การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติและสองมิติ(เสร็จ)

1 วิชาฟิสิกส์ เร่ืองการเคลื่อนท่ีในหนึ่งมิติและสองมิติ อ.เพ็ญพร วังภูมิใหญ่

การเคล่ือนที่ในหนึ่งมิติและสองมิติ

1. เวกเตอร์และสเกลาร์ ปริมาณบางอย่างเมื่อบอกเฉพาะ ขนาด จะเข้าใจได้ เช่น มวล ความยาว เวลา ความหนาแน่น พลังงาน

และอุณหภูมิ , ปริมาณพวกนี้เราอาจจะรวมกันทางพีชคณิตได้ (แต่ต้องเป็นชนิดเดียวกัน) ปริมาณใดๆ ก็ตามท่ีบอก

แต่ขนาดเพียงอย่างเดียวก็มีความหมายชัดเจน เราเรียกว่า ปริมาณสเกลาร์ ปริมาณอีกแบบหนึ่งท่ีเราต้องบอกท้ัง ขนาด และ ทิศทาง จึงจะมีความหมายสมบูรณ์ เช่น การกระจัด แรง

ความเรว็ ความเร่ง โมเมนตัม ปริมาณพวกนี้จัดเป็น ปริมาณเวกเตอร์

2. การรวมเวกเตอรโ์ดยการสร้างรูปหรือโดยการค านวณ

2.1 การรวมเวกเตอร์โดยการสร้างรูป

- เขียนลูกศรแทนเวกเตอร์แต่ละปริมาณ โดยลากติดต่อกันไปเลย ให้หางต่อกับลูกศร จนครบทุกเวกเตอร์ - เส้นตรงที่ลากจากจุดต้ังต้นไปจุดสุดท้าย จะเป็นเวกเตอร์ลัพธ์ ท้ังขนาดและทิศทาง เช่น การเขียนเวกเตอร์รวมของ และ โดยการสร้างรูป

ตัวอย่างท่ี 1 ตามรูปเป็นเวกเตอร์ , และ จงเขียนเวกเตอร์ลัพธ์ของ

แนวคิด

1. จากตัวอย่างที่ 1 จงเขียนเวกเตอร์ลัพธ์ของ

(เวกเตอร์ลบ ย่อมตรงข้ามกับเวกเตอร์บวก )

2 วิชาฟิสิกส์ เร่ืองการเคลื่อนท่ีในหนึ่งมิติและสองมิติ อ.เพ็ญพร วังภูมิใหญ่ ตัวอย่างท่ี 2 พิจารณาเวกเตอร์ของแรง 5 แรง กระท าในระนาบเดียวกันและกระท าท่ีจุดเดียวกัน ถ้า 4 แรงแรกมีขนาดและทิศทางตามท่ีแสดงไว้นี้ แรงที่ 5 จะต้องมีขนาดและทิศทางอย่างไร แรงชุดนี้จึงจะสมดุล

ก. ข.

ค. ง. แนวคิด ต้องลากเวกเตอร์มาบรรจบท่ีจุดต้ังต้นเป็นรูปเหลี่ยมปิดจึงจะสมดุล สังเกต 1. ถ้าสร้างรูปหลายเหลี่ยมแทนแรงแล้ว ไม่ได้รูปหลายเหลี่ยมปิด ย่อมหมายความว่าไม่สมดุล ให้ลากเส้น ตรงจากจุดต้ังต้นไปจุดสุดท้ายจะเป็นแรงรวมของแรงท้ังหมด

2. ถ้าลากเส้นตรงจากจุดสุดท้ายมายังจุดต้ังต้นย่อมเป็นแรงท่ีเติมเข้าไปเพื่อให้เกิดการสมดุล (เรียกแรงท่ี เติมนี้ว่า แรงกู้)

3. ถ้าเป็นเวกเตอร์ย่อย หัวลูกศรจะวิ่งตามกัน ถ้าเป็นเวกเตอร์ลัพธ์หัวลูกศรออกจากจุดต้ังต้นไปจุดสุดท้าย

2. จากรูป ข้อใดถูกต้องท่ีสุด

ก. ข.

ค. ง.

3. จากรูป ข้อใดถูกตามหลักการรวมเวกเตอร์

ก. ข.

ค. ง. จ.

3 วิชาฟิสิกส์ เร่ืองการเคลื่อนท่ีในหนึ่งมิติและสองมิติ อ.เพ็ญพร วังภูมิใหญ่ การรวมเวกเตอร์โดยการค านวณ

2.1 เมื่อแรงย่อย 2 แรง อยู่ในแนวต้ังฉากกัน

แรงย่อย P และ Q ได้แรงรวมเป็น R จากทฤษฎีพีธากอรัส จะได้ R2 = P2 + Q2 ตัวอย่าง 3 ตามรูปจงหาเวกเตอร์ลัพธ์ของแรงย่อยท้ังสอง แนวคิด จากรูป R2 = 302 + 402 = ; R = 500 นิวตัน

4. จากรูป ข้อใดถูกต้องท่ีสุด

ก. ข.

ค. ง. ถูกทุกข้อ

5. จากรูป เวกเตอร์ลัพธ์มีค่าเท่าไร

ก. 0 ข.

ค. ง.

P

Q

R

P

Q

R

30 นิวตัน


R 30

40

R

6. จากรูปจงหาเวกเตอร์ลัพธ์ของแรงย่อยท้ังสอง .............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................



R

4 วิชาฟิสิกส์ เร่ืองการเคลื่อนท่ีในหนึ่งมิติและสองมิติ อ.เพ็ญพร วังภูมิใหญ่ 2.2 เมื่อแรงย่อยไม่ต้ังฉากกัน

เมื่อแรงย่อยท้ังสองไม่ต้ังฉากกัน อาจใช้ทฤษฎีบทสี่เหลี่ยมด้านขนานของแรง หรือใช้กฎของ cos ก็ได้ค าตอบเท่ากัน ทฤษฎีบทสี่เหลี่ยมด้านขนานของแรง “ถ้ามีแรงสองแรงมากระท าร่วมกันท่ีจุดๆ หนึ่ง สามารถแทนขนาดและทิศทางของแรงท้ังสองท่ี

กระท าได้โดยด้านท้ังสองของสี่เหลี่ยมด้านขนานท่ีประกอบมุม ณ จุดนั้น เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานท่ีลาก

จากจุดที่แรงกระท าจะแทนขนาดและทิศทางของแรงรวมของแรงทั้งสองนั้น”

ตามรูป (สามเหลี่ยมมุมฉากเล็ก)

, X = Q sin

, Y = Q cos

ตามรูป (สามเหลี่ยมมุมฉากใหญ่) และ ทบ. พีธากอรัส จะได้ สูตร R2 = P2 + Q2 + 2PQ cos

หาทิศทางจาก

ตัวอย่าง 4 แรงสองแรงกระท าร่วมกันที่จุดๆ หนึ่งเป็นมุม 60o ซึ่งกันและกัน ขนาดของแรงท้ังสองเป็น 7 และ 8 นิวตัน จงหาขนาดของแรงรวม

แนวคิด

หาขนาดของแรงรวมจากสูตร R2 = P2 + Q2 + 2PQ cos = 72 + 82 + 2 (7)(8) cos 60o R = 13 นิวตัน

P

Q

Q R

Y

X

8 N

7 N

R

7. ถ้าเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ มีขนาดเท่ากับ 100 หน่วย เท่ากัน โดยหางของเวกเตอร์ท้ังสอง

กระท าท่ีจุดเดียวกันเป็นมุม 120 องศา เวกเตอร์ลัพธ์จะมีขนาดกี่หน่วย

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

100

100

8. จงหามุมระหว่างเวกเตอร์ และ ซึ่งมีขนาด 6 หน่วย และ 9 หน่วย ตามล าดับ เมื่อเวกเตอร์ลัพธ์ของ มีขนาด 3 หน่วย

...................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................

5 วิชาฟิสิกส์ เร่ืองการเคลื่อนท่ีในหนึ่งมิติและสองมิติ อ.เพ็ญพร วังภูมิใหญ่ ตารางฟังก์ชันตรีโกณมิติ มุม 30o 37o 45o 53o 60o 0o 90o 120o 135o 150o 180o

sin

0 1

0

cos

1 0

-1

tan

1

0 -1

0

กฎของ cos ใช้ส าหรับหาความยาวด้านตรงข้ามมุมใน รูปหนึ่ง

ไม่ต้องใช้เครื่องหมายเวกเตอร์ในสูตรนี้ เพราะเป็นการหาความยาว หรือขนาดเท่านั้น จาก จะได ้

AC2 = AB2 + BC2 – 2AB BC cos สรุป การรวมเวกเตอร์ท าได้ 2 วิธ ี ก. ใช้ทฤษฎีบทส่ีเหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งจะค านวณได้จากสูตรเป็นบวก ข. ใช้ลากเวกเตอร์ต่อเนื่อง แล้วค านวณจากกฎของ cos ซึ่งมีสูตรเป็นลบ

จากตัวอย่าง 5 แรงสองแรงกระท าร่วมกันท่ีจุดๆ หนึ่งเป็น มุม 60o ซึ่งกันและกัน ขนาดของแรงท้ังสองเป็น 7 และ 8 นิวตัน จงหาขนาดของแรงรวม (โดยใช้กฎของ cos) แนวคิด

หาขนาดของแรงรวมจากรูปได้

R2 = 82 + 72 – 2 (8) (7) cos 120o = 82 + 72 – 2 (8) (7) (-

)

R = 13 นิวตัน

8 N

7 N R

9. จงรวมเวกเตอร์ 10 N และ 5 N ดังรูปเข้าด้วยกัน

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

5 N

10 N

60o


2.3 การแตกเวกเตอร์ออกเป็นเวกเตอร์ย่อย 2 เวกเตอร์ 1. การแตกเวกเตอร์ออกเป็นเวกเตอร์ย่อย 2 เวกเตอร์ ซึ่งตั้งฉากกัน

จะแตกเวกเตอร์ F ออกเป็น P , Q ซึ่งต้ังฉากกัน

, Q = F cos

, P = F sin

สังเกตว่า แตกห่างมุมใช้ sine , แตกชิดมุมใช้ cos

ตัวอย่างท่ี 3 จากรูปเวกเตอร์ P และ Q เป็นเวกเตอร์ องค์ประกอบของเวกเตอร์ R ซึ่งมีขนาด 10 หน่วย จงหาขนาดของเวกเตอร์ P และ Q

Q

P

O

Q

P

11. จากรูป เวกเตอร์องค์ประกอบ Q มีขนาด 5 หน่วย จงหาขนาดของเวกเตอร์ R และ เวกเตอร์องค์ประกอบ P ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Q

P

10. จากรูปจงหาขนาดของเวกเตอร์องค์ประกอบ P และ Q

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Q

P

แนวคิด จากรูปหาขนาดของ P และ Q โดยการแตกเวกเตอร์ P = R sin = 10 sin 30o = 10 x (

) = 5 หน่วย

Q = R cos

= 10 cos 30o = 10 x (

) = หน่วย


การน าวิธีการแยกเวกเตอร์ไปใช้ในการหาเวกเตอร์ลัพธ์ของเวกเตอร์ย่อยท่ีมีจ านวนมากกว่า 2 เวกเตอร์ มีขั้นตอนดังนี้

1. ต้ังแกนต้ังฉาก 2 แกน ท่ีจุดตัดของเวกเตอร์เหล่านั้น (อาจเป็นแกน x และแกน y หรือแกนใดๆ ก็ได้ท่ีฉากกัน ) 2. แยกเวกเตอร์ย่อยๆ เหล่านั้นให้อยู่บนแกน x และแกน y 3. ถ้าเวกเตอร์ใดอยู่บนแกน x หรือ แกน y แล้วไม่ต้องแยก 4. รวมเวกเตอร์ย่อยในแต่ละแกนให้เป็นเวกเตอร์ลัพธ์ เช่น - บนแกน x ก าหนดทิศทางไปทางขวา (+x) เป็นบวก ทิศทางไปทางซ้าย (+x) เป็นลบ - บนแกน y ก าหนดให้ทิศทางขึ้น (+y) เป็นบวก ทิศทางลง (-y) เป็นลบ - เวกเตอร์ลัพธ์ท่ีได้จะมี 2 เวกเตอร์คือ เวกเตอร์ลัพธ์ทางแกน x (Rx) และเวกเตอร์ลัพธ์ทาง

แกน y (Ry) 5. หาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ (R) ได้จาก

6. หาทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์ได้จาก

ตัวอย่างท่ี 4 จากรูป แรงลัพธ์มีค่ากี่นิวตัน โดยการสร้างรูป และการค านวณ

แนวคิด

โดยการสร้างรูป

แรงลัพธ์มีขนาด 4 นิวตัน

RX

RY

10 N

10 N

8 N

10 N

10 N

8 N

6 N

4 N

โดยการค านวณ

แรงลัพธ์มีขนาด 4 นิวตัน

10 N

10 N

8 N

10

Y


3. ระยะทางและการกระจัด

ระยะทาง สัญลักษณ์ “s” คือ ความยาวตามเส้นทางท่ีวัตถุเคลื่อนท่ีไปได้ท้ังหมด เป็นปริมาณสเกลาร์ มีหน่วยเป็น เมตร

การกระจัด สัญลักษณ์ “ ” คือ เส้นตรงท่ีเชื่อมโยงระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้ายของการเคลื่อนท่ีของวัตถุเป็นปริมาณเวกเตอร์ มีหน่วยเป็น เมตร

ตัวอย่างท่ี 5 ชายคนหนึ่งเดินจาก ก ไป ข แล้วจาก ข ไป ค ดังรูป ชายคนนี้จะได้ระยะทาง = 4 + 3 = 7 เมตร ชายคนนีจ้ะได้การกระจัด = 5 เมตร

3.1 การเขียนกราฟการกระจัดกับเวลาจากรูปการเคลื่อนท่ีของวัตถุ จากรูป วัตถุเคลื่อนท่ีจาก A ไป C แล้วย้อนกลับมาที่ D เมื่อเราplot จุด ระหว่าง s กับ t ลงไปในกราฟแล้วลากเส้นเช่ือมจะได้ดังรูปขวามือ จะเห็นว่า

เมื่อวัตถุเคลื่อนท่ีได้ 5 วินาที ระยะทาง = 5 เมตร การกระจัด = 5 เมตร เมื่อวัตถุเคลื่อนท่ีได้ 9 วินาที ระยะทาง = 8 เมตร การกระจัด = 8 เมตร

เมื่อวัตถุเคลื่อนท่ีได้ 14 วินาที ระยะทาง = 16 เมตร การกระจัด = 0 เมตร

3 m

4 m

ก ข

ค

12. เมื่อวัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมไดค้รึ่งรอบ คดิเป็น

ระยะทาง 44 เมตร จงหาว่าการกระจัดของวัตถุมีค่าเป็น

เท่าใด

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

.................................................................................... ..

.

13. ถ้าเราเดินไปทางทิศเหนือ 10 เมตร แล้วเล้ียวไปทางทิศ

ตะวันออก 20 เมตร จากนั้นเล้ียวลงมาทางทิศใต้ 10 เมตร

และเล้ียวไปทางทิศตะวันตกอีก 20 เมตร

ก. ได้ระยะทางเท่าไร ข. การกระจัดเท่าไร

...............................................................................................

...............................................................................................

.................................................................. .............................

...............................................................................................

...............................................................................................

...

N

A D

B

C

t = 0 t = 14

t = 9

8 m

5 m

A 5 9 14

5

8

B

C

D

การกระจัด s (m)

เวลา t (s)


4. อัตราเร็ว อัตราเร็ว หมายถึง ระยะทางทีวัตถุเคลื่อนท่ีได้ในหนึ่งหน่วยเวลา เป็นปริมาณสเกลาร์ มีหน่วยเป็น

เมตร/วินาที (m/s) สัญลักษณ์ v 4.1 อัตราเร็วเฉลี่ย (vav) หมายถึง ระยะทางท่ีวัตถุเคลื่อนท่ีได้ในหนึ่งหน่วยเวลา เขียนเป็นสมการได้ว่า

4.2 อัตราเร็วขณะใดขณะหนึ่ง (vt) หมายถึง อัตราเร็ว ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง หรืออัตราเร็วท่ีจุดใดจุดหนึ่ง

เขียนเป็นสมการได้ว่า

( )

การหาอัตราเร็วขณะใดขณะหนึ่งหาได้จากกราฟของ s กับ t หรือจากเรื่องเครื่องเคาะสัญญาณเวลา

4.3 อัตราเร็วคงที่ (v) หมายถึง ระยะทางท่ีวัตถุเคลื่อนท่ีได้ในหนึ่งหน่วยเวลา เขียนเป็นสมการได้ว่า

ข้อสังเกต ถ้าวัตถุเคลื่อนท่ีด้วยอัตราเร็วคงที่ อัตราเร็วเฉลี่ย อัตราเร็วขณะใดขณะหนึ่ง จะมีค่าเท่ากับ

อัตราเร็วคงท่ีนั้น

14. จากรูปเป็นกราฟความสมัพนัธ์ระหว่างการกระจัด (s) กับเวลา (t) ของวัตถซุึ่งเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง จงหาระยะทางและการกระจดั ณ เวลา ตา่งๆ

B

C D

E

F t (s) A

s (m)

8

10

14

0 2 6 10 14 16

เมื่อวัตถุเคลื่อนท่ีได้ 2 วินาที ระยะทาง = …………… การกระจัด = ……………



เมื่อวัตถุเคลื่อนท่ีได้ 16 วินาที ระยะทาง = …………… การกระจัด = …………… ระยะทาง = …………… การกระจัด = ……………

10 วิชาฟิสิกส์ เร่ืองการเคลื่อนท่ีในหนึ่งมิติและสองมิติ อ.เพ็ญพร วังภูมิใหญ่ 5. ความเร็ว ความเร็ว หมายถึง การกระจัดท่ีเกิดขึ้นในหนึ่งหน่วยเวลา เป็นปริมาณเวกเตอร์ มีหน่วยเป็น เมตร/

วินาที (m/s) สัญลักษณ์

5.1 ความเร็วเฉลี่ย ( ) เขียนเป็นสมการได้ว่า

5.2 ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง ( ) คือ ความเร็ว ณ เวลาใดเวลาหนึ่งหรือความเร็วท่ีจุดใดจุดหนึ่ง การหาอัตราเร็วขณะใดขณะหนึ่งหาได้จากกราฟของ s กับ t หรือจากเรื่องเครื่องเคาะสัญญาณเวลา

5.3 ความเร็วคงท่ี ( ) เป็นการบอกให้ทราบว่าวัตถุมีการเคลื่อนท่ีอย่างสม่ าเสมอในแนวเส้นตรง ไม่ว่าจะพิจารณาในช่วงเวลาใด

ตัวอย่างท่ี 6 ถ้าเราเดินไปทางทิศเหนือ 10 เมตร แล้วเลี้ยวไปทางทิศตะวันออก 20 เมตร จากนั้นเลี้ยวลงมาทางทิศใต้ 10 เมตร ถ้าการเดินทางใช้เวลา 1 , 2 และ 2 วินาที ในแต่ละช่วงตามล าดับ จงหา

ก. อัตราเร็วเฉลี่ยตลอดการเดินทางนี้ ข. ความเร็วเฉลี่ยตลอดการเดินทางนี้

แนวคิด วาดภาพแสดงการเดินทางได้ดังนี้

N

10 m 1 s

20 m 2 s

2 s 10 m

ก. อัตราเร็วเฉลี่ย ระยะทาง

เวลา

= 8 m/s

ข. ความเร็วเฉลี่ย การกระจัด

เวลา

= 4 m/s ไปทางทิศตะวันออก

15. ในการเดินจากบ้าน ก ไปบ้าน ข ซึ่งมีระยะทางห่าง

กัน 10 กิโลเมตร ใน 3 กิโลเมตรแรกใช้อัตราเร็วเฉลี่ย 12 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ระยะทางที่เหลือใช้อัตราเร็วเฉลี่ย 21 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จงหาว่าตลอดการเคลื่อนท่ีใชอ้ัตราเร็วเฉลี่ยกี่กิโลเมตรต่อชั่วโมง

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

................................................................................ ...............

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

16. บอลลูนซึ่งสามารถบังคับให้เคลื่อนท่ีขึ้นลงได้ใน

แนวดิ่ง โดยให้ลงในแนวดิ่งด้วยความเร็ว 4 m/s ได้ระยะทาง 80 m แล้วลงต่อไปด้วยความเร็ว 3 m/s ได้ระยะทาง 30 m แล้วบังคับให้ขึ้นในแนวเดิมด้วยความเร็ว 5 m/s ได้ระยะทาง 100 m จงหาขนาดความเร็วเฉลี่ยของบอลลูนนี้

...............................................................................................

...............................................................................................

.................................................................. .............................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

..

11 วิชาฟิสิกส์ เร่ืองการเคลื่อนท่ีในหนึ่งมิติและสองมิติ อ.เพ็ญพร วังภูมิใหญ่ 6. ความเร่ง ความเร่ง คือ ความเร็วที่เปลี่ยนไปในหนึ่งหน่วยเวลา หรืออัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็ว เป็นปริมาณ

เวกเตอร์ มีหน่วยเป็น เมตร/วินาที2 (m/s2

) สัญลักษณ์

6.1 ความเร่งเฉลี่ย ( ) หมายถึง ความเร็วที่เปลี่ยนไปในหนึ่งหน่วยเวลา (ในช่วงเวลาหนึ่งที่พิจารณา

เท่านั้น) เขียนเป็นสมการได้ว่า

หรือ

6.2 ความเร่งขณะใดขณะหนึ่ง ( ) หมายถึง ความเร่ง ณ จุดใดจุดหนึ่ง หรือ ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง หาได้

จากกราฟความเร็วกับเวลา หรือจากเครื่องเคาะสัญญาณเวลา 6.3 ความเร่งคงท่ี ( ) หมายถึง การเคลื่อนท่ีของวัตถุท่ีมีการเปลี่ยนแปลงความเร็วอย่างสม่ าเสมอ ไม่ว่า

คิดในช่วงเวลาใดๆ ซึ่งหาได้จาก

ตัวอย่างท่ี 7 รถยนต์คันหนึ่งแล่นด้วยความเร็ว 8 m/s ไปทาง ทิศตะวันออกต่อมาอีก 5 วินาที วัตถุนี้เคลื่อนท่ีด้วยความเร็ว 6 m/s ในทิศเหนือ จงหาความเร่งเฉลี่ยของรถท่ีใช้ในการ เคลื่อนท่ีครั้งนี้

แนวคิด

N

= 6 m/s

พิมพ์สมการท่ีนี่m/s

8 m/s

-

พิมพ์สมการท่ีนี่m/s

ความเรง่เฉล่ียของรถคือ 2 m/s2

ทิศท ามุม 53o กับทิศเหนือไปทางทิศตะวันตก

17. รถยนต์คันหนึ่งแล่นด้วยความเร็ว 20 m/s ไปทางทิศเหนือ แล้วเลี้ยวไปทางทิศตะวันตกด้วยขนาด

ความเร็วเท่าเดิม ในเวลา5 s จงหาความเร่งขณะเลี้ยวรถ

.

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

..

18. วัตถุช้ินหนึ่งมีการเคลื่อนท่ีไปทางทิศเหนือด้วย

ความเร็ว 5 m/s แต่อีก 2 s ต่อมาพบว่าวัตถุนี้มีความเร็ว 0.5 m/s ไปทางทิศตะวันออก จงหาขนาดความเร่งเฉลี่ยของวัตถุนั้น

.

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

12 วิชาฟิสิกส์ เร่ืองการเคลื่อนท่ีในหนึ่งมิติและสองมิติ อ.เพ็ญพร วังภูมิใหญ่ 7. การค านวณจากกราฟ s – t , v – t , a - t พิจารณาได้ดังนี้ 1. กราฟระหว่าง s กับ t , slope ของกราฟ s , t คือ ความเร็ว 2. กราฟระหว่าง v กับ t มีหลักพิจารณาดังนี้ 2.1 slope ของกราฟ v กับ t คือ ความเร่งของวัตถุ 2.2 พื้นที่ใต้กราฟ v กับ t คือ การกระจัด หรือ ระยะทาง 2.3 ถ้ากราฟ v กับ t มีเฉพาะด้านบน พื้นที่ใต้กราฟ = การกระจัด = ระยะทาง ถ้ากราฟ v กับ t มีท้ังบวกและลบ ระยะทางมีค่าเท่ากับผลบวกของพื้นที่ใต้กราฟ v , t ท้ังหมดโดยไม่คิดเคร่ืองหมาย ระยะทาง = พื้นที่ด้านบน + พื้นที่ด้านล่าง การกระจัดมีค่าเท่ากับผลรวมของพื้นท่ีใต้กราฟ v , t โดยคิดเครื่องหมาย การกระจัด = พื้นที่ด้านบน - พื้นที่ด้านล่าง 3. กราฟระหว่าง a กับ t มีหลักพิจารณาดังนี้ 3.1 เปลี่ยนกราฟ a กับ t ให้เป็น v กับ t แล้วค านวณตามหลักข้อ 2 3.2 พื้นที่ใต้กราฟ a กับ t = v - u เมื่อ v = ความเร็วตอนหลัง , u = ความเร็วตอนแรก

เพราะว่าพื้นท่ีใต้กราฟ a กับ t

s

t

v

t

a

t

19. จากกราฟที่ก าหนดให้ จงหาระยะทาง และการกระจัดที่

วัตถุเคลื่อนที่ได้

.

...............................................................................................

................................................................................ ...............

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

s (m)

8

0 1 2 3

-4

t (s)

20. จากกราฟความเร็วกับเวลา ดังรูป จงหาระยะทางในการ

เคลื่อนที่ของวัตถุนี้ในเวลา 20 วินาท ี

.

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

.................................................................. .............................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

v (m/s)

40

0 5 10 15

20

t (s) 20


21. จากกราฟพิจารณาว่าข้อความขา้งล่างต่อไปนี้ข้อใดถูกต้องบ้างส าหรับการเคลื่อนที่ในแนวตรงของวัตถุชิ้นหนึ่ง

.

ก. การเคล่ือนที่ใน 10 วินาที ไดร้ะยะทาง 405 เมตร

ข. ความเรว็เฉลี่ยในช่วงวินาทีที่ 2-7 เป็น 50 เมตร/วนิาท ี

ค. ขนาดของความเร่งช่วงวนิาทีที่ 7-10 เป็น 16.67 เมตร/วินาที2

ง. ขนาดความเร่งเฉลี่ยช่วง 2 วินาทีแรกเป็น 10 เมตร/วนิาที2

...............................................................................................

............................................................................................................................................... ................................................

................................................................................... ............................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. ................................................................

.................................................................................................................................................... ...........................................

...............................................................................................................................................................................................

v (m/s)

50

0 2 4 7

30

t (s) 10

22. จากกราฟความเร็วกับเวลาของรถคันหนึ่ง จงหาความเร่ง

ในช่วงเวลา 40 -60 วินาท ี

.

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

.................................................................. .............................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

..

v (m/s)

10

0 20 30 40

5

t (s) 60

23. จงหาความเร่งที่วนิาทีที่ 3 ของกราฟแสดงการเคลื่อนที่

ข้างล่างนี ้

.

.............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

.................................................................. .............................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

..

24. จากกราฟแสดงความสัมพนัธ์การกระจัดกับเวลาของวัตถุที่

เคลื่อนที่เป็นเส้นตรง จงหาความเร็วเฉลี่ยของวัตถุในเวลา 16

วินาที

.

.............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

.................................................................. .............................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

v (m/s)

400

0 2 4 6

200

t (s) 8

0

s (m)

4

4 8 -4

t (s) 12 16 20

25. จากกราฟ แสดงว่ารถยนต์คนัใดก าลังเบรกเพื่อหยุดรถ

.

.............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

A B

C

D t

v


8. เคร่ืองเคาะสัญญาณเวลา

เคร่ืองเคาะสัญญาณเวลาเป็นเครื่องมือที่ใช้ในการหาอัตราเร็วของวัตถุในช่วงเวลาสั้นๆ โดยช่วงเวลาในการ

เคลื่อนท่ีของแถบกระดาษจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งที่อยู่ถัดกัน จะเท่ากับ 1/50 วินาที เวลา 1 ช่วงจุด =

วินาท ี

เวลา 3 ช่วงจุด =

=

วินาท ี

ตัวอย่างท่ี 8 จากการทดลองเมื่อลากแถบกระดาษผ่านเครื่อง เคาะสัญญาณเวลา ปรากฏจุดบนแถบกระดาษดังรูป

จงหาอัตราเร็วเฉลี่ยในช่วงAB แนวคิด

จาก A ถึง B ใช้เวลา 5 ช่วงจุด ดังนั้น t =

=

วินาที

100 cm/s

ตัวอย่างท่ี 9 จากรูปเป็นแถบกระดาษของวัตถุท่ีเคลื่อนท่ีไปใน แนวตรง จงหาความเร่งท่ีต าแหน่งจุดท่ี e เมื่อใช้เครื่องเคาะ สัญญาณเวลาชนิด 50 ครั้ง/วินาที

แนวคิด

2

1 ช่วงจุด 3 ช่วงจุด

10 cm A B

26. ดึงแถบกระดาษผ่านเคร่ืองเคาะสัญญาณเวลาท่ี

เคาะ 50 ครั้งต่อวินาที ปรากฏว่ามีจุดทั้งหมด 16 จุด โดยจุดแรกอยู่ท่ีต าแหน่ง 1 cm จุดสุดท้ายอยู่ท่ีต าแหน่ง 14.5 cm ความเร็วเฉลี่ยของการดึงจะมีค่าเท่ากับเท่าไร ...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

.........................

a b c d e f g

4 5 6 7 8 9 cm

27. จากแถบกระดาษดังรูปถูกดึงผ่านเคร่ืองเคาะสัญญาณเวลาซึ่งเคาะเป็นจุดๆ อย่างสม่ าเสมอ 50 ครั้งในเวลา 1 วินาท ี

จงหาอัตราเร็วขณะเวลา 5/50 และ 7/50 วินาที ตามล าดับ ในหน่วย m/s ...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

................................................................................... ความเร่ง ณ เวลา 6/50 วินาที ในหน่วย m/s2

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

..................................

A B C D E

0 2 5 9 15 cm


9. สมการการเคลื่อนที่ในแนวตรงด้วยความเร่งคงตัว เมื่อวัตถุเคลื่อนท่ีด้วยความเร่งคงตัว จะได้ความสัมพันธ์ดังนี้

………………(1)

………………(2)

………………(3)

………………(4)

การก าหนดเครื่องหมาย ปริมาณทุกปริมาณในสูตรเป็นเวกเตอร์ท้ังหมด ยกเว้น t จึงต้องแทนเครื่องหมาย

ด้วย ดังนี้ 1. ทิศของ เป็นบวกเสมอ ปริมาณใดก็ตามท่ีมีทิศตรงข้ามกับ จะมีเคร่ืองหมายลบ

2. การกระจัดต้องวัดจากจุดเริ่มต้น และพิจารณาประกอบกับทิศของ

ตัวอย่างท่ี 10 วัตถุอันหนึ่งก าลังเคลื่อนท่ีด้วยความเร็ว 20 m/s ไปทางทิศเหนือจากนั้นมีความเร่งไปทางทิศใต้ 5 m/s2 เป็นเวลา 4 วินาที จงหาความเร็วของวัตถุเป็นเท่าใด

แนวคิด ทราบ u = 20 m/s ; a = -5 m/s2 ; t = 4 s จาก

m/s ตัวอย่างท่ี 11 รถบรรทุกคันหนึ่งแล่นด้วยความเร็วคงที ่20 m/s ผ่านรถยนต์คันหนึ่งซึ่งก าลังเริ่มออกวิ่งด้วยความเร่งคงที ่4 m/s2 ในทิศทางเดียวกัน จงหาว่ารถยนต์ต้องใช้เวลานานกี่วินาทีจึงจะแล่นทันรถบรรทุก

แนวคิด

+u

+s

+u

+s

+u

s = 0

+u

-s

20 m/s คงที ่

u = 0 ; 4 m/s2 คงที ่

Sรถยนต์ = Sรถบรรทุก

= vt

0 + (

) = 20t

t = 10 วินาที


28. รถยนต์คันหนึ่งวิ่งด้วยความเร็วคงท่ี 10 m/s ขณะท่ี

อยู่ห่างสิ่งกีดขวางเป็นระยะทาง 35 เมตร คนขับตัดสินใจห้ามล้อ โดยเสียเวลา 1 วินาที ก่อนที่ห้ามล้อจะท างาน เมื่อห้ามล้อท างานแล้วรถจะต้องลดความเร็วในอัตราเท่าใด

จึงจะท าให้รถหยุดพอดีเมื่อถึงสิ่งกีดขวางนั้น

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

...................

29. รถยนต์คันหนึ่งก าลังเคลื่อนท่ีด้วยอัตราเร็วคงตัว 50 กิโลเมตร/ชั่วโมง ต่อมารถคันนี้วิ่งผ่านรถยนต์อีกคันหนึ่ง

ซึ่งวิ่งไปทางเดียวกันด้วยอัตราเร็ว 40 กิโลเมตร/ชั่วโมง และมีอัตราเร่งคงตัว 20 กิโลเมตร/(ชั่วโมง)2 อีกนานเท่าใดรถยนต์ท้ังสองคันจะมาพบกันอีกคร้ัง

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

...................

30. รถเริ่มเคลื่อนจากหยุดนิ่งและมีความเร่งคงที่ เมื่อจับเวลาช่วงหนึ่ง รถเคลื่อนท่ีได้ 39 เมตร ในเวลา 3 วินาที ถ้าอัตราเร็วสุดท้ายในช่วงที่จับเป็น 16 เมตรต่อวินาที จงหาอัตราเร็วของรถขณะเริ่มจับเวลา

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

...................

31. รถยนต์คันหนึ่งวิ่งในแนวเส้นตรงโดยเริ่มต้นวิ่งจากหยุดนิ่งด้วยค่าความเร่งคงท่ีได้ระยะทางครั้งแรก 160 เมตร เมื่อเร่ิมวิ่งใหม่ในครั้งท่ีสองได้ระยะทาง 360 เมตร ตามล าดับ จงหาอัตราส่วนขนาดความเร็วสุดท้ายของครั้ง

แรกต่อครั้งหลัง

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

...................


32. จากกราฟวัตถุเร่ิมเคลื่อนท่ีด้วยความเร็ว 12 m/s และมีความเร่ง 2 m/s2 จงหาระยะทางท้ังหมดท่ีวัตถุเคลื่อนท่ีได้

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

...................

33. วัตถุเริ่มต้นเคลื่อนท่ีจากหยุดนิ่งในแนวเส้นตรงด้วยความเร่งคงท่ี ข้อมูลส่วนหนึ่งปรากฏดังกราฟ วัตถุนี้

เคลื่อนท่ีด้วยความเร่งเท่าไร

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

...................

v (m/s)

0 10

2

20 30

12

t (s)

S (m)

t(s)

100

10 0

34. วัตถุช้ินหนึ่งเคลื่อนท่ีจากสภาพหยุดนิ่งในแนวตรงด้วยความเร่งคงท่ี เมื่อเวลาผ่านไป t วัตถุเคลื่อนท่ีได้การกระจัด 50 เมตร ถ้าเวลาผ่านไปเท่ากับ 2t วัตถุจะเคลื่อนท่ีได้การกระจัดเท่าใด

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

...................

35. ในการแข่งขันกีฬา นายแดงออกวิ่งจากจุดเร่ิมต้นด้วยความเร็วคงท่ี 10 m/s ส่วนนายด าเร่ิมจากจุดซึ่งอยู่หลังนายแดงและห่างออกไป 30 เมตร นายด าเร่ิมออกจากหยุดนิ่ง ด้วยความเร่ง 4 m/s2 จงหาว่าในเวลา 8 วินาที ท้ังสองจะอยู่ห่างกันเท่าใด

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

...................


10. การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งภายใต้แรงดึงดูดของโลก

การเคลื่อนท่ีในแนวดิ่งภายใต้แรงดึงดูดของโลก คือ การเคลื่อนท่ีอย่างอิสระของวัตถุโดยมีความเร่งคงท่ี

เท่ากับความเร่งเนื่องจากแรงดึงดูดของโลก (g) มีทิศทางพุ่งลงสู่ศูนย์กลางของโลกมีค่าประมาณ 9.8 หรือ 10 m/s2 สูตรค านวณ

………………(1)

………………(2)

………………(3)

………………(4)

การก าหนดเครื่องหมาย ปริมาณทุกปริมาณในสูตรเป็นเวกเตอร์ท้ังหมด ยกเว้น t จึงต้องแทนเครื่องหมาย

ด้วย ดังนี้ 1. ทิศของ เป็นบวกเสมอ ปริมาณใดก็ตามท่ีมีทิศตรงข้ามกับ จะมีเคร่ืองหมายลบ

2. การกระจัดต้องวัดจากจุดเริ่มต้น และพิจารณาประกอบกับทิศของ

ข้อควรทราบ 1. เคร่ืองหมายของ g ก. ถ้าขว้างวัตถุขึ้นด้วยความเร็วต้น u ตลอดการเคลื่อนท่ีนี้ไม่ว่าวัตถุจะอยู่ท่ีต าแหน่งใดก็ตาม ใช้ค่าg เป็นลบตลอด

ข. ถ้าปล่อยวัตถุลง หรือขว้างวัตถุลงด้วยความเร็วต้น u ตลอดการเคลื่อนท่ีนี้ ไม่ว่าวัตถุนั้นจะอยู่ท่ีต าแหน่งใดก็ตาม ใช้ค่า g เป็นบวกตลอด 2. ปล่อยวัตถุหรือทิ้งวัตถุลงมา หมายความว่า u = 0 ถ้าขว้างลงมาจึงจะมีความเร็วต้น 3. ขึ้นไปสูงสุด หมายความว่า v = 0 4. ปล่อยก้อนหินจากวัตถุท่ีก าลังเคลื่อนที่ เช่น รถ หรือบอลลูน ก้อนหินย่อมมีความเร็วต้นเท่ากับสิ่งนั้นด้วย ดังนั้น ถ้าปล่อยหินจากบอลลูนท่ีก าลังลอย หินย่อมขึ้นไปชั่วขณะหนึ่งก่อนแล้วจึงย้อนตกลงมา 5. การปาวัตถุขึ้นไป ถ้าวัตถุย้อนตกลงมาไม่ต่ ากว่าจุดตั้งต้น S(+) จะมากกว่า S(-) การกระจัดลัพธ์เป็นบวก

+u

+s

+u

+s

+u

s = 0

+u

-s

19 วิชาฟิสิกส์ เร่ืองการเคลื่อนท่ีในหนึ่งมิติและสองมิติ อ.เพ็ญพร วังภูมิใหญ่ 6. การปาวัตถุขึ้นไป ถ้าวัตถุย้อนตกลงมาต่ ากว่าจุดต้ังต้น

S(+) จะน้อยกว่า S(-) การกระจัดลัพธ์จะเป็นลบ น าค่า S มาแทนในสูตร

ซึ่ง t จะเป็นเวลาทั้งหมดต้ังแต่เร่ิมขว้างจนตกกลับลงมาถึงพื้น

7. ถ้าขว้างวัตถุข้ึนก าหนดความเร็วต้น ให้หาเวลาเมื่ออยู่สูงเท่าท่ีก าหนด ใช้สูตร

จะได้

t 2 ค่า (ซึ่งมักถูกท้ัง 2 ค่า) 8. ท่ีระดับเดียวกัน อัตราเร็วขาขึ้นจะเท่ากับอัตราเร็วขาลง แต่ทิศทางตรงข้ามกัน 9. ในช่วงระยะเดียวกันท้ังขาขึ้นและขาลงจะใช้เวลาเท่ากัน

36. ชายคนหนึ่งโยนเหรียญขึ้นไปในแนวดิ่งด้วยความเร็ว

ต้น 10 เมตรต่อวินาที เป็นเวลานานเท่าใดเหรียญจึงจะตก

ลงมาถึงต าแหน่งเริ่มต้น

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

...................

37. ปาหินขึ้นในแนวดิ่งจากพื้นดินด้วยความเร็ว 40 m/s จะใช้เวลานานเท่าไร วัตถุจึงจะอยู่สูงจากพื้นดิน 60 เมตร ......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

...................

38. ปล่อยหินก้อนหนึ่งตกลงไปจากปากเหวซึ่งลึก 500 m

ถ้าความเร็วเสียงในอากาศเท่ากับ 250 m/s จงหาว่าจะได้ยินเสียงก้อนหินกระทบก้นเหวหลังจากปล่อยหินตกจาก

ปากเหวแล้วเป็นเวลาเท่าใด

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

...................

39. โยนหินขึ้นไปจากหน้าผาแห่งหนึ่งตามแนวดิ่งในอากาศ ด้วยความเร็ว 60 m/s พบว่านานเป็นเวลา 20 s หินก้อนนั้นจึงตกลงมาถึงพื้น หน้าผานั้นสูงจากพื้นเท่าใด

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

...................


11. ความเร็วสัมพัทธ์ ความเร็วสัมพัทธ์ คือ ความเร็วของวัตถุก้อนหนึ่งที่ก าลังเคลื่อนท่ีเปรียบเทียบกับวัตถุอีกก้อนหนึ่งซึ่งก าลัง

เคลื่อนท่ีอยู่ด้วย ความเร็วสัมพัทธ์เป็นความเร็วท่ีเปรียบเทียบกันระหว่างผู้ถูกสังเกตกับผู้สังเกต

การค านวณความเร็วสัมพัทธ์ - ให้กลับทิศความเร็วของผู้สังเกต ไปรวมกับความเร็วของวัตถุ ความเร็วรวมที่ได้จะเป็น

ความเร็วสัมพัทธ์ท่ีมองเห็น

40. วัตถุ A มีความเร็ว 20 m/s วัตถุ B มีความเร็ว 15 m/s เคลื่อนท่ีแนวเส้นตรง จงหาความเร็วของวัตถุ A สัมพัทธ์กับวัตถุ B เมื่อ

ก. วัตถุ A และ B เคลื่อนท่ีไปทิศตะวันออกด้วยกัน ข. วัตถุ A เคลื่อนท่ีไปทางทิศตะวันออก ส่วนวัตถุ B เคลื่อนท่ีไปทางทิศตะวันตก ค. วัตถุ A เคลื่อนท่ีไปทางทิศตะวันออก ส่วนวัตถุ B เคลื่อนท่ีไปทางทิศเหนือ

แนวคิด เขียนเวกเตอร์ความเร็วตามโจทย์ กลับทิศความเร็วของผู้สังเกต (วัตถุ B) หาความเร็วลัพธ์ของข้อ 1 , 2

N

ก.

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

...................

ข.

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

ค.

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................


Documents

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติและสองมิติ(เสร็จ)