(540498180) Pandeo Torsional y Flexotorsional

CAPITULO 6

MIEMBROS SUJETOS A COMPRESION AXIAL

6.1 COMENTARIOS GENERALES

Un miembro est sujeto a compresin axial pura si la resultante de cargas de compresin transmitidas a dicho miembro es coincidente con la ubicacin y direccin de su eje centroidal. Si esta condicin no se cumple se presentan excentricidades de carga que generan combinacin de flexin y compresin axial. En estructuras de acero es difcil encontrar miembros sujetos a compresin axial pura, ya que aun las conexiones entre miembros diseadas para transmitir solo cargas, sin momentos flexionantes, no se prestan normalmente a que la transmisin de carga sea a travs sus centroides. Sin embargo, cuando las excentricidades son pequeas, se puede asumir que la flexin es despreciable y disear el miembro asumiendo compresin axial pura.

Es ya una costumbre generalizada el llamar columna a todos los miembros verticales de las estucturas, independientemente de que en muchos ocasiones dichos miembros estn en realidad sujetos a compresin axial en combinacin con otros efectos de carga. Sin embargo, por razones prcticas, en este captulo se le llamar columna a los miembros sujetos a cargas externas que generan solo compresin axial pura, independientemente de su orientacin (vertical, horizontal o inclinada) en la estructura.

Los perfiles laminados en fro de cualquier configuracin pueden ser usados como columnas. Pueden formarse con elementos atiesados (Fig. 6.1a), elementos no atiesados (Fig. 6.1b), o una combinacin de elementos atiesados y no atiesados (Fig. 6.1c). Otras configuraciones no usuales y las secciones cilndricas tambin son usadas con frecuencia.

Fig. 6.1 Tipos de miembros a compresin(1). (a) Miembros compuestos de solo elementos atiesados; (b) Miembros compuestos de solo elementos no atiesados; (c) Miembros compuestos de elementos atiesados y no atiesados.

Cabe aclarar que aunque las cargas externas generen inicialmente solo compresin axial pura en la columna, si se presentan problemas de falla por inestabilidad debido al pandeo, se pueden generar esfuerzos adicionales de flexin debidos a la deformacin de pandeo y de torsin si el centroide no coincide con el centro de cortante. As mismo, debido a que las secciones laminadas en fro estn compuestas de material delgado, tambin se puede presentar pandeo local. Por lo tanto, en el diseo de columnas, se deben considerar los siguientes estados lmites de falla, dependiendo de la configuracin de la seccin, su espesor y la longitud de la columna:

1. Fluencia de la seccin.2. Pandeo global de la columna:a. Pandeo por flexin: flexin con respecto a un eje principal.b. Pandeo torsional: torsin con respecto al centro de cortante. c. Pandeo flexotorsionante: flexin y torsin simultnea.3. Pandeo local de elementos individuales.

El AISI han incluido desde sus primeras publicaciones especificaciones de diseo para pandeo global por flexin y para pandeo local. Las especificaciones para pandeo flexotorsional fueron incorporadas por primera vez en 1968. Desde la Edicin 1986 de las especificaciones del AISI, el diseo de columnas esta basado en el criterio conocido como concepto unificado. Este concepto consiste en los siguiente pasos para el diseo de columnas:

1. Calcular el esfuerzo elstico de pandeo (debido a flexin, torsin o flexotorsin).2. Determinar el esfuerzo nominal de falla (pandeo elstico, pandeo inelstico o fluencia).3. Calcular la carga nominal basada en el esfuerzo de falla gobernante y el rea efectiva.4. Determinar la carga de diseo a partir de la carga nominal y el factor de seguridad o de resistencia especificado, dependiendo del mtodo de diseo considerado (ASD o LRFD).

Las ecuaciones de diseo para columnas dependen del estado lmite de falla gobernante. Por consiguiente, es de gran importancia el conocer en detalle la fundamentacin terica y experimental en que se basa cada estado lmite. A continuacin se presenta dicha fundamentacin.

6.2 FLUENCIA

Es un hecho plenamente conocido que las columnas cortas y compactas sujetas a carga axial pueden fallar por fluencia. Para este caso, la resistencia por fluencia es,

244

Py Ag Fy

(6.1)

donde Ag = rea bruta de la seccin de la columna.Fy = fluencia del acero.

6.3 PANDEO POR FLEXION

6.3.1 Pandeo Elstico

Una columna esbelta sujeta a compresin axial puede fallar por pandeo global a flexin si la seccin de la columna es de simetra doble (seccin I), de seccin cerrada (tubular rectangular o cuadrado), de seccin cilndrica o de seccin con simetra con respecto a un punto (seccin Z o en cruz). Para secciones con simetra simple, el pandeo por flexin es solo uno de los posibles modos de pandeo como se discutir en el Art. 6.4.2. Si la columna tiene una seccin diferente a las mencionadas anteriormente, pero conectada a otras partes de la estructura, como a una lmina de muro o cubierta, la columna puede tambin fallar por pandeo a flexin (para otros posibles modos de pandeo consultar el Art. 6.4).

La carga crtica de pandeo elstico para una columna esbelta puede ser determinada de la ecuacin de Euler:

(Pcr ) e

p 2 EI(KL) 2

(6.2)

donde (Pcr)e = carga de pandeo elstico de Euler.E = mdulo de elasticidadI = momento de inerciaL = longitud de la columnaK = factor de longitud efectiva

Substituyendo I = Ar2 en la Ec. (6.2), la siguiente ecuacin del esfuerzo crtico de Euler puede ser obtenida para el pandeo elstico de la columna:

(Fcr ) e

p 2 E(KL / r ) 2

(6.3)

donde KL/r es la relacin de esbeltez efectiva y r es el radio de giro menor de la seccin.

La Ec. (6.3) se muestra grficamente en la curva A de la Fig. 6.2, la cual es aplicable a una columna ideal hecha de acero con fluencia pronunciada con las caractersticas esfuerzo- deformacin ilustradas en la Fig, 2.1a, sin considerar los efectos de esfuerzos residuales y del laminado en fro. Debido a que una gran cantidad de elementos estructurales laminados en fro estn formados con acero de fluencia gradual, como se muestra en la Fig. 2.1b, y el proceso del laminado en fro tiende a reducir el lmite de proporcionalidad (ver Art. 2.7), la Ec. (6.3) no ser apropiada para columnas hechas con acero de fluencia gradual con relaciones de esbeltez pequeas y moderadas. Esto se debe a que cuando el esfuerzo es mayor que el lmite de proporcionalidad, la columna generalmente se pandear en el rango inelstico.

Fig. 6.2 Comportamiento al pandeo de columnas(1)

6.3.2 Pandeo Inelstico

Se han usado dos mtodos en el pasado para determinar la resistencia nominal de columnas sujetas a pandeo inelstico por flexin. Estos son el mtodo del mdulo tangencial y el mtodo del mdulo reducido.

El mtodo del mdulo tangencial fue propuesto por Engesser en 1889. En base en este mtodo la carga crtica del mdulo tangencial est dada por:

(Pcr )T

2

p E I t ( KL) 2

(6.4)

y el esfuerzo crtico de pandeo por:

(Fcr )T

2

p E t (KL / r) 2

(6.5)

donde Et es el mdulo tangencial.

En 1895 Jasinky encontr que el concepto del mdulo tangencial no consideraba el efecto de descarga elstica. Este efecto se presenta al ocurrir el pandeo por flexin, ya que los esfuerzos de

tensin inducidos por dicha flexin reducen o contrarestan los esfuerzos de compresin debidos a la carga axial. Por consiguiente, aun cuando en la zona de compresin por flexin la suma de esfuerzos exceda al valor del lmite de proporcionalidad y su comportamiento est regido por Et, la zona de tensin por flexin podr estar aun en el rango elstico y regida por E. Engesser posteriormente corrigi su teora y desarroll el concepto del mdulo reducido o mdulo doble, donde:

p 2 E I(Pcr ) R

r (KL) 2

y el esfuerzo crtico de pandeo es

(Fcr ) R

2

p E r (KL / r) 2

(6.6)

donde Er = mdulo reducido = E(I1/I) + Et(I2/I)I1 = momento de inercia del rea del lado de descarga despus del pandeo.I2 = momento de inercia del rea del lado de carga despus del pandeo.

Prevaleci por cerca de 50 aos una confusin entre los investigadores e ingenieros con respecto a estos dos conceptos para la determinacin de la resistencia de columnas, ya que predecan dos diferentes resistencias para una misma columna, hasta que Shanley concluy que:

1. El concepto del mdulo tangencial proporciona la carga mxima a partir de la cual una columna inicialmente recta permanece recta, es decir, sin deformacin lateral que pueda generar esfuerzos por flexin.2. La carga mxima real excede la carga del mdulo tangencial, pero nunca excede a la carga del mdulo reducido.

Muchos otros investigadores han demostrado las conclusiones de Shanley y han indicado para los casos considerados en sus estudios que la carga mxima real es mayor en un 5% a la carga del mdulo tangencial.

En base al hecho de que la resistencia calculada por el concepto del mdulo tangencial provee una excelente prediccin (aunque ligeramente conservadora) de la resistencia real de la columna, el Consejo de Investigacin de la Estabilidad Estructural (Structural Stability Research Council o SSRC) ha sugerido que las ecuaciones de diseo de columnas de acero sean basadas en dicho concepto. Por esta razn, siempre que el esfuerzo calculado de Euler exceda al lmite de proporcionalidad, el mdulo tangencial deber usarse para calcular el esfuerzo de pandeo.

El mdulo tangencial puede determinarse a partir del Memorandum Tcnico No. 2 del SSRC Apuntes de las Pruebas a Compresin en Metales. Sin embargo, es prcticamente imposible proveer curvas esfuerzo-deformacin y valores del mdulo tangente para todos los tipos de acero, en particular cuando los efectos del laminado en fro son considerados. Para el diseo de perfiles laminados en caliente, el SSRC ha concluido que la Ec. (6.5) puede ser aproximada conservadoramente por la siguiente expresin, si el efecto de los esfuerzos residuales es considerado y el lmite de proporcionalidad efectivo es asumido igual al 50% del esfuerzo de fluencia:

(Fcr ) I

Fy 1

Fy 4s e

2

F2F y KLy 4p 2 E r

(6.7)

donde Fy es el esfuerzo de fluencia mnimo y (Fcr)I es el esfuerzo crtico de pandeo inelstico. La ecuacin anterior tambin puede usarse para perfiles laminados en fro si los esfuerzos residuales inducidos por el laminado en fro de la seccin y las caractersticas esfuerzo-deformacin del acero de fluencia gradual son consideradas.

La Ec. (6.7) tambin puede ser expresada de la siguiente manera:

(Fcr ) I

l2 c1 Fy4

(6.8)

donde lc es el parmetro de esbeltez de la columna dado por:

cl Fys e

KL Fyrp E

(6.9)

yComo se muestra en la Fig. 6.2, el valor de (2p2E/F )1/2 es el valor lmite de KL/r correspondiente a un esfuerzo de 0.50Fy. Cuando KL/r es mayor que este valor lmite, se asume que la columna ser gobernada por pandeo elstico y cuando KL/r es menor que dicho valor lmite, se asume que la columna es gobernada por pandeo inelstico. Los factores de seguridad y de resistencia para el diseo de columnas se discuten en el Art. 6.7.

6.3.3 Resistencia Nominal Axial para Columnas Localmente Estables

Si los componentes individuales de un miembro a compresin tienen relaciones w/t pequeas, el pandeo local no ocurrir antes de que el esfuerzo de compresin alcance el esfuerzo de pandeo global de la columna o el esfuerzo de fluencia. Por consiguiente, la resistencia nominal axial puede ser determinada por la siguiente ecuacin:

Pn Ag Fcr

(6.10)

donde Pn = resistencia nominal axial Fcr = esfuerzo crtico de pandeo Ag = rea bruta de la seccin

6.3.4 Resistencia Nominal Axial para Columna Localmente Inestables

Para los miembros a compresin de acero laminado en fro con relaciones w/t grandes, el pandeo local de los componentes individuales puede ocurrir antes que la carga aplicada alcance la resistencia nominal axial dada por la Ec. (6.10). El efecto de interaccin entre el pandeo local y global de la columna puede resultar en la reduccin de la resistencia global de la columna.

En las Ediciones 1946 a 1986 de las Especificaciones del AISI, el efecto del pandeo local sobre la resistencia de la columna fue considerado mediante el uso del factor de forma Q en la determinacin del esfuerzo permisible. Aunque el factor de forma Q fue usado con xito para el diseo de miembros a compresin de acero laminado en fro, diversas investigaciones realizadas han demostrado que este mtodo puede ser mejorado. En base a los resultados de pruebas de carga y estudios analticos y el desarrollo del concepto unificado de diseo para perfiles laminados en fro, el mtodo del factor Q fue eliminado en la Edicin 1986 del AISI. Para reflejar el efecto del pandeo local en la reduccin de la resistencia de la columna, la resistencia nominal axial se determina con el esfuerzo crtico de pandeo de la columna y el rea efectiva, Ae, en lugar del rea total de la seccin. Cuando Ae no puede ser calculada, como cuando el miembro a compresin tiene dimensiones o geometra fuera del rango aplicacin de las Especificaciones del AISI, Ae puede ser determinada experimentalmente usando los procedimientos establecidos en la Parte VII

del Manual de Diseo del AISI 1996. Por consiguiente, la resistencia nominal axial de miembros a compresin de acero laminado en fro puede ser determinada mediante la siguiente ecuacin:

Pn Ae Fcr

(6.11)

donde Fcr es el esfuerzo de pandeo elstico o inelstico, el que sea aplicable, y Ae es el rea efectiva bajo Fcr.

El AISI 1986 estableci una excepcin a la aplicacin de la Ec. (6.11) para las secciones C, Z y angulares con patines no atiesados. Para estos casos, la resistencia nominal axial estaba tambin limitada por la resistencia nominal determinada por la siguiente ecuacin, la cual esta basada en el esfuerzo de pandeo local de un elemento no atiesado y el rea total de la seccin:

Ap 2 E Pn25.7(w / t) 2

(6.12)

La Ec. (6.12) fue incluida en la Seccin C4(b) del AISI 1986 cuando el concepto unificado fue adoptado. Sin embargo, investigaciones realizadas en la dcada de 1980-90 indicaron que las especificaciones de la Seccin C4(b) del AISI 1986 generaban resultados excesivamente conservadores. Esta conclusin, basada en estudios analticos, fue confirmada por los resultados de pruebas experimentales. En consecuencia, la Seccin C4(b) fue eliminada en el AISI 1996.

En el AISI 1996 las ecuaciones de diseo para calcular los esfuerzos de pandeo elstico e inelstico fueron modificadas y se adoptaron las mismas ecuaciones de diseo usadas por las Especificaciones LRFD del AISC 1993. Dichas ecuaciones estn incluidas en la Seccin C4(a) del AISI 1996 y se expresan a continuacin:

1. Para lc 1.5,

Fn (0.658

l2 c

)Fy

(6.13)

2. Para lc > 1.5,

F 0.877 F

yl2 c

(6.14)

donde Fn es el esfuerzo nominal de pandeo por flexin, el cual puede ser debido a pandeo elstico,1/2dependiendo del valor del parmetro de esbeltez de la columna lc = (Fy/Fe)

, y Fe es el esfuerzode pandeo elstico por flexin, torsin o flexotorsin, el que sea menor. Por consiguiente, laecuacin para determinar la resistencia nominal axial puede ser expresada como:

nPn Ae Fn

(6.15)

Las ventajas principales del uso de las Ecs. (6.13) y (6.14) para el clculo la resistencia nominal de compresin axial, Fn, son :

1. Las ecuaciones estn basadas en un modelo de resistencia que se ha demostrado que es mas preciso por investigaciones recientes.

2. Las ecuaciones representan la resistencia nominal mxima considerando los efectos de deformaciones iniciales de la columna y se ajustan mejor a los resultados de pruebas de carga.

Antes del AISI 1996, los efectos de las deformaciones iniciales se consideraban solo en el factor de seguridad, por lo que al ignorar el efecto en las ecuaciones de diseo, las ecuaciones de diseo predecan una resistencia nominal mayor a la obtenida en pruebas de carga. Por ejemplo, las

resistencias nominales predichas por las Ecs. (6.13) y (6.14) sern menores a las predichas por las Ecs. (6.3) y (6.7), respectivamente. Sin embargo, el factor de seguridad del AISI 1996 puede ser reducido para todos los valores de c, ya que dicho factor no requiere considerar ya los efectos de las deformaciones iniciales. Usando los factores de seguridad y de resistencia adecuados, los resultados de los diseos obtenidos por los Mtodos de ASD y LRFD sern aproximadamente los mismos para una relacin de carga viva a carga muerta de 5.0.

Las ecuaciones de diseo del AISI para el Mtodo ASD (AISI 1986), para el Mtodo LRFD (AISI1991) y las especificaciones combinada ASD/LRFD (AISI 1996) se comparan en las Figs. 6.3 a 6.5. La Fig. 6.3 muestra que las ecuaciones de diseo del AISI 1996 predicen resistencias nominales menores a las del AISI 1986 y 1991. Debido al uso de un factor de seguridad relativamente menor en el AISI 1996, se puede observar en la Fig. 6.4 que la resistencia de diseo incrementa para columnas delgadas con un valor pequeo del parmetro de esbeltez y se reduce para valores grandes de dicho parmetro. Sin embargo, la diferencia ser menor que 10%. Para el Mtodo LRFD, la diferencia de la prediccin de resistencia nominal axial dada por la ecuaciones de diseo del AISI 1991 y 1996 se muestra en la Fig. 6.5.

Fig 6.3 Comparativos entre ecuaciones de diseo para pandeo crtico(4)

6.4 PANDEO TORSIONAL Y FLEXOTORSIONAL

Usualmente las secciones cerradas no se pandean por torsin debido a su alta rigidez torsionante. Sin embargo, en el anlisis de la estabilidad de secciones abiertas de pared delgada se deben contemplar tres modos de falla posibles (pandeo por flexin, por torsin y por flexotorsin).

Cuando una columna de seccin abierta se pandea por flexotorsin, la flexin y torsin de la seccin ocurren simultneamente [ver Fig. 6.6(a)]. Como consecuencia, la seccin se desplaza un valor u y v en las direcciones x y y, respectivamente, y gira un ngulo f con respecto al centro de cortante, como se muestra en la Fig. 6.6(b).

Fig. 6.4 Comparativo entre ecuaciones de diseo para el Mtodo ASD(4)

Fig. 6.5 Comparativo entre ecuaciones de diseo para el Mtodo LRFD(4)

(a) (b)

Fig. 6.6 Pandeo latero-torsional bajo compresin axial de un perfil de seccin abierta. (a) Perfil C(4); (b) Historial de desplazamiento de una seccin no simtrica durante el pandeo latero-torsional(1).

Las ecuaciones de equilibrio de una columna sujeta a una carga axial P conllevan a las siguientes ecuaciones diferenciales:

ivEI x v Pviv

Pxof 0

(6.16)EI y u

Pu Pyof 0

(6.17)

fwEC iv

o(GJ

Pr 2 )f

Pyo u

Pxo v 0

(6.18)

dondeIx Iy u= momento de inercia con respecto al eje x= momento de inercia con respecto al eje y= desplazamiento lateral en la direccin xv= desplazamiento lateral en la direccin yf= ngulo de rotacinxoyoE= coordenada en x del centro de cortante.= coordenada en y del centro de cortante.= mdulo de elasticidadG= mdulo de cortanteJ= constante de torsin de St. Venant dada por JI i tiCw ECw GJ= contante de alabeo por torsin de la seccin= rigidez de alabeo= rigidez torsionante3

r0 = radio de giro polar con respecto al centro de cortante, dado por

2r2x2y2ro rx y o orx, ry = radios de giro de la seccin con respecto a los ejes x y y.

Todas las derivadas son con respecto a z, la direccin del eje longitudinal del miembro.

Considerando las condiciones de frontera de un miembro con extremos completamente fijos, en z = 0, L,se obtiene:

u v f 0u v f 0

(6.19)

y para un miembro con extremos articulados, en z = 0, L, se obtiene:

u v f 0u v f 0

(6.20)

Aplicando estas condiciones de frontera a las Ecs. (6.16) a (6.18) se obtiene la siguiente ecuacin caracterstica:

r 2 (P

P )(P

P )(P

P ) P

2 y 2 (P

P ) P

2 x 2 (P

P ) 0

(6.21)o cr

x cr

y cr z

cr o cr x

cr o cr y

p EI2 x donde Px = carga de pandeo por flexin de Euler con respecto al eje x =

2(K x Lx )

(6.22)

yp 2 EIPy = carga de pandeo por flexin de Euler con respecto al eje y =

2(K y L y )

(6.23)

Pz = carga de pandeo por torsin con respecto al eje z

p EC2 1= w GJ(K L ) 2 r 2

(6.24)t t o

KL = longitud efectiva de la columna; en teora, para extremos articulados K = 1 y para extremos fijos K = 0.5.

El modo de pandeo de la columna puede ser determinado por la Ec. (6.21). La carga crtica de pandeo es el valor menor de las tres races de Pcr. A continuacin se presentan las ecuaciones para determinar la carga crtica de pandeo para varios tipos de secciones.

6.4.1 Secciones con Simetra Doble

Para secciones con simetra doble, como las secciones I o en cruz, el centro de cortante coincide con el centroide de la seccin (ver Fig. 6.7), esto es xo = yo = 0. Para este caso, la ecuacin caracterstica [Ec. (6.21)] se reduce a:

(Pcr

Px )(Pcr

Py )(Pcr

Pz ) 0

(6.25)

La carga crtica de pandeo es el valor menor de las siguientes tres soluciones:

(Pcr )1 Px (Pcr ) 2 Py (Pcr )3 Pz

(6.26) (6.27) (6.28)

Fig. 6.7 Perfiles con simetra doble(1)

Una inspeccin de estas soluciones posibles de la carga crtica de pandeo indica que para secciones con simetra doble, la columna falla ya sea por flexin pura o por torsin pura, dependiendo de la longitud de la columna y la configuracin de la seccin. Usualmente los miembros a compresin se dimensionan para que no estn sujetos a pandeo torsional. Sin embargo, si el diseador desea evaluar el esfuerzo de pandeo torsional st, la siguiente ecuacin basada en la Ec. (6.18) puede ser usada:

s 1 GJt Ar 2

2

p EC w (K L ) 2

(6.29)o t t

La carga crtica para pandeo por flexin fue ya discutida en el Art. 6.3.

6.4.2 Secciones con Simetra Simple

Los perfiles angulares, sombrero, secciones T, C y U, as como las secciones I con patines desiguales (Fig. 6.8) son ejemplos de secciones con simetra simple. Si el eje x es el eje de simetra, yo = 0 por lo que la Ec. (6.21) se reduce entonces a:

(P P ) r 2 (P

P )(P

P ) (P

x ) 2 0

(6.30)cr y o cr

x cr z

cr o

Para este caso, una de las soluciones esta dada por:

yp 2 EI(Pcr )1 Py

2(K y L y )

(6.31)

la cual es la ecuacin de la carga crtica de pandeo por flexin con respecto al eje y. Las otras dos soluciones para la carga crtica de pandeo por flexotorsin puede obtenerse resolviendo la siguiente ecuacin cuadrtica:

r 2 (P

P )(P

P ) (P

x ) 2 0

(6.32)o cr

x cr z

cr o

o oSi b = 1 (x /r )2, las races de la ecuacin cuadrtica son:

1 2(Pcr ) 2

(Px2b

Pz )

(Px

Pz )

4bPx Pz

(6.33)

(Pcr ) 3

1 2b

(Px

Pz )

(Px

2Pz )

4bPx Pz

(6.34)

Fig. 6.8 Perfiles con simetra simple(1)

Debido a que (Pcr)3 < (Pcr)2, la Ec. (6.34) puede usarse como la carga crtica para pandeo por flexotorsin, la cual siempre ser menor que Px y Pz, pero podr ser menor o mayor que Py [Ec. (6.23)] (ver Fig. 6.9).

Dividiendo la Ec. (6.34) entre el rea total de la seccin, se obtiene la ecuacin que representa el esfuerzo elstico de pandeo por flexotorsin:

1 2s TFO

(s ex2b

s t )

(s ex

s t )

4bs exs t

(6.35)

donde TFO es el esfuerzo elstico de pandeo por flexotorsin y sex = Px/A, st = Pz/A.

Fig. 6.9 Comparacin de Pcr con Px, Py y Pz para un perfil sombrero (KxLx = KyLy = KtLt = L)(1).

En sntesis, una seccin con simetra simple puede pandearse ya sea por flexin con respecto al eje y (asumiendo que el eje de simetra es el eje x) o por flexotorsin (flexin con respecto al eje x y torsin con respecto al centro de cortante), dependiendo de las dimensiones de la seccin y la longitud efectiva de la columna. Por ejemplo, para la seccin sombrero mostrada en la Fig. 6.9, la longitud crtica Lcr, que divide al modo de pandeo por flexin y al modo de pandeo por flexotorsin, puede obtenerse resolviendo para L de la ecuacin Py = (Pcr)3. Esto significa que si L < Lcr, la carga de pandeo por flexotorsin, representada por la curva AB gobernar el diseo. Por el contrario, si L> Lcr, la capacidad de carga del miembro ser limitada por la carga de pandeo por flexin Py, representada por la curva BC. Lo mismo se aplica a otros tipos de secciones con simetra simple, como las secciones angulares, T, canal e I con patines desiguales.

Debido a que la evaluacin de la carga crtica de pandeo por flexotorsin es mas compleja comparada con el clculo de la carga de Euler, se han desarrollado curvas de diseo, basadas en resultados analticos y experimentales, para diferentes tipos de secciones. El Manual de Diseo del AISI 1996 incluye ejemplares de dichas curvas. Una curva tpica para una seccin canal se muestra en la Fig. 6.10. Si la seccin de la columna esta dimensionada de tal manera de que no ocurrir el pandeo por flexotorsin para una longitud dada, el diseo de dicha columna puede

hacerse considerando solo pandeo por flexin y pandeo local. De lo contrario, se deber considerar tambin el pandeo por flexotorsin.

Fig. 6.10 Modos de pandeo de un perfil C. (1 = solo pandeo latero- torsional; 2 = el modo de pandeo depende del parmetro tL/a2; 3 = solo pandeo por flexin)(1).

Como se indica en la Fig. 6.10, la posibilidad de pandeo global con respecto al eje x de una columna de seccin con simetra simple puede considerarse para tres casos diferentes. El caso 1 es solo para pandeo por flexotorsin. Este caso en particular se caracteriza por secciones donde Iy> Ix. Cuando Ix > Iy, la seccin falla conforme a los casos 2 o 3. Para el caso 2, el canal se pandea ya sea por flexin o por flexotorsin, dependiendo de la relacin b/a y el parmetro tL/a2; donde b es el ancho de patin, a es el peralte del alma, t es el espesor y L la longitud efectiva. Para unaseccin canal y longitud de columna dada, si el valor de tL/a2 queda por arriba de la curva (tL/a2)

lim,la seccin falla debido a pandeo por flexin. De lo contrario, la seccin falla debido a pandeo porflexotorsin. En el caso 3, la seccin siempre falla debido a pandeo por flexin, independientemente del valor de tL/a2. Las curvas de modos de pandeo para secciones angulares, canales y sombrero se muestran en las Fig. 6.11. Estas curvas se aplican solo a condiciones deextremo compatibles, esto es KxLx = KyLy = KtLt = L.

(a) (b) (c)

Fig. 6.11 Curvas de modos de pandeo(1). (a) Perfil angular; (b) Perfil C y (c) Perfil sombrero

La Parte V del Manual de Diseo del AISI 1996 incluye curvas de diseo como la mostrada en la Fig. 6.13 para determinar la longitud crtica de pandeo para perfiles C, angulares y sombrero. Usando estas curvas se puede determinar la longitud crtica de la columna directamente, dadas las dimensiones y configuracin de la seccin.

Hasta este punto se ha discutido el pandeo por flexotorsin en el rango elstico, para el cual el valor del esfuerzo de compresin es menor que el lmite de proporcionalidad. Los miembros de esbeltez pequea o moderada se pandearn a un valor menor al dado por la teora elstica si el valor calculado del esfuerzo de pandeo excede al lmite de proporcionalidad.

De manera anloga al caso de pandeo por flexin, el pandeo inelstico por flexotorsin puede obtenerse de las ecuaciones elsticas reemplazando a E por Et y a G por G(Et/E); donde Et es el

mdulo tangencial, el cual depende de la relacin efectiva esfuerzo-deformacin de la seccin total, o sea, para pandeo inelstico por flexotorsin se tiene que:

(Px )T

(Pz )T

(Pcr )T

Et E Et EEt E

Px

Pz

Pcr

(6.36) (6.37)(6.38)

Fig. 6.12 Curvas del AISI para determinar la longitud crtica de perfiles C (Si KL > Lcr, el modo de pandeo por flexin ser crtico; si KL < Lcr, el modo de pandeo por flexotorsin ser crtico; Lcr en plg.)(4).

El valor de Et puede ser determinado mediante la siguiente expresin:

s sEt CE 1Fy Fy

(6.39)

donde

C 1

(6.40)(s pr / Fy )(1

s pr / Fy )

y Fy y spr son el esfuerzo de fluencia y el lmite de proporcionalidad del acero, respectivamente. Los valores de C obtenidos de pruebas experimentales estn dentro del rango de 3.7 a 5.1. Asumiendo spr = 0.50Fy y subtituyendo en la Ec. (6.40) se obtiene C = 4. Substituyendo s = sTFT y C = 4 en la Ec. (6.39) se obtiene:

Et 4E

s TFT 1Fy

s TFT Fy

(6.41)

donde sTFT es el esfuerzo de pandeo inelstico por flexotorsin. Substituyendo la Ec. (6.41) en la(6.38), la siguiente expresin para sTFT puede ser obtenida:

Fys TFT

Fy 1

4s TFO

(6.42)

donde sTFO es el esfuerzo de pandeo elstico por flexotorsin dado por la Ec. (6.35). La Ec. (6.42)se ilustra grficamente en la Fig. 6.13.

Fig. 6.13 Comportamiento estructural de columnas bajo pandeo flexotorsional(1)

Para evaluar la precisin de la Ec. (6.42), se realizaron pruebas experimentales en columnas sujetas a pandeo elstico e inelstico por flexotorsin en la Universidad de Cornell. Los resultados de las pruebas inelsticas de columnas son comparados con la Ec. (6.42) en la Fig. 6.14.

6.4.3 Secciones con Simetra con Respecto a un Punto

Para las secciones con simetra con respecto a un punto, como las secciones Z y en cruz, el centro de cortante coincide con el centroide de la seccin. Por consiguiente, xo = yo = 0.

De manera anloga a secciones con simetra doble, la Ec. (6.21) se reduce a:

(Pcr

Px )(Pcr

Py )(Pcr

Pz ) 0

(6.43)

Fig. 6.14 Correlacin entre los resultados experimentales y analticos(1).

Por lo tanto, la seccin falla ya sea por pandeo por flexin (Px o Py) o por pandeo por torsin (Pz), dependiendo de la configuracin de la seccin y de la longitud de la columna (los ejes x y y son ejes principales).

Aunque aun no estn disponibles las curvas para determinar el modo de pandeo para secciones Z, una investigacin limitada realizada en la Universidad de Cornell demostr que las secciones Z simples con labios atiesadores fallan en pandeo simple de Euler, siempre y cuando la longitud efectiva para flexin con respecto al eje principal menor sea igual o mayor que la longitud efectiva por torsin (KLy KLt).

6.4.4 Secciones Asimtricas

Si una seccin abierta no tiene simetra con respecto a un eje o a un punto, las tres posibles cargas de pandeo Pcr son de flexotorsin. El valor menor de Pcr siempre es menor que el menor de los tres valores de Px, Py y Pz.

En el diseo de secciones compactas asimtricas, el esfuerzo por pandeo elstico por flexotorsin, sTFO, puede ser calculado de la siguiente expresin mediante un procedimiento de aproximaciones sucesivas:

s 3 s 2 s 2

s 2 s s s TFO a s exs eys t

TFO g s eys t

TFO b s exs t

TFO s exs ey

TFO s ex

TFO

2s ey

TFO 1s t

(6.44)

En los clculos, la siguiente expresin puede ser usada para la primera aproximacin:

s TFO

(s exs ey

s exs t

s eys t )

(s exs ey

s exs t

s eys t )

4(s

exs

eys t

)(gs

ex bs ey(6.45)

s t ) xdonde

x

1

(6.46)2(gs ex

bs ey

s t )

xp 2 Es (6.47)ex (K

x Lx

/ r ) 2

p 2 Es (6.48)

2ey (K

y Ly

/ ry )

s 1 GJt Ar 2

2

p EC w

2(K L ) 2

(6.49)o t t

22a = 1 (xo/ro)

(yo/ro)b = 1 (xo/ro)

2g = 1 (yo/ro)

Los trminos E, KL, rx, ry, A, ro, G, xo, yo y Cw fueron previamente definidos.

6.5 EFECTO DEL LAMINADO EN FRIO SOBRE EL PANDEO DE COLUMNAS

Los desarrollos expuestos en los Arts. 6.1 a 6.5 se basaron en la suposicin de que los miembros a compresin tienen propiedades mecnicas uniformes en toda la seccin. Sin embargo, como se ilustra en la Fig. 2.3, el esfuerzo de fluencia y la resistencia ultima del material varan segn la ubicacin considerada en la seccin debido al efecto del laminado en fro. La resistencia de miembros sujetos a compresin axial con propiedades mecnicas variables en la seccin puede ser calculada mediante la Ec. (6.52), si se subdivide a la seccin en subreas j, donde cada subrea tiene propiedades mecnicas constantes.

p 2s T 2A(KL)

jEti I ii 1

(6.52)

donde Eti = mdulo tangente de la subrea i bajo un valor particular de deformacin unitaria.Ii = momento de inercia de la subrea i con respecto al eje neutro de la seccin total.

Con el propsito de investigar la resistencia de miembros a compresin de acero laminado en fro sujetos a carga axial, se probaron en la Universidad de Cornell especmenes de secciones canal espalda con espalda y de vigas joist. Los resultados de las pruebas se comparan grficamente con las Ecs. (6.5), (6.7) y (6.52) en la Fig. 6.16(a) y (b).

(a) (b)

Fig. 6.16 Comparacin entre curvas de comportamiento de columnas(1). (a) Perfiles C; (b) Perfiles de cuerdas de joists.

Considerando los resultados de pruebas expuestos en la Fig. 6.16, puede concluirse que con la excepcin de dos pruebas secciones canal, la Ec. (6.52) muestra una mejor correlacin, ya que considera la variacin de las propiedades mecnicas. Las Ecs. (6.5) y (6.7), basadas en el esfuerzo de fluencia promedio a tensin y compresin, tambin predicen satisfactoriamente el esfuerzo de pandeo inelstico con una precisin razonable, en particular para columnas con relaciones de esbeltez de aproximadamente 60. La Ec. (6.7) puede proveer un lmite inferior del esfuerzo de pandeo de la columna si se usara el esfuerzo de fluencia de tensin.

6.6 MIEMBROS A COMPRESION CON UN PATIN CONECTADO A UNA LAMINA DE MURO O CUBIERTA

Para secciones C y Z con un patn conectado a una lmina de muro o cubierta y el otro patn sin apoyo lateral, la capacidad bajo carga axial es menor que la de un miembro con apoyo lateral adecuado, pero es mayor que la de un miembro sin apoyos laterales. La restriccin parcial contra el pandeo con respecto al eje menor est en funcin de la restriccin rotacional provista por la conexin lmina-poln. La Ec. (6.61) incluida en la Seccin C4.4 (ver Art. 6.7) puede usarse para calcular la resistencia con respecto al eje dbil si la conexin lmina-poln cumple con todas las restricciones dadas en dicha Seccin. La ecuacin fue desarrollada en 1994 como resultado de diversas investigaciones realizadas en la dcada de 1980-90 y no es aplicable a secciones conectadas a cubiertas engargoladas con costuras sobresalientes.

No se contempla en el AISI 1996 una limitacin en el valor mximo de Fy de secciones C y Z ya que la Ec. (6.61) esta basada en criterios de pandeo elstico. Tampoco se establece una limitacin en la longitud mnima, ya que la Ec. (6.61) es conservadora para claros menores que 4.6 metros.

La resistencia con respecto al eje fuerte se determina asumiendo que el eje dbil de la columna tiene apoyo lateral adecuado. La resistencia gobernante (el menor valor de la resistencia con respecto al eje fuerte y dbil) puede usarse en las ecuaciones de diseo para determinar la capacidad bajo combinacin de carga axial y momento flexionante de columnas.

6.7 ECUACIONES DE DISEO DEL AISI PARA MIEMBROS SUJETOS A COMPRESION AXIAL

Las siguientes expresiones representan las ecuaciones generales de diseo de columnas:

1. Mtodo ASD:

Pn

P Pai c

2. Mtodo LRFD:

fc Pn

g i Pi

Donde Pa = resistencia permisible a compresin axialWc = factor de seguridad para compresin axialPi = combinacin aplicable debido a cargas de servicio (Ver Art. 3.2.3)fc = factor de resistencia por compresin axialgi = factor de carga correspondiente a la carga PiSgiPi = combinacin aplicable de cargas factorizadas (ver Art. 3.3.2)Pn = resistencia nominal de compresin axial determinada segn la Seccin C4.

A continuacin se presentan las especificaciones de diseo del AISI 1996 (Seccin C4) para miembros sujetos a compresin axial.

C4 Miembros Sujetos a Compresin Axial.

Esta seccin se aplica a miembros cuya resultante de cargas es una carga axial actuando sobre el centroide de la seccin efectiva calculada bajo un esfuerzo Fn, definido en esta seccin.

(a) La resistencia nominal axial, Pn, deber ser calculada de la siguiente manera:

Pn Ae Fn

(6.53)

Wc = 1.80 (ASD)fc = 0.85 (LRFD)

donde:

Ae = rea efectiva bajo un esfuerzo Fn. Para secciones con agujeros circulares, Ae deber determinarse de acuerdo a la Seccin B2.2a (ver Art. 6.3.4) y sujeta a las limitantes de dicha seccin. Si el nmero de agujeros en la longitud efectiva multiplicado por el dimetro del agujero dividido entre la longitud efectiva no excede a 0.015, Ae puede ser determinado ignorando los agujeros.

Fn = Resistencia nominal a compresin axial determinada de la siguiente manera:

Para lc 1.5

Fn (0.658

l2 c

)Fy

(6.54)

nPara lc > 1.5

Donde:

F 0.877 F

yl2 c

l Fy

(6.55)

(6.56)c

Fe

Fe = Valor menor de los esfuerzos de pandeo por flexin, torsin y flexotorsin calculados de acuerdo a como se indica a continuacin en las Secciones C4.1 a C4.3.

(b) Las secciones angulares debern disearse para un momento flexionante adicional como se especifica en las definiciones de Mx, My (ASD) o Mux, Muy (LRFD) en la Seccin C5.2 (ver Captulo 7).

(c) La relacin de esbeltez KL/r para todos los miembros a compresin preferiblemente no deber exceder 200, excepto solo durante la etapa constructiva, donde dicha relacin preferiblemente no deber exceder 300.

C4.1 Secciones no Sujetas a Pandeo por Torsin o Flexotorsin

Para secciones con simetra doble, secciones cerradas y otras secciones, para las cuales se pueda demostrar que no estn sujetas a pandeo por torsin o flexotorsin, el esfuerzo elstico de pandeo por flexin deber determinarse de la siguiente manera (ver Art. 6.3.1):

p 2 E Fe(KL / r) 2

(6.57)

Donde: E = mdulo de seccin.K = factor de longitud efectivaL = longitud no apoyada del miembror = radio de giro de la seccin total no reducida.

Para marcos donde la estabilidad lateral es provista por contravientos diagonales, muros de cortante, por conexiones a otras estructuras con estabilidad lateral adecuada, por losas de piso o decks de cubierta unidas horizontalmente a muros o sistemas de contravientos paralelos al plano del marco y en armaduras, el factor de longitud efectiva K, para miembros a compresin que no dependen de su propia rigidez flexionante para la estabilidad lateral del marco o armadura, deber tomarse como la unidad, a menos que se puede demostrar mediante un procedimiento analtico racional que un valor menor puede ser usado. Para marcos que dependen de su rigidez flexionante para su estabilidad lateral, la longitud efectiva KL de los miembros a compresin deber determinarse mediante un mtodo racional y no deber ser menor que la longitud real no apoyada del miembro. Ver Art. 6.8 para mayor informacin en la determinacin de los valores de diseo de la longitud efectiva KL.

C4.2 Secciones con Simetra Doble y Simple Sujetas a Pandeo Torsional o Flexotorsionante

Para secciones sujetas a pandeo torsional o flexotorsional, Fe deber tomarse como el valor menor calculado mediante la Seccin C4.1 y Fe calculado de la siguiente manera (ver Art. 6.4.2):

1 2

oFe (s ex2b

s t )

(s ex

s t )

4bs exs t

(6.58)

Donde:

b 1 ( xo

/ r ) 2

(6.59)

De manera alternativa, una estimacin conservadora de Fe puede ser obtenida mediante la siguiente expresin: s t s ex Fe

sst ex

(6.60)

donde st y sex se definen en la Seccin C3.1.2(a) (ver Art. 5.2.3.3). Para secciones con simetra simple, el eje x se asume que es el eje de simetra.

C4.3 Secciones No Simtricas

Para secciones sin simetra, Fe deber determinarse mediante un anlisis racional (ver Art. 6.4.4). De manera alternativa, los miembros a compresin compuestos de dichas secciones pueden ser sometidos a las pruebas especificadas en el Capitulo F.

C4.4 Miembros a Compresin con un Patn Conectado a Lmina de Muro y Cubierta

Estas especificaciones aplican a secciones C y Z sujetas a carga concntrica con respecto a su eje longitudinal, con un solo patn conectado mediante tornillos o pijas a lminas de muro o cubierta (ver Art. 6.6).

La resistencia nominal a compresin axial de secciones C y Z con claros simples y continuos deber determinada de la siguiente manera:

(a) Para resistencia nominal, Pn, con respecto al eje dbil

Pn C1C2 C3 AE / 29500 kip ( o kg) (6.61)

Wc = 1.80 (ASD)fc = 0.85 (LRFD)

donde: C1 = (0.79x 0.54)C2 = (1.17t + 0.93) cuando t esta en plg.C2 = (0.0461t + 0.93) cuando t esta en mm.C3 = (2.5b 0.63d + 22.8) cuando b y d estn en plg.C3 = (0.0984b 0.0642d + 22.8) cuando b y d estn en mm.Para secciones Z: x = a/bPara secciones C: x = (b a)/ba = distancia del centro de lnea de sujetadores con respecto a la orilla externa del alma.b = ancho total de patnt = espesor de la seccin C o Zb = ancho de patn de la seccin C o Zd = peralte de la seccin C o ZA = rea total no reducida de la seccin C o ZE = mdulo de elasticidad del acero= 29,500 ksi para unidades inglesas= 2.073 x 106 kg/cm2 para unidades mtricas.

La Ec. (6.61) deber estar limitada a sistemas de muro y cubierta que cumplen con las siguientes condiciones:

1. t no excede a 0.125 plg. (3.22 mm).2. 6 plg. (152 mm) d 12 plg. (305 mm).3. Los patines son elementos con atiesadores de orilla.4. 70 d/t 1705. 2.8 d/b 56. 16 w/t 507. Ambos patines estn impedidos para desplazarse lateralmente en los apoyos.8. Lminas de muro o cubierta con sujetadores colocados a separaciones de 12 plg. (305 mm) o menos y con una rigidez lateral torsional de 0.0015 kip/plg./plg. (10,300 N/m/m), determinada con el procedimiento de prueba del AISI (ver Mtodo de Prueba de Rigidez Lateral Torsionante para Ensambles de Vigas y Lminas, del Manual de Diseo del AISI 1996, Parte VII).

y9. Secciones C y Z con valores mnimos de F de 2319 kg/cm2.10. Para resistencia nominal con respecto al eje fuerte, se debern usar las ecuaciones contenidas en la Seccin C4 y C4.1 del AISI 1996.

Adems de las discusiones dadas en los Arts. 6.2 a 6.5, los siguientes comentarios se relacionan con algunas de las especificaciones de diseo del AISI:

1. Ecuacin Simplificada para Pandeo Flexotorsional. La ecuacin simplificada para pandeo flexotorsionante [Ec. (6.60)] esta basada en la siguiente ecuacin desarrollada por Pekoz y Winter:

1PTFO

1 1Px Pz

(6.65)

o1s TFO

1 1s ex s t

(6.66)

2. Relacin de Esbeltez Mxima. En la Seccin C4(d) de la especificacin del AISI, la relacin de esbeltez mxima para miembros a compresin se limita a 200, excepto en la etapa constructiva, donde KL/r se limita a 300. Esta limitacin es la misma usada por el AISC para el diseo de perfiles laminados en caliente. Aun cuando las formulas de diseo son aplicables a relaciones de esbeltez mayores que 200, el uso de columnas muy esbeltas resulta en un diseo antieconmico debido a su baja resistencia contra el pandeo.

6.8 FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA, K

En el diseo de estructuras de acero los contravientos laterales son usados para resistir cargas laterales, tales como viento y sismo, o para incrementar la resistencia de miembros impidiendo su deformacin en la direccin dbil. El uso de dichos contravientos puede afectar el diseo de los miembros a compresin.

En los Arts. 6.3 a 6.7, la longitud efectiva KL de columnas es requerida para determinar los esfuerzos de pandeo. El factor K (la relacin entre la longitud efectiva de la columna y la longitud real no apoyada) representa la influencia de la restriccin rotacional y translacional de los extremos de la columna.

Los valores tericos de K y los valores de diseo recomendados por el Consejo de Investigacin de Estabilidad Estructural (SSRC) se muestran en la Tabla 6.1. En diseo, el valor de K = 1 puede ser usado en columnas o puntales con contraventeo en cruz, de diafragma, con muros de cortante, o cualquier otro sistema que impida desplazamiento horizontal relativo en ambos extremos de la columna. Si la translacin es impedida y se provee restriccin rotacional en uno o ambos extremos del miembro, un valor de K menor que la unidad puede ser usado.

Tabla 6.1 Factor de Longitud Efectiva K para Columnas Cargadas Axialmente con varias Condiciones de Extremo(1).

En el diseo de armaduras, se ha observado que una restriccin rotacional considerable puede ser lograda por la continuidad de la cuerda de compresin mientras la cuerda de tensin no fluya. Al aproximarse la carga de colapso, los esfuerzos en los miembros se aproximan al esfuerzo de fluencia, lo cual reduce considerablemente la restriccin rotacional que pueden proveer. Por lo

tanto, la restriccin rotacional provista por los miembros a tensin no puede considerarse en el diseo, independientemente de que las conexiones sean atornilladas, soldadas o con pijas. Por esta razn, los miembros a compresin de las armaduras deben disearse considerando K = 1. Sin embargo, cuando el patn superior del miembro a compresin se conecta directamente a la lmina de cubierta, investigaciones recientes realizadas en la dcada de 1990 han indicado que el valor de K puede ser tomado como 0.75.

Para marcos no contraventeados, la estructura depende de su propia rigidez flexionante para su estabilidad lateral. Si un marco portal no es contraventeado en su plano para impedir la translacin, la longitud efectiva KL es mayor que la longitud real no apoyada (K > 1), como se ilustra en la Fig6.17. Esto resulta en una reduccin de la capacidad de carga de la columna si la translacin no esimpedida.

Fig. 6.17 Marco rgido con libertad de translacin(1)

Los valores de K para diseo de marcos con translacin libre e impedida, con uno o varios niveles y con una o varias crujas pueden ser obtenidos grficamente a travs de los nomogramas mostrados en la Fig. 6.18. En los nomogramas, el valor de G esta dado por:

(I c / Lc )G(I b / Lb )

donde Ic es el momento de inercia con respecto al eje perpendicular al plano de flexin de la columna (puede ser Ix o Iy, dependiendo de la orientacin de la seccin de la columna con respecto al plano de flexin), Lc es la longitud no apoyada de la columna, Ib es el momento de inercia con respecto al eje perpendicular al plano de flexin de la viga (en general para vigas es Ix) y Lb es la longitud no apoyada de la viga.

En diseo, cuando la columna esta unida en conexin simple con la cimentacin, el valor terico de G es infinito, pero a menos que la conexin haya sido expresamente diseada como una articulacin libre de friccin, el valor puede considerarse como 10. Si la conexin columna a cimentacin es rgida, el valor de G puede considerarse como 1.

En el uso de los nomogramas, la rigidez de las vigas Ib/Lb debe multiplicarse por el siguiente factor cuando las condiciones en el extremo opuesto de la viga son desconocidas:

1. Translacin Lateral Impedida:1.5 si el extremo opuesto de la viga es articulado.2.0 si el extremo opuesto de la viga es fijo.

2. Translacin Lateral Libre:0.50 si el extremo opuesto de la viga es articulado.0.67 si el extremo opuesto de la viga es fijo.

Despus de determinar GA y GB para los extremos A y B de la columna, el valor de K se obtiene de los nomogramas, trazando una lnea recta desde los puntos apropiados de las escalas de GA y GB, tomando como el valor de K al punto de interseccin de la lnea recta con la escala de K.

Fig. 6.18 Nomogramas para la determinacin del factor de longitud efectiva K(1)

6.9 EJEMPLOS DE DISEO

Ejemplo 6.1 Calcule la carga axial de diseo por el Mtodo ASD y LRFD para la columna de2seccin tubular cuadrada mostrada en la Fig. 6.19. Asuma Fy = 2811 kg/cmmetros.

y KxLx = KyLy = 3

Fig. 6.19. Ejemplo 6.1 (cotas del perfil en mm)(1).

1. Clculo de las Propiedades de la Seccin

A. Propiedades de las Esquinas

Para el Caso I del Apndice A:r = R + t/2 = 4.763 + 2.667/2 = 6.097 mmL = 1.57r = 1.57(6.097) = 9.572 mmc = 0.637r = 0.637(6.097) = 3.884 mm2Area de una esquina, Aesq = Lt = 9.572(2.667) = 25.529 mm

3 3 4Momentos de inercia, Ix = Iy = 0.149r t = 0.149(6.097) (2.667) = 90.065 mm 0Coordenadas centroidales con respecto a la fibras exteriores:xe = ye = (r c) + t/2 = (6.097 3.884) + 2.667/2 = 3.547 mm Coordenadas centroidales con respecto a los ejes principales x y y. x = y = B/2 ye = 203.200/2 3.547 = 98.053 mm

B. Propiedades de Patines y Almas

w = B 2(R + t) = 203.200 2(4.763 + 2.667) = 188.340 mmArea de un patn y/o alma, A = wt = 188.340(2.667) = 502.303 mm33 3Momento de inercia con respecto a x: Almas: Ix = (1/12)w t = (1/12)(188.340) (2.667)= 1484805.159 mm4Patines: Ix 04Momento de inercia total con respecto a x: SIxx = 2(1484805.159) = 2969610.318 mmMomento de inercia con respecto a y: Almas: Iy 03 3Patines: Iy = (1/12)w t = (1/12)(188.340) (2.667)= 1484805.159 mm44Momento de inercia total con respecto a y: SIyy = 2(1484805.159) = 2969610.318 mmCoordenadas centroidales con respecto a los eje principales x y y:Almas: x = B/2 t/2 = (203.200 2.667)/2 = 100.267 mm; y = 0Patines: x = 0; y = B/2 t/2 = (203.200 2.667)/2 = 100.267 mm

C. Propiedades de la Seccin Tubular

2Area total, SA = 4(wt + Aesq) = 4(502.303 + 25.529) = 2111.328 mmMomentos de inercia con respecto a x y y:

= 21.113 cm2

2Ix = SIxx + SAy

= 2969610.318 + 2(502.303)(100.267)2

+ 4(25.529)(98.053)2

xI = 14051171.030 mm4En este caso Iy = Ix

= 1405.117 cm4Radios de giro: rx = ry = (Ix/A)

1/2

= (1405.117/21.113)

1/2

= 8.158 cm

2. Clculo de la Resistencia Nominal para Compresin Axial

Debido a su alta rigidez a la torsin, las secciones cerradas solo estn sujetas a pandeo por flexin. Segn la Seccin C4.1, la resistencia al pandeo elstico de secciones cerradas est dada por la Ec. (6.57). El factor de longitud efectiva de la columna est dada por Ky = Kx = 1.0. Por lo tanto, la relacin de esbeltez de la columna ser:(KL/r)x = (KL/r)y = 1.0(300)/8.158 = 36.774 < 200, OK2 6 2 2Ec. (6.57): Fe = p (2.073x10 )/(36.774)

= 15129.247 kg/cm1/2Factor de esbeltez, lc: Ec. (6.56): lc = (2811/15129.247)

= 0.431

2Como lc < 1.5, controla la resistencia nominal por pandeo inelstico dada por la Ec. (6.54). En estecaso lc

= (0.431)2

= 0.186(0.186) 2Ec. (6.54): Fn = [(0.658)

]2811 = 2600.464 kg/cm .

3. Clculo del Area Efectiva, Ae

Como la seccin tubular est compuesta por cuatro elementos atiesados a compresin, el ancho efectivo de cada elemento puede ser calculado mediante las Ecs. (4.36) y (4.37) usando k = 4.

nLas propiedades efectivas se calculan para f = F = 2600.464 kg/cm2Ec. (4.36): l = 1.052/(4)1/2[(188.340/2.667)(2600.464/2.073x106)1/2] = 1.316Como l > 0.673, se procede a calcular el factor de reduccin r. Ec. (4.37): r = (1 0.22/1.316)/1.316 = 0.633

2Ancho efectivo de diseo, b = rw = 0.633(188.340) = 119.219 mmEl rea efectiva ser, Ae = A 4(w b)t = 2111.328 4(188.340 119.219)2.667 = 1373.945 mm= 13.739 cm2

4. Clculo de la Carga Axial de Diseo

La carga nominal de diseo est dada por la Ec. (6.53): Pn = 13.739(2600.464) = 35727.775 kg= 35.728 Ton.

Mtodo ASD: Pa = Pn/Wc, donde Wc = 1.80. Por lo tanto, Pa = 35.728/1.80 = 19.489 Ton.Mtodo LRFD: Pu = fcPn, donde fc = 0.85. Por lo tanto, Pu = 0.85(35.728) = 30.369 Ton.

Ejemplo 6.2 Revisar si la seccin I mostrada en la Fig. 6.20 puede ser usada como un miembro a compresin para soportar una carga axial de 11.35 Ton. Asuma que la relacin de cargas (D/L) es

x y x y t t y1/5. Asuma tambin que K = K = 1.0, L = 3.66 m, L = 1.83 m, K L = 1.83 m y F = 2319 kg/cm2. Fig. 6.20 Ejemplo 6.2 (cotas en mm)(1).

1. Clculo de las Propiedades Geomtricas

Usando las ecuaciones del Art. A3.3 del Apndice A se obtienen las siguientes propiedades:

xA = 14.452 cm2 r4

= 8.001 cm xo

= 0.0 cm4Ix = 919.871 cm4

ry = 3.480 cm J = 0.174 cm6Iy = 174.817 cm

ro = 8.725 cm Cw = 18985.486 cm

Cabe mencionar que en el Art. A3.3 el eje y es el eje perpendicular al plano del alma, ya que dicho artculo considera una seccin I con patines desiguales y el AISI considera al eje x como el eje de simetra. Por consiguiente, el valor de Ix calculado segn el Apndice A ser el valor de Iy segn la Fig. 6.20 y viceversa. Lo mismo aplica a los valores del radio de giro. Estos ajustes ya estan reflejados en los valores de las propiedades geomtricas dadas arriba.


Las secciones con simetra doble no requieren ser revisadas por pandeo latero-torsional, solo por pandeo por flexin con respecto al eje dbil.Resistencia debida a pandeo por flexin con respecto al eje dbil. La resistencia se calcula segn la Seccin C4.1, Ec. (6.57).El eje dbil a flexin es el que genera la relacin de esbeltez mayor:(KxLx/rx) = 1.0(366)/8.001 = 45.744 (KyLy/ry) = 1.0(183)/3.480 = 52.586Por lo tanto, controla el eje y con KL/r = 52.586.2 6 2 2Ec. (6.57): Fe = p (2.073x10 )/(52.586)

= 7398.757 kg/cm1/2Factor de esbeltez, lc = (2319/7398.757)

= 0.560


= (0.560)2

= 0.314(0.314) 2Ec. (6.54): Fn = [(0.658)

]2319 = 2033.404 kg/cm .


A. Ancho Efectivo de Patines

nLas propiedades efectivas se calculan para f = F = 2033.404 kg/cm2w2 = 152.400/2 2(2.381 + 1.905) = 67.628 mm w2/t = 67.628/1.905 = 35.500Ec. (4.58): S = 1.28(2.073x106/2033.404)1/2 = 40.869; S/3 = 40.869/3 = 13.623Como S/3 < w2/t < S, aplica el Caso II de la Seccin B4.2 [Ecs. (4.60) a (4.66)]

Propiedades del labio atiesador (ver Fig. 4.42):D = 17.780 mm; q = 90d = w1 = D (R + t) = 17.780 (2.381 + 1.905) = 13.494 mmd/t = 13.494/1.905 = 7.083 < 14, OK3 3 4Is = d t/12 = (13.494) (1.905)/12 = 390.064 mmD/w2 = 17.780/67.628 = 0.263

Coeficiente de pandeo del patn de compresin, k [Ec. (4.62), n = para Caso II]: Como D/w2 < 0.80, usar la Ec. (4.63) para calcular ka:Ec. (4.63): ka = 5.25 5(0.263) = 3.935 < 4.0, OK

4Para el Caso II, aplica la Ec. (4.59) y ku = 0.43Ec. (4.59): Ia/t

= 399[35.500/40.869 (0.43/4)4

1/2]34

= 63.093Ia = 63.093(1.905)

= 830.921 mmEc. (4.60): C2 = 390.064/830.921 = 0.469 < 1.0, OKEc. (4.62): k = (0.469)1/2(3.935 0.43) + 0.43 = 2.830

Determinacin del ancho efectivo, b:Ec. (4.36): l = 1.052/(2.830)1/2[(35.500)(2033.404/2.073x106)1/2] = 0.695Como l > 0.673, se procede a calcular el factor de reduccin r. Ec. (4.37): r = (1 0.22/0.695)/0.695 = 0.983Ancho efectivo de diseo, b = rw2 = 0.983(67.628) = 66.504 mm

B. Ancho Efectivo de Labios Atiesadores

En este caso, no existe gradiente de esfuerzos, ya que no existe flexin. Para elementos a compresin no atiesados, k = 0.43d/t = 7.083.Ec. (4.36): l = 1.052/(0.43)1/2[(7.083)(2033.404/2.073x106)1/2] = 0.356Como l < 0.673, r = 1.0.Ancho efectivo del labio atiesador, ds = rd = 1.0(13.494) = 13.494 mmAncho efectivo reducido del labio atiesador [Ec. (4.64)]: ds = 0.469(13.494) = 6.329 mm

C. Ancho Efectivo de Almas

En este caso, no existe gradiente de esfuerzos, ya que no existe flexin.w3 = 203.200 2(2.381 + 1.905) = 194.628 mmw3/t = 194.628/1.905 = 102.166 < 500, OKDeterminacin del peralte efectivo, dPara elementos a compresin atiesados, k = 4.0Ec. (4.36): l = 1.052/(4.0)1/2[(102.166)(2033.404/2.073x106)1/2] = 1.683Como l > 0.673, se procede a calcular el factor de reduccin r. Ec. (4.37): r = (1 0.22/1.683)/1.683 = 0.517Ancho efectivo de diseo, d = rw3 = 0.517(194.628) = 100.623 mm

D. Area Efectiva, Ae

Para este caso, Ae = A [4(ds ds) + 4(w2 b) + 2(w3 d)]tAe = 1445.2 [4(13.494 6.329) + 4(67.504 66.505) + 2(194.628 100.623)]1.905= 1024.831 mm2 = 10.248 cm2


Carga nominal de diseo, Ec. (6.53): Pn = 10.248(2033.404) = 20838.324 kg = 20.838 Ton.

Carga aplicada en la columna, P = 11.35 Ton.

Mtodo ASD: Pa = Pn/Wc, donde Wc = 1.80. Por lo tanto, Pa = 20.838/1.80 = 11.577 TonPa = 11.577 Ton > 11.35 Ton, OK

Mtodo LRFD: Pu = fcPn, donde fc = 0.85. Por lo tanto, Pu = 0.85(20.838) = 17.712 TonRelacin de cargas D/L = 1/5. Por lo tanto, L = 5D.Pu = 1.2PD + 1.6PL = 1.2PD + 1.6(5PD) = 9.2PD = 17.712 Ton. Por lo tanto:PD = 17.712/9.2 = 1.925 TonPL = 5PD = 5(1.925) = 9.626 TonPD + PL = 1.925 + 9.626 = 11.551 Ton > 11.35 Ton, OK

Ejemplo 6.3 Para la seccin canal mostrada en la Fig. 6.21 determinar lo siguiente:1. La longitud crtica Lcr para que controle el pandeo flexotorsional.2. La carga axial de diseo por el Mtodo ASD y LRFD si la carga es aplicada a travs delcentroide de la seccin efectiva.

x x y y t t yAsuma que K L = K L = K L = 1.83 m y F = 3514 kg/cm2

Fig. 6.21 Ejemplo 6.3 (cotas en mm)(1)



xA = 11.768 cm2 r4

= 7.813 cm xo

= 4.260 cm m = 2.642 cm4Ix = 718.415 cm4

ry = 2.327 cm J = 0.461 cm6Iy = 63.642 cm

ro = 9.200 cm Cw = 4540.136 cm

2. Determinacin de Lcr

El valor de Lcr establece el valor de la longitud efectiva de la columna que divide el modo de pandeo por flexin del de flexotorsin. Dicho valor puede ser obtenido de manera grfica o mediante una solucin analtica.

A. Solucin Grfica.

Para una seccin canal, el valor de Lcr puede ser obtenido de la Fig. 6.12. A continuacin se presenta el clculo de los parmetros bsicos:

a = 203.200 3.429 = 199.771 mmb = 76.200 3.429/2 = 74.486 mmc = 0.0 cmb / a = 74.486/199.771 = 0.373c / a = 0t / a 2 = 3.429/(199.771)2 = 0.0000859 mm-1 = 0.0022 plg-1

Se puede observar en la Fig. 6.12 que debido al valor pequeo de t / a 2 , no se puede obtener un valor preciso de Lcr mediante la solucin grfica.

B. Solucin Analtica

Como se puede observar en la Fig. 6.9, el valor de Lcr se puede obtener de la Ec. (6.34), usando Py= (Pcr)3.

Py (Pcr ) 3

1 2b

(Px

Pz )

(Px

2Pz )

4bPx PzAl dividir la ecuacin anterior entre el rea se obtiene la Ec. (6.35):

1 2s ey

s TFO

(s ex2b

s t )

(s ex

s t )

4bs exs t

Asumiendo que KxLx = KyLy = KtLt = L y substituyendo en las Ecs. (5.67) a (5.69) se obtiene:

2 6 2Ec. (5.67): sex = p (2.073x10 )/[L/7.813]2 6 2Ec. (5.68): sey = p (2.073x10 )/[L/2.327]2 6 2 6 2Ec. (5.69): st = 1/[11.768(9.200) ][7.941x10 (0.461) + p (2.073x10 )(4540.136)/L ]

Substituyendo estas expresiones en la Ec. (6.35) y resolviendo para L se obtiene Lcr = 231.140 cm.


Como L = 183 cm < Lcr y el perfil C es una seccin abierta con simetra simple, controla la resistencia por pandeo latero-torsional sobre la resistencia por pandeo por flexin.

En caso de que se desconozca el valor de Lcr se deben investigar ambas resistencias y seleccionar la menor como la resistencia nominal. Para efectos ilustrativos, se calcularn ambas resistencias para demostrar que la resistencia por pandeo latero-torsional controla.

Resistencia debida a pandeo latero-torsional.

La resistencia se calcula segn la Seccin C4.2, Ec. (6.58). Asuma Kx = Ky = Kt = 1.0.Ec. (6.59): b = 1 (4.260/9.200)2 = 0.7862 6 2 2Ec. (5.67): sex = p (2.073x10 )/[183.000/7.813]

= 37293.446 kg/cm2 5 2 6 2Ec. (5.69): st = 1/[11.768(9.200) ][7.941x10 (0.461) + p (2.073x10 )(4540.136)/(183) ]= 3152.292 kg/cm2Ec. (6.58):

2Fe = 1/[2(0.786)]{(37293.446 + 3152.292) [(37293.446 + 3152.292) 4(0.786)(37293.446)(3152.292)]1/2} = 3092.453 kg/cm2

Resistencia debida a pandeo por flexin con respecto al eje dbil.

La resistencia se calcula segn la Seccin C4.1, Ec. (6.57).El eje dbil a flexin es el que genera la relacin de esbeltez mayor:(KxLx/rx) = 1.0(183)/7.813 = 23.423 (KyLy/ry) = 1.0(183)/2.327 = 78.642Por lo tanto, controla el eje y con KL/r = 78.6422 6 2 2Ec. (6.57): Fe = p (2.073x10 )/(78.642)

= 3308.186 kg/cmComo 3308.186 kg/cm2 > 3092.453 kg/cm2, controla el pandeo latero-torsional, tal como lo predijo la condicin Lcr > L.

Factor de esbeltez, lc = (3514/3092.453)

1/2

= 1.066


= (1.066)2

= 1.136(1.136) 2Ec. (6.54): Fn = [(0.658)

]3514 = 2184.270 kg/cm .



nLas propiedades efectivas se calculan para f = F = 2184.270 kg/cm2w1 = 76.200 (4.763 + 3.429) = 68.008 mmw1/t = 68.008/3.429 = 19.833 < 60, OKPara elementos a compresin no atiesados, k = 0.43Ec. (4.36): l = 1.052/(0.43)1/2[(19.833)(2184.270/2.073x106)1/2] = 1.033Como l > 0.673, se procede a calcular el factor de reduccin r. Ec. (4.37): r = (1 0.22/1.033)/1.033 = 0.762Ancho efectivo de diseo, b = rw = 0.762(68.008) = 51.822 mm

B. Ancho Efectivo de Alma

En este caso, no existe gradiente de esfuerzos, ya que no existe flexin.w2 = 203.200 2(4.763 + 3.429) = 186.816 mmw2/t = 186.816/3.429 = 54.481 < 500, OKPara elementos a compresin atiesados, k = 4.0Ec. (4.36): l = 1.052/(4.0)1/2[(54.481)(2184.270/2.073x106)1/2] = 0.930Como l > 0.673, se procede a calcular el factor de reduccin r. Ec. (4.37): r = (1 0.22/0.930)/0.930 = 0.821Ancho efectivo de diseo, b = rw = 0.821(186.816) = 153.376 mm

C. Area Efectiva, Ae

2Para este caso, Ae = A [2(w1 b) + (w2 d)]tAe = 1176.8 [2(68.008 51.822) + (186.816 153.376)]3.429 = 951.131 mm

= 9.511 cm2


Carga nominal de diseo, Ec. (6.53): Pn = 9.511(2184.270) = 20774.592 kg = 20.775 Ton. Mtodo ASD: Pa = Pn/Wc, donde Wc = 1.80. Por lo tanto, Pa = 20.775/1.80 = 11.541 Ton Mtodo LRFD: Pu = fcPn, donde fc = 0.85. Por lo tanto, Pu = 0.85(20.775) = 17.658 Ton

yEjemplo 6.4 Determinar la carga axial de diseo segn el Mtodo ASD y LRFD para el perfil C mostrado en la Fig. 6.22. Considere que la columna tiene apoyo lateral en los extremos contra el pandeo con respecto al eje x y apoyo lateral en los extremos y al centro del claro contra el pandeo por torsin y con respecto al eje y. Considere F = 2319 kg/cm2.

Fig. 6.22 Ejemplo 6.4 (cotas en mm)(4).



xA = 2.277 cm2 r4

= 3.810 cm xo

= 1.623 cm m = 1.008 cm4Ix = 32.882 cm

yI = 2.023 cm4

ry = 0.942 cm J = 0.0156 cm

o wr = 4.242 cm C = 37.058 cm6


El perfil C es una seccin abierta con simetra simple, por lo que se deber investigar la resistencia por pandeo latero-torsional y la resistencia por pandeo por flexin.


La resistencia se calcula segn la Seccin C4.2, Ec. (6.58). Asuma Kx = Ky = Kt = 1.0.En este caso, Lx = 122.000 cm, Ly = Lt = 61.000 cm.Ec. (6.59): b = 1 (1.623/4.242)2 = 0.8542 6 2 2Ec. (5.67): sex = p (2.073x10 )/[122.000/3.810]

= 19953.971 kg/cm

2 5 2 6 2Ec. (5.69): st = 1/[2.277(4.242) ][7.941x10 (0.0156) + p (2.073x10 )(37.058)/(61.000) ]= 5275.323 kg/cm2Ec. (6.58):

2Fe = 1/[2(0.854)]{(19953.971 + 5275.323) [(19953.971 + 5275.323) 4(0.854)(19953.971)(5275.323)]1/2} = 5028.033 kg/cm2

Resistencia debida a pandeo por flexin con respecto al eje dbil.

La resistencia se calcula segn la Seccin C4.1, Ec. (6.57).El eje dbil a flexin es el que genera la relacin de esbeltez mayor:(KxLx/rx) = 1.0(122)/3.810 = 32.021 (KyLy/ry) = 1.0(61)/0.942 = 64.756Por lo tanto, controla el eje y con KL/r = 64.7562 6 2 2Ec. (6.57): Fe = p (2.073x10 )/(64.756)

= 4879.092 kg/cmComo 5028.033 kg/cm2 > 4879.092 kg/cm2, controla el pandeo por flexin con respecto al eje y.1/2Factor de esbeltez, lc = (2319/4879.092)

= 0.689


= (0.689)2

= 0.475(0.475) 2Ec. (6.54): Fn = [(0.658)

]2319 = 1900.895 kg/cm .



nLas propiedades efectivas se calculan para f = F = 1900.895 kg/cm2w1 = 31.750 (4.763 + 1.448) = 25.539 mm w1/t = 25.539/1.448 = 17.637 < 60, OKPara elementos a compresin no atiesados, k = 0.43Ec. (4.36): l = 1.052/(0.43)1/2[(17.637)(1900.895/2.073x106)1/2] = 0.857Como l > 0.673, se procede a calcular el factor de reduccin r. Ec. (4.37): r = (1 0.22/0.857)/0.857 = 0.867Ancho efectivo de diseo, b = rw = 0.867(25.539) = 22.142 mm

B. Ancho Efectivo de Alma

En este caso, no existe gradiente de esfuerzos, ya que no existe flexin.w2 = 101.600 2(4.763 + 1.448) = 89.178 mmw2/t = 89.178/1.448 = 61.587 < 500, OKPara elementos a compresin atiesados, k = 4.0Ec. (4.36): l = 1.052/(4.0)1/2[(61.587)(1900.895/2.073x106)1/2] = 0.981Como l > 0.673, se procede a calcular el factor de reduccin r. Ec. (4.37): r = (1 0.22/0.981)/0.981 = 0.791Ancho efectivo de diseo, d = rw = 0.791(89.178) = 70.540 mm (sin considerar agujeros).El efecto de agujeros en elementos sujetos a compresin uniforme se considera en la Seccin B2.2 (ver Art. 4.4). La Seccin B2.2 aplica si se cumplen las siguientes limitantes:dh/w = 38.100/89.178 = 0.427 < 0.50, OK0.50w = 0.50(89.178) = 44.589 mm; 3dh = 3(38.100) = 114.300 mmDistancia centro a centro entre agujeros, s = 300 mm > 44.589 mm, > 114.300 mm, OKPor lo tanto, aplica la Seccin B2.2. Como l = 0.981 > 0.673, aplica la Ec. (4.77). Ec. (4.77): d = b = 89.178[1 0.22/0.981 0.8(38.100)/89.178]/0.981 = 39.448 mm Como 39.448 mm < 70.540 mm, controla d = 39.448 mm.


2Para este caso, Ae = A [2(w1 b) + (w2 d)]tAe = 227.7 [2(25.539 22.142) + (89.178 39.448)]1.448 = 145.853 mm

= 1.459 cm2



Ejemplo 6.5 Determinar la carga axial de diseo segn el Mtodo ASD y LRFD para el perfil angular mostrado en la Fig. 6.23. Considere KxLx = KyLy = KtLt = 50 cm. Considere Fy = 3865 kg/cm2.




y2A = 3.303 cm2 r4

= 2.238 cm J = 0.0256 cm46Ix = 39.958 cm4

ro = 6.425 cm Cw = 14.313 cmIxy = 23.392 cm

xo = 4.148 cm


El perfil angular es una seccin abierta con simetra simple, por lo que se deber investigar la resistencia por pandeo latero-torsional y la resistencia por pandeo por flexin.


La resistencia se calcula segn la Seccin C4.2, Ec. (6.58).Segn el AISI, el eje x es el eje de simetra del perfil (eje x2 de la Fig. A.7 del Apndice A). Se debecalcular el radio de giro, rx2 para el clculo de sex.

x2 x xyI = I + I = 39.958 + 23.392 = 63.350 cm4rx2 = (Ix2/A)

1/2

= (63.350/3.303)

1/2

= 4.379 cmEc. (6.59): b = 1 (4.148/6.425)2 = 0.5832 6 2 2Ec. (5.67): sex = p (2.073x10 )/[50.000/4.379]

= 156931.068 kg/cm2 5 2 6 2Ec. (5.69): st = 1/[3.303(6.425) ][7.941x10 (0.0256) + p (2.073x10 )(14.313)/(50.000) ]= 1008.177 kg/cm2Ec. (6.58):

2Fe = 1/[2(0.583)]{(156931.068 + 1008.177) [(156931.068 + 1008.177) 4(0.583)(156931.068)(1008.177)]1/2} = 1005.473 kg/cm2Resistencia debida a pandeo por flexin con respecto al eje dbil. La resistencia se calcula segn la Seccin C4.1, Ec. (6.57).El eje dbil a flexin es el que genera la relacin de esbeltez mayor:(KxLx/rx2) = 50.000/4.379 = 11.418 (KyLy/ry2) = 50.000/2.238 = 22.341Por lo tanto, controla el eje y2 con KL/r = 22.3412 6 2 2Ec. (6.57): Fe = p (2.073x10 )/(22.341)

= 40991.502 kg/cmComo 40991.502 kg/cm2 > 1005.473 kg/cm2, controla el pandeo latero-torsional.1/2Factor de esbeltez, lc = (3865/1005.473)

= 1.961Como lc > 1.5, controla la resistencia nominal por pandeo elstico dada por la Ec. (6.55).2 2Ec. (6.55): Fn = [0.877/(1.961) ]3865 = 881.442 kg/cm .



nLas propiedades efectivas se calculan para f = F = 881.442 kg/cm2w2 = 101.600 2(4.763 + 1.524) = 89.026 mm w2/t = 89.026/1.524 = 58.416Los patines del perfil angular son elementos a compresin con labios atiesadores. Ec. (4.58): S = 1.28(2.073x106/881.442)1/2 = 62.074; S/3 = 62.074/3 = 20.691Como S/3 < w2/t < S, aplica el Caso II de la Seccin B4.2 [Ecs. (4.60) a (4.66)]

Propiedades del labio atiesador (ver Fig. 4.42):D = 12.700 mm; q = 90d = w1 = D (R + t) = 12.700 (4.763 + 1.524) = 6.413 mmd/t = 6.413/1.524 = 4.208 < 14, OK3 3 4Is = d t/12 = (6.413) (1.524)/12 = 33.496 mmD/w2 = 12.700/89.026 = 0.143

Coeficiente de pandeo del patn de compresin, k [Ec. (4.62), n = para Caso II]: Como D/w2 < 0.80, usar la Ec. (4.63) para calcular ka:Ec. (4.63): ka = 5.25 5(0.143) = 4.535 > 4.0, Por lo tanto, usar ka = 4.0


= 399[58.416/62.074 (0.43/4)4

1/2]34

= 91.997Ia = 91.997(1.524)

= 496.265 mmEc. (4.60): C2 =33.496/496.265 = 0.067 < 1.0, OKEc. (4.62): k = (0.067)1/2(4.00 0.43) + 0.43 = 1.354

Determinacin del ancho efectivo, b:Ec. (4.36): l = 1.052/(1.354)1/2[(58.416)(881.442/2.073x106)1/2] = 1.089Como l > 0.673, se procede a calcular el factor de reduccin r. Ec. (4.37): r = (1 0.22/1.089)/1.089 = 0.733Ancho efectivo de diseo, b = rw2 = 0.733(89.026) = 65.256 mm

B. Ancho Efectivo de Labios Atiesadores

En este caso, no existe gradiente de esfuerzos, ya que no existe flexin. Para elementos a compresin no atiesados, k = 0.43d/t = 4.208Ec. (4.36): l = 1.052/(0.43)1/2[(4.208)(881.442/2.073x106)1/2] = 0.139Como l < 0.673, r = 1.0.Ancho efectivo del labio atiesador, ds = rd = 1.0(6.413) = 6.413 mmAncho efectivo reducido del labio atiesador [Ec. (4.64)]: ds = 0.067(6.413) = 0.430 mm


Para este caso, Ae = A 2[(w2 b) + (w1 ds)]t2 2Ae = 330.3 2[(89.026 65.256) + (6.413 0.430)]1.524 = 239.613 mm

= 2.396 cm



Ejemplo 6.6 Determinar la carga axial de diseo segn el Mtodo ASD y LRFD para el perfil Z

x x y y t t ymostrado en la Fig. 6.24. Considere K L = K L = K L = 762 cm. Considere F = 3865 kg/cm2.

Como se observa en la Fig. 6.24, la seccin Z es un miembro a compresin axial con un patn conectado a una lmina mediante tornillos. En este caso podra aplicar la Seccin C4.4 (ver Art.6.7). A continuacin se revisan las limitantes para la aplicacin de dicha Seccin:

1. t = 1.524 mm < 3.220 mm, OK2. d = 203.200 mm. Por lo tanto, 152 mm < d < 305 mm, OK3. Los patines tienen atiesadores de borde, OK4. d/t = 203.200/1.524 = 133.333. Por lo tanto, 70 < d/t < 170, OK5. d/b = 203.200/63.500 = 3.200. Por lo tanto, 2.8 < d/b < 56. w = b (R + t)[1 + tan(g/2)] = 63.5 (4.763 + 1.524)[1 + tan(0.8727/2)] = 54.281 mm w/t = 54.281/1.524 = 35.617. Por lo tanto, 16 < w/t < 50, OKNota: la expresin para el clculo de w se obtuvo de la Ec. A.78 del Apndice A. El ngulo de50 debe expresarse en radianes en la Ec. A.78. Esto es, 50(p/180) = 0.8727 rad.7. Se asume que ambos patines estn impedidos para desplazarse en los apoyos.8. Los tornillos se encuentran separados a 300 mm 305 mm, OK

y9. F = 3865 kg/cm2

> 2319 kg/cm2, OK10. La resistencia a compresin axial con respecto al eje fuerte (en este caso el eje x), se calculasegn la Seccin C4 y C4.1.

Como todas las limitantes se cumplen, se puede aplicar la Seccin C4.4. En el caso de que un miembro no cumpla con dichas limitante, no se podr considerar la restriccin parcial de la lmina y se deber usar la Seccin C4 y C4.1 para determinar la resistencia de la columna, considerando a

la distancia entre apoyos laterales para determinar el valor de Lx, Ly y/o Lt de la columna. Si no existen apoyos laterales entre los apoyos extremos, entonces dichos valores sern iguales al claro.




xA = 5.465 cm2 r

= 7.874 cm


Segn la Seccin C4.4, la resistencia a compresin axial con respecto al eje fuerte (en este caso es el eje x) se calcula segn la Seccin C4 y C4.1 y la resistencia a compresin con respecto al eje dbil (en este caso es el eje y) se calcula segn la Seccin C4.4.

Resistencia a Compresin Axial con Respecto al Eje x, Pnx. A. Clculo de FnKxLx/rx = 762/7.874 = 96.7742 6 2 2Ec. (6.57): Fe = p (2.073x10 )/(96.774)

= 2184.649 kg/cm1/2Factor de esbeltez, lc = (3865/2184.649)

= 1.330


= (1.330)2

= 1.769(1.769) 2Ec. (6.54): Fn = [(0.658)

]3895 = 1843.279 kg/cm .

B. Clculo de Ae

a) Ancho Efectivo de Patines

2Las propiedades efectivas se calculan para f = Fn = 1843.279 kg/cmw2 = b (R + t)[1 + tan(g/2)] = 63.5 (4.763 + 1.524)[1 + tan(0.8727/2)] = 54.281 mm w2/t = 54.281/1.524 = 35.617

Ec. (4.58): S = 1.28(2.073x106/1843.279)1/2 = 42.925; S/3 = 42.925/3 = 14.308Como S/3 < w2/t < S, aplica el Caso II de la Seccin B4.2 [Ecs. (4.60) a (4.66)]

Propiedades del labio atiesador (ver Fig. 4.42):D = 19.050 mm; q = 50d = w1 = D (R + t)tan(g/2) = 19.050 (4.763 + 1.524)tan(0.8727/2) = 16.118 mm(La expresin para d es equivalente a la Ec. A.80 del Apndice A)d/t = 16.118/1.524 = 10.576 < 14, OK3 2 3 2 4Is = d tsen q/12 = (16.118) (1.524)sen (0.8727)/12 = 312.084 mmD/w2 = 19.050/54.281 = 0.351

Coeficiente de pandeo del patn de compresin, k [Ec. (4.62), n = para Caso II]: Como D/w2 < 0.80, usar la Ec. (4.63) para calcular ka:Ec. (4.63): ka = 5.25 5(0.351) = 3.495 < 4.0, OK


= 399[35.617/42.925 (0.43/4)4

1/2]34

= 50.439 mm4Ia = 50.439(1.524)

= 272.086 mmEc. (4.60): C2 = 312.084/272.086 = 1.147 > 1.0. Por lo tanto, usar C2 = 1.0Ec. (4.62): k = (1.00)1/2(3.495 0.43) + 0.43 = 3.495

Determinacin del ancho efectivo, b:Ec. (4.36): l = 1.052/(3.495)1/2[(35.617)(1843.279/2.073x106)1/2] = 0.598Como l < 0.673, r = 1.0.Ancho efectivo de diseo, b = rw2 = 1.0(54.281) = 54.281 mm

b) Ancho Efectivo de Labios Atiesadores

En este caso, no existe gradiente de esfuerzos, ya que no existe flexin. Para elementos a compresin no atiesados, k = 0.43d/t = 10.576Ec. (4.36): l = 1.052/(0.43)1/2[(10.576)(1843.276/2.073x106)1/2] = 0.506Como l < 0.673, r = 1.0.Ancho efectivo del labio atiesador, ds = rd = 1.0(16.118) = 16.118 mmAncho efectivo reducido del labio atiesador [Ec. (4.64)]: ds = 1.0(16.118) = 16.118 mm

c) Ancho Efectivo de Almas

En este caso, no existe gradiente de esfuerzos, ya que no existe flexin.w3 = 203.200 2(4.763 + 1.524) = 190.626 mmw3/t = 190.626/1.524 = 125.083 < 500, OKDeterminacin del peralte efectivo, dPara elementos a compresin atiesados, k = 4.0Ec. (4.36): l = 1.052/(4.0)1/2[(125.083)(1843.276/2.073x106)1/2] = 1.962Como l > 0.673, se procede a calcular el factor de reduccin r. Ec. (4.37): r = (1 0.22/1.962)/1.962 = 0.453Ancho efectivo de diseo, d = rw3 = 0.453(190.626) = 86.354 mm d) Area Efectiva, AePara este caso, Ae = A [2(ds ds) + 2(w2 b) + (w3 d)]tAe = 546.5 [2(16.118 16.118) + 2(54.281 54.281) + (190.626 86.354)]1.524= 387.589 mm2 = 3.876 cm2

C. Clculo de Pnx

Pnx = 3.876(1843.276) = 7144.538 kg = 7.145 Ton.

Resistencia a Compresin Axial con Respecto al Eje y, Pny.

x = a/b = 31.750/63.500 = 0.500C1 = 0.79(0.500) + 0.54 = 0.935C2 = 0.0461(1.524) + 0.93 = 1.000C3 = 0.0984(63.500) 0.0642(203.200) + 22.8 = 16.003

nyEc. (6.61): P = 0.935(1.000)(16.003)(5.465)(2.073x106)/29500 = 5746.196 kg = 5.746 TonComo 5.746 Ton < 7.145 Ton, entonces Pn = 5.746 Ton


Mtodo ASD: Pa = Pn/Wc, donde Wc = 1.80. Por lo tanto, Pa = 5.746/1.80 = 3.192 Ton

Mtodo LRFD: Pu = fcPn, donde fc = 0.85. Por lo tanto, Pu = 0.85(5.746) = 4.884 Ton

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(540498180) Pandeo Torsional y Flexotorsional