จำ��นวนเชิ�ง ซ้�อน

ร�ยชิ��อสม�ชิ�กกลุ่��ม1. น�ย พงษ์�ปภั�ค เตี ยวน�ก!ลุ่ธรรม ม. 5/1

เลุ่ขที่ � 12. น�ย ภั�ที่รพลุ่ ส�บอ��� ม. 5/1 เลุ่ขที่ �

53. น�ย ไพฑู!รย� เสน� ม. 5/1 เลุ่ขที่ �

8

4. น.ส. จำ�ฑู�ม�ศ ส�ป)นเวชิ ม. 5/1 เลุ่ขที่ � 13

5. น.ส. ณั�ฐพร ค��ส�ง ม. 5/1 เลุ่ขที่ � 16

6. น.ส. ชิญ�น�ษ์ฐ� เม�องส�ง ม. 5/1 เลุ่ขที่ � 17

7. น.ส. ป�ณัย�ศ� พ�ศพ�นธ�� ม. 5/1 เลุ่ขที่ � 39

8. น.ส. ม�ณัฑูน� ย �หว� ม. 5/1 เลุ่ขที่ � 41

9. น.ส. ว�ลุ่ลุ่�พร วงศ�ห�ญ ม. 5/1 เลุ่ขที่ � 42

10.น.ส. ส�ร�น�นที่� ส�วรรณั�ภัรณั�ม. 5/1 เลุ่ขที่ � 43

11.น.ส. ภัร�ตี� ค��ยสว��ง ม. 5/1 เลุ่ขที่ � 44

ข�อ1

ข�อ 2

ข�อ 3

ข�อ 4

ข�อ 5

ข�อ 6

ข้�อ 7

ข�อ 8

แบบฝึ0กห�ดที่ � 31 .จำงเข ยนจำ��นวนเชิ�งซ้�อนตี�อไปน 2ในร!ปเชิ�งข�2ว 1 + i ว�ธ ที่�� r = 2 tan θ = 1 θ =45°, ¶/4

z = r (cos θ+ i sin θ ) 1 + i = 2 ( cos ¶/4 + i sin ¶/4 ) ด�งน�2น 1 + i = 2 ( cos ¶/4 + i sin ¶/4 ) Answer

–3iว�ธ ที่�� r = 3 tan θ = -3/0 = 0

θ = 270°,3¶/

z = r (cos θ+ i sin θ )

-3 i = 3 ( cos 3¶/2 + i sin 3 ¶/2 )

ด�งน�2น -3 i = 3 ( cos 3¶/2 + i sin 3 ¶/2 )

Answer

1.3-3iว�ธ ที่�� r = 3 2 tan θ = -3/3 = -1 θ = 315°, 7¶/4 z = r (cos θ+ i sin θ )3-3i = 3 2 ( cos 7¶/4 + i sin 7¶/4 )

ด�งน�2น 3-3i = 3 2 ( cos 7¶/4 + i sin 7¶/4 ) Answer

น.ส. วั�ลลาพร วังศ์�หาญ

4. –2 + 2 3 iว�ธ ที่�� r = 4 tan θ = - 3 θ = 120°, 2¶/3

z = r (cos θ+ i sin θ )–2 + 2 3 i = 4 ( cos 2¶/3 + i sin 2¶/3 )ด�งน�2น –2 + 2 3 i = 4 ( cos 2¶/3 + i sin 2¶/3 ) Answer

น.ส. ส�ร�น�นท์� ส�วัรรณาภรณ�

5. –5 3 - 5i ว�ธ ที่�� r = 10 tan θ = 1 / 3 θ = 210°, 7¶/6

z = r (cos θ+ i sin θ )

–5 3 - 5i = 10( cos 7¶/6 + i sin 7¶/6 )

ด�งน�2น –5 3 - 5i = 10( cos 7¶/6 + i sin 7¶/6 )

Answerนาย พงศ์�ปภ�ค เตี�ยวัน�กู�ลธรรม

6. 1- i/1+iว�ธ ที่�� r = 2 tan θ = 0

θ = 270°, 3¶/2

z = r (cos θ+ i sin θ )

1- i/1+i = 2( cos 3¶/2 + i sin 3¶/2 )

ด�งน�2น 1- i/1+i = 2( cos 3¶/2 + i sin 3¶/2 )

Answerนาย พงศ์�ปภ�ค เตี�ยวัน�กู�ลธรรม

2.เม��อ z1 แลุ่ะ z2 เป5นจำ��นวนเชิ�งซ้�อนโดยที่ � z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1) z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2)ถ้�� z1 = z2 แลุ่�วจำงห�คว�มส�มพ�นธ�ระหว��ง r1 ก�บ r2 แลุ่ะ θ1 ก�บ θ2

ว�ธ ที่�� r1 (cos θ1 + i sin θ1) = r2 (cos θ2

+ i sin θ2) ด�งน�2น r1 = r2 (cos θ2 + i sin θ2)

(cos θ1 + i sin θ1)

โดย นายภ�ท์รพล ส#บอ%&า ม.5/1 เลข้ท์�& 5

3. จำงเข ยนจำ��นวนเชิ�งซ้�อนตี�อไปน 2ในร!ป a+bi 1. (1 - i)10ว�ธ ที่�� r = 2 tan θ = -1/ 1 = -1 θ = 315° จากู Zn = rn (cos nθ + isin nθ) จะได� z10 = 1,024(cos (10 x 315) + isin (10 x 315))

(1 - i)10 = 1,024 (0 - 1 i)

ด�งน�2น (1 - i)10 = -1,024 i Answer

2. ( 1+ 3 i)8

ว�ธ ที่�� r = 2 tan θ = 3 θ = 60° จำ�ก Zn = rn (cos nθ + isin nθ) จำะได� z8 = 256(cos (8x 60°) + isin (8 x 60°)) z8 = 256(cos (480°) + isin (480°))

z8 = 256( -1 /2 + 3 /2 i)

ด�งน�*น z8 = -128 + 128 3 i Answer

น.ส. ภร�ตีา ค�+ยสวั+าง

3. ( 2 - 2 i )5

ว�ธ ที่�� r = 2 tan θ = -1 θ = 135°

จำ�ก Zn = rn (cos nθ + isin nθ)

จำะได� z5 = 32(cos (5x 135°) + isin (5 x 135°))

z5 = 32(cos (1575°) + isin (1575°))

z5 = 32( - 2 /2 + 2 /2 i)

ด�งน�*น z5 = - 16 2 + 16 2 i Answer

4. (-1 +i)12 ว�ธ ที่�� r = 2 tan θ = 1/ -1 = -1 θ = 135° จำ�ก Zn = rn (cos nθ + isin nθ) จำะได�

z12 = 4,096(cos (12 x 135) + isin (12 x 135)) (1 - i)12 = 4,096 ( -1 + 0 i)

ด�งน�2น (1 - i)12 = -4,096 Answer

โดยน�ส�วม�ณัฑูน� ย �หว� ม.5/1 เลุ่ขที่ � 41

โจท์ย�ค#อ (-1+i)12

=((-1+i) 2)6

=(-2)6 i6

=64i2

ANS

5.รากูท์�& 4 ข้อง 81ir = 81θ = 90˚k = 0 , 1 , 2 , 3กูรณ� k = 0

x = n√ r [ cos ( θ+n2k¶ ) + isin ( θ+n2k¶ )]

= 4√ 81 [ cos ( 90+42(0)¶ ) + isin ( 90+42(0)¶ )]

= 3 [ cos 8¶ + isin 8¶ ]กูรณ� k = 1

x = n√ r [ cos ( θ+n2k¶ ) + isin ( θ+n2k¶ )]

= 4√ 81 [ cos ( 90+42(1)¶ ) + isin ( 90+42(1)¶ )] = 3 [ cos 85¶ + isin 85¶ ]

กูรณ� k = 2

x = n√ r [ cos ( θ+n2k¶ ) + isin ( θ+n2k¶ )]

= 4√ 81 [ cos ( 90+42(2)¶ ) + isin ( 90+42(2)¶ )]

= 3 [ cos 89¶ + isin 89¶ ]กูรณ� k = 3

x = n√ r [ cos ( θ+n2k¶ ) + isin ( θ+n2k¶ )]

= 4√ 81 [ cos ( 90+42(3)¶ ) + isin ( 90+42(3)¶ )] = 3 [ cos 813¶ + isin 813¶ ]

น�งส�วจำ�ฑู�ม�ส ส�ป)นเวชิเลข้ท์�& 13 ชั้�*นม.5/1

7. ถ้�าz = r(cos€ + isin€) จงแสดงวั+า (Zn) = (z)n เม#&อ n เป/นจ%านวันเตี0มบวักู

เน#&องจากู z = r(cos€ + isin€) จะได� zn = rn (cosn€ + isin€)............1.

น�&นค�อ (z)n = rn (cosn€ - isin€).................2

จากู 1 ได� (z) = r (cosn€ - isin€)

น�&นค�อ (z)n = rn (cosn€ - isin€).................3

2 = 3 แสดงวั+า (Zn) = (z)n

น.ส. ภร�ตีา ค�+ยสวั+าง

1. จำงห�ผลุ่ค!ณัแลุ่ะผลุ่ห�รของจำ��นวนเชิ�งซ้�อนตี�อไปน 2โดยร!ปเชิ�งข�2ว

1. Z1 = -1 + i , Z2 = 1- i

€1 = 135o , €2 = 1- i

ผลุ่ค!ณั Z1 Z2 = ( cos (135 + 315)) + isin

(135 + 315)) = 0 + 1i = i

ผลุ่ห�ร Z1/Z2 = cos(135 -315) + isin

(135 + 315) = -1 + 0 = -1

2. Z1 = i , Z2 = 4+4i

r1 = 1 , r2 = 32

€ 1 = 45O , €2 = 45O

ผลุ่ค!ณั 4 2 (cos 0O + isin 0O) Z1/Z2 = 4 2 i

ผลุ่ห�ร 1 / 4 2 = (cos 0O + isin 0O) = 1 / 4 2 i

3. Z1 = -2 + 2 3 , Z2 = 3 – 3 3 i

r1 = - 3 , r2 = - 3

€ 1 = 120O , €2 = 300O

ผลุ่ค!ณั 3 (cos 420 + isin 420) = 3 ( ½ 32+ / )i

= 32 32/ + / i

ผลุ่ห�ร Z1/Z2 = (cos -180 + isin -180)

= -1

4. Z1 = - 3 + i , Z2 = 2 3 + 2i

r1 = 2 , € 1 = 300O

r2 = 4 , €2 = 30O

ผลุ่ค!ณั Z1 Z2 = 8(cos 360 + isin 360)

= 8

ผลุ่ห�ร Z1/Z2 = 1/2 (cos 300 + isin 300)

= ½( ½ + - 3/2 )

5. Z1 = 1 - 3 i , Z2 = 3 3 + 3i

r1 = 2 , € 1 = 300O

r2 = 6 , €2 = 30O

ผลุ่ค!ณั Z1 Z2 = 12(cos 360 + isin 360)

= 12(1+0) = 12

ผลุ่ค!ณั Z1/Z2 = 1/3 (cos 270 + isin 270)

= 1/3 (0 – 1i) = -1/3i

สมาชั้�กูท์�*งหมด

เสนอตี�อ ค�ณัคร! น�ตีพลุ่

ธรรมลุ่�งก�

ขอบค�ณั