UNIVERSITAT POLlTECNICACATALUNYABiblioteca1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111400480638Prlogo Este libro ha sido concebido con el principal propsito de complementar los textos ordinarios (de mecnicadelosfluidosehidrulica.Sebasaenlaconviccindelautordequeelesclarecimientoy comprensin de los principios fundamentales de cualquier rama de la mecnica se obtienen mejor mediante numerosos ejercicios ilustrativos. La anterior edicin de este libro ha sido acogida muy favorablemente. En esta segunda edicin, muchos de los captulos han sido revisados y adicionados con objeto de poner al da determinados temas de acuerdo con los ms recientes conceptos, mtodos y terminologa. Se ha dedicado especial atencin al anlisis dimensional recogiendo los nuevos materiales en el Captulo 5. La revisin ms extensa se ha llevadoacaboenloscaptulosquetratanlosfundamentosdelflujodefluidos,flujodefluidosen tuberas y flujo en canales abiertos. La materia se divide en captulos que abarcan reas bien definidas de teora y estudio. Cada captulo seiniciaconelestablecimientodelasdefinicionespertinentes,principiosyteoremas,juntoconel material ilustrativo y descriptivo al que sigue una serie de problemas resueltos y problemas propuestos. Los problemas resueltos ilustran y amplan la teora, presentan mtodos de anlisis, proporcionan ejemplos prcticos e iluminan con aguda perspectiva aquellos aspectos de detalle que capacitan al estudiante para aplicar los principios fundamentales con correccin y seguridad. El anlisis del cuerpo libre, los diagramas vectoriales, los principios de trabajo y energa de la cantidad de movimiento y las leyes de Newton se utilizanalolargodetodoellibro.Noseharegateadoesfuerzoparapresentarproblemasoriginales desarrollados por el autor en los largos aos dedicados a la enseanza de .esta materia. Entre los problemas resueltosseincluyennumerosasdemostracionesdeteoremasydeduccionesdefrmulas.Elelevado nmero de problemas propuestos asegura un repaso completo del material de cada captulo. Los alumnos de las Escuelas de Ingeniera reconocern la utilidad de este libro al estudiar la me-cnica de los fluidos y, adicionalmente, aprovecharn la ventaja de su posterior empleo como libro de referencia en su prctica profesional. Encontrarn soluciones muy detalladas de numerosos problemas prcticos y, cuando lo necesiten, podrn recurrir siempre al resumen de la teora. Asimismo, el libro puede servir al ingeniero profesional que ha de recordar esta materia cuando es miembro de un tribunal examinador o por cualesquiera otras razones. DeseoexpresarmiagradecimientoamicolegaRobertC.Stiefel,quehacomprobadocuidado-samente la solucin de muchos de los nuevos problemas. Tambin he de expresar mi gratitud a la redaccin de la Schaum Publishing Company y, muy particularmente, a Henry Hayden y Nicola Miracapillo, por sus inestimables sugerencias e inapreciable cooperacin. RANALD V. GILES Tabla de materias Captulo1 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS La mecnica de los fluidos y la hidrulica. Definicin de fluido. Sistema tcnico de unidades.Pesoespecfico.Densidaddeuncuerpo.Densidadrelativadeuncuerpo. Viscosidad de un fluido. Presin de vapor. Tensin superficial. Capilaridad. Presin de un fluido. La presin. Diferencia de presiones. Variacionesdelapresinenun fluido compresible. Altura o carga de presin h.Mdulo volumtrico de elasticidad (E).Compresindelosgases.Paracondicionesisotrmicas.Paracondiciones adiabticas o isoentrpicas. Perturbaciones en la presin. Captulo2 FUERZAS HIDROSTTICAS SOBRE LAS SUPERFICIES. . . . . . . . 22 Introduccin. Fuerza ejercida por un lquido sobre un rea plana. Tensin circunferencial o tangencial. Tensin longitudinal en cilindros de pared delgada. Captulo 3 EMPUJE Y FLOTACIN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Principio de Arqumedes. Estabilidad de cuerpos sumergidos y flotantes. Captulo4 TRASLACIN Y ROTACIN DE MASAS LIQUIDAS. . . . . . . . . . . 42 Introduccin.Movimientohorizontal.Movimientovertical.Rotacindemasas fluidas. Recipientes abiertos. Rotacin de masas fluidas. Recipientes cerrados. Captulo 5ANLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRULICA . . . . . . . 50 Introduccin.Anlisisdimensional.Modeloshidrulicos.Semejanzageomtrica. Semejanza cinemtica. Semejanza dinmica. La relacin entre las fuerzas de inercia. Relacin de las fuerzas de inercia a las de presin. Relacin de las fuerzas de inercia a las viscosas. Relacin de las fuerzas de inercia a las gravitatorias. Relacin de las fuerzas de inercia a las elsticas. Relacin de las fuerzas de inercia a la de tensin superficial. Relacin de tiempos. Captulo6FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Introduccin.Flujodefluidos.Flujopermanente.Flujouniforme.Lneasde corriente. Tubos de corriente. Ecuacin de continuidad. Red de corriente. Ecuacin delaenerga.Alturadevelocidad.AplicacindelteoremadeBernoul-li.Lneade energas o de alturas totales. Lnea de alturas piezomtricas. Potencia. Pginas 1 Captulo 7FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERAS. Introduccin.Flujolaminar.Velocidadcrtica.NmerodeReynolds.Flujo turbulento.Tensincortanteenlapareddeunatubera.Distribucinde velocidades.Prdida de carga en flujo laminar. FrmuladeDarcy-Weisbach. Coeficiente de friccin. Otras prdidas de carga. Captulo8SISTEMAS DE TUBERAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115 Sistemas de tubejas. Sistemas de tuberas equivalentes. Sistemas de tuberas compuestas o en serie, en paralelo y ramificadas. Mtodos de resolucin. Frmula de Hazen-Williams. Captulo 9 MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133 Introduccin. Tubo de Pitot. Coeficiente de descarga. Coeficiente de velocidad. Coeficiente de contraccin. Prdida de carga. Vertederos de aforo. Frmula terica de un vertedero. Frmula de Francis. Frmula de Banzin. Frmula de Fteley y Stearns. Frmula del vertedero triangular. La frmula del vertedero trapezoidal. Para presas empleadas como vertederos. E! tiempo de vaciado de depsitos. El tiempo para establecer el flujo. \ Captulo 10 FLUJO EN CANALES ABIERTOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160 Canal abierto. Flujo uniforme y permanente. Flujo no uniforme. Flujo laminar. LafrmuladeChezy.ElcoeficienteC.ElcaudalQ.Laprdidadecarga. Distribucinverticaldelavelocidad.Energaespecfica.Profundidadcrtica. Caudal unitario mximo. En canales no rectangulares y para un flujo critico. Flujonouniforme.Losvertederosdeaforodeparedgruesa.Resaltohi-drulico. Captulo// FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Introduccin.Elprincipiodeimpulso-canidaddemovimiento.Elcoeficientede correccin de la cantidad de movimiento. Resistencia. Sustentacin. Resistencia total. Coeficientes de resistencia. Coeficientes de sustentacin. Nmero de Mach. Teora de la capa lmite. Placas planas. Golpe de ariete. Velocidades supersnicas. Captulo12MAQUINARIA HIDRULICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Maquinaria hidrulica. En el caso de rodetes. Ruedas hidrulicas, bombas y soplantes. Velocidadespecfica.Rendimiento.Cavitacin.Propulsinporhlices.Los coeficientes de la hlice. TABLA DE MATERIASPginas 96 192 TABLA DE MATERIAS Tabla 1.Propiedades aproximadas de algunos gases.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 2.Densidad relativa y viscosidad cinemtica de algunos lquidos. . . . . . . 247 3.Coeficiente de friccin / para agua solamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 4.Prdidas de carga en accesorios.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 5.Valores de K*. Contracciones y ensanchamientos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 6.Algunos valores del coeficiente Cl de Hazen-Williams. . . . . . . . . . . . . . 250 7.Coeficientes de desage para orificios circulares de arista viva.. . . . . . 251 8.Algunos factores de expansin Y para flujo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 9.Algunos valores medios de n empleados en las frmulas de Kutter y de Manning y de m en la frmula de Bazin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 10.Valores de C de la frmula de Kutter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 11.Valores del factor de descarga K para canales trapezoidales. . . . . . . . . 254 12.Valores del factor de descarga K' para canales trapezoidales. . . . . . . . 255 13.reas, de crculos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..256 14.Pesos y dimensiones de tuberas de fundicin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Diagrama de Moody para coeficientes de friccin f. . . . . . . . . . 257 Diagrama de Moody modificado para coeficientes de friccin / (solucin directa para el flujo Q). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Nomograma de caudales, frmula de Hazen-Williams (C\ = 100).259 Coeficiente para orificios medidores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Coeficientes para boquillas de aforo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Coeficientes para venturmetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Coeficiente de resistencia en funcin de RE. . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Coeficientes de resistencia para placas planas y lisas.. . . . . . . . . 264 Coeficientes de resistencia a velocidades supersnicas. . . . . . . . . 265 NDICE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .267 APNDICES PginasDIAGRAMAS Diagramas A-l. A-2. B. C. 1D. E. F. G. H. Captulo1Propiedadesdelos fluidosLAMECANICADELOSFLUIDOSYLAHIDRAULICALaramadelamecnicaaplicadaqueestudiael comportamientodelosfluidosyaseaenreposoo en movimiento constituye la mecnica de los fluidos y la hidrulica. En el desarrollo de los principiosde lamecnica de losfluidosalgunas de las propiedades de los fluidos juegan un papelpreponderante,mientras que otras o influyen muy poco o nada. En la esttica de los fluidos,el peso especfico es la pro-piedadimportante, mientrasqueenel flujodefluidosladensidadylaviscosidadsonlasquepredo-minan. Cuandotienelugar unacompresibilidadapreciablees necesarioconsiderar losprincipiosdelatermodinmica. Al intervenirpresionesmanomtricasnegativaslatensindevaporpasaaserim-portante y latensinsuperficial afecta ala esttica o cinemtica de los fluidoscuando lassecciones depaso sonpequeas.DEFINICIONDEFLUIDOLos fluidos son sustancias capaces de fluir y quese adaptan a la forma de los recipientes que loscontienen. Cuando estnenequilibrio, los fluidosno pueden soportar fuerzastangenciales o cortantes.Todoslosfluidossoncompresibles enciertogradoy ofrecenpocaresistenciaaloscambiosdeforma.Losfluidospuedendividirseenlquidosy gases. Lasdiferenciasesencialesentrlquidosy gasesson (a) los lquidos son prcticamente incompresibles y los gases son compresibles, por lo que en muchasocasioneshayquetratarloscomotalesy(b)loslquidosocupanunvolumendefinidoytienensuper-ficies libres mientras que un:.l masa dada de gas se expansiona hasta ocupar todas las partes del recipienteque locontenga.SISTEMATECNICODEUNIDADESLasmagnitudesfundamentalesseleccionadassonlalongitud, fuerzay tiempo. Lastresunidadesfundamentalescorrespondientes sonel metro para la longitud, el kilogramo fuerza(o kilogramopeso)yel segundo.Las otras unidades pueden deducirse a partir de stas. As, la unidad de volumen es el m3,la unidad de la aceleracin el m/seg2,la de trabajo el kgm y la unidad de presin el kg/m2 Algunos datospuedenvenir dadosenotrasunidades y deben convertirse al sistemametro-kilogramofuerza-segundoantes de aplicarlos a la solucinde los problemas.La unidad demasa en este sistema, laUTM(unidadtcnicade masa), se establece apartir delasunidades de fuerza y de aceleracin. Para un cuerpo que cae en el vaco la aceleracin a que est some-tidoesladelagravedad (g=9;81 m/seg2al nivel del mar)ylanicafuerzaqueactaessupeso.Apartir del segundoprincipiode Newton,fuerza en kg=masa en UTMxaceleracinen m/seg2De aquopesoen kg=masaen UTMxg(9,81 m/seg2)UTM__ peso Wen kgmasa Meng(9,81 m/seg2)(1)SI2PESOESPECIFICOPROPIEDADES DELOS FLUIDOS [CAP. IEl pesoespecficow deunasustanciaesel pesodelaunidaddevolumendedichasustancia. Enloslquidos, wpuedeconsiderarseconstanteparalasvariacionesordinariasdepresin. El pesoespe-cficodel aguaparalastemperaturasmscomunesesde1000kg/m3. Vaseel Apndice, Tablas l(C)y2, para valores adicionales. 'Lospesosespecficosdelosgasespuedencalcularsemediantelaecuacindeestadodelos gasesoo R.(1eyesdeCharles y Boyle) (2)donde p es lapresin absoluta enkg/mz, Vs elvolumen especfico ovolumen ocupado por launidad depesoenm3/kg, Tlatemperaturaabsoluta engradosKelvin(OK=oC +273)YRlaconstantedel gasen mOK. Como w =l/vs' la ecuacin anterior puede escribirsePRT(8)DENSIDADDEUNCUERPOp(ro) =masa por unidadde volumen=w/g.En el sistema tcnico de unidades, la densidad del agua es 1000/9,80665=101,972 102) UTM/m3okgsegZ/m4Enel sistema cgsladensidaddel aguaes1 g/cm3a4C. VaseApndice, Tabla l(C).DENSIDADRELATIVADEUNCUERPOLa densidadrelativadeuncuerpoesunnmeroadimensionalqueviene dadopor larelacindelpeso del cuerpo al peso de un volumen igual de una sustancia que se toma como referencia. Los slidosylquidosse refierenal aguaa4C, mientrasquelosgasesserefierenal airelibre deCOze hidrge-noa 0 C yAtmde presin, comocondiciones normales. Por ejemplo,.. . peso dela sustanciadensIdadrelatIvadeunasustancIa= .d'lidpeso e gua va umen e aguapesoespecficodelasustanciapeso especfico del agua(4)As, si la densidadrelativa de un aceite es 0,750 su peso especfico ser 0,750(1000 kg/m3) =750 kg/m3La densidadrelativa del agua es1,00 y la del mercurio13,57. La densidad relativa de una sustanciavienedada por el mismonmeroencualquier sistemade unidades. Vase Apndice, Tabla2.VISCOSIDADDEUNFLUIDOLa viscosidad de un fluido es aquella propiedadquedeterminalacantidadde resistencia opuestaa lasfuerzas cortantes. La viscosidadse debeprimordialmen-te a las interacciones entre las molculas del fluido.ConreferenciaalaFig. 1-1, se consideran dospla-cas planas y paralelas de grandes dimensiones, separadasuna pequea distancia y, yconel espacio entre ellasllenodeunfluido. Sesuponequelaplacasuperior semueveaunavelocidad constanteUalactuarsobre ela Fig.l-lSI1] PROPIEDADES DELOS FLUIDOS 3una fuerzaF, tambinconstante. El fluidoen contacto conlaplacamvilseadhierea ellamovindo-a la misma velocidadU, mientras queel fluidoen contacto conlaplacafijapermanecer enreposo.,:Si la separacin y y la velocidad U no son muy grandes, la variacin de las velocidades (gradiente) vendrdada porunalnearecta. LaexperienciahademostradoquelafuerzaFvaraconel readelaplaca, la velocidadU e inversamente con la separacin y. Como por tringulos semejantes, U/y=dV/dy,.tenemosFAVex:ydVA-dyoFATdVex:dy;donde; =F/A=tensinoesfuerzocortante. Al introducirlaconstantedeproporcionalidad/l (mi),llamada viscosidadabsoluta o dinmica,dVfJ-dyoTdV/dy(.5). kgseg kg/m2kg segLasumdadesde /l son --2-' yaque (/ )/ = --2-' Losfluidos quesiguenlarelacin(5)sem m seg m m.llaman fluidos newtonianos (vase Problema 9).Otrocoeficiente de viscosidad, lIamado viscosidadcinemtica, vienedefinido por(.) viscosidad absoluta /lviscosidad cinemtica v m = densidad,)v!::fJ fJg(6)p w/g wm2(kgseg/m2)(m/seg2) m2Las unidades de v son -,ya quekg/m3seg segLasviscosidadesenlosmanualesvienendadasnormalmenteen poisesy stokes(unidadesdel sis-tema cgs) y en ocasiones engrados osegundos Saybolt, apartirdemedidas en viscosmetros. AlgunasGonversionesdeunsistemaaotrodeunidadessedanenlosProblemas6-8. EnlasTablas1 y2 delApndice se danalgunos valores de viscosidades.En loslquidos laviscosidaddisminuyeal aumentarlatemperatura, peronoseve.afectadaapre-ciablementeporlasvariacionesdepresin. Laviscosidadabsolutadelosgassaumentaal aumentarla temperatura, pero casi no vara con la presin. Como el peso especfico de los gases vara con la presin(a temperatura constante), la viscosidad cinemtica es inversamente proporcional a la presin. Sin em-pargo, de laecuacinanterior, /lg=wv.PRESIONDEVAPORCuando tiene lugar el fenmeno de la evaporacin dentro de un espacio cerrado, la presin parcialquedan lugarlasmolculasdevaporselIamapresindevapor. Laspresionesdevapordependendelatemperatura, aumentandoconella. EnlaTablal(C) sedanvaloresparaelagua.fENSIONSUPERFICIALUna molcula en elinterior de un lquido est sometida a la accindefuerzasatractivas entodaslas direcciones, siendolaresultantenula. Perosi lamolculaest enlasuperficiedel lquido, sufre lade un conjunto de fuerzasde cohesin, cuya resultante es perpendicular a la superficie. De aqu seanecesarioconsumirciertotrabajoparamover lasmolculashacialasuperficievenciendola de estas fuerzas, por lo que las molculas superficiales tienen ms energa que las interiores.La tensinsuperficial de unlquidoesel trabajoquedeberealizarse para llevar molculas en n-merosuficientedesdeelinterior del lquidohasta la superficiepara crearunanueva unidaddesuper-S I4 PROPIEDADESDELOS FLUIDOS [CAP. Ificie(kgm/m2). Estetrabajoesnumricamenteigual alafuerzatangencial decontraccin queactuarasobre una lnea hipotticade longitud unidad situadaenla superficie (kg/m).Enlamayoradelos problemas presentadosenlas mecnicasdefluidoselementaleslatensinsuperficial no es de particular importancia. En la Tabla 1(C) se dan valores de la tensin superficial(J (sig-ma) para el agua encontactoconel aire.CAPILARIDADLaelevacino descensodeunlquidoenuntubocapilar(oensituaciones fisicasanl.ogas, talescomoenmediosporosos)vienenproducidosporlatensinsuperficial, dependiendodelasmagnitu-des relativas de la cohesin del lquido y de la adhesin dellquido a las paredes deltubo. Los lquidosascienden en tubos que mojan(adhesin>cohesin) y descienden en tubos alos queno mojan(cohe-sin>adhesin). Lacapilaridadtieneimportanciaentubos dedimetros aproximadamente meno-res de 10mm. .PRESIONDEUNFLUIDOLa presin de un fluidose transmite conigual intensidad entodas las direccionesy acta normal-mente acualquIer superficieplana. En el mismo planohorizontal, el valor de la presinenun lquidoesigual encualquierpunto. Lasmedidasdepresinserealizanconlosmanmetros, quepuedenserde diversas formas. De noadvertir lo contrario, a travs de todoel libro las presiones sern las presio-nesrelativasomanomtricas. Lapresinmanomtricarepresentael valordelapresinconrelacinala presinatmosfrica.ILAPRESION v n ~ expresada por una fuerza dividida por una superficie. Engeneral,2 dP(kg)p (kg/m) =dA (m2 )Cuandola fuerza Pacta uniformementedistribuida sobre una superficie, tenemos2 P(kg)p (kg/m) =A (m2 )DIFERENCIADEPRESIONESyLadiferenciadepresionesentredospuntosadistintosnivelesenunlquidovienedadapt>.enkg/m2(7)donde w =peso especfico de lquido (kg/m3) yh2- h =diferencia en elevacin (m).Si el punto1 est enla superficie libre del lquido y hespositiva haciaabajo, la ecuacin anteriorse transforma enp=whPara obtener la presinen kg/cm2,[en kg/m2(man)] (8)[en kg/cm2(man)] (9)Estas ecuacionessonaplicables entantoque wsemantengaconstante (ovara tanligeramentecon h, que no introduzca un error significativo en el resultado).SICAP. 1J PROPIEDADESDELOS FLUIDOS 5VARIACIONESDELAPRESIONENUNFLUIDOCOMPRESIBLELas variaciones depresin en un fluidocompresible son, por logeneral, muypequeas ya quelospesosespecficossonpequeos, comotambinlosonlasdiferenciasenelevacinconsideradasenlamayoradelosclculos enla hidrulica. Cuandosehandetener encuentaparapequeas diferenciasenelevacindh, laleydevariacindelapresinpuedeescribirseenlaformadp=-w dh (10)El signonegativoindicaquela presindisminuyeal aumentarlaaltitud, conhpositivahaciaarriba.Enlos Problemas 29-31 se dan aplicaciones de esta frmula.ALTURAOCARGADEPRESIONhLa altura de presin h representa la altura de una columna de fluidohomogneo que d la presindada. As'. p (kg/m2)h (mde flUIdo) =w(kg/m3 )MODULOVOLUMETRICODEELASTICIDAD(E)(11)El mdulovolumtricodeelasticidadexpresalacompresibilidaddeunfluido. Eslarelacindelavariacindepresin alavariacinde volumenpor unidaddevolumen.(12)COMPRESIONDELOSGASESLacompresindelosgases puedetener lugardeacuerdocondiversasleyesdetermodinmica.Parala misma masa de gas sujeta a dos estados diferentes,WR y =R (13)donde p=presinabsoluta en kg/m2, v =volumenenm3, W=pesoen kg,w= pesoespecfico enkg/m3, R= constante del gas en mOK,T=temperatura absoluta engrados Kelvin (OC +273).PARACONDICIONESISOTERMICAS(temperaturaconstante)laexpresinanterior(13)setrans-formaenyWWzconstante (14)Tambin Mdulo volumtrico E=P(en kg/m2) (15 )PARACONDICIONESADIABATICASOISOENTROPICAS(sin intercambio de calor) las ex-:'presiones anteriores se convierten' eny constante (16)SI6TambinyPROPIEDADES DELOS FLUIDOSMdulovolumtrico E=kp (enkg/m2)[CAP. 1(17)(18)donde kes la relacin de calores especficos a presin constante y a volumen constante. Se le llama tam-binexponente adiabtico.La Tablal(A) del ApndicedaalgunosvalorestpicosdeR y k. Paramuchosgases,el productode Rpor el ~ s molecular es aproximadamente 848.PERTURBACIONESENLAPRESIONCualquier perturbacin enlapresin deunfluidosepropaga en formadeondas. Estasondas depresin semueven auna velocidadigual a la de propagacin del sonido atravs delfluido. Laveloci-dadde propagacinoceleridad, enm/seg, vienedada pore=VE/ pdonde Eviene medidoen kg/m2 Para los gases, la velocidadde sonidoesProblemas resueltos(19)(20)1. Calcularel peso especfico w, el volumen especficoD. y la densidad p del metano a 38 C y 8,50 kg/cm2de presinabsoluta.Solucin:De laTabla I(A) del Apndice, R= 53.p 8,5 X 104Pesoespecfico w =RT =53(273 +38) =5,16kg/m3. l lVolumenespecIfico Vs=- =- =0,194m3/kgw 5,16. w 5,16Densidad p=- =- =0,527 UTM/m3g 9,812. Si 6 m3deunaceite pesan5080 kg, calcular supeso especficow, densidadpy densidadrelativa.Solucin:5080kgPesoespecficow= --3- = 848 kg/m36mw 848 kg/m3Densidadp = - = 2 = 86;5 UTM/m3g 9,81m/segD'd di' Wac848ensl a re atlva=- = ~ =0,848wag100S ICAP. 1] PROPIEDADESDELOS FLUIDOS 73. A 32 C y 2,10 kgjcm2, el volumen especficoVs de cierto gas es 0,71m3/kg. Determinar la constan-te del gas Rysu densidad p.Solucin:Como w R= L = pvs= = 688RT wT T 273 +32 ' .D'd d w I/vs 1 1enSI a p= - = - = - = --.----= 0,1436 UTM/m3g g vs g 0,71 x 9,814. (a) Determinar la variacin de volumen de 1 m3de agua a 27 C al aumentar la presin en 21 kg/cm2(b) Apartir delos siguientesdatos experimentales determinar el mdulode elasticidad volum-trico del agua: a 35 kg/cm2el volumen era de 30dm3ya 250kg/cm2de 29,70 dm3.Solucin:(a) De la Tabla tiC) del Apndice, Ea 2rCes de 22,90 x 103kg/cm2. Mediante la frmula (12),v dp' 1x 21 X 104dv= --- = = -915x 10-4m3E 22,9 x 107'(b) La definicin asociada con la frmul(12) indica que las variaciones correspondientes en la presin y volumensonlasquedebenconsiderarseenlafrmula. Deaqu, unaumentoenlapresinsecorrespondeconunadisminucinde volumen. .E=dp'dv/v(250- 35) x 104

2150 x 107kg/m2(29,70- 30) x 103/30; 103= ,S. Un cilindro contiene356 dm3de airea49Cy unapresin absoluta de 2,80 kg/cm.l. Se comprimeelairehasta70 dm3. (a)Suponiendo condiciones isotrmicas, cules lapresin en el nuevovolu-menycul el mdulodeelasticidad volumtrico? (b) Al suponer condiciones adiabticas, cules lapresinfinal, la temperaturafinal yel mdulode elasticidadvolumtrico?Solucin:(a) Paracondiciones isotrmicas,De aqu, 2,80x 104X 0,356= p; x 104x0,070El mdulo volumtrico E = p'=14,20kg/cm2y p = 14,20 kg/cm2(ab)(b) Paracondiciones adiabticas, =y la Tabla I(A) del Apndiceda k=1,40. De aqu,yp = 27,22 kg/cm2(ab).La temperatura final se obtienea partir de laecuacin (17):T2= (PI )(k-1l1k --'!2._= (27,22 ),40/ 1,40 T2= 616" K= 3430 CTI P2 ' 273+ 49 2,80 'El mdulovolumtrico E= kp' = 1,40 x 27,22 = 38,10kg/cm26. De las International Critical Tables,la viscosidad del agua: a200Ces 0,01008poises. Calcular(a) laviscosidad absoluta en kg segjm2 (b)Si la densidadrelativaa200Ces 0,998,calcular el valor de laviscosidad cinemtica en m2/seg.Solucin:El poise est medido endinasseg/cm2.Como1 kg= 9,81 X 105dinasy1 m= 100. cm, obtenemoskgseg 9,81 x 105dinas seg .1 --2-= 4 2 = 98,1 pOlsesm 10 cmSI8 PROPIEDADESDELOSFLUIDOS[CAP. 1(a) JI enkgseg/m2= 0,01008/98,1= 10,28x 10- s2 JI JI Jlg 10,28 x lO-s x 9,81(b) v enm/seg = p=w/g = -; =7 0,998'x 1000 =1,01x lO-s7. Hallar la viscosidad cinemtica de un lquido cuya viscosidad absoluta es de15,14 poises y su den-sidadrelat..tva 0,964dandoel resultadoenm2jseg.Solucin:Procediendocomoen el Problema6,'.'15,14x 9,81v=-----98,1 x 9641,57 X 10-3m2/seg.8. Convertir una viscosidad de510 segundos Saybolt a15,5 C en viscosidad cinemtica venm2jseg.Solucin:Cuandoparala determinacin se ha utilizado un viscosmetro universalSaybolt, para la conversin se utili-za unodelos dos grupos de frmulas siguientes:(a) para t100, JI enpoises =(0,00226t - 1,95/t) xdensidad relativaparat>100, JI enpoises =(0,00220t - 1,35/t) xdensidad relativa(b) para t100, venstokes =(0,00226t - 1,95/t)para t>100, venstokes =(0,00220t - 1,35/t)Mediante el segundogrupo (b) de frmulas, ya que t >dondet midelos segundosSaybolt. Para convertir stokes(cm2/seg)enm2/seg soloesnecesariodividir por 1041,35100, v = (0,00220x510- -) x510= 1,1194x 10-4m2/seg.Fig.I-2SOLIDORIGIDOIDEALSOLIDOREALt

';:1jdV/dy5 FLUIDONEWTONIANO! Gradiente de velocidades dV d(b) Enunfluido ideallaresistencia aladeforma-cincortanteotangencial esnula, deaqu quesugrfica coincida con el eje deabscisas. Aunquelosfluidos ideales noexisten, enciertos anlisis estjustificada y es tillahiptesis de fluidoideal.(e) Paraunslidorgidoideal no haydeformacinbajoningnestado decarga,y la grfica coincide con eleje ydeordenadas. Los slidos reales sufren siempre alguna deformaciny, dentro dellmite de proporcio-nalidad (leyde Hooke), la grfica es una lnea recta casi vertical.Estudiar las caractersticas de velocidaddede-formacinbajoesfuerzocortante, queserepre-sentanpara diversostiposdefluidosen la Figu-ra 12.

(a) Los fluidosnewtonianosse comportan deacuerdocon la ley, = JI(dV/dy), o bien que latensin cor-tantees proporcional al gradientedevelocidadeso velocidaddedeformacintangencial. Portanto,paraestos fluidos, lagrfica de latensin cortanteen funcin del gradiente de velocidades es una lnearectaquepasapor el origen. La pendiente deestarectadetermina la viscosidad.9.(d) Los fluidosnonewtonianosse deformande manera quelatensin cortantenoesproporcional alaveloci-dad de deformacintangencial, excepto quiz a tensiones cortantes muy pequeas. La deformacin de estosfluidos pudieraclasificarsecomoplstica.(e) Losmaterialesplsticos' idealespuedensoportar ciertacantidaddeesfuerzocortantesindeformarse, y ,a partir de uncierto valor deaqul se deformanconuna velocidadproporcional a la tensin cortante.SICAP. 1]PROPIEDADES DELOS FLUIDOS910. Conreferencia alaFig. 1-3, el fluidotiene unaviscosidadabsolutade4,88 x 10-3 kgseg/m2yuna densidad relativade 0,913. Calcular elgradiente de velocidades y el mdulo de latensincortante en el contorno y en los pun-tos situados a 25 mm, 50mmy 75 mmdelcontorno, suponiendo (a) una distribucindevelocidadeslinealy(b)unadistribucindevelocidades parablica. La parbolaenel di-bujotienesuvrtice enA. El origenestenB.Solucin:(a) Paralahiptesisdedistribucinlineal, la re-lacinentre la velocidad y la distancia y esV= 15y. Deaqu dV= 15 dy, Yel gradientede velocidades es dV/dy = 15.Paray=0, V=0, dV/dy=15seg-Iyt = ..(dV/dy) = 4,88 x 10-3x1,125 m/seg--:iFig.I-315 =7,32 x 10-2kg/m2Anlogamente, para los otros valores de y, tambin se obtiene t = 7,32 X 10-2kg/m2.(b) Laecuacindelaparbola debesatisfacerla condicindequelavelocidadseacero enel contornoB. Laecuacindelaparbolaes V= 1,125- 200(0,075- y)2. LuegodV/dy = 400(0,075- y)ylatabulacinde los resultados conduce a lo siguiente:y X 103V dV/dyt -4,88 x 10-3(dV/dy) 30 0,1464 kg/m225 0,625 20 0,0976 kg/m250 1,000 10 0,0488kg/m275 1,125 Seobservarqueenlospuntosenqueel gradientedevelocidadesesnulo(cosaqueocurreenel ejede las tuberas en conduccin forzada, como se ver ms adelante) la tensincortante es cero.Lasunidadesdel gradiente develocidadessonseg-1yel producto..(dV/dy) =(kgseg/m2)(seg- 1) =kg/m2, dimensiones correctas de la tensincortante t.11. Uncilindrode12cmderadiogiraconcqtricamente enel interiordeuncilindrofijode12,6 cmde radio. Ambos cilindrostienenunalongitudde30 cm. Determinar la viscosidaddellquidoquellena el espacio entre los cilindros, si se necesita unpar de 9,0 cmkg paramantener unavelocidadangular de 60 revoluciones por minuto.Solucin:(a) El par setransmitealcilindro exterior atravs dela capade fluido. Comoel espaciado entrelos cilindroses pequeo, los clculos pueden realizarse sin integracin.Velocidad tangencial del cilindro interior = rw (0,12 m)(2n rad/seg) = 0,755 m/seg.Enel pequeoespacioentreloscilindrospuedesuponerselineal el gradientedevelocidadesyutilizarel radio medio. As, dV/dy = 0,755/(0,120- 0,126) = 125,8 (m/seg)/moseg-1Par aplicado= parresistente0,09=t(rea)(brazo)=t(2n x0,123 x0,30)(0,123) y r =3,15kg/m2.De aqu, .. =t/(dV/dy)=3,15/125,7=0,02500kgseg/m2SI10PROPIEDADES DELOS FLUIDOS [CAP. 1(b) En un mtodomatemtico ms exacto se utiliza el clculo como sigue:Como antes, 0,09=r(2rrr x0,30)r, de donde r =0,0476/r2.dV r 0,0476 . .Ahora bien, - = - = dondelasvanablessonlavelocidad Vy el radior. Lavelocidadesdy J.l Wceroen el radio mayor e igual a 0,755 m/segenel radio menor.Ordenandolaexpresinanteriorysustituyendo-drpordy (el signomenosindicaquer disminuyecuandoy aumenta), se obtieneVin 0,0476fo.120-drdV= -- --VexJ.l 1,126 r1y_ _ 0,0476 VinVex-J.l r 0,126Por tanto,0,0476 1 1(O 755- O) - --) de donde J.l =0,02500kgseg/m2., J.l 0,120 0,126'12. Demostrarquelapresinenunpuntoeslamismaentodas las direcciones.Solucin:Considrese un pequeo prisma triangular de liquido enreposo, bajolaaccindel fluidoquelorodea. Losvaloresme-diosdelapresinsobrelastres superficiessonPI' P2YP3' Enladireccinz, lasfuerzassonigualesy opuestasy seanulanen-treellas.Sumando las fuerzas en las direcciones x ey seobtieneLX =0, P2- P3senO= o P2(dy dz) - P3(ds dz) sen e= LY= 0, PI - P3COS 0-dW= o PI (dx dz) - P3(ds dz) cos (J - w(! dx dy dz) = Fig.1-4yComo dy=ds sen O y d-r = cos (J, las ecuaciones se reducena las siguientes:P2dy dz - P3dy dz = o P2= P3PI dx dz - P3 dx dz- w(! dx dy dz) = o PI - P3 - w(! dy) = (1)(2)Cuandoel prismatiendeacontraersesobreunpunto, dytiendeaceroenel limite, y lapresinmediase.vuelveuniforme enlasuperficie quetiendea cero y queda definidalapresin enunpunto. Portanto, al ponerdy= en la ecuacin (2) se obtienePI =P3 Y de aqu PI =P2 =P3' .13. Deducir la expresin (P2 - p)=w(h2 - h}.Solucin:ConsidreseunaporcindeliquidoAB(Fig. 1-5) comouncuerpolibredeseccinrectatransversal dAquesemantieneenequilibriobajolaaccinde su propiopesoylaaccinde lasotras partculas de liquido sobre el cuerpo AB.EnAlafuerzaqueactaes PI dA(lapresin enkg/m1porel reaenm2); enBesP2dA. El pesodel cuerpolibreABesW= wv = wL dA. Las otrasfuerzasque actan sobre el cuerpolibreABsonnormalesasuslados, delasquesemuestransolounas pocas enla figura. Al establecer LX= 0, dichas fuerzasnormalesnoesnecesarioconsiderarlasenlaecuacin. Porcon-siguiente,P1 dA- PI dA- w L dA sen0= Fig.1-5Como Lsen0=h2 - hl, laecuacin anterior se reduce a (P2 - p) = w(h2 - hj.SI:AP. 1] PROPIEDADESDELOSFLUIDOS 1114. Determinarlapresinenkgjcm2sobreunasuperficiesumergidaa6mdeprofundidadenunamasade agua.Solucin:Utilizando el valor medio de 1000 kgjm3para w,wh 1000x 6p' = - = =060kgjcm2(man)104104'15. Determinar lapresinenkgjcm2auna profundidadde9menunaceitededensidadrelativade 0,750.Solucin:, = wh =(0,750 x 1000)9 =0675 kg/cm2 (man)p 104104'16. Encontrar la presin absoluta en kgjcm2en el Problema14 si la lectura baromtrica es de 75,6 cmde mercurio (densidad relativa 13,57).Solucin:Presinabsoluta= presin atmosfrica +presin debida a los 6mde agua(13,57 x 1000)(0,756) 1000x6= 104+ 104= 1,628 kg/cm2(ab)17. Aqude un aceite, de densidad relativa 0,750, se producir una presin de2,80kgjcm2?Acul si el lquidoes agua?Solucin:p 2,80 X 104hac = Wac=0,750 x 1000 =37,30m,p 2,80 X .104hag=Wag= 1000 =28,00m18. (a) Convertir una altura de presin de 5 m de agua en altura de aceite, de densidad relativa 0,750.(b) Convertir unaalturadepresinde60 cm demercurioen altura deaceite, dedensidadrela-tiva0,750.Solucin:hag5(a) h = = -- =633 mac den. rel. aceite 0,750 '(b) h = hagac den. rel. aceite13,57 x 0,600,750 = 10,85m2)06roan, P. almos. normal = 1.1)33A(PRESIONES EN kg T1I 2.817man).85abe..., \.. P. atms. reinante 1.0141.0))abceroabsI / - 1.0))manot -1.014man-Fig. }-6-- 0.544man - 0.563man---.L.-+-B 0.47ab+eaoabsoluto .JivaciIOlal)r 119. Preparar un grfico de forma quepuedan compararsefcilmentelaspre-siones manomtricas (man) y absolutas(ab)conlaslimitacionesqueseharnnotar.Solucin:Sea Aunpunto, Fig. 1-6, aunapresinabsolutade3,85kgjcm2 Lapresinmano-mtrica dependerdelapresinatmosfricareinante. Si tal presin es la atmosfricanor-mal al nivel del mar (1,033kgjcm2), la' pre-sinmanomtricaen Aser 3,850- 1,033= 2,817 kgjcm1.La lectura baromtrica mscorriente equivale a una presin de 1,014kgjcm2, conloquelapresinmanomtricaobtenida sera 3,850- 1,014= 2,836 kgjcm2(man).S I12 PROPIEDADESDELOSFLUIDOS [CAP.Sea B un punto a una presin absoluta de0,47kgJcm2 Este valor viene representado grficamente por d(bajodelapresinatmosfricanormal 1,033kg/cm2y lapresinmanomtricaparaBser0,470- 1,033=- 0,563kg/cm2(man). Si lapresin atmosfricareinante es de1,014 kgJcm2, la presin manomtrica para estvalor ser0,470- 1,014= -0,544kgJcm2(man).Sea e un punto a una presin absoluta igual a cero. Esta condicin es equivalente auna presin manomtrica normal negativa de -1,033kg/cm2yaunapresin manomtrica,representativa del valor ms corripnte, de -1,014kgJcm2Lasconclusionesquesepuedensacarsonimportantes. Laspresionesmanomtricasnegativasnopuederexceder de un lmite terico de la presin manomtrica reinante o delvalor normal de-1,033 kgJcm2 Las presiones absolutas no pueden tomar valores negativos.20. Con referencia a la Fig. 1-7, las reas del pistn Aydel cilindroBson, respectivamente, de40y4000 cm2y B pesa 4000 kg. Los depsitos y lasconducciones de conexin estn llenos de aceitede densidadrelativa 0,750. CuleslafuerzaPnecesariaparamantenerel equilibriosi sedes-precia el pesode A?Solucin:Se determina primero la presin que acta so-bre A.LomoXLy XRestnalmismonivel enla mis-ma masade lquido, se tieneFig.l.7presinen XL enkgJcm2= presinen XRen kgJcm2o.. b' A . . db'd I 5 d . pesode BpreSlOn aJo +preslOn e I a a os m eaceIte= =-, ~area de BSustituyendo, wh 4000kgPA+104= 4000cm2750x5 ~ +~ kg/cm2= 1,0kgJcm2y ~ = 0,625 kg/cm2Euerza P =presin uniforme xrea=0,625 kgJcm2x40cm2=25,0 kg.D _3,80me 3,00 mB21. Determinar lapresinmanomtrica enAenkg/cm2debidaa la columna de mercurio(den. rel. 13,57) en el manmetroen Umostradoen la Figura 1-8.Solucin:B y e estn al mismonively en elmismolquido, el mercurio;por tanto, podemos igualar laspresiones enB.y e enkg/m2(man).PresinenB= presinen ePA +wh (para el agua) = PD +wh (parael mercurio)PA+1000(3,60- 3,00) = O+(13,57 x 1000)(3,80- 3,00)Al despejar,PA=10.256 kg/m2yp ~ =10.256/104=1,0256 kgJcm2(man).Otroprocedimientode resolucinconsisteenemplear lasal-turas de presin en metros de agua,lo que conduce por lo general amenos operaciones aritmticas, como se ve a continuacin:Alturade presinen B= altura de presinen e Fig.l.8PA/W +0,60mde agua= 0,80x 13,57mde aguaAl despejarPA/W=10,256mdeaguay p ~ =(1000 X 10,256)/104=1,0256kgJcm2(man), comoantes.SI:AP 1] PROPIEDADESDELOSFLUIDOS 13t2. Aceite dedensidadrelativa 0,750 estfluyendoatravsdelaboquilla mostrada en laFig. 1-9y "desequilibrala columna de mercuriodel manmetro enU. Determinar el valor deh si lapresinenA de 1,40. kgjcm2 . .Solucin:PresinenB= presinene, wh. who, al utilizar como unidad kgjcm2, PA +104(aceite) = Po +104(mercurio)140 (0,750x1000)(0,825 + h) = (13,57x 1000)h, + i04104Otromtodo:Al utilizar ahoracomo unidadla altura de presinenmde agua,y h= 1,14mAlturade presinenB= alturade presinen e1 40 X 104, 1000 - (0,825- h)O,750= 13,57h y h= 1,14m, comoantes0,825 mAire3,38 m;---0::01I-- Dht BFig.t-9eFig.II03,00 mLiquido BDr 1,6013. ParaunapresinmanomtricaenAde - O, 11 kg/cm2, encontrarladensidadrelativa(Dr)dellquidomanomtrico Bdela Figura 1-10.Solucin:o, enkgjm2,Presinen e= presinen DPA- wh= PD-0,11 X 104+(1,60x 1000)0,45= PD= -380kgjm2Ahorabien,PG =PD =-380kg/m2, yaqueel pesodelos0,68mdeairepuedendespreciarsesinerrorapreciable. AdemsPE =PF =O en kgjm2(man).oPor tanto, presin en G= presin enE- presin de(3,38- 3,00) m dellquido manomtricoPG= PE- (Dr x 1000)(3,38- 3,00)-380= 0-(Dr x 1000)0,38 y Dr = 1,00SI14PROPIEDADESDELOS FLUIDOS[CAP. Iy h= 2,57 m.Para lacolumna E:Deaqu, la elevacin deLser15,00- 2,57= 12,43 m.E F GAireFig.l-llEl. 20In_ A-LD h. El. 4InTePK= PLPH +wh= O-0,18 X 104+(0,700x 1000)h= Oobienen kg/m2(man)Por tanto,24. Para una lecturamanomtricaenAde -0,18kg/cm2, determinar(a) la elevacin en las ramasabiertas delos piezmetros E, F YG Y(b) la lec-turadel manmetro enUdemercurio delaFi-gura 1-11.Solucin:(a) Como el peso especfico del aire (aproximada-mente 1,28 kgjm3) es muypequeocomparadoconel deloslquidos, lapresinenlaelevacinde15 m puede considerarse igual a-0,18 kgjcm2sin introducir error apreciable en los clculos.Supuesta la elevacinde L, como la mos-trada, se tieneParala columna F:Presinen El. 12m= presin en El. 15m +presindel lquidode Dr 0,7008(0,700x 1000)(15- 12) OO k 2= -O 1 + -- = 3 g/cm, 104"db . . P d' . 0,03 X 10430 dque e eser gualalapreslOnenM. ortanto, laaltura epreslOnenMser ---= O, m e1000agua, ylacolumnaFascender0,30mporencimadeMobienlaelevacinenNesigual a 12,30m.Paralacolumna G:Presin en El. 8m= presinen El. 12 m +presinde 4mde aguaobien,1000 x 4 2Po =0,03 + 104=0,43 kgjcmdb. l l . . R P lid' . . 0,43 x 10469 dlque ee ser gua a apreslOnen . or tanto, a a tura e preslOnenRsera - = 2, m e1,600 x 1000lquidoyla columna Gascender 2,69 msobre Ro hasta unaelevacinde 10,69 men Q.(b) Para el manmetrode tuboen D, al utilizar como unidades metros de agua,altura de presinen D= alturade presinen C.13,57h = altura de presin en El. de 12 m +altura de presinde 8mde agua13,57h = 0,30 +8,00de donde h = 0,61 m.SIAP. 1] PROPIEDADESDELOS FLUIDOS 1525. UnmanmetrodiferencialestunidoadosseccionesrectasAy Bdeunatuberahorizontal porla que circula agua. La lectura en el manmetro de mercurio es de 0,60 m, siendo el nivel ms cer-cano a A el ms bajo. Calcular la diferencia de presiones entre A y B en kg/cm2 Vase la Figura 1-12.Solucin:Nota: Uncroquis o dibujoayuda aesclarecerel anlisis de todos losproblemas y areducir las equivoca-ciones. Aun un simple diagrama de una lnea puede servir.Alturade pre,sinene= alturade presinen Do, al utilizar como unidad el mde 'agua,PA/W- Z = [PB/W- (z + 0,60)] +13,57(0,60)De aqu,yPA/W- PB/W=difrencia en alturas de presin=0,6003,57- 1) =7,54mde aguap ~ - P ~ =(7,54 X 1000)/104=0,754kg/cm2.Si p ~ - p ~ fueranegativa, lainterpretacin correcta delsigno sera que lapresin enB era 0,754 kg/cm2mayor que la presin en A.Losmanmetrosdiferenciales debenser purgados delairedetodoslostubosantesdetomar lecturas.AguaAEeFig.1-12DB0,60 mTD4,50 m3,60 m3,00 mFig.l-1326. Se quiere medir la prdida de carga atravs del dispositivo Xmediante unmanmetro diferencialcuyolquidomanomtricotieneunadensidadrelativade0,750. El lquidoquecirculatieneunadensidad relativa de1,50. Hallar la cada en altura de presin entre Ay B a part,r de la lectura ma-nomtrica en el aceite, mostrada en la Figura 1-13.Solucin:Presin en e en kg/m2= presin en Denkg/m2PB- (1,50x 1000)0,60- (0,750x 1000)0,90= PA- (1,50x 1000)3,30.. .. 3375 3375De aqu, PA - PB= 3375 kgjm2y la diferenCIa en alturas de preSlOn= --- = =2,25 m de lquido.W 1,50x 1000Otromtodo:Al utilizar COffi0 unidad el mde lquido (Dr = 1,50),alturade presin ene= altura de presinenDPB 0,750x0,90 PA--- - 0,60- - = - - 3,30W 1,50 WDe aqu, PA/W .. PB/W=diferenciaenalturas de presin =2,25 mde lquido, como antes.SI16PROPIEDADESDELOSFLUIDOS [CAP. I27. LosrecipientesAy D contienenaguaalaspresionesrespectivas de2,80 y1,40kg/cm2 Cul esla lecturaenel manmetrodiferencial de mercurio, mostradoenla Figura 1-14?Solucin:Altura de presinene= alturade presinen D2,80 X 104+ + h= 1,40 X 104_ +1357h (enmde agua)1000 x 1000 y ,Ordenando, (104/1000)(2,80- 1,40) +x+ y= (13,57- l)h. Al sustituir x+ y = 2,00mydespejar seob-tieneh= 1,27m.El lectorhabrobservado queempleando comounidadesel kgjm2oel kgjcm2sehacenmsoperacionesaritmticas, pero comolaprobabilidad de cometer errores de concepto esmenorserecomienda eluso detalesunidades en lugar de las alturas de presin.AguaLEh-p--T_S,OOm 90m1xT1y_3,00 mhLDeFig.l-14Fig.1-1528. Laalturade presinal nivel A-Aes de0,09mdeagua ylos pesos especficos del gas ydelaireson, respectivamente, 0,560 y1,260kg/m3. Determinarlalecturaenelmanmetrodeaguadet.uboenD, quemidelapresin del gas al nivel D, segnsemuestra enlaFigura1-15. .Solucin:Se supone que tanto elpeso especfico delaire como el del gas permanecen constantes en los 90 m de dife-rencia en elevacin. Como los pesos especficos del gas y del aire sqn del mismo orden de magnitud,debe tener-seen cuentael cambioen lapresinatmosfrica, conla altitud. Se utilizarnpresiones absolutas.(absoluta)Pe= (absoluta) PD (kg/m2)(atmosfrica) PE + 1000h= (absoluta) PA. - 0,560x90 (A)Se calcula ahoralapresinabsolutaenAenfuncindelapresinatmosfricaenE, obteniendoprimerola presinatmosfrica enFyluegoPA.-(absoluta) PA. =[(atmos.) PE +1,260(h + 90- 0,09)J+ 0,09x 1000 (kg/m2)Sustituyendoeste valor en (A), eliminandoPEydespreciando los trminos muypequeos, se obtiene1000h= 90(1,260- 0,560) +0,09(1000) y h= 0,153 mde aguaSI 1] PROPIEDADESDELOSFLUIDOS 1729. Cul es la presin en el ocano a una profundidad de1500 m, suponiendo(a) que el agua saladaes incompresible y(b) el agua del mar es compresible y tiene un peso especfico en la superficie de1025 kgjm3? E= 21:000 kgjcm2(constante).Solucin:(a) PresinP =wh=1025 x 1500 =15,375 x 105kg/m2(man).(b) Comola masa no vara al comprimirla ni su peso, dW= O; de aqudW =d(wv) =w dv +v dw=O o -dv/v=-dw/w (A)De las ecuaciones (JO) y (l2), dp =-w dh ydv/v =-dp/E. Sustituyendoen (A),dp/E= dw/w (B)Integrando, p=Elo&, w + c. En la superficie, p=Po' w =Wo: de aqu, C=Po - Elo&, Wo YIP =Elo&, w + Po- Elo&, Woo (p- Po) =Elog. (w/wo) (C)-wdh dw EdwPoniendo dp=-wdh en (B), -E- =-wo dh= o Integrando,w2h= E/w + CIEnla superficie, h =O, w =Wo; entonces, CI= -E/wo, h =(E/w- E/wo)y, por tanto,= woE = (1025)(21.000 x 104) =10326 kg/m3w w"h +E (1025)( -1500) +(21.000 x 104) ,recordando quehes positiva hacia arriba ydandoEen kg/m2p= (21.000 X 104) lo&, (1032,6/1025) = 15,476x 105kg/m2(man)(D)30. Calcular la presinbaromtrica enkgfcm2aunaaltitud de1200 msi lapresin alniveldelmares de 1,033 kgjcm2 Supngansecondiciones isotrmicas a 210C.Solucin:El pesoespecficodel aire a 210Ces w= +21)' Por tanto, de la ecuacin (JO),Pdp=-wdh=- dh29,3(294)odp= -0,000116 dhp(A)Integrando (A), lo&, p= -0,000116h +C, donde Ces la constante de integracin.Para calcular C: cuandoh =O, p=1,033 X 104kg/m2(ab). De aqu, C=lo&, (1,033 X 104) y,lo&, p =-0,0001l6h +lo&, (1,033 x 104) o 0,0001l6h=log. (1,033 x 104/p) (B)Pasando (B) a logaritmos decimales2,3026 log(1,033 x 104/p) = 0,0001/6(1200),log(1,033 X. 104/p)=0,06045, 1,033 x 104/p=antilog0,06045=1,149351,033 x 104O 3 2 2de la cual p= 1,14935 =9, x 10 kg/m =0,90 kg/cm.31 Deducir la expresin generalque da la relacinentre lapresin y la elevacin, cuando las condi-ciones sonisotrmicas, mediante dp=- w dh.Solucin:.p d' . ... l . . P Po o P Po Para con IClones Isotermlcas, a ecuaClOn- = -- se translorma en- =- o w =Wo-'wT woTow WoPoPor tanto. dh =-dp. = _ po x dp Integrando, (hdh = _ (P dp YW lAJa P Jho Wo Jvo ph- ho =-1!:'.-(lOg, p- log, po) =+ 1!:'.-(log, po- log, p) =log, poWo Wo Wo pEn realidad, la temperatura dela atmsfera disminuye conlaaltitud. De aqu, queunasolucinexacta re-quierael conocmientodevariaciones de la temperatura conla altitud para utilizar la leyde los gasesp/wT = constante.SI18PROPIEDADESDELOS FLUIDOS [CAP. I32. Desarrollar una expresin que rela-cione la presin manomtrica p quereina en el interior de una gota de lqui-doylatensinsuperficial (J.Solucin:La tensin superficial que acta sobrelasuperficie deuna gotadelquido dalugaraquelapresinen elinteriordelagotaseasuperior a la presinexterior.La Fig. 1-16 muestra las fuerzas queproducenel equilibrioenladireccinXdemediagotadedimetrod. Lasfuerzasa dLse debena la tensinsuperficial que actasobreel permetroy lasfuerzas dPxsonlascomponentes enladireccinXde lasfuer-zasp dA (vase Captulo 2). Por tanto, de = O,1yd }-x=;:.dL 1z---udL'Fig.1-16sumade fuerzas hacia la derecha = suma de fuerzas hacia la izquierdaa SdL= SdPxtensinsuperficial xpermetro= presin x proyeccin del reaa(nd) = p(nd2/4)op= 4a/den kg/m2(man). Las unidades de la tensin superficial son kgJm.Se observa que cuanto menor es la gota, mayor es la presin.33. Unapequeagota deagua a27 Cesten contactocon el airey tieneundimetrode0,50 mm.Si lapresinenel interiordelagotaes5,80x 10- 3 kg/cm2mayorquelaatmosfrica, cul esel valor de la tensin superficial?Solucin:a=ipd = i (58) kgJm2x (0,5 x 10-3) m=0,029 kgJm34. Calcular la altura aproximada a la que ascender un lquido quemoja el vidrio en untubocapilarencontactocon la atmsfera.Solucin:La elevacin en un tubo de dimetro pequeo puede calcularse aproximadamente considerando como cuer-polibre la masa de lquido ABCDque se muestra enla Figura 1-17.Como Y debe ser igual acero, se obtienecomponentesverticalesdelasfuerzasdebidasalatensinsuperficial - pesodel volumenABCDhaciaabajo+ fuerza de la presin sobre ABhacia arriba- fuerza de la presinsobre CDhacia abajo= O.o +(a SdL) sena- w(nd2/4 xh) + p(rea AB)- p(rea CD) = OSevequelas presiones enlos nivelesAB yCD son iguales ambas a la atmosfrica. Por tan-to, losdosltimos trminosdel primer miem-broseanulanentres y, comoa SdL= a(nd),se obtiene4a sen ah= enmetroswdParaunmojadototal, comoocurreconelaguaencontactoconvidriomuylimpio, el n-guloaesprcticamente 90. Nopuedegaranti-zarse una mayor aproximacin.Enlostrabajosexperimentales, para evitarerroresdeconsideracindebidos a lacapilari-dad deben utilizarse tubos de dimetro de apro-ximadamente 10mmomayores.SI:AP. 1] PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 1935. Calcularlaalturaalaqueascenderenuntubocapilar, de3,00mmdedimetro, aguaa210C.Solucin: Dela Tabla l(e), (J =0,00740kg/m. Suponiendounngulo C( =90, supuestoel tubolimpio,4(J 4x0,00740kg/mh=- = =0,0099 m =9,90 mm.wd 1000 kg/m3x3x 10 3 m iProblemas propuestos36. Si la densidad de un lquidoes de 85 UTM/m3, determinar su pesoespecficoysu densidad relativa.Sol. 834kg/m3, 0,83437. Comprobar los valores de la densidad ydel pesoespecfico del aire a 30 Cdados en la Tabla 1(B).38. Comprobar los valoresdelospesosespecficos del anhidridocarbnicoy del nitrgenodados enla TablaI(A).39. Aqu presin tendr el aire un peso especfico de 1,910kg/m3si la temperatura es de 50 C?Sol. 1,80kg/cm2(ab)40. Dosmetroscbicosdeaire, inicialmentealapresinatmosfrica, secomprimenhastaocupar0,500m3 Parauna compresin isotrmica, cul es la presin final? Sol. 4,132 kg/cm2(ab)41. Enel problema precedente, cul ser la presin final si no hay prdidas de calor durante la compresin?Sol. 7,20kg/cm2(ab)42. Determinar la viscosidad absoluta del mercurioen kgseg/m2si en poises es igual a 0,0158.Sol. 1,61 x 10-4kgseg/m243. Si laviscosidad absoluta de un aceite es de 510poises, cul es la viscosidad enel sistema kg-m-seg?Sol. 5,210 kgseg/m24(712 ),14. Resolver el Problema 2mediante el Teorema de Pi de Buckingham.Solucin:El problemapuederesolverseestableciendoqueciertafuncindeladistancias, el peso W, laaceleracinde la gravedad g yel tiempo Tes igual a cero, o bien matemticamenteti (s, W, g, T) = OPaso 1Se enumeran las magnitudes ysus unidades.s =longitud L, W=fuerza F, g=aceleracin L/T2, T=tiempo TExisten 4 magnitudes fisicas, 3de ellas fundamentales, de donde (4- 3) = un nmero n.Paso 2Escogidass, WyTcomomagnitudes fisicas proporcionanlastres dimensiones fundamentales F, LY TPaso 3Comol:s magnitudes fisicas dedimensionesdistintas nopuedensumarse ni restarse, el nmero 71 seexpresaenformadeproducto, comosigue:;;""1Aplicando la homogeneidad dimensional(1FOLOTO = (UI)(FYI) (PI) (LT- 2)IgualandolosexponentesdeF, LYT, respectivamente, seobtieneO =.1'1' O=Xl +1, O=ZI - 2, dedondXl =-1, .1'1 =O, ZI =2. Sustituyendoen (1), 'WOT'gsDespejando s yponiendo 1/711= K, se obtiene s=K gT2.SICAP. 5JANALISIS DIMENSIONALYSEMEJANZAHIDRAULICA 5915. Resolver el Problema 6aplicando el Teorema de Pi de Buckingham.Solucin:El problema se establece matemticamente asiJ(P, w, Q, H) =OLas magnitudes fsicas con sus dimensiones en el sistema F, L YT sonPotencia P= F LT-1Peso especfico w =F L-3Caudal Q =L3JICarga H= LExisten 4 magnitudes fisicas yde ellas 3 fundamentales, de donde (4 - 3) = l grupo n.Escogidas Q, O yHcomomagnitudesconexponentesdesconocidos, el gruponseestablececomosigue:o", = (QI) (wY,) (H'l)P" = (L'IT-')(FY L-3y) (L'l) (FL T-)(1)IgualandolosexponentesdeF, LY T, respectivamente, seobtiene 0=YI + 1, O = 3xI- 3YI +2 1 +1,O = -XI - 1, de donde Xl = - J. YI = -1, 2 -1. Sustituyendo en (1),opKwQHLongitud L =LVelocidad V= L r I16. Resolver el Problema 9, aplicando el Teorema de Pi de Buckingham.Solucin:El problema puede establecerse asirP(F, p,.;, L, V) =OLas magnitudes fsicas ysus dimensiones en el sistema F, L YT sonFuerza F= FDensidad p= FT2L-4Viscosidad absoluta .; =F T L-2Existen 5magnitudes fisicas, de ellas 3 fundamentales, de donde (5 - 3) =2 nmeros n.EscogidaslalongitudL, lavelocidad Vyladensidadpcomo3variables repetidasconexponentesdesco-nocidos, se establecen los nmeros n como sigue:(1)Igualandolosexponentes de F, LY T, respectivamente, seobtieneO = Cl+1, O =al +bl- 4cl , O =-bl+2cl , de donde CI= -1, b = -2, al = -2. Sustituyendo en (1), ni =F/2 V2p.Para calcular el segundonmeronsemantienenlastresprimerasmagnitudesfisicasy se aade otramagni-tud, en este caso la viscosidad absoluta .;. (Vase Problema 13, Apartado 4.) -(2)Igualandolosexponentes de F, LY T, respectivamente, seobtieneO = C2+1, O = a2 +b2- 4c2- 2, O =- b2+2c2+1, de donde C2 = - 1, b2= - 1, a2= - 1. Por tanto, n2 = .;/LV p. Esta expresin puedeponerse en la forma n2= LV p/.;, que es una forma del nmero de Reynolds.La nueva relacin, escrita en funcin de los grupos ni y n2' esooquepuede escribirseFuerza FFV'= (2K RE) PL'2V2Sustituyendo L2por unrea, la ecuacin puede establecerse finalmente en la forma F= CDP A -' (Vase2Captulo 11.)S I60ANALISIS DIMENSIONALYSEMEJANZAHIDRAULICA [CAP. 517. Resolver el Problema 11 mediante el Teorema de Pi de Buckingham.Solucin:Matemticamente, el problema puede escribirse en la formaf (Clp, d, /l, p,L, V, K) = OdondeK eslarugosidadrelativaorelacindel tamao delasirregularidades delasuperficieal dimetrod dela tubera. (Vase Capitulo 7.)Las magnitudes fisicas con sus dimensiones en el sistema F, L Y T sonCada de presin !J.p = F L -2Dimetro d = LViscosidad absoluta /l =FT L- 2Densidad p= F T2L-4Longitud L= LVelocidad V= L r 1Rugosidad relativa K= L11L2Existen7 magnitudesfisicas, 3 deellasdimensionesfundamentales, dedonde (7- 3)=4nmerosn. Es-cogidosel dimetro, lavelocidady ladensidadcomovariablesrepetidasconexponentesdesconocidos, losn-meros n son;;";(UI) (V'I T-Y,) (F'I T", L-4'1) (F L-')(U,) (V, T-Y,) (F'2 T",L-4>,) (FT L-')(L',,) (J"'JT-";l) (F'.! T".1 L-4zJ ) (L)"1""3'Calculando los exponentes trmino a trmino se llega aO= z, +1, O= XI +YI - 4z 1- 2, O= -y, +2z l ; luego XI =O, YI = -2, z, =-1.Ooc: z,+l, 0=x,+y,-4z,-2, 0== -y,+2z,+1; luego x,==-l, y,=-l, z,=-1.O=z;, 0=x:+Y3-4zJ +l, 0=-Y3+2z:; luego xJ==-l, Y3=O, z:=o,De donde los nmeroSnson(numero deEuler)"2== p.dVpo (nmero deReynolds);7"1dLd(comopoda esperarse;vaseApartado b, Problema 13)(vaseCaptulo7)La nueva relacin puede escribirse ahora/ , (ClP (ZY--!,. ['.. f_) OP V" P. 'd' dDespejando !J.p,Clpdonde p=wlg. De aqui, la cada de presin en prdida de altura seraV' l, f= 2- (2) , (R",.-, -),q d dSi lo quese deseaesobtenerunaexpresindel tipodeladeDarcy, laexperienciayel anlisisindicanquela caida de presin es proporcional a la primera potencia de Lid; por tanto,SICAP. 5] ANALISIS DIMENSIONALYSEMEJANZAHIDRAULICA 61p V' Lig' d.2 /3 (RE, que puedeponerse en la forma1 V'(coeficiente 'd 2.qNota1Si el flujo fuera compresible habra que incluir otra magnitud fisica, el mdulo volumtrico de elasticidad E,E VYel quinto grupon conducira alarelacin adimensionalEste se escribe normalmente en la forma -;:;:'pV2yE/pque es el nmerode Mach.Nota2Si la gravedad influye en el problema general delflujohabra que incluir la fuerza de la gravedad como nue-V2va magnitudfisica, y el sextonmeron conduciraa larelacinadimensional -' EstegruposellamanmerogLde Froude.Nota3Si enel problemageneral intervinieratambinlatensinsuperficial (J habraquetenerlaencuentacomonuevamagnitudfisica, loqueconduciraaunsptimogruponadimensional. El nmerontomaralaf011Da.V2Lp,que es el nmerode Weber.(J18. Cuandonicamenteinfluyenlagravedadylainercia, demostrar que, paramodeloyprototipo,larelacindecaudales Qesigual a larelacindelongitudeselevadaacincomedios.Solucin:

Hay que establecer larelacin de tiempos para las condiciones que influyen en el flujo. Las expresiones parala gravedadylas fOerzas de inercia pueden escribirse como sigueGravedad:Fm WmFp WI'Inercia:Fm Mll1alll-FpIgualando las relaciones de fuerzas, de la que, despejando la relacinde tiempos, se llega aT; = L, x p,1Cr gr(1)Comog, es igual a la unidad, la sustitucinenla relacindecaudalesconducea laexpresinbuscadaQ, (2)19. Paralascondicionesestablecidasenel problemaprecedenteobtener (al larelacinde velocida-des y (b l la relacin de presiones yla relacin de fuerzas.Solucin:(a) Al dividir los dos miembros de laecuacin (l) del problema anterior por L, se obtieneSI62ANALISIS DIMENSIONALYSEMEJANZAHIDRAULICA [CAP. 5o como T'= L,.g,Peroel valor de g, puedeconsiderarseigual alaunidad. Estosignificaque, paramodeloy prototipo,V/ = L" que puede llamarse la leyde modelos de Froude para la relacin de velocidades.(b) Relacindefuerzasparafuerzasdepresin =]Jrn p, L;.

L"Relacin defuerzasparafuerzasdeinerciaPI' t'wrL;.T;Igualandostas, seobtiene p, L;(1)p, w,L,Para los estudios sobre modelos en flujos con superficielibre, los nmeros de Froude en modelo y pro-totipohandeseriguales. TambinhandeserigualeslosnmerosdeEulerenmodeloyprototipo.Utilizando V; =L" la ecuacin (1) puede ponerse enla formap, Wr V;y, comofuerza F pA, F, (2)20. Desarrollar la ley dem::Jdelos deReynolds para las relaciones de tiempos y de velocidades de lqui-dos incompresibles.Solucin:Paraconfiguracionesdeflujossolodependientesdelasfuerzasdeinerciay viscosas(siendoel restodein-fluencias despreciables) es necesariocalcular estas fuerzas para modelo yprototipo.Inercia:FmF"p, L;(delproblema precedente)Viscosidad:TrnAm/lm (dV/dY)m Am/lp(dV/dY)"A"/lm (Lm/Tm X 1'" (1."IT p x1IL,,)/lm m /l, L;/lp p TrL;Igualando las dos relaciones de fuerzas, se obtieneComo!'sepuedeponerT,L;vP 1',Relacin develocidadesV,L,. L, 1', ...-T, L,dela cual T,(1)(2)Escribiendo estas relaciones en funcin del modelo yprototipoa partir de (2), se obtieneV"Reuniendotrminosparamodeloyprototiposellegaa VmLmfVm= VpLp/vp, igualdadqueel lectorpue-de identificar como: Nmerode Reynolds para el modelo = nmero de Reynolds parael prototipo.SICAP. 5] ANALISIS DIMENSIONALYSEMEJANZAHIDRAULICA 6321. Unaceitedeviscosidadcinemtica4,70 x 10-5m2/segvaautilizarseenunprototipoenel quesonfuerzaspredominanteslasdebidasalaviscosidady alagravedad. Tambinsedeseaexperi-mentarsobreunmodeloaescala de1 : 5. Qu valor debetener laviscosidaddellquido del mo-delo para que tanto el nmero de Fraude como el de Reynolds sean iguales en modelo y prototipo?Solucin:Mediante las escalas develocidades de las leyes deFroudey deReynolds(vanse Problemas19 y 20) se es-tablece la igualdadYa queg, =1, L;/2 = V, Yv, =(1/5)3/2=0,0894.VmVrnEsto significa que ~ =0,0894= s y, por tanto, Vrn=4,20 X 10-6m2/seg.vp4,70 x 10-Mediantelasescalasde tiempos, aceleracionesycaudales se llegaraalos mismos resultados. Por ejem-plo, igualando la relacin de tiempos (Problemas 18 y20) se llega ap, L ~o, como U,O =1,/l, = " = L3/'r f' 'p,comoantes.22. A travs de una tubera de 20 cm de dimetro est fluyendo agua a 150 C a una velocidad de 4,0 m/seg.A quvelocidad debe fluirunfuel-oil medio aa32 Cpor el interior deunatubera de10 cm dedimetro para quelosdosflujossean dinmicamentesemejantes?Solucin:Como los flujos en ambas tuberas estn sujetos nicamente a las fuerzas debidas a la viscosidad y a la iner-cia,el criterio de semejanza ser la igualdad de los nmeros deReynolds. Otras propiedades del fluido que circu-la, talescomolaelasticidad, latensinsuperficial ylas fuerzas gravitatorias, noafectarnalaconfiguracindel flujo. Por tanto, para la semejanza dinmica,Nmerode Reynolds para el agua = nmero de Reynolds para el aceiteVd V'd'fVSustituyendo los valores obtenidos de las viscosidades en la Tabla 2 del Apndice,y V' = 21,0 m/seg para el aceite.4,0 x 0,21,13 x 10-6V' x0,12,97 x 10-623. Atravs deunatubera de60 cm de dimetro est circulando airea200Caunavelocidadmediade2,0 m/seg. Cul debeser el dimetro dela tubera que altransportar agua a150 Cy aunave-locidad de 1,22m/seg d lugar a un flujo dinmicamente semejante?Solucin:Igualando los dos nmeros de Reynolds:2,0x 0,01,49 x 10-51,22 x d~ . : ~ d=0,075 m=7,5 cm1,13 x 10 624. Unmodelodesubmarinoaescala 1 : 15vaaser ensayadoenuncanal hidrodinmicodeaguasalada. Si elsubmarinose mueve aunavelocidad de12,0 mph(millas por hora), aquvelocidaddeberser arrastrado el modeloparaqueexistasemejanza dinmica?Solucin:Igualando los nmeros de Reynolds para modelo yprototipo:12,0 x LvVx L/15~ ~ V= 180mph.vSI64ANALISIS DIMENSIONALYSEMEJANZAHIDRAULICA [CAP. 525. Un modelodeavin aescala1 : 80 es ensayado enunacorrientedeairea200Cy auna velocidadde45 m/seg. (a) Aqu velocidad habr de arrastrarse el modelosi esttotalmentesumergidoenaguaa27C?(b) Quarrastre sobreel prototipoenel airecorresponderaunaresistenciasobre el modelo en el agua de 0,55 kg?Solucin:(a) Igualando los nmeros de Reynolds,45 x L Vx LX 10-5= 0,864 x 10 6o V=2,60 m/seg enel agua.(b) Comop vara proporcionalmente a pV2, igualando los nmeros de Euler, se obtienePm Pp ]JmV'PIll nIO1'"]J",P"P"Pero las fuerzas que actan son (presin x rea), es decir, p U; de aquoFm

I'm F I'p L;"F, p, V: [ecuacin(6), pgina .51].Paraobtenerlavelocidaddel prototipoenel aireseigualanlosnmerosdeReynolds, conloque StobtieneVaire VaireoVaire "'airey Vp= 0,563 m/segPor tanto,26. Unmodelodetorpedoes ensayado enuncanal hidrodinmicoaunavelocidadde24,0m/seg. Sesperaqueel prototiposemuevaaunavelocidadde6,0m/seg enaguaa15C. (a)Aquescalasehaconstruidoel modelo?(b)Aquvelocidadseensayarel modeloenuntnel aerodinmicosi lapresinesde20atmsferas ylatemperaturaconstantede270C?Solucin:6,0 x L 24,0 x L/x(a) Igualandolos nmeros de Reynolds para prototipoymodelo, --- = I obienx =4. Lav vescala geomtrica del modelo es 1: 4.(b) Lavscosidadabsolutaparael aire, delaTabla 1(B), es 1,88 x 10-6 kgseg/m2yladensidad p==gp 20 x 1,033 X 104-- =9 2 3 73 27 =2,410UTM/m3(obienp=20vecesel valordelaTabla I(B) a27C=g R T ,8( 9,)(2 + )20 x0,120= 2,40). Por tanto,6,0 x L1,13 X 10-6y V= 16,50 m/seg27. Unabombacentrfuga, girandoa 1200rpm, bombeaunaceitelubricantemedioa 15C. Se V2aensayarunmodelodelabombaque utilizaairea200C. Si el dimetrodel modeloes3vece!mayor que el del prototipo, a qu velocidad debe girar el modelo?Solucin:Utilizandocomovelocidadesenlos nmeros de Reynolds las velocidades perifricas (que sonigualesaradio por la velocidad angular en radianes/seg), se obtiene(d/2)(J)p(d)17,5 x lO 5De aqui, (J)p =106(J)mY velocidad de giro del modelo=1200/106=11,3 rpm.SICAP. 5] ANALISISDIMENSIONALYSEMEJANZAHIDRAULICA6528. Unala deavinde 90 cm de cuerdaseha demover a 90mph enel aire. Eneltnel aerodinmi-cose va a ensayar unmodelode7,50 cmde cuerda conunavelocidad del airede108mph. Parauna temperatura del aire en ambos casos de 20 e, cul debe ser la presin en el tnel aerodinmico?Solucin:IgualandolosnmerosdeReynolds, enmodeloyprototipo, yutilizandolasmismasunidadesparalasve-locidades.VmLmVpLp~ ~ = 108 x0,075 90 x0,90 -6 2 ~ = 5' V'nel = 1,49 x lO m/segv'nel 1,49 x 10Lapresinquedalugaraestaviscosidadcinemticaa20Cpuedecalcularserecordandoquelaviscosi-dadabsolutano seve afectadapor los cambios depresin. Laviscosidad cinemtica es iguala laviscosidadab-solutadivididapor la densidad. Peroladensidadaumentacon lapresin(atemperaturaconstante); portanto,J1v= - ypVm1,49 X 10-51,49 x 10 6 = 10,0Deaqu, ladensidaddel aireenel tnel debeserdiezvecesmayor quelanormal (20C)del airey, portanto, la presin del aire en el tnel habr de ser de diez atmsferas.29. Unbarco cuyo cascotiene unalongitud de140 m ha demoversea 7,50 m/seg. (a}Calcular eln-merodeFroudeNF (b) Paralasemejanzadinmica, aquvelocidaddeberemolcarseenaguaunmodeloconstruido a unaescala 1 : 30?Solucin:(a)V 7,50NF= -- = = O203JiL J9,8x 140 '(b) Cuandolas configuraciones delos flujos, concontornos geomtricamentesemejantes, se veninfluencia-dasporlasfuerzasdeinerciaylasgravitatorias, el nmerodeFroudeesel grupoadimensional significa-tivo en los estudios sobre modelo. Por tanto,Nmero de Froude del prototipo= nmero de Fraude del modeloovViLV'Comog=g' en todos los casos prcticos, puede escribirsev V'fi = .ji;'7,50 V'fi40 J140/30'V' = 1,37 m/seg en el modelo30. A travsdeuna acequiade60cm deanchurasevaa construirunmodelodealiviaderoa escala1 : 25. El prototipo tiene 12,5 m de altura y se espera una altura de carga mxima de 1,50 m.(a) Qualtura y qu carga deben utilizarse en el modelo? (b) Si el caudal vertido sobre el modelo es de 20 l/segcon una carga de 6,0 cm, qu caudal por metro de prototipo puede esperarse?(e) Si en el modeloapareceunresaltohidrulicode2,50cm, qualturatendrel resaltoenel prototipo?(d) Si laenerga disipada enel resaltohidrulicodel modeloesde0,15CV, cul serlaenerga disipadaenel prototipo?Solucin:altura de carga sobre ellongitudes en modelo 1(a) Como =-,longitudes en prototipo 25altura del1modelo= - x251modelo= 25x12,50= 0,50m y1,50= 0,06 m= 6cm.(b) Por predominar las fuerzas gravitatorias, del Problema 18, Qr = L ~ / 2 Y de aquSI66ANALlSIS DIMENSIONALYSEMEJANZAHIDRAULlCAQp= Zs72 = 20 x x 25 x 5) = 62,50 m3/seg,[CAP. 5Estecaudal puede esperarse en 0,6 x25= 15m, delongituddel prototipo. Por tanto, caudalpor me-tro de prototipo=62,5/15=4,17 m3/seg. i(e)hm-- Lh ,oph =hm= 2,5 =62,50cm(altura del resalto)p L, 1/25F, L, w, L:L,(d) Relacin de potencias P, = (kgm/seg), = -- = rTJ:.:' Perog, = 1Y w, = 1. De aqu,T, yLr/g,y Pp= Pm(25f/2 =0,15(25f/2 = 11.700CV31. El modelodeunrecipientesevacaen4 minutosal abrirunacompuertadetajadera. El modeloestconstruidoa una escala 1 : 225. Cuntotiempo tardar envaciarse el prototipo?Solucin:Como la fuerza debida a la gravedad es la dominante, la relacin de las Q, por el Problema 18, es igual a L;/2.Adems, Q, = Qm: Tm. Por tanto, L;/2=L: x Tpy Tp= Tm/L:12 =4(225)1/2 =60 minutos.Qp LpTpTm32. Unespignrectangular enunrotiene1,20 mdeanchurapor3,60m delongitud, siendolapro-fundidadmedia del agua de 2,70 m. Se construye un modelo a una escala de1 : 16. Sobre el mode-losemantieneunflujodeunavelocidadmediade0,75m/seg y lafuerzaqueactasobreel mo-delo es de 400 g. (a) Cules son los valores de la velocidad y de la fuerza sobre el prototipo? (b) Sidelantedel modeloseformaunaolaestacionaria de5,0 cmdealtura, culser laalturaespera-da delaolaqueseformeenlatajamar delespign?(e) Cul es el valordel coeficiente dearras-tre o resistencia?Solucin:(a) Como predominan las fuerzas debidas a la gravedad, del Problema 19 se obtieneVm=AV =0,75V 'YP (1/16)1/ 2 = 3,0 m/segpAdems,Fm 3F =0,40wL y1,0(1/16)3= 1640kgF "ppVm JL:, I""L f(\(\C 3,00(b) Como= --, y hp =y 0,05 x- y hp =0,90 mde altura de la ola.VpJL:, 0,75V21,2 2,7 (O,7W(e) Fuerza de arrastre= CD P A 2' 0,40= CD(l02)(16x 16)-2- y CD= 1,10.Si sehubieranutilizadolosvaloresdel prototipoparaestosclculos, sehabraobtenidolosiguiente:(3W1640= CD(l02)(1,2 x2,7)-'2- y CD= 1,10, comoera de esperar33. Laresistenciamedidaenaguadulce, presentadaaunmodelodebarcode2,50m, movindoseaunavelocidadde2,0m/seg, fuede4,40kg. (a)Cul serlavelocidaddel prototipode40m?(b) Cul serlafuerzanecesariaparamover aestavelocidadel barcoenagua salada?Solucin:(a) Como predominan las fuerzas debidas a la gravedad, se obtieneVmA J87128 2,0Vp = L, = 8/128 Y Vp = (1/16)1 /2 =8,0m/segSICAP. 5](h)ANALISIS DIMENSIONALYSEMEJANZAHIDRAULICAFm3 4,40- = LO,L, Y Fp= -, = 18470 kgFp(10000025)( 1 16)67Este ltimo valor puedeencontrarse mediante la frmula queda la resistenciaofuerza dearrastre:AResistencia = Cf P 2v2.1000A 2

4,4(16 )2Para el modelo,440=C... ---(20)Y (1), f 2R(1W '2g1025 CfA fuerzaPara el prototipo, fuerza = Cf-.(8,0jlY----(2)2R 2R1025(8,0jlComoel valordeCf hadeserel mismoparamodeloyprototipo, al igualar (1)y(2)seobtiene4,40(16 )21000(2,0)2fuerza1025(8,Wde la cual fuerza = 18.470 kg, como antes34. (a) Calcularlaescalageomtricadel modelo cuandoseanecesariotenerencuentalasfuerzasvis-cosasygravitatorias paraasegurar lasemejanza. (b) Cul serlaescalageomtricadel modelosi el aceite empleado en el ensayo sobre modelo tiene una viscosidad cinemtica de 10 x 10 -5 m2/segyel lquidoenel prototipotiene una viscosidadde 80 x 10- 5 m2/seg? (e) Cules sernlas re-laciones de velocidades ycaudales paraestos lquidos si la escala geomtrica modelo-prototipoes 1: 4?Solucin:(a) Enestasituacin debensatisfacersesimultneamentelas igualdades de losnmeros deReynolds y de Froude. Seigualarnlas relacionesdevelocidades paracadaunadelasleyesdemodelos. Mediantelos resul-tados obtenidos en los Problemas 19 y 20,Nmero de Reynolds Vr=nmero de Froude V,(v/L)r = JL:i"Como gr = 1, se obtiene L, =v;l3._ 10 X 10-52/3_ l.(h) Utilizando la relacin de longitudes anterior, Lr- (80 x - 4 La escala del modelo es 1: 4.(e) Mediante la ley de modelos de Froude (vanse Problemas 18 y 19),y132omediante la ley de modelos de Reynolds (vase Problema 20),v,1',L,10/801/412y Q.A, V,? 'rL' x.. L.Lrl'r1(.!Q.)4 80132SI68 ANALISISDIMENSIONALYSEMEJANZAHIDRAULlCAProblemas propuestos[CAP. '35. Comprobar dimensionalmente la expresin T = /1(dV/dy).36. Demostrar mediante losmtodos del anlisis dimensionalque la energia cintica deun cuerpo es igual aK MV237. Mediantelosmtodos del anlisis dimensional probarquelafuerzacentrfugavienedadaporK MV2/r.38. Uncuerpo caelibrementeunadistanciaspartiendodel reposo. Desarrollarunaecuacinparalavelocidad.Sol. V=K -;g39. Un cuerpo cae libremente duranteuntiempoT partiendo del reposo. Desarrollaruna ecuacinparalavelocidadSol. V= KgT40. Desarrollarunaexpresinquedlafrecuenciadeunpndulosimple, suponiendoqueesfuncindelalongitucyde la masa del pndulo yde la aceleracinde la gravedad. Sol. Frecuencia = K ,/gIL41. Suponiendoqueel caudal Qsobreunvertederorectangular varadirectamenteconla longitudLyesfuncirdelaalturade cargatotal Hy delaaceleracindelagravedadg, establecerlafrmuladel vertedero.Sol. Q= KLH 312gl1242. Establecer lafrmulaquedaladistancia recorridas por uncuerpoquecaelibremente, suponiendoquedIChadistancia depende de la velocidad inicial V, el tiempo Tyla aceleracin de la gravedad g.Sol. s = KVT(gT/ vb43. Establecer la expresin del nmero deFroude al ser stefuncindelavelocidadV, laaceleracin delagravedadg yde la longitud L. Sol. Nf= K(V2/Lg)-C44. Establecer laexpresindel nmerodeWeber si esfuncindela velocidad V, ladensidad p, de la longitud Lyde la tensin superficial a. Sol. Nw= K (p L V 2 a r ~ d45. Establecerunnmeroadimensional queseafuncindelaaceleracindelagravedadg, latensinsuperficial a,la viscosidad absoluta /1 yla densidad p. Sol. Nmero=K (a3p/gI14)d46. Suponiendoquela fuerza dearrastreoresistenciade unbarcoes funcindelaviscosidadabsoluta 1I ydeladensidadpdel fluido, delavelocidad V, laaceleracindelagravedadgydel tamao(longitudL) del barco,establecer la frmula que da la resistencia. Sol. Fuerza = K (Ria Ni d P v2e)47. Resolver el Problema9incluyendolos efectosdelacompresibilidadmediantelamagnitud celeridade, veloci-dad de propagacindel sonido. Sol. Fuerza = K' RibN"Mep A v2/248. Demostrar que, para orificios geomtricamente semejantes, la relacin de velocidades es esencialmente iguala la raiz cuadrada de la relacin de alturas de carga.49. Demostrar que las relaciones detiempos y develocidades, cuando lamagnitudpredominante esla ten'sinsuper-ficial, vienen dadas porT,~ 3 p,L, x ~ ~",y respectivamenteSO. Demostrarquelasrelaciones detiemposyvelocidades, cuandolosefectospredominantessonloselsticos, vie-nen dadas porT,.L,y v,rE,'\ p,respectivamente51. El modelo deunaliviadero se construye aunaescala1: 36. Si enel modelo lavelocidady caudaldesaguadoson,respectivamente, 0,40 m/seg y62 l/seg, cules son los valores correspondientes en el prototi po1Sol. 2,40 m/seg, 482 m3/seg52. Aquvelocidaddebe ensayarseenuntnel aerodinmicounmodelodealadeavinde 15cmde cuerdaparaque el nmero deReynolds seael mismo que enel prototipo de 90 cmde cuerda y quesemueve aunavelocidadde 150 km/h? En el tnel el aire est a la presin atmosfrica. Sol. 900 km/h53. Atravs deuna tubera de 15cmde dimetro fluye unaceite (1' =5,65 X JOb m2/seg) a una wlocidad de4m/seg. Aquvelocidaddebecircularaguaa 15" Catravsde unatnberade30cmdediametropara quelos nmeros de Reynolds sean iguales? Sol. 0,40 m/segSI\P. 5] ANALlSIS DIMENSIONALYSEMEJANZAHIDRAULICA6954A15 efluyegasolina a 4 m/segporunatuberade 10 cm. l, Qudimetro debetenerunatuberaquetranspor-ta agua a 15 ea una velocidad de 2 m/seg para que los nmeros de Reynolds sean los mismos?Sol. 33,3 cm55Aguaa15" efluyea 4 m/seg atravsdeunatuberade 15cm. Paraqueexistasemejanzadinmica, (a)aquvelocidaddebe fluir un fuel-oil medio a 27 epor una tubera de 30cm? (b) Qu dimetro de tuberia seutilizara si la velocidad del fuel-oil fuera de 20 m/seg? Sol. 5,24 m/seg, d= 7,86 cm56Un modelo es ensayadoenatmsferadeairenormal a20" ey aunavelocidadde30,0 m/seg.Aquvelocidaddebeensayarsesumergidototalmenteenel aguaa 1se edeuncanal hidrodinmicoparaquesesatisfaganlascondiciones de semejanza dinmica? Sol. 2,28 m/seg57Un navo desuperficie de155m delongitudha demoverse a7 m/seg.Aquvelocidadha de ensayarse unmo-delo geomtricamente semejante de 2,50 mde longitud? Sol. 0,89 m/seg58l, Qufuerzapor metrodelongitud seejercersobreunmurodecontencindel aguade mar si unmodeloaescala1: 36deunalongitudde 1 m experimentaunafuerzadelasolas de 12kg? Sol. 15.550kg/m59Un cuerpo anclado estsumergido en agua dulce a15 e,que fluyeaunavelocidadde2,50 m/seg. Laresistenciamedidasobre unmodelo aescala1: 5 enuntnel aerodinmico en condiciones normales es de2 kg. l, Qufuerzaacta sobre el prototipo si se dan las condiciones de la semejanza dinmica? Sol. 9,60 kg50Determinarlas expresionesdelasrelacionesoescalasdevelocidadesyprdidas decargaentremodeloy proto-tipo para un flujo en que las fuerzas dominantes son las viscosas ylas debidas a la presin.Sol. Vr=Pr Lr/flr Y Perd. Hr = Vr/lr/wrLr610bteneruna expresinquedel coeficientedefriccin f si sesabequedepende del dimetrodelatuberad, delavelocidadmedia V, deladensidaddel fluidop, delaviscosidaddel fluidoji y delarugosidadabsolutadelatubera ~ Utilizar el teorema de Pi de Buckingham. Sol. f = .yporunidaddeanchura.13. (a) Explicar brevementeel procedimientoparadibujar lareddecorrienteenel casodeunflujobidimensional permanentedeunfluidoideal entrelos contornos dadosenlaFigura6-5.(b) Si lavelocidaduniformeenlaseccin2esigual a9,0m/seg y losvaloresde ~ n sonigualesa3cm, determinar el caudal qylavelocidaduniformeenla seccin 1, dondelos An1soniguales a 9cm.SICAP. 6]FUNDAMENTOS DELFLUJODEFLUIDOS 79Fig.65l. En una seccin entre contornos parale-los se divideelflujo en un cierto nme-rodebandasdeigual anchura /);n (su-puestoquesehatomadodel flujounacapa, de espesor unidad, perpendicu-lar al dibujo). Cadabandarepresentaun tubode corriente limitado por l-neasdecorrienteobienpor lneasdecorrienteyunodeloscontornos. As,el flujototal queda dividido en flujosparciales iguales'por cadauna de las bandas y/);q t:{/);n) cons-tante, donde /);n se mide normalmente a la velocidad local. Como /);q l'/);n l'z/);nz, se deducevlvz /);nzl/);n /);5zl/);5. Cuantomenores sonlos valores de /);n y/);5ms exactas sonlas rela-cionesanteriores. Se escogenel nmerosuficiente delneasdecorriente para que la exactitud sea acep-table, sin entrar en innecesarios refinamientos ydetalles en el dibujo.2. Paradeterminarlasdireccionesdelaslneasde corrientesedibujanlaslneasnormalesaaqullaso l-neasequipotenciales. Estaslneasestnespaciadasdeformaque/);5=/);n. Laslneasequipotencialessonortogonalesalaslneasdecorrienteencadapunto deintersecciny aloscontornosyaquestosson lneas de corriente. De esta formael diagrama obtenido se asemeja a un grupo de cuadrados(apro-ximadamente) a travs de toda la red de corriente.3. Enlaszonasprximasyall dondeloscontornoscambiandeformanasepuedenmantener loscua-drados, variandolaconfiguracindelareddecorriente, yparaobtenerladelamaneramscorrectaseranecesariocomprobarladibujandolasdiagonalesatravsdetodos los cuadrados(curvilneos).Las dos familias de diagonales formarn tambin una red aproximadamente cuadrada.4. Muchasveceslosmismos contornossonlneasde corrienteverdaderas. Si nosucedeas, lareddeco-rrientenorepresentalaconfiguracinreal del flujo. Porejemplo, cuandoelflujoseseparadel con-torno, enestareginnopuedeutilizarseelcontornocomounalneadecorriente. Engeneral, cuandolaslneasdecorrientesondivergentessedanlascondicionesparaquesepuedaproducirel fenmenode la separacin.La solucinmatemtica de los flujosirrotacionales est basada en la definicin delajuncindeco-rriente, cuyadefinicinincluyeel principiodecontinuidady laspropiedadesdeunalneadecorriente. Elcaudal ijJentredoslneasdecorrientecualesquieraesconstante(yaqueel flujonopuedeatravesarlasl-neas de corriente), y si ijJ puede expresarse en funcin de xe ypueden dibujarse las lneas de corriente. An-logamente, las lneas equipotenciales puedendefinirse por 4>(x, y) = constante. Apartir deestas expre-siones es factible deducir queSolucin:(a) El procedimiento para dibujar la red decorrienteen este casopuedeaplicarsea ca-sosmscomplejos. Paraunfluidoidealseprocede como sigue:yu = 3ijJI3y Y v = -3ijJ13xu= -34>!3x y v= -34>13ypara las lneas de corrientepara las lneas equipotencialesEstas ecuaciones han d satisfacer a la ecuacinde Laplace, es decir,cJ'f + cJ'f_cJx' cJy'o o ooyla ecuacin de continuidad+avcJx ayEngeneral, sedeterminanydibujanlasfuncionesequipotenciales. Acontinuacinsetrazanlaslneasdecorriente, ortogonales a las anteriores, obteniendo la red de corriente.EstetipodesolucionesexactaspuedenverseentextosdeMecnicadeFluidosSuperiores, enHidro-dinmicas oen los de Teora de Funciones de Variable Compleja.(b) Caudal/unidadde anchura=q =I:/);q=qa +qb+qc +qd +qe=5(t:z)(An,)Para1 unidad de anchura, An, =1(/);nz) y q=5(9,0)(1 x0,03)=1,35 m3/segpor unidad de anchura.Por tanto, para fuI =0,09 m, 5 v(0,09 x 1) =1,35, de donde V =3,0 m/seg.VI puede determinarse tambin a partir de: vjvz/);nzlful, vj9,0 0,03/0,09, v = 3,0 m/seg.SI80FUNDAMENTOS DELFLUJODEFLUIDOS [CAP.14. Dibujar las lneas decorriente y equipotenciales paralas condicionesdecontornodadas enFig. 6-6. (Lasreasqueestnsinterminardedibujarsedejanpara quelasutiliceel lectOr.)Solucin:Fig. 6-6l. En las zonas donae el flujotiene lugar entre contornos paralelos se divide la anchura total en 4 partes igual,o tubos de corriente(en AAy enBB). Hay que tratar de dibujar la trayectoria de una partcula a lo largo (una de estas lneas de corriente,dibujando, por ejemplo,la lnea1-1(vase el problema precedente). Se pncede en igual forma conel resto de las lneas de corriente.2. Laslneasequipotencialeshandeserortogonales, tantoalaslneasdecorrientecomoaloscontornos, etodoslospuntos. Sehandeesquematizardemaneraqueformenaproximadamentecuadrados. Partiendde la seccin centraLse dibujanestaslneasortogonales en cada direccin. Antes de obtener unareddeC(rnente de manera satisfactoria ser necesarioutilizar con frecuencia la goma de borrar.3. Se dibujan las diagonales(a trazos en la figura)para comprobar la bondad de la red de corriente. Estas di;:gonales deben formar tambin una red cuadrada.4. Enlafiguralazona esehadivididoen8tubosdecorriente. Seobservaqueloscuadrilteroscurvilneomspequeosseaproximanensuformaa cuadrados msquelosdemayor tamao. Cuantomayorsea (nmero de tubos de corriente, la red de corriente ser ms cuadrada.15. En la Fig. 6-7 se representa una lnea de co-rriente correspondiente a un flujo bidimensio-nal ylas lneas equipotenciales, ortogonales alas primeras, y representadaspor lossegmentosnumeradosdel 1 al 10. Laseparacinentrelaslneas equipotenciales se da enlaco-lumnade la tabla que figura ms adelante. Silavelocidadmediaentre 1 y2es 0,500m/seg,calcular (a) las velocidades medias entre cadados lneas equipotenciales y(b) el tiempoquetardar una partcula fluida en recorrer el es-pacioentre1 y 10alolargodelalneadeco-rriente.Solucin:(a) Utilizando las relaciones entre la velocidad yf1n del Problema 13,Fig.6-71AdemsPor tanto, V2 -3 =0,500(0,500/0,400)=0,625 m/seg. Anlogamente, V3 -4=0,500(0,500;0,300) = 0,833m/seg, etc. Losvaloresas obtenidosparalasvelocidadesmediassedanen\;siguiente tabla.SICAP. 6] FUNDAMENTOS DELFLUJODEFLUIDOSv= I = Posicin

m!seg seg1-2 0,500 1,000 0,500 1.0002-3 0,400 1,250 0,625 0,6403-4 0,300 1,667 0,833 0.3604-5 0,200 2,500 1,250 0,1605-6 0,100 5,000 2,500 0,0406-7 0,0700 7,143 3,571 0,0207-8 0,0450 11,11 5,56 0,0088-9 0,0300 16,67 8,33 0,0049-10 0,0208 24,00 12,00 0,002L = 2,234 seg81(b) El tiempoque tarda unapartculaenrecorrer de 1a2es igual a ladistanciaentre 1y2dividida porla velocidad media entre 1 y 2 o bien /1-2=(0,500/0,500) =1,000 seg. Anlogamente, /2 -3=(0,400/0,625)= 0,640seg, El tiempototal quetardaenrecorrerladistanciaentrel y10 esigualalasumadelostr-minos de la ltima columna, es decir, 2,234 seg.16. Deducir laexpresindel coeficiente rx decorreccinde laenergacinticaparaunflujoperma-nente e incompresible,Solucin:La energa cintica de una partcula es t dM v2, yla energa total de un flujo fluido ser!z ((dM)v2=-Zl (=W f (v dA)v2JA J" g Zg APara calcular esta expresindebe extendersela integralatoda elreaA.Laenergafintica calculadamediante la velocidadmedia en una seccin transversal es t(wQ/g)V';' =t(wA/g)V;v' Aplicandoaestaexpresinuncoeficientedecorreccin ex e igualandoel resultadoalaenergaci-ntica verdadera, se obtienea (wA)(V;v) = Zwf(VdA)V2Zg g Ao1 Sva = -- ( --)" dAA A Vav17. Unlquidoestfluyendoa travs deunatuberacircular, Paraunadistribucindevelocidadesdadaporlaecuacinv =- r2 calcular el coeficientedecorreccindelaenergaci-ntica rx,(a)Fig. 68dA-rF;)?r

(b)Solucin:Esnecesariocalcularlavelocidadmediaparaaplicarlafrmulaobtenidaenel Problema16, Apartir dela ecuacinde continuidad,v" = .!l = fv dA, A f- 12)(Z".1' d1') 2Vmax f'O 2 ' 1 V max= -- (1' 1'-1")(1' = ---r: r: o o 2Estevalorpodrahaberseobtenidotambinalconsiderarquelaecuacindadarepresentaunaparbolayqueel volumen del paraboloide generado por dicha distribucin es igual a la mitad del volumen del cilindro circuns-crito, Por tanto,_ volumen/segreadelabase V max2SI82FUNDAMENTOS DEL FLUJODE FLUIDOSUtilizando el valor de la velocidad media en la ecuacin que da IX,[CAP. 6=Sa A A Vav(Vase Flujo laminar en el Capitulo 7.)_1__ - 2- d2 I .. r r;roo :2 V max2,0018. Atravsde unatuberade 15cmdedimetroestfluyendoaceitededensidadrelativa0,750aunapresinde 1,05kg/cm2 Si laenergatotal respectodeunplano dereferenciasituado2,40mpor debajodel ejedelatuberaesde 17,6kgm/kg, determinarel caudaldeaceiteenm3/seg.Solucin:Energa por kg de aceite = energa de energa cintica (altura energapresin + de velocidad) +potencial1,05 X 104

17 6= ------ + -- + 240, 0,750 x 1000 2g ,de donde VI5=4,85 m/seg. Por tanto, Q =AI5 VI5=!n(0,15Z x 4,85=86 x 10-3m3/seg.19. Unaturbinaproduce600CVcuandoel caudal deaguaatravsdelamismaesde0,60m3/seg.Suponiendo un rendimiento del 87 %, qu altura acta sobre la turbina?Solucin:Potencia de salida (CV) =potencia consumida (CV) x rendimiento=(wQHT/75) x rendimiento600=(1000 x 0,60 x Hrl75)(0,87) y HT=86,3 m.20. Deducir las ecuacIOnes del movimiento para un flujo permanente yunfluido cualquiera.Solucin:Seconsideracomocuerpolibrelamasaelemental defluidodMmostradaenlaFig. 6-9(a)y(b). El movi-mientotienelugar enel planodel papel yseescogeel ejexparaleloaladireccindel movimiento. Nosehanrepresentadolasfuerzas queactansobreel cuerpolibredMendireccinnormal al movimiento. Lasfuerzasque actanen ladireccin x se deben a(1)laspresiones queactansobre las caras delos extremos, .(2) la com-ponentedel pesoy(3) lasfuerzascortantes(dFs enkilogramos)ejercidasporlaspartculasfluidas adyacentes.Fig. 6-9(a)De la ecuacin del movimiento l:.Fx= Max' se obtiene p dA- (p + dp)dA- 1!' dAdi seneL- dFs]Dividiendo (1) por w dA ysustituyendo dl/dt por la velocidad V,[ E._E.._dP-dlsene - dFsJ =10 10 10 I 10dAFig. 6-9(b)10 dA g dtVdVg(1)(2)SICAP. 6] FUNDAMENTOS DELFLUJODE FLUIDOS83dFEl trmino__s_representala resistenciaqueseoponeal movimientoenlalongituddI. Las fuerzas cor-wdAtantes dFs pueden sustituirse por el producto delatensincortante rpor el rea sobrela que acta(perimetro xlongitud), es decir, dFs= T dP dI.dFsT dP dI T dIAs, -- = --- = ._,dondeRseconoceconel nombrederadiohidrulicoy sedefinecomoelco-w dA w dA wRciente delrea dela seccin rectapor el perimetromojadoo.. eneste caso,dA/dP. Lasuma del trabajorealizadopor todas las fuerzas cortantes mide la prdida de energia debida al flujo, y, medida en kgm/kg, serT dI kg/m2x mprdida de carga dhL=- = =mwR kg/m3x m2/mParafuturasreferencias, T(dhL)wR dI(3)Volviendo sobre la expresin (2), como dI sen Ox = dz, adopta finalmente la forma(4) odp VdV- + -- +dz +dh LW gEstaexpresinseconoceconel nombredeecuacindeEulercuandoseaplicaaunfluidoideal (prdidadecarga = O). Al integrarlaecuacinanterior, parafluidosdedensidadconstante, seobtienelalImadaecua-cindeBernoulli. Laecuacindiferencial (4), paraflujos permanentes, esunadelasecuacionesfundamentalesdel flujodefluidos.CASOI. Flujo de fluidos incompresiblesPara fluidos incompresibles la integracin es como sigue:J'1'2 dp J''"2V dV J"2 52- + -- + dz + I dhLPi W VI g zlo (A)Losmtodosdeclculodel ltimotrminosediscutirnenloscaptulossguientes. El trminodelapr-dida de carga total se representa por HvAl integrar ysustituir lmites,(E!.. _ E!.) +(V; _ V;) + (Z2 - Zl) +HLOW W 2g 2g(P2 + V; +Z2)W 2gqueeslaformams conocidadel teoremadeBernoulli, aplicableal flujodefluidosincompresibles(sinadicindeenergaexterior).CASO2. Flujo de fluidos compresibles.5"2dParafluidos compresibles el trmino .-Enopuedeintegrarsehastanoconocer laexpresinde w enPI Wfuncindelavariablep. Larelacinentrewy pdependedelascondiciones termodinmicas implicadas.(a) Para condiciones isotrmicas (temperatura constante) la ecuacin general de los gases puede expresarseen la formapdw =p/w= 'constante o w= (wdh)Pdondewdp esunaconstante y pviene enkg/m2, siendopresinabsoluta. Sustituyendo enla ecuacin(A),J'''2 dp J'''2V dV J ~ J'2-.,------'-.-;-- + -- + dz + dh LPI (WI/P)P VI g '1 IIntegrando ysustituyendo lmites, ~ In E3.. +(V; _ Vi) +en la forma ms conocida, WI Pi 2g 2gOOo bien puestaV2!!.!- In PI +---'- +2, - H,11)1 2g(B)SI84 FUNDAMENTOS DELFLUJODE FLUIDOS [CAP. 6(e)[ !2 In p, +V; +z,Jw, 2gAl combinarestaecuacinconladecontinuidady1 el = 100Fig.8-3QSI120 SISTEMASDE TUBERIASEQUIVALENTES, COMPUESTAS, ENPARALELO YRAMIFICADAS [CAP. ESolucin:La cada dela lnea delas alturaspiezomtricas entre AyE es(36- 22) = 14 m, despreciando los peque-osvalores delasdiferenciasdelasalturasdevelocidad. Loscaudalespuedenconocerse, sinms, apartirdelaspendientesdelaslneasdelasalturas piezomtricas, quesedeterminanfcilmente. As, medianteel Dia-grama B,S30=14/3600= 3,90 m/lOOOm, Q30= 58 I/seg, (42,0 %)S20=14/1200=11,70m/lOOOm, Q20= 35 ljseg, (25,4 %)S25 =14/2400= 5,85 m/1000m, Q25 = 45 l/seg, (32,6 %)Qtotal = 138I/seg, (100,0 %)10. Si en elProblema 9 elcaudaltotal Q fuerade280 l/seg, quprdida de cargatienelugar entreAy EYcmosereparteelcaudalenlasramasdel circuito?Utilizar dosmtodos, el del porcentajey el de la tubera equivalente.Solucin:Enunsistemadetuberasenparalelolamagnitudhidrulicacomneslaprdidadecargaentrelosnu-dos (AE). La resolucin se llevara cabocomo si no se hubiera resueltoel Problema 9.Al suponer unaprdidadecargaentreAyEde8,0m, loscaudales paralaprdidadecargasupuestapuedenobtenerse apartirdel Diagrama B.S30=8/3600=2,22m/1000m, Q30= 45 I/seg, (42,8 %)S20=8/1200=6,67 m/IOOOm, Q20= 27 ljseg, (25,7 %)S25 =8/2400=3,33 m/lOoo m, Q25 = 33 ljseg, (31,5 %)Qtotal = 105ljseg, (100,0 ~ c(a) Mtododel porcentaje.El caudal encada rama delcircuito serunporcentaje constante delcaudal total atravs del circuitoparaunntervalorazonabledelasprdidasdecargaentrelosnudos. Losporcentajesencontradoscoin-cidenrazonablementeconlos tabuladosenel Problema9(dentrodelaprecisinobtenidaenel Diagra-ma By conla regla declculo). Aplicando los porcentajes al caudal dadode 280 ljseg,Q30=42,8 % x 280=120,0ljseg, S30 ~ 15,0m/1000m, (HdA.-E=54 mQ20=25,7 %x280= 72,0ljseg, S20 =43,0 m/1000m, (HrJA.-E=52 mQ25 =31,5 %x 280= 88,0l/seg, S25 =22,0 m/1000 m, (HdA.-E=53 mQ= 280,0 ljsegEstemtododaunacomprobacindelosclculos, comosededucedelostresvaloresdelaprdidade carga obtenidos. Es el mtodo de clculo recomendado.(b) Mtodode la tubera equivalente (utilizar el dimetro de 30cm).Debencalcularseloscaudalesparaunaprdidadecargasupuesta, comoenel mtodoanterior. Em-picando los mismosvalores, paraunaprdida de cargade8,0m, el caudal totalatravs del sistema detu-beras en paralelo es de105 I/seg. Unatuberia equivalente dara elmismo caudalpara una prdida de cargade 8,0 m, es decir,Q=105 ljseg, HL=8,0 m y S30=11,8 m/lOOOm, obtcnida del Diagrama B.De S=h/L, 11,8=8,0m/LE m, y LE=678 m(de tubera de 30cm, el =100).Para el caudal dado dc 280 l/seg, S30 = 80 m/1000 m y la prdida de carga entre A-E= 80 x678/1000= S4 m. Con esta prdida dc carga pueden obtenerse los valores de los tres caudales.ll. Parael sistemamostradoenlaFig. 8-4, (u) cules el caudal si la cada dela lnea dealturas pie-zomtricas entre A y B es de 60 cm? (b) Qu longitud de una tubera de 50 cm (e1 = 120) es equiva-lente al sistema AB?SICAP.8] SISTEMASDE TUBERIASEQUIVALENTES,COMPUESTAS, EN PARALELOY RAMIFICADAS 121Solucin:(a) Lasolucinms directa puedeobte-nerse suponiendo una cada de la lneade alturas piezomtricas (prdida decarga) entreWy Zy sacar deesta hi-ptesis una conclusin lgica.Por ejemplo, suponiendo una pr-didadecargaentre WyZde9m, apartir del Diagrama B,A 1000m- 60 cmD We, =1201500m- lO cmDc,-120900m40cmDe, =120Fig.8-4Z 2400 m-50cmD Be,- 120S30=9/1500 = 6,0 m/1000 m y Q30=(120/100)72 = 86,4I/seg, (26,4 %)S40=9/900 =10,0m/1000 m y Q40=(120/100)200=240,0l/seg, (73,6 %)Qtotal = 326,4I/seg, (100,0 %)Ahorapuede calcularse la prdida de carga entre Ay Bparaelcaudaltotal de 326,4 I/seg. Al emplearel Diagrama B, se utiliza QIOO=(100/120)326,4 =272,0 l/seg.3000De A a W, S60=2,6m/1000 m, HL=2,6 -- = 7,8m, (24,0 %)1000De Wa Z, (el supuesto) 9,0m, (28,0 %)2400De Z a B, S50=6,5 m/1000 m, HL=6.51000=15,6m, (48,0 %)Prdida de carga total (para Q =326,4I/seg) =32,4m, (100,0 %)Aplicando estos porcentajes a la prdida de carga dada de 60 m, se obtiene:14,4(HdA.-w (real)=60x24 %=14,4m, S60=3000 =4,8 m/l000m;(Hdw-z (real) = 60x 28 %= 16,8 m;28,8(Hdz-B (real)=60 x 48 %=28,8 m, S50=2400 =12 m/l000 m.Del Diagrama B, el caudal en la tubera de 60cmser (120/100)(380) = 456I/seg.Comocomprobacin, en la tubera de 50cmel caudal ser Q= (120/100)(380)= 456 I/seg.Estecaudal sedivide enel circuitoWZ enlosporcentajes calculados antes, es decir, 26,4 %y 73,6 %'(b) Utilizandola informacin anterior para elsistema entre Ay B, un caudal de 326,4 I/seg produce una cadaenlalneadealturaspiezomtricasde32,4m. Paraestecaudalde326,4 I/segyenunatuberade50 cm,C = 120S50 = 6,0 m/IOOOm= 32,4/LEo bien LE= 5400mF.I 65.0roFig.8-5El. 15.0ro152.5mr--.........I --- 128,5mI __I ' ---I : DI I /I 1""'";;:\J,1e y/y, < 1.29. Un canal rectangular conduce5,4 m3jseg. Hallar laprofundidadcrtica y, y lavelocidadcdticpara(a)unaanchura de 3,6 my(b)unaanchurade2,7m. (e)Qupendienteproducirlavedad crtica en'(a) si n=O,020?Solucin:(a) Y=Y;;1i = 1(5,4/3,6)279,8= 0.612 m, Ve = = = 2,45 m/seg.(b) Ye = Ni = 1(5,4/2,7)2/9,8= 0,742 m, Ve = jgy, =2,70 m/seg.1 2/3 1'2 1 3,6 X 0,612 2/3 12(e) Ve =--;R S', 2.45=0,020 (--4:824---) , S/ , .')' = 0,00683.30. Un canaltrapezoidal cuyas paredes tienenuna pendiente de2 horizontalsobre1 vertical transtauncaudal de16m3jseg. Si lasoleradel canal tieneunaanchurade3,6m, calcular (a) la'fundidad crtica y (b) la velocidad crtica.SICAP 10] FLUJOENCANALES ABIERTOS175Solucin:(o) El Area Ac= 3.6yc L 2nyc x 2y,) 3,6y, +2y;, y anchura de superficie h' =3,6 +4Ye'., (16)2 (3.6Ye +2y;)JLa expreslon (5) del Problema 27 da--9,8 3,6 +4YeResolviendo e'ita ecuacin por aproximaciones sucesivas, Ye =1,035 m.(b) La velocidad crtica Ve 'ie delermina mediante la ecuacin (6) del Problema 27.\" V =' iAc = 19.8(3,726+2,142) _e Vh' y- 3.6 +4,14 - 2,73 m/segComo comprohacin. haciendov=Ye = 1.035, Ve =Q/Ac = 16/[3.6( 1,035) +2( 1,03WJ =2.73 m/seg.31. Uncanal trapezoidal tieneunasolera de6mdeanchura, lapendientedelasparedesesde 1 so-bre 1 y el aguacirculaa unaprofundidadde 1,00m. Paran=0,015Y uncaudal de 10m3/seg,calcular (a) la pendiente normaL(b) la pendientecrticaylaprofundidadcrticapara 10m3/segy (e) la pendiente crtica a la profundidad normal de 1,00 m.Solucin:(a)1 7ID= (6+ 1)(--)( '. 0,015 6+ 2/2SN=0,000626(b)Q lOv= -= ---A y+y ly - V == 9,8(6Ye+y;)e h' 6 +2YeIgualando los trminos de velOCidad. operando y simplificando. obtenemos, =2043+Ye 'que, resolviendo por aproximaciones sucesivas, da la profundidad crtica Ye = 0.634 m.La pendiente crtica Se se calcula aplicando la ecuacin de Manning:I 6(0634) +(O634)210=[6(0,634) + (0,634)2J(-__ )(- ' ')2/3S;/2, Se =0.00210,015 6 +2(0,634)2)Si estapendientesemantiene uniforme, el flujosercriticoconuna profundidadcrticade0,634myconun Q10 mJ/seg.(e) De (o), paraYN =1,00m. R= 0,793myA= 7,00m2. Porotraparte, aplicandolaecuacin(6) del Pro-blema 27,Sustituyendo estos valore., en la ecuacin de Manning, tenemosSe = 0.00263Estapendienteproducirunflujocriticouniforme en elcanal trapezoidalauna profundidadde 1.00 m.Se observar que en este caso el caudal ser Q= AV= 7,00(2,928) = 20,496 m3/seg.32. Uncanal rectangular de9mde anchotransporta 7,30m3/segconuna profundidadde0,90m.(a) Cul es la energa especfica? Ih) Determinar si el flujo es subcrtico o supercrtico.Solucin:. V21 Q. 2 1 7 30 2(al E= Y+ - =y +--( ._-) == 0,90+---( ------) =0,941 m(kg m/m).2g 2g A 196 9 x 0,90(6) Yc = .;