高等院校非数学类本科数学课程

—— —— 一元微积分学 一元微积分学 高等数学高等数学 A1A1

主讲：马传秀老师主讲：马传秀老师

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首先，理解基本概念。数学中有很多概念。概念反映的是事物的本质，弄清楚了它是如何定义的、有什么性质，才能真正地理解一个概念。

其次，掌握基本理论（定理性质推论结论等）。定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。

第三，熟悉基本方法。在弄懂例题的基础上做适量的习题。要特别提醒的是，课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例题的特点和解法。做题时要善于总结——不仅总结方法，也要总结错误。这样，做完之后才会有所收获，才能举一反三。

　 第四，理清脉络。对所学的知识要有一个整体的把握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的理解，还会对进一步的学习有所帮助。

　 告诫学习他的学生们：坚持 , 你就会有信

心 .

达朗贝尔

成绩的构成

三次机试，各占 10%,

平时 10%,

作业 10%,

期末 50% 。

参考书目：

高等数学 同济大学主编

高等教育出版社

吴赣昌老师的教案

函数 (2 学时，第一章 )( 与中学内容相衔接，以复习为主。 )

1. 理解函数和概念，了解反函数和复合函数的概念。

2. 了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性，熟悉基本初等函数的性质及其图形。

3. 理解初等函数的概念，会建立简单实际问题中的函数关系式。

函数的概念与基本性质

一、函数的概念

二、函数的基本性质

三、函数的代数运算

四、反函数

一、函数的基本概念

1. 函数的定义

)(

,

的定义域。称为函数其中，。，

数，记为上的函为定义在则称

对应，与，按照规则存在唯一的

，使得一个规则为非空实数集。若存在设

fA

Axxfy

Af

xfRyAx

fA

RAf

xfy

:

)( 就是映射实质上，函数

函数的图形。为曲线

的函数；称是为函数，或称习惯上，称

)(

)(

xfy

x

y

xf

处有定义。在点

。此时，称函数或函数值，记为

处的在点称为函数所对应的

)(

0

000

000

0

xf

yyxfy

xfRyAx

xx

。，，即或域，记为

的值，称为函数时的全体函数值的集合

} )( | {)(

)( )(

AxxfyyfR

AffR

fAx

2. 函数的表示法

解 析 法

表 格 法

图 示 法

3. 求函数定义域举例

数学分析的主要研究对象是函数，确定函数的

定义域是一件十分重要的事情。

通常依据：分式的分母不能为零；负数不能开

偶次方；已知的一些函数的定义域；物理意义；几

何意义等来确定函数的定义域。

. )1ln(

14 2 的定义域求函数

xxy

04 2 x

01x

0)1(ln x

综上所述 , 该函数的定义域为 D = ( 1, 2 ) 。

由负数不能开偶次方 , 得

由对数函数的定义域 , 得

由分母不能为零 , 得

] 2 ,2[ x

),1( x

2 x

例 1

解解

.)3(,212

101)( 的定义域求函数设

xfx

xxf

解

2312

1301)3(

x

xxf

212

101)(

x

xxf

122

231

x

x]1,3[: fD故

例 2

例 3 )1( xf已知，， 10 2 xx

，， 21 2 xx )( 的表达式。求 xf

解解 1 ，得令 xt

)(tf，， 21 1 22 ttt

32 2 2 ，， tt

tx 代替

故 )(xf，， 21 122 xxx

32 22 ，， xx

该函数称为符号函数 , 其定义域为

1x

y

O

1

y = sgn x

.),(

例 4

解解0

0

0

,1

,0

,1

sgn

x

x

x

xy求 的定义域。

也称为克朗涅哥函数

,Rx 将 x 表示为 :

函数y = [ x ] = “整数”

称为取整函数，它是一个分段函数。

例 5

“整数” + “正的纯小数” 或 “零”

x

[ x ] ：不大于 x 的最大整数

x

y

O。。。。

。。。

][xy

1 2 3

123

123

1

2

3

4

4142.012

1]2[

5.015.0 1]5.0[

3.037.2 3]7.2[

033 3]3[

033 3]3[

想想取整函数的图形是什么样子？

,0

,1)(D

为无理数

为有理数

x

xxy

例 6

狄利克雷函数就不能作出几何图形 . Dirichlet

1805—1859

狄利克雷是德国数学家，他以出色的数学才能，以及在数论、分析和数学物理方程等领域的杰出成果，成为继高斯之后与雅可比齐名的德国数学界的核心人物之一。

单调性

有界性

奇偶性

周期性

二、函数的基本性质

1.单调性

, )( 21 IxxIxf ，上有定义，在区间设函数

上是单调增加的。间

在区，则称函数若

)( )()( 1212

I

xfxfxfxx

上是严格单调增加的。间

在区，则称函数若

)( )()( 1212

I

xfxfxfxx

在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调增加 , 记为 。Ixf )(

, )( 21 IxxIxf ，上有定义，在区间设函数

的。减少上是单调间

在区，则称函数若

)( )()( 1212

I

xfxfxfxx

的。减少上是严格单调间

在区，则称函数若

)( )()( 1212

I

xfxfxfxx

在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调减少 , 记为 。Ixf )(

函数的单调性是一个局部性的性质 , 它与所讨论的区间 I 有关 .

画画图就一目了然 .

例 7 sin 函数，但在其定义域内不是单调xy

;sin ]2

, 2

[ x上，在

;sin ]2

3 ,

2[ x上，在

我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。

2. 有界性

有界性

有 界

有上界

有下界

设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义。

若存在实数 A , B , 使对一切 x I 恒有

A f ( x ) B

则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界。

否则 , 称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上无界。

函数有界性的定义

y = f ( x )

x

x

y y

A A

B

B

O

O

y = f ( x )

函数有界示意图

函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界。，使 MxfM |)(| 0

O x成立，则称函数 y = f ( x )

在区间 I 上是上方有界的 ,

简称有上界。

设函数 y = f ( x ) 在区间

I 上有定义。

若存在实数 M ( 可正，

可负 ) ，对一切 x I 恒有

O x

y

M

y = f ( x )

f ( x )≤ M

O xf ( x )≥m

在区间 I 上是下方有界的 ,

简称有下界。

设函数 y = f ( x ) 在区间

I 上有定义。

若存在实数 m ( 可正，

可负 ), 对一切 x I 恒有

成立，则称函数 y = f ( x )

O x

y

m

y = f ( x )

函数 y = f ( x ) 有界

f ( x ) 既有上界又有下界 .

在区间 I 上 :

x

y

A

B

O

)(xfy

无穷多个下界，所有下界中最大者称为函数在区

在区间 I 上有下界，则必有若函数 )(xfy

间 I 上的下确界，记为 。)(infI

xfx

无穷多个上界，所有上界中最小者称为函数在区

在区间 I 上有上界，则必有若函数 )(xfy

间 I 上的上确界，记为 。)(supI

xfx

有上 ( 下 ) 界的函数是否必有上 ( 下 ) 确界？

可以证明：有上 ( 下 ) 界的函数必有上 ( 下 ) 确界 .

如何证明或判断函数无界？

提一个问题：

证明或判断无界，通常依据 :

函数 y = f (x) 在区间 I 上无界，

则不论 M > 0 的值取得多么大， 总

,0 Ix 使得 | f ( x0 ) | > M 成立。

易知：

例 8

解解

2。：讨论函数函数的有界性 xy

。函数的定义域为： ) ,( fD

) ,(1 0 0 有，，取因为 MxM

，MMMxf 1)1( |)(| 20

在其定义域内是无界的。 故函数 2xy

在任何一个有限区间内有界。2xy

3. 奇偶性

若 x Df , 有

f ( x ) = f ( x )

成立，则称 f ( x )

为偶函数。

偶函数的图形 关于 y 轴对称。

若 x Df , 有

f ( x ) = f ( x )

成立，则称 f ( x )

为奇函数。

奇函数的图形 关于坐标原点对称。

设函数 y = f ( x ) 的定义域 Df

关于坐标原点对称。

哪些是奇函数 , 哪些是偶函数 :

指出下列函数在其定义域内

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) )8

xy sin xy cos xy

4xxy || xy 5y

xy sgn )1(ln 2xxy

4) 既不是奇函数又不是偶函数

奇 奇

奇 奇

偶

偶 偶

例 9

定理

在关于坐标原点对称的区间 I 内：

两个偶 ( 奇 ) 函数之和仍是一偶 ( 奇 ) 函数。

两个偶 ( 奇 ) 函数之积均为一个偶函数。

一个偶函数与一个奇函数之积是一个奇函数。

定理

的形式。

在关于坐标原点对称的区间 I 内有

定义的任何一个函数 f ( x ) ，均可表示为

区间 I 内的一个偶函数与一个奇函数之和

2

)()()(

2)()(

)( 。， xfxfxh

xfxfxg

，其中证明提示：令 )()()( xhxgxf

4. 周期性

则称 f ( x ) 为周期函数， 称为函数 f ( x )

设函数 y = f ( x ) , x (, ) 。

若存在 0 , 对一切 x (, ) 恒有

y = f ( x ) = f ( x ) ,

的一个周期。

如果一个周期函数有最小正周期存在 , 记为

则称 T 为周期函数的周期。

T = min { } , > 0

通常所说的周期是

故称正弦函数 y = sinx 的周期为 2 。

= 2k ( k Z 且 k 0) 均为函数

y = sin x 的周期 , 而它的最小正周期为

T = min{ 2k }= 2 kZ+

例 10

P21 第 5 ， 7行有误。

三、函数的代数运算

函数的加减乘除

定义域与对应规则均相同的两个函数相同。

如何判断两个函数是否相同 ?

判断函数相同

例 11

解解

是否相同？与函数 ln2)( ln)( 2 xxgxxf

的定义域为)(xf

, ) ,0()0 ,( fD

的定义域为 )(xg

, ) ,0( gD gf DD gf DD

)()( 不相同。与 xgxf

, )( )( Rxgxf 的定义域均为实数域与

, )( )( , || 2 的对应关系相同与即又 xgxfxx

)( )( 相同。与函数 xgxf

例 12

解解

是否相同？与函数 )( || )( 2xxgxxf

复合函数

设有映射 ,)(xgu fDuufy ,)( 及 ,Dgx

的每一个 x 所对应的 u 值，都属于 f (u) 的定义域 Df ，

如果对于映射 )(xg 的定义域 ( 或定义域的一部分 ) 中

那么， 将 )(xgu 代入 消去 u 后 , 就有)(ufy

)()())(( xgfxgfy gg DDx ~

其中， u 称为中间变量。

与称之为函数 复合而成的复合函数。)(ufy )(xgu

复合函数

)(xgu

gDfD

gR)(ufy

x

u

· ·fR··

·y

？如何 描述

gD~

fg DR

由函数

uy ,),0[ u

21 xu ),( x

可构成复合函数

21 xy ]1,1[x

函数复合后一般应重新验证它的定义域

例 13

函数复合而成 ?

uy arccos

它是由以下几个函数复合而成 :

12 xw

vu

例 14

解解

复合函数分解到什么时候为止 ？

以上过程称为 对复合函数的分解 以上过程称为 对复合函数的分解

分解到基本初等函数或基本初等函数的四则运算为止 .

2 arccos ln( 1) y x 函数 是由哪几个

lnv w

例 15

).( ,,3 ,2 )),(()(

)),(()( ,1

)(

1

12

xfnxffxf

xffxfx

xxf

nnn 求

设

解解

)(1

)())(()(

21xf

xfxffxf

,

21 2x

x

,31)(1

)())(()(

221

112

x

x

xf

xfxffxf

,)1(1

))(()( 21

xk

xxffxf kk

设

. )1(1

)( 2xn

xxfn

由数学归纳法可证得：

函数的图形

称为函数 f ( x ) 的图形。

在平面上建立直角坐标系 O x y ，则 x y 平面上的点集

},)(|),({ fDxxfyyx

是否所有的函数均可绘出几何图形？

自由落体运动中 ,位移与时间的关系是

2

2

1tgs 选时间 t 为自变量 :

选位移 s 为自变量 :g

st

2

直接函数直接函数

反函数反函数

习惯上称习惯上称

四、反函数

是一一对应 (即映射 f 是一一对应 ), 称 f 的

f 的反函数 .

只有在一一对应的前提下才能有反函数 .

)(xfy 与 )(1 yfx 互为反函数 .

反函数的定义

为逆映射 )( ),( , : 1 fDxfRyxyf

)( ),( , : fRyfDxyxf 设函数

自己画一下草图

例 16 的反函数。求函数 ) ,(, 2 xxy

存在。在其定义域内反函数不 2xy

为时，它的反函数存在， ) ,0[ x

) ,0[ , 。 yyx

为时，它的反函数存在， ]0 ,(x

]0 ,( , 。 yyx

反函数的图形

将函数 y = f (x) 的反函数写成 x = f 1(y) 时，函数与其反函数的图形相同 .

将函数 y = f (x) 的反函数记为 y = f 1(x)

时，

函数 y = f (x) 与其反函数 y = f 1(x) 的图形关于

第Ⅰ、Ⅲ 象限的角平分线 y = x 对称。

O x

y

)(xfy

)(1 yfx

)(1 xfy

xy

反函数的图形

例 17 的反函数。求分段函数

x

xx

xx

yx 4 ,2

,41 ,

,1 ,

2

1 , yyx

161 , yyx

1 , xxy 得由

41 ,2 xxy由 得

yyx 16 ,log2

由 得 xy x 4 ,2

解解

综上所述，所求反函数为

故所求反函数为

yy

yy

yy

x

16 ,log

161 ,

1 ,

2

求分段函数的反函数是：

先求出各段上函数的反函数，

然后综合起来，得出原分段函数的反函数。

增加的 .

定理减少

减少

, ),( 是严格单调增加的若函数 fDxxf

, ),( 1 且是严格存在则其反函数 fRyyfx

作业

P18 3 ， 4 ， 8 ， 9

).(,1,0,2)1

()( xfxxxx

xfxf 求已知

).(,)(2)12

1( xfxxf

x

xf 求设

解从而由题意得则令 ,

1

1,

1

tx

x

xt

;1

2)

1

1()(,

1

2)()

1

1(

xxfxf

ttf

tf

即

则得再令 ,1

1,

1

1

1

ux

u

u

x

.)1(2

)1

()1

1(,

)1(2)

1()

1

1(

x

x

x

xf

xf

u

u

u

uf

uf

即

三者联立，得又已知 ,2)1

()( xx

xfxf

,2)1

()(

,)1(2

)1

()1

1(

,1

2)

1

1()(

xx

xfxf

x

x

x

xf

xf

xxfxf

.11

11)(

xxxxf解之得

从而由原式得则解：令 ,12

1,

12

1

t

tx

x

xt

,12

1)

12

1(2)(,

12

1)

12

1(2)(

x

x

x

xfxf

t

t

t

tftf 即

,12

1))(2(2)(

x

xxxfxf将原式代入，得

.213

14)(

2

）（整理得

x

xxxf