COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS

UNIDAD NOMBRE TEMAS

5 Integrales múltiples

5.6 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas.

Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje. El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana. Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,z), donde:

ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY

φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el plano XY.

z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.

Los rangos de variación de las tres coordenadas son

La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.

Relación con las coordenadas cartesianas

Las coordenadas cilíndricas pueden ponerse en función de las coordenadas cartesianas y viceversa, de acuerdo con las relaciones

y sus inversas

Estas relaciones se hacen singulares en el propio eje z, en el cual φ no está definida.

Relación con las coordenadas esféricas

las coordenadas cilíndricas funcionan como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas esféricas. Éste último se relaciona con el de las cilíndricas por las ecuaciones

y sus inversas

Líneas y superficies coordenadas

Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilíndricas, estas son:

Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje Z.

Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales.

Líneas coordenadas z: Rectas verticales

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son: Superficies ρ=cte.: Cilindros rectos verticales. Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales. Superficies z=cte.: Planos horizontales. Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas cilíndricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

e inversamente

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es

Nótese que no aparece un término . La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base.

Diferenciales de línea, superficie y volumen

Diferencial de línea. Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por

Diferenciales de superficie. La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, q3 = constante. el resultado es

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas. En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son

ρ=cte:

ϕ=cte:

z=cte:

Diferencial de volumen. El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

que para coordenadas cilíndricas da

Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilíndricas. Estas son:

Gradiente

Divergencia

Rotacional

Laplaciano

Coordenadas esféricas

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r, el ángulo polar o colatitud θ y el acimut φ. Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90º a -90º (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360ª (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).

Relación con otros sistemas de coordenadas

Relación con las coordenadas cartesianas

Las coordenadas esféricas pueden ponerse en función de las coordenadas cartesianas y viceversa, de acuerdo con las relaciones

y sus inversas

Estas relaciones se hacen singulares en el propio eje z, en el cual φ no está definida.

Relación con las coordenadas cilíndricas

Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de las coordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones

y sus inversas

Líneas y superficies coordenadas

Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas esféricas, estas son: Líneas coordenadas r: Semirrectas radiales partiendo del origen de coordenadas. Líneas coordenadas θ: Semicírculos verticales (meridianos) Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales (paralelos).

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son: Superficies r=cte.: Esferas con centro el origen de coordenadas. Superficies θ=cte.: Conos rectos con vértice en el origen. Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales. Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

Bibliografía: Libro: Cálculo Tomo II Autor: Roland E. Hostetler Robert P. Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano Libro: Cálculo con Geometría Analítica Autor: Swokowski Earl W. Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano