クォーク物質におけるカラー強磁性とカラー量子ホール状

態岩崎 ( 二松学舎大）　森松（ KEK)

西川（ KEK) 　大谷（理研）　　 ハドロン相（閉じ込め相）　　　　磁気的超伝導状態 ( カラー磁気単極子の凝縮）

カラー強磁性相（ Savvidy vacuum ）　　 カラー磁場の凝縮と　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 グルーオンの量子ホール状態　　　　　　　　　

　　 カラー超伝導相　　　　　　　　　クォークのクーパー対凝縮　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（グルーオンによる引力）　

バリオン数の化学ポテンシャル　　　　増大（相互作用定数　　　　減少）

（カラー強磁性相の崩壊？）（カラー強磁性相の崩壊？）

Color Ferromagnetic StateColor Ferromagnetic State

Spontaneous generation of color magnetic field, B with a quantum Hall state of the gluons

T

Hadron現実世界

Quark-Gluon Plasma

観測されそう？

Color Ferromagnetic State理論予想（もっともらしい？）

Color Superconducting state 　　　　理論予想（もっともらしい）

B≠0

SU （ 2)gauge theory 　の　 Savvidy 　真空カラー磁場　 B　 = 　 (0,0,B) 　に対する有効ポテンシャ

ル22

412

41

gluon )()( ΦigAAAF

2

4 )()(2

ΦΦΦΦ

gΦΦAAig

3 AA color U(1) gauge field

2

21

iAAΦ

),0( 12031 BxAAAA AB

82

1ln

48

11)(

22

22

22 Big

Λ

gBBgBVeff

charged vector fields

1 ループ近似での有効ポテンシャル

自発磁場が存在する！！　 ( この結果は次の条件のもとで、1 ループ近似を超えて成り立つ）

0)(

1

g

dgg

gauge 場 の分解aA ( 異常磁気能率 )

しかし この状態､ (Savvidy 真空 ) は不安定 !! ( 虚部が存在 )

ｇ B

V （ｇ B)

The instability of the Savvidy vacuum unstable modes of under the magnetic field B

0)(

ΦAAigΦDD

22 22

12),( kgBngBknE

0)||,0( 22 gBkgBknE

Spectrum of the modes:

Unstable modes : Lowest Landau Level, n=0 with spin parallel to B

The most unstable modes are uniform in the direction // B ( k =0) with (degeneracy for each n / area ) = gB/2.

(n=0, 1, 2, ; ± 1: spin; k=momentum // B)

この不安定ﾓｰﾄﾞが励起され安定な状態 (?) を作る

Nielsen 　らによる　スパゲッティー真空（閉じ込め真空？）が提案（１９７９）（不安定モードの重ね合わせで、変分法的な安定点を求めた。）この状態は不安定モードがウィグナー格子を作っていることになる。

The unstable state, ,decays eventually into the stable state,

The spatially uniform mode ( k=0 ) among them condenses.

v

In the gauge theory, the unstable mode couples with :

4

3

222

12 ||2

||2|)(| l

ggBigA

A

There is no such uniform state as . v

Note that the unstable modes of gluons occupy the Lowest Landau level. It reminds us that electrons in semiconductor’s quantum well under strong magnetic field occupy the lowest Landau level.

The problem is how the gluons form the stable state.

A quantum Hall state has been known to have a finite gap absolutely stable and uniform.

0222:)( kmEk unstable modes

Our proposal the Savvidy vacuum is stabilized in quark matter by the formation of a quantum Hall state of the unstable modes.

To see it, we extract from gluon only the most unstable modes: k=0 uniform in the direction // B.

,2

)(

||2

||2|)(|

321

where

4

3

222

12

liΦΦ

l

ggBigA

0A

the Savvidy vacuum is stabilized in quark matter by the formation of

a quantum Hall state of the unstable modes.

Our proposal

The negative mass term -2gB ( If =0 , potential from 2+1 has the typical double well.) is unstable.

“ l3 ” length scale of a domain

With LLL condition:

Bl3

effectively

2+1dim.

( IWAZAKI and MORIMATSU, Phys.Lett. B571 61 (2003) )

)( 21 iDD

gB

ｶﾗｰ磁場

nl

npipx

gB

px

gB(,

2),)(

2exp(

32

21

integer )

多数の状態が縮

退

Quantum Hall states of electrons : von Klitzing, Phys. Rev. Lett. 45 (1980) 494 Fractional quantum Hall states : Tsui et. al, Phys. Rev. Lett. 48 (1982) 1559

　　 Field theoretically, the quantum Hall states are described by Chern-Simons gauge theory.

Chern-Simons flux

electron

=bosonized electron

.4

|)(|2

1)( 2

00 IntCoulombaaΦeiM

ΦaeAiΦ t

aA

ｍ2

aΦΦ

m : odd integer for fermionm=1, 3, 5, , ,

m

m

磁場ﾎﾞｿﾝ化された電子場量子ﾎｰﾙ状態を記述するﾗｸﾞﾗﾝｼﾞｱﾝ

2πm

),()exp(),(),( yximxyyx xxyy

Ezawa, Iwazaki and Hotta, Phys. Rev. B (1992)Ezawa, Iwazaki and Hotta, Phys. Rev. B (1992)

Quantum Hall effects of electrons

z

Jx

GaAs

Al-GaAs

Vy

Hall resistance: xy = Vy / Jx has plateau

@ filling factor

m : odd integer

meB

ΦΦ 1

2/

c

c

Integer QHE: Finite gap of Landau levels with width by impurities. Anderson localization, Hopping for xx …

Fractional QHE Laughlin States, vortex excitation with fractional charge, hierarchy …

( e: Fermion )

m

量子ﾎｰﾙ状態はボソン化された電子場の凝縮状態として記述される

0

2||2, maeBoraeA ii

この解は、次の条件を満たすときのみ存在する

磁場　と　 Chern-Simons flux 　の相殺

電子密度

filling factor=ν= 電子密度∕縮退度；（１つのランダウレベルに電子が占める割合）

,,,5/1,3/1,1/1)2//(|| 2 meB

すなわち磁場の強さと電子密度が次の関係を満たすときに量子ホール状態が現れる

Chang et.al, Phys. Rev. Lett. 53 (1984) 997 Willett et.al. Phys. Rev. Lett. 59 (1987) 1776.

filling factor ν=1∕m

m

1m

1m

1m

1m

1

;4

1||

2||2|)(| 4

c3

22

c2

cCS

aa

ml

ggBiaigA

Quantum Hall states : , (Chern-Simons gauge field cancels the magnetic field.) The non-trivial color charge density of the condensed gluons:

cc v ii gAa

Quark matter is a supplier of the color charge.

ｍ (=2,4,8,,,) の値によって様々な ( カラー電荷密度の異なる）量子ホール状態が可能 “In the quark matter, color ferromagnetic state(Savvidy vacuum ) is stabilized by the formation of gluons quantum Hall state.”

m

gBva c

2

2 20c

( describing boson statistics )

Chern-Simons gauge theory for the Quantum Hall states of gl

uons. 　 Chern-Simons flux a

original unstable gluons = composite gluonC

m=evenintegerm

2πm

⇦ この条件が満たされる時

　この量子ホール状態上のすべての不安定モードは消える！！

Savvidy 真空における不安定モードは最低ランダウレベルにあり、それの励起で安定な分数量子ホール状態が生まれる。これは、ヒッグスポテンシャルにおいて、スカラー場の期待値‹Φ›=0 の不安定状態で励起された不安定モードから、安定な状態‹Φ›=V≠0 が生まれるのと類似である。

このグルーオンの量子ホール状態はカラー電荷を持っている。それは、クォーク物質から供給されるべきものである。

カラー電荷密度＝ gB/2πm for ν=1/m の量子ホール状態；　カラー電荷密度→ 0 as ν=1/m→∞

q(+) q(+) q(+) q(+)

q(-) q(-) q(-) q(-)

q(+) q(+)

q(-) q(-) q(-) q(-) q(-) q(-)

q(+)→→ q(-) + gluon(2+)

quark matter quark matter without gluon condensationwithout gluon condensation

quark matter quark matter with quantum Hall state of gluonswith quantum Hall state of gluons

color magnetic fieldcolor magnetic field

gluon condensategluon condensate

GluonGluon のカラー電荷密度 の半分＜クォーク数密度のカラー電荷密度 の半分＜クォーク数密度

量子ホール状態が出来るためには、クォーク数密度には下限がある量子ホール状態が出来るためには、クォーク数密度には下限がある

化学ポテンシャル＞５５０化学ポテンシャル＞５５０ MeVMeV 　　 for for √√gB>800MeV and gB>800MeV and νν=1/2=1/2

カラー電荷密度→ 0 の量子ホール状態は不安定であり、ハドロン相（閉じ込め真空）になるであろう。実際、カラー電荷密度の小さいときは、グルーオンは

量子ホール状態でなく、ウィグナー格子を作ると思われる。

3int2

21

2),)(exp(

l

npxip

gB

pxgBa n

egernn

localized gluon state(Wigner crystal)or spaghetti vacuum

Nielsen and Ninomiya, Nucl.Phys. B156,1 (1979)Nielsen and Olesen, Nucl.Phys. B160, 380 (1979)

(a confining vacuum)

(flux condensation; Ambjorn and Olesen)Lowest Landau levelLowest Landau levelにある波動関数の重ね合わせにある波動関数の重ね合わせ

量子ホール状態中でのクォークの振る舞い

2/0

0

gAiiDqgqmiD

qgqmiD

q

qq

223

2 )2/2/1( kmngBE

ｶﾗｰ磁場

gluon condensate =Φ

spectrum for Φ=0; n=0,1,2, , ,

spin= 1

Result for Result for ΦΦ=0=0

23

2 )1,0( mnE

22 4 mgBE

Exact result forExact result for ΦΦ≠≠vv

PP 　磁場に垂直成分　磁場に垂直成分 PP 　に対して縮退　に対して縮退

P=0P=0

PP 　に対して縮退　に対して縮退

P=P= ＋＋∞∞P=P= ーー∞∞

2222 2 mgBEmgBE

（　（　 q(+) q(+) 　と　　と　 q(-)q(-) 　の 　の mixingmixing 　の結果　）　の結果　）

基底状態はグルーオン凝縮の影響を受けない 基底状態はグルーオン凝縮の影響を受けない !!!!

強磁性相の崩壊

q(+) q(-) q(+) q(+)q(+) q(-) q(+) q(+)

q(+) q(-) q(+) q(+)q(+) q(-) q(+) q(+)

q(+) q(+) q(-)q(-)

q(+)q(+)q(-)q(-)

hadronhadron

hadronhadron強磁性相中での　ｑｕａｒｋ　の強磁性相中での　ｑｕａｒｋ　のmomentum kmomentum k

HadronHadron 中での中での momentummomentum p p = = 11∕(hadron size)≈300MeV∕(hadron size)≈300MeV

MeVpgB

MeV

fmMeV

gBfk 300)

)800()(

4.1(173

2 2

3

2

クォーク密度クォーク密度 ;; ρρフレイバー数フレイバー数 ;; 　　 f=2f=2 　　

強磁性相にあるクォーク物質は、強磁性相にあるクォーク物質は、ｇＢが大きい（ ｇＢが大きい（ ～～ １ＧｅＶ）とハドロン化しにくい１ＧｅＶ）とハドロン化しにくい

まとめ（１） Savvidy vacuum<gB>≠0 は、 gluon が量子ホール状態を

作ることで、安定化する。（２）量子ホール状態は、クォーク物質中で実現し、その時の

化学ポテンシャルは、 550 ＭｅＶ以上である。　　但し、　　　　　　　　　　　　　　。（３）強磁性相にあるクォーク物質は、そのクォーク密度が核

子のそれと同じか、少し大きいほどである限り、ハドロンへの崩壊振幅は小さい。

（４）化学ポテンシャルの小さな系での gluon は、　量子ホール状態よりは、より安定なウィグナー格子をつくる。

　おそらく、ウィグナー格子の大きなゆらぎで、スパゲッティー真空が

　閉じ込め相として実現するであろう？

2)800( MeVgB