从双基到四基、从两能到四能从双基到四基、从两能到四能

史宁中史宁中

东北师范大学，长春，东北师范大学，长春， 130024130024

一、传统与未来 《数学课标》：双基 → 四基、两能 → 四能

基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验

分析问题、解决问题 + 发现问题、提出问题

知识为本：单纯的双基（ 99 年大纲）、专门人才

育人为本：学生成长、认知规律

如何教→如何学 ( 有效教学、有效学习）；

有效 + 兴趣 → 减负

创新：基础知识 + 创新思维 + 创新经验。

思维方法和经验：培养学科直观。

结果是看出来的。

思维方法的教育：数学思想 + 思维经验。

二、基本活动经验 会想问题：不是教出来的、是自己悟出来的； 悟的方法就是自己思考、积累经验。物价调查： 会整体规划、 会把问题化简、 会抽象出问题的本质、 会归纳出规律性的东西、 会逻辑地表达自己的思考。

三、数学的基本思想

不是指数学思想方法：等量替换、数形结合、分类、递归、转换；配方法、换元法、加强不等式。

数学产生与发展所依赖的思想

学习数学以后具有的思维能力

抽象：把与数学有关的知识引入数学内部；抽象能力强

推理：促进数学内部的发展；推理能力强

模型：沟通数学与外部世界的桥梁；应用能力强

抽象：数量与数量关系的抽象；图形与图形关系的抽象。得到：研究问题的对象概念和对象之间的关系概念； 运算方法和运算之间的运算法则。亚里士多德： 数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中那些感性的东西。对于数学而言，线、角、或者其他的量的定义，不是作为存在而是作为关系。

引出抽象的两个层次：直观描述，符号表达。

数量的第一步抽象

数量 → 数。 2 匹马、 2 头牛 → 2 。 数量的本质多与少 → 数的本质大与小 → 自然数： 10 个符号 + 位数 加法：加一、万的产生 加法 → 四则运算； 逆运算 → 数域扩充； 自然数 → 整数、有理数、实数。

数量的第二步抽象 符号意识：符号可以代表数、关系、规律、逻辑 符号可以进行计算和论证（方程） 通过符号得到的结论具有一般性（交换律）

具体 → 一般 凡是具体的都会存在反例（函数变量说） 凡是一般的都会存在概念（函数对应说）

解释微积分 → 定义极限运算 → 定义实数 → 定义无理数 → 重新定义有理数 有理数：分数形式 → 小数形式：有限 + 无限循环 无理数：无限不循环小数 实数 ≡ 有理数 + 无理数 运算：√ 2·√3 = √2·3 ？ 性质：连续 ？

实数的加法：两个实数相加，如果符号相同，取相同的符号，和为两个实数绝对值的和；如果符号不同，取绝对值大的符号，和为大的绝对值减小的绝对值。

图形的第一次抽象 欧几里得《几何原本》描述定义：点、线、面、角 关系术语：相交、平行、垂直、全等 度量定义：长度、面积、体积、边角关系 ( 三角函数、巴比伦 )

带来的问题 点：两条直线交于一点？ 平行：两条永远不相交的直线？ 全等：两个图形重合？修改平行：过直线外一点可以有一条（欧几里得几何） 无数（罗巴契夫几何） 没有（黎曼几何）

图形的第二次抽象 希尔伯特《几何基础》：桌子、椅子、啤酒杯 符号定义： A ， a， α

五组公理：两点决定一条直线； 三点决定一个平面。

本质是维数： 0 维点； 1 维线； 2 维面； 3 维体。 高维看低维：直线、平面。

推理：一种思维过程思维：形象思维、逻辑思维、辩证思维

命题：可以进行判断的话语推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程命题 + 判断的四种形式：是是、是否、非是、非否

逻辑推理：命题主词的内涵之间具有传递性 有逻辑：凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。 无逻辑：苹果是酸的，酸是一种味道。所以苹果是一种味道。

逻辑推理 = 演绎推理 + 归纳推理

演绎推理：从大到小，一般到特殊，结果必然； 已知 A 求证 B：不能发现新东西。

归纳推理：从小到大，特殊到一般，结果或然； 已知 a 推断 A ：归纳（代数）； 已知 A 推断 A+B ：类比（几何）。

归纳教学的例子：尝试。为得到公式 a2 – b2 = (a-b)(a+b)

首先进行化简，令 b=1 。变化 a 可以得到： 22 – 1 = 4 - 1 = 3 32 – 1 = 9 - 1 = 8 42 – 1 = 16 - 1 = 15 52 – 1 = 25 - 1 = 24 62 – 1 = 36 - 1 = 35因为 8 = 2×4 ， 15 = 3×5 ， 24 = 4×6 ， 35 = 5×7 ， 可以想到 a2–1 = (a-1)(a+1) ，然后考虑一般的 b。 从自然数的前 n 项和公式出发，得到平方和、立方和公式。

模型：构建数学与外部世界的桥梁。 \数学的应用 \

叙述的是一个用数学语言表达的实际故事。

方程、不等式、函数、递推 (时间序列 )等是语言工具。比如，方程叙述的是量相等的故事。 \距离 = 速度×时间 \ 用数学语言定义概念。 \F=ma\

桥梁双方：数学 + 现实。 \流行病模型，投入产出模型 \

各种场合：参数 + 约束。 \自由落体模型中的重力加速度 \

四 . 统计基本思想

统计学与数学有所不同。 立论基础 数学：公理、假设； 统计：数据、模型。 推理方法 数学：演绎推理； 统计：归纳推理。 判断准则 数学：对与错； 统计：好与坏。

一个袋子里有 5 个球，其中有 4 个白球和 1 个红球，让学生有放回地摸球。

概率：验证出现白球的可能性 4/5 。 \不可操作 \

统计：不告诉学生背景，预测

1.白球多还是红球多？

2. 比例大概是多少？

[7/10,9/10] ， 80%需要 20次， 90%需要 60次。

3. 如果有 5 个球，白球有多少？

估计的好坏与样本量有关，与方法有关。

因此，可以认为： 统计学是一门收集和分析数据的科学与艺术。 科学：基础是假说。验证与时间、地点、个性无关。 艺术：基础是标准。因人而异，因价值观而异。

对现有的学科大体可以分类： 自然学科：科学。 \物理，化学，生物，地质 \ 人文学科：艺术。 \文学，历史，绘画，音乐 \ 社会学科：科学与艺术。 \经济，统计，心理，社会 \

更一般的：哲学、数学。

谢 谢！

关于《数学课程标准》的若干思考