在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。

如果你是顾客，你会选买哪一家的商品？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？

活动一、温故知新1、已知某商品的进价为每件 40元，售价是每件

60元，每星期可卖出 300件，那么这一周的利润是 ___________元 .

1 、利润 = 售价 - 进价2 、总利润 = 单个商品利润 × 销售量

2、已知某商品的进价为每件 40元，售价是每件 60元，每星期可卖出 300件。市场调查反映：如调整价格 ，每涨价 1元，每星期要少卖出 10件。要想获得 6000元的利润，该商品应定价定价多少元？

6000

已知某商品的进价为每件 40 元，售价是每件 60 元，每星期可卖出 300 件。市场调查反映：如果调整价格 ，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件。要想获得 6000 元的利润，该商品应定价定价为多少元？

分析：若设商品每件涨价 x元 ,则销售单价 ____元，那么每件商品的利润可表示为 _______元，每周的销售量可表示为 ___________件，一周的利润可表示为 ______________元，要想获得 6000元利润，可列方程 __________________.

( 60+x)

(300 －－ 10x)

(20+x)(300-10x)

定价为 60 元或 70 元 .

( 60+x-40)

(20+x)(300-10x)=6000

单个商品的利润 销售量 总利润

已知某商品的进价为每件 40 元，售价是每件 60 元，每星期可卖出 300 件。市场调查反映：如调整价格 ，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？

已知某商品的进价为每件 40元，售价是每件60元，每星期可卖出 300 件。市场调查反映：如调整价格 ，每涨价 1元，每星期要少卖出10件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？分析：（ 1 ）用二次函数解决这一问题，我们需确定哪两个变量？其中哪一个量是自变量？（ 2）如果设该商品每件涨价为 x元时，可获得的总利润为 y元，那么如何确定 y与 x之间的函数关系式呢？  （ 3）商品的涨价值 x能取全体实数吗？如果不能，自变量 x的取值范围是什么？（ 4）根据 y与 x函数关系式及自变量 x的取值范围，我们用什么方法求 y的最大值？

已知某商品的进价为每件 40元。现在的售价是每件 60元，每星期可卖出 300 件。市场调查反映：如调整价格 ，每涨价 1元，每星期要少卖出 10件；如何定价定价才能使利润最大？

分析：设每件商品涨价 x元，总利润为 y元，那么每件商品的利润可表示为 ______元，每周的销售量可表示为 _____________件，一周的总利润可表示为 __________________元，可得 ___________________________.

(300 － 10x)

(20 ＋ x)

(20 ＋ x)( 300 － 10x) y= (20 ＋ x)( 300 － 10x)

解：设每件商品涨价 x元，获得的总利润为 y元，

y =(20 ＋ x)(300 － 10x) = － 10x2 ＋ 100x ＋ 6000

∴ 当 x=5 时， y 的最大值是 6250.

答：商品定价为 60+5=65 元时，商场能获得最大利润 6250元 .

得 0≤x≤30

自变量 x 的取值范围是

什么？

∵y= － 10(x2 － 10x ) +6000 = － 10 ［ (x － 5)2 － 25 ］ +6000 = － 10(x － 5)2 ＋ 6250

我们用什么方法求 y 的

最大值？

由 x≥0 且 300 － 10x≥0 ，

涨价后销售量不能为负

已知某商品的进价为每件 40元，现在的售价是每件 60元，每星期可卖出 300件。市场调查反映：如

调整价格，每涨价 1元，每星期要少卖出 10件；每降价一元，每星期可多卖出 20件。如何定价才能使利润最大？

已知某商品的进价为每件 40元。现在的售价是每件 60元，每星期可卖出 300件。市场调

查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出 10件；每降价 1元，每星期可多卖出 20件。如何定价才能使利润最大？

活动四、问题深化

分析：设每件商品降价 x元，获得的总利润为 y元，那么每件商品的利润可表示为 _________元，每周的销售量可表示为 _____________件，一周的总利润可表示为 _______________元，可得 ______________________________.

( 60 － x － 40)(300 ＋ 20x)

(20 － x)(300 ＋ 20x)

y=(20 － x)(300 ＋ 20x)

解 : 设每件商品降价 x 元，总利润为 y 元 .y=(20 － x)(300 ＋ 20x) = － 20x2 ＋ 100x ＋ 6000 怎样确定

x 的取值范围 ?

活动四、问题深化

= － 20(x － 2.5)2 ＋ 6125

∴ 当 x=2.5 时 y 最大， y 的最大值为 6125 元 .

由 x≥0 且 20-x≥0, 得 0≤x≤20,

降价后单个商品的利润不能为负

答：商品定价为 60-2.5=57.5 元时，商场能获得最大利润 6125元 .

解：设每件商品涨价 x元，获得的总利润为 y元，y=(60+x-40)(300-10x) =(x+20)(300-10x) =-10x2+100x+6000 =-10[(x-5)2-25]+6000 =-10(x-5)2+6250 ∵0≤x≤30 ∴ 当 x=5 时 y 最大 , 最大值为 6250 元 .

另设每件商品降价 x元，获得的总利润为 y元，y=(60-x-40)(300+20x) =(20-x)(300+20x) = -20x2+100x+6000 =-20(x2-5x)+6000 =-20(x-2.5)2+6125 ∵0≤x≤20∴ 当 x=2.5 时 y 最大 ,最大值为 6125 元

由 (1)(2) 的讨论及现在的销售情况 ,你知道应该如何定价能使利润最大了

吗 ?

答 : 综合以上两种情况，定价为 60+5=65 元时可 获得最大利润为 6250 元 .

 (09 中考 )某超市经销一种销售成本为每件 40 元的商品．据市场调查分析，如果按每件50 元销售，一周能售出 500 件；若销售单价每涨 1 元，每周销量就减少 10 件．设销售单价为 x 元 (x≥50) ，一周的销售量为 y 件．

(1) 写出 y与 x的函数关系式 (标明 x的取值范围 )解：（ 1） y=500 － 10(x － 50)          =1000-10x      (50≤x≤100) 

(09 中考 )某超市经销一种销售成本为每件 40元的商品．据市场调查分析，如果按每件 50元销售，一周能售出 500 件；若销售单价每涨 1 元，每周销量就减少 10 件．设销售单价为 x元 (x≥50) ，一周的销售量为 y件．

(2) 设一周的销售利润为 S 元，写出 S 与 x 的函数关系式，并确定当单价为多少元时，总利润最大？解：（ 2） S=(x － 40)(1000-10x)  = － 10x2＋ 1400x-40000          = － 10(x － 70)2+9000当 x=70 时，总利润最大，最大利润为 9000 元 . 

(09 中考 )某超市经销一种销售成本为每件 40元的商品．据市场调查分析，如果按每件 50元销售，一周能售出 500 件；若销售单价每涨 1 元，每周销量就减少 10 件．设销售单价为 x元 (x≥50) ，一周的销售量为 y件．

(3) 在超市对该种商品投入不超过 10000 元的情况下，使得一周销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少？

活动五、自主展示(3) 在超市对该种商品投入不超过 10000 元的情况下，使得一周销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少？解：（ 3）－ 10x2 ＋ 1400x-40000=8000 解得： x1=60,x2=80当 x=60 时，成本 =40×[500 － 10 （ 60 － 50 ） ] =16000 ＞ 10000 不符要求 ,舍去 .当 x=80 时，成本 =40×[500 － 10 （ 80 － 50 ） ] =8000 ＜ 10000 符合要求．所以销售单价应定为 80元，才能使一周销售利润达到 8000 元的同时，投入不超过 10000 元．

在上题中 ,若商场规定试销期间获利不得低于 40% 又不得高于 60% ，则销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少？

问题 2.已知某商品的进价为每件 40元。现在的售价是每件 60元，每星期可卖出 300 件。市场调查反映：如调整价格 ，每涨价一元，每星期要少卖出 10件；每降价一元，每星期可多卖出 20件。如何定价才能使利润最大？

解：设商品售价为 x 元，则 x 的取值范围 为 40(1 ＋ 40%)≤x≤40(1 ＋ 60%)

即 56≤x≤64

若涨价促销 , 则利润 y=(x-40)[300-10(x-60)] =(x-40)(900-10x) =-10x2-1300x-36000 =-10[(x-65)2-4225]-36000 =-10(x-65)2+6250 ∵60≤x≤64 ∴ 由函数图像或增减性知当 x=64 时 y 最大 , 最大值为 6240元

若降价促销 , 则利润 y=(x-40)[300+20(60-x)] =(x-40)(1500-20x) =-20(x2-115x+3000) =-20(x-57.5)2+6125 ∵56≤x≤60 ∴ 由函数图像或增减性知 当 x=57.5 时 y 最大 , 最大 值为 6125 元

综上 x=64 时 y 最大 , 最大值为 6240 元 .

1.谈谈这节课你的收获 .

2.总结解这类最大利润问题的一般步骤 :

（ 1 ）分析实际问题中的数量关系，列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；

（ 2 ）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。

活动六、自主评价

多动脑，多实践，定会有大发现！

利达销售店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。当每吨售价为 260元时，月销售量 45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降 10元时，月销售量就会增加 7.5吨，综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用 100元，设每吨材料售价为 x元，该经销店的月利润为 y元。（ 1）当每吨售价是 240元时，计算此时的月销售量；（ 2）求出 y与 x的函数关系式（不要求写出 x的取值范围）；（ 3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元；（4 “ ”）小明说： 当月利润最大时，月销售额也最大 ，你认为对吗？请说明理由。