簡要說明

四邊形國中幾何ｅ化講義　　國中幾何ｅ化講義　　台北市立金華國中吳柏卓編製台北市立金華國中吳柏卓編製

GSP 簡要說明

首先說明四邊形的外角和與內角和之外，由於平行四邊形是四邊形中具有較多特性的一種，所以就其性質詳加說明。

「有兩組對邊分別平行的四邊形」，就是平行四邊形。透過直接觀察平行四邊形的「產生」，再由過程中去體會推論出平行四邊形的性質與判別方法。

其它如：矩形、正方形、菱形，都是平行四邊形的特例，只簡單的介紹它們的定義。再來也要認識「梯形的兩腰中點連線性質」與「鳶形的線對稱性」。


GSP 外角和【 360° 】 -(1)

每個內角各有兩個相鄰的外角（互為對頂角，各取其一）。如圖，□ ABCD 的四個外角和等於 360 度，即∠ 1＋∠ 2＋∠ 3＋∠ 4＝ 360° ，稱為四邊形的外角和定理。仿照「三角形外角和」，使用「繞圈圈」方法，可將外角和等於 360 度的結論很明顯的操作出來。

相同操作模式，可推得「 N邊形的一組外角和＝ 360 度」。

D3 C

B

A

4

21

G S P


GSP 內角和【 360° 】 -(2)

除了可仿照三角形「繞圈圈」的操作得到結論之外，常用的方法是將四邊形做適當的分割，再應用已知的「三角形內角和＝ 180 度」求解而得。

同理，可推得「 N邊形的內角和＝ (N－ 2) ×180 度」。由（ N個平角和－外角和＝內角和）最符合ㄧ般性的解法。

G S P

平行四邊形國中幾何ｅ化講義　　國中幾何ｅ化講義　　台北市立金華國中吳柏卓編製台北市立金華國中吳柏卓編製

GSP

回流程圖

直觀操作 -(1)

平行四邊形的定義是：兩組對邊分別平行。所以，利用「定義」的方法，將兩組平行線交錯疊合，顯然形成平行四邊形。

想想：此操作方法可合理推論出平行四邊形的什麼特性呢？

G S P


GSP

回流程圖

直觀操作 -(2)

將一線段的端點沿著直線方向平移（圖形沿相同方向移動相同距離），則其外圍軌跡形成平行四邊形。


G S P


GSP

回流程圖

直觀操作 -(3)

將兩全等且重合的三角形，以其中一塊三角形的一邊中點為旋轉中心，旋轉 180 度，則由「旋轉 180 度產生重合線段或平行線」的概念，確知對邊是對應邊互相平行，可以拼出平行四邊形。


可直接認為兩全等三角形可以「旋轉拼出」平行四邊形。

G S P


GSP

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性質與判別方法 -(1)

平行四邊形的邊、角、對角線彼此之間有什麼固定不變的關係存在呢？這種存在於特定圖形的特定關係，數學上稱為該圖形的性質，是必須透過合理的推論過程加以解釋的。

國中常提到的平行四邊形的性質有：(1) 兩組對邊分別平行。（定義）(2) 兩組對角分別相等。(3) 兩組對邊分別相等。 (4) 對角線將平行四邊形分割成兩全等三角形。 (5) 兩對角線互相平分。

D C

BA

G S P


GSP

回流程圖

性質與判別方法 -(2)

判別方法：是指一個四邊形合乎某些條件之後，就可因此判斷、確定它是平行四邊形。常由「性質」逆向思考、尋找（就如同數學算式的倒推）。判別方法也是必須透過合理的推論過程加以解釋的。國中常提到的平行四邊形的判別方法有：(1) 兩組對邊分別平行。（定義）(2) 兩組對角分別相等。(3) 一組對邊平行且相等。 (4) 兩組對邊分別相等。 (5) 兩對角線互相平分。

即：四邊形合乎上述 (1)～ (5)任一條件，那就可因此判斷、確定它是平行四邊形。

D C

BA

G S P


GSP

回流程圖

兩組對角分別相等 -(性質 )

使用『操作 -(1)』可以作出任意的平行四邊形，先備經驗：【過直線外一點恰有一條平行線】、【重合（共線）平移平行】。因為「平移」可得「同位角」相等，又兩相交直線，產生「對頂角相等」，進而推得「對角相等」。

結論（性質之 2）：平行四邊形的兩組對角分別相等。

G S P


GSP

回流程圖

兩組對角分別相等 -(判別 )

結論（判別之 2）：若四邊形的兩組對角分別相等，則是平行四邊形。

D C

BA

則∠ A與∠ D的外角（∠ 1）相等，因為有一邊共線，表示∠ A可平移至∠ 1，所以，對邊（對應邊）　　　　平行。同理，另一組對邊　　　　也會平行。推得四邊形的兩組對邊分別平行，由定義知，此四邊形為平行四邊形。

AB 與 DCAD 與 BC

1

反之，若一四邊形有兩組對角分別相等，如圖，由四邊形內角和為 360 度，可以推算出兩鄰角的和為 180 度（∠ A＋∠ D＝ 180° ），


GSP

回流程圖

一組對邊平行且相等 -(判別 )

結論（判別之 3）：若四邊形有一組對邊平行且相等（線段平移），則是平行四邊形。

使用『操作 -(2)』，將線段端點貼齊直線平移，其外圍軌跡形成平行四邊形，且在操作過程確定對邊相等。

結論：由線段平移所作出的平行四邊形，其對邊等長。

將　　的端點 A，貼齊直線 L，沿著直線平移至　　處。因為「平移」，所以　　　　且　　　　，又 A 點沿著直線路徑平移到 D點，所以 B點也會沿著相同方向（沒有旋轉）　與相同路徑長度平移到 C點，所以　　　　且　　　　。AD //

BC

AB // DC

AD ＝ BC

AB ＝ DC

AB DCL

B

D

A

C

G S P


GSP

回流程圖

BA

兩組對邊分別相等 -(性質 )

利用「線段平移」作出的平行四邊形，其對邊等長。但若先給予平行四邊形，如何說明其對邊等長呢？想法：任意給予的平行四邊形都可利用「線段平移」方法把它給作出來，如此就可說「對邊等長」了。

Q

S

P

R

結論（性質之 3）：平行四邊形的兩組對邊分別相等。

(1) 先給予平行四邊形 PQRS，作直線 L＝　，　　　。將　沿著 L平移至 S點，設為 D 點，則 P、 Q、 S分別與 A、 B、 D重合。

PSAB＝ PQ AB

(2) 過直線外一點，恰可作出一條平行線。故平移至 S點的　與重疊； B 點的平移軌跡（線段）與重疊，可推得 C點也與 R點重合。（參閱備忘稿）

SRQR

AB

L

D C


GSP

回流程圖

對角線分割成兩全等三角形 -(性質 )

好不容易得到的性質要「善加利用」，現在已經推得「平行四邊形的對邊相等」。

則連接平行四邊形對角線所分割的兩個三角形，其三邊分別對應相等（再加上對角線產生的公共邊），之前在相似形與三角形單元（三角形的穩定性）已分別討論，合乎「 SSS作圖全等」條件，所以，兩三角形會全等。

結論（性質之 4）：對角線將平行四邊形分成兩全等三角形。


GSP

回流程圖

兩組對邊分別相等 -(判別 )

兩個全等的三角形可旋轉拼出平行四邊形或鏡射拼出鳶形。若四邊形的兩組對邊分別相等，則連接對角線所分割的兩個三角形，合乎「 SSS作圖全等」條件，所以會全等。因為對邊是對應邊相等，故知兩全等三角形拼出的不是鳶形，而是旋轉 180 度拼出的平行四邊形。

結論（判別之 4）：若四邊形有兩組對邊分別相等，則是平行四邊形。

D

A B

C

G S P


GSP

回流程圖

對角線互相平分 -(性質 )

任意的平行四邊形可被其對角線分割成兩個全等三角形，故可以其中一條對角線的中點為旋轉中心旋轉 180° ，將兩三角形互相重合。所以，平行四邊形是「點對稱圖形」。再由旋轉操作過程知道另一條對角線端點正好互為對稱點，而旋轉中心是對稱點所連接的線段（對角線）的中點，所以對稱中心是兩對角線的交點，且兩對角線互相平分。

結論（性質之 5）：平行四邊形的兩對角線互相平分。


GSP

回流程圖

對角線互相平分 -(判別 )

反之，若一四邊形的兩對角線互相平分，如圖，　　　　互相平分，交點 O是「旋轉中心」，則（ A與 C）、（ B與 D）互為對稱點，在平移、旋轉、對稱的圖形中，由對稱點所連接的圖形是會全等的。【參閱備忘稿】所以，由（ A-B-C-A ）所連接的三角形與由其對稱點（ C-D-A-C ）所連接的三角形會全等。故知此四邊形可由兩全等三角形旋轉 180 度拼出，是為平行四邊形。

AC 與 BD

結論（判別之 5）：若四邊形兩對角線互相平分，則是平行四邊形。

OD

A B

C


GSP

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流程整理

線段平移

兩全等△旋轉拼圖

兩組交錯的平行線

平行四邊形

對邊相等

對邊平行

對角相等

一組對邊平行且相等

對角線分成兩全等△

對角線互相平分

對邊相等

對邊平行

對角相等

對角線互相平分

判別方法直觀操作性質推論

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九年級時記得「體會比較」使用「文字敘述」的推論過程。

G S P

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GSP 平行四邊形的特例

矩形：四個角都是直角（ 90° ）的四邊形。合乎「對角相等」，所以矩形也是平行四邊形。特點：對角線互相平分且等長。

正方形：四個邊等長與四個角都是直角（ 90° ）的四邊形。合乎「對邊、對角相等」，所以正方形也是平行四邊形，正方形也是菱形，正方形也是矩形。特點：對角線等長且互相垂直平分。

菱形：四個邊等長的四邊形。合乎「對邊相等」，所以菱形也是平行四邊形。特點：對角線互相垂直平分。


GSP 對邊相等的尺規作圖

認識了解「平行四邊形」之後，介紹一個最方便、簡單，可使用「直尺、圓規」工具正確作出平行四邊形的方法。

步驟：先任作兩鄰邊，再作分別相等的對邊。

你知道作圖的理由根據嗎？


GSP 面積問題 -(1)

兩對角線將平行四邊形分成四個小三角形，可推算出「面積相等」。（上下全等、左右全等）

又平行四邊形是「點對稱圖形」，通過「對稱中心」的直線都會將它分成「全等」的兩塊，每塊面積是全部的一半。


GSP 面積問題 -(2)

如圖， P 是平行四邊形 ABCD 內部任一點，則 △ PAB ＋△ PCD ＝△ PBC ＋△ PAD 。

簡單說明如下：過 P 點分別作各邊的平行線，可產生四個小的平行四邊形，而平行四邊形的對角線會將其分割成兩個全等三角形。

P

C

D

B

A

G S P


GSP 平行四邊形對邊中點連線

回想「線段平移」：在相同對應位置所得到的線段與原線段會相等且平行。

矩形、菱形、正方形也是平行四邊形，當然也有此性質。

如圖，平行四邊形 ABCD ， E、 F分別是是中點，則，且。AB//EF//

CDAB＝ EF＝ C

DAD、 BC

A B

D C

FE


GSP 回顧三角形兩邊中點連線性質 -(1)

如圖，連接△ ABC 兩邊中點的線段（　），會與第三邊平行，且其長度是第三邊長度的一半。

DE

ED

A

BC

將△ ADE以 E點為旋轉中心，旋轉 180 度後，可拼成四邊形，再由一組對邊平行且相等知道此四邊形是平行四邊形。所以　　　且　　　　。DE//BC BC＝ 2DE

D’

A’

G S P


GSP 連接三角形三邊中點 -(2)

換個觀點：分別過△ DEF的頂點作對邊的平行線，則同樣可得三個平行四邊形（不一定全等）與 △ ABC （是△ DEF的2倍放大圖）。

若是依序連接△ ABC 三邊中點，則可得三個平行四邊形（不一定全等）與四個全等的三角形（都是△ ABC 的 1/2倍縮小圖）。

A

B C

ED

F

A

B C


GSP 鳶形（筝形）

鳶形：有兩組鄰邊分別相等的四邊形。鳶形常提到的性質有：(1) 其中一條對角線被另一條對角線垂直平分。(2) 其中一條對角線將鳶形分成兩個全等的三角形

鳶形是「線對稱圖形」。兩個「底邊等長」等腰三角形，可以拼出「鳶形」。兩個全等的三角形可以「線對稱」拼出「鳶形」。所以，在「尺規作圖」中，常使用其性質作「垂直線」、「中垂線」、「角平分線」、…。

G S P


GSP 梯形

梯形：有一組對邊平行，但另一組對邊不平行的四邊形。梯形中，平行的兩對邊稱為「底邊」，另一組不平行的對邊稱為「腰」，底邊與腰的夾角稱為「底角」。

AB

CD

若兩腰相等，則稱為「等腰梯形」，它是「線對稱圖形」。連接的對角線與對稱軸共點，且會等長。

AB

CD


GSP 梯形兩腰中點連線 -(1)

C

E

D

F

如圖的梯形 ABCD ，作兩腰中點的連線（中線），則且＝（） /2 。

EFAB//EF//

CDAB＋ CDEF

將四邊形 EFCD 以 F點為旋轉中心，順時針旋轉 180 度，可拼出平行四邊形（ Why？），進而推得上述結論。

E

梯形面積：（上底＋下底）×高 /2 ＝中線長 ×高

AB

CD

G S P


GSP 梯形兩腰中點連線 -(2)

A B

CD

F

還可利用平行四邊形兩對邊中點的連線說明：梯形中線，則且＝（） /2 。EF AB//EF//

CDAB＋ CDEF

E

D

A

E

C

B

取兩全等的梯形以中點「 F」為旋轉中心，順時針旋轉180 度，因為全等梯形等高，兩底平行，可拼出「點對稱」的平行四邊形。兩梯形中線能連成直線（旋轉 180 度），得「平行四邊形兩對邊中點的連線」的圖形，，且 2 ＝。 EF

BC

AD＋ BC

AB//EF//CD


GSP

結束

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