1.1.4. Superficie Extendida

La cantidad de calor que disipa un cuerpo a un medio fluido depende de su

temperatura y rea de transferencia de calor: cuando no puede modificar la

superficie del cuerpo, extendindola mediante el uso de aletas: estas aletas

tiene diversas formas y tamaos que pueden adaptarse a superficies ya sean

planas, cilndricas, esfricas u otras.

El clculo de dichas aletas debe realizarse en forma terica, concluyendo este

estudio con el concepto prctico de la eficiencia de aletas, cuya utilizacin es

muy rpida y efectiva dentro de la ingeniera moderna.

Diversos tipos de aletas se muestran n las figuras 1.1.4.a. y 1.1.4.b.

1.1.4.1. Clasificacin de las Superficies Extendidas

Las superficies extendidas son muy diversas y cuando ms complicadas son, ms

difcil de obtener un modelo matemtico de clculo; la clasificacin que

presentamos en la figura 1.1.4.1 se refiere a superficies extendidas que poseen

modelos matemticos de clculo.

Tipo de Aletas N Perfil Nombre Tipo de Seccin

REC

TAS

1 RECTANGULAR Recta Constante

2 PARABLICA Recta Variable

3 PIRAMIDAL Recta Variable

4 HIPERBLICA Recta Variable

CIR

CU

LARES

5 RECTA Curva Variable

6 HIPERBLICA Curva Variable

SECC

IN

CIR

CU

LAR (ESPIN

AS)

7 CILNDRICA Circular Constante

8 PARABLICA Circular Variable

9 CNICA Circular Variable

10 HIPERBLICA Circular Variable

1.1.4.2. Ecuacin General para Superficies Extendidas

Las superficies extendidas de uso prctico se caracterizan por lo siguiente:

El espesor de las aletas generalmente es pequeo, en consecuencia el

gradiente de temperaturas tambin es pequeo en esta direccin y el modelo

unidimensional es un mtodo muy aproximado para su evaluacin.

El material con el cual se los construye tiene una conductividad trmica

elevada a fin de transmitir mejor el calor.

La conductividad trmica para los metales y algunas aleaciones puede

considerarse constante.

Generalmente se les ubica del lado del fluido que tiene un coeficiente

pelicular pequeo.

La longitud de la aleta es relativamente grande con respecto a su espesor.

La hiptesis unidimensional nos ofrece un resultado diferente al

comportamiento real de una aleta. Por eso los clculos con las ecuaciones no

son valores exactos para dichas aletas.

La hiptesis unidimensional implica que la temperatura en cada seccin

recta sea constante.

La seccin recta de la aleta puede ser constante o variable segn las

necesidades de uso.

En consecuencia para la superficie extendida mostrada se puede escribir un

balance termodinmico a fin de obtener una ecuacin general que nos permita

evaluar la distribucin de temperaturas y el flujo de calor.

Balance Calor

+ = +

Matemticamente

radiacinyconveccindxxx qqdvqq ''' +=+ =

Con la serie de Taylor: .....

22

+

+

+==

dxxqdx

xqqq xxxdxx

Remplazando en la ecuacin matemtica sin tomar en cuenta la

generacin interna:

0''' =dvq 0

=

radiacinyconveccinx qdx

xq

La ecuacin general de conduccin para superficies extendidas es:

( ) 0

=

TTShdx

xq

xSxcrx

Donde:

crh = Coeficiente combinado de transferencia de calor en ( )KmW 2/ .xS = rea lateral de la superficie extendida en ( ) dxPm x =2 .xP = permetro del slido diferencial en ( )m .

xST = Temperatura de la superficie exterior de la superficie extendida y

temperatura en toda la seccin en la posicin x en ( )K .

T = Temperatura del medio fluido que rodea a la superficie extendida en ( )K .

Calor que ingresa por conduccin por unidad de tiempo d

Calor generado por el cuerpo en el tiempo d

Calor que sale por conduccin por unidad de tiempo d

Calor por conveccin y radiacin en la superficie por unidad de tiempo d

1.1.4.3. Superficies Extendidas de Seccin Recta Constante

En este tipo de superficies extendidas la seccin recta puede adoptar diferentes

geometras que pueden ser crculos, cuadrados, rectngulos, tringulos y

cualquier otra geometra que podamos imaginar siempre y cuando sea constante

a todo lo largo de la aleta.

En la figura indicamos un caso genrico que nos ilustra las caractersticas de este

tipo de superficies extendidas donde el permetro xP es un valor constante.

La Ecuacin Diferencial

La ecuacin de Fourier: ( )dxdTAKq xSxx / = Reemplazando en la ecuacin general de conduccin:

( )[ ] ( ) 0

/

=

TTShdx

xdxdTAK

xSxcrxSx

Si en la superficie de seccin recta constante el permetro ( )xP , el rea de la seccin recta ( )xA y la conductividad trmica ( )K , se mantienen constantes, entonces la ecuacin diferencial puede escribirse de la siguiente manera:

( )

=

TT

AKPh

dxTd

xScrxS

2

2

La Ecuacin de Distribucin de Temperaturas

Haciendo: ( )[ ] 2/1/ AKPhm cr = La solucin de la ecuacin diferencial es: ( ) xmxmxS eCeCTT += 21

Condiciones de Contorno:

==

==

0

2

1

Lxp a r aTTxp a r aTT

Reemplazando en la ecuacin integrada se tiene:

( ) 211 CCTT += ( ) LmLm eCeCTT

+= 212

Resolviendo se encuentran las constantes de integracin:

( ) ( )

=

LmLm

Lm

eeeTTTT

C 121

( ) ( )

=

LmLm

Lm

eeeTTTTC 122

Reemplazando en la ecuacin integrada se obtiene la ecuacin de

distribucin de temperaturas:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xmLmLmLm

xmLmLm

Lm

xS eeeeTTTTe

eeeTTTTTT

+

=1212

La Temperatura Mnima

xmxmxS emCemC

dxdT

==

21

0

Entonces: xmxm eCeC = 21

=

1

2min ln2

1CC

mX T

Nota.- La temperatura mnima se obtiene reemplazando en la ecuacin de

distribucin el valor de x por min TX entonces: min TT xS = de la aleta.

Las Ecuaciones para el Flujo de Calor

xmxmxS emCemC

dxdT

=

21

Flujo de calor en 0=x : ( ) 0 0 / == = xxSx dxdTAKqSi el gradiente de temperaturas es: ( ) ( )210 / CCmdxdT xxS ==Reemplazando en la ecuacin de Fourier: ( )210 CCmAKq x ==

( ) ( ) ( )

+=

= LmLm

LmLm

crx eeeeTTTTAKPhq 120

2

Flujo de calor en Lx = : ( ) LxxSLx dxdTAKq == = / Si el gradiente de temperaturas es: ( ) ( )LmLmLxxS eCeCmdxdT = = 21 /Reemplazando en la ecuacin de Fourier:

( )LmLmx

eCeCmAKq =

= 210

( ) ( ) ( )

+=

= LmLm

LmLm

crx eeTTeeTTAKPhq 12

0

2

Flujo de Calor al Medio Perifrico

( ) = x xScrxS TTdshdq0

Si: dxPds x = ( ) = L xSxcrxS dxTTPhq0

Con: crh , PPx = constantes ( ) = L xScrxS dxTTPhq0

Si: ( ) xmxmxS eCeCTT += 21

( ) += L xmxmcrxS dxeCeCPhq0

21

Integrando: ( ) ( )[ ]11 21 = LmLmcrxS eCeCmLPhq Con: ( )[ ] 2/1/ AKPhm cr = , usando 1C , 2C y simplificando, se obtiene:

( ) ( )

++=

LmLm

LmLm

crxS eeTTTeeAKPhq 22 21

1.1.4.4. Casos Particulares

En la prctica existen superficies extendidas cuyas caractersticas son

particulares, en ellas se usan ecuaciones simplificadas en forma ms directa.

Existen 3 casos particulares simples y de utilidad prctica, cuyas ecuaciones

tambin pueden reducirse a partir de las ecuaciones de distribucin de

temperaturas y flujo de calor. Estos casos particulares son:

a) Superficies extendidas de longitud infinita.

b) Superficies extendidas con un extremo adiabtico.

c) Superficies extendidas en las cuales se considera el calor perdido en el

extremo libre, en contacto con el fluido.

En la figura 1.1.4.4. se muestran estas superficies extendidas.

a)

=TT2

b) 0 ==Lx

q

c) ( )=

= TTAhq xcrLx 2

Superficies Extendidas de Longitud Infinita

Sea una superficie extendida de seccin recta constante de longitud L , con

temperaturas en sus contornos 1T y TT2 ; como se muestra en la figura

1.1.4.4., para lo cual calcularemos la distribucin de temperaturas y el flujo de

calor.

Ecuacin de Distribucin de Temperaturas

Utilizando la ecuacin generalizada con la condicin, TT2 para

L , se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xmLmLmLm

xmLmLm

Lm

xS eeeeTTe

eeeTTTT

+

=11

00

Ordenando la ecuacin en forma conveniente:

( ) ( ) ( )

+

=

11 21

21

Lm

xm

Lm

xm

xS eeTT

eeTTTT

Y si L entonces: Lme2 y ( )

012

1

Lm

xm

eeTT

02 Lme y [ ] 112 Lme En consecuencia la distribucin de temperaturas es:

( ) ( ) xmxS eTTTT = 1

Ecuaciones para el Flujo de Calor

El calor disipado por la superficie extendida se disipa por la superficie lateral S y

este calor ingresa por la raiz de la superficie extendida.

En consecuencia puede calcularse de dos maneras:

Usando el Flujo de Calor Conducido en la Raiz

00 ==xq

Para la condicin TT2 la ecuacin de conduccin se reduce a:

( )

+=

= LmLm

LmLm

crx eeeeTTAKPhq 10

Multiplicando y dividiendo por Lme para levantar la indeterminacin cuando

0L

( )

+=

= Lm

Lm

crx eeTTAKPhq 2

2

10 /111/1

Cuando L , entonces: 1/11

1/12

2

+

Lm

Lm

ee

Por lo tanto: ( )= == TTAKPhqq c re x t e n d i d ae r f i c i ex 1s u p0 Usando el Flujo de Calor Convectivo en el rea Lateral de la Sauperficie

Extendida

( ) =00

TTdshdq sxcrt

, dxPds =

( ) dxTTPhq sxcr = 0

Usando ( ) ( ) xmsx eTTTT = 1( ) dxeTTPhq xmcr =

0

1

( ) ( )01 1 = mmcr eemTTPhqEl trmino ( ) 10 mm ee y con

AKPhm cr

= se tiene:

( )

=== TTAKPhqq c r

e x t e n d i d ae r f i c i ex 1s u p0

Nota: El mismo resultado se obtiene reduciendo la ecuacin general de calor

para la superficie extendida.

MAGNITUDES SELECCIONADAS DE LAS FUNCIONES BESSEL

Z Io(z) I1(z) 2 K0(z)/ 2 K1(z)/0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.02.22.42.62.83.03.23.43.63.84.04.24.44.64.85.05.25.45.65.86.06.26.46.66.87.07.27.47.67.88.08.28.48.68.89.09.29.49.69.810.0

1.00001.01001.01011.09201.16651.26611.39371.55341.75001.98962.27962.62913.01933.55334.15734.88085.74728.78189.02779.516011.301913.442516.010419.092622.793727.239932.583639.008846.737656.038167.234480.720096.9800

116.5400140.1400168.6000202.9000244.3000294.3000354.7000427.6000515.6000621.9000750.5000905.80001093.60001320.70001595.30001927.00002329.0000

*********

0.00000.10050.20100.31370.43290.56520.71470.86611.08101.31721.59861.91412.29012.75343.30113.95344.73135.67016.79278.14049.758511.705614.046216.862620.252824.335629.254335.182142.328350.946261.641973.800089.0300107.3000129.3800156.0400188.3000227.2000274.2000331.1000399.9000483.0000583.7000705.4000852.7000

1030.90001246.70001507.90001624.00002207.0000

*********

Infinito1.11600.70950.49500.35990.26800.2028

0.155120.119660.092900.072510.056830.011700.085270.027900.022120.0175680.0139780.0111410.028891*

0.0271850.0256430.0245510.0236480.0229270.0223500.0218880.0215180.0212210.0698320.0879200.0363820.0351560.0341510.0333500.0327040.0321840.0317650.0314260.0311530.0493250.0475430.0461040.0449410.0440000.0432390.0426240.0421260.04172260.04139620.0411319

Infinito3.01001.39100.82940.51850.38320.27670.2013

0.153190.116260.089040.068690.005330.011560.032540.025560.020140.0159150.0126020.029999*

0.0279470.0263270.0250440.0240270.0232180.0225750.0220620.0216530.0213260.0210650.0385560.0368790.0355340.0344550.0335880.0328910.0323310.0318800.03115170.03122500.0498910.0479910.0464580.0452200.0442210.0434150.0427630.04223600.04181000.04143600.0411870

En las columnas para K0(z) y K1(z) desde estos puntos hacia abajo las cifras ubicadas en los centsimos indica el # de ceros despus del punto decimal.

Ejercicio

Con la finalidad de mantener un sistema a 400C, es necesario disipar por lo

menos 180 Watt. Si se sabe que el otro ectremo se encuentrra mantenido a

100C , por otro sistema como se muestra en la figura.

a) Verificar si se dsipan por lo menos 180 Watt, procedentes del sistema a

400C.

b) Calcular cuanto es disipado hacia el aire.

c) Calcular cuanto es disipado al medio a 100C.

Barra extendida cilndrica: cm 5= Conductividad trmica: mKWK / 60=

Coeficiente pelicular superficie aire: KmWhcr 2/ 8= Longitud: cmL 20= Temperatura del aire: CT = 20

Solucion:

Ubicando la superficie extendida en un eje de coordenadas se tiene:

Calculo del calor disipado por el sistema a 400 C

( ) ( ) ( )

+=

= LmLm

LmLm

crx eeeeTTTTAKPhq 120

2

Si KmWhcr 2/ 8= ; mKWK / 60=

05.0== pipi DP mP 157.0=

405.0

4

22== pipi

DA 23 1096349.1 mA =

31096349.160157.08

=

=

AkPhm cr 1 265.3 = mm

2.0265.3 = Lm 653.0= Lm

921.1=Lme

52.0= Lme

KWAKPhcr / 384.0109634.160157.08 3 ==

Reemplazando valores

( ) ( ) ( )

+

= 52.0921.1921.1520.020400201002384.00xq

Wq x 86.2100 ==

Luego el sistema a 400C disipa 210.86 W > 180 W, en consecuencia es

conforme esta condicin.

Calculo del calor entregado al aire:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 ...

...1

12

12extendidasuperficie

=

LmLmLm

Lm

LmLmLm

Lm

cr

eee

eTTTT

eee

eTTTTAKPhq

Reemplazando valores:

Wq 8 2 7.5 5e x t e n d i d as u p e r f i c i e=

Calculo del calor disipado al medio a 100C

El calor disipado al medio a 100C es la diferencia de ambos calores827.5586.210 =

=Lxq Wq Lx 04.155==

Este calor puede ser tambin obtenido mediante la expresin Lxq = y el

resultado es el mismo

Problema

El sistema de sujecin para la galvanizacin de tubos consta de tres cables de

2cm de dimetro como muestra la figura. Cuando se sumerge el sistema en el

bao de zinc, calcular:

a) La temperatura en la interseccin de los tres cables.

b) El calor que pierde la cuba de zinc por intermedio de los cables de

sujecin.

Coeficiente combinado entre el cable y el aire: KmWhcr 2/ 5=

Temperatura ambiente: CT = 20

Conductividad termica del cable: mKWK / 20=

Temperatura del bao de zinc: CTZn = 400

Solucion:

Usando los siguientes sistemas coordenados:

Balance de Calor en el Sistema

002 == = yx qq

Si:

mP 0628318.002.0 == pi

( ) mA 1014159.302.0 42 ==piKWAKPhcr / 04428.01014159.3200628318.05 4 ==

1 071.7 =

= mAKPhm cr

Cable con Eje y

4.0071.7 = Lm 8284.2= Lm

9188.16=Lme

0591.0= Lme

Cable con Eje x

Calculo del Calor Conducido en y=o (Superficie extendida con extremo

adiabtico)

( ) ( )LmtghTTAKPhq cry = = 10( ) ( )8284.2 200444.0 10 tghTq y ==

8824.004412.0 10 == Tq y (A)

Calculo del Calor Conducido en x = 0 (Suprficies Ext. Con T1 y T2 = 400C)

( ) ( ) ( )

+=

= LmLm

LmLm

crx eeeeTTTTAKPhq 120

2

( ) ( ) ( )

+=

= 493.324.28624.286493.3202040020444.022 10

Tq x

10 091.00598.22 Tq x = = (B)

Igualando las ecuaciones (A) y (B):

11 091.00598.28824.004412.0 TT = CT = 76.211

Clculo del Calor en x = 0

2

76.21091.00598.20

=

=xq Wq x 03982.00 ==

Clculo del Calor en x = L

( ) ( ) ( )

+=

= LmLm

LmLm

crLx eeTTeeTTAKPhq 12 2

( ) ( ) ( )

+=

= 4934.324.2862076.2124934.324.286204000444.0Lxq

Wq Lx 28.17==

El calor que pierde la cuba por los cables es:

228.17 =cubaq Wqcuba 56.34=

Ejercicio

Comparar la disipacin de calor por unidad de masa de aletas rectangulares con

pirmides, instaladas en una pared de 600 C y el coeficiente combinado es de

KmW 2/ 30 . Para una temperatura ambiente de CT = 40 . Cualquiera de las

aletas tiene 3 cm de espesor en la base y 10 cm de altura; el material es acero

inoxidable ( mKWK / 25= ); determinar tambin las ecuaciones de distribucin

de temperatura.

Solucin:

Calculo de la aleta piramidal

Valor B:

2/1 828.203.025301.022

=

=

= mtKhLB

El flujo de calor es:

( ) ( )( )

=

=

=LBILBITTtKhb

dxdTAKq scr

Lx 222

0

1

Si:

( ) ( ) ( ) 975.1788.11.0828.222 === ooo IILBI( ) ( ) ( ) 303.1788.11.0828.222 111 === IILBI

Para 1 m de ancho:

( )975.1303.14060003.025302 = xxxq

mWq 4.2 4 7 8=

Masa de la aleta por metro de ancho:

mkg

bLt 8.11

21.003.07865

2=

=

Calor por unidad de masa que disipa la aleta piramidal:

kgW

mq 2108.114.2478

==

Calculo de la aleta rectangular:

Valor de m

( )( )

( )( )tK

hAKPhm crcr

=

=2

1 944.803.025

302

=

= mm

( ) ( )( ) ( )( ) ( )Lmsenh

KmhLm

LmKm

hLmsenhTTsAKPhq

cr

cr

craleta

+

+

=

cosh

cosh

( ) ( )( ) ( )( ) ( )894.0

2594.830894.0cosh

894.0cosh2594.8

30894.04060003.025230

senh

senhqaleta

+

+=

mW

a le taq 5.2 9 0 5=

Calor por unidad de masa que disipa la aleta recta

La masa de la aleta es el doble de la piramidal entonces:

kgW

mq 1.1236.235.2905

=

=

1.1.4.5. Eficiencia de Aletas y Eficiencia de Superficies Aleteadas

a) Eficiencia de aletas

Se define la eficiencia de una aleta como la relacin entre el calor terico

entregado y el calor disipado como si la aleta estuviese a la temperatura de la

raz. Matemticamente:

raiz la de maxima ra temperatula a

teorico

QQ

aleta =

Donde:

El calor terico se calcula con cualquiera de las ecuaciones tericas calculadas

con los modelos matemticos anteriormente dados y el calor a la temperatura

mxima de la raz es aquel calor convectivo como si toda la aleta estuviese a

dicha temperatura, con respecto al medio ambiente. Por ejemplo:

Aleta Genrica

Si 21 TT >

( )

= TTAhQ aletacr 1raizmax T

Aleta Particular

( )

= TTAhQ aletacr 1raizmax T

b) Eficiencia total de las superficies aleteadas

Para la superficie aleteada que se muestra, se observa que existen partes o

superficies que no tienen aletas y que tambin ceden calor al medio fluido,

entonces para una superficie aleteada el calor cedido al medio fluido esta

compuesto por el calor cedido por las aletas ms el calor cedido por la superficie

que no posee aletas.

Matemticamente se puede expresar asi:

a l e t a sqqq +=a l e t a ss i n

s u p e r f i c i ea l e t e a d as u p e r f i c i e

Esta ecuacin bsica puede adoptar diferentes formas incluso en funcin de la

eficiencia de las aletas como sigue.

Calor Disipado por las Aletas

La eficiencia de aletas es:

razlademximaatemperaturlaa

disipadotericofaletas Q

Q==

frazlademximaatemperaturlaadisipadoterico QQ =

( )

= TTAhq aletascrfaletas 1

Calor de la Superficie sin Aletas

( )

= TTAhq c r 1a l e t a ss i n

s u p e r f i c i es i n a l e t a ss u p e r f i c i e

El Calor Total Disipado es entonces

( )

+= TTAhAhq c ra l e t a sc rfd i s i p a d ot o t a l 1

a l e t a ss i ns u p e r f i c i e

Si el calor disipado se le define en funcin de una eficiencia total se puede

escribir:

)( 1 = TTAhq T o t a lnt r a n s m i s i od e

t o t a lc rd i s i p a d ot o t a l

Igualando estas dos ltimas expresiones se tiene:

( )aletasaletasfTotalTotal AAA sin+=

Total

aletasaletasfTotal A

AA )( sin+=

( )fT

fTotal nA

A

= 11

Conclusion

Si se conoce el calor terico y los otros parmetros de las aletas tambin pueden

conocerse entonces el calor a la temperatura mxima de la raz en consecuencia

la eficiencia de la aleta. Estos resultados han sido procesados y llevados a tablas

o graficas, donde con las relaciones dimencionales pueden obtenerse las

eficiencias de las aletas mas conocidas. Al final de la seccin las graficas 1.1.4.5

se muestran eficiencias de aletas resumidas en un solo grafico y adems

eficiencias para aletas particulares.

Rectangular

Af = 2wLcLc = L+(t/2)

t

w

L

c

cf Lm

Lm

=tanh

Triangular

Af = 2w[L2 + (t/2)2]1/2

w

L

t

nf = mL1

(I1(2mL) / I0(2mL))

ParablicaAf = w[C1L2 + (L2 /2)ln(t/L + C1 )]C1 = [1+ (t/L)2]1/2

w

L

t

nf = ]1)1)(4[2

2/12 ++mL

Rectangular

Af =2 )(2

12

2 rr c pi

r2c =r2+(t/2)L

t

r1 r2

nf =C2

)()()()()()()()(

211211

2111211

coco

cc

mrImrKmrKmrImrKmrImrImrK

+

C2 = )()2(2

12

2

1

rrlmr

c

Ejercicio

Para un tubo transmisor de calor con fluidos interior y exterior de CT i 300= ,

con KmWhcri 2/ 50= y CT e 50= , con KmWh cri 2/ 10= ; al cual se le quiere

mejorar la transmisin de calor con aletas circulares de 1 cm de espesor, cuy

altura es de 3 cm y se encuentran espaciadas 1.5 cm. Calcular en cuanto

aumentar esta disipacin de calor si las aletas con 50 y 60 W/mK

respectivamente y considerando que el tubo mencionado tiene los siguientes

dimetros:

cmexterior 4= , cmerior 3int =

Solucin:

[ ] =

=

n

iiei RTTq

1

/

[ ] [ ]ecrKicrei RRRTTq / ++=

El flujo de calor es:

Calor disipado por el tubo sin aletas

[ ] =

=

n

iiei RTTq

1

/

[ ] [ ]ecrKicrei RRRTTq / ++= La resistencias son:

WmKrh

Ricr

icr / 2122.0103501

21

20

=

=

=pipi

( ) ( ) WmKKDD

RK / 101572.95023/4ln

2/ln 412 =

=

=

pipi

WmKrh

Recr

ecr / 7958.0104101

21

22

=

=

=pipi

++

= 7958.0101572.92122.0

503004q mWq / 7954.247=

Calor disipado por el tubo con aletas

cmcmcmr 5 3 22 =+=

cmr 21 =

( ) ( ) ( ) ( )

++

=

22e 12 /127/ln/1 TTcriicrei

nAhLKrrAhTT

qpi

La resistencias trmicas por unidad de longitud son:

WmKR icr / 2122.0 =

WmKRK / 101572.94=

Clculo de 2 crR : nffT AAA +=2

Nmero de aletas: ( ) cmcmN

5.11 100

+= 40=N

rea de las aletas: ( )

+

= tDDDNA f2

2

21

22 2

44pi

pipi

( )11.02404.0

41.040 2

22

+

= pipipi

fA

2 6534.0 mA f =

rea no aleteada: ( ) ( )[ ]tDNDAnf = 11 100 pipi ( ) ( )[ ]01.004.040104.0 = pipinfA 2 0754.0 mAnf =

rea total de transferencia de calor: 0754.06534.02 +=TA

22 6346.0 mAT =

Calculo de la eficiencia total:

2/132/ +=+= tLLC cmLC 5.3=

5.052/22 +=+= trr C cmr C 5.52 =

( )5.31== Cm LtA 2 5.3 cmAm =2/5.5/ 12 =rr C 75.2/ 12 =rr C

[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] 1429.000035.060/10035.0/ 2/12/32/12/3 == mcrC AKhLUtilizando el grfico de eficiencias:

[ ]fT

fT nA

An

= 112

2 9552.02 =Tn

Por lo tanto: 9551.07288.01011

22 2

=

=

TTecrcr nAh

R

WmKRcr / 1436.02 =

El calor es:

++

= 1436.0101572.92122.0

503004q mWq / 7434.700=

PRIMERA PRCTICA DE TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA

Problema 1

Un cilindro compuesto, en cuyo interior se ha hecho el vaco, tiene alojada una

resistencia elctrica cilndrica de 0.05 m de dimetro y se encuentra a 300 C (en

su superficie).

a) Calcular la temperatura de interfase (T2).

b) Calcular el flujo de calor al medio ambiente.

mr 2.01 = mKWK / 601 =

mr 3.02 = mKWK / 302 =

mr 4.03 =

KmWh e 2 / 8=CT e 10 =

Solucin:

Flujo de Calor en el vaco

( ) ( )4148414 57305.01067.5 TL TTALq S == pi( )4149 573100478.9 TLq =

Flujo de Calor en el slido 1 y 2

( ) ( ) ( ) ( )2121121

02.0/03.0ln602

/ln2 TTTT

rrK

Lq

=

=

pipi

( )217745.929 TTLq

=

Flujo de Calor en el slido 2 y 3

( ) ( ) ( ) ( )3232232

03.0/04.0ln302

/ln2 TTTT

rrK

Lq

=

=

pipi

( )322218.655 TTLq

=

Flujo de calor en la pelcula exterior

( ) ( )104.0282 333 == TTTrhLq

pipi

( )101062.20 3 = TLq

Iterando desde CT 03 = :

3T Lq / 2T 1T Lq /

0 -201.0619 -0.3069 -0.5231 975.350858.5100 975.3508 59.9986 61.0476 975.225158.5037 975.2251 59.9921 61.0410 975.2252

a) La temperatura CT 9921.593 = aproximadamente.

b) El calor disipado en el ambiente es mW / 2252.975 aproximadamente.

Problema 2

Una barra de 30 mm de dimetro y de 0.8 m de longitud de acero

( )mKWK / 50= , se encuentra unida en sus extremos a dos paredes que se mantienen a 160 C. La temperatura ambiente es de 20 C y el coeficiente

pelicular es de KmW 2/ 12 .

a) Hallar la ecuacin de distribucin de temperaturas.

b) Hallar la mnima temperatura de la barra y su ubicacin.

c) Hallar el calor transferido por la barra al ambiente.

Solucin:

Calculo de m

4/03.02603.012

2 pi

pi

=

=

AKPhm cr 1 8446.7 = mm

La ecuacin de distribucin de temperaturas

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xmLmLmLm

xmLmLm

Lm

xS eeeeTTTTe

eeeTTTTTT

+

=1212

( ) xmxmxS eeTT += 7371.1392629.0 207371.1392629.0 ++=

xmxmxS eeT

La posicin de la mnima temperatura

01879.10960624.2 == xmxmxS eedx

dT

mX T 4..0min =

La mnima temperatura en la barra

207371.1392629.0 minminmin ++= TT XmXm eeT

CT 1224.32min =

Calor transferido por la barra al ambiente

( ) ( ) 00 /2 2 == == xxbarra dxdTAKqq

1255.10941879.10960624.2 0

===x

xS

dxdT

Wqbarra 8070.92=

Problema 3

Calcular la temperatura mxima y su ubicacin en la siguiente placa con

generacin interna de calor.

Fluido i

KmWh i 2/ 20=CT i 15=

2 1mAi =

Fluido e

KmWh e 2/ 10=CT e 10=

Placa

mKWK / 20=35 / 10''' mWq =

Aletas

mAT 4=

mA f 8.3=

9.0=fn

Solucin:

Calculo de la temperaturas superficiales T1 y T2 (considerando que el flujo de

calor es igual en X = 0 y en X = L).

( )1120 2''' TTAhKLq

LTTAKq iicriiX =

+

=

=

( )15

120

15120202

03.01003.0

120 TTTqX

=

+

=

=

7.203.1 12 = TT (1)

( )fT

fT nA

An = 11 , ( )9.01

48.31 =Tn 905.0=Tn

( )eTTcreiLX TTnAhKLq

LTTAKq

==

= 2

12

2'''

( )10905.0410202

03.01003.0

120 25

120

=

=

=

TTTqX

6887.29434.0 12 += TT (2)

De las ecuaciones (1) y (2):

=

=

CTCT

3 8 8 9.6 1 2 2 2 2.6 2

2

1

Posicin de la Temperatura Mxima:

+

=

+

= 5

512

max 1020

20203.010

03.02222.623889.61

'''2'''

qK

KLq

LTTX T

mX T 0094.0max =

Temperatura Mxima:

1max122

maxmax 2'''

2''' TX

KLq

LTTX

KqT TT +

+

+

=

( ) ( ) 2222.620094.0202

03.01003.0

2222.623889.610094.0202

10 525max +

+

+

=T

CT 4452.62max =

EXAMEN PARCIAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR

Problema 1

Un horno cilndrico est formado por 3 capas de materiales diferentes (la pareces

no generan calor). Los materiales son los siguientes:

Ladrillo al cromo: mKWK / 30.01 = ; Temp. mxima de operacin 1500

C

Ladrillo al magnesio: mKWK / 50.02 = ; Temp. mxima de operacin 800

C

Ladrillo comn: mKWK / 344.03 = ; Temp. mxima de operacin 300 C

Calcular el espesor de cada una de las capas del horno.

Fluido interior

KmWhcri 2/ 20=CT i 1600=

Fluido exterior

KmWhcre 2/ 40=CT e 20=

mr 30.01 =

mL 00.1=

Problema 2

Para calentar aire desde 15 C hasta 27 C, a presin constante, se utilizan dos

tubos con aletas circulares como se muestra en la figura. Calcular la cantidad de

kg/hr que deben pasar para las condiciones dadas.

Aleta GenricaRectangularTriangularParablicaRectangularAf =2r2c =r2+(t/2)