数制与编码数制与编码

抛砖引玉 ------ 十进制

十进制：• 包含十个数字符号： 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9• 所包含的数字符号的个数称为基数 (Radix) ，用

R 表示。 R=10• 逢十进一： 10 ， 11 ， 12 ，…， 84 ， 123 ， 999 ， 1000 ， 5487 ， 48621 ，…

例子 1

5487= 7×1 + 8×10 + 4×100 + 5×1000

此式称做按权展开式。权分别为 1 (=100) ， 10 (=101) ， 100 (=102) ， 1000 (=103) ， … Ri。 可见，位数越高，权越大。

例子 2

3.42= 2×0.01 + 4×0.1 + 3×1

权分别为： 1 (=100)

0.1 (=10-1) Ri

0.01 (=10-2)

同理，位数越低，权越小。

十进制的总结 它含有十个数码： 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 。

基数 R=10 ，所以“逢十进一”。

权为 Ri ，即 10i (i 的取值范围为 -m ~n-1, n 为位数 ) ，位数越高， i 值越大，此位的权也就越大。

如： 2647.674

为什么要用二进制？ 计算机的各组成部分都仅有两个稳定状态的电子元件组成，如磁盘存在着两种稳定的状态有磁和无磁，电压也有高电压和低电压，由此，计算机采用二进制计数是十分合适的。

二进制的描述

什么是二进制？ 它含有两个数码： 0 、 1

基数 R=2 ，所以“逢二进一”

权为 Ri ，即 2i (i 的取值范围为 -m ~n-1, n为位数 ) ，位数越高， i 值越大，权越大。

二进制计算规则 二进制的计算规则非常简单。以加法为例，二进制的加法规

则有四条：即 0+0=0 ； 0+1=1 ； 1+0=1 ； 1+1=10

如： 0 ， 1 ， 10 ， 11 ， 100 ， 101 ， 110 ， 111 ， 1000 ，1001 ， 1010 ， 1011 ，…， 1011.01

1011.01=1×23 + 0×22 + 1×21 + 1×20 + 0×2-1 + 1×2-2

=1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1 + 0×0.5 + 1×0.25 =8 + 0 + 2 + 1 + 0 + 0.25 =11.25

二 ~ 十进制转换 1101 = 1×23 + 1×22 + 0×21 + 1×20

= 8 + 4 + 0 + 1

= 13

0.101 = 0×20 + 1×2-1 + 0×2-2 + 1×2-3

= 0 + 0.5 + 0 + 0.125

= 0.625

1212

将（ 121 ） 10 转换成二进制数

602

302

152

72

321

余数···········

1

···········

0

···········

0

···········

1

···········

1

···········

1

二进制的低位

二进制的高位

转换结果： （ 121 ） 10= （ 1111001 ） 2

2

0 ···········

1

十进制转换二进制

二进制的缺点

二进制的明显缺点是：数字冗长，书写麻烦，不便阅读。所以，在计算机文献的书写中，常用十六进制数表示。

它含有十六个数字符号：0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 、A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F

基数 R=16 ，所以“逢十六进一”

权为 Ri ，即 16i (i 的取值范围为 -m ~n-1, n 为位数 ) ，位数越高， i 值越大，权越大。

十六进制规则

=

10

=

11

=

12

=

13

=14

=

15

三种数制的对应表示

十进制 二进制 十六进制 十进制 二进制 十六进制0 0 0 8 1000 8

1 1 1 9 1001 9

2 10 2 10 1010 A

3 11 3 11 1011 B

4 100 4 12 1100 C

5 101 5 13 1101 D

6 110 6 14 1110 E

7 111 7 15 1111 F

D 代表十进制 如：11 （ D ）

B 代表二进制 如：11 （ B ）

H 代表十六进制 如： 11（ H ）

数制单位：

十六进制数转成二进制数

24 = 16 1位八进值数恰好与 4位二进制数相对应

“一位拆四位”

例 :将十六进制数（ 3ACD.A1)16转换成二进制数

转换过程：3 A C D .A 1

1101110010100011 .1010 0001

转换结果：（ 3ACD.A1 ） 16 = （ 11101011001101.10100001 ） 2

练习

二进制数转成十六进制数

“四位并一位”

例 :将二进制数（ 10101111011.0011001011 ） 2 转换成十六进制数

转换过程：101101110101 0010 1100

转换结果：（ 10101111011.0011001011 ） 2

= （ 57B.32C ） 16

以二进制数小数点为中心，向两端每四位截成一组，然后每一组二进制数下写出对应的十六进制数码，最高位或最低位不足时，用 0补齐，并将小数点垂直落到十六进制数中。

B75 2 C

. 0011

. 3练习

进制转换例子

2E (H)= 2×161 + 14×160 = 32 + 14 = 46 (D)

2E (H)=101110 (B)

11010 (B) = 1A (H)

练习

1. 将二进制数 110101 转换成十进制数。

2. 将二进制数 1010.101 转换成十进制数。

3. 将十六进制数 2BA 转换成十进制数。

4. 将十六进制数 2BA 转换成二进制数。

答案 1. 110101(B)=32+16+4+1=53(D)

2. 1010.101(B)=8+2+0.5+0.125=10.625(D)

3. 2BA(H)=512+176+10=698(D)

4. 2BA(H)=1010111010 (B)

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