等腰三角形的轴对称性等腰三角形的轴对称性 ::(1)(1) 等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形 ..(2)(2) 顶角平分线所在的直线是它的对称轴顶角平分线所在的直线是它的对称轴 ..等腰三角形顶角的平分线等腰三角形顶角的平分线 ,, 底边上的中线底边上的中线 ,, 底边底边上的高互相重合上的高互相重合 (( 三线合一三线合一 ))

等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等 ..等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等 ..等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等 ..

以等腰三角形为条件时的常用辅助线以等腰三角形为条件时的常用辅助线 :: 在⊿在⊿ ABCABC 中，若中，若 AB=ACAB=AC ①① 作作 AD BC⊥AD BC⊥ 于于 DD ，必有结论，必有结论 :: ∠ ∠1= 2∠1= 2∠ ，， BD=DCBD=DC ②② 若若 BD=DCBD=DC ，连结，连结 ADAD ，必有结论：∠，必有结论：∠ 11

= 2∠= 2∠ ，， AD BC⊥AD BC⊥ ③③ 作作 ADAD 平分∠平分∠ BACBAC 必有结论：必有结论： AD BC⊥AD BC⊥ ，，

BD=DCBD=DC 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质作辅助线时，一定要作满足其中一个性质

的辅助线，然后证出其它两个性质，不能的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作这样作：作 AD BC⊥AD BC⊥ ，使∠，使∠ 1= 2.∠1= 2.∠

2

A

B CD

1

例１．一次数学实践活动的内容是测量河宽，如例１．一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量Ａ，Ｂ之间的距离．同学们想出了许图，即测量Ａ，Ｂ之间的距离．同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点Ａ出发，沿着多方法，其中小聪的方法是：从点Ａ出发，沿着与直线ＡＢ成６０ 与直线ＡＢ成６０ °° 角的ＡＣ方向前进至Ｃ，在角的ＡＣ方向前进至Ｃ，在Ｃ处测得Ｃ＝３０ Ｃ处测得Ｃ＝３０ ° ° ．量出ＡＣ的长，它就是河．量出ＡＣ的长，它就是河宽（即Ａ，Ｂ之间的距离）．这个方法正确吗？宽（即Ａ，Ｂ之间的距离）．这个方法正确吗？请说明理由．请说明理由．

解：小聪的测量方法正确．理由如下：∵ ∠ ＤＡＣ＝ ∠Ｂ＋ ∠Ｃ（三角形的外角 的性质）∴ ∠ ＡＢＣ＝ ∠ＤＡＣ－ ∠Ｃ　　　　＝６０ ° －３０ ° ＝３０ °

∴ ∠ ＡＢＣ＝ ∠Ｃ∴ ＡＢ＝ＡＣ（在一个三角形中，等角对等边．）

６０ °

Ｂ

Ａ

Ｃ

例 2：上午 10 时，一条船从 A处出发以 20海里每小时的速度向正北航行，中午 12时到达 B处，从 A、 B望灯塔C，测得∠ NAC=40° ， ∠ NBC=80° 求从 B处到灯塔 C的距离解：∵∠ NBC=∠A+∠C

∴∠C=80°- 40°= 40°

∴ BA=BC （等角对等边）

∵AB=20 （ 12-10 ） =40

∴BC=40

答： B处到达灯塔 C40 海里A

B

N80°

40°

C

1. 已知等腰三角形的两边分别是 4 和 6 ，则它的周长是（ ）（ A ） 14 （ B ） 15 （ C ） 16 （ D ） 14 或 162. 等腰三角形的周长是 30 ，一边长是 12 ，则另两边长是 __________.3. 判断下列语句是否正确。

（ 1 ）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（ ）（ 2 ）有一个角是 60° 的等腰三角形，其它两个 内角也为 60°. （ ）（ 3 ）等腰三角形的底角都是锐角 . （ ）（ 4 ）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （ ）

D

12,6 或 9,9

1. 等腰三角形的周长为 18 ，其中一条边是 8 ，求另外两条边长。

2. 等腰三角形中有一个角为 40° ，求其余各角的度数。

8,2 或 5,5

40°,100° 或 70° ， 70°

3. 已知 a 、 b 、 c 是△ ABC 的三边的长，且 ，则△ ABC 是 _____ 三角形。

4. 如图，在六边形 ABCDEF 中，各内角都为 120 ° ，且 AB=2 ，BC=3 ， CD=5 ， DE=4 ，求六边形 ABCDEF 的周长。

A B

C

DE

F

a2+2ab=c2+2bc 等腰

例 1 、在△ ABC 中， AB=AC ， BD=FC ， DF BC⊥ ， FE AC⊥ ，垂足为 E 、F ，那么 DF 与 EF 相等吗？试说明理由。

F

A

B C

D

E

例 2. 在△ ABC 中 ,AB=AC ， D,E,F, 分别为 AB ， BC,AC 上的点且 BD=CE ，∠ DEF= B∠ ， 试说明△ DEF 是等腰三角形

F

A

B C

D

E

如图， AB=AC ， BD 平分∠ ABC ， CD 平分∠ ACB 。问：(1) 图中有几个等腰三角形？ A

B C

D

(2) 若过 D 作 EF BC∥ 则图中 有几个等腰三角形？

(3) 线段 EF 与线段 BE ， CF 有何数量关 系？

FE

(4) 若去掉条件“ AB=AC”, 上述结论仍成立吗 ?

F

A

BC

DE

（ 5 ）若过△ ABC 的一个内角和一个外角平分线的交点作这两个角的公共边的平行线，如图， EF 与 BE ， CF 三者有何数量关系？

F

A

B C

DE

(6) 若过△ ABC 的两个外角平分线的交点作这两个角的公共边的平行线，如图， EF 与 BE ， CF 三者有何数量关系？

FA

B

C

D

E

在△ ABC 中 ,AB=AC, 若过其中一个顶点的一条直线，将 ABC 分成两个等腰三角形，求△ ABC 各内角的度数 .

考考你思维的缜密性

　例 6 . 如图， AB=AC ， D 为 AB 上一点， E 为 AC 延长线上一点，且 BD=CE ， DE 交 BC 于 G请说明 DG=EG 的理由 .

思路 因为△思路 因为△ GDBGDB 和△和△ GECGEC 不全等，所以考不全等，所以考虑在△虑在△ GDBGDB 内作出一个与△内作出一个与△ GECGEC 全等的三全等的三角形。角形。

说明 : 本题易明显得出 DG 和EG 所在的△ DBG 和△ ECG不全等，故要构造三角形的全等 . 本题的另一种证法是过 E作 EF BD∥ ，交 BC 的延长线于 F ，证明△ DBG EFG≌△ ，同学们不妨试一试。 G

A

BC

D

E

例 7. 如图 , 在△ ABC 中， AB=AC=CB ， AE=CD ， AD 、 BE 相交于 P ， BQ AD⊥ 于 Q. 请说明 BP=2PQ 的理由 . 思路 在思路 在 Rt BPQ△Rt BPQ△ 中，本题的结论等价于证明∠中，本题的结论等价于证明∠

PBQ=30° PBQ=30°

　证明 ∵ AB=CA ，∠ BAE= ACD=60°∠ ， AE=CD ，　　∴△ BAE ACD≌△　　∴∠ ABE= CAD∠　　∴∠ BPQ= ABE+ BAP∠ ∠　　 = CAD+ BAP=60°∠ ∠　　又∵ BQ AD⊥　　∴∠ PBQ=30°　　∴ BP=2PQ

P

A

B CD

E

Q

1.1. 等腰三角形顶角为等腰三角形顶角为 36°36° ，底角为，底角为 ____________ 。。2.2. 等腰三角形顶角和一个底角之和为等腰三角形顶角和一个底角之和为 100°100° ，则顶角，则顶角

度数为度数为 ____________ 。。3.3. 等腰三角形两个角之比为等腰三角形两个角之比为 4:14:1 ，则顶角为，则顶角为

____________________ ，底角为，底角为 ______________________ 。。4.4. 等腰三角形两边长为等腰三角形两边长为 44 、、 66 ，这个三角形周长为，这个三角形周长为

__________________________ 。。5.5. 已知△已知△ ABCABC 中中 AB=ACAB=AC ，， ABAB 垂直平分线交垂直平分线交 ACAC

于于 EE ，交，交 ABAB 于于 DD ，连结，连结 BEBE ，若∠，若∠ A=50°A=50° ，，∠∠ EBC=_______EBC=_______ 。。

6. ABC△6. ABC△ 中，中， AB=ACAB=AC ，， AD BC⊥AD BC⊥ 于于 DD ，若△，若△ ABABCC 的周长为的周长为 5050 ，△，△ ABDABD 的周长为的周长为 4040 ，则，则 AD=AD=____________ 。。

7.7. 若等腰三角形顶角为若等腰三角形顶角为 nn 度，则腰上的高与底边的度，则腰上的高与底边的夹夹

角为角为 ________________ 。。

72°

20°

20° 或 120° 80° 或 30°

14 或 16

15°

15

1

2n

　　如图，线段 OD的一个端点 O在直线 a上，以 OD 为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线 a上，这样的等腰三角形能画多少个 ?

Ｏ

Ｄ

Ｃ aＥ ＦＨ

8. 现在给出两个三角形（如图），请你把图（ 1 ）分割成两个等腰三角形，把图（ 2 ）分割成三个等腰三角形．动动脑筋呀！

9. 已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成２ : １两部分，已知三角形底边长为５，求腰长 .

10. 如图， D是正△ ABC 边 AC 上的中点， E是 BC 延长线上一点，且 CE=CD ，诬蔑说明 BD=DE 的理由 .

A

B C E

D

11. 如图，在 Rt ABC△ 中，∠ ACB=900 ， ∠ CAB 的平分线 AD 交 BC 于 D ， AB 边上的高线 CE 交 AB 于 E ，交 AD 于 F ，求证： CD=CF

F

A

B

C

D E