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类星体大气运动的混沌特征及其成因初探科研菜鸟

2008.10.15

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工作动机 ● 类星体是上世纪六十年代发现的一种新型天体， 其本质目前仍不清楚 ● 复杂多变的光变现象（光度随着时间变化）是类星体的一个重要的观测特征，人们期望通过光变的研究，来获得与其本质相关的信息

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● 对类星体的光变现象的认识存在分歧： 纯粹的随机现象 准周期现象（ ApJ ， 201， 277 ； Chjaa ， 1， 245 ； Ap&SS ， 13， 154 ）

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● 类星体复杂多变的光变现象到底是一种什 么样的现象呢？

● 1960 年代发现的混沌现象为我们提供了新 的研究思路。混沌现象是由非线性机制造 成的，它不同于随机现象，也不同于准周 期现象。 ● 类星体的光变现象是不是混沌现象呢？如 果是，那么导致其出现的非线性因素又是 什么呢？

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类星体的基本观测特征 混沌现象 什么是混沌现象 如何诊断观测信号是否混沌现象 我们的工作 类星体光变现象是混沌现象的证据 为什么类星体光变现象是混沌现象 结果与讨论

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类星体的基本观测特征 ● 类星 ● 离我们的距离非常遥远 ● 高光度、小尺度 ● 复杂多变的光变现象

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类星

类星体

普通恒星

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离我们的距离非常遥远 据哈勃定律推算，类星体的距离远在几亿到几十亿光年之外，是目前已知离我们最遥远的一类星体。现在观测到的最远类星体是 2007 年发现的 C

FHQS J2329-0301 ，距离我们 13 亿光年，右图就是发现这个类星体的天文望远镜

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高光度、小尺度● 每秒太阳照出能量 =40 兆兆仟瓦 照耀了 45 亿年 , 还可以继续照 55 亿年● 最亮的类星体的能量辐射率超过整个银河系，相当于 1012 个太阳辐射功率之和● 观测发现，有的类星体在几天到几周之内，光度就有显 著变化，因此可以判定这些类星体的大小最多只有几“光 日”到几“光周”，大的也不过几光年，远远小于一般的星 系的尺度。 在这么小的尺度之类为什么会产生如此之大的能量？在这些天体的内部到底发生了什么事情呢？

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复杂多变的光变现象

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什么是混沌现象？例子：物种种群的演化模型—— Logistic 模型 设 是第 n 年的物种数量（已归一化），则一年后的物种数量为

A 是无量纲参数，且

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（ a ） A ＝ 2 （ b ） A ＝ 3.1 （ c ） A ＝ 3.5 （ d） A＝ 3.9 类随机的混沌现象在确定性方程中出现了！

Logistic 方程在不同参数下的解

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右图 A=3.9 ，实线的初始点为 0.3 ，虚线为 0.31

相邻轨线的分叉

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A=3.9 时，态空间吸引子的维度约为 0.524混沌吸引子是分形！

分叉图

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混沌现象的特征 ● 混沌现象表面上看起来像随机现象，但它可 以出现在完全确定的系统中 ● 混沌现象发生时，系统长时间的行为对初始 条件极为敏感 ● 态空间中的混沌吸引子是分形

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如何诊断观测信号是否混沌现象？ 针对混沌现象的特征，人们提出了各种诊断混沌的方法，其中态空间重构和关联积分技术是其中广泛使用的一种有效诊断方法。

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● 设与系统有关的所有变量在时刻 的测量值 为 ，其中 是数据采样的时间间隔。这些测量值可以组成 态空间中的一个矢量 ● 定义关联积分

其中，

it, , ,...i i iX Y Z

( , , ,...)i i i iX Y Zv

0 ( 1) , 1,2,...,it t i t i N t

关联积分技术

1 1,

1( ) ( | |),( 1)

N N

i j j i

C r rN N

i jv - v

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Grassberger 和 Procaccia 研究了大量混沌模型，发现对于混沌现象，一般而言有： 其中 被称为关联维度。严格来说，关联维度不是吸引子维度，但与之相差不大，因此我们常常利用关联维度来估计吸引子维度。（ Phys. Rev. Lett. ， 50， 346 ）

cD

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如果我们观察到以下现象，就可以肯定利用关联积分技术诊断出观测信号是混沌现象： ● 满足 ● 是分数cD

诊断条件

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● 在很多实际情况下，我们只能测量到与系统 有关的一个变量，如何根据这一个变量的测量 值来求系统吸引子的维度呢？ Packard 等人提出了态空间重构的方法解决了 这个问题。（ Phys. Rev. Lett. ， 50， 346 ）

态空间重构技术

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● 设 是某一物理变量在时刻 处的一系列观测值，其中 是数据采样的时间间隔。 ● 从这个序列中每相隔时间 取一个值，取 d 次， 然后将这 d 个值依次组成一个 d 维的矢量。按照这种 做法，我们便 可以构造出一系列 d 维矢量 其中 T 常被称为时间延滞（ time delay ）。这一系列 矢量所在的空间，称为嵌入空间，其维度 d 称为嵌 入维度。

0 ( 1) , 1,2,...,it t i t i N

t

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● 此时关联积分为

其中

1 1,

1( , , ) ( | |),( )( 1)

N k N k

i j j i

C r d T rN k N k

i jv - v

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如果我们观察到以下现象，就可以肯定利用态空间重构和关联积分技术诊断出观测信号是混沌现象： ● 对于一定的 d 和 T 满足 ● 存在一定范围内的 T ，使得 随着 d 的增加 先增加，然后趋于饱和。 ● 寻找饱和嵌入维度 约为饱和关联维度 两倍时的 T 值，此 T 值下的 就是我 们所要求的吸引子维度

( , ), , cD d TC r d T rcD

诊断条件

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诊断数据的选择● 利用 3C273 的光变数据来诊断类星体光变现象是否混沌现象● 在目前发现的类星体中，

3C 273 光变的研究具有典型意义： 迄今为止发现的最亮的类星体 光变观测资料也较为丰富（右图是哈勃望远镜拍摄的 3C273 ）

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● 右图是 3C 273 在光学波段约 80 年的光变曲线。● 共 292 个数据点，每一个数据点代表 100天内的平均光度。（ Kunkel ， AJ ， 72， 1341 ）

观测数据3C 273 光变现象是混沌现象的证据

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对于一确定的延滞 T ，计算不同嵌入维度下关联积分。下图是延滞 T ＝ 30 时的计算结果。数据分析（一）

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选择一组延滞值，对每一个延滞重复上面的计算，得到在不同的延滞下，关联维度随嵌入维度变化情况。

数据分析（二）

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我们利用态空间重构和关联积分技术诊断出 3

C 273 光变现象是混沌现象。

小 结

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为什么 3C 273 光变现象是混沌现象 ● 在类星体研究领域，标准黑洞－吸积盘模型在解释观测资料方面获得的巨大成功，因此这个模型常常被人们用来解释光变。 ● 根据数据分析的结果，有两种模型： 黑洞吸积盘＋随机耀斑 黑洞吸积盘＋产生各种周期运动的机制（黄克谅，《类星体与活动星系核》； Chjaa ， 1， 245 ； ）

工作背景

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● 类星体 3C 273 中产生混沌现象的非线性机制是 什么呢？ ● 标准的黑洞－吸积盘模型是否具有产生混沌现 象的非线性机制呢？● 能否利用标准的黑洞－吸积盘模型，但不添加任 何其它的机制，来构建一个光变模型，以解释 3C 273 光变曲线中的混沌现象呢？

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标准黑洞－吸积盘模型的基本物理图象

杨兰田《流体力学与吸积盘理论》

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为了避免计算复杂的流体力学方程组，我们基于标准黑洞－吸积盘模型的基本物理图象，构建了一个简化的黑洞－吸积盘模型。我们期望这个模型能产生混沌现象。

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一、内外两层气体的厚度较小，以至于各自内部气体的切向速度与平均切向速度相差不大。气体盘的高度 H 很小，运动几乎发生在二维的盘面内。各种尺度的关系是： 其中 r 是内层气体的外边界到黑洞中心的距离， 是黑洞的半径

简化黑洞－吸积盘模型介绍

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二、外层的平均切向速度 V保持不变，并始终等于平均开普勒速度，内层平均切向速度 u 受粘滞的作用发生变化，并不等于平均开普勒速度 U

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三、内层气体外边缘受外层气体的粘滞作用，内边缘与黑洞无任何相互作用（ A&A ， 24， 337 ； Ann. Rev. Astron. Astrophys., 19,137 ）

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四、在很短的时间 内，沿径向流过吸积盘内任一柱面（以黑洞为圆柱中心）的物质质量 相等。考虑到只有当 时， ，并且 时，离心力小于万有引力，气体向黑洞运动，规定此时的 ，当 时，离心力大于万有引力，气体背离黑洞运动，此时 ，因此我们简单的假设

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五、内外层气体之间有一厚度为 h 的边界层（阴影部分），并且 ，当外层气体穿过边界层时流向内层气体时，由于引力的作用，气体平均切向速度要从 V 加速至 U

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六、不考虑黑洞所引起的各种相对论效应，只在牛顿力学的框架内讨论问题（ A&A ， 24， 337 ）

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内盘切向速度的演化方程

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其中无量纲光度为，

光度的演化方程

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B ＝ 0.01 ， C ＝ 0.8

内盘切向速度 光度

数值分析（一）——分叉图

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B ＝ 0.01 ， C ＝ 0.8 ， A ＝ 1.95

内盘切向速度 光度

数值分析（二）——相邻轨迹的分叉

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B ＝ 0.01 ， C ＝ 0.8 ， A ＝ 1.95

内盘切向速度 光度

数值分析（三）——关联积分

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以上数值分析的结果，表明我们的模型可以用来定性地解释光变现象为什么是混沌现象。 下面我们将会看到，该模型也可以用来定量地解释一些观测事实。

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模型验证（一）——观测结果斜率约为 1

ApJ ， 272， 11

Outburst Energy ：

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模型验证（一）—— 模型的结果

不同的点在模型中表示具有不同物理属性的类星体，斜率约为 1 Ap&SS, DOI:10.1007/s10509-008-9874-8

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模型验证（二）——观测结果

黑洞质量与 Outburst Energy 正相关，但两者之间的关系仍不明确MNRAS ， 375， 989

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模型验证（二）—— 模型的结果

Ap&SS, DOI:10.1007/s10509-008-9874-8

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● 简化的黑洞－吸积盘模型在某些参数下可以出 现混沌现象，并且和一些观测事实定量地吻合， 因此它能解释 3C 273 光变现象为什么是混沌现象。 ● 内层气体切向速度 u 的演化受两个因素的支配： 粘滞阻力使得 u 减少（因素 A ），从外层流入内层 的受引力加速的气体使 u 增加（因素 B ）。由于因 素 B 是非线性因素，因此在适当的参数时，时而 因素 B 占上风，时而因素 A 占上风，因此就有可能 出现 u 的不规则振荡，从而导致了光变曲线具有 混沌特征。

小 结

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结果与讨论 ● 利用态空间重构和关联积分技术诊断出 3C 273 的光变现象是一种混沌现象 ● 构建了一个简化的黑洞－吸积盘模型，这个模 型能解释类星体的光变现象为什么是混沌现象 ● 以后的工作：收集更多数据，进行精确计算； 利用其它方法，寻找更多证据，特别是 1/2 幂律 的验证；引入 MHD ，改进模型。。。。。

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谢 谢！

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附 录态空间： 非线性动力学中态空间的定义类似经典力学中态空间的定义，只不过非线性动力学涉及的系统非常广泛（甚至包括经济和社会系统），所以构成态空间的基矢就不一定是广义坐标和广义速度，维度也不一定是偶数。态空间的概念是非线性动力学中的一个非常重要的概念，这是因为对于复杂的非线性系统，我们往往很难列出其运动方程，即使找出了能够描述系统的运动方程来，也往往得不到其解析解，所以说，通过研究态空间中系统状态演化轨迹的几何特征来探索系统的动力学机制，在非线性动力学中显得尤为必要。

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吸引子： 系统在态空间中的轨迹经过长时间的演化后，若趋近或稳定于相空间中某些特定的区域，这些特定的区域所构成的几何图形就称为吸引子。吸引子可以是一维的，比如说摆动的单摆最终会停下来，在态空间中就表现为系统的轨迹最终稳定于一点，这一点便是单摆系统的吸引子。吸引子也可以是二维的，比如月球绕地球运动在态空间中的轨迹是一条闭合的曲线，这条闭合的曲线便是月球系统的吸引子。吸引子的维度还可以是分数的，这类吸引子在几何上表现的非常不规则和复杂。非线性动力学告诉我们，具有分数维度的吸引子往往对应着混沌运动。

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红移 天体的光谱线向波长较长的方向移动，即向红端移动，这就是红移。通常认为红移是由开普勒效应引起的。由哈勃定律，根据测量得到的红移我们可以计算天体的距离和退行速度。

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边界层： 在流体力学中，在不同介质（流体与流体之间、流体与固体之间等等）分界面附近的流体层称为流体边界层。流体边界层与远离边界的流体的物理性质有很大不同，受分界面的影响，边界层内流速的梯度往往较大。（ Landau ， Fluid Mechanics ， 1987 ）

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关联积分： 测量混沌吸引子的维度有多种方法，开始较为常用的是数盒子方法，这种方法虽然概念简单直观，但非常繁杂耗时。后来， Grassberger 等人引入关联积分来计算关联维度，使得计算维度变得简单省时。因此关联积分正是作为一种有效的测量吸引子维度的工具而被引入的。在这里需要强调一点的是：关联积分是一种不依赖于任何具体物理模型和先验观念（ preconception）的测量吸引子维度的工具，因而可以被广泛应用在很多系统中。 关联积分没有任何物理意义，它只是一个诊断工具，用来诊断混沌现象是否存在。这就好比医生用的听筒，也只是一个诊断人是否患病的工具，我们从来不去关心听筒有什么病理学意义。

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研究工作的意义： 为类星体光变研究提供了一个新的研究思路，也即是利用非线性与复杂性科学的概念和方法来研究类星体复杂的光变现象。因为真实的世界是一个非线性的世界，类星体内部必然具有各种非线性和复杂性的因素存在，因此我们提供的这个新的研究思路具有合理性。另外，通过报告中所讲的我们的工作，可以看出我们提供的这个新的研究思路具有可行性。

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满足诊断条件的难道仅仅只有混沌信号吗？从研究方法上来讲：一方面，混沌现象比前面提到的随机现象或准周期现象更加吸引人，更加具有研究价值，因此一旦利用诊断方法分析出信号具有混沌特征的时候，我们更倾向认为它是一个混沌信号。另一方面，我们采用了“证伪”的研究方法，也既是不正面证明满足该诊断条件的现象是否唯一，而是采用不同的诊断方法来诊断信号。如果每一种方法都认为这个信号具有混沌特征，那么我们很自然的认为这个信号是混沌，直到有一种方法能诊断出它不具有混沌特征，我们再去寻找其它的可能性。

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Lorenz模型的分析（一）：

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Lorenz模型的分析（二）：

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Lorenz模型的分析（三）：我们延滞 T ＝ 20 估计的 Lorenz 混沌吸引子维度为：2.088 ＋ / － 0.025

Lorenz 混沌吸引子的精确维度为：2.068 ＋ / － 0.086（ Sprott , Chaos and Time Series Analysis ， 2003 ）