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5.5 對數函數的導數

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5.5 對數函數的導數

學習目標 求自然對數函數的導數。 用微積分分析含自然對數函數的函數圖形。 利用對數的定義和換底公式來計算不同底數的對數算式。

求不同底數的指數函數與對數函數的導數。

P.5-31 第五章 指數與對數函數

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對數函數的導數

隱函數的微分技巧可用來計算自然對數函數的導數。

P.5-31 第五章 指數與對數函數

ln

[ ] [ ]

1

1

1

y

y

y

y

yy

y x

e x

d de x

dx dxdy

edxdy

dx edy

x

e

x edx x

自然對數含數

寫成指數形式

對 微分

連鎖律

等號兩邊同除以

以 代入

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對數函數的導數

此結果與連鎖律版本的公式摘要如下：

P.5-31 第五章 指數與對數函數

歐亞書局 P.5-31 第五章 指數與對數函數

在紙上先簡單描繪 y ＝ ln x 的圖形，並在圖上選若干點並畫出其切線，試問這些切線斜率從左到右的變化為何？是否等於零？利用對數函數導數的公式來驗證所得的結論。

探索探索

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範例 1 　求對數函數的導數

求 f (x) ＝ ln 2x 的導數。

P.5-31 第五章 指數與對數函數

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範例 1 　求對數函數的導數 （解）

令 u ＝ 2x ，則 du/dx ＝ 2 ，再利用連鎖律可得如下。

P.5-31 第五章 指數與對數函數

1 1 1( ) (2)

2

duf x

u dx x x

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檢查站 1

求 f (x) ＝ ln 5x 的導數。

P.5-31 第五章 指數與對數函數

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範例 2 　求對數函數的導數

求下列函數的導數。a. f (x) = ln(2x2 + 4)

b. f (x) = x ln x

P.5-32 第五章 指數與對數函數

ln( )

xf x

xc.

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範例 2 　求對數函數的導數 （解）

a. 令 u ＝ 2x2 ＋ 4 ，則 du/dx ＝ 4x ，再利用連鎖律即可得以下的導數。

P.5-32 第五章 指數與對數函數

2

2

1( )

1 (4 )

2 42

2

duf x

u dx

xx

x

x

連鎖律

化簡

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範例 2 　求對數函數的導數 （解）

b. 利用導數的乘積律即可得所求的導數。

P.5-32 第五章 指數與對數函數

( ) [ln ] (ln ) [ ]

1 (ln )(1)

1 ln

d df x x x x x

dx dx

x xx

x

乘積律

化簡

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範例 2 　求對數函數的導數 （解）

c. 利用導數的商律可得所求的導數。

P.5-32 第五章 指數與對數函數

2

2

2

[ln ] (ln ) [ ]( )

1ln

1 ln

d dx x x x

dx dxf xx

x xx

xx

x

商律

化簡

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學習提示

在求對數函數的導數時，不要馬上就做微分，先利用對數性質來改寫函數。要想知道先改寫函數的好處，不妨用連鎖律對 微分，將計算的過程與範例 3比較就了解。

P.5-32 第五章 指數與對數函數

( ) ln 1f x x

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檢查站 2

求下列函數的導數。a. f (x) = ln(x2 － 4)

b. f (x) = x2 ln x

P.5-32 第五章 指數與對數函數

2

ln( )

xf x

xc.

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範例 3 　微分前先改寫

求函數 的導數。

P.5-32 第五章 指數與對數函數

( ) ln 1f x x

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範例 3 　微分前先改寫 （解）

P.5-32 第五章 指數與對數函數

1/2

( ) ln 1

ln( 1)

1 ln( 1)

21 1

( ) 2 1

1

2( 1)

f x x

x

x

f xx

x

寫出原方程式

改寫為有理指數

對數的性質

微分

化簡

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檢查站 3

求函數 的導數。

P.5-32 第五章 指數與對數函數

3( ) ln 1f x x

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探索探索

試問範例 3 中函數 的定義域為何？ 函數 f (x) = 1/2[(x + 1)] 的定義域為何？一般而言，含有對數的函數經化簡後，其定義域不一定相同。譬如，兩函數 y1 ＝ ln x2 和 y2 ＝ 2 ln x 的定義域是否相同？試畫出兩圖形。

P.5-33 第五章 指數與對數函數

( ) ln 1f x x

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對數函數的導數

下個例子更可清楚看出微分前改寫函數的好處。

P.5-33 第五章 指數與對數函數

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範例 4 　微分前先改寫

求 f (x) = ln[x(x2 + 1)2] 的導數。

P.5-33 第五章 指數與對數函數

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範例 4 　微分前先改寫 （解）

P.5-33 第五章 指數與對數函數

2 2

2 2

2

2

2

( ) ln[ ( 1) ]

ln ln( 1)

ln 2 ln( 1)

1 2( ) 2

1

1 4

1

f x x x

x x

x x

xf x

x x

x

x x

寫出原方程式

對數的性質

對數的性質

微分

化簡

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檢查站 4

求 的導數。

P.5-33 第五章 指數與對數函數

2 2( ) ln[ 1]f x x x

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學習提示

若不先改寫函數，直接求範例 4 函數的導數是不容易的，

當然最後會得到與範例 4 相同的答案，只是計算過程相當麻煩。

P.5-33 第五章 指數與對數函數

2 22 2

1( ) [ ( 1) ]

( 1)

df x x x

x x dx

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應用範例 5 　分析圖形

分析函數 的圖形。

P.5-33 第五章 指數與對數函數

2

( ) ln2

xf x x

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範例 5 　分析圖形 （解）

從圖 5.16 可知函數在 x ＝ 1 時有極小值。若要以分析法求極小值，令 f 的導數為零並解 x 值，即可得臨界數。

P.5-33 第五章 指數與對數函數

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範例 5 　分析圖形 （解）

P.5-33 第五章 指數與對數函數

2

2

( ) ln 2

1( )

10

1

1

1

1/

xf x x

f x xx

xx

xx

x

x

x

x

寫出原方程式

微分

令導數為零

等號兩邊同加

等號兩邊同乘等號兩邊同取根號

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範例 5 　分析圖形 （解）

觀察這兩個可能的臨界數，其中只有正數位於 f 的定義域上，之後利用一階導數檢定法即可確定函數在 x ＝ 1 時有相對極小值。

P.5-33 第五章 指數與對數函數

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檢查站 5

求函數 f (x) ＝ x － 2 ln x 的相對極值。

P.5-33 第五章 指數與對數函數

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範例 6 　求變化率

一群 200 名大學生在他們大一的第一學期都修過西班牙文課，但是之後就沒有再修西班牙文課。在四年的大學生活中，他們每 6 個月接受一次考試，其平均考試成績 p ( 百分比 ) 可寫為

p=91.6 － 15.6 ln(t ＋ 1), 0 ≤ t ≤ 48

其中 t 為時間 ( 月 ) ，如圖 5.17 所示。試問一年後考試平均成績的變化率為何？

P.5-34 第五章 指數與對數函數

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範例 6 　求變化率 （續）

P.5-34 圖 5.17 第五章 指數與對數函數

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範例 6 　求變化率 （解）

變化率為

當 t ＝ 12 時， dp/dt ＝ － 1.2 ；即，平均成績是以每月 1.2% 的速率在遞減。

P.5-34 第五章 指數與對數函數

15.6

1

dP

dt t

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檢查站 6

假設範例 6 的考試平均成績可寫為 p ＝ 92.3 － 16.9 ln (t ＋ 1) ，其中 t 為時間 ( 月 ) 。試問一年後考試平均成績的變化率為何？並與範例 6 的結果做比較。

P.5-34 第五章 指數與對數函數

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不同底數

本章一開始首先介紹一般指數函數，也就是定義f (x) ＝ ax

其中 a > 0 且 a ≠ 1 。其所對應的以 a 為底的對數 (logarithm to the base a) 可定義為

loga x ＝ b 　若且唯若　 ab ＝ x

與自然對數函數相同，以 a 為底的對數函數的定義域為所有正數。

P.5-34 第五章 指數與對數函數

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範例 7 　求對數值

不用計算機，試求下列各對數值。a. log2 8

b. log10 100

c. 1og10

d. 1og3 81

P.5-34 第五章 指數與對數函數

1

10

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範例 7 　求對數值 （解）

a. log2 8 = 3 23 = 8

b. log10 100 = 2 102 = 100

c. 1og10 = － 1 10 － 1 =

d. 1og3 81 = 4 34 = 81

P.5-34 第五章 指數與對數函數

1

101

10

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檢查站 7

不用計算機，試求下列各對數值。a. log2 16

d. 1og5 125

P.5-34 第五章 指數與對數函數

110 100

12 32

log

log

b.

c.

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不同底數

以 10 為底的對數稱為常用對數 (common logarithms) ，大多數的計算機只有兩個對數按鍵： 一個為自然對數，其符號為 ，另一個則為常用對數，其符號為 。至於不同底數的對數可以換底公式來求值。

P.5-34~5-35 第五章 指數與對數函數

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範例 8 　求對數值

P.5-35 第五章 指數與對數函數

利用換底公式和計算機來求下列對數值。a. log2 3

b. log3 6

c. log2 ( － 1)

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範例 8 　求對數值 （解）

每一題可利用換底公式和計算機來作答。

c. log2 ( － 1) 無定義

P.5-35 第五章 指數與對數函數

ln

ln

l

2

3n

ln

log

l

l

og

n 3log 3 1.585

ln 2ln 6

log 6 1.631 ln 3

xxa a

xxa a

a.

b.

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檢查站 8

利用換底公式和計算機來求下列對數值。a. log2 5

b. log3 18

c. log4 80

d. log16 0.25

P.5-35 第五章 指數與對數函數

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不同底數

在計算不以 e 為底數的指數或對數函數的導數時，可以轉換成以 e 為底，或者利用以下的微分法則。

P.5-35 第五章 指數與對數函數

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不同底數（證明）

根據定義可得 ax ＝ e(ln a) x，再令 u ＝ (ln a)x ，並對以 e 為底的對數微分，即可推導出第一個法則。

P.5-35 第五章 指數與對數函數

(ln ) (ln )[ ] [ ] (ln ) (ln )x a x u a x xd d dua e e e a a a

dx dx dx

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學習提示

以 e 為底的換底公式為ax ＝ e(ln a)x

和

P.5-35 第五章 指數與對數函數

1log ln

lna x xa

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範例 9 　求變化率

放射性碳同位素的半衰期為 5715 年，若在某物體中的碳同位素為 1 公克，則 t 年後的碳同位素數量 A 為

試問在 t ＝ 10,000 年後同位素數量的變化率為何？

P.5-35 第五章 指數與對數函數

/57151

2

t

A

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範例 9 　求變化率 （解）

A 對 t 的導數為

當 t ＝ 10,000 時，該數量的變化率為

也就是，在此物體中的碳同位素數量以每年 0.000036 公克的速度衰減。

/57151 1 1

ln2 2 5715

tdA

dt

P.5-35~5-36 第五章 指數與對數函數

/571 150,0001 1 1

ln 0.0000362 2 5715