統計学勉強会

第二回@kingqwert

前回の宿題• F 分布の分母、分子を自由度割る意味– X2 分布が分散の分布→１サンプル当たりの分

散の比を表す

• 分布の自由度– 形を決定するパラメーター

• 平均、分散、 SD 、 SE

SD と SE

本日の予定は。。。

検定論（特に分散分析 ANOVA、 ANCOVA）

ちなみに

• 適合度統計量 (goodness of fit statistic) は今回は扱わない→最尤法の回へ– スコア統計量– ワルド統計量– 逸脱度

３種類• 線形重回帰

– １つの連続的な反応変数＋いくつかの連続的な説明変数

• 分散分析 ANOVA– １つの連続な反応変数＋カテゴリカルな説明変数

• 共分散分析 ANCOVA– 説明変数のうち少なくとも１つは連続変数

• まとめて　　　重回帰 or 一般線形モデル– １つの連続的な反応変数と複数個の説明変数を分析すること

基本的な考え方• S を興味のある統計量とすると

S がベクトルの時は

分散分析• Def: カテゴリー間での連続変数の特徴量を比較する統計

手法学習形態 一斉指導 体験学習 討議学習

5 8 7

4 4 6

6 3 8

3 3 9

3 7 10

7 9 9

6 8 8

5 7 9

3 3 7

5 4 8

平均 4:07 5:06 8:01 全平均 6:01

サイズ 10 10 10

１元配置• 構造モデル

• 平方和分解

• 平方和の比の検定量

One-way ANOVA table

変動要因 自由度 平方和 平均平方 F-value

主効果 a-1 S_a M_a=S_a/(a-1) M_a/M_e

誤差 n-a S_e M_e=S_e/(n-a)

全体 n-1 S_T

この F 値は、自由度 a-1, n-a の F 分布に従う。従って、帰無仮説 (H0=α1=α2=α3=α4=α5) を検定するには

F-value > F(a-1,n-a)

多重検定• 5% であるから、有意差がでない確率は (1-

0.05)

• ３つの組み合わせ全てで有意差が出ない確率は (1-0.05)x(1-0.05)x(1-0.05) となり、逆に有意差が出る確率は 1-(1-0.05)^3=0.142

α エラーの上昇

多重検定1. なにもしない

1. 推奨されない方法である．すなわち，補正なしの t 検定を行う．

2. ボンフェローニ（ Bonferroni ）補正1. いま，有意水準 α‘ のそれぞれ独立な検定を r 回行ったとすると， 1 回の検定で正しい

判断を行う確率が 1 - α’ なので， r 回の検定で正しい判断を行う確率は， (1 - α‘)r となる．よって，正しい判断 を行わない（第 1 種の過誤の）確率は， 1 - (1 - α’)r 1 - (1 - rα‘) = ≒rα’ ，ただし， α‘ 0≒ となる．これが， r 回の検定全体での有意水準となる．よって，検定全体での有意水準を α にするには， 1 回の検定の有意水準を α’ = α/r にすればよい．これがボンフェローニ補正である．しかし， 多重比較における検定は独立な検定ではないので，この補正は厳しすぎ（保守的）て， 有意な組み合わせが見つからない恐れがある．

3. ホルム（ Holm ）補正1. ボンフェローニ補正を改良したものである．すべての比較組み合わせ（対比）の t 値を

計算し，それを大きさの順に並べる．一番大きな t 値 t(1) の有意確率を α/r ，次の大きさ の t(2) の有意確率を α/(r - 1) ，というように有意確率を調整する．

2. R ではホルム補正がデフォルト

4. チューキー（ Tukey ）の HSD （ honestly significant difference ）1. 今までは， t 検定の有意確率を補正することにより，多重比較の問題に対処していたが，

スチィーデント化された範囲の分布 （ Studentized range distribution ）という多重比較専用の分布を用いて検定する

後日

• Bootstrap 法による多重検定 ← NEW!

二元配置〜多元配置• 構造モデル

• 平方和分解

Two-way ANOVA table要因 自由度 平方和 平均平方和 F-value

A の主効果 a-1 S_a M_a=S_a/(a-1) M_a/M_e

B の主効果 b-1 S_b M_b=S_b/(b-1) M_b/M_e

交互作用　A*B

(a-1)(b-1) S_AB M_AB=S_AB/(a-1)(b-1) M_AB/M_e

誤差 ab(r-1) S_e M_e=S_e/ab(r-1)

全体 abr-1 S_r

R の検定パッケージと関数関数 機能 パッケージ

assocstats

分割表の統計量と検定：カイ２乗、尤度比、連関係数 vcd

binom.test 二項分布の検定 stats

coindep_test 条件付き独立検定 vcd

fisher.test Fisher の直接検定 stats

goodfit 適合検定 vcd

kruskal.test ランク和の検定 stats

mantelhaen.test

Cochran-Mantel 　 -Haenszel の 3 元分割表のカイ 2乗検定 stats

mcnemArtest 正方形の分割表の Mcnemar のカイ２乗検定 stats

oddsratio オッズ比と検定統計量 vcd

prop.test 比率の検定 stats

summary.formula 分割表の統計量など Hmisc

woolf_test

同種の 2×2×k 分割表の Woolf のオッズ比検定 vcd