Upload
verawaty-b-sitorus-pane
View
107
Download
15
Embed Size (px)
DESCRIPTION
s
Citation preview
MODUL I
PROGRAM MINITAB
1.1 Pengenalan Program Minitab
Minitab merupakan salah satu program aplikasi statistika yang banyak digunakan
untuk mempermudah pengolahan data statistik. Keunggulan minitab adalah dapat
digunakan dalam pengolahan data statistika untuk tujuan sosial dan teknik. Minitab
telah diakui sebagai program statistika yang sangat kuat dengan tingkat akurasi
taksiran statistik yang tinggi.
Minitab menyediakan beberapa pengolahan data untuk melakukan analisis
regresi, membuat ANOVA, membuat alat-alat pengendalian kualitas statistika,
membuat desain eksperimen (factorial, response surface dan taguchi), membuat
peramalan dengan analisis time series, analisis realibilitas dan analisis multivariate,
serta menganalisis data kualitatif dengan menggunakan cross tabulation.
1.2 Bagian-bagian Minitab
Minitab terdiri atas beberapa bagian dan Gambar 1.2 menunjukan beberapa
bagian Minitab.
Gambar 1.1 Tampilan window Minitab.
1
Toolbar
Window session
Window data
Window graph
Project manager
1.2.1 Toolbar
Toolbar merupakan alat untuk mempermudah dan mempercepat perintah
Minitab. Toolbar Minitab berbentuk tombol-tombol dalam window Minitab.
Pengoperasiannya pun mudah, yaitu hanya dengan menekan (klik) toolbar
tertentu untuk menjalankan suatu perintah.
Gambar 1.2 Beberapa Toolbar khas dalam Minitab
1.2.2 Window Data
Window data pada minitab dinamakan dengan worksheet. Worksheet pada
window data terdiri dari kolom-kolom dan baris, dimana 1 kolom berisi kolom
variable tertentu dan 1 baris berisi suatu observasi. Sel paling atas suatu
kolom berisi nama kolom yang disediakan oleh Minitab secara otomatis.
Namanya adalah C1, C2, C3 dan seterusnya. Kita bisa pula memberi nama
kolom yang disediakan dibaris kedua suatu kolom. Kolom dalam Minitab bisa
diberi nama yang panjang. Gambar 1.3 menunjukan bentuk window data pada
Minitab.
Gambar 1.3 Window Data
1.2.3 Window Session
Window session menampilkan hasil analisis data yang telah dilakukan.
Kita bisa mengedit dan memformat teks, menambahkan komentar, melakukan
perintah menyalin, mengubah huruf atau mencari dan mengganti angka serta
huruf. Pekerjaan yang telah dilakukan atau hasil analisis dalam window bisa
2
disimpan dan dicetak. Kita dapat pula menggunakan window session untuk
memerintah minitab dalam tipe text dan menjalankan program macro.
Menjalankan perintah melalui wondow session membutuhkan bahasa perintah
tertentu. Gambar berikut ini menampilkan bentuk window session.
Gambar 1.4 Window Session
1.2.4 Window Graph
Window graph menampilkan grafik data statistik . Pada program minitab
kita dapat membuat grafik beresolusi sebanyak 100 gambar secara bersamaan.
Ada 4 jenis grafik yang bisa dibuat dalam minitab, yaitu:
1. Grafik dasar
Ada beberapa grafik yang dikategorikan grafik dasar seperti scatterplot,
plot times series, histogram, boxplot, plot draftsman, plot contour, dan
lain-lain.
2. Grafik 3D
Grafik yang bisa dibuat dalam 3 dimensi dalam minitab adalah scatterplot,
plot surface dan plot wireframe.
3. Grafik-grafik khusus statistika
Grafik-grafik tersebut adalah dotplot, diagram lingkaran (pie chart), plot
marginal dan plot probabilitas.
4. Character Graph
Grafik ditampilkan window session dalam tipe text.
3
1.2.5 Project Manager
Project Manager berfungsi mengatur file-file yang tersimpan dalam
project. Project Manager terdiri atas beberapa folder dan window suatu folder
seperti ditunjukan pada gambar berikut
Gambar 1.5 Project Manager
Gambar di atas memperlihatkan bahwa project manager terbagi menjadi
dua bagian. Bagian kiri project manager menunjukan subfolder-subfolder
yang merupakan isi project tertentu. Window di sebelah kanan menampilkan
daftar file pada subfolder tertentu yang ditunjuk.
4
MODUL II
ALAT – ALAT STATISTIK DALAM MINITAB
Seiring dengan perkembangannya, Minitab mengalami perbaikan-perbaikan dalam
menyediakan metode-metode analalisis data statistik. Pada modul ini penulis akan
memberikan pnejelasan lebih terperinci mengenai alat-alat pengolahan data statistik yang
disediakan menu data Statitistik dalam minitab.
2.1 Statitika Sederhana
Diawal menu stat, Minitab menampilkan metode untuk analisis statistik
sederhana, yaitu melalui submenu Basic Statistik. Perhitungan statistik sederhana
yang dilakukan dalam menu antara lain menghitung banyaknya data, rata-rata,
median, kuartil 1 dan 3, nilai terbesa (maksimum) dan terkecil (minimum) serta
standar deviasi.
2.2 Analisis Regresi
Minitab menyediakan alat-alat untuk melakukan analisis regresi, yaitu melalui
submenu Regression. Analisis regresi yang bisa dilakukan dalam submenu
regression meliputi analisis regresi sederhana dan analisis regresi berganda.
Untuk analisis regresi berganda, Minitab menyediakan metode analisis regresi
untuk memilih model regresi terbaik. Tidak hnya itu, Mintab menyediakan pula
berbagai analisis regresi logistik.
2.3 Analysis of Variance (ANOVA)
Minitab mnyediakan alat untuk melakukan Analysis of Variance atau lebih sering
terkenal ANOVA dalam submenu ANOVA.
2.4 Design of Experiment (DOE)
Untuk memperbaiki kualitas, design of experiment (eksperimen desain) sering
digunakan sebagai salah satu alat. Minitab menyediakan beberapa analisis untuk
desain eksperimen. Desain eksperimen yang disediakan Minitab adalah desain
5
eksperimen factorial, response surface , desain mixture, dan yang terbaru adalah
desain Taguchi.
2.5 Peta Kendali
Peta Kendali adalah salah satu alat statistic untuk mengendalikan kualitas. Lebih
lanjut, Minitab menyediakan kemudahan membuat peta kendali. Submenu
Control Chart menyediakan peta kendali
2.6 Alat-alat untuk Mengendalikan Kualitas
Minitab tidak hanya menyediakan peta kendali sebagai alat-alat statistik untuk
mengendalikan kualitas, tetapi juga beberapa alat statistik untuk mengendalikan
kualitas dalam submenu Quality Tools. Submenu Quality Tools menyediakan
pula analisis kemampuan proses utnuk data yang berdistribusi nonnormal, poisson
dan binomial.
2.7 Analisis Reliabilitas
Kelebihan minitab adalah aplikasinya untuk meningkatkan kualitas seperti peta
kendali, desain eksperimen , diagram pareto, diagram ishikawa dan analisis
kemampuan proses. Kemudian minitab menyediakan pula alat untuk menganalisis
reliabilitas melalui submenu Reliability/Survival.
2.8 Analisis Multivariat
Analisis multivariate merupakan analisis data statistic yang bnayak digunakan dan
bermanfaat dalam berbagai bidang seperi pemasaran, teknik, dan masalah-
masalah social. Minitab menyediakan operasi-operasi untuk melakukan analisis
multivariate melalui submenu multivariate.
2.9 Analisis Time Series
Untuk keperluan peramalan, minitab menyediakan analisis time series dalam
submenu time series.
6
2.10 Analisis Data Kualitatif
Minitab memberikan beberpa metode untuk meringkas data dalam table dan
melakukan analisis data kualitatif yang dikelomppkan ke dalam menu tables.
2.11 Analisis Nonparametrik
Mintab memberikan pula kemudahan dalam melakukan analisis nonparametric
yang perintah-perintahnya dikelompokan ke dalam submenu nonparametrics.
2.12 Exploratory Data Analysis (EDA)
Agar mudah melakukan eksplorasi data dan mencari residual suatu model,
program minitab menyediakan Exploratory Data Analysis dalam submenu EDA.
2.13 Power and Sample Size
Untuk meyakinkan apakah desain yang telah dirancang cukup andal dan data
yang telah diperoleh cukup memuaskan, kita perlu melakukan beberapa uji. Salah
satu cara melihatnya adalah dengan melihat apakah jumlah sample yang telah
diambil sudah mencukupi. Minitab menyediakan alat untuk melakukannya dalam
submenu Power and Sample Size.
7
MODUL III
OPERASI DASAR MINITAB
Pada modul ke-3 akan mempelajari operasi dasar Minitab, yaitu cara memasukkan data,
menyimpan data, dan membuka file.
3.1 Proses Analisis Statistik dalam Minitab
Tahap-tahap analisis data statistik diawali dengan melakukan desain untuk
mengambil data (desain sampling atau desain eksperimen), dilanjutkan dengan
mengumpulkan data, menganalisa data dan terakhir adalah mengambil kesimpulan
berdasarkan analisa data.
Pengolahan data dalam Minitab bisa dilakukan melalui menu Stat. Menu stat
menyediakan beberapa metode analisa statistik. Apabila membutuhkan analisa data
melalui grafik, kita dapat melakukannya melalui graph dalam Minitab. Sealin kedua
menu, apabila pengguna Minitab akan melakukan perhitungan matematika atau
statistic tertentu atau memanipulasi data sesuai dengan kebutuhan, maka kita dapat
melakukannya melalui menu Data atau Calc. Output analisa data ditampilkan
melalui window session atau disimpan dalam worksheet. Jika melakukan anlaisa
grafik, maka window graph akan menampilkan outputnya.
Setelah mengahsilkan output, interprestasi data bukan lagi tugas Minitab.
Dalam Tahap interpretasi data, peneliti sangat berperan dalam menginterpretasikan
output yang dihasilkan Minitab dan menganalisis hasil yang telah didapatkan.
3.2 Memasukan Data
Pertama kali menjalankan minitab, kita akan melihat project yang belum terisi.
Karena worksheet masih kosong, kita harus memasukan data yang akan diolah ke
dalam worksheet atau memanggil data yang sudah dimasukandalam format lain.
Contoh ilustrasi menggunakan data pada table 3.1 di bawah ini. Data dalah
jumlah reaktor nuklir pada suatu negara.
8
Tabel 3.1 Data Reaktor Nuklir terbesar di Dunia
Negara Jumlah Reaktor Nuklir BenuaBelgia 4 EropaPerancis 22 EropaFinlandia 2 EropaJerman 7 EropaBelanda 1 EropaJepang 11 AsiaSwedia 3 EropaSwitzerland 1 EropaUSA 47 AmerikaTotal 98
Sumber: Mendenhall, W. dan Sincich,T., 1995. Statistics for Engginering and The Science. Practice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey
3.2.1 Memberi Nama Kolom
Cara memberi nama pada komo sebagai berikut:
1. Letakkan kursor di sel di bawah C1
2. Ketikkan “Negara” pada sel.
3. Ulangi tahap 1 dan 2 untuk memberi nama pada kolom C2 dan C3
dengan nama “Jumlah Reaktor Nuklir” dan “Benua”.
Pemberian nama kolom pada minitab bisa panjang, dapat mencapai 31
karakter. Hasil pemberian nama dapat dilihat pada gambar 3.1.
Gambar 3.1 Tampilan window Data setelah kolom diberi nama.
Jika ada kesalahan dalam memberi nama pada kolom, cara mengubahnya
adalah:
1. Letakkan kursor pada sel yang namanya akan diubah.
2. Ketikan nama yang baru pada sel.
3. Tekan [enter]
9
Secara otomatis, nama kolom yang lama akan berganti dengan yang baru.
3.2.2 Memasukkan Data dalam Window Data
Untuk melakukan analisa data dengan menggunakan Minitab, kita terlebih
dahulu harus memasukan data yang akan dianalisis ke dalam worksheet.
Tahap-tahap memasukan data adalah :
1. Klik tanda entry arrow [ ]↓ di pojok kiri atas window data untuk entry
data ke bawah. Klik tanda entry arrow [ ]→ untuk entry data ke arah
kanan.
Gambar 3.2 Entry Arrow Arah Bawah dan Kanan
2. Masukkan data sesuai dengan table 3.1 pada kolom “Negara”,
“Jumlah Reaktor Nuklir” dan “Benua”
Gambar 3.3 menunjukan worksheet berisi hasil Minitab. Gambar
memperlihatkan kolom C1 dan C3 berubah menjadi C1-T dan C3-T. huruf T
menunjukan tipe data pada kolom tersebut.
10
Entry Arrow
Gambar 3.3 Tampilan hasil memsukkan data pada window Data.
3.3 Menyimpan Worksheet
Cara menyimpan data yang telah dimasukan agar tidak hilang adalah:
1. Pilih File > Save Current Worksheet As
2. Pada kolom File Name ketikan nama file, contoh Nuclear
3. Selanjutnya, klik Save.
Sebagai pengguna Minitab perlu mengingat bahwa dalam menu File, Minitab
menyediakan 3 perintah untuk menyimpan, yaitu perintah pertama untuk
menyimpan semua project (window session, worksheet, project manager dan
graph), kedua hanya untuk menyimpan worlsheeet, dan terakhir hanya untuk
menyimpan grafik. Jika ingin menyimpan suatu file dalam window tertentu,
pastikan windownya sedang aktif sehingga dalam menu File, perintah print akan
diikuti nama.
3.4 Membuat Worksheet
Langkah-langkah membuat worksheet baru adalah:
1. Pilih File > New atau tekan tombol [Ctrl] + [N]
2. Pilih Minitab Worksheet
3. Klik OK
Memasukkan Data Menggunakan Autofill
Memasukkan Deret Bilangan Tunggal berulang dari Data Tunggal
11
Kita dapat memasukkan deret bilangan tunggal hanya dengan mengisikan
data. Contoh bilangan tunggal berulang adalah:
• 1, 1, 1, …
• putih, putih, putih, …
• 1/99, 1/99, 1/99, ….
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
1. Ketikan data tunggal, misalnya 1 pada sel pertama dalam kolom C1.
2. Blok sel seperti tampak dalam gambar 3.4 (a) .
3. Letakkan kursor di pojok kanan bawah sel sehingga kursor berubah
menjadi +, klik kiri, tahan dan geser ke bawah sampai baris ke-n.
Gambar 3.4 Autofill untuk memasukkan deret bilangan tunggal
Catatan:
Untuk data tipe date/time, pada tahap kedua, tekan [Ctrl].
Memasukkan Deret Bilangan berpola yang Berulang
Contoh pola deret berpola yang berulang adalah:
• 1, 2, 3, 1, 2, 3, …
• merah, putih, merah, putih, …
• Jan-07, Feb-07, Jan-07, Feb-07, …
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
1. Pada kolom C1, ketikkan angka 1, 2 dan 3 pada baris pertama, kedua
dan ketiga.
2. Blok ketiga sel seperti ditunjukkan dalam gambar 3.5.
12
3. Tekan tombol [Ctrl] dan letakkan kursor pada pojok kanan bawah sel
yang di blok sehingga kursor berubah menjadi +. Klik kiri, tahan dan
geser ke bawah sampai baris ke-n
Gambar 3.5 Memasukkan deret bilangan berpola menggunakan autofill
Memasukkan Deret Bilangan dari Beberapa Bilangan
Conto deret bilangan yang mempunyai selisih sama adalah:
• Dari 1 untuk membuat: 1, 2, …, 100
• Dari 1/1/07 untuk membuat : 1/1/07, …, 2/2/07
• Dari hari 1 untuk membuat : hari 1, …, hari 100
Langkah-langkahnya adalah:
1. Pada kolom C1, masukkan angka 1 dan 2 pada baris pertama dan
kedua.
2. Letakkan kursor pada sel yang telah diberi angka seperti diutnjukkan
dalam gambar 3.6
3. Tekan [Ctrl], lalu letakkan kursor di pojok kanan bawah sel yang
diblok sehingga kursor berubah bentuk menjadi +, Klik kiri, tahan dan
geser ke bawah.
Gambar 3.5 Memasukan deret bialngan menggunakan autofill
13
Memasukkan Deret dari Daftar Tertentu
Deret berikut merupakan deret tertentu, misalnya nama hari, bulan dan jam:
• Jan, Feb, …, Dec
• Mon, Tue, …, Sun
Langkah-langkahuntuk memasukkan data seperti berikut:
1. Isikan kata “Jan” pada baris pertama dalam kolom C5.
2. Blok sel data seperti ditunjukkan dalam gambar 3.6
3. Letakkan lursor di pojok kanan bawah sel yang diblok sehingga kursor
berubah menjadi +. Klik kiri, tahan dan geser ke bawah.
Gambar 3.6 Memasukkan data untuk deret tertentu.
Memasukkan Data Melalui Window Session
Sebelum menuliskan perintah pada window session, pastikan terdapat command
prompt “MTB >” pada window session. Jika belum ada, cara mengaktifkannya
adalah meletakkan kursor pada window Session. Selanjutnya, beri cek pada Editor
> Enable Commands. Ada beberapa contoh memasukkan data dari window
session.
Contoh 1.
Jika data akan dimasukkan pada kolom C1, baris pertama sampai baris kesembilan
akan diisikan angka 1,4,3,5,9,2,4,6,7,dan 5. Caranya:
1. Tuliskan perintah di bawah pada window session:
MTB > SET c1 (enter)
DATA> 1 4 3 5 9 2 4 6 7 5 (enter)
DATA> END (enter)
14
2. Lihat kolom C1 pada window data.
Contoh 2
Jika akan dimasukan pada kolom C2, baris pertama sampai kesembilan akan
diisikan angka 1 sampai 9. Caranya:
1. Tuliskan perintah berikut pada window session:
MTB> SET C2 (enter)
DATA> 1 : 9 (enter)
DATA> END (enter)
2. Lihat hasilnya pada kolom C2 di window data.
Contoh 3.
Jika data akan dimasukkan pada kolom C3, mulai dari baris pertama sampai
kesembilan akan diisikan angka 1. Caranya:
1. Tuliskan perintah berikut pada window session:
MTB> SET C3 (enter)
DATA> 9 (1) (enter)
DATA> END (enter)
2. Lihat hasilnya pada kolom C3 di window data
Contoh 4
Jika akan dimasukkan data pada kolom C4, baris pertama sampai baris kesembilan
akan diisikan angka 1,1,1,2,2,2,3,3, dan 3. Caranya:
1. Tuliskan perintah berikut pada window session:
MTB> SET C4 (enter)
DATA> 3 (1) 3 (2) 3 (3) (enter)
DATA> END (enter)
atau
MTB> SET C4 (enter)
DATA> (1:3) 3 (enter)
DATA> END (enter)
2. Lihat hasilnya pada kolom C4 di window data.
15
Contoh 5
Jika akan dimasukkan data pada kolom C5, baris pertama sampai kesembilan akan
diisikan angka 1,2,3, 1,2,3,1,2 dan 3. Caranya:
1. Tuliskan perintah berikut pada window session:
MTB> SET C5 (enter)
DATA> 3 (1:3) (enter)
DATA> END (enter)
2. Lihat hasilnya pada kolom C5 di window data.
Memasukkan Data Berpola Melalui Menu Calc
Memasukkan Deret Bilangan yang Selisihnya Sama
Jika akan memasukan deret :
100, 90, …, 10, 100, 90, …, 10. Caranya adalah:
1. Pilih Calc > Make Pattern Data > Simple Set of Numbers.
Gambar 3.7 Kotak Dialog Simple Set of Numbers
2. Pada Store patterned data in, isikan C6. artinya adalah data yang
akan dibuat dimasukkan ke dalam kolom C6.
3. Karena kita mengetahui nilai awal adalah 100, isikan 100 dalam From
forst value
4. bilangan terakhir deret adalah 10, maka dalam To last value, isikan
10.
5. Isikan 10 dalam In steps of karena selisih deret adalah 10.
16
6. Dalam List each value, isikan 1. koolom dimaksudkan untuk
mengulang tiap bilangan.
7. deret yang akan dimasukkan adalah deret bilangan 100 – 10 yang
berselisih 10 dan diulangsebanyak 4 kali. Oleh karena itu, isikan 4
dalam List the whole sequence.
8. Klik OK.
Outputnya ditampilkan dalam kolom C6. Kolom memperlihatkan 40
pengamatan. Deret diawali dengan bilangan 100 dan pengamatan ke 40
berisi bilangan 10.
Memasukkan Deret Bilangan yang Selisihnya Tidak Sama
Berikut adalah data yang ingin dimasukkan:
2, 2, 3, 3, 4, 4, 7, 7, 11, 11
Langkah-langkah membuat deret dalam Minitab asalah:
1. Pilih Calc > Make Pattern Data > Arbitrary Set of Numbers.
Layar monitor akan memperlihatkan kotak dialog seperti pada gambar
berikut
Gambar 3.8 Kotak dialog Arbitrary Sets of Numbers
2. Di bawah Store Patterned data in, isikan c7
3. Di bawah Arbitrary set of numbers, isikan 2 : 4 7 11
4. Dalam List each value, isikan 2
5. Dalam List the whole sequence, Isikan 1
6. Klik OK
17
Memasukkan Deret Bertipe Data Text
Minitab memberikan pula kemudahan memasukkan deret berpola yang
bertipe text. Contoh deret adalah kamu, saya, mereka, kamu, saya, mereka.
Cara memasukkan data adalah
1. Pilih Calc > Make Pattern Data > Text Values. Layar monitor
akan memperlihatkan kotak dialog seperti pada gambar berikut
Gambar 3.9 Kotak dialog Text Values
2. Di bawah Store Patterned data in, isikan c8
3. Di bawah Text values, isikan kamu, saya, mereka
4. Dalam List each value, isikan 1
5. Dalam List the whole sequence, Isikan 2
6. Klik OK
Memasukkan Deret Beraturan Bertipe Date/Time
Contoh deret bertipe date/time beratruran adalah
11/1/07, 11/2/07, …, 11/30/07
Cara memasukkan data pada contoh adalah:
1. Pilih Calc > Make Pattern Data > Text Values. Layar monitor
akan memperlihatkan kotak dialog seperti pada gambar berikut
18
Gambar 3.10 Kotak dialog Simple Set of Date/Time Values
2. Di bawah Store Patterned data in, isikan c9
3. Di bawah Patterned Sequence in, isikan 11/1/07 dalam start
Date dan 11/30/07 dalam End Date.
4. Dalam List each value pilih Day dan isikan 2 dalam by. Artinya
selang deret yang akan dibuat adalah dua hari.
5. Dalam List each value dan List the whole sequence masing-
masing isikan angka 1.
6. Klik OK.
Tipe Data
Dalam melakuakn analisa data statistic, kita harus memperhatikan skala data
yang akan diolah. Dalam Minitab, skala data berkaitan dengan tipe data. Minitab
menyediakan 3 tipe data, yaitu:
• Numeric
• Text
• Date/Time
Ketiganya bisa diatur sesuai dengan keinginan pengguna. Bila dikaitkan denan
jenis skala data, tipe data numeric adalah jenis skala data kuantitatif (interval atau
rasio), tipe data text dan date/time adalah jenis skala data kualitatif.
Menentukan Tipe Data
Memformat Data Bertipe Numeric
19
1. Tempatkan kursor pada salah satu sel di kolom C1 dan klik kanan. Setelah
itu, daftar menu seperti pada gambar 3. 11.
Gambar 3. 11Menu untuk menentukan tipe data
2. Pada perintah Format Column, ada 3 pilihan tipe data, yaitu numeric,
text, dan date/time. Plih numeric.
3. Pada kotak dialog Numeric Format Column, pilih exponential with di
bawah Format. Isikan angka 2 dalam kotak decimal places. Klik OK.
4. Dalam kolom C1, masukkan 1; 0.2; dan 500 pada baris pertama, kedua
dan ketiga.
Tampilan kolom C1 dalam worksheet adalah
Gambar 3. 12 Tampilan dalam kolom C1
Memformat Data Bertipe Text
5. Letakkan kursor pada salah satu sel di kolom C6.
6. Klik kanan.
7. Dalam menu, pilih Format Column > Text. Nama kolom C6 akan
menjadi C6-T. Artinya, tipe data pada kolom C6 adalah text.
8. pada baris pertama, kedua, danketiga, ketikkan Indonesia, @, dan
Rp.10.000
20
Gambar 3. 13 Tampilan dalam kolom C6
Memformat Data Bertipe Date/Time
1. Letakkan kursor pada salah satu sel dalam kolom C7.
2. Klik kanan.
3. Pilih Format Column > Date/Times
Layar monitor akan memperlihatkan kotak dialog Date/Time Column.
Format seperti ditunjukkan gambar 3. 14
Gambar 3. 14 Kotak Dialog untuk format date/time
4. Pilih h:mm:ss AM/PM di bawah Current Date /Time Formats.
Kolom example menunjukan contoh tipe data.
5. Klik OK. Nama kolom akan menjadi C7-D. Artinya tipe data pada
kolom C7 adalah date/time.
6. Dalam kolom C7 baris pertama sampai ketiga, ketikkan 12;11:23 dan
9:50:23
Tampilan pada kolom C7 menjadi:
21
Gambar 3. 15Tampilan kolom C7.
Memanipulasi Data
Membuat Rangking
Sebagai ilustrasi, data yang digunakan untuk membuat rangking adalah data
dari worksheet Nuclear.MTW. Jumlah reactor nuklir di setiap negara
berbeda-beda, ada yang banyak maupun sedikit. Jika ingin mengetahui
rangking suatu Negara berdasarkan jumlah reactor nuklir , caranya adalah:
1. Pilih Data > Rank seperti gambar 3. 16 di bawah.
Gambar 3. 17 Kotak Dialog Rank
2. Dalam kotak dialog Rank, masukkan variable Jumlah Reaktor
Nuclear ke dalam Rank data in.
3. Dalam Store in, masukkan C4
4. Klik OK
Outputnya bisa dilihat dalam worksheet pada kolom C4. Dalam hal ini
urutannya dari data terkecil hingga terbanyak. Data memperlihatkan ada dua
Negara yang jumlah reactor nuklirnya 1, yaitu Belanda dan Switzerland.
Karena ada 2 negara, maka kedua Negara dalam kolom C4 diberi rangking
1,5.
22
Gambar 3. 18 Rangking jumlah reactor nuklir di suatu negara
Membuat Urutan Data
Rangking Negara-negara yang memiliki reactor nuklir diurutkan mulai dari
Negara yang memiliki jumlah reactor nuklir paling sedikit sampai paling
banyak. Caranya adalah:
1. Pilih Data > Sort, seperti pada gambar di bawah.
Gambar 3. 19 Kotak Dialog Sort
2. Dibawah Sort column(s), masukkan variable Negara, Jumlah
reactor nuklir, dan Benua.
3. Pada By column, masukkan C4
4. Di bawah Store sorted data in, pilih Column(s) of current
worksheet
5. kolom di bawah column(s) of current worksheet akan aktif.
Kemudian ketikkan C9, C10, C11 dalam kolom.
6. Klik OK
23
MODUL IV
ANALISIS STATISTIK SEDERHANA
Pada modul ini akan membahas beberapa analisis statistic sederhana, yaitu
membangkitkan bilangan acak, menghitung statistic, analisis deskriptif dan membuat
grafik.
4.1 Membangkitkan Bilangan Acak
Apabila akan melakukan studi simulasi, kita tentu membutuhkan data dari
distribusi tertentu. Minitab menyediakan kemudahan memabngkitkan data dengan
distribusi tertentu. Data yang akan dibangkitkan adalah data yang berdistribusi
eksponensial dengan rata-rata ( )λ sebesar 0.25. cara memabngkitkan data adalah:
1. Buka project baru pilih Minitab Project
2. Pilih Calc > Random Data > Eksponential. Kotak dialog akan mucul seperti
gambar di bawah.
Gambar 4.1 Kotak Dialog Exponential Distribution.
3. Dalam Generate, isikan 500 untuk membangkitkan data sebanyak 500
pengamatan.
4. Untuk menyimpan data ketikkan C1 di bawah Store in column (s)
5. isikan 0.25 dalam scale dan 0 dalam Treshold. Artinya data yang berdistribusi
eksponensial dengan rata-rata 0.25.
24
6. Klik OK
Worksheet pada kolom C1 menunjukan output yang ditampilkan dalam
Minitab. Dalam kolom tersebut akan terdapat bilangan acak sebanyak 500 data.
Dalam Minitab, tiap kali akan membangkitkan bilangan acak, bilangan yang
dihasilkan akan berbeda.
4.2 Uji Distribusi Data
Untuk membuktikan bahwa data yang yang telah dibangkitkan benar-benar
sesuai dengan yang diinginkan, kita perlu melakukan uji distribusi data.Tahap-tahap
uji distribusi data antara lain:
1. Pilih Stat > Reliability/Survival > Distribution Analysis (Right Censoring) >
Parametric Distribusi Analysis.
Gambar 4.2 Kotak Dialog Parametric Distirbution Analysis
2. Di bawah variable isikan C!, karena data yang akan diuji ada pada kolom C1.
3. Pada Assumed distribution pilih Exponential
4. Selanjutnya, klik OK
Interpretasi Output Uji Distribusi
Output Minitab akan ditunjukan dalam window Session dan window Graph.
25
Gambar 4.3 Grafik plot probabilitas untuk uji distribusi data
Grafik diatas menunjukan plot uji distribusi eksponensial untuk data dalam
kolom C1. Suatu data dikatakan mengikuti distribusi tertentu apabila titik-titiknya
mengikuti garis lurus. Selain plot probabilitas, gambar 4.3 menunjukkan pula nilai
rata-rata, standar deviasi, median, interquartil range (IQR) untuk data di kolom C1.
Berdasarkan output, diketahui rata-rata data adalah 0.259. Nilai rata-rata hamper
mendekati rata-rata yang diinginkan yaitu 0.25. Semakin kecil perbedaannya
menunjukkan validitas alat pembangkit data.
Untuk mengetahui bahwa data yang telah dibangkitkan telah mengikuti
distribusi eksponensial, kita melakukan uji hipotesis. Dalam hal ini uji hipotesisnya
adalah
H0 : data mengikuti distribusi eksponensial
H1 : data tidak mengikuti distribusi eksponensial
Uji hipotesis akan menggunakan level toleransi ( )α sebesar 5 %. Untuk
membuktikan hipotesis, uji distribusi menggunakan statistic Anderson-Darling.
Semakin kecil nilai statistic Anderson-Darling semakin besar peluang gagal meolak
hipotesis awal.
26
Distribution Analysis: C1
Variable: C1
Censoring Information CountUncensored value 500
Estimation Method: Least Squares (failure time(X) on rank(Y))
Distribution: Exponential
Parameter Estimates
Standard 95.0% Normal CIParameter Estimate Error Lower UpperMean 0.269684 0.0121369 0.246916 0.294553
Log-Likelihood = 161.514
Goodness-of-FitAnderson-Darling (adjusted) = 0.716
Characteristics of Distribution
Standard 95.0% Normal CI Estimate Error Lower UpperMean(MTTF) 0.269684 0.0121369 0.246916 0.294553Standard Deviation 0.269684 0.0121369 0.246916 0.294553Median 0.186931 0.0084127 0.171149 0.204169First Quartile(Q1) 0.0775834 0.0034916 0.0710332 0.0847376Third Quartile(Q3) 0.373862 0.0168253 0.342298 0.408337Interquartile Range(IQR) 0.296279 0.0133338 0.271264 0.323600
Evaluasi hasil uji distribusi bisa dilakukan hanya pada salah satu window
karena hasil pada window session maupun window graph tidak berbeda.
Perbedaanya adalah output teks tidak menampilkan grafik plot probabilitas yang
dapat mempermudah interpretasi hasil.
4.3 Membuat Histogram
Kita bisa mengetahui pola distribusi suatu data dalam kolom C1, C2 dan C3 secara
bersamaan dengan membuat histogram. Dalam Minitab dapat membuat histogram
melalui menu Graph. Langkah-langkah membuat histogram adalah
1. Pilih Graph > Histogram. Pada layar monitor akan muncul gambar berikut
Gambar 4.5 Kotak Dialog Histogram
2. Pada kotak dialog, pilih With Fit and Groups. Layar monitor akan
memperlihatkan kotak dialog seperti gambar 4.6
Gambar 4.6 Kotak Dialog Histogram- With Fit and Groups
27
3. Data yang akan dibuat histogramnya adalah data dalam kolom C1, C2 dan C3.
Oleh kaena itu masukkan C1 C2 C3 di bawah Graph variable.
Histogram dibuat untuk melihat bentuk probability distribusi function (pdf) data
pada kolom C1 sampai C3. Dalam histogram kita bisa membuat garis pdf yang
menggambarkan bentuk distribusi data. Cara melakukannya adalah
1. Pada kotak dialog Histogram-With Fit and Groups, pilih Data View
2. pada kotak dialog pilih Distribution.
3. Di bawah Distribution, pilih Exponential. Ini berarti plot pdf akan membentuk
distribusi eksponential berdasarkan pengamatan.
4. Selanjutnya klik OK.
4.4 Menghitung Statistik
Sebelum menghitung data, sebagai ilustrasi masukkan data pada table 4.1 di bawah
ini ke dalam worksheet baru.
Tabel 4.1 Data Penggunaan Listrik per bulan
Ukuran Rumah(kaki2)
Penggunaan Listrik per Bulan(KwH)
1290 11821350 11721470 12641600 14931710 16711840 17111980 18042230 18402400 19562930 1954
Sumber: Mendenhall, W. dan Sincich, T.,1995. Statistics for Engineering and The Sciences, Practice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey
Statistik yang diinginkan adalah rata-rata ukuran rumah danpenggunaan listrik per
bulan. Langkah-langkah menghitungnya adalah:
1. Pilih Calc > Column Statistics. Kotak dialog akan muncul seperti gambar 4.7.
28
Gambar 4.7 Kotak Dialog Column Statistics2. Karena statistic yang diinginkan adalah rata-rata, maka di bawah statistic pilih
mean.
3. Variabel yang dihitung adalah variable penggunaan listrik per bulan sehingga
isikan variable listrik per bulan ke dalam input variable.
4. Selanjutnya, klik OK
Gambar 4.8 menunjukan outputnya dalam window session
Gambar 4.8 Rata-rata penggunaan Listrik per Bulan
Outputnya memperlihatkan rata-rata penggunaan listrik per bulan adalah
1604,7 kaki 2.
4.5 Analisis Statistik Deskriptif
Analisis statistic yang paling sederhana adalah analisis statistic deskriptif. Inti
anlisis statistic deskriptif adalah mengumpulkan, meringkas, dan menyajikan data
dalam bentuk yang mudah dibaca. Analisis statistic menghitung beberapa statistic
sederhana seperti rata-rata, standar deviasi, kuartil, median, nilai terbesar dan nilai
terkecil.
Tahap-tahap analisisnya sebagai berikut:
1. Pastikan worksheet berisi data yang akan dianalisis
29
Mean of Penggunaan Listrik per Bulan
Mean of Penggunaan Listrik per Bulan = 1604.7
2. Plih Stat > Basic Statistics > Display Descriptive Statistics
Gambar 4.9 Kotak dialog Display Descriptive Statistics
3. Masukkan variable ukuran rumah dan penggunaan listrik per
bulan dalam daftar variable di bawah variable.
4. Selanjutnya, Klik OK.
Interpretasi Output Statistik Deskriptive
Output statistic deskriptive yang ditampilkan dalam window session menunjukkan
beberapa istilah. Variable berarti menunjukkan variable yang dianalisis, dalam hal
ini ukuran rumah dan penggunaan listrik per bulan.
Gambar 4.10 Output Statistik Deskriptive
Selain variable, output memperlihatkan huruf N yang berate jumlah pengamatan
yang dianalisis sebnayak 10 pengamatan. Statistik deskriptive menunjukkan ukuran
kecenderungan pusat seperti rata-rata (mean), median (median), kuartil 1 (Q1),
dan kuartil 3 (Q3), serta ukuran penyebaran seperti standar deviasi (StDev), dan
standart error of mean (SE Mean). Statistik deskriptive menyeeediakan informasi
data tertinggi (maximum) dan terendah (minimum) yang berguna untuk
30
Descriptive Statistics: Ukuran Rumah, Penggunaan Listrik per Bulan
Variable N N* Mean SE Mean StDev Minimum Q1 MedianUkuran Rumah 10 0 1880 164 518 1290 1440 1775Penggunaan Listr 10 0 1604.7 97.2 307.4 1172.0 1243.5 1691.0
Variable Q3 MaximumUkuran Rumah 2273 2930Penggunaan Listr 1868.5 1956.0
mengukur range sebagai ukuran penyebaran data. Standard error of mean tidak
selalu digunakan dalam statistic deskriptive. Untuk menghitungya standard deviasi
dibagi dengan n . Statistik deskriptive merupakan ukuran penyebaran distribusi
rata-rata sampel yang berguna untuk uji hipotesis.
4.6 Membuat grafik
Salah satu tujuan membuat grafik data adalah supaya informasi lebih menarik dan
mudah dipahami. Salah satu grafik yan gakan dibuat adalah scatter diagram. Grafik
yang menggambarkan pola hubungan antara dua variable adalah scatter diagram
atau scatter plot. Cara membuat plot data adalah:
1. Pilih menu Graph > Scatterplot
Gambar 4.11 Kotak Dialog untuk memlih bentuk scatterplot
Kotak dialog menyediakan beberapa bentuk scatterplot. Scatterplot yangakan
dibuat adalah scatterplot sederhana dan hanya menggambarkan hubungan antara
dua variable. Cara melakukannya adalah:
2. Pilih sample
3. Kemudian klik OK
4. Masukkan variable yang akan dijadikan sebagai variable y dan variable x.
5. Kemudian klik OK.
31
Gambar 4.12 Scatter diagram hubungan ukuran rumah dengan penggunaan listrik per bulan
Output proses menghasilkan scatter diagram yang bentuknya seperti dalam
gambar 4. 12. output memperlihatkan titik dalam grafik yang merupakan data.
Setiap titik pada gambar diatas menunjukkan hubungan antara variable y dengan
variable x.
32
MODUL V
MEMBANDINGKAN RATA-RATA POPULASI
Suatu penelitian sering ingin membandingkan suatu populasi dengan nilai statistic
tertentu atau membandingkan suatu populsi dengan populasi lain. Minitab menyediakan
beberapa metode utnuk melakukan analisis statistic ini.
Uji Rata-rata Populasi dengan sampel Besar ( 30)n ≥
Uji Rata-rata Populasi dengan sampel Kecil
5.1 Uji Rata-rata Populasi
33
Uji 2 arahHipotesis:
0 0
1 0
:
:
H
H
µ µµ µ
=≠
Statistik uji:
0 0
/y
y yz
s n
µ µσ− −= ≈
Daerah penolakan
/ 2az z>
Uji 1 arahHipotesis:
0 0
1 0
:
:
H
H
µ µµ µ
=<
Statistik uji:
0 0
/y
y yz
s n
µ µσ− −= ≈
Daerah penolakan
az z> atau az z< −Asumsi:Data mendekati distribusi normal
Uji 2 arahHipotesis:
0 0
1 0
:
:
H
H
µ µµ µ
=≠
Statistik uji:
Daerah penolakan
/ 2at t>
Uji 1 arahHipotesis:
0 0
1 0
:
:
H
H
µ µµ µ
=<
Statistik uji:
0
/
yt
s n
µ−=
Daerah penolakan
at t> atau at t< −Derajat Bebas (df) = n – 1Dimana n adalah jumlah dataAsumsi:Data mendekati distribusi normal
Uji 1 arahHipotesis:
0 0
1 0
:
:
H
H
µ µµ µ
=<
Statistik uji:
0 0
/y
y yz
s n
µ µσ− −= ≈
Daerah penolakan
az z> atau az z< −Asumsi:Data mendekati distribusi normal
Dalam statistika, uji hipotesis dilakukan untuk membandingkan rata-rata suatu
populsi. Salah satu metode uji hipotesisnya adalah uji t dan uji z. Uji t
menggunakan statistika t dan uji z menggunakan statistika z. Uji t digunakan
apabila jumlah sample kurang dari 30 ( 30)n ≤ . Dan standar deviasi ( )σ populasi
tidak diketahui. Sebaliknya, statistika z digunakan jika jumlah sample besar
( 30)n ≥ dan standar deviasi ( )σ populasi diketahui. Kedua statistic dapat
digunakan apabila data mengikuti atau mendekati distribusi normal dengan
parameter tertentu. Bila data tidak memenuhi asumsi tersebut maka kedua uji tidak
bisa digunakan.
Sebagai contoh data yang digunakan terdapat pada table 5.1, yaitu data rasio
panjang tulang terhadap lebar tulang lengan atas dari fosil suatu species. Para
arkeolog meyakini bahwa rasio dapat digunakan untuk menentukan jenis spesies
binatang tertentu. Sebelumnya mereka telah menemukan spesies A yang memilki
rata-rata rasio panjang tulang terhadap lebar tulang adalah 8.5.
Tabel 5.1 Data rasio panjang terhadap lebar pada tulang lengan atas
10.73 9.07 10.33 9.848.48 9.57 9.94 8.378.52 6.23 6.66 8.868.91 10.48 9.39 9.898.93 10.02 11.67 9.179.38 9.20 9.98 9.178.89 9.29 8.07 6.858.71 9.41 9.35 9.938.87 10.39 9.17 8.1711.77 8.38 8.30 12.008.80
Sumber: Mendenhall, W. dan Sincich, T.,1995. Statistics for Engineering and The Sciences, Practice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey
Untuk membuktikan bahwa keempatpuluh satu spesies sama dengan spesies A,
maka kita perlu melakukan uji rata-rata rasio panjang tulang terhadap lebar tulang
fosil yang telah ditemukan. Dari penelitian standar deviasi tidak diketahui, maka
yang akan digunakan adalh uji t. Tahap-tahap melakauakan uji t dalam Minitab
adalah:
1. Pilih Stat > Basic Statistic > 1-Sample t.
34
2. Dalam kotak dialog masukkan varibel Rasio ke dalam kotak di bawah Varibel.
Dalam analisis, rata-rata rasio data dalam table akan dibandingkan dengan rasio
spesies A, yaitu 8.5. cara melakukannya adalah:
3. Isikan 8.5 ke dalam Test mean.
4. pilih Graph untuk menampilkan output dalam bentuk grafik.
5. beri tanda cek pada Histogram of Data.
6. Kemudian klik OK
Gambar 5.1 Kotak Dialog 1 sampel t
Interpretasi output
Gambar 5.2 dan 5.3 menunjukkan output analisisnya. Output 5.2 menunjukkan
nilai-nilai statistic seperti rata-rata, standar deviasi dan selang kepercayaan 95%
untuk rata-rata.
Gambar 5.2 Hasil uji rata-rata 1-sample t
Hipotesis
Hipotesis pada analisis adalah:
H0 : Rata-rata rasio tulang ( ) 8.5µ =
H1 : Rata-rata rasio tulang ( ) 8.5µ ≠
35
One-Sample T: Rasio
Test of mu = 8.5 vs not = 8.5
Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI T PRasio 41 9.24732 1.20245 0.18779 (8.86778, 9.62686) 3.98 0.000
Dugaan (hipotesis) awal adalah keempat uluh satu fosil yang telah ditemukan sama
dengan spesies A. Sebaliknya, hipotesis alternative mengatakan bahwa keempat
puluh satu fosil yang telah ditemukan tidak sama dengan spesies A.
Daerah Penolakkan
Uji 1 arah:
Tolak hipotesis awal apabila t tα> atau ( )t tα> −
Uji 2 arah:
Tolak hipotesis awal apabila / 2at t>
Gambar 5.3 Histogram Rasio
Interprestasi Output Uji Rata-rata Populasi
Analisis menggunakan level toleransi α sebesar 5% dan uji 2 arah. Tabel distribusi
t memperlihatkan nilai 0.05/ 2| |t dengan derajat bebas n-1 = 41 – 1 = 40 sebesar
2.021. Gambar 5.2 menunjukkan nilai statistic T sebesar 3.98. Apabila statistic T
pengamatan dibandingkan dengan statistic / 2tα , statistic T lebih besar. Ini berarti
kesimpulannya adalah menolak hipotesis awal jaid, uji 2 arah menunjukkan bahwa
keempat puluh satu fosil tulang yang telah ditemukan tidak sama dengan jenis
spesies A.
5.2 Membandingkan Rata-rata Dua Populasi dalam Satu Percobaan
Untuk menggambarkan uji antara 2 populasi, akan menggunakan ilustrasi
dalam Tabel 5.2 yang merupakan data pengukuran waktu respons antara 2 jenis disc
36
drive 1 dan disc drive 2. Jenis disc dirve 1 memperoleh 13 pengamatan, sedangkan
disc drive 2 memperoleh 12 pengamatan. Peneliti ingin membandingkan kedua
jenis disc drive.
Tabel 5.2 Waktu respons 2 jenis Disc Drive
Disc Drive 1 Disc Drive 259 60 47 71 48 4492 73 33 38 41 3954 75 61 47 68 34
102 74 53 40 7573 84 63 60 86
Tahap-tahap analisis data dalam Minitab sebagai berikut:
1. Pilih Stat > Basic Statistics > 2-Sample t
Gambar 5.4 Kotak Dialog 2-Sample t
2. Pilih Sample in difference columns
3. Dalam First masukkan variable Disk 1
4. Dalam Second masukkan variable Disk 2
5. Analisis mengasumsikan varian populasi adalah sama.
Cara melakukan uji t yang mengasumsikan bahwa varian populasi adalah sama:
6. Beri tanda cek pada Assume equal variance
7. Klik tomobl Graph
8. Pada kotak dialog, beri tanda cek pada Boxplot of Data
9. Selanjutnya, klik OK.
37
Gambar 5.5 Hasil Uji Rata-rata dua sample independen
Gambar 5.6 Boxplot Disc Drive 1 dan Disc Drive 2
Hipotesis
Hipotesis untuk tabel adalah
0 _ _1 _ _ 2
1 _ _1 _ _ 2
: ( ) 0
: ( ) 0
Disk Drive Disk Drive
Disk Drive Disk Drive
H
H
µ µµ µ
− =
− ≠
Hipotesis awal (H0) mengatakan bahwa rata-rata waktu respons disc drive 1 sama
dengan rata-rata waktu respon disc drive 2. sebaliknya, hipotesis alternative (H1)
mengatakan bahwa rata-rata waktu respons disc drive 1 tidak sama dengan rata-rata
waktu respons disc drive 2.
Daerah Penolakan
38
Two-Sample T-Test and CI: Disc Drive 1, Disc Drive 2
Two-sample T for Disc Drive 1 vs Disc Drive 2
N Mean StDev SE MeanDisc Drive 1 13 68.2 18.7 5.2Disc Drive 2 15 53.8 15.8 4.1
Difference = mu (Disc Drive 1) - mu (Disc Drive 2)Estimate for difference: 14.430895% CI for difference: (1.0468, 27.8148)T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 2.22 P-Value = 0.036 DF = 26Both use Pooled StDev = 17.1831
/ 2at t>
Interpretasi Output Uji Rata-rata 2 Sampel Independen
Gambar 5.7 Daerah penolakan pada distribusi t untuk α = 5% dan df=40
Uji rata-rata dua sampel independent akan menggunakan level toleransi α sebesar
5%. Derajat bebas (df) pada penelitian adalah 26. Tabel distribusi t menunjukkan
nilai statistic t0.05/2 pada df =26 sebesar 2.056. Output 5.5 memperlihatkan statistic T
hasil pengamatn adalah 2.22./ bila dilihat pada grafik penolakan gambar 5.7
menunjukan bahwa statistic T(2.22) jatuh di daerah penolakan. Hasil menunjukan
bahwa waktu respons disc drive 1 tidak sama dengan waktu respons disc drive 2.
Boxplot pada gambar 5.6 menunjukan bahwa waktu respons disc drive 1 lebih cepat
dibandingkan waktu respons disc drive 2, yang terlihat dari posisi rata-rata waktu
responsdisc drive 1 lebih tinggi dari pada rata-rata waktu respons disc drive 2.
5.3 Membandingkan Varian dua Populasi
Suatu penelitian tidak mengukur rata-ratanya, tetapi juga varian datanya yang
menunjukkan penyebaran data. Ada 2 metode utnuk melakukan uji dengan
menggunakan varian, yaitu uji varian suatu populasi dan uji rasio antara 2 varian.
Uji varian suatu populasi digunakan untuk menguji kesesuaian varian suatu data
dengan varian tertentu. Aapaun uji rasio varian digunakan apabila 2 populasi yang
variannya akan dibandingkan. Kedua metode sama-sama mensyaratkan distribusi
yang mendasari data adalah distribusi normal.
39
/ 2 0.025α =/ 2 0.025α =
2.056− 2.056
Daerah penolakan
Daerah penolakan
Sebagai ilustrasi, agar mudah memahami mengenai uji rasio antarvarian maka
kita akan menggunakan data pada table 5.2.
Uji varian 2 populasi
Langkah-langkah untuk melakukan uji varian 2 populasi dalam Minitab adalah:
1. PIlih Stat > Basic Statistics > 2 variances
Gambar 5.8 Kotak Diaolg 2 Varians
2. Pilih Samples in different columns
3. Dalam First, Isikan Dsik 1
4. Dalam Second, isikan Disk 2
5. Selanjutnya klik OK
40
Uji 2 arahHipotesis:
21
0 22
21
1 22
: 1
: 1
H
H
σσσσ
=
≠
Statistik uji:
22 211 22
2
22 222 12
1
sF jika s s
s
sF jika s s
s
= >
= >
Daerah penolakan
/ 2aF F>
Uji 1 arahHipotesis:
21
0 22
2 21 1
1 2 22 2
: 1
: 1 1
H
H atau
σσσ σσ σ
=
> <
Statistik uji: 2 21 22 22 1
s sF atau F
s s= =
Daerah penolakan
aF F>Derajat Bebas
1 1
2 2
1
1
v n
v n
= −= −
Hipotesis
Hipotesis pada analisis adalah:
2_ _1
0 2_ _1
2_ _1
1 2_ _1
: 1
: 1
Disk drive
Disk drive
Disk drive
Disk drive
H
H
σσ
σσ
=
>
Hipotesis awal (H0) menduga bahwa varian waktu respons disc drive 1 sama dengan
waktu respons disc drive 2.
Daerah Penolakan
F Fα>
Derajat bebas (df) pengamatan adalah
1 1
2 2
1 13 1
1 15 1
v n
v n
= − = −= − = −
Interpretsi Output Uji Rasio Varian
Gambar 5.9 Output hasil perbandingan varian waktu respons 2 jenis disc drive
Pada output dapat terlihat bahwa nilai statistic F adalah 1.39 . Pada table distribusi F
nilai (5%,12,14) 2.53F = . Nilai F masih berada di atas nilai statistic F hasil pengamatan.
Oleh karena itu, kesimpulan hasil uji adalah varian waktu respons disc drive 1 dan
varian disc drive 2 secara statistic tidak berbeda.
41
Test for Equal Variances: Disc Drive 1, Disc Drive 2 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations N Lower StDev UpperDisc Drive 1 13 12.7930 18.6599 33.3688Disc Drive 2 15 11.0945 15.8078 26.7933
F-Test (normal distribution)Test statistic = 1.39, p-value = 0.548
Levene's Test (any continuous distribution)Test statistic = 0.11, p-value = 0.740
Pada gambar 5.9 tampak bahwa varian waktu respons disc drive 1 sebesar
2 2_ _1 (18.66) 348.19Disc driveσ = = , sedangkan varians waktu respons disc drive 2 sebesar
2 2_ _ 2 (15.81) 249.89Disc driveσ = = . Secara matematis varian berbeda, namun secara
statistis telah terbukti bahwa kedua varian waktu respon tidak berbeda.
Pada gambar 5.10menunjukkan 2 jenis grafik yaitu dotplot (grafik bagian atas)
dan boxplot (grafik bagian bawah). Pada grafik memperlihatkan penyebaran waktu
respons disc drive 1 tidak berbeda jauh dengan penyebaran waktu respons disc drive
2.
Gambar 5.10 Grafik hasil Perbandingan varian waktu respons 2 jenis disc drive
42
MODUL VI
ANALISIS KORELASI
Koefisien korelasi Pearson berguna untuk mengukur tingkat keeratan hubungan linear
anatara dua variable. Nilai korelasi berkisar antara -1 samapai +1. nilai korelasi negative
berarti hubungan antara 2 variabel adalah negative. Artinya, apabila salah satu variable
menurun, maka variable lainnya akan meningkat. Sebaliknya, nilai korelasi positif
berarti hubungan antara kedua variable adalah psotif. Artinya apbila salah satu variable
meningkat, maka variable lainnya meningkat pula. Suatu hubungan anatara 2 variabel
dikatakan berkorelasi kuat apabila makin mendekati 1 atau (-1). Sebaliknya, suatu
hubungan dikatakan lemah apabila semakin mendekati 0 (nol).
Hipotesis
Hipotesis untuk uji korelasi adalah:
0
1
: 0
: 0
H
H
ρρ
=≠
Dimana ρ adalah korelasi antara 2 variabel.
Daerah Penolakan
P-value < α
Untuk membuat interpretasi analisis korelasi, ada beberapa hal yang harus diingat, yaitu:
1. Koefisien korelasi hanya mengukur hubungan linear. Jika ada hubngan nonlinear,
maka koefisien korelasi akan bernilai 0.
2. koefisien korelasi sangan snsitif terhadap nilai ekstrim.
3. kita bisa membuat korelasi hanya jika variable memiliki hubungan sebab akibat.
Langkah-langkah menghitung korelasi antara dua variable dengan menggunakan Minitab
adalah:
1. Pilih Stat > Basic Statistics > Correlation
43
2. Pada kotak dialog , letakkan variable ukuran rumah dan penggunaan listrik per
bulan pada kolom di bawah Variabels.
3. Untuk menampilakn P-value, pilih Display p-value, klik OK.
Gambar 6.1 Kotak dialog Correlation
Interpretasi Output Korelasi
Output analisis korelasi yang akan ditampilkan dalam windows session. Output
menunjukkan nilai korelasi atara ukuran rumah dan penggunaan listrik per bulan sebesar
0.898. seperti telah dijelaskan sebelumnya, apabila nilai korelasi Pearson semakin
mendekati 1 atau (-1), berarti hubungan antara 2 variabel semakin erat. Karena nilai
korelasi antara ukuran dan penggunaan listrik bernilai 0.898, maka hubungan antara
kedua variable diduga erat. Agar lebih menyenangkan, kita perlu uji atau hipotesis.
Hipotesis
0 1: 0 : 0H vs Hρ ρ= ≠
Dalam hal ini, hipotesis awal adalah tidak ada korelasi antara ukuran rumah dan dan
penggunaan listrik, sedangkan hipotesis alternatifnya adalah ada korelasi antara ukuran
dan rumah dengan penggunaan listrik.
Correlations: Ukuran Rumah, Penggunaan Listrik per Bulan
44
Pearson correlation of Ukuran Rumah and Penggunaan Listrik per Bulan = 0.898P-Value = 0.000
Daerah penolakan
Penjelasan sebelumnya telah mengatakan bahwa daerah penolakan adalah apabila
P-value > α . Gambar 6.2 memperlihatkan daerah penolakkannya. Pada gambar, apabila
p-value jatuh dalam daerah α (daerah penolakan, daerah yang diarsir), maka berarti
menolak hipotesis awal.
Interpretasi Output Analisis
Hasil analisis korelasi memperlihatkan bahwa nilai P-value adalah 0. Karena P-value
jatuh di daerah penolakan, maka keputusannya adalah menolak hipotesis awal yang
mengatakan bahwa tidak ada korelasi antara ukuran rumah dan penggunaan listrik. Ini
berarti menerima hipotesis alternative. Oleh karena itu, kesimpulan yang didapat dari uji
hipotesis adalah antara ukuran rumah dengan penggunaan listrik per bulan ada
hubunggan erat, yaitu sekitar 89,9%
45
MODUL VII
DISTRIBUSI BINOMIAL DAN HIPERGEOMETRIK
Ruang sampel adalah gugus semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan
statistika dan dinyataan dengan lamabang S. Sedangkan himpunan bagian dari sampel
adalah kejadian. Definisi peubah acak adalah suatu fungsi bernilai real yang harganya
ditentukan oleh tiap anggota dalam ruang sampel.
Contoh 1.
Misalkan sebuah mata uang dilantunkan 1 kali, maka ruang sampelnya adalah ={gambar,
angka} atau { , }M B dengan M = angka, dan B = gambar. Maka suatu kejadian yang
mungkin terjadi adalah {M} atau {B}.
Contoh 2.
Misalkan sebuah dadu dilantunkan 1 kali, maka ruang sampelnya adalah {1,2,3,4,5,6},
Suatu kejadian yang mungkin terjadi adalah {1} atau {2} atau … atau {6}.
Penulisan ruang sampel seperti diatas tidak praktis, maka didefinisikan peubah acak,
umumnya dinotasikan sebagai x, y, z, sebagai fungsi dengan daerah asal ruang sampel
dan daerah definisinya bilangan real. Pada contoh 1 kita bisa representasikan suatu
peubah acak diskrit x = {0,1} atau {-1, 1} dengan 0 /-1 menyatakan angka (M) dan 1/1
menyatakan gambar (B).
Pada contoh 1 dan 2, peubah acak diatas (x dan y) adalah peubah-peubah acak yang
diskrit. Contoh-contoh peubah acak yang kontinu adalah yang berasal dari ruang sampel
yang mengukur seperti berat badan, tinggi badan, temperatur dan lain-lain. Dimana
pengukurannya tersebut tidak eksak (tepat sekali). Contoh Tinggi badan= 170 cm berarti
bukan mutlak tingginya 170 cm mungkin 169,999cm atau 170,005 cm.
A. Distribusi Binomial
46
Pada kasus dalam distribusi bertipe diskrit seperti binomial, kejadian yang diamati
hanya dikelompokkan dalam 2 kategori, yaitu sukses dan gagal. Bentuk fungsi
kepadatan peluang (fkp) binomial adalah:
Dimana : !
!( 1)!
n n
x x n
= −
Dengan x adalah variabel acak, n adalah banyaknya data yang diuji/eksperimen dan p
adalah peluang terjadinya kejadian x. Sedangkan fungsi distribusinya :
Atau disebut juga Fungsi distributif kumulatif.
Contoh :
Misalkan x peubah acak berdistribusi binomial dengan banyak data n dan peluang
terjadinya kejadian x adalah p, atau ditulis:
x bersdistribusi ( ; , )B x n p atau ~ ( , )x B n p
Untuk peubah acak x yang diketahui fkp-nya, biasanya dapat dihitung ekspetasi dan
variansinya, dan masing-masing didefinisikan sebagai berikut:
Ekspetasi dari : ( ) . ( )x E x x p X xµ = = =∑ adalah nilai harapan / rataan dari x.
Variansi dari 2 2 2 2 2: ( ) [{ ( ) } ] ( ) ( ( )) ;X Var x E x E x E x E xσ = = − = −
dengan 2 2( ) ( )E x x f x= ∑ :akar positif dari variansi adalah simpangan baku /standar
deviasi, yang menyatakan variansi data disekitar rata-rata. Untuk distribusi binomial:
( )E x npµ = = (bisa dibuktikan sebagai latihan ) dan 2 var( ) ,X npqσ = = dengan
1q p= − .
Catatan : bedakan rataan dan variansi dalam distribusi data /statistika deskriptif
dengan rataan µ dan variansi 2σ disini.
47
Perintah-perintah padaMinitab
Langkah-langkah memasukkan data yang berdistribusi binomial secara random dalam
Minitab.
1. Pilih Calc > Random Data > Binomial
2. Pada kotak dialog seperti pada gambar masukan banyaknya data yang diinginkan
pada kolom Generate, contohnya 100.
3. pada kolom store in column(s) masukkan C1.
4. Isikan peluangnya pada Number of Trials
5. Isikan probability sucses contoh 0.95.
6. Kemudian klik OK.
Gambar 7.1 Kotak dialog distribusi Binomial
Probability Density Function
48
Untuk mencari fungsi kepadatan peluang atau fungsi peluang distribusi binomial
dengan n dan p ditentukan dari kolom Ci yang hasilnya disimpan di kolom Cj.
( )Ci Cj≠ .
Sebagai ilustrasinya sebuah mata uang logam yang simetri dilantunkan sebanyak 10
kali. Jika dimisalkan X = jumlah muncul muka. Tentukan:
a. Fungsi kepadatannya untuk setiap kejadian (x) yang mungkin
b. Hitung kemungkinan muncul muka lebih dari 5 kali tapi kurang dari 9 kali!
Langkah-langkahnya pada Minitab antara lain:
1. Input data pada kolom C1dari 0 : 10
2. Pilih Calc > Probability Distributions > Binomial
3. Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih Probability
4. Pada Number of Trial, masukkan 10 yang menunjukkan banyaknya pengamatan.
5. Pada Probability of Succses, masukkan 0.5 yang menunjukkan peluang muncul
muka dalam 1 kali lantunan.
6. Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage ketik C2.
7. Kemudian klik OK.
49
Gambar 7.2 Kotak Dialog Probability Density Function
a. Fungsi kepadatannya untuk setiap kajadian (x) yang mungkin terdapat pada
kolom 2 ditunjukkan dalam gambar 7.3
Gambar 7.3 Probability Density Function
b.
50
(5 9) ( 6) ( 7) ( 8)
0.205078 0.117188 0.043945
0.366211
36.62%
P x P X P x P X< < = = + = + == + +==
Cumulatif Distibution Function
Untuk mencari fungsi distribusi kumulatif distribusi binomial dengan n dan p
ditentukan dari kolom Ci yang hasilnya diletakkan di kolom Cj. Perhatikan contoh
berikut lebih lanjut.
• Misalkan peluang suatu obat x dapat menyembuhkan seseorang dari sakit flu
adalah 70%. Setiap hari diasumsikan ada 10 orang yang sakit flu dan membeli
obat tersebut.
a. tentukan fkp dan fungsi distribusinya (FD)
b. Berapakah peluang bahwa yang tidak sembuh sembuh dari sakit flu adalah
3 orang?
c. Bagaimana kejadian yang mungkin terjadi untuk 20 hari yang lainnya.
Untuk menjawab pertanyaan diatas lakukan perintah-perintah berikut pada Minitab:
1. Masukkan data pada kolom C1 dari 0 : 10
2. Cari fungsi kepadatan probabilitasnya dengan cara seperti di atas dan
masukkan 10 pada kotak number of trial, dan 0.7 pada kotak Probability
of success. Simpan pada kolom C2.
Untuk mencari fungsi kumulatif distribusi:
3. Pilih Calc > Probability Distributions > Binomial
4. Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih Cumulatif Probability
5. Pada Number of Trial, masukkan 10 yang menunjukkan banyaknya ruang
sampel.
6. Pada Probability of Succses, masukkan 0.7
7. Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage ketik C3.
51
8. kemudian klik OK.
Gambar 7.4 Kotak Dialog Culmulatif Distribution Function
a. Output fungsi kepadatan peluang dan kumulatif distribusi ditunjukkan
pada gambar berikut:
Gambar 7.5 Fungsi Probabilitas Kepadatan dan Fungsi Distribusi Kumulatif
b. Ditanyakan peluang untuk 3 orang yang tidak sembuh..
Karena peluang obat x yang membuat orang sembuh adalah 70%, dan sisanya
30% adalah untuk yang tidak sembuh. Maka dengan p = 30% = 0.3, akan dicari
peluang untuk 3 orang yang masih sakit, atau P(Z = 3) =?
52
Caranya : Cari fungsi kepadatan probabilitasnya dan distribusi kumulatifnya
dengan cara seperti di atas dan masukkan 10 pada kotak number of
trial, dan 0.3 pada kotak Probability of success. Simpan pada kolom
C4.
Gambar 7.6 Fungsi Probabilitas Kepadatan dan Fungsi Distribusi Kumulatif
Dari gambar di atas diketahui bahwa peluang yang tidak sembuh dari dari flu
adalah 3 orang sebesar 0.266828 = 26.68%
c. Kejadian yang mungkin terjadi selama 20 hari (untuk obat x yang
mempunyai peluang menyembuhkan orang = 70%)
Caranya : Random data binomial sebanyak 20 pada kolom C4 dengan nilai n = 10
dan p = 0.7. Hasilnya dapat ditunjukkan pada tabel berikut:
Tabel 7.1 Data random berdistribusi Binomial
B. Distribusi Hipergeometrik
Distribusi binomial digunakan bila penarikkan sampel dilakukan dengan
pengembalian. Untuk kasus penarikan tanpa pengembalian, digunakan distribusi
C45 87 66 86 47 48 49 66 78 79 9
53
hipergeometrik. Misalkan 52 kartu bridge yang terdiri dari 26 kartu merah dan 26
kartu hitam. 5 kartu diambil secara acak dan ingin diketahui peluang menarik 3 kartu
merah dari 26 kartu merah dan 2 kartu hitam dari 26 kartu hitam. Ada 26
3
cara
menarik 3 kartu merah dan 26
2
cara mengambil 2 kartu hitam. Jadi banyaknya cara
mengambil 3 kartu merah dan 2 kartu hitam dalam lima kali penarikkan ialah 26
3
26
2
. Banyaknya cara mengambil 5 kartu sembarang dari 52 kartu bridge ialah 52
5
. Jadi peluang mengambil 5 kartu tanpa pengembalian, 3 diantaranya merah dan 2
hitam, diberikan oleh:
26 26
3 20.3251
52
5
=
Percobaan hipergeometrik dapat disimpulkan sebagai berikut:
Misalkan ada n benda yang terdiri dari k benda yang diberi nama sukses dan sisanya,
n-k diberi nama gagal. Ingin dicari peluang memilih x sukses dari sebanyak k yang
tersedia, bila sampel acak berukuran n diambil dari N benda. Percobaan seperti ini
dikenal dengan nama percobaan hipergeometrik. Distribusi peluang peubah acak
hipergeometrik dinotasikan sebagai berikut:
~ ( , , )x H N n k
Dengan fungsi kepadatan peluangnya adalah:
( ) ( ) , 0,1, 2,...,
k N k
x n xP X x f x x n
N
n
− − = = = =
Contoh:
54
Suatu panitia 5 orang akan dipilih secara acak dari 3 kimiaawan dan 5 fisikawan.
Hitunglah distribusi peluang banyaknya kimiawan dalam panitia tersebut.
Jawab:
Misalkan peubah acak x yang menyatakan banykanya kimiawan dalam panitia,
dengan N =8, n = 5, k = 3. Distribusi peluang untuk x adalah:
3 8 3
5( ) ( ) , 0,1, 2,3
8
5
x xP X x f x x
− − = = = =
Sehingga:
C. Latihan
1. Buat model distribusi binomial dengan n = 12, dan p = 0.45
Jawablah
a. P(x = 6), P(x = 8)?
b. ( 8), (3.6 8.2)?P x P x> ≤ ≤
2. Seorang insinyur pengawas lalu lintas melaporkan bahwa 755
kendaraan yang melintasi suatu daerah pemeriksaan berasal dari DKI. Buat
programnya dan cari outputnya, tentukan:
a. Peluang paling sedikit 3 dari 5 kendaraan yang
lewat berasal dari luar DKI
b. Peluang ada 2 dari 10 kendaraan yang lewat berasal
dari DKI
3. Suatu bursa buku murah memiliki 100 buku cerita dan 300 buku
umum. Seorang anak membeli 10 buku secara acak. Tentukan peluangnya bila 4
buku diantaranya adalah buku cerita?
4. Misalkan Y suatu peubah acak, memiliki peluang sukses p = 2/3
dalam n kali pengulangan dari suatu percobaan.
55
( 0) 1/ 56;
( 1) 15/ 56
( 2) 30 / 56
( 3) 10 / 56
P X
P X
P X
P X
= == == == =
a. Jika n = 3, tentukan (2 )!
b. Jika n = 5, tentukan ( 2)!
P Y
P Y
≤≤
5. Dari kotak berisi 12 peluru, diambil 4 secara acak dan kemudian
ditembakkan. Bila kotak itu mengandung tiga peluru cacat yang tidak akan
meledak. Buat programnya dan jawab berapa peluangnya:
a. Keempatnya meledak
b. Paling banyak 2 yang tidak meledak
c. Tepat 2 meledak atau minimal 3 tidak meledak.
MODUL VIII
DISTRIBUSI POISSON
Percobaan yang menghasilkan peubah acak x yang bernilai numerik, yaitu banyaknya
sukses selama selang waktu tertentu atau dalam daerah tertentu, disebut Percobaan
Poisson. Suatu percobaan poisson memiliki sifat berikut:
1. Banyaknya sukses terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu tidak
terpengaruh oleh (bebas dari) apa yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain
yang terilih.
2. Peluang terjadinya suatu sukses (tunggal) dalam selang waktu yang sangat pendek
atau dalam daerah yang kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau besarnya
56
daerah dan tidak tergantung pada banyaknya sukses yang terjadi di luar selang waktu
atau daerah tertentu.
3. Peluang terjadi lebihdari satu sukses dalam selang waktu yang pendek atau daerah
yang sangat sempit tersebut dapat diabaikan.
Panjang selang waktu tersebut boleh berapa saja, semenit, sehari, sebulan, atau malah
setahun. Contohnya seperti banyaknya mobil yang masuk tol per jam, jumlah mahasiswi
yang gagal di mata kuliah kalkulus per tahun, jumlah kecelakaan yang terjadi di sekitar
rumah per minggu, dan lain sebagainya.
Distribusi peluang peubah acak poisson x, yang menyatakan banyaknya sukses yang
terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu, diberikan oleh:
,...2,1,0,!
)()( ====−
xx
exfxxP
xµµ
dengan µ menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau
daerah tertentu dan ...71828.2=e Misalkan X berdsitribusi poisson atau )(~ µPx
mempunyai mean = varian = µ . Kejadian-kejadian yang berdistribusi poisson adalah
kejadian yang jarang terjadi. Distribusi binomial dengan peluang sukses (p) yang sangat
kecil, dapat dihampiri dengan distribusi poisson, dengan np=µ .
A. Contoh Soal
1. Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati
suatu perhitungan selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium
adalah empat. Berapakah peluang enam partikel melewati penghitung dalam suatu
milidetik tertentu?
Jawab:
Dik : x = jumlah partikel yang melewati alat penghitung
)(~ µPx dengan µ = 4
Dit: P(X = 6)?
Untuk mendapatkan jawabannya maka lakukan langkah-langkah berikut pada
program Minitab:
2. Input data pada kolom C1 0 : 20;
57
3. Pilih Calc > Probability Distributions > Poisson;
4. Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih Probability;
5. Pada kotak Mean, masukkan 4 yang menunjukkan rata-
rata.
6. Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage ketik
C2.
7. Kemudian klik OK.
Gambar 8.1 Kotak Dialog Fungsi Kepadatan Probabilitas
Untuk mengetahui fungsi kumulatif distribusinya lakukan langkah-langkah
berikut ini:
9. Pilih Calc > Probability Distributions > Poisson
10.Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih Cumulatif Probability
11.Pada kotak dialog Mean, masukkan 4 yang menunjukkan banyaknya rata-rata
banyaknya partikel.
12.Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage ketik C3.
13.Kemudian klik OK
58
Gambar 8.2 Kotak Dialog Fungsi Distributif Kumulatif
Output fungsi kepadatan peluang dan kumulatif distribusi ditunjukkan pada
gambar berikut:
Gambar 8.3 Output pdf dan cdf
Dari data di atas diketahui bahwa P(X = 6) = f(6) = 0.104196 = 10.42%
Untuk mengetahui grafiknya hubungan antara Fungsi Distribusi Kumulatif
dengan banyaknya data dan Fungsi Kepadatan Peluang dengan bnyaknya data,
lakukan langkah berikut ini:
1. Pilih Graph > Scatterplot > Simple > OK
2. Masukkan Fd(x) = (C3) sebagai variable sumbu y dan x =(C1) sebagai
variable sumbu x.
3. Kemudian klik OK
4. Buka kembali graph.
5. Masukan f(x) = C2 sebagai variable sumbu y dan x = C1 sebagai variable
sumbu x.
59
6. Kemudian klik OK.
Output dari grafik dapat dilihat pada gambar berikut:
Gambar 8.4 Grafik Hubungan Fungsi Distribusi Kumulatif
Gambar 8.5 Grafik Hubungan Fungsi Kepadatan Peluang
2. Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang
dari gelas, terjadi belembung atau cacat yang kadang-kadang menyebabkan barang
tersebut sulit dipasarkan. Diketahui bahwa rata-rata 1 dari 1000 barang yang
dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Berapakah peluang bahwa sample
acak sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang bergelembung?
Jawab.
60
Pada dasarnya percobaan ini merupakan distribusi binomial dengan n = 8000 dan p =
0.001. karena p sangat dekat dengan nol dan n cukup besar, maka akan dihampiri
dengan distribusi poisson dengan (8000)(0.001) 8npµ = = = . Jadi jika z merupakan
banyaknya barang yang bergelembung, maka :
6 6
0 0
( 7) (8000.0.001) (8) 0.3134z z
P Z b p= =
< = ≈ =∑ ∑Atau dapat dilihat nilai P(Z < 7) pada hasil keluaran berikut dengan menggunakan
Minitab:
1. Input Data pada kolom C1 dari 0 : 10
2. Pilih Calc > Probability Distributions > Poisson;
3. Pada kotak dialog pilih Probability;
4. Pada kotak Mean, masukkan 8.
5. Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage ketik C2.
6. Kemudian klik OK
7. Pilih Calc > Probability Distributions > Poisson;
8. Pada kotak dialog pilih Cumulatif Probability;
9. Pada kotak Mean, masukkan 8.
10.Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage ketik C3.
11.Kemudian klik OK
Outputnya dapat dilihat pada gambar dibawah ini:
61
Gambar 8.6 Output pdf dan cdf
Dari data diatas dapat dilihat bahwa Fungsi Kumulatif Distribusi pada P(Z =
6) = 0.313374.
C. Latihan
1. Di suatu simpang jalan rata-rata terjadi 3 kecelakaan seminggu. Hitunglah
berdasarkan program yang anda buat, peluang bahwa pada suatu minggu tertentu
akan terjadi:
1. tepat 5 kecelakaan !
2. Paling sedikit ada 7 kecelekaan !
3. Antara ada 3 dan ada 6 kecelekaan !
2. Rata-rata banyaknya tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah
10. pelabuhan tersebut hanya mampu menerima paling banyak 15 tanker sehari.
Buat programnya dan hitung :
62
a. Berapa peluangnya pada suatu hari tertentu ada tanker yang terpaksa disuruh
pergi karena melebihi kapasitas pelabuhan?
b. dari 30 hari yang diamati, berapa hari terdapat tepat 15 tanker?
3. Peluang seseorang meninggal karena suatu infeksipernafasan adalah 0.002.
Carilah peluang bila 2000 orang yang terserang infeksi tersebut kurang dari 5
orang yang akan meninggal?
4. Suatu daerah di bagian timur Amerika Serikat, rata-rata ditimpa angina topan
setahun. Carilah peluang di suatu tahun tertentu:
a. tidak sampai 4 angin topan yang akan menimpa daerah tersebut.
b. antara 6 sampai 8 angin topan akan menimpa daerah tersebut.
5. Dalam suatu penelitian inventori (persediaan barang) diketahui bahwa permintaan
rata-rata dari gudang terhadap suatu bahan tertentu lima kali sehari. Berapakah
peluang pada suatu hari tertentu bahan tersebut:
a. diminta lebih dari lima kali
b. tidak diminta sama sekali?
.
63
MODUL IX
DISTRIBUSI PELUANG KONTINU
A. DISTRIBUSI NORMAL (GAUSS)
Distribusi peluang kontinu yang terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah
distribusi normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk lonceng seperti gambar
di bawah, yang mengambarkan berbagai kumpulan data yang muncul di alam,
industri, dan penelitian.
64
µ x
Distribusi normal sering disebut pula distribusi Gauss, untuk menghormati Gauss
(1777-1855). Suatu peubah acak X yang distribusinya berbentuk lonceng tadi disebut
peubah acak normal. Atau ditulis ),(~ 2σµNX . Distribusi normal, bergantung pada
dua parameter µ danσ . Fungsi padat peluang (pdf) peubah acak normal X dengan
rataan µ . Dan variansi 2σ ialah:
∞<<−∞=
−
−xexf
x
,2
1)( 2
1
σµ
πσ
Dengan mengamati grafik serta memeriksa turunan pertama dan kedua dari f(x) dapat
diperoleh lima sifat kurva normal berikut:
1. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva,
terdapat pada µ=x (atau median µ );
2. Kurva setangkup terhadap garis tegak yang melalui rataan µ .
3. Kurva mempunyai titik belok pada σµ ±=x . Cekung ke bawah bila
σµσµ +<<− x dan cekung ke atas untuk harga x lainnya;
4. Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar bila harga x
bergerak menjauhi µ baik ke kiri maupun ke kanan;
5. Seluruh luas di bawah kurva dan di atas sembu datar dengan 1.
Catatan: Dalam praktek/kehidupan sehari-hari, sulit sekali ditemukan suatu
kasus/kejadian yang benar-benar berdistribusi normal (atau ),(~ 2σµNX . Kurva
setiap distribusi peluang kontinu atau fungsi padat dibuat sedemikian rupa sehingga
luas dibawah kurva diantara kedua ordinat 1xx = sama dengan peluang peubah acak
X mendapat harga antara 1xx = dan 2xx = . Jadi:
dxedxxfxXxPxx
x
x
x
−
−
∫∫ ==<< σµ
πσ2
1
21
2
1
2
12
1)()(
Dinyatakan dengan luas daerah yang diarsir. Berikut adalah gambar dari persamaan
diatas;
65
Tabel Normal.
Untuk mengatasi kesulitan dalam menghitung integral fungsi padat normal maka
dibuat tabel luas kurva normal untuk rataan nol dan variansi 1. Dalam hal ini
dibutuhkan untuk suatu transformasi untuk peubah acak x yang mempunyai rataan µ
dan variansi 2σ .
Transformasi tersebut merupakan pemusatan dan pembakuan terhadap x, yaitu:
x
xXZ
σµ−
=
Sehingga z berdistribusi normal dengan rataan nol dan variansi 1. Distribusi peubah
acak normal dengan rataan nol dan variansi 1 disebut distribusi normal baku
(standar).
Catatan: simpangan baku = deviasi standar.
Tabel normal baku berisi informasi tentang z dan )(zφ dimana
==≤= )()()( zFdzZPxφ fungsi distribusi kumulatif dari z.
Plot berdistribusi peluang normal berbentuk seperti huruf ‘S’. Untuk mempermudah
analisa kenormalan, maka digunakan skor normal, yaitu :
+== −
25.0
375.01
n
iz φ .
Yang gunanya adalah untuk menguji apakah data yang kita peroleh itu bersitribusi
normal atau tidak, dengan melihat apakah plotnya bergaris lurus atau tidak. Catatan:
untuk jumlah data yang sama dan saling berbeda nilainya satu sama lainnya, maka
nilai skornya sama.
Contoh : a. 50 60 70 80 90b. 35 45 55 65 75
Untuk a dan b , keduanya mempunyai nilai skor yang sama tapi berbeda datanya.
Perintah-perintah pada Minitab melalui window session adalah sebagai berikut:
MTB > random 20 C1;
SUBC> normal 0 1.
MTB > nscore C1 C2
66
MTB > plot C2*C1;
SUBC> symbol.
Gambar 9.3 Scatterplot bilangan berdistribusi normal dengan normal score.
MTB > cdf C1 C5
MTB > plot C5*C1;
SUBC> symbol.
Gambar 9.4 Scatterplot dari cdf berdistribusi normal
TB > invcdf C5 C6
MTB > Plot C6*C1;
SUBC> Symbol.
67
Gambar 9.5 Scatterplot dari invcdf berdistribusi normal
Berikut ini adalah sebagian dari table normal baku:
1. Masukkan data C1 melalui window session. Langkah-langkahnya:
MTB > set C1
DATA > -.5 : 1.5 / .1
DATA > END.
2. Pilih Calc > Probability Distribution > normal
3. Pada kotak dialog pilih cumulative distribution
4. Masukkan C1 sebagai input column dan C2 sebagai optional storeage.
5. Selanjutnya OK.
Catatan : bila subcommand
tidak ditulis maka mintab
dengan sendirinya
memberikan nilai (default)
sama dengan normal 0.1.
Diketahui x berdistribusi
normal dengan
10&50 2 == σµ . Carilah
peluang bahwa x mendapat
harga antara 45 dan 62.
Jawab:
Row z Phi (z)123456789101112131415161718192021
-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.5
0.3085380.3445780.3820890.4207400.4601720.5000000.5398280.5792600.6179110.6554220.6914620.7257470.7580360.7881450.8159400.8413450.8643340.8849300.9032000.9192430.933193
68
576392.0
308538.0884930.0
)5.0()2.1(
)2.15.0(
10
5062
10
5045)6245(
=−=
−<−<=<<−=
−<−<−=<<
ZPZp
zP
XPxP
σµ
Suatu mesin membuat alat tahanan listrik dengan rataan tahanan 40 ohm dan
simpangan baku 2ohm. Misalkan bahwa tahanan berdistribusi normal dan dapat
diukur sampai derajat ketelitian yang diinginkan. Berapakah peluangnya sebuah alat
mempunyai tahanan melebihi 43 ohm?
Jawab:
Peluang sebuah alat mempunyai melebihi 43 ohm adalah sebesar luas daerah yang
diarsir pada kurva normal berikut:
066807.0
933193.01
)5.1(1
)5.1(2
4043)43(
=−=
−−=
>=
−>=>
ZP
ZPZPxP
B. Hampiran Normal Terhadap Binomial (atau Poisson)
Peluang binomial dapat diperoleh langsung dari rumus ),;( pnxB Atau dari tabel
bila n kecil. Bila n besar dan tidak ada dalam daftar yang tersedia, maka peluang
binomial dihitung dengan cara hampiran.
Teorema : bila x peubah acak binomial dengan rataan np=µ dan variansi ,2 npq=σ ,
maka bentuk limit distribusinya:
*).........(1, pqnp
npXZ −=−=
Bila ∞→n maka berdistribusi normal baku )1,0;(zN
Catatan : untuk ∞→n dan harga p yang sangat kecil, maka peluang binomial dapat
dihampiri oleh peluang distribusi poisson ))(~( nppX =µ , sehingga membentuk
persamaan (*) berubah menjadi :
69
np
npXZ
−=
Contoh:
X berdistribusi binomial ).4.0,15;(x Ditanyakan )97( ≤≤ xP ?
Jawab:
1. Dengan menggunakan rumus binomial
9
7
9
0 7
(7 9) ( ;15,0.4)
( ;15,0.4) ( ;15,0.4)
0.9662 0.6098
0.3564
P
P x b x
b x b x
≤ ≤ =
= −
= −=
∑
∑ ∑
2. Dengan menggunakan hampiran normal:
6.5 6 9.5 6(7 9)
1.9 1.9
(0.263 1.842)
( 1.842) ( 0.263)
0.3636
P x P Z
P z
P Z P Z
− − ≤ ≤ = < < = < <= < − <=
C. Latihan.
1. Buat table normal baku (standar) untuk z = -2.0, -1.9, …, 1.9, 2.0.
70
2. Suatu jenis baterai mobil rata-rata berumur 3.0 tahun dengan simpangan baku 0.5
tahun. Bila dianggap umur baterai berdistribusi normal, carilah peluang suatu
baterai tertentu akan berumur kurang dari 3.2 tahun?
3. Menghitung peluang. Kerjakan langkah-langkah berikut:
• Generate 10 sampel random dari distribusi normal (15,4);
• Urutkan sample tersebut dari kecil hingga besar;
• Lakukan pemusatan dan pembakuan terhadap sample tersebut;
• Hitung:
i. )( )4()2( xXxP <<
ii. )( )9()5( xXxP <<
iii. )( )6(xXP <
Dengan =)(iX data ke I yang telah diurutkan (petunjuk : gunakan tebl
pada nomor 1 diatas).
4. Suatu proses menghasilkan sejumlah barang yang 10% cacat. Bila peluang 100
barang diambil secara acak dari proses tersebut, berapakah peluang bahwa
banyaknya yang cacat melebihi 13? (petunjuk – Gunakan hampiran normal)
5. Peluang seseorang sembuh dari suatu operasi jantung (yang rumit) adalah 0.9.
berapakah pelluang bahwa anatara, dan termasuk, 84 dan 95 dari 100 orang yang
dioperasi akan sembuh? (petunjuk : gunakan hampiran normal).
6. Suatu pengukuran dipakai untuk menolak semua suku cadang yang ukurannya
tidak memenuhi ketentuan 3.50 +- d . diketahui bahwa pengukuran tersebut
berdistribusi normal dengan rataan 1.50 dan simpangan baku 0.2 . tentukanlah
harga d sehingga ketentuan tersebut mencakup 95% seluruh pengukuran
71
MODUL X
TRANSFORMASI DAN DISTRIBUSI SAMPLING
A. TRANSFORMASI
Distribusi empirik yaitu berupa histogram, batang daun, dan boxplot, yang akan
memberikan gambaran aantara lain tentang kesimetrisan, kecondongan, pemusatan,
penyebaran dari data pengamatan.
Salah satu sifat penting dari distribusi normal yaitu kesimetrisan. Distribusi
normal ini sangat penting karena banyak metode statistik yang dipakai (uji hipotesis
dan uji selang kepercayaan) dengan anggapan distribusi empirik data menghampiri
distribusi normal. Bagaimana jika data tersebut tidak menghampiri distribusi normal,
72
dengan kata lain tidak simetri. Transformasi adalah salah satu cara untuk mengatasi
masalah tersebut, dan ada cara lainnya (akan tetapi tidak selalu berhasil).
Transformasi data dilakukan pada data-data yang memiliki bentuk distribusi
empirik tidak simetri sehingga diperoleh bentuk yang simetri atau mendekati simetri.
Contoh bentuk-bentuk distribusi empirik adalah
Tinggi
x x xx xx xxx
x xx xxxxx xxxxxxxx xxx xxx
xx xxxxx xx xxxxxx x x
xx xx xxx x xxxx
xxx xxxxxxxx
xxxx xxx x x
Rendah
1. Menjurai ke atas, 2. Simetri, 3. Menjurai ke bawah, 4.Hampir simetri berpuncak tunggal berpuncak tunggal berpuncak tunggal berpuncak ganda
Salah satu teknik transformasi pengsimetrisan, adalah dengan :
2
1
x− ,
x
1− , log x, x , 2x , 3x , dll.
Tukey menyimpulkannya dengan apa yang dinamakan Tangga Transformasi :
transformasi utk simetri transformasi utkmenjurai ke atas menjurai ke bawah
2
1
x−
x
1− log x x x 2x 3x
antilog x kuat sedang tak berubah sedang kuat
Contoh 1
Distribusi empirik di bawah bersifat tidak empirik karena data yang bernilai kecil
mengumpul (dapat juga dikatakan menjurai ke atas).
Data : N = 60
73
0.0 sebanyak 10 baris
0.5 sebanyak 19 baris
1.0 sebanyak 14 baris
1.5 sebanyak 3 baris
2.0 sebanyak 5 baris
2.5 sebanyak 2 baris
3.0 sebanyak 4 baris
3.5 sebanyak 1 baris
4.0 sebanyak 1 baris
4.5 sebanyak 0 baris
5.0 sebanyak 0 baris
5.5 sebanyak 1 baris
Langkah-langkah pengerjaan melalui program Minitab:
- Masukkan data-data tsb pada worksheet (sebanyak N = 60) di kolom C1
- Pilih menu Graph > Simple, lalu OK
- Pilih C1 sebagai Graph variables, lalu OK
- Didapat plot Histogram of C1
Gambar 10.1 Histogram dari Distribusi Empirik
74
C1
Frequency
4.8
3.6
2.4
1.2
0.0
20151050
Histogram of C1
Jika dibuat transformasi Z = log C2, maka pengerjaan pada program Minitab:
1. Pilih Calc > calculator.
2. Pada kotak dialog calculator seperti pada gambar, masukkan C2 pada kotak store
result in variable.
3. Masukkan fungsi LogT(C1) pada expression, yang artinya C2 =Logten (C1), lalu
OK.
Gambar 10.2 Kotak Dialog Kalkulator
4. Plih Graph > Histogram > simple > OK.
5. Pada kotak dialog histogram masukkan variabel C2 pada kotak graph variable >
OK
Output histogram C2 akan ditunjukkan seperti gambar dibawah.
Gambar 10.3 Grafik histogram dari C2 dengan fungsi transformasi y = log (x)
75
Jika dibuat transformasi y = x , maka perintah pada program Minitab sama dengan
diatas, tetapi fungsi yang digunakan C3 = SQRT (C1). Kemudian setelah itu dibuat
histogram dari C3 yang menghasilkan grafik seperti dibawah.
Gambar 10.4 Grafik Histogram dari C3 dengan fungsi transformasi y = x
6. Pilih Graph > steam and Leaf
7. Masukkan C3 pada kotak graph variable. > OK
Stem-and-Leaf Display: C3
Stem-and-leaf of C3 N = 60Leaf Unit = 0.10
10 0 0000000000 10 0 10 0 29 0 7777777777777777777 29 0(14) 1 00000000000000 17 1 222 14 1 4444455 7 1 7777 3 1 8 2 2 0 1 2 3
Analisa
Pada plot pertama terlihat data sangat jauh dari normal (dikatakan menjurai ke atas).
Lalu dicoba transformasi Z = log x, dan diperoleh plot kedua yang ternyata membuat
data menjadi menjurai ke bawah. Dicoba lagi dengan transformasi y = x , dan
diperoleh plot yang lebih mendekati normal, walaupun dari histogram masih belum
simetri.
76
Pencarian transformasi yang cocok masih terus dapat dilakukan sehingga dihasilkan
histogram yang simetri (atau mendekati simetri) dan plot normal yang mendekati
garis lurus.
Contoh 2
Jika peubah acak diubah dengan mengalikan atau menambahkan suatu nilai skalar
maka mean juga berubah dengan mengalikan atau menambahkan scalar tersebut.
Untuk variansi, jika peubah acak dikalikan dengan scalar maka variansinya juga
dikalikan dengan kuadrat skalar. Tapi jika ditambahkan dengan skalar maka
variansinya tetap. Ini dikarenakan plot hanya bergeser sejauh pergeseran mean. Jadi,
hanya mean yang berubah.
Langkah yang dilakukan pada Minitab antara lain:
1. Pilih Calc > Random Data > Normal
2. Pada kotak Generate, masukkan 60 data dan mean = 0.4, lalu OK.
3. Pilih Calc > Calculator
4. Pada kotak dialog, masukan fungsi 3*C1 pada kotak expression > OK.
5. Pilih Stat > Basic Statistic > Display Descriptive Statistics
6. Pilih Varibel C1 dan C2 > Statistics
7. Cek Mean,Median,TrMean,Stdev,Semean, Min dan Max. > OK.
Descriptive Statistics: C1, C2
Variable CumN Mean SE Mean TrMean StDev Minimum Median MaximumC1 60 0.427 0.120 0.391 0.932 -1.233 0.299 3.336C2 60 1.280 0.361 1.172 2.795 -3.698 0.897 10.009
B. DISTRIBUSI SAMPLING
Misalkan akan diambil kesimpulan mengenai proporsi orang Indonesia yang
merokok. Tentunya tidak mungkin menanyai semua penduduk Indonesia. Karena itu
ada yang dinamakan sample acak, yaitu beberapa data dari populasi diambil secara
acak, dan kemudian dihitung proporsi orang yang merokok (populasi adalah
keseluruhan pengamatan yang akan diteliti). Percobaan ini dilakukan beberapa kali.
77
Suatu nilai yang dihitung dari sample dinamakan statistik. Karena banyak sampel
maka kita dapatkan banyak nilai statistik yang berbeda dari sampel ke sampel. Karena
itu statistik adalah suatu peubah acak juga. Dalam modul ini, akan dibahas mengenai
distribusi beberapa statistik, khususnya rataan sampel dan variansi sampel.
Misalkan diambil sampel berukuran n dari suatu populasi, dan diulangi sebanyak k
kali, kemudian dari tiap sampel diambil rataannya, maka rataan sampel itu
mempunyai distribusi, dan disebut distribusi sampling dari rataan. Jika yang diamati
variansinya untuk tiap sampel, maka variansi sampel itu mempunyai distribusi dan
dinamakan distribusi sampling dari variansi.
Misalkan X ~ F sembarang, dengan rataan µ dan variansi 2σ , maka
( ) ∑∑∑ ====
= µµn
nxE
nxE
nn
xEXE ii
i 1)(
11)( .
( ) ∑∑∑ ==
= )(
11)(
22 iii xV a r
nxV a r
nn
xV a rXV a r , (karena ix bebas)
nn
n
22
2
1 σσ == .
Bila populasi yang tidak diketahui distribusinya (berhingga atau tidak), diambil
sampelnya, maka distribusi sampel rataannya akan berdistribusi hampir normal
dengan rataan µ dan variansinya n
2σ, asalkan ukuran sampel besar dan ekspetasi
dari sampel acak dan berhingga.
Contoh program simulasi distribusi rataan untuk normal dan binomial.
1. Distribusi rataan untuk N(0,4)
MTB > random 15 C1 – C60MTB > normal 0 2MTB > copy C1 – C60 m1MTB > transpose m1 m2MTB > copy m2 C1 – C15MTB > rmean C1 – C15 C16MTB > histogram C16Histogram of C16 N = 60Midpoint Count
78
-1.2 3 * * *-0.8 9 * * * * * * * * *-0.4 10 * * * * * * * * * * 0.0 17 * * * * * * * * * * * * * * * * * 0.4 15 * * * * * * * * * * * * * * * 0.8 5 * * * * * 1.2 1 *
MTB > nscore C16 C17MTB > plot C17 C16
MTB > describe C16 N MEAN MEDIAN TRMEAN STDEV SEMEAN
C16 60 -0.0332 0.0429 -0.0258 0.5636 0.0728
MIN MAX 01 03C16 -1.3268 1.3702 -0.4820 0.4704
MTB > boxplot C16
Untuk distribusi rataan dari binomial, gunakan program yang sama, hanya random normal diganti random binomial.
N MEAN MEDIAN TRMEAN STDEV SEMEAN C1 100 -0.169 -0.472 -0.219 3.960 0.396
MIN MAX 01 03C1 -8.905 10.585 -3.042 2.460
Contoh 3Data : N = 100
-8 sebanyak 2
-6 sebanyak 11
-4 sebanyak 13
-2 sebanyak 19
0 sebanyak 16
2 sebanyak 17
79
4 sebanyak 11
6 sebanyak 8
8 sebanyak 2
10 sebanyak 1
Minitab
- Masukkan data-data tsb pada worksheet (sebanyak N = 100) di kolom C1
- Pilih menu Graph > Simple, lalu OK
- Pilih C1 sebagai Graph variables, lalu OK
- Didapat plot Histogram of C1
C1
Frequency
8
4
0
-4
-8
20151050
Histogram of C1
- Pilih menu Graph > Stem-and-Leaf
- Pilih C1 sebagai Graph variables
- Diperoleh
Stem-and-leaf of C1 N = 100Leaf Unit = 1.0
2 -0 88 13 -0 66666666666 26 -0 4444444444444 45 -0 2222222222222222222(8) -0 00000000 47 0 00000000 39 0 22222222222222222 22 0 44444444444 11 0 66666666 3 0 88
80
1 1 0
- Pilih menu Graph > Boxplot
- Pilih Simple, lalu OK
- DiperolehC1
10
5
0
-5
-10
Boxplot of C1
- Pilih menu Calc > Calculator
- Store result in variables C2
- Expression pilih Normal score(C1), lalu OK
- Diperoleh data normal score nya di C2
- Pilih menu Graph > Scatterplot
- Pilih Simple, lalu OK
- Pilih C2 sebagai Y variable dan C1 sebagai X variable, lalu OK
- Diperoleh Scatterplot of C2 vs C1
81
C1
C2
1050-5-10
3
2
1
0
-1
-2
Scatterplot of C2 vs C1
C. LATIHAN
1. Data di bawah ini menyajikan penduduk ke-22 wilayah metropolitan terbesar di AS
pada tahun 1970. Petugas sensus mencoba mendefinisikan wilayah ini sehingga
merupakan satuan populasi yang berarti.
- Diagramkanlah data mentahnya
- Bagaimana bentuk disribusinya (jelaskan)
- Buat juga boxplotnya
- Transformasi apa yang dipakai agar bentuk distribusinya menjadi berbentuk
hampir normal
1420 1390 2071 2754 6979 1385 2064 1556 4200 1985
7032 1404 1814 11529 1857 1359 4818 2401 2363 3110
1422 2861
2. Gunakan data no.1. Bandingkanlah transformasi manakah yang lebih baik antara
akar dua dengan versi kebalikan negatif. Jelaskan!
3. Simulasi sebanyak 20 pengamatan dan diletakkan di 5 kolom, dari N(0,4). Lakukan
percobaan ini sebanyak 3 kali, dan perhatikan histogram dan normal plotnya.
Bagaimana analisa anda!
82
4. Buat program untuk menset 80 buah rataan (terhadap C1-C30) dari B(x ; 10, 0.2)
dan N(0, 16). Apa yang dapat anda jelaskan dari outputnya!
5. Di bawah ini adalah produk kosmetik bruto per kapita negara belahan bumi barat
tertentu (1971), dla US$, yang diambil dari buku Memahami Data (Erickson dan
Nosanchuk).
Argentina 1260 Jamaica 740Bolivia 219 Meksiko 712Brazil 452 Nikaragua 471Kanada 4317 Panama 782Costa Rica 586 Peru 356Ekuador 306 Uruguay 836Guatemala 371 Amerika Serikat 5121Haiti 110 Venezuela 1151
Buat histogram, batang daun, dan normal plotnya. Kemudian ambil log-nya, dan
buat kembali histogram, batang daun, dan normal plotnya. Bandingkan! Analisalah!
MODUL XI
SELANG KEPERCAYAAN UNTUK KEPERCAYAAN
83
Taksiran suatu parameter populasi dapat diberikan berupa taksiran titik atau berupa
taksiran selang.
Taksiran titik suatu parameter populasi θ
merupakan nilai tunggal θ suatu statistik Θ.
Sebagai contoh, nilai x suatu statistik X , dihitung dari suatu ukuran n, merupakan
taksiran titik parameter populasi µ . Statistik yang digunakan untuk mendapatkan
taksiran titik ≡ penaksir.
Taksiran selang untuk µ dari suatu populasi ialah suatu selang yang berbentuk
21 ˆˆ µµµ << , di mana 21 ˆ&ˆ µµ tergantung pada nilai statistik µ̂. Biasanya µ̂ = X ,
dengan kata lain 21 ˆ&ˆ µµ tergantung pada X . Atau kx −=1µ̂ dan kx +=2µ̂ , dengan
k ditentukan dari distribusi sampel X .
Catatan :
parameter adalah konstanta dari suatu distribusi yang nilainya tertentu tapi tidak
diketahui, misalnya 2&σµ .
perbedaan sampel (berlainan) memberikan nilai X yang berbeda, ini
mengakibatkan penaksiran selang bagi parameter µ berbeda pula.
Misalkan dari suatu distribusi sampel µ̂ dapat ditentukan 21 ˆ&ˆ µµ , sedemikian sehingga
αµµµ −=<<= 1)ˆˆ( 21P . Maka dengan peluang %100).1( α− ini, sampel acak yang
diambil akan menghasilkan suatu selang yang mengandung µ .
Contoh : Misalkan 95.0)ˆˆ( 21 =<<= µµµP . Artinya, yang dihitung berdasarkan sampel
acak yang diambil, disebut selang kepercayaan 95%, dengan kata lain kita percaya 95%
bahwa selang yang dihitung mengandung parameter yang sesungguhnya dari populasi.
A. SELANG KEPERCAYAAN PADA DISTRIBUSI NORMAL
84
Perhatikan gambar di atas. Selang kepercayaan %100).1( α− adalah selang pada daerah
yang diaksir, yaitu antara 2/αz− dan 2/αz . Misalkan ambil %505.0 ==α , maka
%951 =− α . Jadi, selang kepercayaan 95% adalah selang antara %5,2z− dan %5,2z . Nilai
2/αz± dinamakan nilai kritis dan diambil dari tabel normal. Di bawah ini beberapa nilai
kritis z untuk beberapa nilai α yang sering digunakan.
α Nilai 2/αz
1% = 0.01 -2.57
5% = 0.05 -1.96
10% = 0.10 -1.64
B. SELANG KEPERCAYAAN PADA DISTRIBUSI T
Perhatikan gambar di bawah ini
Penggunaannya sama dengan selang kepercayaan pada distribusi normal. Nilai t dapat
dilihat dari tabel t, dengan v menyatakan derajat kebebasan dan α−1 menyatakan
berapa persen selang kepercayaan yang diinginkan. Perhatikan besarnya v
untuk data yang berasal dari 1 populasi : v = n - 1
untuk data yang berasal dari 2 populasi yang saling bebas atau tidak berpasangan :
221 −+= nnv .
C. PERINTAH-PERINTAH MINITAB UNTUK SELANG KEPERCAYAAN
85
Z INTERVAL K % σ C1 . . . C2 )1001( ≤≤ n
Digunakan untuk mencari selang kepercayaan K %, data berasal dari 1 populasi
dengan nilai 2σ diketahui.
Bentuk selang tersebut adalah :
))/() ,/(( 2/2/ nzxnzx σσ αα +−Di mana : x = mean data
n = ukuran sampel
z = nilai dari tabel normal untuk K %
T INTERVAL K % C1 . . . C2 )1001( ≤≤ n
Digunakan untuk mencari selang kepercayaan K %, data berasal dari 1 populasi
dengan 2σ tidak diketahui, atau data berasal dari populasi berpasangan dengan
21σ dan 2
2σ tidak diketahui.
Bentuk selang tersebut adalah :
))/() ,/(( 2/,22/,2 nstxnstx nn αα −− +−Di mana : x = mean data
s = standar deviasi sampel
n = ukuran sampel
t = nilai dari tabel t untuk K % dan derajat kebebasan (n-1)
D. CONTOH SOAL
1. Sebuah mesin menghasilkan potongan logam berbentuk silinder.
Sampel beberapa potongan diukur dan ternyata diameternya : 1.01, 0.97, 1.03,
1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 dan 1.03. Hitunglah selang kepercayaan 99% untuk
rataan diameter potongan yang dihasilkan mesin tersebut bila dimisalkan
distribusinya hampir normal.
86
Jawab:
MTB > set C1DATA > 1.01 0.97 1.03 1.04 0.99 0.98 0.99 1.01 1.03DATA > endMTB > tinterval 99.0 C1
N MEAN STDEV SEMEAN 99.0 PERCENT C.IC1 9 1.00556 0.02455 0.00818 (0.97809, 1.03302)
2. Data berikut menyatakan waktu putar film yang diproduksi dua
perusahaan film.
Waktu (menit)
Perusahaan A 103 94 110 87 98 88
Perusahaan B 97 82 123 92 175 118
Hitunglah selang kepercayaan 90% untuk selisih kedua rataan waktu putar film
yang diproduksi kedua perusahaan. Anggap bahwa waktu putar berdistribusi
hampir normal.
Jawab:
MTB > read C1 C2DATA > 103 97DATA > 94 82DATA > 110 123DATA > 87 92DATA > 98 175DATA > 88 118DATA > endMTB > let C3 = C2 – C1MTB > tinterval 90 C3
N MEAN STDEV SEMEAN 90.0 PERCENT C.IC3 6 -17.8 32.5 13.3 (-44.6, 8.9)
E. LATIHAN
1. Ambil sampel acak sebanyak 100, dari distribusi normal baku,
dan tentukan selang kepercayaan 90%, 95% dan 99%. Lakukan juga untuk sampel
dari N(0, 4) dan N(0, 16). Apa yang dapat anda simpulkan!
Buat juga perhitungannya secara manual untuk selang kepercayaan 90% dgn N(0,
4). (Gunakan tabel normal)
87
2. Tujuh botol yang mirip masing-masing berisi asam sulfat
sebanyak 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2 dan 9.6 liter. Carilah selang
kepercayaan 95% untuk rataan isi botol semacam itu, bila distribusinya dianggap
hampir normal. Lakukan pula perhitungan secara manual. (Gunakan tabel t)
3. Suatu perusahaan menyatakan bahwa sejenis diet baru akan
menurunkan berat badan seseorang rata-rata 4.5 kg dalam 2 minggu. Berat tujuh
wanita yang menggunakan diet ini dicatat sebelum dan sesudah jangka waktu 2
minggu.
1 2 3 4 5 6 7Berat sebelum 58.5 60.3 61.7 69.0 64.0 62.6 56.7Berat sesudah 60.0 54.9 58.1 62.1 58.5 59.9 54.4
Hitung selang kepercayaan 95% untuk selisih rataan berat, dan perhatikan apakah
pernyataan perusahaan tersebut benar? Anggap distribusi berat hampir normal.
4. Pemerintah memberikan dana ke jurusan pertanian 9 universitas
untuk menguji kemampuan menghasilkan dua varietas padi. Tiap varietas ditanam
di petak sawah yang sama luasnya di tiap universitas dan hasilnya, dlm kg per
detik sbb:
Universitas1 2 3 4 5 6 7 8 9
Varietas A 38 23 35 41 44 29 37 31 38Varietas B 45 25 31 38 50 33 36 40 43
Hitunglah selang kepercayaan 95% untuk rataan selisih hasil kedua jenis, anggap
bahwa distribusi hasil hampir normal. Jelaskan mengapa kedua varietas perlu
dibuat berpasangan dalam soal ini. Buat juga perhitungan manualnya. (Gunakan
tabel t)
88
SELANG KEPERCAYAAN
1 POPULASI 2 POPULASI
2σ diketahui 2σ tdk diketahui berpasangandr pop. normal (n < 30) )( 21 nn =
)30( ≥n 21σ , 2
2σ tdk diketahui
2σ 2σ = 2s 22dd s=σ
X X 21 XXD −=
distribusi distribusi t distribusi t normal )/(|| 2/,1 nstx n αµ −±< )/(|| 2/,1 nstd dn αµ −±<
)/(|| 2/ nzx σµ α±<
89
MODUL XII
UJI HIPOTESIS
Dalam kehidupan, sering kita ingin menguji kebenaran suatu pernyataan/ anggapan.
Misal, benarkah pernyataan iklan obat di televisi yang sebagai ‘penambah tenaga’. Untuk
menguji kebenarannya, sulit untuk menanyakan semua orang yang minum obat tersebut
(populasi yang minum obat). Kesulitan tersebut karena biaya yang besar, memakan
waktu yang lama, serta kemungkinan bisa/ tidaknya suatu percobaan dilaksanakan.
Kegiatan ini disebut hipotesis statistik.
Pengujian hipotesis statistik merupakan bagian terpenting dari teori keputusan. Suatu
anggapan/ pernyataan yang mungkin benar/ tidak mengenai satu populasi atau lebih
disebut hipotesis statistik.
Kebenaran atau ketidakbenaran suatu hipotesis statistik tidak pernah diketahui dengan
pasti kecuali bila seluruh populasi diamati. Namun hal ini sangat sulit, karena itu diambil
sampel acak dari populasi yang ingin diselidiki dan dengan menggnakan informasi yang
terkandung dalam sampel itu diputuskan apakah hipotesis tersebut wajarnya benar atau
salah.
Petunjuk dari sampel yang tidak sesuai dengan hipotesis menjurus kepada penolakan
hipotesis, sedangkan petunjuk yang mendukung menjurus kepada penerimaannya.
(ditegaskan bahwa penerimaan suatu hipotesis statistik diakibatkan oleh tidak cukupnya
petunjuk untuk menolaknya dan tidaklah menunjukkan bahwa hipotesis itu benar).
Istilah diterima / ditolak penting dipahami, bahwa penolakan suatu hipotesis berarti
menyimpulkan bahwa hipotesis tersebut tidak benar, sedangkan penerimaan suatu
hipotesis hanyalah menunjukkan bahwa tidak cukup petunjuk untuk mempercayai
sebaliknya. Biasanya hipotesis yang dirumuskan dengan harapan untuk ditolak disebut
hipotesis nol (H0). Penolakan H0 menjurus kepada penerimaan suatu hipotesis
tandingannya (H1). Bentuk uji hipotesis statistik untuk 1 populasi adalah sbb:
90
1. Uji satu arah, yaitu setiap uji hipotesis statistik dengan tandingannya yang berarah
satu, seperti:
0 0:H µ µ= atau 0 0:H µ µ=
1 0:H µ µ> 1 0:H µ µ<
Seluruh daerah kritis untuk hipotesis tandingan 0µ µ> terletak diujung kanan
distribusi, sedangkan seluruh daerah kritis untuk hipotesis tandingan 0µ µ< terletak
diujung kiri.
2. Uji dua arah, yaitu setiap uji hipotesis statistik dengan tandingan berarah dua,
seperti: 0 0:H µ µ=
1 0:H µ µ≠
Hipotesis tandingan menyatakan salah satu dari 0µ µ< ataupun 0µ µ> . Nilai pada
kedua ujung distribusi membentuk daerah kritisnya. Sebagai contoh: Misalkan umur
rata-rata mahasiswa yang mengambil statistika dasar adalah 20 tahun dan jumlah
mahasiswa (populasi) yang mengam,bil mata kuliah tersebut 400 org. Ingin diuji
apakah rata-rata umur mhs tsb benar/ salah, jika diambil sampel sebanyak 15 mhs.
Penulisan hipotesis statistiknya adalah
0 : 20H µ = atau 0 : 20H µ = atau 0 : 20H µ =
1 : 20H µ < 1 : 20H µ > 1 : 20H µ ≠
A. UJI-Z : UJI RATAAN 1 SAMPEL DENGAN 2σ DIKETAHUI
Pandanglah masalah pengujian hipotesis bahwa rataan populasi dengan variansi 2σ
diketahui, sama dengan nilai 0µ tertentu lawan tandingan bahwa rataan tersebut tidak
sama dengan 0µ , yaitu akan diuji:
0 0:H µ µ=
1 0:H µ µ≠
Statistik yang sesuai sebagai dasar patokan keputusan ialah peubah acak x karena x
adalah penaksir tak bias untuk µ . Tidak diketahui bahwa distribusi sampel dari
91
rataan adalah hampir normal dengan rataan µ dan variansi 2 / nσ , bila suatu populasi
dengan mean µ dan variansi 2σ diambil sampelnya secara acak sebanyak n. Bila
digunakan taraf keberartian α , maka dapat dicari 2 nilai kritis 1 2&x x sedemikian
sehingga 1 2x X x< < menyatakan daerah penerimaan dan yang lainnya menyatakan
daerah kritis.
Daerah kritis dapat dinyatakan dalam nilai z yang diberikan oleh:
0
/
xz
n
µσ−=
Jadi, untuk taraf keberartian α , nilai kritis peubah acak z yang berpadanan dengan
1 2&x x , adalah:
1 0/ 2 /
xz
nαµ
σ−− = atau 2 0
/ 2 /
xz
nαµ
σ−=
Dari populasi diambil sampel acak berukuran n dan kemudian rataan sampel x
dihitung. Bila x jatuh dalam daerah penerimaan 1 2x X x< < , maka z akan jatuh
dalam daerah / 2 / 2z Z zα α− < < dan disimpulkan bahwa 0µ µ≠ . Daerah kritis
biasanya dinyatakan dalam z bukan dalam x .
Contoh 1
Suatu perusahaan pembuat perlengkapan olah raga membuat tali pancing sintetik
yang baru dan yang menurut pembuatnya rata-rata dapat menahan beban 8 kg dengan
simpangan baku 0.5 kg (tali pancing tersebut diasumsikan berdistribusi normal).
Ujilah hipotesis bahwa µ = 8 kg lawan tandingan bahwa µ ≠ 8 kg, bila sampel acak
50 tali diuji dan ternyata rata-rata daya tahannya 7.8 kg. Gunakan taraf keberartian
0.05.
Jawab:
Pengujiannya masalahnya adalah:
0 : 8H µ = kg
1 : 8H µ ≠ kg
Langkah-langkah yang dilkaukan didalam minitab
92
1. Bangkitkan bilangan acak berdistribusi normal dengan banayak data 50 simpan di
C1.
2. Pilih Stat > Basic Statistics > 1-sample Z.
3. Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih samples in columns input C1
4. Input 0.5 sebagai Standar Deviation dan 8 sebagai test mean
5. Kemudian klik OK
Gambar 12.1 Kotak dialog 1- sample Z
Output yang dihasilkan adalah sebagai berikut:
One-Sample Z: C1
Test of mu = 8 vs not = 8The assumed standard deviation = 0.5
Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI Z PC1 50 7.75760 0.51324 0.07071 (7.61901, 7.89619) -3.43 0.001
Analisa : Dari Minitab diperoleh nilai z hitung = -3.44. Untuk taraf keberartian
0.05α = , z mempunyai nilai kritis : z < -2.575 dan z > 2.575. Jadi, z = -3.43 terletak
dalam daerah penolakan maka kesimpulannya adalah H0 ditolak, artinya rata-rata
daya tahan tidak smaa dengan 8. Cara lain yang lebih mudah untuk mengujinya
adalah dengan membandingkan α dengan nilai p-nya. Jika α < nilai p , maka H0
diterima. Untuk sebaliknya, H0 ditolak.
93
B. UJI-T 1 SAMPEL : UJI RATAAN DG σ 2 TDK DIKETAHUI
Selain uji-z ada pada uji-t, yaitu untuk menguji rataan bila variansi populasi tidak
diketahui. Langkah-langkah pengerjaan sama dengan uji-z, dengan rumusuntuk T
adalah :
T= 0
/s n
λ µ− dengan daerah kritis 1, / 2 1 / 2in nt T tα α− −− < <
s menyatakan simpangan baku dari sampel damn n adalah banyaknya data. Nilai dari
t dapat dilihat dari tabel t.
Contoh 2
Ujilah hipotesis bahwa rat-rat isi kaleng sejenis minyak pelumas adalah 10 liter, bila
isi sampel acak 10 kaleng adalah 10.2, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3, dan 9.8
liter. Gunakan taraf keberartian 0.10 dan anggap bahwa distribusi isi kalaeng normal.
Jawab :
Pengujian : H0 : µ = 10
H1 : µ ≠ 10
Langkah-langkah pengerjaan pada Minitab:
1. Input data pada kolom C2 10.2 9.7 10.1 10.3 10.1 9.8 .9.9 10.4 10.3 9.8
2. Pilih Stat > Basic Statistics > 1-sample t
3. Pada kotak dialog, pilih sample in column input C2, test mean input 10
selanjutnya OK
Gambar 12.2 Kotak dialog 1-sample t
94
One-Sample T: C2
Test of mu = 10 vs not = 10
Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI T PC2 10 10.0600 0.2459 0.0777 (9.8841, 10.2359) 0.77 0.460
Analisa: nilai kritis dari t untuk taraf keberartian 0.10 dan derajat kebebasan 9 :
0.05,9 1.833t < − dan 0.05,9 1.833t < . Maka T hasil perhitungan = 0.77 terletak
dalam daerah penerimaan. Jadi, H0 diterima, artinya rata-rata- isi kaleng
minyak adalah benar 10 liter. Cara lain : α = 0.10 < nilai p = 0.46, jadi H0
diterima.
Contoh 3
Misalkan untuk masalah diatas, pengujiananya dilakukan satu arah, misalkan
pengujian menjadi :
H0 : µ =10 lawan
H1 : µ < 10
Maka digunakan uji t 1 sampel untuk masalah satu arah :
1. Pilih Stat > Basic Statistics > 1-sample t
2. Pada kotak dialog klik option, pilih less than pada kolom alternative, lalu OK >
OK
Gambar 12.3 Kotak dialog 1-sample t - options
Hasil outputnya sebagai berikut:
One-Sample T: C2
Test of mu = 10 vs < 10 95% UpperVariable N Mean StDev SE Mean Bound T P
95
C2 10 10.0600 0.2459 0.0777 10.2025 0.77 0.770
Analisa : Dengan nilai kritis T < -1.833 maka kesimpulan adalah H0 diterima.
C. UJI-T 2 SAMPEL : UJI SELISIH RATAAN
Pengertian uji t 2 sampel sama dengan uji t 1 sampel, hanya saja terdapat 2 sampel
yang kemudian diuji selisih rataannya, dengan rumus
1 2 1 2
1 2
( ) ( )
(1/ ) (1/ )p
X XT
S n n
µ µ− − −=+ untuk 1 2σ σ− dan tidak diketahui
Contoh 4
Diberikan 2 sampel acak berukuran 1 211& 14n n= = , dari dua populasi normal yang
bebas satu sama lain. Dari sampel diperoleh 1 2 1 275, 20, 6.1, 5.3x x s s= = = = .
Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0.05 bahwa 1 2µ µ= , lawan tandingan 1 2µ µ≠ .
Anggap bahwa kedua populasi mempunyai variansi yang sama.
Jawab:
Pengujian : 0 1 2:H µ µ= atau 1 2 0µ µ− = lawan
1 1 2:H µ µ≠ atau 1 2 0µ µ− ≠
Langkah-langkah yang dilakukan pada Minitab :
1. Bangkitkan 11 bilangan pubah acak berdistribusi normal simpan pada kolom C1
dengan n = 75 dan p = 6.1
2. Bangkitkan 14 bilangan pubah acak berdistribusi normal simpan pada kolom C2
dengan n = 60 dan p = 5.3
3. Pilih Stat > Basic Statistics > 2-sample t
4. Pada kotak dialog pilih samples in different columns, input C1 sebagai first dan
C2 sebagai second
5. Ceklist Assume equal variances. Selanjutnya OK
96
Gambar 12.4 2-samples t
Output yang dihasilkan adalah sebagai berikut:
Two-Sample T-Test and CI: C1, C2
Two-sample T for C1 vs C2
N Mean StDev SE MeanC1 11 77.99 4.30 1.3C2 11 64.13 4.02 1.2
Difference = mu (C1) - mu (C2)Estimate for difference: 13.864295% CI for difference: (10.1594, 17.5690)T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 7.81 P-Value = 0.000 DF = 20Both use Pooled StDev = 4.1652
Analisa : Diketahui untuk taraf keberartian 5% daerah kritis adalah 0.029,23 2.069T < −
dan 0.029,23 2.069T > . Maka T = 8.16 terletak dalam daerah penolakan,
artinya keputusan adalah H1 diterima atau selisih mean tidak sama dengan
nol, atau terdapat beda mean kedua populasi.
97
98