22
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series 5 Objetivos: Se pretende que el estudiante: Determine convergencia o divergencia de sucesiones. Conozca las propiedades de la notación sigma. Determine convergencia o divergencia de series geométricas, Telescópicas, y series de términos positivos aplicando el criterio de la integral. Determine series de potencias para funciones, aplicando Taylor. 5.1 SUCESIONES 5.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA 5.3 SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 5.3.1 LA SERIE GEOMÉTRICA. 5.3.2 SERIES TELESCÓPICA 5.3.3 SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 5.3.3.1 CRITERIO DE LA INTEGRAL 5.4 SERIES ALTERNANTES 5.5 SERIES DE POTENCIAS 5.5.1 SERIE DE TAYLOR 5.5.2 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS. 58

5.5.1 SERIE DE TAYLOR 5.5.2 DERIVACIÓN E … · Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series 5 Objetivos: Se pretende que el estudiante: • Determine convergencia o divergencia

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Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series

5

5.1 5.2 5.3

555

5.4 5.5

55

58

SUCESIONES SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA SERIES NUMÉRICAS INFINITAS .3.1 LA SERIE GEOMÉTRICA. .3.2 SERIES TELESCÓPICA .3.3 SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS

5.3.3.1 CRITERIO DE LA INTEGRAL SERIES ALTERNANTES SERIES DE POTENCIAS .5.1 SERIE DE TAYLOR .5.2 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE

POTENCIAS.

Objetivos: Se pretende que el estudiante:

• Determine convergencia o divergencia de sucesiones. • Conozca las propiedades de la notación sigma. • Determine convergencia o divergencia de series

geométricas, Telescópicas, y series de términos positivos aplicando el criterio de la integral.

• Determine series de potencias para funciones, aplicando Taylor.

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Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series

5.1 SUCESIONES

5.1.1 DEFINICIÓN.

Sucesión es una función, denotada como { }na , cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos y su rango son números reales. Es decir:

nanfn

IRXIN=

⊆)(a

a.

Es común referirse al rango de la sucesión, por tanto la sucesión se presenta como una secuencia de términos { }L,,, ,321 aaa . Si la sucesión tiene una

cantidad determinada de términos se la llamará SUCESIÓN FINITA. Si la sucesión tiene una cantidad no definida de términos, se la llamará SUCESIÓN INFINITA.

Ejemplo

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+= LL ,

12,,

73,

52,

31

12 nn

nnan

La manera como se presentó la sucesión en el ejemplo anterior se denomina forma explícita, pero se la puede expresar como una formula de recursión.

Ejemplo

2;3;1 11 ≥+== − naaa nn

Es decir:

431312 =+=+= aa

734323 =+=+= aa

Y así sucesivamente.

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Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series

5.1.2 Convergencia y Límite

Una sucesión { , es convergente si y sólo si }na nnalim

∞→

existe. Caso contrario; es decir, si no existe, se nnalim

∞→

dice que la sucesión es divergente.

Si existe, es decir si nnalim

∞→Lann

=∞→

lim , significa que:

ξξ <−⇒>>∃>∀ LaNntalqueN n0,0

Ejemplo

Determinar si { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+=

12nnan es convergente o divergente.

SOLUCIÖN:

Para determinar si es convergente o divergente se halla . nn

alim∞→

21

1212=

+=

+ ∞→∞→

nnn

nn

limnnlim

nn

Por tanto, la sucesión es convergente y además converge a 21

TEOREMA

Si y son sucesiones convergentes, entonces: na nb

1. IRkakka nnnn∈=

∞→∞→;límlím

2. ( ) nnnnnnnbaba

∞→∞→∞→±=± límlímlím

60

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Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series

3. ( ) nnnnnnnbaba

∞→∞→∞→= límlímlím

4. nn

nn

n

n

n b

a

ba

∞→

∞→

∞→=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛lím

límlím si 0lím ≠

∞→n

nb

Ejercicios propuestos 5.1 1. Determine si las siguientes sucesiones son convergentes o divergentes.

a. ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+

nnn

2

2

213

b. ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+1312 2

nn

c. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ π

+ 2sen

1n

nn

d. ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

n

n31

e. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

nnn23

12

f. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2lnn

n

g. ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

n

n211

5.1.3 SUCESIONES MONOTONAS

Una sucesión { }na es monótona si sus términos son no decrecientes, es decir:

LL ≤≤≤≤≤≤ +1321 nn aaaaa ;

ó si sus términos son no crecientes; es decir:

. LL ≥≥≥≥≥≥ +1321 nn aaaaa

Lo anterior quiere decir que si se cumple que 1+≤ nn aa o 11 ≥+

n

n

aa

será una

sucesión CRECIENTE. Caso contrario, es decir si da que 1+≥ nn aa o 11 ≤+

n

n

aa

será una sucesión DECRECIENTE.

61

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Note que, para la sucesión anterior la mínima cota superior es 21 y la

máxima cota inferior es 31 .

PREGUNTA: ¿POR QUÉ SE DICE MÍNIMA COTA SUPERIOR? ¿POR QUÉ SE DICE MÁXIMA COTA SUPERIOR?

TEOREMA

Una condición necesaria y suficiente para que una sucesión monótona sea convergente, es que sea acotada.

5.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA

Sea la secuencia , , . 1a 2a naa L,3

La suma de estos números, puede ser expresada mediante una notación que denota abreviación, el símbolo empleado es el de sigma:

∑=

=+++n

iin aaaaa

1321 L

Entonces, la notación sigma significa una suma de término, desde el primero hasta el n-ésimo. Podemos tener una suma finita de términos como también podemos tener una suma infinita.

Ejemplo 1

{ { { {

4321

4

12 17

4103

52

21

1=====

+++=+∑

iiiiii

i

Ejemplo 2

∑∞

=

=++++++1

4321n

nn LL

62

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5.2.1 Propiedades

Sean y { }ia { }ib dos sucesiones y sea C una constante, entonces

1. ∑∑==

=n

ii

n

ii aCCa

11

2. ( ) ∑∑∑===

±=±n

ii

n

ii

n

iii baba

111

Alguna formulas que se necesitarán más adelante son:

1. ( )

214321

1

+=+++++=∑

=

nnnin

iL

2. ( )( )

6121321 2222

1

2 ++=++++=∑

=

nnnnin

iL

3. ( ) 2

3333

1

3

21321 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=++++=∑=

nnnin

iL

4. ( )( )

301961321

234444

1

4 −+++=++++=∑

=

nnnnnnin

iL

63

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Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series

5.3 SERIES NUMÉRICAS INFINITAS

Definición

Sea { una sucesión infinita. Y sea }na

nn aaaaS ++++= L321 .

La sucesión de suma de parciales

{ } { } { }LL ,321211321 ,,,,, aaaaaaSSSSn +++== ,

denotada como , se llama Serie Infinita. ∑∞

=1nna

Ejemplo

Sea la sucesión { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=nna

21

Algunos términos de la sucesión serían ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

L,81,

41,

21

La sucesión de sumas parciales sería

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +++= LLL ,

87,

43,

21,

81

41

21,

41

21,

21,,, 321 SSS

Convergencia de Series

Una serie ∑= nn aS , es convergente si y sólo si nnSlim

∞→

existe. Caso contrario; es decir, si no existe, se nnSlim

∞→

dice que la sucesión es divergente.

64

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En caso de que la serie sea convergente se dice que tiene suma S , es decir ocurrirá que . SSnn

=∞→

lim

Si tuviésemos o pudiéramos calcularlo, determinar la convergencia sería muy sencillo. Estudiaremos en primer lugar las series geométricas y las series telescópica que si se les puede determinar , y luego mencionaremos criterios para determinar convergencia y divergencia de series cuando ya no tenemos

nS

nSnS

5.3.1 LA SERIE GEOMÉTRICA.

Una serie geométrica es de la forma

132 −+++++ narararara L

La suma parcial de los n términos está dada por

( )

rraS

n

n −−

=11

. ¡Demuéstrela!

Para determinar su convergencia, deberíamos obtener

( )

rralímSlím

n

nnn −−

=∞→∞→ 1

1.

Observe que si 1≥r entonces ( )

∞=−−

∞→ rralím

n

n 11

(¿POR QUÉ?) y por tanto la

serie geométrica es divergente

Si 1<r , entonces ( )

ra

rralím

n

n −=

−−

∞→ 111

la serie es convergente.

Ejemplo

Determinemos si la serie +++81

41

21 es convergente o no.

SOLUCIÓN:

65

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Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series

Observe que la secuencia dada es una serie geométrica con 21

=a y 21

=r es decir una

serie tal que ∑∞

=121

n

n y por tanto converge a 11 2

121

=−

=S

5.3.2 SERIES TELESCÓPICA

Para este tipo se serie también es posible obtener , se lo hace empleando fracciones parciales.

nS

Ejemplo

Sea la serie ( )( )∑∞

=++

121

1

nnn . Obtener . nS

SOLUCIÓN: Empleando fracciones parciales, tenemos:

( )( )( ) ( 121

21211

+++=+

++

=++

nBnAn

Bn

Ann

) Si entonces: 1−=n

( ) ( )

ABA

=+−++−=

111211

Si entonces: 2−=n

( ) ( )

11

12221

−=−=

+−++−=

BB

BA

Por tanto:

( )( ) ∑∑∞

=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+=

++11

21

11

211

nnnnnn

Obteniendo algunos términos de su desarrollo

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+∑∞

=2

11

151

41

41

31

31

21

21

11

1nnnn

n

L

Note que al realizar la suma, los términos centrales se suprimen quedando el primer y el último término.

Entonces 2

11+

−=n

Sn , por tanto 12

11 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

∞→∞→ nlímSlímn

nn

La serie convergente

66

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Ejercicios Propuestos 5.2

1. Encuentre y determine si las series son convergentes o divergentes. Si es convergente nSdetermine su suma:

a) ( )∑+∞

=+

11

1

nnn

b)

n

n∑+∞

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

125

c) ( )( )∑+∞

=+−

12313

1

nnn

d) ∑+∞

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

134

21

n

nn

e) ( )( )∑+∞

=++

132

1

nnn

CRITERIO GENERAL PARA LA DIVERGENCIA

TEOREMA

Si la serie converge entonces ∑ na 0lim =∞→ nn

a

Es decir si entonces la serie 0lim ≠∞→ nn

a ∑ na diverge

Ejemplo

La serie ∑∞

=+

11

nn

n es divergente debido a que 11=

+∞→ nnlím

n

Verifique que los ejemplos anteriores de series convergentes se cumple el teorema. No olvide que 0lim =

∞→ nna es una condición necesaria pero no

suficiente.

67

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Ejemplo.

La serie ∑∞

=1

1

nn

, llamada Serie Armónica, es divergente (lo demostraremos más adelante),

sin embargo 01=

∞→ nlímn

PROPIEDADES DE LAS SERIES CONVERGENTES.

Si y ∑ convergen y si ∑ na nb C es una constante,

entonces también convergen ∑ nCa y ( )∑ ± nn ba y

además

1. ∑∑ = nn aCCa

2. ( ) ∑∑∑ ±=± nnnn baba

TEOREMA DE LA SERIE DIVERGENTE

Si diverge y ∑ na C es una constate diferente de cero,

entonces la serie ∑ naC también diverge.

68

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5.3.3 SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS

TEOREMA

Una serie ∑ de términos no negativos converge si y na

sólo si, sus sumas parciales están acotadas por arriba.

CRITERIOS PARA ESTABLECER LA CONVERGENCIA DE SERIES POSITIVAS.

5.3.3.1 CRITERIO DE LA INTEGRAL

Sea f una función continua positiva, no creciente, definida en el intervalo [ )∞,1 y suponga que ( )nfan =

para todo entero positivo . Entonces la seria ∑ n∞

=1n

na

converge si y sólo si la integral impropia ∫∞

1

)( dxxf

converge.

Ejemplo 1

Determine si la SERIE ARMÓNICA ∑∞

=1

1

nn

converge o diverge

SOLUCIÓN: Aplicando el criterio de la integral, debido a que es una serie de términos positivos decrecientes.

[ ] ∞====∞→∞→∞→

∫∫ Nlímxlímx

límx n

N

n

N

nlnln11

1

11

Por tanto la serie diverge.

69

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Ejemplo 2.

Sea la serie “p” ∑∞

=1

1

nPn

, determine para qué valores de “ ” converge y para que p

valores diverge. SOLUCIÓN:

Analizando la integral ∫∫ ∞→

=N

PnP xlím

x 11

11

Si 1=P , tenemos la serie armónica, que es divergente Si , la integración es diferente 1≠p

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

−+

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

+−−

+−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

+−=

∞→

+−+−

∞→

+−

∞→∞→ ∫1

11

11

111

1

11

1

1

1

PPNlím

ppNlím

pxlím

xlím

P

n

PP

n

NP

n

N

Pn

Ahora, si 1>P , 1

11

11

0

1

−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−+

−∞ −

pPP

P

321, la integral converge

Si 1<P , ∞=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−+

−∞

11

1

1

PP

P

321 la integral diverge

En conclusión, la serie ⎪⎩

⎪⎨

≤−

>=∑

= divergePSip

aconvergePSi

nn

P1

1111

1

Ejemplo 3

Determine si la serie ∑∞

=2ln1

nnn

converge o diverge.

SOLUCIÖN: Aplicando el criterio de la integral

( ) ( )[ ] ∞=−=∫∞

∞→2lnlnlnln

ln1

2Nlím

xx x

Por tanto diverge Ejercicios propuestos 5.3 Usando el criterio de la Integral, determine la convergencia o divergencia de la siguiente serie numérica

1) ( )∑

+∞

=22ln

1

nnn

2) ∑ 3) +∞

=

1n

nne( ) ( )∑

+∞

=++

11ln1

1

nnn

70

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5.4 SERIES ALTERNANTES

Ahora se estudiará series que presenten sus términos con signos

alternados, es decir series de la forma o también ( )∑∞

=

+−1

11n

nn a ( )∑

=

−1

1n

nn a

TEOREMA DE CONVERGENCIA PARA LAS SERIES ALTERNANTES

Una serie alternante con . Si 01 >≥ +nn aa 0=∞→ nnalím

entonces la serie converge.

Ejemplo 1

Sea la serie ( ) L+−+−=−∑∞

=

+

41

31

21111

1

1

n

n

n Determine si es convergente o

divergente. SOLUCIÓN. Primero, veamos si los términos, en valor absoluto, son no crecientes.

Comparamos n

an1

= con 1

11 +=+ n

an . Se observa que:

nn1

11

<+

los términos son decrecientes. Segundo, veamos si 0=

∞→n

nalím

Se observa que: 01=

∞→ nlímn

Por tanto la serie armónica alternante es convergente. Ejemplo 2

Sea la serie ( )∑∞

=

+−1

1

211

nn

n Determine si es convergente o divergente.

SOLUCIÓN.

Primero. En este caso nna21

= y 11 21++ = nna

Se observa que ( ) nn 21

221

< los términos son decrecientes.

Segundo. 021

=∞→ nn

lím

Por tanto la serie es convergente.

71

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Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series

A continuación analicemos el teorema

TEOREMA

Si ∑ na converge, entonces ∑ na también converge.

Esto quiere decir que si la serie de términos positivos converge entonces la serie alternante también converge, mientras que si la serie alternante converge no necesariamente la serie de términos positivos converge.

5.4.1 CONVERGENCIA ABSOLUTA.

DEFINICIÓN.

Una serie converge absolutamente si ∑ na ∑ na

converge

Ejemplo

La serie ( )∑∞

=

+−1

1

211

nn

n es absolutamente convergente, debido a que ∑∞

=121

nn es

convergente

DEFINICIÓN.

Una serie es condicionalmente convergente si ∑ na

∑ na converge y ∑ na diverge.

Ejemplo

La serie ( )∑∞

=

+−1

1 11n

n

n es condicionalmente convergente, debido a que ∑

=1

1

nn

es

divergente, mientras que ella es convergente.

72

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Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series

Las series de términos positivos convergentes son absolutamente convergentes

Los criterios que mencionaremos a continuación ayudan a concluir rápidamente en situaciones cuando el término general de la serie presenta formas especiales.

5.5 SERIES DE POTENCIAS.

Ahora estudiaremos series cuyos términos ya no son numéricos.

DEFINICIÓN.

Una serie de potencia en “ x” tiene la forma:

L++++=∑

=

33

2210

0

xaxaxaaxan

nn

Una serie de potencia en “ 0xx − ” tiene la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) L+−+−+−+=−∑∞

=

303

202010

00 xxaxxaxxaaxxa

n

nn

Algo importante aquí es determinar los valores de “ x ”, para los cuales la serie numérica correspondiente sea convergente.

5.5.1 SERIE DE TAYLOR

Una serie de potencia particular es la serie de Taylor.

Suponga que:

( ) ( ) ( ) ( ) L+−+−+−+=−=∑∞

=

303

202010

00)( xxaxxaxxaaxxaxf

n

nn

Los coeficientes pueden ser determinados en términos de la función f

Evaluando en 0xx =

[ ] [ ] [ ] [ nn xxaxxaxxaxxaaxf 00

3003

200200100 )( −++−+−+−+= L ]

73

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Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series

Obtenemos: )( 00 xfa =

Para encontrar el segundo coeficiente, derivamos y evaluamos en 0xx =

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] 1

002

00300210

10

203021

32)´(

32)´(−

−++−+−+=

−++−+−+=n

n

nn

xxnaxxaxxaaxf

xxnaxxaxxaaxf

L

L

Entonces: )´( 01 xfa =

Obteniendo la segunda derivada y evaluando en 0xx =

( )( ) [ ] ( )( ) [ ]( )( ) [ ] ( )( ) [ ]

20

20000320

20032

2)´´(1232)´´(

1232)´´(

axfxxannxxaaxf

xxannxxaaxfn

n

nn

=−−++−+=

−−++−+=−

L

L

De la última expresión, se tiene 2

)´´( 02

xfa =

Ahora, obteniendo la tercera derivada y evaluando en 0xx =

( )( ) ( )( )( ) [ ]( )( ) ( )( )( ) [ ]( )( ) 30

30030

303

23)´´´(2123)´´´(

2123)´´´(

axfxxannnaxf

xxannnaxfn

n

nn

=−−−++=

−−−++=−

L

L

De la última expresión, se tiene !3

)´´´( 03

xfa =

Por lo tanto:

[ ] [ ] [ ]

[ ]∑∞

=

−=

+−+−+−′+=

00

0

30

0´´´

20

0´´

000

!)()(

!3)(

!2)()()()(

n

nn

xxnxfxf

xxxfxxxfxxxfxfxf L

Si 00 =x se llama Serie de Maclaurin, es decir:

74

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Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series

[ ] L+′′′

+′′

+′+==∑∞

=

32

0 6)0(

2)0()0()0(

!)0()( xfxfxffx

nfxf

n

nn

Ejemplo 1

Hallar la serie de Taylor para xexf =)( , alrededor de 00 =x SOLUCIÓN:

Obtenemos primero

x

x

x

x

exf

exf

exf

exf

=′′′

=′′

=′

=

)(

)(

)(

)(

1)0(1)0(1)0(

1)0(

=′′′=′′=′=

ffff

Luego, reemplazando en: L+′′′

+′′

+′+= 32

6)0(

2)0()0()0()( xfxfxffxf

Resulta ∑∞

=

=+++++=0

432

!!41

!31

211

n

nx

nxxxxxe L

Observe que podemos tener una buena aproximación de utilizando la serie: 1.0e

10517.1

)1.0(61)1.0(

211.01

1.0

321.0

+++≈

e

e

Ejemplo 2

Hallar la serie de Taylor para xexf −=)( alrededor de 00 =x SOLUCIÓN: Empleando la serie anteriormente encontrada:

∑∞

=

=0

!n

nx

nxe

Sería cuestión de reemplazar x− por x , es decir:

( ) ( )

L

L

++−+−=

+−+−+−+−+=−=−

=

=

=

− ∑∑432

432

00

!41

!31

211

)(!4

1)(!3

1)(21)(1

!1

!

xxxxe

xxxxnx

nxe

x

n

nn

n

nx

Ejemplo 3

Hallar la serie de Taylor para 2

)( xexf = alrededor de 00 =x SOLUCIÓN: Ahora, es cuestión de reemplazar por 2x x , es decir:

75

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Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series

( )

L

L

+++++=

+++++=== ∑∑∞

=

=

8642

4232222

0

2

0

2

!41

!31

211

)(!4

1)(!3

1)(211

!!

2

2

xxxxe

xxxxn

xn

xe

x

n

n

n

nx

Ejemplo 4

Hallar la serie de Taylor para xxf sen)( = alrededor de 00 =x SOLUCIÓN:

Obtenemos primero

xxf

xxf

xxfxxf

xxfxxf

V

IV

cos)(

sen)(

cos)(sen)(

cos)(sen)(

=

=

−=′′′/

−=′′=′=

1)0(

0)0(

1)0(0)0(1)0(0)0(

=

=

−=′′′=′′=′=

V

IV

f

f

ffff

Luego, reemplazando en: L+′′′

+′′

+′+= 32

6)0(

2)0()0()0()( xfxfxffxf

Se obtiene:

( )( )∑

=

+

+−

=+−+−=

+++−++=

0

12753

53

!121

!71

!51

!31

!510

!3100

n

nn

nxxxxxsenx

xxxsenx

L

L

Ejemplo 5

Hallar la serie de Taylor para xxf cos)( = alrededor de 00 =x SOLUCIÓN:

Obtenemos primero

xxf

xxfxxfxxf

xxf

IV cos)(

sen)(cos)(sen)(

cos)(

=

=′′′/

−=′′−=′

=

1)0(

0)0(1)0(

0)0(1)0(

=

=′′′−=′′

=′=

IVf

ffff

Luego, reemplazando en: L+′′′

+′′

+′+= 32

6)0(

2)0()0()0()( xfxfxffxf

Se obtiene:

( )( )∑

=

−=+−+−=

+++−

++=

0

2642

432

!21

!61

!41

211cos

!41

!30

!2)1(

01cos

n

nn

nxxxxx

xxxxx

L

L

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Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series

Ejemplo 6

Hallar la serie de de Taylor para ixexf =)( alrededor de 00 =x SOLUCIÓN: Sería cuestión de reemplazar por ix x , en la serie de es decir: xexf =)(

( ) ( )

4444 34444 21

L

4444 34444 21

L

L

L

L

senxx

n

nn

n

nix

xxxixx

ixxixxix

xixixixiix

ixixixixixn

xin

ixe

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=

+++−−+=

++++++=

++++++=== ∑∑∞

=

=

53

cos

42

5432

55443322

5432

00

!51

!31

!41

211

!51

!41

!31

211

!51

!41

!31

211

)(!5

1)(!4

1)(!3

1)(21)(1

!!

Recuerde que: ( )( )( ) 111

1

1

224

23

2

=−−==

−=−==

−=

iii

iiiii

i

Por lo tanto, se concluye que xixeix sencos += Esta última expresión es la llamada IDENTIDAD DE EULER

5.5.2 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS.

Una serie de potencia se puede derivar o integrar término a término de tal manera que se tendrá otra serie de potencia con el mismo radio de convergencia, aunque no necesariamente el mismo intervalo de convergencia.

Ejemplo 1

Obtener la serie de xxf cos)( = a partir de la serie del seno. SOLUCIÓN: La serie del seno es:

( )( )∑

=

+

+−

=

0

12

!121

n

nn

nxsenx

Derivándola se tiene:

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Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( )( )∑∑∑

=

=

−+∞

=

+ −=

++−

=⎥⎥

⎢⎢

+−

==0

2

0

112

0

12

!21

!212121

!121cos

n

nn

n

nn

n

nn

xx nx

nnxn

nxDsenxDx

Ejemplo 2.

a) Encuentre una serie de potencia para x

xf+

=1

1)(

La expresión anterior puede ser observada como la suma de un serie geométrica infinita con primer término igual a 1 y razón xr −= entonces:

( ) ( )∑∑∞

=

=

−=−=+

=

11

11

1)(n

nn

n

n xxx

xf

b) Emplee la serie anterior para obtener la serie de ( )1ln)( += xxf

Integrando ( ) ( ) ( )∑∫ ∑∫∞

=

+∞

=+

−=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−=

+=+=

0

1

11

111

11ln)(n

nn

n

nnnxxdx

xxxf

c) Determine su intervalo de convergencia. Aplicando el criterio

11

1

121lim

112

lim 1

2

<<−

<

<++

<+

+

∞→

+

+

∞→

x

xnnx

xn

nx

n

n

n

n

Si 1−=x , tenemos ( ) ( ) ( )L−−−−−=

+−

=+

−− ∑∑

=

+∞

=

+

41

31

211

11

111

0

12

0

1

n

n

n

nn

nn una serie

divergente. ¿por qué?

Si 1=x tenemos ( ) ( ) ( )∑∑∞

=

=

+

+−=

+−

00

1

111

111

n

n

n

nn

nn una serie alternante convergente.

Por tanto su intervalo de convergencia es ( ]1,1−∈x

Ejercicios Propuestos. 5.4

1. Encuentre los tres primeros términos diferentes de cero de la serie de Taylor para xxf ln)( = alrededor de 10 =x .

2. a) Encuentre los tres primeros términos diferentes de cero de la serie de Taylor para alrededor de )tan()( xxf = 00 =x .

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Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series

b) Emplee el resultado obtenido en a) y la diferenciación término a término con la finalidad de encontrar los primeros tres términos diferentes de cero de la serie de Taylor para

. )(sec)( 2 xxg = c) Utilice el resultado obtenido en a) y la integración término a término para encontrar los

primeros tres términos que no sean cero de la serie de Taylor para . ))ln(cos()( xxh =3. Encuentre el desarrollo en series de potencias de x

a. )1ln()( += xxf

b. ∫ −= dxexf x2)(

c. )1ln()( 2 += xxxf

d. ∫= dxx

senxxf )(

e. 21

)(x

xxf+

=

f. 23 cos)( xxxf =

g. 2

)(xx eexf

−+=

4. Calcular usando series de potencias:

a. dxe x∫ −

1

0

2

b. dxsenxex∫2

0

π

c. dxxsen∫2

1

0

5. Considere la función . Determine una representación para en series de potencia de

2)( xxexf −= f

x .

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