三角関数演習問題

θ

ｒｂ

ａ

１．右の図の直角三角形において、ｒ，ａ，ｂ は、　　それぞれの辺の長さを表す。　　また、 θ は ｒ と ａ の辺のなす角度を表す。　　このとき、　　　　　 (1) ｓｉｎ θ (2) ｃｏｓ θ (3) tanθ　　を、ｒ，ａ，ｂ を用いて表せ。２．角度の単位を２つあげよ。

３． (1) π/3 (2)π/4 (3) π は、何度の角度か？

［ 三角関数 ］

４．次の (1)(2) のグラフを描け。ただし、 (1) は、可能な限りていねいに書くこと。　　　 (2) は、 (1) との違いがわかれば、それほどていねいに書かなくてもでなくても良い。

(2) cos( ｘ ) 　(1) sin( ｘ )

５．次の (1)(2) のグラフを描け。ただし、 sin( ｘ ) との違いがわかれば、それほどていねいに書かなくてもでなくても良い。

(2) sin( ｘ＋ π/2)　

(1) sin( ｘ－ π/2 )

x 2π

1

-1

0x

2π

1

-1

0

x 2π

1

-1

0x

2π

1

-1

0

b

asin )4()sin( )3(

cos (2)sin (1)

dxxdxax

axdx

dax

dx

d

サインの定積分サインの不定積分

コサインの微分サインの微分

積分６．三角関数の微分・

ａ，ｂ は定数

信号理論( 金田）1 演 -1

（答は別紙の解答用紙に記入する）

信号理論( 金田）

1 演 -2 解(1)

学年 学科 学　籍　番　号 氏　名

１ ２(1) (2) (3)

/ｂｒ /ａｒ /ｂａ °度、 、deg. など

ラジアン、rad. など

π 3.14は ･･･という量であって、単位ではない

３(1) (2) (3)

°６０ °４５ °１８０

５．(2) sin( ｘ＋ π/2)　

(1) sin( ｘ－ π/2 )

x 2π

1

-1

0x

2π

1

-1

0

(2) cos( ｘ ) 　(1) sin( ｘ )

x 2π

1

-1

0x

2π

1

-1

0

４．

(1) (2) (3)

a cos(ax)･ - a sin(ax)･ - (1/ a) cos(ax) + C･

cos(a) - cos(b)

(4)

三角関数演習　解答用紙

波形は次ページ

学年 学科 学　籍　番　号 氏　名

三角関数演習　解答用紙

x 2π π

１

(2) cos( ｘ ) 　

(1) sin( ｘ )

x 2 π π

１

-１

x 2 π π

１

-１

×

４．

２ π で１周期

半円の繰り返しではダメ

５． (1) sin( ｘ -π/2 )

x 2 π π

１

-１

＝ -cos( ｘ ) 　sin( ｘ ) が右に π/2 移動

参考： sin( ｘ )

x 2 π π

１

-１

π/2

0

関数 ｆ ( ｘ -τ) は、　→ 元の波形が、 ( ) 内がゼロとなるｘに移動する　→ 左の式では、 sin 波形の開始点が　　　ｘ＝ π/2 の点に移動する

0

sin( ｘ ) が左に π/2 移動

x 2π π

１

(2) sin( ｘ＋ π/2 ) 　

＝ cos( ｘ ) 　

π/2

0

信号理論( 金田）

1 演 -2 解(2)

信号理論( 金田）1 演 -3

複素数演習

１．以下の計算をして、答を 実数＋虚数 （ａ＋ｊｂ）の形で表せ。　

(1) （ 2 ＋ｊ 3 ）＋（ 1 ＋ｊ 2 ）

(2) （ ｊ ） × （ ｊ ）

(3) （ 4 ＋ｊ ） × （ 3 －ｊ 3 ）

(4) （ ｊ ） 6

(5) （ 1 ） ÷ （ ｊ ）

(6) ( ｊ ) -3

２．以下の複素数を、実数＋虚数 （ａ＋ｊｂ）の形で表せ。　　ただし、 sin45° ＝ cos45° ＝ 0.7 として計算せよ。　

(1) e ｊ 90°

(2) 2e ｊ 45°

(3) 4e －ｊ 315°

３．次の複素数を、複素指数関数（極座標表示） ｒ e ｊ θ の形　　で表せ。 （ただし、 θ は「度」で表せ。また√ 2 ＝ 1.4 とせよ）　

(1) （ 1 ）

(2) （ ｊ ）

(3) （ 1 －ｊ ）

(4) （ -1 ＋ｊ ）

　

(1) 2e ｊ 25°× 4e －ｊ 315°

(2) 2e ｊ 25°÷ 4e －ｊ 315°

４．次の複素数の計算をせよ （答えは複素指数関数）

５．次の複素数 ｚ の絶対値（大きさ） | ｚ | を計算せよ

　ｚ＝ 3 ＋ｊ 4

答えだけでなく途中式も書くこと　

信号理論( 金田）

1 演 -3 解

複素数演習

１．以下の計算をして、答を 実数＋虚数 （ａ＋ｊｂ）の形で表せ。　

(1) （ 2 ＋ｊ 3 ）＋（ 1 ＋ｊ 2 ）＝ 3 ＋ ｊ 5

(2) （ ｊ ） × （ ｊ ） ＝ -1

(3) （ 4 ＋ｊ ） × （ 3 －ｊ 3 ） ＝ 12 - ｊ 12 ＋ ｊ 3 ＋ 3 ＝ 15 - ｊ 9

(4) （ ｊ ） 6 ＝ (( ｊ 2 )3 ) ＝ (( -1 )3 ) ＝ -1

(5) （ 1 ） ÷ （ ｊ ） ＝ 1 / ｊ （分母分子に ｊ をかけると）　　　　　　　　　　＝ ｊ / ( ｊ × ｊ ) ＝ ｊ / (-1) ＝ - ｊ

(6) ( ｊ ) -3 ＝ 1 / ( ｊ ) 3 ＝ 1 / ( - ｊ ) ＝ （ ｊ ） / ( - ｊ × ｊ ) ＝ ｊ

２．以下の複素数を、実数＋虚数 （ａ＋ｊｂ）の形で表せ。　　ただし、 sin45° ＝ cos45° ＝ 0.7 として計算せよ。　

(1) e ｊ 90° ＝ ｃｏｓ 90° ＋ｊ ｓｉｎ 90° ＝ ｊ

(2) 2e ｊ 45° ＝ 2 ( ｃｏｓ 45° ＋ｊ ｓｉｎ 45°)　　＝ 2 ( √2/2 ＋ ｊ √ 2/2 ) ＝ √ 2 ＋ ｊ √ 2 ＝ 1.4 ＋ ｊ 1.4

(3) 4e －ｊ 315°

　　＝ 4 ( ｃｏｓ (-315°) ＋ｊ ｓｉｎ (-315°))　　＝ 4 ( √2/2 ＋ ｊ √ 2/2 ) ＝ 2√2 ＋ ｊ 2√2 ＝ 2.8 ＋ ｊ 2.8

注： - 315 ＋ 360 ＝ 45 なので、 -315° と 45° は同じ角を表す。

３．次の複素数を、複素指数関数（極座標表示） ｒ e ｊ θ の形　　で表せ。 （ただし、 θ は「度」で表せ。また√ 2 ＝ 1.4 とせよ）　

(1) （ 1 ） ＝ １＋ｊ 0 なので、ａ＝ 1 、ｂ＝ 0 に相当　　　　よって、Ａ＝ 1 、 θ ＝ｔａｎ -1(0) ＝ 0° 　　よって ｅ ｊ 0°

(2) （ ｊ ）＝ 0 ＋ｊ 1 なので、ａ＝ 0 、ｂ＝ 1 に相当　　　　よって、Ａ＝ 1 、 θ ＝ｔａｎ -1(1/0) ＝ 90° 　　よって ｅ ｊ 90°

(3) （ 1 －ｊ ） ＝ 1 ＋ｊ (-1) なので、ａ＝ 1 、ｂ＝ -1 に相当　　よって、Ａ＝√ 2 ＝ 1.4 、 θ ＝ｔａｎ -1(-1) ＝ -45°　　よって 1.4 ｅ - ｊ 45°

(4) （ -1 ＋ｊ ）＝ (-1) ＋ｊ (1) なので、ａ＝ -1 、ｂ＝ 1 に相当　　よって、Ａ＝√ 2 ＝ 1.4 、 θ ＝ｔａｎ -1(-1) ＝ -45°　　ただし、ａ ＜ 0 であるので、 θ に ＋ 180° する　　よって 1.4 ｅ ｊ 135°

(1) 2e ｊ 25°× 4e －ｊ 315°

　　　　＝ (2×4) e ｊ (25-315)° ＝ 8 e- ｊ 290° （＝ 8 e ｊ

70° ）

(2) 2e ｊ 25°÷ 4e －ｊ 315°

　　　　＝ (2/4) e ｊ (25-(-315) )° ＝ 0.5 e ｊ 340° （＝ 0.5 e- ｊ 20° ）

４．次の複素数の計算をせよ （答えは複素指数関数）

５．次の複素数 ｚ の絶対値（大きさ） | ｚ | を計算せよ ｚ＝ 3 ＋ｊ 4

【参考】　（ ａ＋ｊ ｂ ） と、その複素共役 （ ａ - ｊ ｂ ） との積は　　　　　　　 （ ａ＋ｊ ｂ ） × （ ａ - ｊ ｂ ） ＝ ａ 2 ＋ｂ 2 　　　と、簡単に計算できる。　（答は実数となるので、　　　複素数の分母の実数化に利用される）

【重要 】 な オイラーの公式 （ 必ず覚えておくこと！）　　 e ｊ θ ＝ ｃｏｓ θ ＋ ｊ ｓｉｎ θを利用する。

◇ 複素数　ａ＋ ｊ ｂ　から 複素指数関数 Ａ ｅ ｊ θ への変換Ａ ＝ √（ａ２＋ｂ２ ） 　　 θ ＝ｔａｎ -1( ｂ／ａ )

　　☆ただし、電卓などの計算結果では、　　　　 θ は -90° ＜ θ< 90° の範囲で得られる　　　　ので 、ａ ＜ 0 のときは、 θ に ±180° する　　 θ の値が複素平面上で妥当なことを確認する

指数関数の積と商

( 積 ) 　Ａ１ ｅ ｊ θ1 ・Ａ２ ｅ ｊ θ2

　　　　　　　　＝ Ａ１・Ａ２･ｅ ｊ （ θ1 ＋ θ2 ）

( 商 ) 　Ａ１ ｅ ｊ θ1 ／Ａ２ ｅ ｊ θ2

　　　　　　　　＝ ( Ａ１ ／Ａ２ ) ･ｅ ｊ （ θ1 － θ2 ）

注： 実数の場合と同じ結果です

| ｚ | ＝√ 3 ２＋ 4 ２＝√ 9 ＋ 16 ＝ 5

　☆ 複素数の知識が不十分な人は、

　　　「複素数のまとめ」 が、ホームページ　　　　　 http://www.asp.c.dendai.ac.jp/ 　の　　　［授業］→［信号理論］ にあるので、　　　再度勉強しておいてください

第１回演習解答

　複素数の絶対値（大きさ）は、　（実数部の２乗）＋（虚数部の２乗）の平方根なので、

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

［ sin 関数の形の理解 ］下記の表の空欄に，適切な文字式と数字を記入せよ。その結果を使って下記のグラフ ｙ＝ sin( ｘ )

を完成させよ。

信号理論( 金田）1宿 -1

度 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180°

ラジアン 0 π / 6 π / 3 π / 2 2π / 3

分数 0 1/ 2 √ 3/ 2 1 √ 3/ 2

小数 0 0.5 0.87 1 0.87

度 210° 240° 270° 300° 330° 360°

ラジアン

分数

小数

sin( )ｘ

変数ｘ

sin( )ｘ

変数ｘ

)cos()sin( xxdx

d

◇ 関数の傾きは微分によって与えられる。　 sin （ｘ） の微分は，

であるので， 例えば、 x=0 での sin(x) の傾きは， cos(0) ＝ 1 である。

ｘ

0 2

1

6

1

6

2 6

4

ｘ =π/2 では，傾きは 0 。 ｘ＝ 3π/2 でも同じ

ｘ = 0 では，傾きは 1 ｘ＝ π では、傾きは -1ｘ＝ 2π では ，傾きは 1

ｙｙ = ｘ の直線ｘ＝ π/2 で，ｙ ＝ π/2 ＝1.6

2

sin(x) = 0 となる点をはさんで，sin(x) = ±0.5 までの範囲で，ほぼ ｙ＝ｘ の直線と一致する

学年 学科 学　籍　番　号 氏　名

１．以下の文の （　） をうめよ。

　・ 時間 ｔ を変数とした関数の図は，「波形」と呼ぶ。

　・ 上記の sin( 2πf ｔ ) の波形は，時間 Ｔ，または，ｆ を使って表すと ①（　　　　　　）　ごと

に同じ波形をくり返す。

　　　この ｆ を ②（　　　　　　　） と呼び， Ｔ を ③（　　　　　　　） と呼ぶ。

　・ 1秒間に同じ波形が ④（　　　　）回繰り返される。

　・ ω ＝ 2πf 　を使って， sin( ω ｔ ) とも表される。 この ω を ⑤（　　　　　　　　） と呼ぶ。

　・ sin( 2πf ｔ ＋ θ) と表されるとき， θ は ｔ＝ 0 の時の（　）の中の値であるが，この θ を ⑥

（　　　　　　　） と呼ぶ。

時間を変数としたサイン（またはコサイン）関数は，正弦波と呼ばれる。

［ 正弦波 ］

t 0 1/ (4 )ｆ2π f t 0 π / 2 π 3π / 2 2π 5π / 2 3π 7π / 2 4π

sin(2π f t) 0 1

２． sin( 2πf ｔ ) は，ｔ の値が 0 から増加するに伴って （　）の中の値が増加し，　例えば，ｔ の値が 1/(4 ｆ ) 　となると， 2πf ｔ の値は π/2 となるので， sin( 2πf ｔ ) ＝ 1

となる。　同様の考えで，ｔ がどのような値をとると sin( 2πf ｔ ) がどのような値をとるか，を示している以下の表の　空欄をうめよ。

３．以下の式で表される波形を描け。

t

① sin(2πf t － π/2) ② 2 ･ sin(4πf t)

t

信号理論( 金田）1宿 -2

)2(sin tf

f

1

f

2

ｔ

T

時間

0

f

1

f

10 0

1 1

時間を変数としたサイン（またはコサイン）関数は，正弦波と呼ばれる。

［ 正弦波 ］

２． sin( 2πf ｔ ) は，ｔ の値が 0 から増加するに伴って （　）の中の値が増加し，　例えば，ｔ の値が 1/(4 ｆ ) 　となると， 2πf ｔ の値は π/2 となるので， sin( 2πf ｔ ) ＝ 1

となる。　同様の考えで，ｔ がどのような値をとると sin( 2πf ｔ ) がどのような値をとるか，を示している以下の表の　空欄をうめよ。

３．以下の式で表される波形を描け。

信号理論( 金田）

1宿 -2 解

)2(sin tf

f

1

f

2

ｔ

T

時間

0

１．以下の文の （　） をうめよ。

　・ 時間 ｔ を変数とした関数の図は，波形と呼ぶ。　　　　　　　　　　　　　　　　Ｔ

　・ 上記の sin( 2πf ｔ ) の波形は，時間 Ｔ，または，ｆ を使って表すと ①（　 1 ／ｆ　）　

ごと

　　　に同じ波形をくり返す。　この ｆ を ②（　周波数　） と呼び， Ｔ を ③（　周期　） と

呼ぶ。

　・ 1秒間に同じ波形が ④（　ｆ　）回繰り返される。

　・ ω ＝ 2πf 　を使って， sin( ω ｔ ) とも表される。 この ω を ⑤（　角周波数　） と呼

ぶ。

　・ sin( 2πf ｔ ＋ θ) と表されるとき， θ は ｔ＝ 0 の時の（　）の中の値であるが，この θ

を

　 ⑥（　位相　） と呼ぶ。

t 0 1/ (4 )ｆ2/ (4 )ｆ3/ (4 )ｆ4/ (4 )ｆ5/ (4 )ｆ6/ (4 )ｆ7/ (4 )ｆ8/ (4 )ｆ2π f t 0 π / 2 π 3π / 2 2π 5π / 2 3π 7π / 2 4π

sin(2π f t) 0 1 0 - 1 0 1 0 - 1 0

ｔ ＝ 1/ ｆ ＝ Ｔ　で， 2π ｆ ｔ ＝2π だから1/ ｆ ＝ Ｔ　は周期になる

① sin(2πf t － π/2) ② 2 ・ sin(4πf t)＝ 2 ・ sin(2π(2f) t)

ｔ

１

周期

周波数 2倍 ⇒ 周期は 1/2

振幅は 2倍

1/f

sin(2πf t) が 1/4 周期右に移動　・ π/2 → 1/4 周期　・ 2πf t -π/2 ＝ 0 　→ ｔ＝ 1/(4 ｆ ) 　

ｔf

1

f

100

1/(4f)

［ パラメータ ］

0

例１） 直線のパラメータ

　　　直線の式：

パラメータは２つ。　ａ と ｂ

　ｂ： 切片 （ｘ＝ 0 における ｙ の値 ）　ａ： 直線の傾き。　ｘ が 0 から 1 に増えたときの　　　ｙ の増加量

２つのパラメータ　ａ と ｂ の値がわかれば，直線が描ける。

※ 直線は，２点を定めれば描ける，ということと等価　　　（ｘ，ｙ） が （ 0 ，ｂ）， （ 1 ，ａ＋ｂ） の２点　　

bxay ｂ

1

bxay

ａ

ｙ

例２） ２次曲線のパラメータ

　　　２次曲線の式： cxbxay 2

パラメータは３つ。　ａ と ｂ と ｃ２つのパラメータ　ａ と ｂ の値がわかれば， ２次曲線が描ける。

◇ 別の３つのパラメータもある

)()( xxay

ａ と α と β の３つ

ただし， α と β は，の解

02 cxbxa

0

ｂ

ｙ

ｘ

信号理論( 金田）2説 -1

［ 関数の平行移動 （ 1/2) ］

ｔ

ｆ（ｔ）

ｔ

ｆ（ｔ－ τ ）

τ0 0

τｆ（ｔ－ τ ） は、ｆ（ｔ） を

右側に「 τ 」移動したもの

・ 信号 ｆ（ｔ） は、ｔ ＝ 0 の時 、 値 ｆ（ 0 ） となる。（図１）　・ 信号 ｆ（ｔ－ τ ） は、ｔ ＝ τ の時 （ｔ ＝ τ を代入すると）、 　　（　）の中は 0 となり，値 ｆ（ 0 ） となる。（図２）

・ したがって、ｆ（ｔ－ τ ） は、ｆ（ｔ） を　「右側に τ 」　移動したものである。

τ（タウ）

ｆ（ 0） ｆ（ 0）

図１ 図２

信号理論( 金田）2説 -2

ｆ（ｔ ＋ τ ） は、ｆ（ｔ） を左側に「 τ 」移動したもの

・ 同様に，ｆ（ｔ ＋ τ ） は、ｔ ＝－ τ で、 ｆ（ｔ） が ｔ＝ 0 の時の値をとるので，

　ｆ（ｔ） を　「左側に τ 」　移動したものとなる。

ｔ

ｆ（ｔ）

ｔ

ｆ（ｔ ＋ τ ）

-τ0 0

τ

ｆ（ 0） ｆ（ 0）

図３ 図４

［ 関数の平行移動 （ 2/2) ］

① sin( ｘ ) 　と　 sin( ｘ - π/2)

x

2ππ

x2ππ

π/2

sin( ｘ)

sin( ｘ - π/2)

② sin( ω ｔ ) 　と　 sin( ω ｔ - π/2)

ｔ

2π/ω＝ 1/ f

π/ω

ｔ

2π/ω＝ 1/ f

π/ω

sin(ωｔ )

・ 右に π/(2ω) 移動・ ｔ ＝ π/(2ω) で， ( ) の中が 0 になり、　ｓｉｎ (0) の値を取るから

π/(2ω)

・ 横軸の値に注意・ ｔ が， 2π/ω （＝ 1/ ｆ ＝ Ｔ ） になったとき sin の ( ) の中は 2π になる。　→ 2π/ω （＝ 1/ ｆ ＝ Ｔ ） 　が１周期

③ sin( ω ｔ ) 　と　 sin( ω( ｔ - τ) )

x ｔ

τ

sin( ω ｔ )

・ 右に τ 移動・ ｔ ＝ τ で， ( ) の中が 0 になり、　ｓｉｎ (0) の値を取るから

信号理論( 金田）2説 -3

・ 右に π/2 移動・ ｘ＝ π/2 で， ( ) の中が 0 になり、　ｓｉｎ (0) の値を取るから

sin( ω ｔ - π/2)

sin(ω( ｔ - τ) )

信号理論( 金田）2 演 -1

学年 学科 学　籍　番　号 氏　名

２．以下の２つの正弦波形について，　　波形 (a)(b) を， A ･ sin( 2π ｆ ｔ ＋ θ) として表すとき，ｆ， A ， θ を求めよ。

　　　　　波形 (a) ：　ｆ ＝　　　　　　，　 A ＝　　　　，　 θ ＝

　　　　　波形 (b) ：　ｆ ＝　　　　　　，　 A ＝　　　　，　 θ ＝　　　　　　

波形 (a)

ｔ

１

-1

1 （秒）

１

-1

0.51/6

ｔ

1 （秒）

波形 (b)

１．　正弦波の表現を２種類示せ

（　続きは 裏面　）

［ 正弦波の表現１と表現２ ］

※ 質問事項（本日の授業でわかりにくかったこと）、　　　および、この授業に対する感想・意見・要望などあれば、記入してください。　　

３．次の正弦波の表現１： A ･ sin( 2π ｆ ｔ ＋ θ) 　を、表現２： a ･ cos(2π ｆ ｔ ) ＋ b ･sin(2π ｆ ｔ ) 　に変更せよ

(1) sin( 2π ｆ ｔ ＋ π/2) →

(2) sin( 2π ｆ ｔ ＋ π/6) →

(3) 2 ･ sin( 2π ｆ ｔ － π/3) →

信号理論( 金田）2 演 -2

信号理論( 金田）2宿 -1

学年 学科 学　籍　番　号 氏　名

問１．次の周波数の正弦波の式を示して、グラフを描け。ただし、すべて、振幅は１、位相は 0 とせよ。　　［ この問題は基本的な問題なので、必ず、理解して解けるようにしておくこと］

(1) 周波数が 100Hz の正弦波

1

-1

0 5 10ms

時間 ｔ

横軸は時間軸で、１目盛が 1ms （ミリ秒）

（式）

(2) 周波数が 500Hz の正弦波

1

-1

0 5 10ms

時間 ｔ

（式）

問２．正弦波は、　　表現１： 振幅Ａと位相 θ を使った表現　　表現２： ｃｏｓ と ｓｉｎ の和を使った表現で表すことができる。次の表現２から表現１を求めよ。

(1) ｃｏｓ（ 2π ｆ ｔ） ＋ ｓｉｎ（ 2π ｆ ｔ）

(2) √3 ｃｏｓ（･ 2π ｆ ｔ） ＋ ｓｉｎ（ 2π ｆ ｔ）

0 0.020.040.060.080.10.120.140.160.180.20.220.240.260.280.30.320.340.360.380.40.420.440.460.480.50.520.540.560.580.60.620.640.660.680.70.720.740.760.780.80.820.840.860.880.90.920.940.960.98 1-2

-1.9

-1.8

-1.7

-1.6

-1.5

-1.4

-1.3

-1.2

-1.1

-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

信号理論( 金田）2宿 -2

問３．

このことを作図により確かめる。下のグラフは ｃｏｓ ( 2π ｆ ｔ ) と ｓｉｎ (2π ｆ ｔ ) を表している（ｆ＝ 1 の場合） 。これより、 ｃｏｓ ( 2π ｆ ｔ ) ＋ ｓｉｎ (2π ｆ ｔ ) のグラフを作図せよ。（あまり、ていねい・厳密にやる必要は無い。おおまかな形がわかればよい）

※ 各時間において、縦方向に２つのグラフの値を加算した値の点を記入して、それをつなげばよい。※ 描いたグラフと、問２ (1) の計算結果を比較せよ。同じ結果になっているか？

同じ周波数の、２つの正弦波の和は、１つの正弦波になる

時間ｔ0

sin( 2π ｆ ｔ )

ｃｏｓ ( 2πｆ ｔ )

問４． 複素数 ｚ ＝ａ＋ ｊ ｂ （ただし、ａ、ｂ は実数） と、その共役複素数 ｚ * の和と差、　ｚ＋ｚ * 　と 　ｚ－ｚ * 　　　　を、ａ、ｂ を使って表せ。