固体電子物性特論

第 4 回石橋隆幸

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http://mst.nagaokaut.ac.jp/~t_bashi/ppt/ppt2009.html

授業のファイル（物質・材料系内からのみアクセス可） 固体電子物性特論　第１回　結晶と逆格子　（ 2009.4.20 ）固体電子物性特論 09-1.ppt　第２回　フォノン　　（ 2009.4.27 ）固体電子物性特論 09-2.ppt　第３回　エネルギーバンド　（ 2008.5.1 ）固体電子物性特論 09-3.ppt　第４回　金属、半導体の電子分布　（ 2008.5.11 ）　第５回　 p-n 接合　 (2008.5.18) 　第６回　光学特性、磁気特性　 (2008.5.25) 　第７回　超伝導 　 (2008.6.1) 　

今日の内容

• エネルギーバンド– バンドの形成

• 状態密度• フェルミ分布関数

– 金属のバンド– 半導体のバンド

• 真性半導体• 外因性半導体

ブロッホ関数

€

ψ =uk (k)eik⋅r

周期ポテンシャル

€

V (x) =V (x + na)

….n=1, 2, 3, N

€

a

１次元の場合を考えてみる

波動関数を

€

ψ(x + a) =Cψ (x)

とすると

€

ψ(x) はどのような関数になるか

€

ψ(x + Na) =ψ (x)波動関数 （周期的境界条件を考慮）

演習

金属、半導体、絶縁体

抵抗率(resistivity)

導電率(conductivity)

€

σ Ω−1 ⋅cm−1[ ]

€

ρ Ω⋅cm[ ]

€

σ =1

ρ

エネルギーバンドの構造

E

許容帯

禁制帯

許容帯

電子が取りうる準位がある

準位がない

金属の場合

電子がつまっている

エネルギーバンドの構造

E

許容帯

禁制帯

許容帯

半導体、絶縁体の場合

電子がつまっている

電子がない禁制帯の幅の大きさによって分類例　 Si : 1.1 eV　ダイヤモンド : 5.6 eV

半導体と絶縁体おおよそ 3 eV が目安

電子分布どのように電子が分布するか

分布関数　電子が占める確率

状態密度関数　単位体積当たりの電子密度

分布関数と状態密度関数を掛け合わせたものが電子分布を表す。

フェルミディラック分布関数

€

f (ε) =1

1+ expε −ε fkBT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

ε f フェルミエネルギー

€

ε =ε f

f (ε) =1

2

のとき

状態密度関数

€

g(ε)dε =V

2π 2

2m

h2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟3 2

ε1 2dε

統計量子力学よりε と dε の間にある状態密度は

€

g(ε) 状態密度関数

金属の場合

€

N = g(ε) f (ε)dε0

∞

∫

=V

3π 2

2mε f 0

h2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

3 2

€

n = N V = 5 ×1022cm−3

€

ε f 0 = 4.9 eV58000K の温度に相当

自由に動き回れる電子のもつエネルギーはフェルミエネルギー

とすると

半導体の場合

下側の許容帯は電子が詰まっている

フェルミレベルは禁制帯の中

正孔ができる電子・正孔対

正孔、電子ともに動き回ることができる。ただし有効質量が異なる

バンドギャップと色

νλ h/1240=

3.0 eV

2.5 eV

2.0 eV

1.5 eV

3.5 eV

ダイヤ 5.6 eV ZnS 3.5 eVCdS 2.6 eVGaP 2.2 eVHgS 2.0 eVGaAs 1.5 eVSi 1.1 eV

コニカミノルタのホームページより

半導体の色• 透過光の色

– バンドギャップより低いエネルギーの光を全部通す

– Eg>3.3eV ：無色透明– Eg=2.6eV ：黄色– Eg=2.3eV ：橙色– Eg=2.0eV ：赤色– Eg<1.7eV ：不透明

• 反射光の色HgS

www.lotzorox.com/cinn3b.JPG

ZnSe, ZnShttp://www.ii-vi.com/

GaAshttp://www.ii-vi.com/

Gehttp://www.ii-vi.com/

Sihttp://www.anstro.gov.au/

diamondhttp://www.sei.co.jp/

真性半導体の電子分布電子

€

ge =V

2π 2

2me*

h2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

3 2

ε −εc( )1 2

€

gh =V

2π 2

2mh*

h2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

3 2

εv −ε( )1 2

正孔

ボルツマン分布

€

f (ε) ≅ exp −ε −ε fkBT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

1− f (ε) ≅ expε −ε fkBT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

me*,

€

mh*

は電子、正孔の有効質量

（不純物を添加していない）

真性半導体の伝導帯の電子密度

€

n =V

2π 2

2me*

h2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

3 2

ε −εc( )1 2

exp −ε −ε fkBT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟dε

ε c

∞

∫

€

n = Nc exp −εc −ε fkBT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Nc = 2me

*kBT

2πh2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

3 2

伝導帯の電子に対する実効状態密度

€

Nc

真性半導体の価電子帯のホール密度

€

p =V

2π 2

2mh*

h2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

3 2

εv −ε( )1 2

expε −ε fkBT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟dε

−∞

ε v∫

€

p = Nv expεv −ε fkBT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Nv = 2mh

*kBT

2πh2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

3 2

価電子帯のホールに対する実行状態密度

€

Nv

真性半導体の伝導帯の電子密度

€

n = Nc exp −εc −ε fkBT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Nc = 2me

*kBT

2πh2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

3 2

伝導帯の電子に対する実効状態密度

€

p = Nv expεv −ε fkBT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Nv = 2mh

*kBT

2πh2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

3 2

価電子帯のホールに対する実行状態密度

€

Nv

€

Nc

半導体中の伝導体の電子と価電子帯の正孔の密度は実効状態密度と温度およびフェルミ準位で決まる。

演習

この積分を実行して、

ヒント

€

n =V

2π 2

2me*

h2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

3 2

ε −εc( )1 2

exp −ε −ε fkBT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟dε

ε c

∞

∫

€

ε−ε fkBT

= x

€

t1 2 exp −t( ) dt =π

20

∞

∫

€

n = Nc exp −εc −ε fkBT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Nc = 2me

*kBT

2πh2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

3 2

を導きなさい。

変数変換

真性キャリア密度

€

p = n = ni = NcNv( )1 2

exp −εg

2kBT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

真性半導体では n=p なので真性キャリア密度は電子、正孔の有効質量、温度、バンドギャップで決まる

半導体 禁制帯幅 電子の有効質量 正孔の有効質量Si 1.11 0.32 0.64

Ge 0.67 0.22 0.29

GaAs 1.43 0.067 0.48

GaP 2.26 0.37 0.60

€

np = ni2また

€

ni = NcNv( )1 2

exp −εg

2kBT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

k = Aexp −E

kBT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

アレニウスの式

€

E 活性化エネルギー

化学反応など熱活性に関する多くの現象に見られる関係

真性フェルミ準位

€

ε f = ε i =εc + εv

2+kBT

2lnNvNc

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

me = mh のとき

€

Nv = Nc

フェルミ準位はバンドギャップの中央

なので

外因性半導体Ｓ i 結晶に　 5 つの価電子を持つ P やAs を添加した場合　 5 つの電子のうち 4 つは共有結合に使われ、１つ余る。この電子は伝導電子となる。

　 3 つの価電子を持つ B などを添加した場合、共有結合に使われる電子が一つ足りない。これが正孔となる。

n型

p型 n 型半導体

p 型半導体

ドナー

アクセプタ