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離散システム特論. 整列 (sorting) アルゴリズム ２. 参考文献. 大森克史・木村春彦・広瀬貞樹 著 「アルゴリズムの基礎」 共立出版 (1997) 渡邊敏正 著 「データ構造と基本アルゴリズム」 共立出版 (2000). 全順序集合 S が与えられたとき， S のすべての要素をその全順序に従って並べ替えること． 簡単のため， ｎ個 の整数の集合を S とし，通常の数字の大小関係で小さい数から大きい数へ並べ替えるとする（昇順ソート ascending sort) ．. 整列とは. 選択法 (selection sort) - PowerPoint PPT Presentation
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離散システム特論
整列 (sorting) アルゴリズム ２
参考文献
1. 大森克史・木村春彦・広瀬貞樹 著 「アルゴリズムの基礎」 共立出版 (1997)
2. 渡邊敏正 著 「データ構造と基本アルゴリズム」 共立出版 (2000)
整列とは 全順序集合 S が与えられたとき， S の
すべての要素をその全順序に従って並べ替えること．
簡単のため，ｎ個の整数の集合を S とし，通常の数字の大小関係で小さい数から大きい数へ並べ替えるとする（昇順ソート ascending sort) ．
ソーティングアルゴリズム
選択法 (selection sort) バブルソート (bubble sort) 挿入法 (insertion sort) クイックソート (quick sort)
ヒープソート (heap sort) マージソート (merge sort)
O(n2)
O(n log n)
バケットソート (bucket sort) 基数ソート (radix sort)
ソーティングアルゴリズムの限界
マージソート （ merge sort)
入力を２つに分割して，分割した各々を整列した後に，それらを統合する．分割した部分の整列にも再びマージソートを用いる．つまり，再帰的にソートが行われる．
divide-and -conquer method
マージソートの擬似コードs=1, t=n;
mergesort(s, t){ // s から t の要素をソート
if (s ≠ t){
A1 = mergesort(s, (s+t)/2);
//s から半分までをソートして A1 にしまう
A2 = mergesort( (s+t)/2+1, t);
// 半分から t までをソートして A2 にしまう．
merge (A1, A2); //A1 と A2 をあわせる
}
}
マージソートの例（４，１０，５，２，１，７，９，３，８，６）
分割 （４，１０，５，２，１）（７，９，３，８，６）
分割 （（４，１０，５）（２，１））（（７，９，３）（８，６））
分割 （（（４，１０）（５））（（２）（１）））（（（７，９）（３））（（８）（６）））
分割（（（（４）（１０））（５））（（２）（１）））（（（（７）（９））（３））（（８）（６）））
統治（（（４，１０）（５））（（２）（１）））（（（７，９）（３））（（８）（６）））
統治（（４，５，１０）（１，２））（（３，７，９）（６，８））
統治（１，２，４，５，１０）（３，６，７，８，９）
マージソートの例（統治）
（１，２，４，５，１０） （３，６，７，８，９）
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
マージソートの計算量Ｔ（ｎ）：マージソートの計算量
T(n) 2T(n/2)+n (n2)
1 (n=1)
統治
より
T(n) 2T(n/2)+n
2{2T(n/22)+n/2}+n = 22T(n/22) + 2n
22 {2T(n/23)+n/22} +2n = 23T(n/23) + 3n
… 2kT(n/2k) + kn (k = log n)
よって， T(n) = n+n log n =O(n log n)
ソーティングアルゴリズムの下限
２つの要素の大小比較が基本操作のアルゴリズム
→ アルゴリズムの判断の分岐数は２
計算のいかなる進行もまとめて，決定木 (decision tree ）で表せる．
各頂点は，それまでの計算によって獲得された状態．
２要素の比較がその状態から出る２本の枝
葉がソートされた状態
決定木{a, b, c} のソート
abc, acb, bac,bca, cab, cba
abcacbcab
bacbcacba
yes noa<b
abcacb
caba<c
yes no
abc acbb<cyes no
bac bcacba
a<cyes no
bca cba
yes nob<c
その時点で考え得る状
態
２要素の比較はどれでもよい．名付けをかえればよい
ので．
ソートされた状態
決定木の深さの下限
葉はすべてのソートされた状態に対応 ．．．総数は n!
最悪の場合（運の悪い問題例）では，決定木の深さ分の比較が必要．
葉の数が n! の決定木（２分木）の深さは最低でもどのくらいか？
abc, acb, bac,bca, cab, cba
abcacbcab
bacbcacba
yes noa<b
abcacb
caba<c
yes no
abc acbb<cyes no
bac bcacba
a<cyes no
bca cbayes nob<c
決定木の深さの下限（２）
• 深さ d の２分木の葉の数は，高々 2d
• 2d n! を満たす最小の d をみつければよい．
Ｓｔｉｒｌｉｎｇの公式：
N! ≒ √ 2πn nn e-nより， d n log n≒
ソーティングアルゴリズムは O(nlog n) より早くならない．（ヒープソートは最適．）
一般的にアルゴリズムの下限を示すのは大変．
バケットソート，基数ソートは比較以上の情報がある．
クイックソート (quick sort)
１つの要素 a を基準とし， a よりも小さい要素をa の左に a よりも大きい要素を a の右に分割する．分割した部分の整列も再帰的にソートを行う．
マージソートと同じで分割統治法．ただし，
◆分割は等分ではない
◆統治の操作は必要ない
基準値による分割の擬似コードa1 から an-1 を an を基準値にして分割． a0 は十分小さな値が入っていると仮定 left :=1, right:=n-1;
while(left<right) {
while (aright > an){right:=right-1;
}
while (aleft < an){left:=left+1;
}
swap (aleft, aright);}
swap (aleft, an);
クイックソートの例 (1)（４，１０，５，２，１，７，９，３，８，６）
基準値left right
（４，１０，５，２，１，７，９，３，８，６）基準値
left right
（４，１０，５，２，１，７，９，３，８，６）基準値
left right
（４， 3 ，５，２，１，７，９， 10 ，８，６）基準値
left right
クイックソートの例 (2)
（４， 3 ，５，２，１，７，９， 10 ，８，６）基準値
leftright
(4, 3, 5, 2, 1) (9, 10, 8, 7)
（４， 3 ，５，２，１， 6 ，９， 10 ，８， 7 ）
あとはよろしく
クイックソートの計算量
基準値をソートする部分の最小値が常に選ばれてしまうと，選択法と変わらない．
↓
最悪時間計算量は O(n2)
平均時間計算量は O(n log n)
クイックソートの平均時間計算量
Ｔ（ｎ）：ｎ個のデータをクイックソートする平均時間
T(n) = T(m1)+T(m2)+n-1,
ただし， m1+m2=n-1
(m1, m2):(0, n-1), (1, n-2), …, (n-1, 0)
が等確率におこるとすると，
€
T(n) =1
nT(i) + T(n −1− i)( )
i= 0
n−1
∑ + n −1
クイックソートの平均計算量(2)
€
T(n) =1
nT(i) + T(n −1− i)( )
i= 0
n−1
∑ + n −1
=2
nT(i)
i= 0
n−1
∑ + n −1
n(T(n) − 2)= n(n +1) + 2 (T(i) − 2)i= 0
n−1
∑
S(n)=T(n)-2 とおくと，
nS(n) = n(n+1)+2(S(0)+S(1)+…+S(n-1))
(n-1)S(n-1) = (n-1)n +2(S(0)+S(1)+…+S(n-2))
引き算すると，
nS(n) = (n+1)S(n-1)+2n
€
s(n)
n +1=S(n −1)
n+
2
n +1
=S(n − 2)
n −1+
2
n+
2
n +1
...... =S(1)
2+
2
3+L +
2
n +1
= 2(1+1
2+
1
3+L +
1
n +1− 2)
(Q S(1) = T(1) − 2 = −2)
よって，
S(n) 2(n+1)Hn+1 =O(nlog n)
レポート課題
① 講義で取り上げなかったソーティングアルゴリズムについて調べ，計算量の算定もせよ．
② 講義で扱ったソーティングアルゴリズムを３つ選び，それを自分でプログラムし，様々な入力に対する実行時間の比較をせよ．
③ ２００４年２月期大学院入試問題計算機科学 II（整列の問題）を解け．
http://www.sk.tsukuba.ac.jp/SSE/admission/pastexams.htmlより入手
