos taas ∆ρ > 0, kupla onpainavampi kuin sitä ympäroivä kaasu, jolloin se palaa alkuperäiselle tasolleen, ja kerroson stabiili. Ehto kerroksen stabiilisuudelle voidaan siis kirjoittaa

(

dρ

dr

)

e

−(

dρ

dr

)

S

> 0. (1.98)

Valitettavasti tämä ehto on epäkäytännöllinen, koska tiheyden gradientit eivät esiinnyollenkaan tähän asti johtamissamme perusyhtälöissä. Ehto pitäisi pystyä kirjoittamaanlämpötilagradientin muodossa. Kirjoitetaan tätä varten tiheyden differentiaali tilanyhtä-lön avulla, joka on yleisessä muodossa ρ = ρ (P, T, µ), missä µ on kemiallinen koostumus

dρ

ρ= α

dP

P− δ

dT

T+ ϕ

dµ

µ, (1.99)

missä α = ∂lnρ∂lnP , jo aiemmin määritelty δ = − ∂lnρ

∂lnT , ja ϕ = ∂lnρ∂lnµ . Ideaalikaasulle, kuten jo

laskuharjoituksessa tuli osoitettua, α = δ = ϕ=1. Käyttäen näitä määritelmiä, ja ottaenhuomioon, että testikaasupartikkelin kemiallinen koostumus ei muutu nousun aikana,saadaan stabiilisuusehto muotoon

(

α

P

dP

dr

)

e

−(

δ

T

dT

dr

)

e

−(

α

P

dP

dr

)

S

+

(

δ

T

dT

dr

)

S

−(

ϕ

µ

dµ

dr

)

S

> 0. (1.100)

Painetasapainon vallitessa painetermit kumoavat toisensa, jolloin saadaan vielä yksin-kertaisempi muoto (huomaa, että nyt yhtälö on kerrottu -1:llä)

(

δ

T

dT

dr

)

e

−(

δ

T

dT

dr

)

S

+

(

ϕ

µ

dµ

dr

)

S

< 0. (1.101)

Määritellään nyt paineen skaalakorkeus

HP = − dr

dlnP= −P dr

dP. (1.102)

Hydrostaattisen tasapainon yhtälöstä (1.18) saadaan

HP =P

ρg, (1.103)

mistä nähdään, että HP > 0.

Kotitehtävä 10: Arvioi paineen skaalakorkeutta Auringon konvektiokerrok-sessa eri syvyyksillä. Käytä hyväksesi Auringon standardimallia (Kuva 1.6; M.Stix, The Sun: An Introduction, p. 244).

29

Kuva 1.6: Auringon standardimalli; M. Stix: The Sun: An Introduction, p. 244. Suure∆∇ on superadiabaattisuus, jolle olemme käyttäneet merkintää x.

30

Kertomalla stabiilisuusehto paineen skaalakorkeudella, saadaan(

dlnT

dlnP

)

S

<

(

dlnT

dlnP

)

e

+

(

ϕ

δ

dlnµ

dlnP

)

S

. (1.104)

Jos nyt määritellään, analogisesti aikaisemmin määriteltyihin adiabaattiseen ja radiatii-viseen lämpötilagradienttiin

∇ =

(

dlnT

dlnP

)

S

, ∇e =

(

dlnT

dlnP

)

e

, ∇µ =

(

ϕ

δ

dlnµ

dlnP

)

S

, (1.105)

saadaan stabiilisuusehto kompaktiin muotoon

∇ < ∇e +ϕ

δ∇µ. (1.106)

Olkoon nyt kerros ‘S’, jonka stabiilisuutta tarkastellaan, radiatiivinen. Oletamme siis,että energiankuljetus kerroksen läpi tapahtuu säteilemällä ja johtumalla, missä tilantees-sa kerroksen lämpötilagradientti on edellisessä kappaleessa johdettu ∇rad. Testikuplaanostettaessa taas oletettiin, että kupla ei ehdi vaihtaa energiaa ympäristönsä kanssa, eliettä se on adiabaattinen. Tällöin ∇e voidaan siis korvata adiabaattisella lämpötilagra-dientilla. Radiatiivisen kerroksen stabiilisuuskriteeri adiabaattista nostehäiriötä vastaanon siis

∇rad < ∇ad +ϕ

δ∇µ, (1.107)

mikä kriteeri tunnetaan Ledoux’n kriiteerinä. Tämä kriteeri on merkittävä tähtien kehi-tysvaiheissa, joissa raskaampia alkuaineita syntyy tähtien sisäosissa, ja kevyempiä nii-den ulko-osissa, jolloin kemiallisella koostumuksella on nollasta poikkeava radiaalinengradientti. Koska keskimääräinen molekyylipaino kasvaa sisäänpäin mentäessä samoinkuin paine, ∇µ > 0, ja myös ϕ sekä δ ovat molemmat positiivisia. Tässä tapauksessaLedoux’n kriteerin kemiallisen koostumuksen gradientin sisältävä termi stabiloi kerrosta,eli siis vaikeuttaa konvektion alkamista.

Kemialliselta koostumukseltaan homogeenisessa kerroksessa, jolle siis ∇µ = 0, kriteeriyksinkertaistuu Schwarzschild’n kriteeriksi

∇rad < ∇ad. (1.108)

Jos siis epäyhtälön vasen puoli on suurempi kuin oikea puoli, on systeemi dynaamisestiepästabiili, ja konvektio käynnistyy. Tällöin pienet häiriöt kasvavat eksponentiaalisestitiettyyn äärelliseen saturaatiotasoon, kunnes koko kerros on täynnä nousevia/laskeviaympäristöään kuumempia/kylmempiä konvektiokuplia, ja koko kerros on turbulenttises-sa tilassa. Konvektiiviset liikkeet kuljettavat osan energiasta, osa jää edelleenkin säteilyntehtäväksi. Varsinainen lämpötilagradientti konvektion käynnistymisen jälkeen voidaanyksinkertaisimmillaan määrittää seuraavassa kappaleessa esitetyn sekoituspituusteorianavulla.

Edelleen on tärkeää muistaa, että edellä esitetyt kriteerit ovat lokaaleja, eivätkä otahuomioon tarkasteltavan kerroksen kytkeytymistä sen naapurikerroksiin. Tämän vuok-si esimerkiksi tähtien konvektiokerrosten rajojen määrittäminen paikallisten kriteerienpohjalta ei suoraan onnistu. Esimerkiksi, konvektiosoluilla on liikemäärää, jonka avul-la ne tunkeutuvat edellä johdetuilla kriteereillä konvektiivisesti stabiileihin kerroksiin,jolloin puhutaan yliampuvasta konvektiosta (overshooting convection).

31

Sekoituspituusteoria

Sekoituspituusteoriassa konvektion ajatellaan koostuvan suuresta määrästä erillisiä so-luja, jotka sekoittuvat ympäröivään aineeseen kuljettuaan matkan lMLT, jota kutsutaansekoittumispituudeksi. Kerrostuneessa väliaineessa tämän voidaan olettaa olevan verran-nollinen paineen skaalakorkeuteen, eli

lMLT = αMLTHP, (1.109)

jossa αMLT on suuruusluokan yksi dimensioton vakio ja paineen skaalakorkeus on mää-ritelty kuten edellä (1.102). Konvektion aiheuttama turbulenttinen energiavuo on suu-ruusluokan tarkkuudella Fconv ∝ u∆T , jossa u on konvektiosta aiheutuva keskimääräinennopeus ja ∆T lämpötilafluktuaatio, kokonaisvuon ollessa

F =l

4πr2= Frad + Fconv + Fcond, (1.110)

missä johtumisesta aiheutuva vuo Fcond on yleensä pieni. Aiemmin määriteltiin radia-tiivinen lämpötilagradientti (1.83), joka tarvittaisiin kuljettamaan kaikki energia sätei-lemällä; nyt kokonaisvuo kuljettaa tämän energiamäärän, jolloin, lähtien energiavuonmääritelmästä (1.77), käyttämällä hyväksi hydrostaattisen tasapainon yhtälöä (1.18), jaradiatiivista lämpötilagradientin määritelmää (1.83), saadaan kokonaisvuolle

F =4acG

3

T 4m

κPr2∇rad. (1.111)

Osa energiankuljetuksesta tapahtuu konvektion avulla, joten säteilyn aiheuttama ener-giavuo on

Frad =4acG

3

T 4m

κPr2∇, (1.112)

jossa ∇ on nyt vielä tuntematon lämpötilagradientti, joka vallitsee tähden sisällä, jajota pyritään tämän analyysin avulla määrittämään. Ensimmäinen askel on laskea kon-vektiivinen energiavuo Fconv, johon tarvitsemme siis yhtälön lämpötilafluktuaatiolle jakonvektiosta aiheutuvalle keskimääräiselle nopeudelle u.

Lämpötilafluktuaatio voidaan kirjoittaa differentiaalina

∆T =

[(

dT

dr

)

e

−(

dT

dr

)

S

]

∆r, (1.113)

jossa ‘e’ viittaa kuplan sisäiseen ja ‘S’ muutokseen ympäröivässä aineessa, seuraten sa-maa lähestymistapaa kuin edellisessä luvussa. Uudelleenmuotoilemalla hieman, ja sijoit-tamalla paineen skaalakorkeuden määritelmä (1.102) saadaan muoto

∆T = (∇−∇e)∆rT

HP, (1.114)

missä ∇:t on määritelty aiemmin yhtälöillä (1.105). Voidaan ajatella, että kaikki kuplat,jotka menevät tietyn pallokuoren läpi, ovat keskimäärin liikkuneet ylös/alas matkan∆r = 1

2 lMLT, eli

∆T = (∇−∇e)TαMLT

2. (1.115)

32

Konvektionopeuden määrittämiseksi tarkastellaan nostevoiman Kr tekemää työtä,josta puolet arvioidaan kuluvan konvektiosolun kineettiseksi energiaksi, eli siis

1

2

Kr

ρ∆r =

Ekin

ρ= u2 = −1

2g∆ρ

ρ∆r. (1.116)

Käytetään hyväksi differentiaalia (1.99) oletuksilla dP = 0, eli kerros on painetasapai-nossa, ja dµ = 0, eli kerroksen kemiallinen koostumus on vakio, jolloin saadaan (1.115)avulla konvektiiviseksi nopeudeksi

u2 = gδ (∇−∇e)∆r2

2HP(1.117)

Kun jälleen sijoitetaan ∆r = 12 lMLT, saadaan

u = lMLT

(

gδ (∇−∇e)1

8HP

)1/2

= αMLT

(

1

8gδHP (∇−∇e)

)1/2

. (1.118)

Konvektiivinen energiavuo on siis

Fconv = ρcPu∆T = ρcPTα2MLT

4√2

(gδHP)1/2 (∇−∇e)

3/2 . (1.119)

Nyt meillä on koossa neljä yhtälöä (1.111, 1.112, 1.118, 1.119), mutta viisi tuntema-tonta: Frad (joka on nyt radiatiivisen ja konduktiivisen fluksin summa), Fconv, u, ∇e ja∇. On siis vielä revittävä jostain yksi yhtälö. Tämä saadaan tarkastelemalla lämpötilanmuutosta konvektiivisen kuplan sisällä, kun se liikkuu kerroksessa nopeudella u. Lämpö-tila voi muuttua kahdesta syystä: adiabaattinen laajeneminen/supistuminen tai säteilynaiheuttama kuumentuminen/kylmentyminen, eli siis

(

dT

dr

)

e

=

(

dT

dr

)

ad

− λ

ρV cPu, (1.120)

missä V on kuplan tilavuus, ja λ on säteilyn aiheuttama kokonaisenergiahäviö. Kerto-malla puolittain HP/T :llä saadaan

∇e −∇ad =λHP

ρV cPuT. (1.121)

Tarvitaan vielä yhtälö λ:lle, jonka yksityiskohtainen johto löytyy asiasta kiinnostuneilleKW, s. 43-44,

λ =6acV T 4

αMLTκρH2P

(∇−∇e) , (1.122)

joten näistä yhdistelemällä saadaan vaadittu viides yhtälö

∇e −∇ad

∇−∇e=

1

Γ=

6acT 3

αMLTHPκρ2cPu. (1.123)

33

Nyt siis on viisi yhtälöä ja viisi tuntematonta lokaalien suureiden P, T, ρ, αMLT, HP,cP,∇ad,∇rad ja g avulla lausuttuina, ja yhtälöt voidaan yrittää ratkaista. Määritelläännyt kaksi uutta dimensiotonta lukua

U ≡ 3acT 3

cpρ2κα2MLTHP

√

8

HPgδ(1.124)

W ≡ ∇rad −∇ad, (1.125)

joiden avulla sekoituspituusyhtälöt voidaan kirjoittaa yksinkertaisemmassa muodossa.Käyttämällä yhtälöitä (1.118) ja (1.123), saadaan

∇e −∇ad = 2U√

∇−∇e. (1.126)

Käytetään seuraavaksi yhtälöitä (1.111), (1.112), (1.119), (1.18) ja (1.102), jolloin saa-daan

(∇−∇e)3/2 =

8

9U (∇rad −∇) . (1.127)

Lisäämällä ja vähentämällä ∇ yhtälön (1.126) vasemmalle puolelle, saadaan yhtälö

(∇−∇ad)− (∇−∇e)− 2U√

∇−∇e = 0. (1.128)

Jos merkitään a =√∇−∇e, voidaan kirjoittaa

a2 + 2Ua+ (∇ad −∇) = 0, (1.129)

jonka ratkaisut ovat a = −U ±√

U2 +∇−∇ad. Huolimme mukaan vain positiivisenmerkin, ja merkitsemme a = −U + ξ. Sijoitetaan nämä yhtälöön (1.127), jolloin saadaankoko sekoituspituushässäkkä ilmaistua yhden ainoan yhtälön muodossa

(ξ − U)3 +8U

9

(

ξ2 − U2 −W)

= 0. (1.130)

Nyt on siis saatu väännettyä kolmannen asteen yhtälö ξ:lle, jonka voi ratkaista millätahansa kombinaatiolla U ja W . Voidaan osoittaa, että yhtälöllä on vain yksi positiivi-nen juuri, joka antaa halutun ∇:n, eli keskimääräisen lämpötilagradientin arvon, johonkonvektiokerros asettuu.

Jos W , eli radiatiivisen ja adiabaattisen lämpötilagradientin arvot tunnetaan, kon-vektio riippuu vain U :sta, jonka taas voidaan osoittaa kuvaavan konvektion tehokkuutta,koska

U =σradσconv

, (1.131)

missä σ:t ovat radiatiivinen ja konvektiivinen ‘lämmönjohtuvuus’. Pienet U :n arvot siiskuvaavat tehokasta konvektiota, kun taas suuret tehokasta säteilyä. Yhtälöstä (1.126)voidaan johtaa riippuvuus U :n ja Γ:n välille:

Γ =

√∇−∇e

2U, (1.132)

joten tehokkaalle konvektiolle Γ:n arvot ovat suuria. Pienet U :n ja suuret Γ:n arvotovat tyypillisiä hyvin tiheälle aineelle, missä säteilynkuljetus on hyvin tehotonta. Pienillä

34

Kuva 1.7: Esitys konvektion määräävistä suureista UW -tasossa. Kiinteät viivat ovateri superadiabaattisuudelle laskettuja tasa-arvokäyriä. Katkoviivoilla esitetyille suorilleΓ=vakio. Katko-pisteviivalla esitetään suora U2 = x.

tiheyksillä, eli suurilla/pienillä U :n/Γ:n arvoilla on konvektio tehotonta säteilyyn nähden.Tarkastellaan nyt näitä rajatapauksia.

Rajatapaus 1: Jos U → 0, Γ → ∞, eli ∇e → ∇ad, nähdään yhtälöiden ratkaisuista,että ∇ → ∇ad. Tämä tarkoittaa sitä, että pienikin lämpötilagradientin poikkeama adia-baattisesta arvosta riittää kuljettamaan koko energiavuon. Tämä pätee tähtien tiheissäsisäosissa. Tässä tapauksessa ei siis itse asiassa tarvitse ratkaista sekoituspituusyhtälöitä,vaan riittää, vaan riittää korvata ∇ = ∇ad.

Rajatapaus 2: Jos U → ∞, Γ → 0, sekoituspituusyhtälöistä nähdään, että ∇ →∇rad, eli konvektio on tehotonta, ja koko energiavuo siirtyy säteilemällä ja/tai johtumalla,jolloin voidaan korvata ∇ = ∇rad. Tämä pätee lähellä tähden fotosfääriä.

Kun kumpikaan ylläolevista rajatapauksista ei päde, kuten esimerkiksi tähtien ulko-osien konvektiokerroksissa, on ∇ ratkaistava sekoituspituusyhtälöstä (1.130), ja se saaarvoja jostain ∇ad:n ja ∇rad:n välimaastosta. Tällöin konvektion sanotaan olevan supe-radiabaattista, eli suure

x = ∇−∇ad = ξ2 − U2 > 0. (1.133)

Kuvassa (1.7) on plotattu x=vakio ja Γ=vakio käyriä (U,W )-tasossa.

35

Kotitehtävä 11: Tulkitse, mitä (U,W )-tason kuvaaja (Kuva 1.7) kertoo Au-ringon konvektiokerroksesta eri syvyyksillä. Oleta, että kaasu on yksiatomistaideaalikaasua, jolle κ ≈ 0.1m2 kg−1, ja käytä hyväksesi Auringon standardi-mallia (Kuva 1.6).

Sekoittumispituusmallin suurin etu (mutta samalla myös suurin haitta) on sen yksin-kertaisuus: konvektiivinen energiavuo ja sen avulla lämpötilagradientti saadaan laskettualähtien hyvin yksinkertaisista oletuksista. Toisaalta mallin perusoletusta ei voida johtaafysiikan peruslaeista joten sen pätevyys on jokseenkin kyseenalainen. Numeeriset konvek-tiomallit tosin antavat tukea perusoletukselle ja sen avulla johdetuille relaatioille ainakinrajoitetussa parametriavaruuden osassa (Chan & Sofia 1986, ApJ, 307, 222). Perusole-tuksen kyseenalaisuuden ohella mallin suurin heikkous on siinä että suuren mittakaavanvirtauksia, tähden pyörimistä tai magneettikenttiä ei oteta millään tavalla huomioon.Tämän takia sekoittumispituusmallin käyttökelpoisuus astrofysiikassa rajoittuu lähinnäyksiulotteisiin tähtien rakenteen ja kehityksen malleihin joissa sen pääasiallinen funktionon antaa energiavuo ja sen avulla lämpötilagradientti konvektiokerroksissa.

36

1.6 Yhtälö kemialliselle koostumukselle

Kemiallisella koostumuksella on tärkeä merkitys tähden kehityksessä, sillä se vaikut-taa suoraan materian kykyyn absorpoida säteilyä ja tuottaa energiaa ydinreaktioilla.Ydinreaktiot taas muuttavat tähden kemiallista koostumusta tähden elinkaaren aikana.Tähtien kemiallinen koostumus on kuitenkin suhteellisen yksinkertainen, koska korkei-den lämpötilojen ja paineiden vuoksi kemiallisia yhdisteitä ei pääse muodostumaan, jaatomitkin ovat yleensä lähes kokonaan ionisoituneita. Tämän vuoksi riittää, kun pide-tään kirjaa eri tyyppisten atomien ytimistä. Olkoon nyt Xi se osa kokonaismassasta, jokakoostuu tietyn tyyppisistä ytimistä i. Tällöin kokonaismassa voidaan kirjoittaa summanakaikista ytimistä

ΣiXi = 1. (1.134)

Usein käytetty partikkelitiheys per tilavuusyksikkö, ni, liittyy massaosuuteen seuraavasti

Xi =miniρ

, (1.135)

missä mi on tietyntyyppisen ytimen massa. Tyypillisesti pärjätään hyvin pienellä mää-rällä ytimiä, eli määritellään vedyn, heliumin ja ‘muiden’ massaosuudet

X ≡ XH, Y ≡ YHe, Z ≡ 1−X − Y. (1.136)

Tärkeitä ‘muita’ alkuaineita ovat esimerkiksi hiili (C), typpi (N) ja happi (O), jotkaosallistuvat vedyn palamiseen. Nuorissa tähdissä, ja yleisesti myös kehittyneiden tähtienulko-osissa, vetyä on ylivoimaisesti eniten, X = 0.6...0.7, Y = 0.36...0.3, z = 0.04...0.001.Tarkastellaan nyt kemiallisen koostumuksen muutosta ajan suhteen erityyppisissä ker-roksissa.

1.6.1 Radiatiiviset alueet

Jos energia siirtyy säteilemällä, ei energiankuljetukseen liity massaelementtien vaihtoaeri kuorien välillä, jos diffusiiviset prosessit jätetään huomiotta. Tällöin tietyn ytimenmassaosuus voi muuttua vain ydinreaktioiden tuottaessa tai tuhotessa kyseisiä ytimiä.

Jonkin tietyn ydinreaktion esiintymisrunsautta ajan suhteen kuvaa reaktiotaajuusrlm, joka kuvaa siis reaktioiden, jotka muuttavat l-tyyppiset ytimet m-tyyppisiksi yti-miksi, määrää per tilavuus per aikayksikkö. Yleisesti, tyypin i ydintä voi tuottaa/tuhotausea eri ydinreaktio samanaikaisesti, tuottoa kuvaavan reaktiotaajuuden ollessa rji, jatuhoamista rik. Tästä saadaan massaosuuden muutokselle yhtälö

∂Xi

∂t=mi

ρ[Σjrji − Σkrik] , i = 1, ..., I, (1.137)

missä i on mikä tahansa ydinreaktioihin osaa ottava ydin.

1.6.2 Diffuusio

Kemiallinen koostumus voi muuttua myös mikroskooppisten diffuusioprosessien vuok-si. Jos eri alkuaineiden runsauksissa esiintyy gradientteja, eli ne muuttuvat jonkin ava-ruuskoordinaatin suhteen, pyrkii tämä runsausero tasoittumaan konsentraatiodiffuusion

37

Kuva 1.8: Massaosuudet Xi massan funktiona. Välillä m1 < m < m2 tapahtuu konvek-tiota.

vuoksi. Täysin kemialliselta koostumukseltaan homogeeninenkään kerros ei ole diffuusio-ton. Raskaammat ytimet pyrkivät kohti korkeampaa lämpötilaa lämpötiladiffuusion jakohti korkeampaa painetta painediffuusion vaikutuksesta. Jälkimmäistä efektiä kutsu-taan myös sedimentaatioksi tai gravitionaaliseksi asettumiseksi. Näitä prosesseja voidaankuvata jo aiemmista yhteyksistä tutulla diffuusioapproksimaatiolla, jolle aikasemmin esi-tettiin yhtälö (1.73). Nyt partikkelitiheys n korvataan millä tahansa muulla suureella,jonka gradientti aiheuttaa diffuusioprosessin, esimerkiksi konsentraatiolla c

jc = −D∇c, (1.138)

missä diffuusiokerroin on muotoa D = 13vclc, missä vc on sekoittuvien ydinten keskimää-

räinen nopeus ja lc niiden vapaa matka. Diffuusioprosessia kuvaava aikaskaala on

τc =S2

D, (1.139)

missä S kuvaa pituusskaalaa, jonka yli konsentraation muutos tapahtuu. Analogisesti,lämpötila- ja painegradientista johtuvat diffuusioprosessit voidaan kuvata ja yhdistäädiffuusioapproksimaatiolla:

j = −D (∇c+ kT∇lnT + kP∇lnP ) , (1.140)

missä kT ja kP skaalaavat diffuusion voimakkuuden suhteessa konsentraation muutok-sesta aiheutuvaan diffuusioon. Nämä prosessit ovat tähtien kyseessä ollessa liian hitaita(suuruusluokkaa 1013a) ollakseen dynaamisesti merkittäviä, joten sivuutamme ne ilmantämän syvällisempää analyysiä.

1.6.3 Konvektiiviset alueet

Konvektiiviset liikkeet ovat kaikista tärkein tähtien aineen ja kemiallisen koostumuksensekoitusmekanismi: aine sekoittuu perinpohjin paljon lyhyemmässä aikaskaalassa kuinmuut mahdolliset mekanismit (ydinreaktioiden aiheuttama sekoittuminen radiatiivisessaalueessa, diffuusioprosessit). Konvektion vaikutuksesta eri ydinten massaosuudet homo-genisoituvat nopeasti, eli päädytään tilanteeseen

∂Xi

∂m= 0. (1.141)

38

Kuvassa (1.8) on skemaattisesti esitetty massaosuudet Xi massan funktiona, kun mas-saväli m1 < m < m2 on konvektiivinen. Tällä massavälillä Xi = Xi= vakio, kun taaskonvektiokerroksen ulkopuolella massaosuudet muuttuvat. Tästä voi aiheutua jyrkkiäkinmassaosuuksien gradientteja rajapinnoissa m1 ja m2. Tähden kehittyessä konvektioker-roksen rajapinnat voivat siirtyä, joten massan raja-arvot ovat yleisesti ajan funktioita.Tällöin myös konvektiokerroksen keskimääräiset (vakiot) alkuainerunsaudet muuttuvat.Tätä muutosta kuvaa yhtälö

∂X i

∂t=

1

m2 −m1

(∫ m2

m1

∂Xi

∂tdm+

∂m2

∂t

(

Xi2 −Xi

)

− ∂m1

∂t

(

Xi1 −Xi

)

)

, (1.142)

missä Xi1 ja Xi2 ovat arvot rajapinnoissa, joita kohden runsaudet mukautuvat. Integraa-lin ensimmäinen termi kuvaa ydinreaktioiden aiheuttamaa massaosuuksien muutosta.Vaikka ydinreaktioita ei tapahtuisikaan, tähden kemiallinen koostumus voi silti muuttuakahden jälkimmäisen termin ansiosta, jos konvektiokerroksen rajapinta siirtyy johonkinepähomogeeniseen alueeseen.

39

40

Luku 2

Perusyhtälöiden ratkaiseminen

Yhteenkoottuna meillä on nyt seuraavat tähtien rakenteen perusyhtälöt, esitettynä La-grangen koordinaatistossa:

∂r

∂m=

1

4πr2ρ, (2.1)

∂P

∂m= − Gm

4πr4− 1

4πr2∂2r

∂t2, (2.2)

∂l

∂m= εn − cp

∂T

∂t+δ

ρ

∂P

∂t, (2.3)

∂T

∂m= − GmT

4πr4P∇, (2.4)

∂Xi

∂t=

mi

ρ[Σjrji − Σkrik] , i = 1, ..., I. (2.5)

Meillä on siis 4 + I osittaisdifferentiaaliyhtälöä, missä I on mukaanotettavien ydinten lu-kumäärä, jotka sisältävät ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaattoja massan, ja ensim-mäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaattoja ajan suhteen. Yhtälöiden ratkaisemiseenriippumattomien muuttujien m ja t,

0 ≤ m ≤M, t ≥ t0, (2.6)

missä M on tähden kokonaismassa, tarvitaan 4 + I reunaehtoa, ja saman verran alkueh-toja. Riippumattomia muuttujia on myös saman verran, niiden ollessa r, P, l, T,X1, ..., XI .Näiden yhtälöiden lisäksi tarvitaan välttämättä tilanyhtälö, eli relaatio paineen, tihey-den ja lämpötilan välille. Perusyhtälöt on johdettu täysin yleisessä tapauksessa, eli onoletettu tilanyhtälö ρ = ρ(P, T,Xi). Tällöin myöskin muut relevantit termodynaami-set suureet riippuvat samoista muuttujista, eli ominaislämpökapasiteetti vakiopaineessacP = cP(P, T,Xi), δ ≡ − (∂lnρ/∂lnP )P = δ(T, P,Xi), adiabaattinen lämpötilagradientti∇ad = ∇ad(T, P,Xi), ja Rosselandin keskimääräinen absorptiokerroin κ = κ(P, T,Xi).Myös ydinreaktioiden taajuudet ja energian tuotanto/häviö rjk, εn ja εν riippuvat sa-moista muuttujista. Aikaisemmin olemme tarkastelleet joitain erikoistapauksia (polyt-roopit, ideaalikaasu), jolloin perusyhtälöt yksinkertaistuvat yleisistä muodoista. Kuhun-

41

kin tähden kehitysvaiheeseen sopivista tilanyhtälöistä puhutaan myöhemmin lisää kap-paleissa 3 ja 4.

Yhtälöt (2.1) ja (2.2) muodostavat perusyhtälöiden ns. mekaanisen osan, joka kyt-keytyy ns. termoenergeettiseen osaan, eli yhtälöihin (2.3) ja (2.4), vain tiheyden kautta.Kuten edellä opimme, voi sopivilla oletuksilla myös mekaanista osaa käyttää tähtimallienlaskemiseen (esim. olettamalla polytrooppinen tilanyhtälö). Yhtälöt (2.5) muodostavatns. kemiallisen osan. Yleensä ydinaikaskaala (1.69) on paljon pidempi kuin mikään muurelevantti aikaskaala, jolloin kemiallinen koostumus voidaan olettaa vakioksi, ja kemial-liset yhtälöt voidaan jättää ratkaisematta. Tällöin voidaan laskea tähtimalli tietylle ke-mialliselle koostumukselle Xi(M). Jos ydinaikaskaala on samaa kertaluokkaa kuin muutrelevantit aikaskaalat, näin ei tietenkään voida menetellä, vaan kehitysvaiheissa, jossamyös kemiallisessa koostumuksessa tapahtuu merkittäviä muutoksia, on kaikki yhtälötratkaistava samanaikaisesti. Joissakin tilanteissa kemiallisen koostumuksen muutoksetovat nopeampia kuin muut prosessit, jolloin riittää ratkaista Xi(t), kun P ja T tunne-taan.

Energiankuljetuksen merkitys tulee mukaan kuvioihin lämpötilagradientin yhtälössä(2.4). Kriteeri sille, milloin mikäkin energiankuljetusmuoto vallitsee, on johdettu edellä(1.107,1.108). Jos energiankuljetus tapahtuu säteilemällä ja/tai johtumalla, korvataan ∇radiatiivisella lämpötilagradientilla (1.83). Jos taas energiankuljetus tapahtuu konvek-tiolla, on ∇ korvattava konvektioteoriasta saatavalla arvolla. Tähtien sisäosien konvektio-kerroksissa, joissa tiheys on suuri, ∇ = ∇ad, joka on esitetty aikaisemmin (1.67). Tähtienulko-osien konvektiokerroksissa ∇ voidaan ratkaista esimerkiksi sekoituspituusteoriasta,kuten edellä on perinpohjaisesti johdettu. On huomattava myös, että lämpötilagradien-tin yhtälössä on eksplisiittisesti oletettu hydrostaattinen tasapaino, vaikka yhtälö (2.2)on toisaalta kirjoitettu muodossa, jossa muutokset tästä tasapainotilasta on otettu huo-mioon. Säteilykenttään tämä oletus pätee hyvin, koska termisen mukautumisen aikas-kaala säteilylle on hyvin lyhyt. Edellä esitetty konvektioteoria on myös johdettu ajastariippumattomassa tapauksessa, eli siinä on myös eksplisiittisesti oletettu hydrostaatti-nen tasapaino. Jos energiankuljetus tapahtuu konvektiolla, sekoittuu konvektiokerroksenaine hyvin tehokkaasti ja nopeasti, ja tämä on otettava huomioon yhtälöllä (1.142).

Jokaiselle yhtälöryhmän aikaderivaatalle on edellä johdettu relevantti aikaskaala. Lii-kemäärän säilymislaissa (2.2) oleva kiihtyvyystermi

(

∂2r/∂t2)

/4πr2 on pieni, jos tähdenkehitys tapahtuu aikaskaalassa, joka on paljon pidempi kuin τhydr (1.23). Tällöin liike-määrän säilymislaki redusoituu hydrostaattisen tasapainon yhtälöksi, ja tähden kehitystapahtuu toisiaan seuraavien hydrostaattisten tasapainotilojen kautta. Tässä tilanteessatarvitaan alkuehdot paineelle, lämpötilalle ja kemialliselle koostumukselle. Jos aikaskaa-la on lisäksi paljon pidempi kuin Kelvin-Helmholzin aikaskaala τKH (1.58), ovat myösaikaderivaatat energiansäilymislaissa (2.3) niin pieniä, että ne voidaan jättää huomiot-ta. Tähden kehitys tapahtuu tällöin sekä mekaanisessa että termisessä, eli täydellisessätasapainossa. Ainoa tarvittava alkuehto koskee nyt kemiallista koostumusta, ja yhtälötvoidaan erottaa rakennetta kuvaavaan osaan (yhtälöt (2.1)-(2.4) ilman aikaderivaattoja),jotka sisältävät vain osittaisderivaattoja paikan suhteen, ja kemialliseen osaan (yhtälöt(2.5), jotka sisältävät vain aikaderivaattoja. Tässä tilanteessa tähden kehitys tapahtuutoisiaan seuraavien kemialliselta koostumukseltaan vakioisten tilojen kautta, joissa täh-den rakenne ratkaistaan rakenneyhtälöistä, joissa osittaisderivaatat voidaan korvata ko-konaisderivaatoilla.

42

2.1 Reunaehdot

Sopivien reunaehtojen löytäminen on tärkeä osa perusyhtälöiden ratkaisemista, ja joskusreunaehdot voivat jopa määrätä lopullisen ratkaisun ominaisuudet. Yleisesti tähden kes-kustan reunaehdot ovat yksinkertaiset, mutta pinnalla energiankuljetus ja yleensä kaikkiprosessit, ja samalla reunaehdot, monimutkaistuvat. Seuraavassa esitetään yksinkertai-simmat vaihtoehdot reunaehdoille.

2.1.1 Reunaehdot tähden keskustassa

Keskustassa m = 0 ja r = 0. Paineella ja lämpötilalla, ja sitä mukaa myös tiheydellä,täytyy olla joku nollasta poikkeava arvo, merkitään niitä Tc, Pc ja ρc. Koska r = 0, onluminositeetin oltava myös nolla keskustassa, eli l = 0, ja reunaehdot ovat

m = 0, r = 0, l = 0. (2.7)

Etukäteen ei luonnollisesti tiedetä mitään paineen ja lämpötilan arvoista keskustassa.

2.1.2 Reunaehdot pinnalla

Jos tähden pinta on radiatiivinen, voidaan ajatella paineen ja lämpötilan lähestyvännollaa pinnalla, eli

m→M, P → 0, T → 0. (2.8)

Nämä ehdot ovat realistisia vain siinä suhteessa, että ne tuottavat paljon pienemmänpaineen ja lämpötilan pinnalla kuin keskustassa.

Suurin osa tähden säteilystä emittoituu ympäröivään avaruuteen pinnasta, jota kut-sutaan fotosfääriksi. Tämä kerros löytyy syvyydeltä, missä pinnan yläpuolella olevienkerrosten optinen syvyys

τ =

∫

∞

Rκρdr = κ

∫

∞

Rρdr =

2

3. (2.9)

Tässä yhtälössä κ on keskimääräinen opasiteetti yli tähden koko atmosfäärin (ei siissama kuin Rosselandin κ). Hydrostaattisessa tasapainossa paine tällä syvyydellä mää-räytyy yläpuolisen kerroksen painosta. Oletetaan, että gravitaatiokiihtyvyys on vakioyläpuolisessa kerroksessa, jolloin

Pr=R =

∫

∞

Rgρdr = g

∫

∞

Rρdr. (2.10)

Sijoitetaan tähän tiheyden integraali yhtälöstä (2.9), jolloin saadaan

Pr=R =Gm

R2

2

3

1

κ≡ Peff . (2.11)

Toisaalta, fotosfäärissä lämpötila on yhtäsuuri kuin efektiivinen lämpötila, eli

Tr=R = Teff , (2.12)

43

Kuva 2.1: Kaikki mahdolliset sisratkaisut [π,θ] ja ulkoratkaisut [π,θ] pisteessä mF. Pak-sut viivat osoittavat tasaisen ratkaisun, eli sen, jolle sisä- ja ulkoratkaisut ovat samatpisteessä mF.

joka on määritelty

L = 4πσR2T 4eff , (2.13)

missä σ = ac4 on Stefan-Boltzmannin vakio. Teff on siten se mustan kappaleen läm-

pötila, joka vastaa tähden pinnan säteilyvuota. Yhtälöt (2.11) ja (2.12) muodostavatns. fotosfääriset reunaehdot. Ne ovat huomattavasti realistisemmat kuin nollareunaehdot(2.8), vaikka on huomattavaa, että reunaehdot on johdettu lähellä tähden pintaa, missäkäytetty oletus lyhyestä fotonien vapaasta matkasta (1.71) ei enää päde.

Pintareunaehtojen on yleisesti oltava sellaiset, että sisäosien ratkaisu yhtyy niihintasaisesti. Yleensä sisäratkaisua yritetään ‘sovittaa’ ulkoratkaisun kanssa yhteen jollainmassan arvolla mF, jonka pitäisi olla tarpeeksi suuri (vastaten tarpeeksi suurta säteen ar-voa) tähden sisälla, jotta sisäosien yhtälöt ovat vielä voimassa. Toisaalta, mF ei saisi ollaliian suuri (syvällä), jotta pintareunaehdoille voidaan käyttää termisen tasapainon ehtoal = L. Mitä pienempim−mF sitä vähemmän energiaa voi säilöytyä/vapautua ulkokerrok-sessa. Meillä on siis kahdesta vapaasta parametrista (esim. [Teff , Peff ]) muodostuva taso,joista mitä tahansa voidaan käyttää integroitaessa rakenneyhtälöitä sisäänpäin mF:n as-ti. Samoin, sisäosien rakenneyhtälöt voidaan integroida ulospäin mF:n asti millä tahansakombinaatiolla [Tc,Pc]-tasosta. Tarkoituksena on löytää kombinaatio, jolle ulkoratkaisupisteessä m = mF on sama kuin sisäratkaisu tässä pisteessä. Koska pintareunaehdoillevoidaan yleensä asettaa havainnoista melko tarkka arvo, yritetään sovitus yleensä löy-tää varioimalla lämpötilaa ja painetta tähden keskustassa. Kun rakenneyhtälöt on saaturatkaistua, integroidaan uusi kemiallinen koostumus seuraavalla relevantilla ajanhetkel-lä yhtalöistä (2.5). Saadulle uudelle kemialliselle koostumukselle lasketaan sitten uusirakenneratkaisu; kun tätä toistetaan koko tähden eliniän yli, saadaan laskettua tähdenkehitysmalli, ja kaikki rakenneratkaisut eri kehitysvaiheissa.

44

2.2 Numeerisista ratkaisuista

Tähtien rakenteen ja kehityksen yhtälöt ratkaistaan joitain erikoistapauksia (edellä käsi-tellyt polytroopit) lukuunottamatta numeerisesti. Varhaisimmat numeeriset mallit käyt-tivät juuri yllä kuvattua ampumismenetelmää, eli numeerista integrointia ylä- ja ala-puolelta, arvaamalla reunaehdot keskustassa ja pinnalla, kunnes jatkuva ratkaisu löytyy.Nykypäivänä käytetään yleisemmin relaksaatiomenetelmiä, joissa integrointi suoritetaankoko massa-/sädevälin yli käyttäen äärellisten differenssien diskretisaatiota. Ratkaisuaparannetaan iteroimalla, kunnes tarvittava tarkkuus saavutetaan. Yksi esimerkki täl-laisesta menetelmästa on Henyey-menetelmä, joka on kuvattu KW s. 78-84. Toisenaesimerkkinä voidaan mainita numeeriset algoritmit, jotka perustuvat Eggletonin muut-tuvan hilan menetelmään. On kehitetty myös helppokäyttöisiä avoimen lähdekoodin oh-jelmistoja, kuten MESA1, jolla kuka tahansa asiasta kiinnostunut voi kokeilla tähtienkehitysmallien laskemista.

2.3 Ratkaisujen olemassaolosta ja yksiselitteisyydestä

Vogt-Russell-teoreema esittää väitteen, että massa ja kemiallinen koostumusmääräävät yksikäsitteisesti tähden säteen ja luminositeetin, ja siten myös ko-ko tähden rakenteen ja kehityksen. Tämä väite voidaan todistaa vain lineaarisilledifferentiaaliyhtälöille, mutta epälineaarisille systeemeille väite ei yleisesti päde. Lisäksinumeeristen mallien kehittyessä on parametriavaruuksien kartoituksen yhteydessä huo-mattu, että useat eri parametriyhdistelmät voivat johtaa samaan ratkaisuun, ja samatparametriyhdistelmät myös eri ratkaisuihin. Tämä muotoillaan yleensä siten, että Vogt-Russell -teoreema ei päde globaalisti, tarkoittaen sitä että kaikilla massan ja kemiallisenkoostumuksen jakaumilla ei ole yksikäsitteistä ratkaisua, ja että jos ratkaisu on olemassa,se ei välttämättä ole yksikäsitteinen. Tämän vuoksi on käytettävä lokaalia tarkastelua,jossa linearisoinnin avulla päästään tilanteeseen, jossa yhtälöt ovat lineaarisia, jolloinVogt-Russell -teoreema pätee. Lokaalin analyysin pohjalta voidaan muotoilla yksikäsit-teisyysehto, jolla voidaan ‘tarkistaa’ saadun ratkaisun yksikäsitteisyys. Esimerkiksi pää-sarjavaiheen aikaista rakennetta ja kehitystä laskettaessa Vogt-Russell -teoreema antaapääsääntöisesti yksikäsitteisiä ratkaisuja, ja on siten käyttökelpoinen työkalu.

1http://mesa.sourceforge.net/

45

46

Luku 3

Kaasun ominaisuudet tähdissä

Tähtien rakennetta kuvaavien perussuureiden (m, r P , T ja l) joiden avulla rakenneyh-tälöt on lausuttu, yhtälöissä esiintyy suureita kuten ρ, εi ja κ. Ne kuvaavat kaasunominaisuuksia tähdessä tietyillä paineen ja lämpötilan arvoilla ja annetulla kaasun ke-miallisella koostumuksella, mutta ne eivät riipu muista perussuureista kuten m, r tai l.Niitä voidaan siten käsitellä kaasun yleisinä ominaisuuksina jotka voidaan yhtä hyvinmitata laboratoriossa siinä missä tähden sisälläkin.

3.1 Ideaalikaasu + säteily

Ideaalikaasun tilanyhtälö voidaan kirjoittaa muodoissa

P = nkT =RµρT, (3.1)

jossa ρ = nµmu, k on Boltzmannin vakio ja R = k/mu universaali kaasuvakio. Jäl-kimmäinen on määritelty energiana kelviniä ja massayksikköä (eikä moolia) kohti jolloinkeskimääräinen molekyylipaino on dimensioton luku.

3.1.1 Keskimääräinen molekyylipaino ja säteilypaine

Tähtien sisäosissa kaasu on täysin ionisoitunutta jolloin jokaista vety-ydintä kohti on yk-si elektroni ja jokaista helium-ydintä kohti kaksi elektronia jne. Tällöin kaasun voidaanolettaa koostuvan kahdesta komponentista: atomiytimistä (joita voi myös olla useam-paa laatua) ja elektroneista. Systeemiä voidaan käsitellä yhtenä kaasuna jos kaikki senkomponentit noudattavat ideaalikaasun tilanyhtälöä.

Käsitellään täysin ionisoitunutta kaasua. Kaasun kemiallinen koostumus voidaan ku-vata määräämällä kaikki Xi eli tyypin i atomiytimien (joiden molekyylipaino on µi javarausluku Zi) massaosuudet. Jos tyypin i ytimiä on ni tilavuusyksikössä ja niiden ‘osit-taistiheys’ of ρi niin on ilmeistä että Xi = ρi/ρ ja

ni =ρi

µimu=

ρ

mu

Xi

µi. (3.2)

Elektronien osuus massasta on pieni ja jätetään tässä huomiotta.

47

Kaasun paine on nyt summa osapaineista

P = Pe +∑

i

Pi =

(

ne +∑

i

ni

)

kT, (3.3)

jossa Pe on elektronien paine ja Pi tyypin i atomiydinten osapaine. Täysin ionisoituneenalkuaineen i ytimen kontribuutio kokonaishiukkasmäärään on Zi + 1 (atomiydin + Zi

elektronia). Täten

n = ne +∑

i

ni =∑

i

(1 + Zi)ni. (3.4)

Käyttämällä tätä tulosta ja kaavaa (3.2) yhtälössä (3.3) saadaan

P = nkT = R∑

i

Xi(1 + Zi)

µiρT, (3.5)

joka voidaan kirjoittaa yksinkertaisessa muodossa (3.1) kun määritellään keskimääräinenmolekyylipaino

µ =

(

∑

i

Xi(1 + Zi)

µi

)−1

. (3.6)

Keskimääräisen molekyylipainon avulla useamman eri lajin hiukkasten seosta voidaankäsitella yhtenä ideaalikaasuna. Esimerkiksi täysin ionisoituneelle vedylle XH = 1, µH =1 ja ZH = 1, joten µ = 1/2 ja täysin ionisoituneelle heliumille XHe = 1, µHe = 4, ZHe = 2saadaan vastaavasti µ = 4/3.

Kaava (3.6) pätee myös osittain ionisoituneen (tästä myöhemmin) ja täysin neutraalinkaasun tapauksissa. Jälkimmäisessä tapauksessa vapaita elektroneja ei ole joten 1 + Zi

korvataan ykkösellä jolloin

µ0 =

(

∑

i

Xi

µi

)−1

. (3.7)

Määritellään vielä tulevaa käyttöä varten keskimääräinen molekyylipaino elektroniakohden, µe. Täysin ionisoituneessa kaasussa jokainen atomiydin i tuo Zi vapaata elekt-ronia joten

µe =

(

∑

i

XiZi

µi

)−1

. (3.8)

Heliumia painavammille alkuaineille voidaan karkeasti arvioida että µi/Zi ≈ 2, saadaan

µe =[

X + 12Y + 1

2(1−X − Y )]−1

=2

1 +X, (3.9)

missä X = XH, Y = XHe ovat vedyn ja heliumin massaosuudet. Näitä painavampienalkuaineiden osuus on siten 1−X − Y .

48

Kaasun paineen lisäksi fotonien aiheuttama paine voi tähtien sisäosissa olla mer-kittävä. Säteily on hyvin lähellä mustan kappaleen säteilyä joten säteilypaine voidaankirjoittaa muodossa

Prad = 13U =

a

3T 4, (3.10)

jossa U on energiatiheys ja a on säteilytiheysvakio. Kokonaispaine on siis kaasun paineenja säteilypaineen summa

P = Pgas + Prad =RµρT +

a

3T 4. (3.11)

Kaava pätee kun on kyse ideaalikaasusta.Kaasun paineen ja säteilypaineen suhdetta kuvataan luvuilla

β ≡ Pgas

P, 1− β ≡ Prad

P. (3.12)

Jos β = 1, säteilyn paine on nolla ja jos β = 0 niin kaasun paine on nolla. Kaava (3.12)pätee myös ei-ideaalisen kaasun tapauksessa.

3.1.2 Termodynaamisia suureita

Kaavasta (3.11) saadaan

ρ =µ

R1

T

(

P − a

3T 4)

. (3.13)

Määritelmillä

α =∂lnρ

∂lnP, δ = − ∂lnρ

∂lnTja ϕ =

∂lnρ

∂lnµ, (3.14)

saadaan

α =1

β, δ =

4− 3β

β, ja ϕ = 1. (3.15)

Jos säteilyn paine voidaan jättää huomitta saadaan α = δ = ϕ = 1.Jos kaasun komponentit ovat yksiatomisia, sisäenergia massayksikköä kohden on

u = 32kT

n

ρ+aT 4

ρ= 3

2

RµT +

aT 4

ρ=

RTµ

[

32 +

3(1− β)

β

]

. (3.16)

Ominaislämpökapasiteetti vakiopaineessa eli cP on määritellään

cP =

(

∂u

∂T

)

P

+ P

(

∂V

∂T

)

P

=

(

∂u

∂T

)

P

− P

ρ2

(

∂ρ

∂T

)

P

. (3.17)

Käyttämällä hyväksi yhtälöä (3.16) saadaan

(

∂u

∂T

)

P

=Rµ

[

3

2+

3(4 + β)(1− β)

β2

]

. (3.18)

49

Ominaislämpökapasiteetti saadaan nyt käyttämällä δn määritelmää

cP =Rµ

[

3

2+

3(4 + β)(1− β)

β2+

4− 3β

β2

]

. (3.19)

Adiabaattinen lämpötilagradientti voidaan nyt ratkaista säteilevälle ideaalikaasulle (kaa-va 1.67)

∇ad =RδβµcP

=1 + (1−β)(4+β)

β2

52 + 4(1−β)(4+β)

β2

. (3.20)

Säteilypaineen lähestyessä nollaa (β → 1) saamme tutun yksiatomisen ideaalikaasuntuloksen: cP = 5R/2µ ja ∇ad = 2/5. Toisaalta jos kaasun paine häviää (β → 0), ∇ad →1/4 ja cP → ∞.

50

3.2 Ionisaatio

Edellä on käsitelty täysin ionisoituneen kaasun tapausta. Tämä on hyvä approksimaatiotähtien sisäosissa jossa lämpötila ja paine ovat suuria. Lähellä tähden pintaa lämpötilaon paljon matalampi ja kaasu vain osittain ionisoitunutta. Esimerkiksi Auringon pin-nalla valtaosa vedystä ja käytännössä kaikki helium on neutraalia. Osittainen ionisaatiovaikuttaa kaasun termodynaamisiin ominaisuuksiin kuten keskimääräiseen molekyylipai-noon ja cP:hen jotka taas vaikuttavat tähden rakenteeseen.

3.2.1 Boltzmannin ja Sahan yhtälöt

Käsitellään tietyn alkuaineen atomeja tietyllä ionisaatioasteella tilavuusyksikössä olet-taen että termodynaaminen tasapaino pätee. Eri atomit ovat useissa viritystiloissa joi-hin viitataan alaindeksilla s. Lisäksi viritystilat voivat olla degeneroituneita jolloin tilannumero s koostuu gs:stä alitilasta. Luku gs on tilan statistinen paino. Tarkastellaan eri-tyisesti tietyn atomin tiloja s ja s = 0, joka on atomin perustila, ja joiden energiaero onΨs siirtymiä tilasta toiseen esim. fotonien absorption tai emission takia. Tasapainotilas-sa tällaisia siirtymiä tapahtuu yhtä paljon molempiin suuntiin. Nyt tiloissa s ja s = 0olevien atomien lukumäärien suhde voidaan kirjoittaa muotoon

nsn0

=gsg0

exp−Ψs/kT, (3.21)

joka on kuuluisa Boltzmannin yhtälö joka kuvaa (Maxwell–)Boltzmann jakaumaa.On havainnollisempaa verrata tietyn viritystilan atomien määrää kaikkiin kyseisen

lajin atomeihin (eikä vain perustilaan)

n =∑

s

ns. (3.22)

Kertomalla kaava (3.21) g0:lla ja summaamalla yli kaikkien tilojen saadaan

g0n

n0= g0

∞∑

s=0

nsn0

= g0 + g1 exp−Ψ1/kT+ g2 exp−Ψ2/kT+ . . . ≡ up, (3.23)

missä up on partitiofunktio. Nyt Boltzmannin yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon

nsn

=gsup

exp−Ψs/kT. (3.24)

Boltzmannin yhtälön avulla voidaan myös selvittää atomin ionisaatiotaso. Nyt on pi-dettävä mielessä periaatteellinen ero virittymisen ja ionisaation välillä: sidottujen elekt-ronien viritystilojen välinen energiaero on aina diskreetti, kun taas ionisaation ylempitaso koostuu kahdesta hiukkasesta joilla jatkuva energiajakauma, ts. ionisaation jälkeenelektronilla voi olla mielivaltainen määrä kineettistä energiaa ja rekombinaation voi ta-pahtua mielivaltaisen kineettisen energian omaavien elektronien kanssa.

Ioni on r-kertaisesti ionisoitunut kun siitä on irronnut r elektronia ja seuraavan pe-rustilassa olevan elektronin irrottamiseen vaadittava energia on χr. Ionisaation jälkeenelektronilla on nollasta poikkeava liikemäärä pe eli sen kineettinen energia on p2e/(2me).Verrattuna alkuperäiseen tilaansa vapaalla elektronilla on nyt energia χr + p2e/(2me) jaatomin ionisaatioaste on r + 1.

51

Tarkastellaan yllä esitettyä tilannetta nyt lähemmin. Ionisaatiossa irronneella elekt-ronilla on liikemäärä joka on välillä [pe, pe + dpe]. Atomien paikkatiheydet tiloissa r jar + 1 ovat nyt nr ja dnr+1. Ylemmän tilan statistinen paino on nyt ionin (gr+1) ja va-paan elektronin (dge(pe)) tilastollisten painojen tulo. Siirtymiä ylemmälle ja alemmalletasolle esiintyy yhtä paljon. Termisen tasapainon vallitessa Boltzmannin yhtälö pätee

dnr+1

nr=gr+1dg(pe)

grexp

−χr + p2e/(2me)

kT

. (3.25)

Paulin kieltosäännön mukaan kuusiulotteisen faasiavaruuden pienimmässä Heisenberginepätarkkuusperiaatteen sallimassa osassa dq1dq2dq3dp1dp2dp3 = dV d3p voi olla korkein-taan 2dV d3p/h3 elektronia. Täten saamme

dg(pe) =2dV d3pe

h3. (3.26)

Elektronitiheys (kolmessa ulottuvuudessa) ne voidaan esittää muodossa dV = 1/ne.Samoten kolmiulotteisen liikemäärän kaikki välille [pe, pe + dpe] kuuluvat pisteet ovatpallokuorella jonka säde on pe ja paksuus dpe joten d3pe = 4πp2edpe ja

dg(pe) =8πp2edpeneh3

. (3.27)

Nyt yhtälö (3.25) voidaan kirjoittaa muotoon

dnr+1

nr=gr+1

gr

8πp2edpeneh3

exp

−χr + p2e/(2me)

kT

. (3.28)

Kaikki korkeammat energiatasot (ionisaatiotasolle r+1 perustilassa ja elektroneille millätahansa liikemäärän arvolla) saadaan integroimalla yli pe:n. Sivuutamme tässä hankalanintegraalin ja toteamme lopputuloksen

nr+1

nrne =

gr+1

grfr(T ), jossa fr(T ) = 2

(2πmekT )3/2

h3exp

− χr

kT

, (3.29)

joka on Sahan yhtälö.Käyttäen hyväksi Boltzmannin yhtälöä, Sahan yhtälö voidaan yleistää koskemaan

kaikkia ionisaatio- ja viritystiloja (KW, s.109–110). Lopputuloksena saadaan

nr+1

nrne =

ur+1

urfr(T ), (3.30)

jossa ur = ur(T ) on r kertaa ionisoituneen atomin partitiofunktio. Käyttämällä elektro-nien painetta Pe = nekT Sahan yhtälö saadaan muotoon

nr+1

nrPe =

ur+1

ur2(2πme)

3/2

h3(kT )5/2 exp −χr/kT . (3.31)

52

3.2.2 Vedyn ionisaatio

Kokeillaan Sahan yhtälön soveltamista puhtaan vetykaasun tapauksessa1. Määritelläänionisaatioaste x

x =n1

n0 + n1, (3.32)

ts. n1/n0 = x/(1−x), jossa n0 ja n1 ovat ionisoituneen ja neutraalin vedyn hiukkastihey-det. Neutraalille vedylle x = 0 ja täysin ionisoituneessa tapauksessa x = 1. Kaavan (3.31)oikea puoli voidaan nyt kirjoittaa muotoon xPe/(1 − x). Jos n = n0 + n1 on kaikkienvetyatomien lukumäärä, voidaan elektronien osapaine lausua koko kaasun paineen avulla

Pe = nekT = (n+ ne)kTne

n+ ne= Pgas

nen+ ne

. (3.33)

Jokaista ionisoitunutta vetyatomia vastaa yksi elektroni joten ne = n1 joten

Pe = Pgasx

1 + x. (3.34)

Nyt Sahan yhtälö (3.31) voidaan kirjoittaa muotoon

x2

1− x2= KH, jossa KH =

u1u0

2

Pgas

(2πme)3/2

h3(kT )5/2 exp −χH/kT , (3.35)

jossa χH = 13.6 eV on vedyn ionisaatioenergia. Nyt ionisaatioaste voidaan ratkaistatoisen asteen yhtälöstä 3.35 kun tunnetaan kaasun lämpötila T ja paine Pgas. Tämänlisäksi tarvitaan vielä partitiofunktiot u1 ja u0. Usein virittyneet tilat voidaan jättäähuomiotta jolloin perustilan partitiofunktio on u0 ≈ g0,0 = 2 (spin ylös ja spin alas) jaionisoituneelle vedylle u1 = 1.

Kotitehtävä 12: Arvioi vedyn ionisaatioastetta x lähellä Auringon pintaajossa Pgas = 9.55 · 103 Pa ja T = 5780 K, konvektiokerroksen puolivälissä(Pgas = 5.61 ·1011 Pa, T = 8.75 ·105 K) ja konvektiokerroksen pohjalla (Pgas =5.96 · 1012 Pa, T = 2.23 · 106 K.)

Aiemmin näimme (Luku 3.1) että kaasun keskimääräinen molekyylipaino riippuuionisaatioasteesta. Määritellään nyt elektronien lukumäärä atomiydintä (ionisoitunuttatai neutraalia) kohti

E =nen

= x. (3.36)

Nyt kaasun tiheys ρ voidaan kirjoittaa muodossa

ρ = (n+ ne)µmu = nµ0mu = neµemu, (3.37)

jossa µmu, µ0mu ja µemu ovat hiukkasten keskimääräiset painot vapaata partikkelia,atomiydintä ja elektronia kohti. Käyttämällä kaavaa (3.36) voidaan tarkaista keskimää-räinen molekyylipaino

µ =ρ

mun

1

1 + E=

µ01 + E

= µeE

1 + E, (3.38)

1Vety–Helium seosta ja yleistä tapausta käsitellään KW sivuilla 112–115.

53

joka pätee myös kaasujen seoksille.Annetaan tässä muutamia tuloksia termodynaamisille suureille osittain ionisoituneen

vedyn tapauksessa (tarkempi johto KW, s. 111–112):

δ = 1 +1

2x(1− x)

(

5

2+χH

kT

)

, (3.39)

cPµ0R =

5

2(1 + x) +

Φ2H

G(x), ΦH =

5

2+χH

kT, G(x) =

2

x(1− x2), (3.40)

∇ad =Pδ

Tρcp=

2 + x(1− x)ΦH

5 + x(1− x)Φ2H

. (3.41)

Kotitehtävä 13: Arvioi adiabaattista lämpötilagradienttia ∇ad konvektioker-roksen eri syvyyksillä käyttäen tehtävässä 12 laskettuja ionisaatioasteita.

3.2.3 Sahan yhtälön pätevyysalue

Sahan yhtälö pätee kun kaasu on termodynaamisessa tasapainossa joka on hyvä approk-simaatio tähtien sisäosissa ja myös lokaalin termodynaamisen tasapainon (LTE) tapauk-sessa jossa törmäykset ovat paljon tehokkaampia kuin säteilyprosessit. Jos LTE ei olevoimassa, kuten esimerkiksi Auringon koronassa, Sahan yhtälöä ei voi käyttää.

Toisaalta suurissa tiheyksissä ajaudutaan toiseen ongelmaan: Auringon keskustassa(Pgas ≈ 2.6 · 1016Pa, T ≈ 1.6 · 107K) Sahan yhtälö antaa vedyn ionisaatioasteeksi noin76 prosenttia (tässä oletuksena puhdas vetykaasu mutta tämä ei ole ongelman kannaltaolennaista). Paradoksi johtuu ionisaatioenergian laskusta korkeilla tiheyksillä joka taasjohtuu kvanttimekaanisista efekteistä.

Oletetaan edelleen puhdas vetykaasu jossa atomiydinten keskimääräinen etäisyys ofd. Tällöin elektroni ei voi olla sidottu johonkin atomiin jos sen etäisyys a on samaasuuruusluokkaa tai suurempi kuin d/2. Käytetään suureita

a = a0ν2, ja d ≈

(

3

4πnH

)1/3

, (3.42)

jossa a0 = 5.3 · 10−11m on Bohrin säde, ν on kvanttiluku ja nH on atomiydinten paikka-tiheys. Nyt ehdon a < d/2 avulla saadaan

ν2 <

(

3

4πnH

)1/3 1

2a0. (3.43)

Kotitehtävä 14: Arvioi millä kvanttiluvun arvolla ehto 3.43 toteutuu lähelläAuringon pintaa (ρ ≈ 2.5 · 10−4kg m−3), konvektiokerroksen pohjalla (ρ ≈1.95 · 102kg m−3) ja ytimessä (ρ ≈ 1.7 · 105kg m−3). Oleta kaasu puhtaaksivedyksi. Mitä voit päätellä tuloksista?

54

Suurissa tiheyksissä tapahtuvalle paineionisaatiolle ei ole olemassa tyhjentävää teo-riaa. Sahan yhtälöä ei yleensä käytetä tähtien ytimissä vaan kaasu oletetaan täysin ioni-soituneeksi. Karkea arvio Sahan yhtälön pätevyydelle saadaan kun vaaditaan että ato-miydinten keskimääräinen etäisyys toisistaan on vähintään 10 Bohrin sädettä. Tällöinsaadaan ehto

ρ = µ0munion <3µ0mu

4π(10a0)3≈ 2.66µ0 kg m−3. (3.44)

55

3.3 Degeneroitunut elektronikaasu

Käsitellään kaasua tilavuudessa dV . Oletetaan että tiheys on niin suuri että paineioni-saation vaikutuksesta kaasu on täysin ionisoitunutta. Elektronien paikkatiheys on ne jaelektronien kineettinen energia Boltzmannin statistiikan mukaan 3kT/2. Liikemääräava-ruudessa px, py, pz tilavuuden dV sisältämät elektronit ovat pisteitä jotka muodostavatpallosymmetrisen ‘pilven’. Liikemäärän itseisarvon p (p2 = p2x+p

2y+p

2z) avulla elektronien

määrä pallokuorella [p, p+ dp] on Boltzmannin jakauman mukaan

f(p)dpdV = ne4πp2

(2πmekT )3/2exp

− p2

2mekT

dpdV. (3.45)

Lasketaan nyt lämpötilaa T ja oletetaan että ne = vakio. Jakauman maksimi siirtyy nytkohti pienempää liikemäärää koska pmax = (2mekT )

1/2 ja f(p):n maksimi kasvaa koskane =

∫

∞

0 f(p)dp. Kun elektronit kasaantuvat pienille liikemäärän arvoille, kvanttimekaa-niset efektit alkavat tulla peliin mukaan, ts. liikemäärällä on vain tietty määrä sallittujatiloja Paulin kieltosäännön takia.

Tarkemmin ottaen fermioneille (kuten elektronit) jokainen kuusiulotteinen kvantti-solu dpxdpydpzdV = h3 voi sisältää kaksi elektronia. Niinpä pallokuori [p, p+dp] sisältää4π2p2dpdV/h3 kvanttisolua joka voi sisältää 8π2p2dpdV/h3 elektronia. Saadaan kvantti-mekaaninen ehto joka toteaa että

f(p)dpdV ≤ 8π2p2dpdV/h3, (3.46)

ja joka antaa ylärajan f(p):lle. Yhtälö (3.45) ajautuu ristiriitaan (3.46):n kanssa riittävänmatalissa lämpötiloissa. Toisaalta sama ristiriita ilmenee jos T = vakio ja tiheys nekasvaa. Kun kvanttimekaaninen ehto joudutaan ottamaan huomioon sanotaan että kaasudegeneroituu.

3.3.1 Täysin degeneroitunut elektronikaasu

Käsitellään tapausta jossa T = 0 jolloin kaikilla elektroneilla on pienin mahdollinenenergia. Täysin degeneroituneessa kaasussa kaikissa kvanttitiloissa tiettyyn liikemääränarvoon pF on kaksi elektronia ja kaikki tilat pF:n yläpuolella ovat tyhjiä:

f(p) =8πp2

h3, p ≤ pF (3.47)

f(p) = 0, p > pF. (3.48)

Tilavuudessa dV on nyt

nedV = dV

∫ pF

0

8πp2dp

h3=

8π

3h3p3FdV (3.49)

elektronia. Jos elektronien tiheys ne tiedetään, kaavasta (3.49) saadaan Fermin liikemää-

rä pF ∝ n1/3e . Ei-relativistisille elektroneille saadaan Fermin energia EF = p2F/(2me) ∝

n2/3e joka on Paulin kieltosäännön takia nollasta poikkeava vaikka elektronikaasun läm-

pätila on nolla.

56

Suurissa tiheyksissä pF voi kasvaa niin suureksi että elektronien nopeus v alkaa lähen-telemään valonnopeutta c. Tällöin tulee käyttää erityisen suhteellisuusteorian yhtälöitäliikemäärälle p ja kokonaisenergialle Etot

p =mev

√

1− v2/c2, (3.50)

Etot =mec

2

√

1− v2/c2= mec

2

√

1 +p2

m2ec

2, (3.51)

jossa me on elektronin lepomassa. Näistä voidaan laskea (1/c)∂Etot/∂p = v/c. Jatkossatulee erottaa kokonaisenergia Etot ja kineettinen energia E:

E = Etot −mec2. (3.52)

Paine käsitetään liikemäärän vuona pinta-ala elementin läpi sekunnissa. Tarkastellaanpintaelementtiä dσ jolle on normaali n. Mielivaltainen suuntavektori s tekee kulman ϑnormaalin n kanssa. Lasketaan montako elektronia joiden liikemäärä on väliltä [p, p +dp] läpäisee dσn pieneen avaruuskulmaan dΩs suunnassa s. Pintaelementin kohdalla onf(p)dpdΩs/(4π) elektronia tilavuusyksikössä joilla on sopiva p (magnitudi ja suunta).Nyt f(p)dpdΩsv(p) cosϑdσ/(4π) elektronia läpäisee pintaelementin dσ avaruuskulmaandΩs joka sekunti. Tässä v(p) on nopeus (3.50) ja kerroin cosϑ johtuu siitä että elektronitnäkevät vain pintaelementin dσ projektion. Nyt siis jokainen elektroni vie liikemääränp suuntaan s jonka komponentti suuntaan n on p cosϑ. Koko liikemäärävuo saadaanintegroimalla yli kaikkien suuntien s joista koostuu puolipallo ja yli kaikkien liikemääränarvojen p. Nyt elektronien paineeksi saadaan

Pe =

∫

2π

∫

∞

0f(p)v(p)p cos2 ϑdpdΩs/(4π) =

8π

3h3

∫ pF

0p3v(p)dp, (3.53)

jossa on käytetty hyväksi kaavaa (3.47) ja tietoa että cos2 ϑ:n integraali yli puolipallonon 4π/3. Pintaelementin dσ orientaatiolla ei ole merkitystä sillä elektronikaasun paineon isotrooppinen koska f on pallosymmetrinen liikemääräavaruudessa.

Yhtälön (3.50) avulla saadaan

Pe =8πc

3h3

∫ pF

0p3

p/(mec)

[1 + p2/(m2ec

2)]1/2dp =

8πc5m4e

3h3

∫ x

0

ξ4dξ

(1 + ξ2)1/2, (3.54)

jossa

ξ = p/(mec), x = pF/(mec). (3.55)

Integraali voidaan periaatteessa laskea auki (tai helpommin tarkistaa taulukoista)

∫ x

0

ξ4dξ

(1 + ξ2)1/2=

1

8

x(2x2 − 3)(x2 + 1)1/2 + 3 ln[x+ (1 + x2)1/2]

≡ f(x)

8. (3.56)

Nyt elektronikaasun paineeksi saadaan

Pe =πc5m4

e

3h3f(x). (3.57)

57

Elektronien paikkatiheys on kaavan (3.49) avulla

ne =ρ

µemu=

8πm3ec

3

3h3. (3.58)

Tarkastellaan vielä elektronikaasun sisäenergiaa yksikkötilavuudessa

Ue =

∫ pF

0f(p)E(p)dp =

8π

h3

∫ pF

0E(p)dp, (3.59)

jossa on käytetty kaavoja (3.51) ja (3.52). Integroinnin jälkeen saadaan

Ue =πm4

ec5

3h3g(x), (3.60)

jossa

g(x) = 8x3[

(x2 + 1)1/2 − 1]

− f(x). (3.61)

Ei-relativistinen tapaus

Kaavan (3.50) avulla saadaan

x =vF/c

(1− v2F/c2)1/2

, (3.62)

jossa vauhti vF vastaa liikemäärää pF. Pienillä x:n arvoilla nopeimpien elektronien nopeuson paljon pienempi kuin valonnopeus, ts. vF ≪ c. Raja-arvot f(x):lle ja g(x):lle x:nlähestyessä nollaa ovat

x→ 0 : f(x) → 8

5x5, g(x) → 12

5x5. (3.63)

Kaavojen (3.57) ja (3.58) avulla saadaan täysin degeneroituneen ei-relativistisen kaasuntilanyhtälö:

Pe = K1

(

ρ

µe

)5/3

, (3.64)

jossa

K1 =1

20

(

3

π

)2/3 h2

mem5/3u

, (3.65)

ja ρ = neµemu. Paineen ja sisäenergian välille saadaan relaatio

Pe =2

3Ue. (3.66)

58

Relativistinen tapaus

Suurilla x:n arvoilla nopeimpien elektronien nopeus lähestyy valonnopeutta, ts. vF → c.Raja-arvot f(x):lle ja g(x):lle ovat nyt

x→ ∞ : f(x) → 2x4, g(x) → 6x4. (3.67)

Täysin degeneroituneen relativistisen kaasun tilanyhtälö on:

Pe = K2

(

ρ

µe

)4/3

, (3.68)

jossa

K2 =

(

3

π

)1/3 hc

8m4/3u

. (3.69)

Lisäksi saadaan

Pe =1

3Ue. (3.70)

3.3.2 Osittain degeneroitunut kaasu

Edellä on käsitelty joko täysin degeneroitumatonta (ideaalikaasu) tai täysin degeneroi-tunutta tapausta jossa lisäksi T = 0. Todellisuudessa tilanne on kuitenkin jotain tältäväliltä. Tällöin elektronit seuraavat degeneroituneen kaasun jakaumaa pienillä liikemää-rän arvoilla ja sulautuvat Boltzmannin jakauman ‘häntään’ suurilla liikemäärillä. Tällöinelektronit seuraavat Fermi–Dirac jakaumaa

f(p)dpdV =8πp2dpdV

h31

1 + expE/kT − ψ , (3.71)

jossa ψ on degeneraatioparametri. Rajatapauksina saadaan edellä käsitellyt Boltzman-nin (ψ saa suuria negatiivisia arvoja) jakauma ja täysin degeneroituneen (ψ saa suuriapositiivisia arvoja) kaasun tapaukset (KW, s. 123–128).

3.3.3 Yhteenveto

Huomattavaa on että täysin degeneroituneessa tapauksessa kaasun paine riippuu vaintiheydestä mutta ei lämpötilasta toisin kuin ideaalikaasulle. Degeneraatio voi tapahtuamyös neutroneille ja protoneille jotka ovat myös fermioneja. Kaasun degeneraatioastet-ta kuvaa sen faasiavaruuden tilavuusalkion koko dpxdpydpzdV ja jolla on alaraja h3.Ideaalikaasussa kaikilla (erimassaisilla) hiukkasilla on sama liike-energia:

m1v21 = m2v

22. (3.72)

Liikemäärien suhteeksi saadaan

p1p2

=

(

m1

m2

)1/2

. (3.73)

59

Merkitään nyt dpi,j = mi

√

(v2i,j), jossa i = 1, 2; j = x, y, z ja vi,j on root mean squarenopeus (rms) joka on hyvä approksimaatio nopeushajonnalle dvi,j . Kaavan (3.73) avullasaadaan

dp1,xdp1,ydp1,zdp2,xdp2,ydp2,z

=

(

m1

m2

)3/2

. (3.74)

Degeneraatioaste siis pienenee verrannollisena m3/2:een. Sijoitetaan neutronin ja elekt-ronin massat jolloin saadaan

(

mn

me

)3/2

≈ 7.6 · 104. (3.75)

Nähdään että tarvitaan lähes 105 kertaa suurempi tiheys jotta neutronit alkavat degene-roitumaan. Niinpä vaikka elektronit olisivatkin täysin degeneroituneita, ionit tottelevatedelleen Boltzmannin jakaumaa. Degeneroitumisesta seuraa että elektronien liikemääräon paljon suurempi kuin mitä se olisi Boltzmannin jakaumassa vastaavassa lämpötilas-sa. Tämän takia täysin degeneroituneen elektronikaasun paine on paljon suurempi kuinionien paine, ts. Pe ≫ Pi joten Pgas ≈ Pe.

3.4 Kaasun tilanyhtälö tähdissä

Voimme nyt kirjoittaa yleisen (implisiittisen) kaasun tilanyhtälön jossa otetaan huomioonkaikki edellä käsitellyt efektit, ts. ideaalikaasu, mahdollinen degeneroituminen ja säteily:

P = Pion + Pe + Prad

=Rµ0ρT +

8π

3h3

∫

∞

0p3v(p)

dp

expE/kT − ψ+ 1+a

3T 4, (3.76)

ρ =4π

h3(2me)

3/2muµe

∫

∞

0

E1/2dE

expE/kT − ψ+ 1, (3.77)

Jos tunnetaan ρ ja T , ψ voidaan laskea kaavasta (3.77). Tämän jälkeen ρ:n, T :n ja ψ:navulla voidaan laskea P yhtälöstä (3.76). Lisäksi voidaan kirjoittaa sisäenergian yhtälömassayksikköä kohti

u =Uion + Ue + Urad

ρ=

3

2

Rµ0T +

8π

h3ρ

∫

∞

0

p2E(p)dp

expE/kT − ψ+ 1+aT 4

ρ. (3.78)

Nyt termodynaamiset suureet δ, cP ja ∇ad voidaan periaatteessa ratkaista yhtälöi-den (3.76), (3.77) ja (3.78) avulla. Käytännössä tämä tapahtuu numeerisesti koska ana-lyyttisiä ratkaisuja ei tunneta.

3.4.1 Kiteytyminen

Edellä on oletettu ionien muodostavan ideaalikaasusta jolloin hitujen väliset vuorovaiku-tukset on jätetty huomiotta. Korkeissa tiheyksissä ja matalissa lämpötiloissa Coulomb-vuorovaikutukset tulevat merkittäviksi ja vapaasti liikkuvan ionit alkavatkin järjestäytyäjäykkään hilaan joka minimoi niiden energian. Tämä efekti tulee merkittäväksi kun ter-minen energia 3kT/2 on samaa suuruusluokkaa kuin ionin sähköstaattinen energia kun

60

sillä on varaus −Ze. Määritellään tilavuus ionia kohti Vion siten että nionVion = 1 jaionien keskimääräinen etäisyys on rion. Näistä saamme Vion = 4πr3ion/3. Määritelläänsuure

ΓC =(Ze)2

rionkT, (3.79)

joka kuvaa efektin voimakkuutta. Jos ΓC ≪ 1, Coulomb-vuorovaikutukset ovat heikkojaja ionit seuraavat Maxwellin nopeusjakaumaa. Vastaavasti jos ΓC ≫ 1, ionien kineettinenenergia on mitätön ja ne muodostavat jäykän hilan.

Tarkemmat laskelmat osoittavat että kriittinen arvo on suuruusluokkaa ΓC ≈ 100.Käyttämällä relaatiota ρ = µ0munion saadaan yhtälö ns. sulamislämpötilalle

Tm ≈ Z2e2

ΓCk

(

4πρ

3µ0mu

)1/3

. (3.80)

Tähtien ytimissä tiheys on suuri mutta lämpötila paljon sulamislämpötilaa korkeampi.Efektillä on merkitystä lähinnä jäähtyvissä valkoisissa kääpiöissä joissa lämpötila laskeemutta tiheys pysyy jotakuinkin vakiona.

3.4.2 Neutronisaatio

Jos plasman elektroneilla on tarpeeksi energiaa ne voivat yhtyä protoneihin ja muodostaaneutroneita. Tarkemmin ottaen elektronilla täytyy olla energia Etot > E⋆ = c2(mn−mp),jossa mn ja mp ovat neutronin ja protonin massat. Normaaleissa tiheyksissä neutroni onepävakaa ja hajoaa takaisin protoni-elektroni pariksi jolloin elektronilla on kokonaisener-gia E⋆ ja liike-energia E(kin)

⋆ = E⋆ −mec2. Tilanne muuttuu jos kaasu on degeneroitu-

nutta ja kaikki energiatilat Fermin energiaan EF asti on miehitetty. Jos Fermin energiaEF on suurempi kuin elektronin kineettinen energia E(kin)

⋆ , elektronille ei ole tilaa faa-siavaruudessa ja neutroni ei voi hajota. Tällöin ‘Fermin meri’ on stabiloinut normaalistiepävakaat neutronit.

Kirjoitetaan nyt elektronien liikemäärä kaavan (3.51) avulla muotoon:

p =1

c(E2 −m2

ec4)1/2. (3.81)

Asetetaan nyt E = Ekin +mec2 = EF +mec

2 = c2(mn −mp) ≈ 1.294 · 106eV voidaanmäärittää Fermin liikemäärä kaavalla (3.81). Tästä saadaan x = pF/(mec

2) ≈ 2.2, jotavoidaan käyttää yhtälössä (3.58). Lisäksi otetaan ρ = µemune ja µe = 2, jolloin saadaanlopulta ρ ≈ 2.4 · 1010 kg m−3. Tätä suuremmilla tiheyksillä protoni-elektroni kaasumuuttuu neutronikaasuksi (neutronisaatio).

Todellisuudessa tilanne on mutkikkaampi koska kaasu sisältää myös raskaampia ato-miytimiä jotka voivat kaapata elektroneja käänteisessä β-hajoamisessa jolloin syntyyneutronirikkaita atomiytimiä. Tähän tosin vaaditaan entistä korkeampi tiheys. Lopultaraskaimpiin atomiytimiin kertyy niin paljon neutroneja että ne alkavat vuotaa ytimestä.Tämä prosessi alkaa noin tiheydessä ρ ≈ 4 · 1014 kg m−3.

61

62

Luku 4

Energian tuotanto ydinreaktiolla

Radiatiivisessa tasapainossa olevassa kerroksessa, jossa Lr ei ole vakio säteen r suh-teen, meidän on tiedettävä energiantuotantokerroin ε(r), jotta voimme ratkaista tähdenrakennetta kuvaavat yhtälöt. Sitä varten tutkimme seuraavaksi tärkeintä energian läh-dettä tähdissä eli ydinreaktioita. Gravitaatiokutistumista on käsitelty jo aiemmin eikäsiihen palata tässä.

4.1 Yleistä asiaa ydinreaktioista

Suurin osa havaituista tähdistä tuottaa energiansa fuusioimalla kevyitä atomiytimiä ras-kaammiksi. Tätä kutsutaan myös lämpöydinreaktioiksi koska se tapahtuu vain suurissalämpötiloissa (vrt. fissio joka ei riipu lämpötilasta). Fuusiossa reaktioon osallistuvienytimien massa (

∑

Mj) on eri kuin syntyvän ytimen My. Massojen erotusta kuvaa mas-savaje

∆M =∑

j

Mj −My, (4.1)

joka vapautuu energiana Einsteinin kaavan

E = ∆Mc2 (4.2)

mukaan.Yksinkertaisin esimerkki on vedyn ‘palaminen’ jossa neljä vetyatomia 1H joiden mas-

sa on 4× 1.0081mu fuusioituu heliumytimeksi 4He jonka massa on 4.0039mu. Reaktios-sa ‘häviää’ 2.85 · 10−2mu massaa joka on noin 0.7% alkuperäisestä massasta ja vastaa26.5 MeV energiaa.

Massavaje kuvastaa eri atomien erilaisia sidosenergioita EB. Sidosenergialla kuva-taan energiaa joka vaaditaan atomiytimen protonien ja neutronien erottamiseksi toisis-taan voimakkaiden mutta lyhytkantoisten ydinvoimien vaikutuspiiristä. Toisaalta voi-daan ajatella että sidosenergia voidaan vapauttaa tuomalla atomiytimen nukleonit yh-teen äärettömän kaukaa. Käsitellään nyt atomiydintä jonka massa on Mnuc ja jolla onmassaluku A (ts. protonien ja neutronien lukumäärä). Ytimellä on Z protonia massal-taan mp ja (A− Z) neutronia massaltaan mn. Sidosenergia saadaan kaavalla:

EB = [(A− Z)mn + Zmp −Mnuc] c2. (4.3)

63

Verrattaessa eri atomeja on kätevämpää käsitellä keskimääräistä sidosenergiaa nukleoniakohti

f =EB

A. (4.4)

Vetyä lukuunottamatta f on lähellä 8MeV:tä, riippuen vain heikosti A:sta. Tämä joh-tuu ydinvoimien lyhyestä kantamasta eli nukleonit tuntevat vain lähimpien naapureidenvaikutuksen. Sidosenergia saa maksiminsa raudan 56Fe kohdalla, ts. tämä on kaikista‘lujimmin’ sidottu atomiydin eli sillä on pienin massa nukleonia kohti. Kaikki reaktiotjoissa mennään kohti rautaa (ts. fuusioidaan rautaa kevyempiä tai fissioidaan sitä ras-kaampia ytimiä) vapauttavat energiaa. Rauta on siis tähden ydinreaktioiden luonnolli-nen päätepiste. Jos tähti koostuu alunperin pelkästä vedystä 1H, tähti voi maksimissaanulosmitata 8.5 MeV per nukleoni fuusioimalla kaiken vedyn raudaksi 56Fe. Huomaa tosinettä ensimmäisessä reaktiossa vedystä heliumiksi vapautuu jo 6.6 MeV per nukleoni.

Jotta ydinreaktiot ovat mahdollisia atomiydinten täytyy läpäistä sähköstaattinenCoulombin potentiaali joka pyrkii pitämään samanmerkkiset varaukset erossa toisistaan.Coulombin potentiaali on verrannollinen hiukkasten varauksiin (Z1, Z2) ja kääntäen ver-rannollinen niiden väliseen etäisyyteen r, ts.

ECoulomb ∝ Z1Z2e2

r, (4.5)

jossa e on alkeisvaraus. Jotta ydinreaktioita voisi tapahtua, etäisyyden d täytyy ollaatomiytimen suuruusluokkaa. Tämä on noin r0 = 1.44 · 10−15A1/3 m. Coulombin vallinkorkeus on noin

E(r0) ≈ Z1Z2 MeV. (4.6)

Käytetään hyväksi tietoa että 1 keV vastaa lämpötilaa T = 1.1605 · 107 K, ts. tässä läm-pötilassa hitujen keskimääräinen energia on yksi keV. Klassisesti atomiydinten energiantäytyisi ylittää Coulombin valli jotta fuusiota tapahtuisi. Näyttää myös siltä että reaktiottähtissä ovat suhteellisen hitaita (koska tähdet eivät räjähdä ydinreaktioiden vaikutuk-sesta), Coulombin valli on selvästi korkeampi kuin atomiydinten keskimääräinen energiaEth. Esim. Auringon keskustassa T ≈ 107 K joten Eth ≈ 103 eV, joka on noin 103 kertaapienempi kuin Coulombin valli kahdelle vetyatomille. Klassisen mekaniikan perusteellaydinrekatioita ei tapahtuisi käytännössä koskaan ainakaan maailmankaikkeuden eliniänaikana (Maxwellin jakaumasta saatava todennäköisyys on suuruusluokkaa 10−434).

Avuksi tulee kvanttimekaaninen tunneloituminen jossa atomiytimellä on pieni muttaäärellinen todennäköisyys läpäistä Coulombin valli vaikka sen energia on selvästi tätäpienempi. Tunneloitumistodennäköisyys on

P0 = p0E−1/2 exp−2πη; η =

(m

2

)1/2 2πZ1Z2e2

hE1/2, (4.7)

jossa m on atomiydinten redusoitu massa. Kerroin p0 riippuu vain törmäävistä ytimistämutta ei lämpötilasta tai niiden varauksista. Nähdään että todennäköisyys kasvaa ener-gian E kasvaessa ja pienenee ydinten varausten kasvaessa, ts. tunneloituminen on hel-pompaa kevyille ytimille ja raskaampien ytimien tapauksessa tarvitaan suurempia läm-pötiloja. Tämän takia eri ydinreaktiot usein tapahtuvat varsin hyvin rajatuissa alueissatähtien sisällä. Auringon keskustassa tunneloitumistodennäköisyys kahden protonin tör-mäyksessä on suuruusluokkaa 10−20 joka on riittävä havaitun luminositeetin tuottami-seen.

64

4.2 Tärkeimpiä ydinreaktioita

4.2.1 Vedyn palaminen: pp–ketju

Tärkein tähdissä toimiva ydinreaktio on vedyn fuusioituminen heliumiksi. Tämä voi ta-pahtua kahden eri prosessin avulla. Ensimmäinen näistä on pp–ketju jossa neljä vetyato-mia fuusioituu heliumiksi ilman muita reaktiossa tarvittavia ytimiä.

Reaktiota kutsutaan pp—ketjuksi, koska se itse asiassa koostuu kolmesta osareaktios-ta. Lisäksi pp–ketjussa on kolme haaraa joille kaksi ensimmäistä reaktiota ovat samat:

1H+1 H → 2H+ e+ + ν, (4.8)2H+1 H → 3He + γ, (4.9)

jossa e+ on positroni, ν on neutriino ja γ on gammakvantti. Ensimmäinen reaktionon harvinainen ja tapahtuu satunnaiselle vety-atomille noin kerran 1010 vuodessa. Voitapahtua myös (vielä) harvinaisempi reaktio

1H+1 H+ e− →2 H+ ν. (4.10)

Auringossa 99.75% vedystä kulkee reaktion (4.8) kautta ja (4.10):n osuus on vain 0.25%.Ensimmäisessä reaktiossa syntyvä positroni annihiloituu pian elektronin kanssa synnyt-täen gamma-fotonin. Toisessa reaktiossa deuteroni ja protoni yhdistyvät muodostaen3He-atomin ja jälleen sivutuotteena syntyy gamma-fotoni. Vakaan 4He-ytimen muodos-tumiseen johtaa kolme eri reittiä ja jotka kaikki alkavat 3He-ytimistä:

ppI–haara:

3He +3 He →4 He + 2 2H. (4.11)

ppII–haara:

3He +4 He → 7Be + γ, (4.12)7Be + e− → 7Li + ν, (4.13)7Li +1 H → 4He +4 He. (4.14)

ppIII–haara:

3He +4 He → 7Be + γ, (4.15)7Be +1 H → 8B+ γ, (4.16)

8B → 8Be + e+ + ν, (4.17)8Be → 4He +4 He. (4.18)

Kahden ensimmäisen reaktion täytyy tapahtua kaksi kertaa ppI–haarassa ja vain kerranmuille haaroille. Reaktiossa vapautuva energia 4He–ydintä kohti on 26.20 MeV (ppI),25.67 MeV (ppII) ja 19.20 MeV (ppIII).

Eri haarojen suhteellinen tärkeys riippuu kaasun kemiallisesta koostumuksesta, läm-pötilasta ja tiheydestä. Matalilla lämpötiloilla (T . 107K) ppI–haara on tehokkain. Läm-pötilan kasvaessa ppII–haara tehostuu ja alkaa dominoida kun T ≈ 2·107 K. Haaroissa IIja III muodostuu 4He jokaisesta 1H+1H-reaktiosta (eikä vain joka toisesta kuten ppI:lle).Vielä suuremmilla lämpötiloilla ppIII on pääasiallinen energiantuottaja. Auringossa eripp–ketjun haarojen prosenttiosuudet ovat 91% (ppI), 9% (ppII) ja 0.1% (ppIII).

65

4.2.2 Vedyn palaminen: CNO–sykli

CNO- tai hiilisyklissä vety palaa niinikään heliumiksi. CNO–sykli on tehokkaampi kuinpp–ketju kun lämpötila ylittää noin T = 2 · 107 K (tai tähden massa on suurempi kuin1.5M⊙). Prosessin nimi tulee hiilestä (C), typestä (N) ja hapesta (O) jotka toimivatreaktion kalysaattoreina:

12C+1 H → 13N+ γ, (4.19)13N → 13C+ e+ + γ, (4.20)

13C+1 H → 14N+ γ, (4.21)14N+1 H → 15O+ γ, (4.22)

15O → 15N+ e+ + γ, (4.23)15N+1 H → 12C+4 He, (4.24)

CNO–syklissä on myös toinen haara (jonka esiintymistodennäköisyys on noin 10−4 ver-rattuna päähaaraan) joka saadaan kun korvataan (4.24) reaktioketjulla:

15N+1 H → 16O+ γ, (4.25)16O+1 H → 17F + γ, (4.26)

17F → 17O+ e+ + γ, (4.27)17O+1 H → 14N+4 He. (4.28)

CNO–syklissä vapautuva energia on 24.97 MeV nukleonia kohti. Näistä reaktio (4.22)on hitain ja määrittää syklin tapahtumisnopeuden. Lämpötilassa T = 2 · 107 K (4.22)tapahtuu satunnaiselle typpiatomille noin muutamassa miljoonassa vuodessa. Reaktiotoimii pullonkaulana ja lähes kaikki hiili, typpi ja happi-ytimet muuttuvat 14N-ytimiksi(jotka ‘odottavat’ muuttumistaan 15O:sta) syklin päästyä vauhtiin.

Energiantuotantokertoimella ε on monimutkainen riippuvuus lämpötilasta, tiheydes-tä ja kemiallisesta koostumuksesta johon ei puututa tässä kovin syvällisesti. Usein näitäapproksimoidaan kaavalla

ε = ε0ρλTµ, (4.29)

jossa eksponentit kuvaavat energiantuoton riippuvuuttaa tiheydestä ja lämpötilasta. pp–ketjulle λ = 1 ja µ ≈ 4 ja vastaavasti CNO–syklille λ = 1 ja µ ≈ 16. Nähdään ettälämpötilariippuvuus on paljon merkittävämpi CNO-syklille kuin pp–ketjulle.

4.2.3 Heliumin reaktioita

Suurissa lämpötiloissa (∼ 108 K) helium-ytimet alkavat fuusioitua keskenään ns. kolmoi-salfa-reaktiossa:

4He +4 He ↔ 8Be, (4.30)8Be +4 He → 12C+ γ. (4.31)

Ensimmäinen reaktio on endoterminen eli se kuluttaa energiaa. Beryllium-atomi hajoaa-kin normaalitapauksessa takaisin kahdeksi helium–ytimeksi noin 10−16s kuluttua. Tämäkuitenkin on noin 105 kertaa pidempi aika kuin siroamisen aikaskaala jolloin beryllium–ydin ehtii kaapata α hiukkasen ja muodostaa hiiltä. Reaktiossa vapautuu 7.275 MeV

66

hiiliydintä kohti. Kolmoisalfareaktio on hyvin herkkä lämpötilanvaihteluille ja sille eks-ponentti µ on jopa 40.

Kun kolmoisalfareaktiolla on syntynyt tarpeeksi 12C:tä, voi tapahtua lisää α-sieppauksia:

12C+4 He → 16O+ γ, (4.32)16O+4 He → 20Ne + γ, (4.33)

. . . ,

mutta näissä harvoin syntyy Neonia raskaampia alkuaineita.

4.2.4 Hiilen ja raskaampien aineiden palaminen

Vielä korkeammissa lämpötiloissa (T ≈ 5 · 108 K) 12C alkaa fuusioitumaan:

12C+12 C → 24Mg + γ, (4.34)

→ 23Mg + n, (4.35)

→ 23Na + p, (4.36)

→ 20Ne +4 He, (4.37)

→ 16O+ 24He, (4.38)

jossa n on neutroni, p on protoni ja eri haaroilla on hyvin erilaiset esiintymistodennäköi-syydet (eksotermiset reaktiot jotka tuottavat 23Na:ia ja 20Ne:ia ovat todennäköisimmät).Kun lämpötila on T ≈ 109 K, happi alkaa fuusioitua

16O+16 O → 32S + γ, (4.39)

→ 31P + p, (4.40)

→ 31S + n, (4.41)

→ 28Si +4 He, (4.42)

→ 24Mg + 24He, (4.43)

ja jossa vastaavasti todennäköisyydet eri haaroille vaihtelevat suuresti. Hajoaminen emit-toimalla protonin tai α-hiukkasen ovat yleisimmät. Vapaat protonit, neutronit ja α-hiukkaset kaapataan pian muihin atomeihin josta seuraa suuri määrä sekundäärisiä reak-tioita. Korkeissa lämpötiloissa kaasun fotonit ovat niin energeettisiä että myös ne voivathajottaa atomiytimiä. Tätä voidaan kuvat analogisesti ionisaation kanssa mutta yksi-tyiskohdat ovat paljon mutkikkaampia ja systeemi on harvoin tasapainossa.

Hapen palamisesta ja sekundäärisista reaktiosta syntyy myös piitä joka fuusioituunikkeliksi ja raudaksi joka on fuusioreaktioiden päätepiste:

28Si +28 Si → 56Ni + γ, (4.44)56Ni → 56Fe + 2e+ + 2ν, (4.45)

reaktiot ovat todellisuudessa paljon mutkikkaampia mutta tässä sivuutamme ne.

67

68

Luku 5

Tähtien varhainen kehitys

Käymme ensin läpi prototähden kehityksen, eli tähtienvälisen aineen kutistumisen har-vasta kaasupilvestä lähes vapaan putoamisen aikaskaalassa siihen vaiheeseen, jossa kaa-sun paine lopulta pysäyttää luhistumisen. Sen jälkeen käsittelemme kutistumisen termi-sessä aikaskaalassa, jolloin puhutaan esipääsarjan eli PMS–tähdestä (PMS = Pre–MainSequence). PMS–vaihe päättyy, kun vedyn ydinreaktiot tuottavat pääosan tähden lumi-nositeetista, jolloin tähden sanotaan saavuttaneen pääsarjan.

5.1 Prototähdet

Tähden kehitys alkaa tähtienvälisessä pilvessä, joka koostuu kaasusta ja pölystä. Ne ovatsekoittuneena keskenään, ja kaasua on noin 99% aineen kokonaismassasta. Kaasun mas-sasta on noin 70% vetyä ja lähes 30 % heliumia. Näiden lisäksi on muutama prosentti ras-kaampia alkuaineita (tähtien spektroskopiassa puhutaan yleisesti metalleista, vaikkeivatkaikki heliumia raskaammat aineet olekaan metalleja sanan varsinaisessa merkityksessä).

Kaasu on ainakin osittain molekyylimuodossa. Vedyn (H2) lisäksi on löydetty mm.hiilimonoksidia (CO), hydroksyyliradikaali OH ja ammoniakkia NH3. Näiden osuus onkuitenkin vain murto–osa vedyn osuudesta. Kaiken kaikkiaan tähtienvälisestä aineestaon löydetty jo yli 200 erilaista molekyylia.

Kylmissä tähtienvälisissä pilvissä pölyhiukkasilla otaksutaan olevan jäävaippa, jokasisältää pääasiassa vettä (H2O), CO:ta, sekä hiilidioksidia (CO2). Lisäksi jää sisältäämm. metaania (CH4) ja ammoniakkia (NH3). Pölyhiukkasten ydinosa koostuu silikaatti-ja grafiittiyhdisteistä.

5.1.1 Tähtienvälisen pilven luhistuminen

Prototähden luhistuminen oman gravitaatiokenttänsä vaikutuksesta edellyttää material-ta paljon suurempaa tiheyttä kuin tähtienvälisissä pilvissä havaittu keskitiheys, joka onluokkaa 106 vetyatomia m−3, eli n. 10−21 kg m−3. Riittävän suuren alkutiheyden lisäksiluhistuminen edellyttää jonkinlaista alkusysäystä, joka puristaa epästabiilissa tasapaino-tilassa olevaa pilveä. Tällaisen sysäyksen saattaa aiheuttaa esimerkiksi supernovaräjäh-dys tai säteilypaineen muutos pilven lähellä olevassa kohteessa.

Johdamme nyt ehdon tarvittavalle massalle, jotta pilvi luhistuisi gravitaation vai-kutuksesta. Tehtävänä on siis etsiä pilvelle epästabiili tasapainotila, josta poikkeutettu

69

pilvimassa jatkaa ulkoisen sysäyksen alkuunpanemaa luhistumisprosessia. Saamme täl-laista tilaa vastaavalle ns. Jeansin massalle suuruusluokka–arvion lähtemällä oletuksista,että massa on pallosymmetrisesti jakautunut ja tiheys ρ(r) on vakio.

Lasketaan ensin gravitaatiopotentiaali Ω pilvelle, jonka massa on M , säde R, ja tiheysρ(r) on vakio:

Ωρ=vakio = −∫ M

0

GMr

rdMr = −G

∫ R

0

43πr

3ρ

r4πr2ρdr

= −G16π2

3ρ2R5

5

= −3

5

GM2

R. (5.1)

Vaadittava massa voidaan periaatteessa laskea viriaaliteoreeman avulla, olettamalla,että aine pilvessä on jonkin (harvemman) pilven sisällä. Niinpä aiemmin johdettu muotoviriaaliteoreemalle ei kelpaa, koska paine pinnalla ei ole = 0. Viriaaliteoreeman yhtey-dessä esitettiin mahdollisuus että Po > 0. Johdetaan teoreema nyt tässä yleisemmässätapauksessa. Meillä on kaasun sisäisen energian lauseke muodossa:

U =3

2

[

4π

3r3P

]R

0

− 3

2

∫ Po

Pc

4π

3r3dP, (5.2)

jossa jälkimmäinen termi tulee samaan muotoon kuin alkuperäisessä viriaaliteoreemassa,kun teemme siinä sijoitukset dP → dr → dMr, sillä yläraja integraalissa, Mr(Po) =M , pysyy samana. Ensimmäinen termi sen sijaan muuttuu, ja saamme sille nollastapoikkeavan arvon. Kun sijoitamme vielä yllä johdetun Ω:n lausekkeen, U tulee muotoon:

U =3

2

4π

3R3Po +

1

2

∫ M

0

GMr

rdMr.

=3

2

4π

3R3Po +

1

2

3

5

GM2

R.

Otetaan huomioon, että U = 32NkT ja N =M/(µmH), ja ratkaistaan paine pinnalla:

Po =3MkT

4πR3µmH− 3GM2

20πR4. (5.3)

Jos tutkitaan Po:n muuttumista R:n funktiona, kun M ja T pidetään vakioina, huoma-taan, että pienillä R:n arvoilla Po on negatiivinen (jälkimmäinen termi suuri). Kun Rkasvaa, Po menee nollaan ja muuttuu sitten positiiviseksi. Kun R menee äärettömään,Po menee taas nollaan. Tämä tarkoittaa että Po:lla on positiivinen maksimi tietyllä R:narvolla Rm. Maksimin olemassaolo merkitsee sitä, että tämän pilven pienikin kutistu-minen (R < Rm) jonkin ulkoisen häiriön vaikutuksesta aiheuttaa paineen pienenemisen.Kun gravitaation luhistava voima vastaavasti kasvaa jatkuu luhistuminen yhä kiihtyväl-lä vauhdilla. Olemme siis löytäneet kaivatun epästabiilin tilan. Toisaalta, jos R on alunperin suurempi kuin Rm, kasvaa paine, kun pilveä yritetään kutistaa, ja se palaa alkupe-räiseen tilavuuteensa, joten arvoilla R > Rm pilvi on stabiili. Po:n maksimi on derivaatandPo/dR:n nollakohta, joten:

dPo,m

dR=

−9MmkT

4πR4mµmH

+3GM2

m

5πR5m

= 0, (5.4)

70

Aika R ρ n T Teffvuosia AU kg m−3 AMUm−3 K K L/L⊙ Mbol

0 930 1.7 · 10−13 1.0 · 1014 50 22 7.5 2.55040 73.5 3.4 · 10−10 2.0 · 1017 150 19 0.024 8.7

Taulukko 5.1: Luhistumisen alkuvaiheet 1 M⊙ prototähdellä (Novotny, s. 280). Tiheysoletetaan vakioksi prototähden sisällä (tiheys kasvaa kuitenkin ajan funktiona). Lämpö-tila on terminen energia jaettuna termillä 3

2k×hiukkasten lukumäärä. Mbol on bolomet-rinen magnitudi.

josta ratkaisemalla saadaan:

Rm =4GMmµmH

15kT. (5.5)

Kun tiheys on vakio, voidaan sijoittaa Mm = 4π3 R

3mρ jolloin saadaan edelleen:

R2m =

45kT

16πµmHρG. (5.6)

Käytetään nyt uudelleen massan ja säteen välistä lauseketta Mm = 4π3 R

3mρ, ja ratkais-

taan massa:

Mm =4

3π

(

45k

16πmHG

)3/2(T

µ

)3/2

ρ−1/2 ≡MJ . (5.7)

joka on ns. Jeansin massa. Kun sievennetään lauseketta, ja jos oletetaan että pilvi on ato-maarista vetyä (µ = 1)MJ :lle saadaan massan ja keskimääräisen vetyatomien tiheydenfunktiona likiarvo (SI yksiköissä):

MJ ≈ 5 · 1021 ·√

T 3

ρkg. (5.8)

Riippuen tehdyistä pyöristyksistä saadaan hieman erilaisia arvoja, mutta niiden suu-ruusluokka on kuitenkin sama kuin tässä (vrt. Tähtitieteen Perusteet, s. 461; Kippen-hahn & Weigert, s. 253). Jos otetaan tyypillinen tähtienvälinen pilvi, esimerkiksi HI alue(ρ ≈ 10−21 kg m−3, T ≈ 100K), niin saadaan pilven massalle MJ ≈ 105M⊙, joka on siisalaraja luhistuvan pilven massalle. On siis hyvin epätodennäköistä, että tähtien kehitysalkaisi noissa olosuhteissa. Nykyisen käsityksen mukaan tähdet syntyvät molekyylipil-vissä havaituissa tihentymissä, ns. pilviytimissä. Pieniä yksittäin esiintyviä (isolated)pilviytimiä kutsutaan Bok-globuleiksi.

Joistakin pilviytimistä on infrapunahavainnoilla (mm. IRAS, ISO ja Spitzer–satelliitit)löydetty säteilylähteitä, mikä viittaa siihen, että kyseiset ytimet sisältävät prototäh-tiä. Pilviytimet esiintyvät kuitenkin yleensä ryhmissä, kuten myös pitemmälle kehityk-sessä ehtineet nuoret tähdet, jotka muodostavat muun muassa ns. OB– ja T–Tauri–assosiaatioita. Nämä seikat tukevat käsitystä, että tähtiä syntyy joissakin alueissa jou-koittain suunnilleen samanaikaisesti. Pilviytimien lämpötila on alhaisempi kuin HI–alueissa (∼ 10K), ja tiheys jopa 105 − 106–kertainen, joten niiden Jeansin massallesaadaan arvoja, jotka tekevät niistä mahdollisia tähtien syntysijoja. Tyypillisten pilviy-timien massat ovat . 1M⊙:n ja niiden säteet ∼ 0.1 pc.

71

Epästabiilisuutta voitaisiin tutkia tarkemminkin, mutta tässä riittää se huomio, ettäluhistumisvauhti lähenee vapaan putoamisen aikaskaalaa, kun säde (R) pienenee. Tämännäkee Po:n lausekkeesta vertaamalla ensimmäisen ja toisen termin suuruutta. Voidaanolettaa, että lämpötila T ei muutu, koska kaasu on niin harvaa, että säteily pääsee va-paasti pakenemaan pilvestä. Luhistuminen hidastuu vasta kun pilven tiheys kasvaa huo-mattavasti, jolloin opasiteetti kasvaa ja osa säteilystä absorboituu pilveen, mistä seuraalämpötilan nousu. Hidastuminen ei tapahdu samaan tahtiin koko pilven alueella, koskatiheysjakauma muuttuu luhistumisen aikana. On laskettu, että alunpitäen homogeeni-sen pilven luhistuessa vapaan putoamisen aikaskaalassa ρ(r) muuttuu verrannolliseksir−2:een alkaen pilven keskeltä.

Kun kaasun paine alkaa vastustaa luhistumista, se väliaikaisesti hidastuu. Kun läm-pötila pilvessä kohoaa noin 2000 Kelviniin, tapahtuu vetymolekyylien dissosioituminen

Kuva 5.1: Kaasupilven (1M⊙) luhistuminen. (a) Noin 1.3 ·1013 s(∼ 4.1×105 vuotta) jäl-keen pilveen on muodostunut optisesti paksu ydin, jonka luhistuminen pysähtyy. Hydros-taattisessa tasapainossa olevan ytimen ja vapaasti putoavan kuoriosan väliin muodostuushokkirintama. (b) Vetymolekyylien hajoaminen (H2 → 2H) saa ytimen uudelleen epäs-tabiiliksi, jolloin seuraa toinen luhistuminen. Ytimen sisäosiin muodostuu toinen shokki-rintama luhistuvan ulko-osan ja tasapainossa oleva sisemmän ytimen väliin. (c) Vauhtija tiheys säteen funktiona (cgs-yksiköt: [v] = cm s−1, [r] = cm ja [ρ] = cm−3) vähäntoisen ytimen muodostumisen jälkeen. Shokkirintamat näkyvät jyrkkinä muutoksina no-peuskäyrässä. (Kippenhahn & Weigert, s. 262).

72

Aika ρc Tc Teff Vedynvuosia kg m−3 ρc/ρ K K L/L⊙ Mbol olomuoto

0 7.95 · 10−9 6.9 42 39 0.21 6.4 H2

11.071 2.85 · 10−8 26 61 43 0.30 6.0 H2

16.889 6.38 · 10−7 590 185 46 0.44 5.6 H2

17.720 4.46 · 10−6 4100 384 47 0.48 5.5 H2

18.143 6.96 · 10−5 6.4 · 104 1120 47 0.48 5.5 H2

18.298 1.11 · 10−3 1.0 · 106 2430 47 0.48 5.5 H2, H18.357 0.082 7.5 · 107 4090 47 0.48 5.5 H2, H18.363 0.756 7.0 · 108 5800 47 0.48 5.5 H, H2

18.365 6.41 5.9 · 109 10400 47 0.48 5.5 H, H2

18.366 23.3 2.1 · 1010 16900 47 0.48 5.5 H, H+

18.366 56.2 5.2 · 1010 26400 47 0.48 5.5 H, H+

Taulukko 5.2: Luhistumisen välivaiheet 1 M⊙ prototähdellä (Novotny, s. 282). Alain-deksi c viittaa keskustaan. ρ on keskimääräinen tiheys. Protähden kokonaissäde pysyysuunnilleen vakiona (51AU = 7.6 · 1012m) mutta sisäosat luhistuvat hyvin nopeasti.

Kuva 5.2: 1M⊙ ja 60M⊙ prototähtien kehitys HR-diagrammassa. Hayashi–käyrä on mer-kitty katkoviivalla. Prototähdestä jonka massa on 60 M⊙ muodostuu n. 17 M⊙:n tähtija loput massasta poistuu systeemistä. (Kippenhahn & Weigert, s. 264).

73

(H2 → 2H), joka kuluttaa energiaa. Paineen kasvu taas hidastuu, ja luhistuminen kiihtyyuudelleen. Kun luhistuminen on edennyt niin pitkälle, että lämpötila on noin 104 Kel-viniä, vetyatomit ionisoituvat, ja lämpötilan edelleen noustessa myös helium ionisoituu.Nämä prosessit kuluttavat energiaa ja kiihdyttävät taas luhistumista. Noin 105 Kelvininlämpötilassa myös helium on jo kokonaan ionisoitunut. Riippuen raskaampien aineidenmäärästä luhistuminen jatkuu vielä jonkin aikaa tämän jälkeen, kunnes kaasu on lähestäysin ionisoitunutta. Ionisaatioprosessien jälkeen luhistuminen pysähtyy, mikä merkitseeprototähtivaiheen päättymistä. Pilven säde on tällöin paljon pienempi kuin Rm (luokkaamuutama kymmenesosa AU:ta), joten kehitysaika on likipitäen t ≈ τd = (R3

m/GM)1/2.

Niinpä voimme arvioida pilvien mahdollisia kehitysaikoja prototähtenä lähtemälläpilvestä, jolla on tietty keskitiheys, ja laskemalla sen Jeansin massaa vastaava säde, kunpilvi oletetaan homogeeniseksi.

Kuvassa 5.2 on pieni ja suurimassaisen prototähden kehitys kuvattuna Hertzsprung–Russell diagrammassa. Pystysuora katkoviiva on ns. Hayashi–käyrä, jonka oikealla puo-lella tähti ei voi olla hydrostaattisessa tasapainossa, vaan luhistuu vapaan putoamisenaikaskaalassa. Prototähtivaihe päättyy kun tähti saavuttaa Hayashi–käyrän.

5.1.2 Prototähden rakenteeseen vaikuttavia tekijöitä

Kaasun sisäisen kineettisen liikkeen lisäksi tähtienvälisissä pilvissä esiintyy myös suu-remman mittakaavan (makroskooppisia) virtauksia, kuten pyörimisliikettä ja suunnal-taan enemmän satunnaista turbulenssia. Turbulenssi kasvattaa luhistumiseen vaaditta-vaa Jeansin massaa, koska se lisää luhistumista vastustavaa painetta. Pilvien spektrivii-voista (niiden leveyksistä) voidaan turbulenssin suuruus periaatteessa laskea, ja lisätäsitä vastaava termi viriaaliteoreemaan (positiivinen, luhistumista vastustava voima).

Pilven luhistuessa sen pyörimisliikkeen liikemäärämomentti säilyy. Niinpä luhistumi-sen seurauksena pyörimisen kulmanopeus kasvaa, ja joissakin pilven osissa keskipakovoi-ma saattaa lopulta huomattavavastikin häiritä luhistumista. Yllä tehdyssä tarkastelussapyörimisliikkeen vaikutusta ei ole otettu huomioon. Yleisesti ottaen pyörimisliike ei oletärkeä pilviytimien gravitaatioluhistumista vastustava tekijä.

Todellisuudessa pilvet eivät myöskään ole täysin homogeenisia, ja pilvellä on myösmagneettikenttä, joka pilven tiivistyessä, sekä pyörimisnopeuden kasvaessa voimistuu. Nä-mä tekijät yhdessä aiheuttavat sen, että pilvi luhistuessaan mahdollisesti fragmentoituu(hajoaa osiksi). Osaset jatkavat luhistumista, jatkaen kiertoliikettään yhteisen massa-keskipisteen ympäri. Mikäli osasten radat päätyvät stabiileiksi ellipseiksi, on tuloksenakaksoistähti tai useampikertainen tähti.

Teoreettisesti voidaan tutkia fragmentoitumista (esim. Kippenhahn & Weigert, s.253), ja tutkimuksissa on päädytty tulokseen, että fragmentoituminen tapahtuu niin, et-tä osien koko on lopulta aina suuruusluokaltaan suunnilleen Auringon massan suuruinen.Fragmentoituminen ei jatku planeettojen massan suuruisiin osiin, mutta yhden osasenmassa ei toisaalta voi olla myöskään kokonaisen tähtijoukon massa. Tämä selittää sen,miksi ei ole löydetty supermassiivisia yksittäisiä tähtiä, muttei tarjoa mallia planeetto-jen synnylle. Pilviytimien fragmentoituminen pienempiin osiin on yksi syy siihen miksisuurimassaisten tähtien synty on huonosti ymmärretty.

74

Kuva 5.3: Pienimassaisten PMS-tähtien kehitys HR-diagrammassa (Novotny, s. 288). Iätkahdessa vaiheessa sekä massat on merkitty kuvaan. Paksu viiva (MS) kuvaa pääsarjaa,eli vedyn palamisvaihetta.

5.2 Pre-main Sequence–tähtien kehitys

Kun tähti on ohittanut prototähtivaiheen, se kerää edelleen ympärillään olevasta pilves-tä jonkin verran lisää ainetta, jonka seurauksena sisäosien paine ja lämpötila edelleennousevat. Tähti jatkaa kehitystä termisessä aikaskaalassa joka on sidoksissa ulos vir-taavan energian määrään. Koska kaasun opasiteetti on suuri, tapahtuu energian siirty-minen keskeltä tähden pinnalle konvektion avulla. Alkuvaiheessa PMS–tähdet ovat siiskokonaan konvektiivisia.

Tähden hiljalleen kutistuessa (säde pienenee) sen luminositeetti laskee, kun taas efek-tiivinen lämpötila pysyy lähes vakiona. HR–diagrammassa tähti kulkee tällöin lähes suo-raan alaspäin. Kutistumisen seurauksena lämpötila tähden ytimessä nousee, mikä ai-heuttaa opasiteetin pienenemisen. Kun opasiteetti on laskenut riittävän pieneksi, tähdenydin muuttuu radiatiiviseksi ja radiatiivisen alueen raja siirtyy vähitellen ulospäin, ja lo-pulta suurin osa tähdestä on radiatiivinen. Koska tähti on koko ajan hitaasti luhistunut,sen säteilemä energia on peräisin vapautuneesta gravitaatiopotentiaalista. Lämpötilansaavuttaessa muutaman miljoona astetta, ydinreaktiot tähden keskustassa käynnistyvät.

75

Energian tuoton näin lisäännyttyä tähden luminositeetti kasvaa. Samalla sen pinta kuu-menee (efektiivinen lämpötila nousee), joten se siirtyy HR–diagrammassa voimakkaas-ti vasemmalle. Lopulta, kun pääosa energian tuotosta tapahtuu vedyn ydinreaktioidenkautta, tähden rauhallinen kehitys pääsarjassa alkaa.

Ennen pääsarjaa Aurinkoa raskaammat tähdet käyvät kuitenkin läpi useita epätasa-painotiloja, jotka aiheuttavat tähtien HR–diagrammassa pieniä edestakaisia hyppäyksiäjuuri ennen pääsarjaa. Nämä liikkeet aiheutuvat yksi toisensa jälkeen käynnistyvien ydin-reaktioiden tähden rakenteeseen aiheuttamiin muutoksiin (ensin pp–ketjujen ja sittenCNO–syklin reaktiot). Kevyemmillä tähdillä keskuksen lämpötila ei riitä CNO–syklinkäynnistymiseen, joten kehityskäyrä on suoraviivaisempi.

Mallilaskujen mukaan alle 0.08 M⊙:n tähdet eivät koskaan saavuta pp–ketjujen yl-läpitämisen vaatimaa lämpötilaa (T ∼ 107 K). Tällaisten tähtien jatkokehitystä kuvaahidas jäähtyminen ns. ruskeana kääpiönä. Ruskeissa kääpiöissä vapautuu PMS-vaiheessahieman ydinenergiaa deuteriumin palamisessa (T ∼ 106 K). Deuteriumin palaminenerottaa ruskeat kääpiöt planeetoista, joissa ei tapahdu fuusioreaktioita. Ruskeat kääpiötsäteilevät hyvin heikosti lähinnä infrapuna–alueella, ja jäähtyessään edelleen pitemmilläaallonpituuksilla.

Todellisten kohteiden ikä voidaan arvioida vertaamalla havaittujen tähtijoukkojen si-joittumista HR–diagramman teoreettisiin kehityskäyriin. Nuorten tähtijoukkojen, kutenPlejadien jakautumaa tutkittaessa on esimerkiksi huomattu, että massiivisemmat (HR–diagrammassa ylempänä olevat) tähdet sijoittuvat hyvin pääsarjaan, ja ainoastaan hyvinylhäällä ja hyvin alhaalla diagrammissa on kohteita, jotka ovat pääsarjan oikealla puolel-la. Tämä tulkitaan siten, että alhaalla olevat kevyet tähdet eivät ole vielä saavuttaneetpääsarjaa, kun taas ylhäällä pääsarjan oikealla puolella olevat kohteet ovat jo pääsarjastapoistumassa olevia massiivisia tähtiä. Vertaamalla jakaumaa teoreettisiin kehityskäyriinon Pleiadien iäksi arvioitu noin 108 vuotta.

Vielä nuorempia tähtiä löytyy ns. assosiaatioista, joissa tähtiä on vähemmän kuinavonaisissa tähtijoukoissa. Assosiaatioissa olevien tähtien ominaisliikkeistä, ja tähtiensijoittumisesta HR–diagrammaan voidaan niiden päätellä olevan nopeasti hajaantuvianuoria joukkoja. T–Tauri–assosiaatioissa on suunnilleen Auringon massaisia PMS–tähtiä,joilla on yleensä ympärillään vielä runsaasti jäänteitä alkuperäisestä pilvestä joista nämätähdet ovat muodostuneet. On myös löydetty ns. Class III PMS-tähtiä, joita kutsutaanmyös ‘alastomiksi’ T–Tauri tähdiksi (naked T–Tauri stars tai weak-lined T–Tauri stars,WTTS), joiden nimitys tulee siitä, ettei niillä ole voimakasta tähtituulta eikä tähteä ym-päröivää kertymäkiekkoa ‘vaatetuksenaan’, mikä on tyypillistä klassisille T–Tauri tähdil-le (CTTS eli Class II PMS-tähdet). Ne sijaitsevat HR–diagrammissa likipitäen samallaalueella kuin ‘tavalliset’ T–Tauri tähdet, mutta ovat monessa muussa suhteessa näistäpoikkeavia. Muita nuoria tähtiä ovat ns. Herbig Ae ja Be tähdet, jotka ovat PMS-jaksonsaloppuvaiheessa olevia 2–8 M⊙:n tähtiä. Lisäksi osa flare–tähdistä (UV Ceti tähdet), ovatpienimassaisia (∼ 0.1− 0.6 M⊙) nuoria M–luokan kääpiötähtiä.

Kotitehtävä 15: Osoita käyttäen kurssin aikaisempia kaavoja miksi 15 M⊙:ntähden PMS-kehitys tapahtuu paljon nopeamiin kuin 1 M⊙:n tähden.

Kotitehtävä 16: Selitä kuvan 5.5 käyrät, eli miten kemiallinen kompositiovaikuttaa PMS-tähden kehitykseen.

76

Kuva 5.4: Erimassaisten PMS-tähtien kehitys HR-diagrammassa (Novotny, s. 286-7).Kuvan pisteiden numerot vastaavat alla taulukoituja aikoja, aikayksikkönä 105 vuotta.Viimeinen piste kullakin massalla edustaa pääsarjaa.

15M⊙ 9M⊙ 5M⊙ 3M⊙ 2.25M⊙ 1.5M⊙ 1.25M⊙ 1.0M⊙ 0.5M⊙

1 0.0067 0.014 0.294 0.34 0.79 2.3 4.5 1.2 32 0.0377 0.015 1.069 2.08 5.94 23.6 39.6 10.6 183 0.0935 0.364 2.001 7.63 18.83 58.0 88.0 89.1 874 0.2203 0.699 2.860 11.35 25.05 75.8 111.5 182.1 3095 0.2657 0.792 3.137 12.50 28.18 86.2 140.4 252.9 15506 0.3984 1.019 3.880 14.65 33.19 104.3 175.5 341.8 —7 0.4585 1.915 4.559 17.41 39.93 133.9 279.6 501.6 —8 0.6170 1.505 5.759 25.14 58.55 182.1 295.4 — —

77

Kuva 5.5: Kemiallisen komposition vaikutus auringonmassaisen PMS-tähden kehitykseen(Novotny, s. 295). Yhtenäinen viiva: ZM = 5.4 · 10−5. Katkoviiva: ZM = 5.4 · 10−6.ZM on metallipitoisuus, johon laskettujen metallien ionisaatiopotentiaaliksi on oletettu7.5 eV. Tämä vastaa suunnilleen yleisimpien helposti ionisoituvien alkuaineiden (Mg, Si,Fe) keskiarvoa. Yleisemmillä keveillä ‘metalleilla’ (C, N ja O) ionisaatiopotentiaali onselvästi korkeampi (11.3-14.6 eV).

78

Luku 6

Kehitys pääsarjassa

Tiivistyvän kaasupallon syttymistä tähdeksi säätelee sen massa; vedyn ydinreaktiot käyn-nistyvät, ja kaasupallo siten täyttää tähden määritelmän, suunnilleen massarajojen 0.08−100M⊙ välillä. Alarajan massa on pienin mahdollinen, jolla ytimen lämpötila kasvaa lu-histumisessa tarpeeksi suureksi (eli noin kahteen miljoonaan Kelviniin), jotta tähti ‘syt-tyy’, eli pp-ketjun ydinreaktiot käynnistyvät. Ylärajan taas se, että massan kasvaessasuureksi, kasvaa myös säteilypaine tähden pinnalla, estäen lisämassan kertymisen. Josydinreaktiot eivät käynnisty, jatkaa tähti kutistumistaan, kunnes tiheys tulee niin suurek-si, että elektronit degeneroituvat, ja tämä pysäyttää kutistumisen. Ruskeissa kääpiöissä,joiden massa on 0.012M⊙ (n. 13 Jupiterin massaa) – 0.08M⊙, vapautuu jonkin verranenergiaa deuteriumin fuusioreaktioissa, mutta kaikkien näiden kohteiden kohtalona onhidas jäähtyminen niiden säteillessä ulos loput sisäenergiastaan.

6.1 Siirtyminen pääsarjaan

Kuten edellisiltä luennoilta muistetaan, prototähtivaiheessa kaasupallo luhistuu hydros-taattisessa (eli dynaamisessa) aikaskaalassa τhydr (yhtälö 1.23), ja tähti säteilee ja kuu-menee vapautuvan gravitaatioenergian avulla viriaaliteoreeman mukaisesti (yhtälö 1.57).Tähden kutistuessa ja kuumentuessa, siirtyy se HR–diagrammassa kaukaa oikealta al-haalta voimakkaasti ylös vasemmalle. Prototähden luhistuminen päättyy vasta, kun suu-rin osa kaasusta on ionisoitunut.

Kun kaasupallo saavuttaa hydrostaattisen tasapainon, sanotaan sen ohittaneen pro-totähtivaiheen, ja siirtyneen esipääsarjavaiheeseen (Pre-Main Sequence, PMS). Koskalämpötila on vielä suhteellisen alhainen, on kaasun opasiteetti suuri; tässä yhteydessäon hyvä palauttaa mieleen edellisiltä luennoilta, että kaasun opasiteetti κ, eli materiankyky absorboida säteilyä, kasvaa tiheyden funktiona ja pienenee lämpötilan funktiona(ks. esim. KW, s. 144, kuva 17.6). Suuresta opasiteetista seuraa yhtälön (1.83) mukaansuuri radiatiivinen lämpötilagradientti, jolloin kaasupallo on konvektiivisesti epästabiili(∇rad > ∇ad). HR–diagrammassa tähti asettuu massansa määräämälle täysin konvek-tiivisten tähtien Hayashi–käyrälle. Tämän käyrän oikealla puolella sijaitsee ns. kiellettyalue, johon jouduttuaan tähdet joutuvat epätasapainotilaan, ja etsivät uuden tasapaino-tilan hydrostaattisessa aikaskaalassa, minkä jälkeen ovat taas siirtyneet sallitulle alueelle(asiasta enemmän kiinnostuneille, KW, luku 24, sivuutetaan tässä ajanpuutteen vuoksi).Hayashi–käyrälle asettumisen jälkeen kehitys tapahtuu Kelvin–Helmholtz, eli termisessä,

79

aikaskaalassa τKH, joka on paljon pidempi kuin hydrostaattinen aikaskaala. Konvektiovir-tausten kuljettaessa lämpöenergiaa tehokkaasti ulospäin, on tähden pinta melko kirkas.Usein tätä vaihetta kutsutaan T–Tauri -vaiheeksi.

Kaasupallo kerää edelleen ainetta ympärillään olevasta pilvestä, minkä vuoksi senmassa kasvaa, sekä sisäosien paine ja lämpötila edelleen nousevat, ja tähti kutistuu hi-taasti. Lämpötilan noustessa kaasun opasiteetti, ja sen mukana ∇rad, pienenee, jolloinmuodostuu radiatiivinen ydin, joka laajenee ulospäin lämpötilan edelleen kasvaessa. Sädepienenee, efektiivinen lämpötila pysyy lähes vakiona, ja luminositeetti laskee, jolloin tähtiliikkuu lähes suoraan alaspäin HR–diagrammassa (ks. Kuva 6.1); tähden säteily aiheutuuedelleen luhistumisessa vapautuvasta gravitaatioenergiasta. Kun lämpötila nousee muu-tamaan miljoonaan asteeseen, pääsevät vedyn pp–ketjun ydinreaktiot käynnistymään.Tämän jälkeen molemmat energiantuotantomenetelmät toimivat samanaikaisesti, kun-nes ydinreaktioissa vapautuva energia alkaa dominoida ja pysäyttää luhistumisen koko-naan.

Ydinreaktioiden käynnistymisen ja kutistumisen pysähtymisen seurauksena tähdenluminositeetti, ja sen seurauksena myös pintalämpötila, kasvaa, ja tähti siirtyy HR–diagrammassa loivasti yläviistoon vasemmalle (ks. Kuva 6.1). Kuten muistamme, ydin-reaktioissa vapautuva energia riippuu erittäin voimakkaasti lämpötilasta,

εpp ∝ T 5 ja εCNO ∝ T 18, (6.1)

kun taas luhistumisessa vapautuva gravitaatioenergia εg ∝ T , joten energiajakaumatovat varsin erilaiset. Tämän vuoksi tähden sisäinen rakenne muuttuu varsin merkit-tävästi, kun tähti siirtyy luhistumisvaiheesta ydinenergiantuotantovaiheeseen, elipääsarjaan; tähän siirtymävaiheeseen liittyykin monimutkaisia, Kelvin-Helmholtz-ai-kaskaalassa tapahtuvia koukeroita HR–diagrammassa (ks. Kuva 6.1). Raskailla tähdillähyppäyksiä on enemmän kuin kevyillä tähdilla, koska niiden keskustoissa lämpötilat ko-hoavat niin korkeiksi, että pp–ketjun lisäksi myös CNO–sykli käynnistyy.

6.2 Nollaiän pääsarja

Vedyn ydinreaktioiden alkamishetkellä luhistuva kaasupallo muuttuu virallisesti tähdek-si, ja kun ydinreaktiot vastaavat tähden koko energiantuotannosta, sanotaan sen saavut-tavan kehityksessään nollaiän pääsarjan. Tästä alkaa tähtien kehityksen pisin ajan-jakso, jota kuvaa ydinaikaskaala τn.

Pääsarjavaiheen aikana tähtien kehitystä voidaan tarkastella toisiaan seuraavien täy-dellisten tasapainotilojen sarjana, joiden alkupiste on nollaiän pääsarjan homogeeninen,pääasiassa vedystä koostuva tähti, jonka keskustan vastakäynnistyneet vedyn ydinreak-tiot tuottavat tähden säteilyn. Jos tähtimalli perustuu jonkin muun alkuaineen kuinvedyn fuusioreaktioon, kutsutaan pääsarjaa esim. helium-, hiili-, tai yleiseksi pääsarjak-si. Jälkimmäisessä tapauksessa tähden kemiallinen koostumus voi olla epähomogeeninen,koostuen useista alkuaineista, joilla voi olla monimutkaisiakin radiaalisia jakaumia. Edel-läkuvatun tyyppiset, erimassaiset tähdet muodostavat HR–diagrammassa ns. nollaiänpääsarjan, joka on kasvavan massan mukana oikeasta alakulmasta (alempi pääsarja; al-hainen pintalämpötila ja luminositeetti) vasempaan yläkulmaan (ylempi pääsarja; korkeapintalämpötila ja luminositeetti) kulkeva käyrä (ks. Kuva 6.2). Tämä käyrä määrittääsuurin piirtein pääsarjan alarajan.

80

Kuva 6.1: Erimassaisten PMS–tähtien kehitys HR–diagrammassa (HSH, s. 67). Kasvavatnumerot kuvaavat kasvavaa aikaa. Paksu musta viiva on Hayashi–käyrä, jonka kohdallatietyn massan ja kemiallisen koostumuksen omaavat tähdet ovat kokonaan konvektiivisia.Auringonmassaisella tähdellä kehitys Hayashi–käyrästä nollaiän pääsarjaan kestää noin50 miljoonaa vuotta, ja sitä lyhyemmän ajan, mitä raskaampi tähti on. 15M⊙ tähdellevastaava kehitysaika on vain noin 60 000 vuotta.

Esimerkki yleisistä pääsarjoista on esitetty Kuvassa 6.3. Näiden mallien laskemisek-si on oletettu, että tähdellä on heliumista koostuva ydin, jonka suhteellinen massa onq0 =

MHe

M . Tätä ympäröi vetyrikas ulkokuori, jonka suhteellinen massa on 1− q0. Kuvan6.2 pääsarjaa vastaa katkoviivalla esitetty käyrä q0 = 0 (H–MS), joka vastaa tilannetta,jossa helium-ydintä ei ole. Vastaavasti, kokonaan heliumista koostuvien tähtien pääsar-jaa vastaa jatkuva käyrä q0 = 1 (He–MS). Helium-pääsarja sijaitsee HR–diagrammassaylempänä vasemmalla verrattuna vetypääsarjaan. Helium-tähdillä on siis pienempi sädeja suurempi luminositeetti. Kevyenkin vetykuoren lisäys vaikuttaa merkittävästi pääsar-jaan, joka siirtyy voimakkaasti oikealle, eli pintalämpötila putoaa voimakkaasti. Koska

81

Kuva 6.2: Nollaiän pääsarjaa kuvaava HR–diagramma erimassaisille tähdille, joiden ke-miallinen koostumus on X=0.685, Y=0.294 ja Z=0.021 (KW s. 208).

luminositeetti pysyy kutakuinkin vakiona tietyn massaiselle tähdelle, tarkoittaa tämä si-tä, että tähden säteen tulee kasvaa voimakkaasti (ks. yhtälö 2.13). Kun vetykuoren mas-saosuus kasvaa tarpeeksi suureksi (Helium-ytimen massa on pienempi kuin 0.7), pääsarjaon miltei pystysuora, eikä vetykuoren massan kasvattaminen vaikuta enää juurikaan ti-lanteeseen, vaan pääsarjat pakkautuvat yhteen pystysuoraan nippuun, joka on näidentähtien Hayashi-viiva.

6.2.1 Homologiset relaatiot

Pääsarjavaiheelle laskettuja numeerisia malleja voidaan transformoida kuvaamaan jotaintoista samankaltaista tähteä ns. homologisten relaatioiden avulla. Tällöin melko hyvällätarkkuudella voidaan laskea vain yksi pääsarjan tähtimalli, josta saadaan laskettua usei-ta muita, parametriavaruudessa alkuperäistä lähellä olevia, malleja. Kaksi tähteä, joidenmassat ovat M ja M ′ sekä säteet R ja R′, ovat homologiset, jos niiden homologiset massa-kuoret m/M = m′/M ′ sijaitsevat homologisissa pisteissä r/R = r′/R′. Matemaattisestiformuloituna, määritellään suhteellinen massa homologisessa tapauksessa

ξ ≡ m

M=m′

M ′. (6.2)

82

Kuva 6.3: Yleisiä pääsarjoja tähdille, joissa on Helium–ydin, jonka massaosuus kokonais-massasta q0 =

MHe

M , ja vetyrikas ulkokuori (massaosuus 1− q0). Mustat pisteet kuvaavattähtiä, joiden massa on 5M⊙, avoimet ympyrät 2M⊙, kolmiot M⊙, ja neliöt 0.5M⊙ (KWs. 222).

Tällöin homologisuusehto voidaan kirjoittaa muodossa

r(ξ)

r′(ξ)=R

R′(6.3)

kaikille ξ:n arvoille. Siirryttäessä yhdestä homologisesta tähdestä toiseen, kaikki homo-logiset massakuoret joko laajenevat tai kokoonpuristuvat tällä samalla tekijällä.

Kotitehtävä 17: Sovella ylläesitettyä homologisuuden määritelmää polyt-rooppimalleihin, ja perustele, missä tapauksessa homologisuusehto on voimas-sa?

Koska kaikkien homologisten mallien täytyy täyttää tähtien rakenteen yhtälöt (2.1)–(2.5), transformaatio vaikuttaa myös kaikkiin muihin muuttujiin. Oletetaan lisäksi, ettäverrattavien tähtien koostumukset ovat homogeeniset, ja että niitä kuvaa keskimääräinenmolekyylipaino µ ja µ′. Muistetaan vielä, että pääsarjavaiheessa tähtien kehitystä kuvaaerittäin pitkä ydinaikaskaala τn, jolloin tähtien rakenteen yhtälöistä voidaan jättää huo-miotta aikaderivaattoja sisältävät termit, ja osittaisderivaatat massan suhteen voidaantällöin kirjoittaa kokonaisderivaattoina. Oletetaan vielä, että energiankuljetus tapahtuupelkästään säteilemällä, jolloin lämpötilagradientin lausekkeessa ∇ = ∇rad. Merkitäännyt

x =M

M ′; y =

µ

µ′. (6.4)

83

Olkoot muut riippumattomat muuttujat tähdelle (M,µ): r, P, T, l ja tähdelle (M ′, µ′):r′, P ′, T ′, l′, ja nämä esitetään suhteellisen massamuuttujan ξ funktioina. Otetaan käyt-töön seuraava yritelmä:

r

r′= z =

R

R′;

P

P ′= p =

Pc

P ′c

;T

T ′= t =

TcT ′c

;l

l′= s =

L

L′, (6.5)

missä z, p, t ja s saavat samat arvot kaikilla ξ:n arvoilla. Kirjoitetaan ensin perusyhtälötsuhteellisen massamuuttujan avulla

dr

dξ=

M

4πr2ρ, (6.6)

dP

dξ= −GξM

2

4πr4, (6.7)

dl

dξ= εnM, (6.8)

dT

dξ= − 3

64π2ac

κl

r4M

T 3. (6.9)

Oletetaan kaasun tilanyhtälöksi ideaalikaasun tilanyhtälö, jolloin

ρ ∝ µP

T. (6.10)

Olkoon vielä kaasun opasiteetti κ vakio, ja merkitään

ρ

ρ′= d ;

εnε′n

= e. (6.11)

Tällöin yhtälöt transformoiduille muuttujille saadaan helposti muotoon

dr′

dξ=

M ′

4πr′2ρ′

[ x

z3d

]

, (6.12)

dP ′

dξ= −GξM

′2

4πr′4

[

x2

z4p

]

, (6.13)

dl′

dξ= ε′nM

′[ex

s

]

, (6.14)

dT ′

dξ= − 3

64π2ac

κl′

r′4M ′

T ′3

[ sx

z4t4

]

. (6.15)

Koska yhtälöiden täytyy olla samanmuotoiset molemmille tarkastelluille tähdille, on kaik-kien hakasuluissa olevien kertoimien oltava ykkösiä, jolloin saadaan yhtälöryhmä

x

z3d= 1 ;

x2

z4p= 1 ;

ex

s= 1 ;

sx

z4t4= 1. (6.16)

Ydinenergiatuotannon riippuvuus tiheydestä ja lämpötilasta voidaan esittää muodossa

εn ∝ ρλT ν , (6.17)

saadaan ideaalikaasun tilanyhtälöä soveltamalla relaatiot

d = yp

t; e = pλyλtν−λ. (6.18)

84

Kun nämä sijoitetaan edellä johdettuihin neljään yhtälöön (6.16), ja lisäksi otetaan huo-mioon, että suhdelukujen z, p, t ja s on riiputtava perusmuuttujista x ja y jollain po-tenssilailla, eli siis

z = xz1yz2 ; p = xp1yp2 ; t = xt1yt2 ; s = xs1ys2 , (6.19)

saadaan dimensiottomuusargumentista kaksi yhtälöryhmää. Ensimmäinen saadaan x:npotensseista

3z1 + p1 − t1 = 1 (6.20)

4z1 + p1 = 2 (6.21)

−λp1 + (λ− ν) t1 + s1 = 1 (6.22)

4z1 + 4t1 − s1 = 1, (6.23)

toinen y:n potensseista

3z2 + p2 − t2 = −1 (6.24)

4z2 + p2 = 0 (6.25)

−λp2 + (λ− ν) t2 + s2 = λ (6.26)

4z2 + 4t2 − s2 = 0. (6.27)

Näiden ratkaisuina saadaan seuraavat relaatiot

z1 =ν + λ− 2

ν + 3λ; z2 =

ν − 4

ν + 3λ(6.28)

p1 = 2− 4z1 ; p2 = −4z2 (6.29)

t1 = 1− z1 ; t2 = 1− z2 (6.30)

s1 = 3 ; s2 = 4. (6.31)

(6.32)

Erikoisesti luminositeettien suhteelle saadaan yksinkertainen, energiantuotannon spesi-fisestä tiheys- tai lämpötilariippuvuudesta vapaa, relaatio

s =L

L′= xs1ys2 =

(

M

M ′

)3( µ

µ′

)4

(6.33)

Kaikki muut suhteet taas jäävät riippumaan λ:sta ja ν:sta. Luminositeetti riippuu voi-makkaasti massasta, s.e. massan kasvaessa luminositeetti kasvaa voimakkaasti. Lumi-nositeetti kasvaa vielä voimakkaammin molekyylipainon kasvaessa. Säteiden suhteellesaadaan

z =R

R′= xz1yz2 =

(

M

M ′

)z1 ( µ

µ′

)z2

, (6.34)

missä z1 ja z2 riippuvat siis monimutkaisella tavalla energiantuotantomekanismin tiheys-ja lämpötilaprofiileista. Vedyn palamisessa (λ = 1) pp–ketjun reaktioille ν = 4...5 jaCNO–syklille ν = 15...18. Tällöin z1 ja z2 saavat tyypillisesti vähän ykköstä pienempiäpositiivisia arvoja (ks. esim. KW s. 196 taulukko 20.1), joten säteen voidaan pääsarja-vaiheessa olettaa riippuvan heikosti massasta ja kemiallisesta koostumuksesta.

85

Kuva 6.4: Massa–luminositeettirelaatio nollaiän pääsarjan tähdille havainnoista (pisteetja kolmiot) ja tähtimalleista (kiinteä viiva); KW s. 209.

Kuva 6.5: Massa–säderelaatio nollaiän pääsarjan tähdille havainnoista (pisteet ja kol-miot) ja tähtimalleista (kiinteä viiva); KW s. 208.

Kotitehtävä 18: Mieti, miten voit yksinkertaisesti selittää He–pääsarjan si-jainnin H–pääsarjan suhteen HR–diagrammassa? Miten tällä logiikalla C–pääsarja sijoittuisi HR–diagrammassa?

86

6.2.2 Massa-luminositeetti- ja massa-säderelaatiot

Kuvissa 6.4 ja 6.5 on esitetty joidenkin kaksoistähtijärjestelmien pääsarjatähtien massanja luminositeetin, sekä massan ja säteen riippuvuus toisistaan (pisteet: erilliset kaksois-tähdet, kolmiot: visuaaliset kaksoistähdet). Havaittuja arvoja verrataan tähtimalleihin,joiden laskemisessa on käytetty täydellisen tasapainon oletusta, ja kemiallista koostu-musta X = 0.685, Y = 0.294 ja Z = 0.021 (kiinteä viiva). Kuten yksinkertaiset ho-mologiset relaatiot jo ennustavat, voi säteen havaita kasvavan heikosti, ja luminositeetinerittäin voimakkaasti massan funktiona. Riippuvuussuhde on logaritmisessa esityksessälineaarinen, mutta kulmakerroin ei kuitenkaan ole vakio koko massavälin yli. Tietyillämassaväleillä käyttäytyminen on kuitenkin hyvin lähellä homologista, eli kulmakerroinon vakio. Jos tehdään parametrisointi

R ∝M ξ , L ∝Mη, (6.35)

Auringon massaa kevyemmille tähdille saadaan massa-säde käyrältä likimääräinen sovi-tus ξ = 0.80 ja raskaammille ξ = 0.57. Auringon massan arvolla tähtimalleista saadussakäyrässä on selvä kuhmu, millä alueella havaitaan siis selvä poikkeama homologisestakäyttäytymisestä. Tämä johtuu osittain siitä, että näillä massan arvoilla konvektioker-roksen paksuus kasvaa hyvin voimakkaasti effektiivisen lämpötilan pienentyessä, jokataas pienentää tähden sädettä. Myös massa-luminositeettikäyrän kulmakerroin muuttuu;oikeastaan vain massavälillä 1-10M⊙ käyttäytyminen on lineaarista (η ≈ 3.88). Aurin-gon massaa kevyemmille tähdille kulmakerroin on huomattavasti loivempi, samoin kuinyli 10M⊙ massaisille tähdille. Keskiarvona yli koko massavälin, η ≈ 3.2, joka on melkolähellä homologisten relaatioiden ennustetta η = 3.

Massa-luminositeettirelaatiosta voidaan arvioida myös tähden pääsarjavaiheessa viet-tämän ajan riippuvuutta tähden massasta. Tätä aikaa kuvaa ydinaikaskaala, joka mää-riteltiin kaavalla (1.69), ja voidaan kirjoittaa myös muodossa

τn =En

L≈ fMc2

L, (6.36)

kun oletetaan, että tietty osa massasta, jota kuvaa kerroin f , muuttuu energiaksi vedynpalaessa. Kun tähän sijoitetaan esimerkiksi keskimääräinen massa-luminositeettirelaatio,saadaan riippuvuus

τn ∝M−2.2 (6.37)

Tästä nähdään, että pääsarjavaiheen kesto riippuu hyvin voimakkaasti massasta, s.e.pienimassaisille tähdille tämä aika on pidempi kuin raskaille tähdille. Auringonmassaisilletähdille pääsarjavaiheen pituus tähtimalleista laskettuna on noin 10 miljardia vuotta.

Kotitehtävä 19: Mieti, miten ylläesitetyn mukaiset muutokset massa-luminositeetti ja massa-säde relaatioiden eksponenteissa ξ ja η vaikuttavatpääsarjan kulmakertoimeen HR-diagrammassa?

87

Kuva 6.6: Tähtimalleista laskettu auringonmassaisen ja kymmenen kertaa raskaammantähden sisäosien rakenne massakoordinaatin funktiona. Vasen yläkulma, tiheys; oikeayläkulma, suhteellinen massa säteen funktiona; keskellä, lämpötila; vasen alakulma, ener-giantuotanto per massa per aikayksikkö; oikea alakulma, luminositeetti; KW s. 210.

6.2.3 Sisärakenne

Yllä rajoituttiin tarkastelemaan effektiivistä lämpötilaa ja luminositeettia tähden pin-nalla. Seuraavaksi tarkastellaan tähtien sisärakennetta nollaiän pääsarjassa (Kuvat 6.6ja 6.7). Pintarelaatioista voidaan helposti päätellä, että keskimääräisen tiheyden on pie-nennyttävä massan funktiona; Kuvan 6.6 vasemmassa yläkulmassa on esitetty tiheydenjakauma massakoordinaatin suhteen auringonmassaiselle (kiinteä viiva) ja kymmenenkertaa raskaammalle tähdelle (katkoviiva). Massa-luminositeettirelaatiosta taas seuraa,että effektiivinen lämpötila kasvaa heikosti massan funktiona; lämpötilan jakauma mas-sakoordinaatin suhteen on plotattu keskimmäisessä paneelissa. Sekä lämpötila että tiheyskasvavat monotonisesti kohti tähden keskustaa. Auringonmassaiselle tähdelle sisimmät30 prosenttia säteestä, vastaten noin 3 prosenttia kokonaistilavuudesta, sisältävät noin60 prosenttia massasta. Auringonmassaisen tähden keskustassa lämpötila kohoaa noin1.4 × 107 Kelviniin, joten energiantuotanto tapahtuu pääasiallisesti pp–ketjun kautta.

88

Kuva 6.7: Tähtimalleista laskettu stabiilisuuskartta käyttäen Schwazchildin stabiili-suusehtoa; KW s. 213. Kuviolliset alueet kuvaavat konvektiivisesti epästabiilia aluetta,värittömät radiatiivisia alueita.

Kymmenen kertaa raskaamman tähden keskusosissa lämpötila on jo niin korkea (3×107

K), että CNO–sykli dominoi energiantuotantoa. Kuten jo aiemmin on mainittu, näi-den eri vedyn palamisreaktioiden lämpötilariippuvuus on merkittävästi erilainen, ollenheikompi pp–ketjulle kuin CNO–syklille. Tästä johtuen raskaamman tähden energian-tuotanto ja luminositeetti keskittyvät hyvin voimakkaasti lähelle tähden keskustaa, kuntaas ulko-osissa molemmissa tähdissä energiantuotanto tapahtuu pp–ketjun kautta jaε–käyrillä on samankaltainen riippuvuus massakoordinaatissa (ks. Kuvan 6.6 alimmatpaneelit).

6.2.4 Konvektiivisten osien sijainti

Tarkastellaan seuraavaksi konvektiivisten osien olemassaoloa ja sijaintia kemiallisesti ho-mogeenisissa (∇µ = 0) tähtimalleissa, jotka on laskettu erimassaisille tähdille. Kuvassa6.7 on esitetty Schwarzschildin (yhtälö 1.108) kriteerin mukainen stabiilisuusdiagramma,jossa x–akselilla on tähden massa suhteutettuna Auringon massaan, ja y–akselilla syvyystähden sisällä ilmaistuna massakoordinaateissa. Valkoisilla alueilla energiansiirto tapah-tuu säteilemällä (∇rad < ∇ad), ja kuvioidut alueet ovat konvektiivisesti epästabiileja(∇rad > ∇ad). Kuvassa on esitetty myös kaksi säteen (kiinteät viivat) ja luminositeetin(katkoviivat) tasa-arvokäyrää. Stabiilisuusdiagrammasta voidaan karkeasti erottaa kaksierilaista aluetta, joita rajoittava massa on noin 1.5M⊙: tätä kevyemmillä tähdillä on kon-vektiivinen ulkokerros, jonka paksuus kasvaa voimakkaasti, kun tähden massa pienenee,sisäosien ollessa radiatiivisia. Kevyimmät tähdet (0.08M⊙M < 0.26M⊙) ovat kokonaankonvektiivisia. Tätä raskaammat tähdet ovat pintaosiltaan radiatiivisia, mutta niillä onkonvektiivinen ydin, jonka paksuus kasvaa massan kasvaessa. Rajamassan ylittävillä täh-

89

Kuva 6.8: Tähtimalleista laskettu auringonmassaisen ja kymmenen kertaa raskaammantähden lämpötilagradienttien arvot lämpötilan funktiona; KW s. 214.

dillä energiatuotanto tapahtuu pääasiassa CNO–syklin kautta (määritellään ylemmäksipääsarjaksi), kun taas rajamassan alittavilla pp–ketjun kautta (määritellään alemmaksipääsarjaksi). Energiantuotantomekanismien erilaiset lämötilajakaumat nähdään selvästiluminositeetin tasa-arvokäyristä.

Kuvassa 6.8 on esitetty lämpötilagradientit Auringon- (ylempi paneeli) ja kymmenenkertaa auringonmassaisessa tähdessä (alempi paneeli) lämpötilan funktiona. Alemmastapaneelista voidaan nähdä, että konvektiivisen ytimen aiheuttaa voimakkaasti ydintä koh-ti kasvava radiatiivinen gradientti ∇rad, joka taas aiheutuu CNO–syklin voimakkaastalämpötilariippuvuudesta. Vielä tätäkin raskaammilla tähdilla kasvava säteilypaine kui-tenkin alentaa adiabaattisen lämpötilagradientin arvoa standardiarvosta 0.4 yksiatomi-selle ideaalikaasulle, minkä seurauksena konvektiokerroksen rajapinta siirtyy kohti pie-nempiä lämpötiloja, eli kohti pintaa. Kuumassa radiatiivisessa kerroksessa lähellä pintaavoivat lämpötilat olla niin korkeita, että helium menettää toisenkin elektroninsa, ja ras-kaammatkin alkuaineet saattavat ionisoitua. Näistä seuraa paikallinen opasiteetin kasvuja adiabaattisen lämpötilagradientin pieneneminen, joka mahdollisesti johtaa ohuidenkonvektiivisten kerrosten syntyyn. Supermassiviset tähdet voivat jälleen olla kokonaankonvektiivisia, elleivät ala oskilloida.

Rajamassaa 1.5M⊙ kevyemmillä tähdillä, joilla pp-ketju dominoi, jakautuu energian-tuotanto laajemmalle alueelle ytimen ympärillä. Tämän vuoksi ∇rad on hyvin pieni kes-kusosissa, ja sen vuoksi ne ovat radiatiivisia (ks. Kuvan 6.8 ylempi paneeli). Näidentähtien ulko-osissa sekä adiabaattinen että radiatiivinen lämpötilagradientti käyttäyty-

90

vät melko monimutkaisella tavalla: Adiabaattisella gradientilla on useita minimejä jamaksimi, kuoppien aiheutuessa vedyn ja heliumin osittaisesta ionisaatiosta, joka alentaaadiabaattisen gradientin arvoa. Opasiteetti kasvaa voimakkaasti pintaa kohti mentäessä,minkä vuoksi ∇rad kasvaa useita kertaluokkia isommaksi kuin ∇ad. Ulkokerrokset ovatsiis konvektiivisia, ja tiheyden ollessa suuri, on konvektio erittäin tehokasta, ja ∇ onhyvin lähellä adiabaattista arvoa. Pintaosissa konvektio on superadiabaattista, eli ∇ onhuomattavasti suurempi kuin ∇ad, ja aivan pinnalla myös ∇rad lähestyy adiabaattistaarvoa.

91

Kuva 6.9: Tähtimalleista laskettuja auringonmassaisen tähden vetyprofiileja ydinreak-tioiden kuluttaessa vetyvarastoja. Ytimen ollessa radiatiivinen, ei sekoittumista ydin-reaktioalueella tapahdu; KW s. 277.

6.3 Pienimassaisten tähtien kehitys pääsarjassa

Kuten edellä esitettiin, ovat pienimassaiset tähdet, 0.08M⊙ < M < 0.26M⊙, kokonaankonvektiivisia. Nämä tähdet ovat hyvin viileitä spektriluokan M tähtiä nollaiän pääsar-jassa, eli sijaitsevat HR-diagrammassa oikealla alhaalla. Koska nämä tähdet ovat koko-naan konvektiivisia, on niiden kehitys hyvin suoraviivainen: vedyn palaessa pp-ketjullaaine sekoittuu koko ajan, ja sisäosiin virtaa siten koko ajan uutta polttoainetta. Nä-mä tähdet voivat kuluttaa koko vetyvarastonsa pp-ketjussa, ja pääsarjan loppuvaiheessakaikki vety on muuttunut heliumiksi.

Pääsarjavaiheen aikana nämä tähdet kuumenevat ja kirkastuvat hitaasti, eli liikkuvathieman nollaiän pääsarjan rajoittaman käyrän vasemmalla puolella vasemmalle yläviis-toon. Heliumin palamisreaktiot eivät pääse käynnistymään ytimen alhaisen lämpötilanvuoksi, joten vedyn loputtua kokonaan, jolloin pääsarjavaihe katsotaan päättyneeksi,alkavat nämä tähdet jäähtyä ja kutistua valkoisiksi kääpiöiksi.

Kotitehtävä 20: Arvioi pienimassaisten tähtien pääsarjavaiheen pituutta.

6.4 Auringontyyppisten tähtien kehitys pääsarjassa

Tähdillä, joiden massat ovat noin 0.26M⊙ < M < 1.5M⊙, on radiatiivinen ydin, jotaympäröi konvektiivinen ulkokerros. Ydinreaktiot, jotka tapahtuvat siis pp-ketjulla, ovatkeskittyneet radiatiiviseen ytimeen, eikä konvektio pääse sekoittamaan kerrosta. Tällöinjokaisessa pisteessä massakoordinaatin suhteen, XH on verrannollinen lokaaliin energian-tuotannon määrään εH. Ajan ∆t kuluttua, vedyn suhteellisen massaosuuden muutos voi-

92

Kuva 6.10: Kaaviokuva lämpötilaprofiilista tähtimallissa, jossa on isoterminen heliumy-din, jonka massa on q0M . Vety palaa kuoressa (katkoviivalla merkitty alue). KW s. 286.

daan siis kirjoittaa

∆XH ∝ εH∆t, (6.38)

ja kemiallisen koostumuksen muutosta ajan funktiona voidaan seurata. Tällöin saadaansiis useita, ajassa muuttuvia, vedyn profiileita massakoordinaatin funktiona, kuten Ku-vassa 6.9 on esitetty auringonmassaiselle tähdelle. Pääsarjan alussa vedyn palaessa yti-messä, tähti liikku HR-diagrammassa hitaasti vasemmalle ylöspäin melkein nollaiän pää-sarjan suuntaisesti sen kuumentuessa ja luminositeetin kasvaessa (ks. alin käyrä Kuvan6.11 oikeanpuoleisessa paneelissa).

Vedyn lähestyessä loppuaan ytimessä, kääntyy kehityskäyrä HR-diagrammassa vähi-tellen oikealle. Pääsarjan loppuvaiheessa XH → 0 tähden keskustassa, jolloin keskustaanmuodostuu heliumista koostuva ydin. Lämpötila ei ole tässä vaiheessa tarpeeksi korkeaheliumin syttymiseen, joten heliumytimessä ei tapahdu ydinreaktioita. Tällainen ydin onlähellä isotermistä, eli l ≃ dT/dr → T ≃ vakio. Vedyn palaminen siirtyy helium-ydintäympäröivään kuoreeen, jossa vetyä on edelleen jäljellä, ja lämpötila tarpeeksi korkea, ks.Kuva 6.10. Pienimassaisilla tähdillä vedyn palamisen siirtyminen ytimestä kuoreen ta-pahtuu vähitellen, mutta tähden massan kasvaessa prosessi tulee yhä akkinäisemmäksi,ja HR-diagrammassa nähdään selvä hyppäys vasemmalle yläviistoon. Heliumytimen rajasiirtyy vähitellen ulospäin, ja sen osuus massasta kasvaa. Keskimääräisen molekyylipai-non kasvaessa ytimessä (P ∝ 1/µ), ydin luhistuu hitaasti.

Jos heliumytimen massa kasvaa tarpeeksi suureksi, ja se pysyy isotermisenä, voi setulla termisesti epästabiiliksi, ja alkaa romahtaa hyvin nopeassa aikaskaalassa. Massara-jaa, jonka ylittyessä luhistuminen käynnistyy, kutsutaan Schönbergin-Chandrasekharinmassaksi, ja sille on johdettu arvo (Schönberg & Chandrasekhar, ApJ, 96, 161)

Mc

M≤ qSC = 0.37

(

µenvµcore

)2

, (6.39)

93

Kuva 6.11: HR-diagrammeja erimassaisille tähdille tähtimalleista laskettuina. Vasen pa-neeli: M = 7M⊙, keskimmäinen paneeli: M = 4...8M⊙, oikea paneeli: M = 1...3M⊙;KW s. 279.

missä Mc on ytimen massa, µcore on ytimen molekyylipaino ja µenv on molekyylipainoympäröivässä kuorikerrokssa.

Kotitehtävä 21: Arvioi Schönbergin-Chandrasekharin massaa ei-degeneroituneen auringontyyppisen tähden heliumytimelle.

Tähdillä, joiden massa on pienempi kuin 1.5M⊙, heliumydin ehtii kuitenkin dege-neroitua ennenkuin luhistuminen alkaa, jolloin kasvanut ytimen paine nostaa kriittistämassaa muutaman prosentin kotitehtävässä johdetusta. Jos massa taas on suurempi kuin6M⊙, ytimen hidas, molekyylipainon kasvusta johtuva, kutistuminen vapauttaa niin pal-jon gravitaatioenergiaa, että ydin muuttuu ei-isotermikseksi; ydin kutistuu silti, muttamekanismi on siis eri.

Viriaaliteoreeman mukaisesti, kutistuessaan ydin kuumenee ja sen säteily lisääntyy,jolloin vedyn palamiskuoren reaktiot kiihtyvät voimakkaasti. Tästä seuraa voimakkaastikasvava paine, jonka ansiosta ulko-osat alkavat laajentua voimakkaasti ulospäin, ja samal-la sisäosien luhistuminen kiihtyy; ulko-osien laajentumisesta seuraa tähden säteen kasvu.Koska tähden luminositeetti pysyy likimain vakiona, täytyy efektiivisen lämpötilan pie-nentyä voimakkaasti. HR-diagrammassa tähti liikkuu näin ollen x-akselin suuntaisestioikealle, ja poistuu pääsarjasta, ja sen kehitys punaiseksi jättiläiseksi alkaa.

94

Kuva 6.12: Vetyprofiileja M = 5M⊙ massaiselle tähdelle vedyn palamisen alkaessa kon-vektiivisessa ytimessä (0), palamisen edettyä (1) ja (2); KW s. 278.

6.5 Keskiraskaiden tähtien kehitys pääsarjassa

Tähtien, jotka painivat keskiraskaassa sarjassa, eli niiden massat ovat noin 1.5M⊙ < M <10M⊙, pääasiallinen energiantuotantomekanismi on CNO–sykli, minkä vuoksi energian-tuotanto on keskittynyt hyvin lähelle ydintä. Ytimien ollessa konvektiivisia, sekoittuuaine tehokkaasti, ja vedyn suhteellisen osuuden kehitys voidaan kirjoittaa muodossa

XH = εH∆t, (6.40)

missä εH on koko ytimen yli laskettu energiantuotantomäärän keskiarvo. Konvektiivisenytimen massa pienenee vedyn palamisen edetessä, ks. Kuva 6.12, ja lopuksi jäljellä onpieni heliumydin. Heliumytimen suhteellinen massa on sitä suurempi, mitä raskaampitähti on.

HR–diagrammassa nämä tähdet käyttäytyvät melko samankaltaisesti massasta riip-pumatta (ks. Kuva 6.11, kaksi vasemmanpuoleista paneelia): kun vetyä on vielä jäljellärunsaasti, tähden luminositeetti kasvaa ja pintalämpötila pienenee, jolloin tapahtuu hi-das siirtymä yläviistoon oikealle (A → B). Kun vedyn suhteellinen runsaus ytimessäputoaa alle XH=0.05 (piste B), alkaa koko tähti nopeasti luhistua, minkä johdosta näh-dään HR–diagrammassa jyrkkä mutka yläviistoon vasemmalle (B → C), joka johtuuluhistumisen aiheuttamasta luminositeetin kasvusta ja lämpötilan noususta. Luhistumi-nen taas johtuu samoista syistä kuin kevyemmillä tähdillä. Näiden tähtien katsotaanpoistuvan pääsarjasta pisteen C tultua ohitetuksi, minkä jälkeen vedyn palaminen kon-vektiivista ydintä ympäröivässä kuoressa jatkuu kutistumisessa kohonneen lämpötilanvuoksi. Vedyn palamisreaktiot kiihdyttävät ytimen kutistumista, joka taas nostaa läm-pötilaa; tämä johtaa jälleen palamiskuoren ulkopuolella olevien osien laajenemiseen, jasäteen kasvuun. HR–diagrammassa kehityskäyrä kääntyy oikealle yläviistoon kohti jät-tiläishaaraa (luminositeetti ja säde kasvavat, lämpötila laskee).

Kotitehtävä 22: Miten voit selittää luminositeetin muutoksen A→ B homo-logisilla relaatioilla?

95

Kuva 6.13: Kaaviokuva semikonvektiosta raskaiden tähtien pääsarjavaiheessa. Kiinteäviiva osoittaa (a)–kuvassa vetyprofiilin ennen semikonvektion alkamista, ja katkoviivatilanteen hitaan sekoittumisen jälkeen. Lämpötilagradientin profiili on esitetty paneelissa(b). KW s. 285.

6.6 Raskaiden tähtien kehitys pääsarjassa

Yli 10M⊙–massaisten, OB–spektriluokan, tähtien kehitys on suhteellisen monimutkai-nen, mutta elinikä varsin lyhyt (vain kymmeniä miljoonia vuosia). Näillä tähdillä onlaajalle ulottuva konvektiivinen ydin, jonka paksuus kasvaa massan funktiona, johtuensiitä, että sisäosissa lämpötila on laajalla alueella riittävän korkea ylläpitämään CNO–sykliä. Samalla tavalla kuin keskiraskaiden tähtien tapauksessa, konvektiivinen ydin al-kaa vedyn palamisvaiheessa kutistua, jättäen jälkeensä ulospäin kasvavan vedyn mas-saosuuden XH. Tällöin siis konvektiivisen ja radiatiivisen alueen välimaastoon jää kuori,jossa molekyylipaino pienenee ulospäin, eli ∇µ > 0. Ytimen ulkopuolella ∇rad kasvaa,mutta nollasta poikkeava positiivinen ∇µ toimii stabiloivana tekijänä Ledoux’n kriteerin(yhtälö 1.107) mukaisesti. Kerros, jossa Schwarzschildin kriteeri (∇rad > ∇ad) osoittaisikonvektiivista epästabiilisuutta, on kuitenkin ns. ylistabiili konvektiota vastaan, ja alkaaoskilloida kasvavalla amplitudilla. Tämä aiheuttaa ilmiön, jota kutsutaan semikonvek-tioksi, joka aiheuttaa konvektioon verrattuna hidasta sekoittumista. Lämpötilagradientinprofiili on hyvin monimutkainen, ks Kuva 6.13, ja tällaisen rakenteen voidaan odottaaliikkuvan koko tähden läpi konvektiivisen ytimen vetäytyessä edelleen. Tähti liikkuu HR-diagrammassa oikealle ylös luminositeetin kasvaessa ja efektiivisen lämpötilan pudotessa.

96

Kun vedyn osuus putoaa alle kolmen prosentin, alkaa ydin luhistua sitä koossapitävän sä-teilypaineen kadotessa. Kutistumisessa vapautuva gravitaatioenergia kuumentaa ydintä,ja samalla säteily lisääntyy. Tästä aiheutuu vedyn palamisen alkaminen konvektiivisenytimen ulkopuolella, joka näkyy HR-diagrammassa lyhyenä siirtymänä yläviistoon va-semmalle. Ulko-osat alkavat laajentua kasvaneen lämpötilan ja paineen vaikutuksesta, jatähti suuntaa nopeaa vauhtia vaakasuoraa linjaa pitkin oikealle.

97

98

Luku 7

Kehitys pääsarjan jälkeen

Tähtien kehitykseen pääsarjan jälkeen liittyy useita tähtimallien laskemiselle haasta-via vaiheita, minkä vuoksi täysin yleispäteviä tuloksia näille kehitysvaiheille ei tunne-ta. Mallien kehittyessä tieto myös elää ja vanhenee hyvin nopeasti. Luentomateriaalissaesitetään juuri tällä hetkellä todennäköisimmin parhaiten paikkaansapitävä tieto, jokapoikkeaa jonkin verran esimerkiksi Tähtitieteen perusteet ja KW:n sisällöstä, mutta onsuurinpiirtein yhtenevä HSH:n kanssa.

7.1 Tähtien kehitys punaisina jättiläisinä

Kaikki paitsi kaikkein pienimassaisimmat (0.08–0.26M⊙), kokonaan konvektiiviset, täh-det, kehittyvät punaisiksi jättiläisiksi. Näissä tähdissä vedyn loputtua lämpötila ei oleriittävän korkea heliumin 3α-reaktioiden käynnistymiseen, vaan vedyn loppumisen jäl-keen ne alkavat kutistua valkoisiksi kääpiöiksi. Muut tähdet, eli 0.26–100 M⊙, käyvätläpi jättiläisvaiheen. Kehitys tässä vaiheessa elinkaarta tapahtuu olennaisesti eri tavallakolmen eri massaryhmän sisällä, jotka käsitellään seuraavassa erikseen.

7.1.1 0.26–3 M⊙ –massaiset tähdet

Pääsarjavaiheen lopussa nämä tähdet polttavat vetyä ohuessa kuoressa (pisteessä D Ku-vassa 7.1), jossa koko tähden luminositeetti syntyy. Heliumydin kutistuu, minkä vuoksise viriaaliteoreeman mukaisesti kuumenee ja sen säteily lisääntyy, jolloin vedyn palamis-kuoren reaktiot kiihtyvät voimakkaasti. Lämpötila nousee viimein niin korkeaksi, ettäCNO–sykli alkaa dominoida pp–ketjun energiatuotantoa palamiskuoressa. Tästä seuraavoimakkaasti kasvava paine, jonka ansiosta ulko-osat alkavat laajentua voimakkaasti jatähden säde kasvaa. Koska tähden luminositeetti pysyy likimain vakiona, täytyy efek-tiivisen lämpötilan pienentyä voimakkaasti. HR-diagrammassa tähti pyrkii näin ollenliikkumaan Teff -akselin suuntaisesti oikealle.

Pienimassaiset tähdet eivät kuitenkaan voi edetä näin kovin pitkälle, koska Hayashi–käyrä tulee pian vastaan HR–diagrammassa. Tähdet eivät voi siirtyä sen oikealle puolelle‘kielletylle alueelle’, vaan niiden luminositeetti alkaa kasvaa voimakkaasti, ja tähti liik-kuu Hayashi–käyrän läheisyydessä voimakkaasti oikealle yläviistoon, kuten Kuvan 7.1 va-sen paneeli havainnollistaa. Samalla tähtien ulko-osaan muodostuu sisäänpäin laajenevakonvektiokerros, josta seuraa sisä- ja ulko-osien materiaalin sekoittuminen (KW:ssä tätävaihetta kutsutaan termillä first dredge–up). Monotoninen luminositeetin kasvu pysähtyy

99

Kuva 7.1: Vasen paneeli: 1.3M⊙–massaisen tähden kehityskäyrä pääsarja- (A→D) jajättiläisvaiheen (D→) aikana HR-diagrammassa laskettuna tähtimallista, jossa alkuti-lan kemialliset koostumukset ovat X = 0.9, Y = 0.099, ja Z = 0.001. Nuolet osoitta-vat kehityskulun suunnan. Pisteviivojen välissä tapahtuu edestakainen liike, joka johtuuvedyn palamiskuoren tavoittaessa syvän konvektiokerroksen sekoittaman materiakerrok-sen (first dredge–up). Oikea paneeli: sisärakenteen kehitys ajan funktiona. Viivoitetullaalueella tapahtuu vedyn palamisreaktioita, mylpyräisellä alueella tapahtuu konvektiota.KW s. 314.

hetkellisesti palamiskuoren tavoittaessa sekoittuneen materian kerroksen (pisteviivojenvälinen edestakainen liike Kuvan 7.1 oikeassa paneelissa).

Jos tähden massa on tarpeeksi pieni M < 1.5M⊙, seuraa helium-ytimen kutistu-misesta (tiheys kasvaa) ytimen elektronikaasun voimakas degeneraatio; degeneraatioastesaattaa kivuta yli 50 prosenttiin ytimessä. Tähti on siis jakautunut vedyn palamiskuo-ren rajoittamaan kahteen erilaiseen alueeseen: sisäpuolella on degeneroitunut ja kuumahelium-ydin, kerroksen ulkopuolella huomattavasti viileämpi vetyrikas ei-degeneroitunutkonvektiivinen ulkokuori.

Ytimen lämpötilan koko ajan noustessa, saavutetaan lopulta heliumin 3α-reaktioidensyttymisraja (T ≈ 108K), jolloin ydin alkaa jälleen tuottaa energiaa ydinreaktioilla.Tällöin ytimen massa on noin 0.45M⊙ kaikenmassaisille tähdille. Tästä eteenpäin kehityseriää degeneraatioasteesta riippuen.

Helium-leimahdus, 0.26–1.5 M⊙

Jos ydin on voimakkaasti degeneroitunut (0.26–1.5 M⊙), johtaa heliumin syttyminenHelium-leimahdukseen. Ydinreaktioiden alettua nousee ytimen lämpötila, joka ei-degene-

100

Kuva 7.2: Jättiläisvaiheen kehityskäyriä HR–diagrammassa erimassaisille tähdille. Pak-sut käyrien osat osoittavat eri ydinreaktioiden päävaiheita. AGB tarkoittaa asymptoot-tista jätiiläishaaraa, ja RGB punaisten jättiläisten haaraa. HSH s. 89.

roituneen ytimen kyseessä ollessa johtaisi ytimen laajenemiseen. Degeneroituneen ytimentapauksessa paine riippuu tiheydestä eikä lämpötilasta, jolloin laajenemista ei tapahdu.Tällöin ydinreaktiot kiihtyvät edelleen, joka taas nostaa lämpötilaa edelleen. Prosessikertautuu hyvin nopeasti (muutamassa sekunnissa), ja johtaa huikeisiin luminositeetinarvoihin ytimessä (1046erg s−1). Tätä ytimen luminositeetin äkillistä kasvua kutsutaanhelium-leimahdukseksi. Syntynyt energia kuluu ensinnäkin ytimen degeneraation pois-tamiseen, ja toiseksi sitä seuraavaan ytimen laajenemiseen. Ulospäin leimahdus näkyyluminositeetin pienentymisenä (ks. Kuva 7.1); kaikki vapautunut energia kuluu dege-neraation poistamiseen ja ytimen laajenemiseen, kun ulko-osat taas kutistuvat jonkinverran.

Ytimen paine riippuu taas tiheydestä ja lämpötilasta, minkä vuoksi se laajenee jajäähtyy, ja muuttuu konvektiiviseksi. Konvektiivisen ytimen koko kasvaa ajan mittaan,ja saattaa yltää lähelle konvektiivisen ulkokuoren alarajaa. Helium-leimahduksen jäl-keen tähti hyppää HR-diagrammassa jättiläistähtien horisontaalihaaralle (ks. Kuva 7.2).Tämän jälkeen seuraa kategorian raskaampien tähtien kehitystä muistuttava rauhalli-nen vaihe, jota käsitellään seuraavaksi. Tällöin tähti liikkuu horisontaalihaaralta kohtiasymptoottista jättiläishaaraa, ja viimein yhtyy siihen (AGB Kuvassa 7.2).

101

Kuva 7.3: Yläpaneeli: 5M⊙–massaisen tähden sisärakenteen kehitys ajan funktiona. Ala-paneeli: Tähden kehityskäyrä HR–diagrammassa. KW s. 294.

1.5–3 M⊙

Näillä tähdillä heliumin syttyminen tapahtuu rauhallisesti, koska ydin ei ole merkittäväs-ti degeneroitunut. Energiantuotanto tapahtuu heliumin palaessa konvektiivisessa ytimes-sä hiileksi 3α–reaktiossa ja vedyn palessa heliumiksi ydintä ympäröivässä kuoressa. Kunhelium ytimessä loppuu, jää jäljelle hiiliydin, ja heliumin palaminen siirtyy tätä ydintäympäröivään kuoreen. Lämpötila ei riitä hiilen syttymiseen. Tätä ympäröi toinen kuo-ri, jossa vety palaa. Vedyn palamiskuori etenee ulospäin kohti kylmempiä kerroksia, ja

102

viimein saavuttaa kerroksen, joka on liian viileä vedyn reaktioiden ylläpitämikseksi. Täl-löin jäljelle jää vain heliumin palamiskuori, joka myös etenee ulospäin. Kun se saavuttaasammuneen vetykuoren, nousee sen lämpötila uudelleen, ja vedyn reaktiot käynnistyvättaas. Tällainen sykli, jota kutsutaan termiseksi sykinnäksi, saattaa toistua useita kertoja.

Hiiliytimessä ei siis tapahdu ydinreaktioita, joten ydin alkaa luhistua ja degeneroi-tua. Heliumin palaessa, hiiliytimen massa kasvaa koko ajan. Tämä luhistaa ydintä lisää,ja sen degeneraatioaste kasvaa. Vaikka ytimen ulkopuolella vedyn ja helium ydinreak-tiot jatkuvat, alkaa ydin muistuttaa yhä enemmän valkoista kääpiötä. Termiset pulssitvaikuttavat voimakkaimmin pienimassaisten tähden kehityskäyrään siten, että lumino-siteetti ja pintalämpötila saattavat vaihdella huomattavastikin (edestakaista huojuntaaHR-diagrammassa); ytimen ominaisuuksiin termisillä pulsseilla ei ole suurta merkitys-tä. Niin kauan kuin ydinreaktiot pysyvät käynnissä palamiskuorissa, näyttäytyy tähtiulospäin punaisena jättiläisenä. Kun tähden ulkokerrosten massasta on jäljellä noin 1prosentti, palaminen kuorissa loppuu. Kuoret luhistuvat ytimeen, ja esiin tulee ytimessäjo valmistunut valkoinen kääpiö.

Pienimassaisilla tähdillä tähän kehitysvaiheeseen liitty usein (noin 50 prosentilla) pla-netaarisen sumun muodostuminen, kun tähti sinkoaa osan vetypitoisesta ulkokuorestaanympärilleen sisempien osien luhistuessa valkoisen kääpiön pinnalle. Suurimassaiset tähdettaas voivat menettää merkittävän osan massastaan jo jättiläisvaiheessa, jolloin tähdensäde kasvaa hyvin suureksi. Tällöin säteilypaineen voima riiittää suistamaan ulko-osienkaasua tähden gravitaatiopotentiaalin ulottumattomiin.

7.1.2 3–8 M⊙–massaiset tähdet

Näiden tähtien kehityksen loppuvaiheet ovat erittäin koukeroiset HR–diagrammassa (ks.Kuvat 7.2 ja 7.3). Kun edellisessä kategoriassa oli rakenteeltaan varsin erilaisia tähtiä(radiatiivinen ydin — konvektiivinen vaippa; pieni konvektiivinen ydin — radiatiivinenvaippa), tämä kategoria on pääsarjan jälkeiseltä rakenteeltaan homogeeninen: tähdillä onkonvektiivinen helium–ydin, ja vetyä polttava ulkokuori konvektiivisen ytimen ympärillä.Vetykuoren muodostuttua tähtien kehityskäyrä kääntyi oikealle yläviistoon (pisteen Cjälkeen), jolloin niiden katsottiin poistuvan pääsarjasta.

Tämän jälkeen tähden ei voi katsoa olevan termisessä tasapainossa, vaan kehitystapahtuu Kelvin-Helmholtz (termisessä) aikaskaalassa, ja energiayhtälön (2.3) aikaderi-vaatat tulee ottaa huomioon tähtimalleissa. Ydin ja ulko-osat kehittyvät nopeasti päin-vastaisiin suuntiin: vedyn palamiskuoren ulkopuoliset alueet laajenevat, kun taas ydinluhistuu. Ytimen luhistuessa sen tiheys ja lämpötila kasvavat, mutta tiheydet eivät oleniin suuria, että ydin degeneroituisi. Tähti siirtyy HR–diagrammassa voimakkaasti oi-kealle alaviistoon, säteen kasvaessa voimakkaasti ja luminositeetin pienentyessä. Tähtihyppää koko Hertzsprungin aukon yli pääsarjasta punaisten jättiläisten haaraan Kelvin-Helmholtz aikaskaalan pituisessa ajassa; tämän vuoksi tässä kohtaa diagrammaa ei ha-vaitakaan tähtiä. Lopulta lämpötila kasvaa niin suureksi, että heliumin palaminen käyn-nistyy ytimessä.

Heliumin palamisen alkaessa (piste D) tähti on siirtynyt hyvin lähelle Hayashi–käyrää.Tässä vaiheessa sille kehittyykin konvektiokerros myös ulko-osiin; mitä raskaampi tähti,sitä syvempi konvektiokerros on. Jos massa on yli 7 M⊙, konvektiokerros on niin syvä,että sisäosan ydinreaktioissa modifioituneet ainekset sekoittuvat pintakerroksen kans-sa (KW; first dredge-up). Helium-ytimen ydinreaktiot ylläpitävät pientä konvektiivis-

103

Kuva 7.4: 25M⊙–massaisen tähden sipulirakenne kehityksen loppuvaiheessa. y–akselillaon esitetty massakuoren, ja x–akselilla lämpötilan ja tiheyden tyypillisiä arvoja. KW s.329.

ta ydintä. Alkuvaiheessa 3α-reaktio dominoi, mutta kun tämän reaktion lopputuotteenasyntyvän 12C:n konsentraatio kasvaa, ottaa reaktio 12C + α→16O hetkeksi ylivallan. Tä-män reaktion käynnistyttyä alkaa 12C-konsentraatio jälleen pienentyä, ja lopulta 12C:aja 16O:a on ytimessä suurinpiirtein saman verran. Heliumin palaminen ytimessä kestääsuhteellisen lyhyen ajan, noin 107 vuotta, ja tähti liikkuu sinä aikana pisteestä D aina pis-teeseen G saakka, tehden vauhdikkaan koukkauksen Hayashi-viivan läheisyydestä kohtisuurempaa luminositeettia ja korkeampaa pintalämpötilaa. Mitä massiivisempi tähti on,sitä laajempi on kaari HR-diagrammassa; kategorian kevyimmillä tähdillä koukkauskuvioredusoituu pelkäksi ylös-alas sahaamiseksi Hayashi-käyrän läheisyydessä. Koukkauksenääripiste (F) vastaa suurinpiirtein tilannetta, jossa ytimen heliumpitoisuus on pudonnutnoin neljännekseen.

Kotitehtävä 23: Arvioi Kelvin–Helmholtz (eli termisen) aikaskaalan riippu-vuutta massasta, ja laske kuinka kauan aikaa tähdiltä kuluu minimissä ja mak-simissa Hertzsprungin aukon ylittämiseen? Vertaa tätä aikaa tähtien pääsar-jassa viettämään aikaan, ja toisaalta heliumin palamisvaiheen pituuteen.

Pisteen G jälkeen heliumin palaminen siirtyy ydintä ympäröivään kuoreen. Palami-sen edetessä pääosin hiilestä, hapesta ja typestä koostuvan ytimen massa kasvaa, ja

104

ydinreaktioiden lakattua ydin alkaa kutistua. Tähdellä on siis kaksi ydinreaktioilla ener-giaa tuottavaa massakuorta, ulompi vetyä polttava ja sisempi heliumia polttava kuori.Tämä voi johtaa kevyempien tähtien kategorian yhteydessä kuvattuun termiseen sykin-tään, ja uuteen koukkauskierrokseen HR-diagrammassa (G→K). Samanaikaisesti tähdenulko-osat muuttuvat konvektiivisiksi, ja kerroksen paksuus kasvaa ajan kuluessa. Kerrosulottuu ydinreaktioiden prosessoimiin kerroksiin, jotka sekoittuvat jo toisen kerran (KW:second dredge up).

7.1.3 M > 8M⊙

Näillä tähdillä vety palaa CNO–syklillä konvektiivisessa ytimessä. Kun ydinpolttoaineytimessä loppuu, ja massiivinen ydin alkaa kutistua, kasvaa tässä prosessissa vapautu-van energian määrä hyvin nopeasti samaan mittakaavaan ydinreaktioiden vapauttamanenergian kanssa. Ytimen ulkoreunalle muodostuu kuorikerros, jossa vety alkaa palaa.Tässä vaiheessa vedyn palamiskuori tuottaa noin neljäsosan, ja gravitaatioluhistuminennoin kolme neljäsosaa tähden luminositeetista. Pääero kevyempien tähtien jättiläisvai-heen kehitykseen onkin siis ytimen luhistumisessa vapautuvan gravitaatioenergian do-minoiva rooli energiantuotannossa. Vedyn kuoripolttoon siirtymävaiheessa nähdään HR-diagrammassa hyppäys yläviistoon vasemmalle (ks. Kuvan 7.2 ylin, 25M⊙–massaisentähden kehityskäyrä), kun luminositeetti ja pintalämpötila kasvavat.

Vedyn palamisreaktiot kiihtyvät samalla kuin ydin luhistuu, ja voimakas säteilypai-ne laajentaa ulko-osia. Kevyitä tähtiä voimakkaammasta säteilypaineesta seuraa myöskonvektion säilyminen tähden ytimessä. Lämpötila ytimessä nousee nopeasti, ja heliu-min palaminen alkaa, mikä osittain pysäyttää luhistumisen. Tähden kehityskäyrä on lä-hes horisontaalinen, oikealle kulkeva, suora HR-diagrammassa. Tähti siirtyy pääsarjastaylijättiläshaaraan. Pääosa luminositeetista tulee edelleen vedyn palamiskuoresta.

Koska lämpötila ytimessä on luhistumisen aikana kasvanut tasaisesti, käynnistyymyös hiilen palaminen, vaikka helium ei ole vielä kulunut loppuun. Kun Helium loppuuytimestä, siirtyy sen palaminen ydintä ympäröivään kuoreen, hiilen palaessa ytimessä.Seuraavaksi ytimessä käynnistyy neonin palaminen. Lopulta tähdessä on sipulimainenrakenne palamiskuoria (Kuva 7.4), lähimpänä pintaa vedyn palamiskuori, ytimessä piipalaa raudaksi ja nikkeliksi.

Kotitehtävä 24: Punainen jättiläistähti, jonka säde on R = 100R⊙, on kulut-tanut kaiken vedyn ytimestään, mutta heliumin palaminen ei ole vielä alkanut.Tähti tuottaa energiaa helium-ydintä ympäröivässä vetykuoressa, jonka sisäsä-de on 1.8×107m ja ulkosäde 2.0×107m. Kuoren keskitiheys on 5×104kgm−3,ja lämpötila 5× 107K. Laske energiantuotannon määrä, luminositeetti ja pin-talämpötila, käyttäen kaavakokoelman kaavoja, ja arvoja XCNO = 10−3X1 jaX1 = 0.5.

105

106

Luku 8

Tähtien elinkaaren loppuvaiheita

Tässä luvussa käsitellään tähtien kehitystä juuri ennen ydinreaktioiden loppumista, janiiden viimein lopputtua.

8.1 Räjähdykset

Tähtien kehityksen päätepisteeseen liittyy usein äkillisiä purkauksia tai räjähdyksiä. Näi-hin lukeutuvat planetaariset sumut, ja erityyppiset supernovat. Vain harvoin tähti tu-houtuu näissä räjähdyksissä kokonaan – jäljelle jää myös luhistuva ydin, joka päätyykompaktiksi objektiksi, joita ovat valkoiset kääpiöt, neutronitähdet ja mustat aukot;lopputila riippuu jälleen tähden massasta. Karkeasti voidaan jaotella planetaarisia su-muja ja tyypin Ia supernovia tuottavien tähtien kehityksen johtavan valkoisten kääpiöi-den syntymiseen, kun taas tyypin Ib, Ic ja II supernovina elämänsä päättävät tähdetjättävät jälkeensä neutronitähden tai mustan aukon.

8.1.1 Planetaariset sumut

Kuten jo aikaisemmin on mainittu, tähtien, joiden massa on karkeasti välilla 0.26–1.5M⊙,loppuvaiheeseen liittyy usein (noin 50 prosentilla) planetaarisen sumun muodostuminen.Ydinreaktioiden loppumisen jälkeen palamiskuoret alkavat luhistua sisäosiin muodostu-neen degeneroituneen valkoisen kääpiön pinnalle, ja vetypitoiset ulko-osat sinkoutuvattähden ympärille. Nämä valkoiset kääpiöt koostuvat pääosin heliumin palamistuotteis-ta, eli C12:sta ja O16:sta. Laajeneva vaippa muodostaa rengasmaisen sumun. Keskus-tähti jatkaa jäähtymistään ja kiteytymistään valkoisena kääpiönä (käsitellään erikseenkappaleessa 8.2.1). Nimitys ‘planetaarinen sumu’ viittaa harhaanjohtavasti planeettoi-hin; tämä johtuu siitä, että ensimmäiset havaitut planetaariset sumut näyttivät pienilläteleskoopeilla ulkoplaneettoja muistuttavilta vihertäviltä kaasupalloilta. Kuvassa 8.1 onyksi nuorimmista koskaan havaituista planetaarisista sumuista, joka on nimetty Stingray-sumuksi.

8.1.2 Tyypin Ia supernovat

Supernovat on jaoteltu tyypin I tai II supernoviksi sen mukaan, näkyykö (tyyppi II) vaiei (tyyppi I) niiden spektrissä vedyn Balmerin sarjan absorptioviivoja. Näistä tyypin Iasupernovat syntyvät pienimassaisten tähtien kehityksen päätepisteinä (kuvataan tässä

107

Kuva 8.1: HST-WFPC2-havainto nuoresta planetaarisesta sumusta. Image Credit: MattBobrowsky (Orbital Sciences Corporation) ja NASA.

kappaleessa tarkemmin), ja kaikki muut tyypit raskaiden (yli 8M⊙) tähtien räjähtäessäloppuvaiheissaan.

Tyypin Ia supernovina räjähtävien tähtien massat ovat vain vähän Auringon massaasuurempia. Juuri edellä kerrottiin, että tämän massaiset tähdet päättävät kehityksen-sä valkoisina kääpiöinä. Tämä kehityskulku voi kuitenkin muuttua, jos kääpiötähti onosallisena lähekkäisessä kaksoistähtijärjestelmässä. Sen seuralainen voi luovuttaa kääpiö-tähdelle massaa (ks. Kuva 8.2), josta seuraa toistuvia novapurkauksia. Osa massasta jääkuitenkin kartuttamaan kääpiötähden massaa, joka lähestyy Chandrasekharin massaa(ks. kappale 8.2). Jos massaraja ylittyisi, degeneroituneen elektronikaasun paine ei riit-täisi ylläpitämään hiili-happi-kääpiön ydintä gravitaatioluhistumista vastaan, vaan ydinalkaisi luhistua rauhallisesti neutronitähdeksi. Nykyinen konsensus kuitenkin on, ettäkertymisprosessissa, hieman ennen rajamassan saavuttamista, ytimen lämpötila nouseeniin korkeaksi, että luhistumisen sijaan hiilen palaminen alkaa. Tämä tapahtuu salaman-nopeasti ja seuraa hiili-leimahdus (vrt. heliumleimahdus), minkä jälkeen tähti räjähtääsupernovana. Tähti voi räjähtää joko kokonaan, kuten Kuvassa 8.2 tai osittain. Samallakaksoistähtisysteemi todennäköisimmin hajoaa. Jos tähden ytimestä jää jotain jäljelle,muodostuu siitä valkoinen kääpiö.

8.1.3 Tyypin II supernovat

Tyypin II supernovina räjähtävien tähtien massat ovat suurinpiirtein yli 8M⊙. Näille täh-dille on kehittynyt ydinreaktioiden lopputuloksena sipulirakenne, jossa uloimpanana onvedyn palamistuotteita, ja sisimpänä rauta-nikkeliydin (ks. Kuva 8.3). Keskustan läm-

108

Kuva 8.2: Kaksoistähtisysteemissä kehittyvän vähän Aurinkoa raskaamman tähden kehi-tys valkoisesta kääpiöstä tyypin Ia supernovaksi. Image credit: NASA, ESA and A. Feild(STScIa)

pötila on erittäin korkea, noin 1010K, ja niinpä ytimen elektronikaasu on relativistista.Ydinreaktioiden lakattua ytimessä, riippuu kehitys ytimen massasta ja degeneraatioas-teesta.

1. Kategorian pienimassaisilla tähdillä ydin on voimakkaasti degeneroitunut. Se keräämassaa sisimmästä sitä ympäröivästä piin palamiskuoresta, ja kun massa ylittääChandrasekharin massan, alkaa ydin luhistua. Raskaiden ydinten elektronisiep-paukset pienentävät painetta ytimessä, ja tämä toimii luhistumisen laukaisijana.

2. Jos elektronikaasu ei ole voimakkaasti degeneroitunutta (massiiviset tähdet), voi-makkaan säteilyn aiheuttama raskaiden ydinten fotohajoaminen ja relativistisetefektit pienentävät painetta, ja aiheuttavat luhistumisen.

Ytimen luhistuminen tapahtuu hyvin nopeasti, hydrostaattisessa (dynaamisessa) ai-kaskaalassa, eli tässä tapauksessa sekunnin murto-osissa. Luhistumisessa vapautuva gra-vitaatioenergia kuluu osittain ensin rautaydinten hajoamiseen heliumytimiksi, seuraa-vaksi heliumydinten hajoamiseen protoneiksi ja neutroneiksi, ja tiheyden edelleen kas-vaessa ytimen protonit ja elektronit yhtyvät muodostaen neutroneja. Lopputuloksena on

109

Kuva 8.3: 25M⊙-massaisen tähden rakenne ydinreaktioiden loppuvaiheessa. KW, s. 357

siis suurimmaksi osaksi neutroneista muodostunut ydin. Protonien ja elektronien muo-dostaessa neutroneja vapautuu myös runsaasti neutriinoja, jotka tehokkaasti kuljettavatlämpöenergiaa pois ytimestä.

Ytimen luhistuessa tähden ulko-osat äkillisesti kuumentuvat, ja ydinreaktiot lähte-vät jälleen räjähdysmäisesti käyntiin. Tämä nähdään supernovaräjähdyksenä, josta ai-heutuu kymmenien tuhansien kilometrien sekuntivauhdilla etenevä shokkiaalto. Ytimenluhistuminen jatkuu kuitenkin riippumattomasti ulko-osien räjähdyksestä.

Ytimen luhistuminen siis jatkuu, koska ei-degeneroituneen neutronikaasun paine eivielä riitä vastustamaan gravitaatiovoimaa. Neutronipuuro alkaa siis degeneroitua, ja josytimen massa on pienempi kuin ns. Oppenheimer-Volkoff -massa (ks. seuraava kappale),luhistuminen pysähtyy, kun neutronikaasu on täydellisesti degeneroitunut. Lopputulok-sena muodostuu siis neutronitähti. Jos ytimen massa taas ylittää Oppenheimer-Volkoff-massan, jatkuu luhistuminen edelleen, kunnes ytimestä tulee musta aukko.

8.1.4 Tyypin Ib ja Ic supernovat

Myös nämä supernovat aiheutuvat raskaiden tähtien räjähdyksistä loppuvaiheissaan.Spektrin poikkeavuus (vedyn Balmerin sarjan puuttuminen) tyypin II supernovista us-kotaan johtuvan siitä, että näillä tähdillä merkittävä osa uloimpien kuorten massastapoistuu tähden pinnalta voimakkaina tähtituulina, tai tähden vuorovaikuttaessa kump-paninsa kanssa kaksoistähtijärjestelmässä, ennen supernovaräjähdystä.

8.2 Kompaktit objektit

Räjähdyksiä tai ei, kaikkien tähtien lopullinen olotila on degeneroitunut kompakti objek-ti, ellei koko tähti tuhoudu räjähdyksessä. Jälleen kerran tähden massa, ja suurilta osinmyös se, kuinka paljon massaa tähti elinkaarensa aikana menettää, määrää kehityksenloppupisteen. Kompakteille, degeneroituneille objekteille on yleistä, että mekaanistet jatermiset ominaisuudet ovat enemmän tai vähemmän riippumattomia toisistaan.

110

8.2.1 Valkoiset kääpiöt

Valkoisten kääpiöden säde on noin 10−2R⊙, tiheys 109 kg m−3, ja pakonopeus 0.02c.Ensimmäiset valkoiset kääpiöt havaittiin kymmeniä vuosia ennenkuin niiden olemassaoloja ominaisuudet osattiin selittää. Valkoisiksi kääpiöiksi päädytään useita eri reittejä, javaltaosa tähdistä päättää elämänsä tässä tilassa. Joitakin reittejä on jo käyty läpi joaikaisemmin, mutta summataan kaikki vaihtoehdot vielä tässä yhteydessä:

1. Hyvin pienimassaiset (0.08–0.26M⊙), kokonaan konvektiiviset, tähdet polttavatkaiken sisältämänsä vedyn konvektion sekoittaessa niiden ainetta tehokkaasti. Lo-pulta nämä tähdet koostuvat vedyn palamistuotteesta eli heliumista. Kun vedynydinreaktiot lakkaavat, alkavat tähdet kutistua valkoisiksi kääpiöiksi. Viriaaliteo-reeman mukaisesti vapautuva gravitaatioenergia kuumentaa tähden kaasua ja sa-malla säteily voimistuu, ja kaikkien efektien yhteisvaikutuksesta tähti liikkuu aluk-si HR-diagrammassa horisontaalisesti vasemmalle. Samalla ydin degeneroituu, jaluhistuminen jatkuu, kunnes ydin koostuu täydellisesti degeneroituneesta elekt-ronikaasusta. Tämän jälkeen objektit säteilevät ympäristöönsä sisäistä termistäenergiaansa, ja jäähtyvät ja himmenevät. Tässä vaiheessa tähdet liikkuvat HR-diagrammassa oikealle alas vakiosäteen suoraa pitkin.

2. Auringonmassaisten tähtien (0.26–3M⊙) kehityksen loppuvaiheessa, niiden ydintenkutistuessa ydinreaktioiden lakattua, syntyy keskusosaan valkoinen kääpiö, jonkapinnalle osa ulkokuoresta luhistuu kuoripoltonkin loputtua. Kehitys tapahtuu sa-mankaltaista kehityskäyrää pitkin kuin keveillä tähdillä (ks. Kuva 8.4), mutta täh-tien koostumus on olennaisesti erilainen. Tämä johtuu siitä, että näissä tähdissälämpötila kohoaa tarpeeksi korkeaksi heliumin syttymiseen, josta jää jäljelle hiili-happi ydin. Jos tässä vaiheessa kehitystä jäljelle jääneen tähden massa ylittää ns.Chandrasekharin massan, MCh, ei se voi jäädä valkoiseksi kääpiöksi, vaan jatkaaluhistumista edelleen neutronitähdeksi tai mustaksi aukoksi.

3. Keskiraskaiden tähtien (3–8M⊙) kehityksen loppuvaiheessa voi myös muodostuavalkoinen kääpiö, jos tähän kehitysvaiheeseen ehtinyt tähti on kevyempi kuin MCh.Koostumus poikkeaa hiukan edellisestä luokasta, koska näissä tähdissä myös hiilipalaa hapeksi. Nämä tähdet saattavat menettää runsaastikin massaa jättiläisvai-heen aikana.

Jäähtyminen ja kiteytyminen

Kun luhistuminen pysähtyy täysin degeneroituneen elektronikaasun tasapainottaessagravitaatiovoiman, on valkoinen kääpiö virallisesti syntynyt. Tämän jälkeen alkaa objek-tin jäähtyminen, ja kun jäähtyminen etenee, materian kiteytyminen. Valkoinen kääpiösäteilee ympäröivään avaruuteen jäljellä olevaa sisäenergiaansa, ja muuttuu vähitellenmustaksi kääpiöksi, kun tämäkin energiavarasto ehtyy. Koska kyseessä on degeneroitu-nut materia, mekaaniset ja termiset suureet ovat melkeinpä riippumattomia toisistaan,ja tilanne poikkeaa tässä mielessä olennaisesti miltei kaikesta tällä kurssilla aikaisemminkäsitellystä.

Valkoisten kääpiöiden ytimessä degeneroituneella elektronikaasulla on suuri lämmön-johtavuus. Niiden luminositeetti on myös hyvin pieni. Näistä kahdesta asiasta seuraa, että

111

Kuva 8.4: Auringonmassaisen tähden kehityskäyrä pääsarjavaiheen jälkeen HR-diagrammassa. Lähde: Allison Wesley.

lämpötilagradientit eivät voi olla suuria, ja ydin on hyvin lähellä isotermistä. Ulko-osissa,missä tiheys on pienempi, on kaasun degeneraatioaste myös pienempi, lämpötilagradient-ti suurempi, ja lämmönsiirto tapahtuu joko säteilemällä tai konvektiolla. Tämä kerroson kuitenkin hyvin ohut, vain noin prosentti tähden säteestä.

Valkoisen kääpiön kaasun sisäinen terminen energia, Ei, koostuu degeneroituneenelektronikaasun ja ei-degeneroituneen ionikaasun energioista, Ee ja Eion. Muistammeerittäin hyvin viriaaliteoreeman normaalille kaasulle (yhtälö 1.57), joka kertoo, että jostähti säteilee (L > 0), se myös kuumenee (dEi/dt > 0). Valkoiselle kääpiölle tilanne onkuitenkin erilainen, koska elektronikaasun paine ei riipu lämpötilasta, ja tiheys muuttuuhyvin vähän. Jos tähti luhistuu, varastoituu vapautuva gravitaatioenergia lähes kokonaanelektronikaasuun, jonka Fermi-energia kasvaa. Tämä voidaan esittää valkoisen kääpiönviriaaliteoreemana

L ≈ −dEion

dt∝ −dT

dt, (8.1)

eli ionikaasun sisäisen energian muutos on valkoisen kääpiön luminositeetin lähde. Tämäantaa selityksen valkoisen kääpiön jäähtymismekanismille, joka johtaa mustan kääpiönsyntyyn. Valkoiselle kääpiölle, jonka ohut ulkokerros on radiatiivinen, jäähtyminen ta-pahtuu aikaskaalassa

τc ≈4.7× 107a

A

(

M/M⊙

L/L⊙

)5/7

, (8.2)

missä A on ionien massaluku.Kun valkoisen kääpiön sisäenergia putoaa tarpeeksi alas, ionit järjestäytyvät ja muo-

dostavat kidehilan, eli kiteytyvät. Kiteytymistä alkaa tapahtua, kun ionien sisäenergia,

112

Kuva 8.5: Kaaviokuva valkoisten kääpiöiden massa-säde relaatiosta Chandrasekharin teo-rian mukaan, olettaen, että paine aiheutuu ideaalisesta, degeneroituneesta elektronikaa-susta. Nuolet osoittavat suunnan, johon epästabiili konfiguraatio siirtyy, jos gravitaatiokasvaa suuremmaksi (nuolet alas) tai tulee pienemmäksi (nuolet ylös) kuin paineen gra-dientti. Korjauksia teoriaan tarvitaan sekä massan ylä- että alarajalla.; KW s. 369

Eion = 32kT , lähestyy niiden Coulombin energiaa, EC = (Ze)2/(4πε0rion), missä Z on

järjestysluku ja rion on ionien keskimääräinen etäisyys ja ε0 tyhjiön permittiivisyys, elisuhde

ΓC ≡ EC

Eion=

(Ze)2

6πε0krionT→ 1 (8.3)

Kiteytyminen tulee hallitsevaksi, kun ΓC ≈ 100, eli kun terminen energia on pudonnutsata kertaa pienemmäksi kuin Coulombin energia. Tästä voimme ratkaista faasitransi-tiota vastaavan lämpötilan Tm (alaindeksi viittaa kidehilan sulamiseen ‘melting’).

Kotitehtävä 25: Johda faasitransitiota vastaava lämpötila, Tm, ja arvioi senriippuvuutta valkoisen kääpiön kemiallisesta koostumuksesta (helium- vastaanhiili-happi -kääpiöt). Kuinka kauan kestää näiden tähtien jäähtyminen mustiksikääpiöiksi?

Chandrasekharin massa

Palataan jälleen polytrooppisiin malleihin valkoisten kääpiöiden rakenteen ymmärtämi-seksi; tämä on mahdollista siksi, että degeneroituneissa objekteissa termiset ja mekaani-set suureet ovat milteipä riippumattomia toisistaan. Kuten todettua jo aikaisemmin, ei-relativistisen degeneroituneen elektronikaasun tilayhtälö on polytrooppinen, polytroop-

113

pisen indeksin ollessa n = 3/2, ja polytrooppiselle vakiolle voidaan kirjoittaa yhtälö

K =1

20

(

3

π

)2/3 h2

me

1

(µemu)5/3

; (8.4)

Jos oletamme kemiallisen koostumuksen annetuksi, eli µe:n olevan vakio, on myös Kvakio.

Olkoon keskustan tiheys ρc, ja Lane-Emdenin yhtälöstä integroimalla saadaan θ(ξ)ja θ′(ξ). Emdenin muuttujissa tiheyttä edusti skaalattu muuttuja θ, ρ = ρcθ

n, ja sädettäξ = r

α , ja α:n määritelmästä saadaan(

r

ξ

)2

=1

4πG(n+ 1)Kρ

1−n

nc . (8.5)

Tähden pinta on kohdassa ξn, jossa tiheys, θ lähestyy nollaa, eli R = αξn, jolle täytyypäteä

R ∝ ρ1−n

2nc . (8.6)

Jos n > 1, nähdään, että säde pienenee, kun keskustan tiheys kasvaa. Kun tiheys onäärettömän suuri, saa säde arvon nolla. Massalle saadaan

M = C1ρ3−n

2nc ; C1 = 4π

(

−θ′

ξ

)

ξn

ξ3n

(

n+ 1

4πG

)3/2

K3/2. (8.7)

Eilminoimalla ρc kahdesta ylläolevasta yhtälöstä saadaan säteen riippuvuus massasta

R ∝M1−n

3−n , (8.8)

josta saadaan degeneroituneelle ei-relativistiselle elektronikaasulle relaatio

R ∝M−1/3; (8.9)

tämä on sangen hämmästyttävä tulos: mitä suurempi on tähden massa, sitä pienempi onsäde. Tähden säde siis kutistuu massan kasvaessa, kunnes äärettömän suurelle massalletähti olisi pelkkä piste. Kuitenkin paljon tätä ennen, tässä käytetty tilanyhtälö ei enääpäde, koska tiheyden aina vaan kasvaessa, elektronikaasu muuttuu relativistiseksi, japolytrooppi-indeksi lähestyy arvoa n = 3. Polytrooppinen vakio on eri, mutta edelleensitä voidaan pitää vakiona.

Valkoisen kääpiön voidaan ajatella koostuvan relativistisesta ytimestä, jonka tilanyh-tälö noudattaa polytrooppilakia indeksillä n = 3, kun taas ulko-osissa elektronikaasu onei-relativista vastaten tilanyhtälöä indeksillä n = 3/2. Tällaiselle konfiguraatiolle ytimenmassa on yhtälön (8.7) mukaan vakio,

M = C1 = 4π

(

−θ′

ξ

)

ξ3

ξ33

(

K

πG

)3/2

= vakio. (8.10)

Tämä on ainoa mahdollinen massa relativistiselle degeneroituneille polytroopeille, ja sitäkutsutaan Chandrasekharin massaksi. Kun relaatioon sijoitetaan Lane-Emden yhtälönintegroinnista saadut numeeriset arvot, voidaan massa kirjoittaa muodossa

MCh =5.836

µ2eM⊙. (8.11)

114

Kuva 8.6: Kaaviokuva neutronitähden mahdollisesta rakenteesta. Lähde: Robert Schulze.

Tämä tarkoittaa sitä, että keskustan tiheyden kasvaessa kohti ääretöntä, valkoisen kää-piön massa lähestyy tätä vakioarvoa, kun säde lähestyy nollaa. Tämä lopputila on fysi-kaalisesti epärealistinen, ja korjauksia tilanyhtälöön tarvitaan korkeissa tiheyksissä.

Kuvassa 8.5 esitetään valkoisten kääpiöiden massa-säde relaatio kaaviokuvan avulla.Käyrä esittää tasapainotilaa, jossa gravitaatiovoima tasapainottaa paineen gradientin.Jos gravitaatio tulee pienemmäksi kuin paineen gradientti, tähti laajenee, kunnes saa-vuttaa tasapainokäyrän. Vastaavasti, jos gravitaatio kasvaa suuremmaksi kuin paineengradientti, tähti kutistuu; jos massa on suurempi kuin MCh, tähti kutistuu joko neutro-nitähdeksi tai mustaksi aukoksi.

Kotitehtävä 26: Laske Chandrasekharin massa heliumista ja raskaammistaalkuaineista koostuvalle ionisoituneelle kaasulle. Mieti, onko tämä arvo suu-ri vai pieni verrattuna niiden tähtien massoihin, jotka luhistuvat valkoisiksikääpiöiksi?

8.2.2 Neutronitähdet

Neutronitähtien säde on noin 10 km, tiheys 1017 kg m−3, ja pakonopeus c/3. Niidenolemassaolo ennustettiin jo vuonna 1934; ensimmäinen pulsari, joka nopeasti tunnis-tettiin nopeasti pyöriväksi neutronitähdeksi, havaittiin vuonna 1967. Tänä päivänäkäänneutronitähden sisällä vallitsevaa tilanyhtälöä ei aivan varmasti tunneta, koska sen mää-rittämistä olennaisesti vaikeuttavat huonosti tunnetut ja hankalasti laskettavissa olevanneutronien väliset vuorovaikutukset, suprajohtavuus, sekä hyperonien muodostuminen.Täysin varmaa on vain se, että tilanyhtälö poikkeaa ideaalisen degeneroituneen neutro-nikaasun vastaavasta.

Jos tähden massa ylittää kehityksen loppuvaiheessa Chandrasekharin massan, senluhistuminen ei pääty valkoiseksi kääpiöksi, vaan se jatkaa luhistumistaan vielä pienem-pään kokoon ja suurempiin tiheyksiin (ks. Kuvan 8.5 MCh oikealla puolella oleva alue).

115

Kuva 8.7: Taiteilijan näkemys Cygnus X-1 kohteesta.

Yleisin neutronitähden syntyyn johtava tie ajatellaan olevan Tyypin II, Ib ja Ic super-novat, jotka ovat kaikista massiivisempien tähtien elinkaaren päätepisteitä. Kuten edelläjo kuvattiin, alkaa tähden ydin romahtaa, joka johtaa ulko-osien räjähtämiseen superno-vana. Ydin kuitenkin jatkaa luhistumistaan ulko-osien kohtalosta huolimatta, liikemää-rämomentin säilyessä; tämä johtaa siihen, että tähden pyörimisnopeus kasvaa huimiinarvoihin (taajuus 1... 1000 Hz). Näissä tähdissä havaitaan myös voimakkaita magneet-tikenttiä (1012G), jotka voidaan ainakin osittain ymmärtää luhistumisessa mukaanraa-hautuneen magneettikentän voimistumisena voimakkaassa kokoonpuristumisessa.

Neutronitähden lämpötila on aluksi hyvin korkea (1010K), mutta sillä on suuri neut-riinoluminositeetti, joka tehokkaasti jäähdyttää sitä. Sadan vuoden kuluttua lämpöti-lan voidaan olettaa tippuneen jo satakertaisesti. Tätä lämpötilaa voidaan pitää verrat-taen kylmänä (kT ≈ 10keV), koska relativististen täysin degeneroituneen neutronikaasuFermi-energia on huomattavasti paljon suurempi EF ≈ 1000MeV. Tiheyden kasvaessanouseva Fermi-energia aiheuttaa materian neutronisoitumista raskaiden ydinten siepa-tessa elektroneja ympäristöstään (ks. KW 135-136). Elektronit yhtyvät ytimissä proto-neihin muodostaen neutroneja. Tämä prosessi johtaa siis neutronirikkaiden isotooppiensyntyyn. Kun ytimet tulevat riittävän neutronirikkaiksi, ne alkavat vapauttaa neutroneja(neutron drip). Materia koostuu siis yleensä hilaan järjestäytyneistä ytimistä, ja vapaistaelektroneista ja neutroneista. Neutronien määrä kasvaa voimakkaasti tiheyden kasvaes-sa, joten ydintä lähestyttäessä neutronikaasun paine hallitsee tilannetta. Kun tiheys kas-vaa ydintä kohden mentäessä, ytimet lopulta koskevat toisiaan. Tällöin ne yhdistyvät jahajoavat, jättäen jälkeensä degeneroituneen neutronikaasun/nesteen. Tiheyden edelleenkasvaessa, neutronien Fermi-energia ylittää viimein pienimassaisten hyperonien lepomas-san, jolloin alkaa hyperonisaatio, joka saattaa johtaa jopa vapaiden kvarkkien syntyyn.

116

Kaaviokuva neutronitähden mahdollisesta rakenteesta on esitetty Kuvassa 8.6.

8.2.3 Mustat aukot

Jos tähden massa ylittää ns. Oppenheimer-Volkoff -massan, jonka suuruudelle on esitettyarvoja välillä 1.5 − 3M⊙, ei neutronitähti pysty paineellaan, eikä millään muullakaantunnetulla voiman vuorovaikutuksella, vastustamaan massansa gravitaatiovoimaa, vaanluhistuminen jatkuu, nykytietämyksen mukaan mustaksi aukoksi. Mustien aukkojen sädeon noin kilometri, ja pakonopeus niiden pinnalta on valonnopeus, minkä vuoksi niitä eivoi suoraan havaita. Epävarmuudet suuren tiheyden materian tilanyhtälössä johtavatsuuriin heittoihin Oppenheimer-Volkoff -massan määrityksessä.

Tähtien elinkaaren päätepisteenä syntyvien mustien aukkojen havaitsemiseen on käy-tännössä yksi mahdollinen keino: kaksoistähtijärjestelmässä syntyvä musta aukko voi-daan havaita, koska siihen putoaa ainetta ‘tavallisesta’ kumppanitähdestä, jos se täyttääRochen rajansa. Tällöin mustan aukon ymärille muodostuu kertymäkiekko, joiden par-tikkeleilla voi olla hyvin suuria nopeuksia, jolloin ne säteilevät voimakkaasti, tn. röntge-nalueella. Yksi esimerkki tällaisesta kohteesta on Joutsenen tähdistössä sijaitseva Cyg-X1-kohde (ks. Kuva 8.7), joka on nopeasti (0.001s) ja epäsäännöllisesti vaihteleva röntgen-lähde. Systeemi on ilmeisesti kaksoistähti, jonka näkyvä komponentti on 20–25M⊙ yli-jättiläinen, ja mustaksi aukoksi romahtanut kumppani 10–15M⊙ -massainen, säteeltäännoin sadan kilometrin kokoinen objekti.

117

118

Luku 9

Sykkivät tähdet

Muuttuvia tähtiä, s.o. tähtiä, joiden kirkkaus vaihtelee säännöllisesti, on tiedetty ole-van olemassa ammoisista ajoista asti. Se, että joidenkin tähtien säännölliset kirkkauden-vaihtelut johtuvat muutoksista tähden fysikaalisissa ominaisuuksissa, on tunnettu vainnoin 100 vuoden ajan, ja täsmälliset fysikaaliset mekanismit ilmiöiden takana vasta noin30 vuoden ajan. Jotkut kirkkaudenvaihtelut selittyvät luonnollisesti ja helposti kump-panin/kumppanien, tai magneettisen aktiivisuuden aiheuttamien isojen tähdenpilkku-jen, olemassaololla (jälkimmäistä ilmiötä käsitellään tarkemmin ‘Tähtien magneettinenaktiivisuus’–kurssilla). Ensin mainittu lähestymistapa johti kuitenkin jo varhain ongel-miin kefeidi–muuttujien prototyypin, δ Cepheii, tähden tapauksessa: kaikki yritykset se-littää tähden käyttäytyminen himmeän kumppanin olemassaololla johtivat absurdeihintuloksiin, ja ainoaksi mahdollisuudeksi jäi selittää kirkkaudenvaihtelu itse tähden syk-kimisellä, jonka yksityiskohtainen luonne paljastui vasta, kun tietokoneet valjastettiintähtimallien laskemiseen.

9.1 Radiaalisesti sykkivät tähdet

Tähtien sykkiminen voi tapahtua joko radiaalisesti, jolloin sykintä on pallosymmetristä,ja tähden säde muuttuu sykinnän vuoksi. Sykintä voi olla myös ei–radiaalista, kuten Au-ringosta olemme oppineet; klassiset muuttuvien tähtien luokat, kuten esimerkiksi kefeiditja RR Lyrae–tähdet, selittyvät radiaalisella sykinnällä, minkä teoriasta aloitamme.

9.1.1 Kefeidit ja epästabiilisuuskaista

Klassiset kefeidit, eli tyypin I kefeidit, sykkivät erittäin säännöllisillä periodeilla, joidenpituudet vaihtelevat päivistä kuukausiin. Kefeidien luminositeetin ja sykkimisperiodinvälillä on selvä korrelaatio (ks. Kuva 9.1), ns. periodi-luminositeetti -relaatio, minkä pe-rusteella näitä tähtiä käytetään standardikynttilöinä etäisyyksiä määritettäessä. Klassi-set kefeidit ovat keltaisia ylijättiläisiä, joiden spektriluokka on F6–K2, ja ne ovat noin4–20 kertaa Aurinkoa massiivisempia tähtiä. Sykinnän aikana niiden säteet voivat muut-tua jopa miljoonien kilometrien verran.

Tyypin II kefeidit, eli W Virginis tähdet, kuuluvat samoihin spektriluokkiin kuin klas-siset kefeidit, mutta ovat luminositeetiltaan huomattavasti himmeämpiä säännöllisestisykkiviä tähtiä. Tämän vuoksi niiden sijainti HR-diagrammassa on miltei pystysuoraan

119

Kuva 9.1: Erityyppisten kefeidien periodi–luminositeettirelaatio. Lähde:http://outreach.atnf.csiro.au/education/senior/astrophysics/variable_cepheids.html.

alaspäin klassisiin kefeideihin verrattuna. Nämä tähdet ovat vanhoja, Aurinkoa pieni-massaisempia tähtiä. RR Lyrae–tähdet ovat myös tyypin II kefeidien alaluokka; nämäovat W Virginis -tähtien tyyppisiä, mutta sykkimisperiodit ovat huomattavasti lyhyem-piä (ks. Kuva 9.1). Pääsarjastakin löytyy sykkiviä tähtiä, nimittäin kääpiökefeidien eli δScuti tähtien luokka. Näiden tähtien sykkimiseen uskotaan liittyvän myös ei–radiaalisiapulsaatioita.

Klassiset kefeidit ovat raskaita tähtiä, jotka jättiläisvaiheen aikana tekevät silmukka-maisia liikkeitä HR–diagrammassa. Tällöin ne tulevat ylittäneeksi useampaankin ottee-seen ns. HR–diagramman epästabiilisuuskaistan, joka on horisontaalisessa suunnassa mel-ko kapea (vain muutama sata K), Hayashi–käyrän suuntainen, kaista HR–diagrammassa(ks. Kuva 9.2), johon tarpeeksi pitkäksi ajaksi joutunut tähti alkaa sykkiä radiaalisesti.Epästabiilisuuskaista kulkee käytännössä ylijättiläisalueelta pääsarjaan asti.

Ensimmäinen kaistanylitys tapahtuu jättiläisvaiheen kokevilla tähdillä silloin, kun neensimmäistä kertaa lähestyvät jättiläishaaraa ytimen luhistuessa vetypolttoaineen loput-tua. Tämän vaiheen kesto on kuitenkin hyvin lyhyt (Hertzsprungin aukon ylitys tapah-tuu Kelvin–Helmholtz aikaskaalassa), mistä johtuen myös tämän kefeidivaiheen kesto onhyvin lyhyt, jos tähdet ylipäätään alkavat oskilloida. Toinen ja kolmas kaistanylitys, jot-ka tapahtuivat siis ytimen heliumpolton alettua ja sen lähestyessä loppuaan, tapahtuvatjonkin verran pidemmässä aikaskaalassa (joitakin kymmeniä miljoonia vuosia). Joiden-kin tähtimallien mukaan tähdet tekisivät vielä toisenkin silmukan HR–diagrammassa,mutta näiden silmukoiden olemassaolo on jokseenkin epävarmaa. On siis hyvin toden-näköistä, että tähdet alkavat sykkimään, ja havaitaan kefeideinä, juuri niiden polttaessaheliumia ytimessään.

Yllämainittujen tähtien sykkimisen aiheuttava epästabiilisuus johtuu ns. κ–mekanis-

120

Kuva 9.2: Epästabiilisuuskaistan skemaattinen sijainti HR–diagrammassa (kuva: RobinCiardullo).

mista, joka liittyy tähden opasiteetin paikalliseen muutokseen. Edellä olemme toistuvastiolettaneet, että opasiteetti pienenee, kun lämpötila kasvaa (ks. Kuva 17.6, KW s. 144).Paikallisesti tämä riippuvuus voi kuitenkin heiketä, ja muuttua jopa vastakkaiseksi. Esi-merkiksi vedyn ja heliumin ionisaatiokerroksissa opasiteetti paikallisesti kasvaa lämpöti-lan funktiona. Näiden alueiden, erikoisesti heliumin ionisaatiokerrosten, uskotaan olevanvastuussa kefeidien sykkimisestä.

Oletetaan nyt, että ionisaatiokerroksessa oleva kaasu kokee kokoonpuristavan häiriön.Tiheys ja lämpötila nousevat, ja opasiteetti reagoi ionisaatiokerroksessa kasvamalla. Täl-löin energiavuo kerroksen läpi pienenee, koska kaasu muuttuu säteilyä läpäisemättömäm-mäksi. Tämän vuoksi kerrokseen varastoituu ylimäärä lämpöenergiaa, jonka vuoksi ker-ros pyrkii jäähtymään laajentumalla. Tällöin kerroksen opasiteetti pienenee, joka johtaataas kokoonpuristumiseen. Eri alkuaineiden ionisaatiokerrokset ovat epästabiileja tällai-selle oskillaatiolle, jonka amplitudi alkaa kasvaa. Tämä mekanismi voi toimia vai, joskerros on radiatiivinen. Konvektio tappaa tehokkasti κ–pulsaatiot. Samoin, oikein kuu-missa tähdissä ionisaatiokerrosten tiheys on liian pieni, jotta destabiloivat efektit olisivatmerkittäviä.

9.2 Ei–radiaalisesti sykkivät tähdet

Olisi hyvin erikoista, jos tähdet sykkisivät täysin pallosymmetrisesti, koska periaattees-sa niillä on valittavana kaikki vapausasteet kolmessa ulottuvuudessa. Kaikista parhaitentunnettu ei-radiaalinen sykkijä on Aurinko, joka on ainoa tähti, jota on tähän mennes-sä pystytty tarkasti kartoittamaan helioseismologisin menetelmin. Asteroseismologia onalkanut muuttamaan tilannetta (esim. Kepler ja CoRoT-satelliitit).

121

Kuva 9.3: Visualisaatio p-moodi oskillaatioista pallomaisessa kappaleessa (kuva: R. Nils-son, Lund Observatory).

9.2.1 Yleinen teoria

Lähdetään liikkeelle tähtien rakenteen mekaanisista yhtälöistä adiabaattisessa tilantees-sa. Oletetaan, että systeemin tilaa kuvaa ratkaisu ρ, P , u ja Φ, johon nyt aiheutetaanpieniä häiriöitä, ρ′, P ′, u′ ja Φ′. Yleensä tähtien tapauksessa häiriöt, merkitään niitäyleisesti q:lla, esitetään harmonisten funktioiden avulla pallokoordinaatistossa, eli

q(r, θ, φ, t) = q(r)Y ml (θ, φ)eiωt, (9.1)

missä l on kertaluku ja m on aste (ks. Kuva 9.4). Pallosymmetristä tapausta, eli radiaali-sia oskillaatioita, edustaa tapaus l = m = 0. Linearisoimalla yhtälöt, voidaan ω:n suhteenjohtaa neljännen asteen dispersiorelaatio, jonka ratkaisuna saadaan ominaisarvot, jotkamääräävät lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisut; menetelmät ja teoria esitellään pohjamu-tia myöten Magnetohydrodynamiikka–kurssilla. Ei–adiabaattiselle tapaukselle tuloksenaolisi 12. kertaluvun ominaisarvo-ongelma.

Neljännen asteen dispersiorelaatiosta voidaan ensin ratkaista juuret ω2, joiden voi-daan kaikkien osoittaa olevan reaalisia. Tällöin kaikki positiiviset ratkaisut, ω2 > 0, ωreaalinen, antavat oskilloivan ratkaisun, ja kaikki negatiiviset ω2 < 0, ω imaginäärinen,ajassa kasvavan epästabiilin ratkaisun. Tähtien sykkimistä kuvaavat luonnollisestikin po-sitiiviset reaaliset ominaisarvot.

Jos sykkimistaajuus, ω, on suuri, oskillaatiot aiheutuvat ääniaalloista, jotka etenevätväliaineessa äänennopeudella cs =

√

γadP/ρ. Näita oskillaatioita kutsutaan p–moodeiksi,mikä nimitys aiheutuu siitä, että aallot välittyvät suurimmaksi osaksi muuttuvan paineen

122

Kuva 9.4: Eri kertaluokan ja asteen harmonisia funktioita pallokoordinaatistossa. Sa-rakkeet: m saa arvot 0, ..., 5 ylhäältä alas. Rivit: l saa arvot 0, ..., 5 oikealta vasemmalle(kuva: Svetlana Panasyuk).

muodossa. Ääniaallot ovat kaikki stabiileja, eli niitä kuvaavat ominaisarvot ovat kaikkireaalisia. p–moodeja on äärettömän suuri, diskreeteistä taajuuksista, koostuva joukko,ja suurin osa niistä keskittyy alueelle, jossa ω lähestyy ääretöntä. Auringon pinnalla p–moodit nähdään värähtelynä, joka vastaa noin viiden minuutin periodia. Itse asiassa jo1970–luvulta on havaittu näiden oskillaatioiden koostuvan useista diskreeteistä taajuuk-sista 2–15 minuutin periodeilla.

Pienillä sykkimistaajuuksilla löydetään jälleen ääretön määrä diskreettejä ominai-sarvoja, mutta nämä moodit akkumuloituvat ω2 → 0 läheisyyteen. Näitä värähtelyjähallitsee gravitaatiovoima, ja sen vuoksi niitä kutsutaan g–moodeiksi. Kaikki g–mooditeivät ole stabiileja, vaan niillä voi olla myös imaginäärisiä ominaisarvoja. Jos tähti onkokonaan konvektiivisesti stabiili, ovat kaikki g–moodit stabiileja; stabiileja g–moodejakutsutaan usein g+–moodeiksi. Konvektiivisesti epästabiilissa alueessa myöskään kaikkig–moodit eivät ole stabiileja, vaan esiintyy epästabiileja g−–moodeja.

Periaatteessa kaikki eri moodit esiintyvät tähdissä yhtäaikaisesti, ja näiden lisäksivielä ns. f–moodi (fundamental), jolla ei ole yhtään solmukohtaa pinnan ja pohjan välil-lä, muistuttaen siten puhtaasti radiaalisia moodeja. Eritaajuksiset aallot etenevät myöseri nopeuksilla, mikä käytännössä määrää sen, missä kohtaa tähteä mikäkin moodi voiesiintyä. Ääniaalloille ω ≥ ω0 ≡ 1

2csdlnρ/dr, gravitaatioaalloille ω ≤ ωad, joille päteeω0 > ωad. Kuvassa 9.5 alue ‘A’ viittaa alueeseen, jossa ääniaallot voivat esiintyä, elitähden pintakerroksissa, ja ‘G’ tähtien sisäosiin, missä gravitaatioaallot voivat edetä.

123

Kuva 9.5: Vasemmalla: dimensioton värähtelytaajuus σ2 (analoginen ω2:n kanssa, muttayksikötön) tähden säteen funktiona polytrooppiselle mallille, jolle n = 3. Diagrammassaesitetään oskillaatiot, joiden aste on l = 2; alueessa ‘G’ gravitaatioaallot ja alueessa‘A’ ääniaallot voivat edetä. Katkoviivat osoittavat eri moodien ominaisarvot ja mustatpallot moodien solmukohtien paikat. KW s. 424. Oikealla: Skemaattinen kuva Auringonoskillaatioista. Lähde: GONG-verkkosivut

Auringon lisäksi useiden eri muuttujaryhmien uskotaan kuuluvan ei–radiaalisiin os-killaattoreihin. Yleensä epäilys sykkimisen ei–radiaalisesta luonteesta perustuu siihen,että sykintä on näennäisesti epäsäännöllistä, koska sykkimisperiodeja voi olla useita, taisiihen, että havaittu sykkimisperiodi poikkeaa odotetusta radiaalisesta moodista. Kai-kista ‘varmimmin’ ei–radiaalisiksi sykkijöiksi on tunnistettu ns. ZZ Ceti–tähdet, jotkaovat sykkiviä valkoisia kääpiöitä, joiden periodit ovat suuruusluokaltaan 100–1000 se-kuntia, ja selittyvät parhaiten g+–moodeilla. Näillä tähdillä oskillaatiot aiheutuvat κ–mekanismista hyvin lähellä pintaa olevissa ionisaatiokerroksissa; viritetyt g–moodit jää-vät loukkuun hyvin kapeisiin vetyrikkaisiin pintakerroksiin.

Myös β Cephei–muuttujien uskotaan kuuluvan ei–radiaalisiin sykkijöihin. Nämä täh-det ovat massiivisia (7–20M⊙) pääsarjatähtiä, joilla havaitaan tuntien suuruusluokanlyhytperiodisia kirkkaudenvaihteluita. Myös α Cygni–ylijättiläistähtien jokseenkin epä-säännölliset, suuruusluokaltaan viikkojen periodiset kirkkaudenvaihtelut liitetään ei–radi-aalisiin moodeihin. Kuten jo edellä mainittu, myös δ Scuti–muuttujien valokäyrät antavataihetta epäillä, että osa kirkkaudenvaihteluista johtuisi ei-radiaalisesta sykinnästä.

124

Kaavakokoelma

Vakio Kerroin 10x Yksikkö (SI)Auringon massa M⊙ 1.99 30 kgAuringon säde R⊙ 6.96 8 mAuringon luminositeetti L⊙ 3.84 26 Js−1

Gravitaatiovakio G 6.67 -11 Nm2kg−2

Yleinen kaasuvakio R 8.32 3 JK−1kg−1

Säteilytiheysvakio a 7.57 -16 Jm−3K−4

Valon nopeus c 3.00 8 ms−1

Planckin vakio h 6.63 -34 JsBoltzmannin vakio k 1.38 -23 JK−1

Stefan-Boltzmannin vakio σ 5.67 -8 Wm−2K−4

Tyhjiön permittiivisyys ε0 8.85 -12 AsV−1m−1

Tärkeitä termodynaamisia kaavoja

Rµ

= cP − cv (9.2)

γ =cPcv

(9.3)

e = cvT (9.4)

dq = de+ PdV = cPdT − δ

ρdP (9.5)

Energiankuljetus:

∇ad ≡(

∂lnT

∂lnP

)

S

=δP

ρTcP(9.6)

∇rad ≡(

∂lnT

∂lnP

)

rad

=3

16πacG

κlP

mT 4(9.7)

1

κ=

π

acT 3

∫

∞

0

1

κν

∂B

∂Tdν (9.8)

HP = − dr

dlnP(9.9)

∇rad < ∇ad +ϕ

δ∇µ (9.10)

x = ∇−∇ad (9.11)

L = 4πσR2T 4eff (9.12)

125

Tähtien rakenteen perusyhtälöt

∂r

∂m=

1

4πr2ρ, (9.13)

∂P

∂m= − Gm

4πr4− 1

4πr2d2r

dt2, (9.14)

∂l

∂m= εn − cp

∂T

∂t+δ

ρ

∂P

∂t, (9.15)

∂T

∂m= − GmT

4πr4P∇, (9.16)

∂Xi

∂t=

mi

ρ[Σjrji − Σkrik] , i = 1, ..., I. (9.17)

Gravitaatioenergia:

Eg ≡ −∫ M

0

Gm

rdm. (9.18)

Viriaaliteoreema:Ei–degeneroitunut ideaalikaasu:

L = −(

dEi

dt+dEg

dt

)

= −1

2

dEg

dt=dEi

dt. (9.19)

Degeneroitunut ideaalikaasu:

L ≈ −dEion

dt∝ −dT

dt. (9.20)

Aikaskaaloja:Vapaan putoamisen aikaskaala:

τff =

√

3π

32Gρ(9.21)

Hydrostaattinen aikaskaala:

τhydr =

√

R3

GM(9.22)

Kelvin–Helmholtz aikaskaala:

τKH =GM2

2RL(9.23)

Ydinaikaskaala:

τn =En

L≈ fMc2

L(9.24)

Energiantuotanto:pp–ketju:

εpp = 2.6× 10−37X2ρT 4.5 J s−1 kg−1 (9.25)

126

CNO–sykli:

εCNO = 7.9× 10−118XZρT 16 J s−1 kg−1 . (9.26)

SI– ja cgs–yksikköjärjestelmien väliset muunnoskaavat

Suure SI-yksikkö cgs-yksikkö MuunnosPerusyksiköt:Pituus m cm 1cm=10−2mAika s s -Massa kg g 1g=10−3kgJohdannaisyksiköt:Energia J erg 1erg=10−7JVoima N dyn 1dyn=10−5N

Laplace-operaattori pallokoordinaatistossa (r, θ, ϕ)

∇2f =1

r2∂

∂r

(

r2∂f

∂r

)

+1

r2 sin θ

∂

∂θ

(

sin θ∂f

∂θ+

1

r2 sin2 θ

∂2f

∂ϕ2

)

(9.27)

Osittaisintegrointi määrätylle integraalille

∫ b

au′(x)v(x)dx = |bau(x)v(x)−

∫ b

au(x)v′(x)dx (9.28)

127