基本数据处理算法之二基本数据处理算法之二

减小系统误差的算法： 减小零位误差与增益误差的方法 复杂函数关系问题：如何建模、标准数据表 非理想系统动态特性误差修正 传感器的温度误差

工程量的标度变换：

第四章 智能仪器的基本数据处理算法第四章 智能仪器的基本数据处理算法

第二节 减小系统误差的算法第二节 减小系统误差的算法

系统误差 : 是指在相同条件下多次测量同一量时，存在着其大小和符号保持不变或按一定规律变化的误差。

恒定系统误差 : 校验仪表时标准表存在的固有误差、仪表的基准误差等；

变化系统误差 : 仪表的零点 ( 或基线）和放大倍数的漂移、温度变化而引入的误差等；

系统非线性（非比例）误差 : 传感器及检测电路（如电桥）被测量与输出量之间的非比例关系；

线性系统动态特性误差：

一、一、仪器零位误差和增益误差的校正方法仪器零位误差和增益误差的校正方法 由于传感器、测量电路、放大器等不可避免地存在温度漂移和时间漂移，所以会给仪器引入零位误差和增益误差。

•需要输入增加一个多路开关电路和基准电压。开关的状态由计算机控制。

　一个测量过程 : 先选定增益 把输入接地 (即使输入为零 )，此时整个测量 通道的输出即为零位输出 N0( 一般不为零 ) ；

再把输入接基准电压 Vr 测得数据 Nr ，并将N0和 Nr 存于内存；

然后输入接 Vx ，测得 Nx ，则测量结果可用下式计算出来。

)( NoxNNoNrVrxV

1. 零位误差校正

22 ．增益误差的自动校正．增益误差的自动校正

Vx =A1*Nx +A0 A1=Vr/ （ Nr N0） A0=Vr N0/ （ N0 Nr ） 校正系数 A1 、 A0 当通道是程控增益， 每个增益档有一组系数。

增益误差校正与零位误差校正过程相同

)( NoxNNoNrVrxV

这种校正方法测得信号克服了放大器的漂移和增益变化的影响，降低了对电路器件的要求，达到与 Vr 等同的测量精度，但增加了测量时间

二、系统复杂关系建模算法二、系统复杂关系建模算法 传感器的输出电信号与被测量之间的关系呈非比例关

系（非线性）；仪器采用的测量电路是非线性的 。

智能仪器采用软件算法：建模或查表建立被测量与采集数据之间的关系，给出被测量

传感器或检测电路非比例关系

采用硬件校正电路实现比例关系

按比例关系刻度或显示

传统仪器的模拟表头或数字显示输出结果：

11 ．．反函数法反函数法 如果知道传感器或检测电路的非线性特性的解析式 y = f(x) ，则就有可能利用基于此解析式的校正函数（反函数）来进行非线性校正。

例：某测温用热敏电阻的阻值与温度之间的关系为

　　　　　　　　　　　

　 RT 为热敏电阻在温度为 T 的阻值。

)(/25 TfeRR TCT

T/)Rln(Rln C25T

)R(F)]R/(Rln[(/T TC25T

)]Rk/(Nln[/)k/N(FTz C25

当温度在 0 ～ 50℃ 之间：

α=1.44×10-6

β=4016K

2.2. 建模方法之一：代数插值法建模方法之一：代数插值法 代数插值：　设有n+1组离散点： (x0, y0) ， (x1, y1) ，…， (xn, yn) ， x∈[a ， b]和未知函数f(x)，就是用n次多项式

去逼近f(x)，使Pn(x)在节点xi处满足

011n

1nn

nn axaxaxa)x(P

n,,1,0iy)x(f)x(P iiin

系数 an，…， a1， a0应满足方程组

n01n1

1nn1n

nnn

10111

1n11n

n1n

00101

1n01n

n0n

yaxaxaxa

yaxaxaxa

yaxaxaxa

要用已知的（ xi, yi ） (i = 0, 1, …, n) 去求解方程组，即可求得 ai(i = 0, 1, …, n) ，从而得到 Pn(x) 。此即为求出插值多项式的最基本的方法。 对于每一个信号的测量数值 xi 就可近似地实时计算出被测量 yi = f(xi)≈Pn(xi)。

最常用的多项式插值有：最常用的多项式插值有：线性插值和抛物线（二次）插值。线性插值和抛物线（二次）插值。

(1).线性插值：从一组数据（xi, yi）中选取两个有代表性的点（x0, y0）和（x1, y1），然后根据插值原理，求出插值方程

01101

00

10

11 axay

xx

xxy

xx

xx)x(P

0100

01

011 , xaya

xx

yya

y

x

Vi = | P1 (Xi) － f (Xi) |, i = 1, 2, …, n – 1若在 x的全部取值区间 [a, b] 上始终有 Vi ＜ ε(ε 为允许的校正误差 )，则直线方程 P1(x) = a1x+a0 就是理想的校正方程。

线性插值举例线性插值举例 0 ～ 490℃ 的镍铬—镍铝热电偶分度表如表 4.1 。

若允许的校正误差小于 3℃ ，分析能否用直线方程进行非线性校正。

　　取 A （ 0, 0 ）和 B （ 20.12, 490 ）两点，按式（ 4.23 ）可求得 a1 = 24.245 ， a0 = 0 ，即 P1(x) = 24.245x ，此即为直线校正方程。显然两端点的误差为 0 。通过计算可知最大校正误差在 x = 11.38mV 时，此时 P1(x) = 275.91 。误差为 4.09℃ 。另外，在 240 ～ 360℃ 范围内校正误差均大 3℃ 。即用直线方程进行非线性校正不能满足准确度要求。

(2) 抛物线插值（二阶插值）：在一组数据中选取（ x0, y0 ），（ x1, y1 ），

（ x2, y2 ）三点，相应的插值方程

21202

101

2101

200

2010

212 ))((

))((

))((

))((

))((

))(()( y

xxxx

xxxxy

xxxx

xxxxy

xxxx

xxxxxP

y

x

f （ x ）

P （ X）

x0

y0

y1

y2

x2x1

现仍以表 4.1 所列数据说明抛物线插值的个体作用。节点选择（ 0 ， 0 ），（ 10.15 ，250 ）和（ 20.21 ， 490 ）三点

xx

xxxxxP

02.25038.0

490)15.1021.20(21.20

)15.10(250

)21.2015.10(15.10

)21.20()(

2

2

可以验证，用此方程进行非线性较正，每点误差均不大于 3℃ ，最大误差发生在 130℃ 处，误差值为 2.277℃

提高插值多项式的次数可以提高校正准确度。考虑到实时计算这一情况，多项式的次数一般不宜取得过高，当多项式的次数在允计的范围内仍不能满足校正精度要求时，可采用提高校正精度的另一种方法—

　　 (3) 分段插值法：这种方法是将曲线 y = f (x) 分成 N段，每段用一个插值多项式 Pni (x) 进行非线性校正（ i=1, 2, …N）。

　等距节点分段插值和不等距节点分段插值两类。

① 等距节点分段插值 : 适用于非线性特性曲率变化不大的场合。分段数 N及插值多项式的次数 n均取决于非线性程度和仪器的精度要求。非线性越严重或精度越高，则 N取大些或 n取大些，然后存入仪器的程序存储器中。实时测量时只要先用程序判断输入 x（即传感器输出数据）位于折线的哪一段，然后取出与该段对应的多项式系数并按此段的插值多项式计算 Pni (x) ，就可求得到被测物理量的近似值。

② 不等距节点分段插值对于曲率变化大的非线性特性，若采用等距节点的方法进行插值，要使最大误差满足精度要求，分段数 N就会变得很大（因为一般取 n≤2 ）。这将使多项式的系数组数相应增加。此时更宜采且非等距节点分段插值法。即在线性好的部分，节点间距离取大些，反之则取小些，从而使误差达到均匀分布 。

在表 4.1 中所列的数据中取三点（ 0 ，0 ），（ 10.15 ， 250 ），（ 20.21 ， 490 ），并用经过这三点的两个直线方程来近似代替整个表格。通过计算得：

21.20x15.1085.7x86.23

15.10x0x63.24)x(P1

可以验证，用这两个插值多项式对表 4.1 中所列的数据进行非线性校正时，第一段的最大误差发生在 130℃处，误差值为 1.278℃，第二段最大误差发生在 340℃处，误差 1.212℃。显然与整个范围内使用抛物线插值法相比，最大误差减小约 1℃。因此，分段插值可以在大范围内用较低的插值多项式（通常不高于二阶）来达到很高的校正精度。

3.3. 建模方法之二：曲线拟合法建模方法之二：曲线拟合法 曲线拟合，就是通过实验获得有限对测试数据（ xi, yi） ,利用这些数据来求取近似函数 y= f ( x ) 。式中 x为采集结果，y为被测物理量。与插值不同的是，曲线拟合并不要求 y= f ( x ) 的曲线通过所有离散点（ xi, yi），只要求 y= f ( x ) 反映这些离散点的一般趋势，不出现局部波动。

最小二乘法连续函数拟合最小二乘法连续函数拟合自变量 x与因变量 y之间的单值非线性关系可以自变量 x的高次多项式来逼近

对于 n个实验数据对（ xi， yi）（ i =1 ， 2，…，n），则可得如下 n个方程

mm10 xaxaay

nm

nmn10n V)xaxaa(y

1m

1m1101 V)xaxaa(y

2m

2m2102 V)xaxaa(y

n

1i

2m

0j

jiji

n

1i

2im10 min]xay[V)a,,a,a(

022

1 1

n

i

k

i

n

j

j

ijixxay

ak

imi

ii

i

m

1

0

m2i

1mi

mi

1mi

2ii

mii

yx

yx

y

a

a

a

xxx

xxx

xxn

解即为 aj （ j = 0 ，…， m ）的最佳估计值

拟合多项式的次数越高，拟合结果的精度也就越高，但计算量相应地也增加。若取 m = 1 ，则被拟合的曲线为直线方程 y = a0 + a1x

n 个实验数据对（ xi,yi）（ i = 1 ， 2，…，n）

)yxxyx(1

an

1iii

n

1i

n

1iii

n

1i

2i0

)yxyxn(1

an

1ii

n

1ii

n

1iii1

2n

1ii

n

1i

2i )x(xn

分段直线拟合

分段 n次曲线拟合

三、系统误差的标准数据校正法三、系统误差的标准数据校正法 当难以进行恰当的理论分析时，未必能建立合适的误差校正模型。但此时可以通过实验，即用实验手段获得校正数据，然后把校正数据以表格形式存入内存。实时测量中，通过查表来求得修正的测量结果。

实测值介于两个校正点之间时，若仅是直接查表，则只能按其最接近查找，这显然会引入一定的误差。

可进行如下误差估计，设两校正点间的校正曲线为一直线段，其斜率 S=△X／△Y(注意，校正时 Y是自变量，X是函数值)，并设最大斜率为 Sm，可能的最大误差为△ Xm=Sm△Y，设 Y的量程为 Ym，校正时取等间隔的N个校正点，则△ Xm=SmY/N

点数越多，字长越长，则精度越高，但是点数增多和字节变长都将大幅度增加存储器容量。

四四 .. 测量（采集）通道测量（采集）通道 非理想动态非理想动态特性特性校正校正

• 理想线性特性• 非理想特性对被测量信号的影响• 如何校正• 如何获得通道实际特性

五、传感器温度误差的校正方法五、传感器温度误差的校正方法 在高精度仪器仪表中，传感器的温度误差已成为提高仪器性能的严重障碍，对于环境温度变化较大的应用场合更是如此。

仅依靠传感器本身附加的一些简单的电路或其他装置来实现完善的传感器温度误差校正是困难且不便的。但只要能建立起较精确的温度误差模型，就可能实现完善的校正。

温度本身就是一个需要检测的量，或在传感器内靠近敏感元件处附加一个测温元件 (二极管、热敏电阻 ) 等。它们的某些特性随温度而变化，经测温电路、 ADC后可转换为与温度有关的数字量，设为 θ。

10c a)a1(yyy 为未经温度校正的测量值； yc 为经温度校正的测量值； Δθ为实际工作环境与标准温度之差； a0 和 a1 为温度变化系数（ a1 用于校正由于温度变化引起的传感器零位漂移， a0 用于校正由于温度变化引起的传感器标度的变化）。

温度误差数学模型的建立，可采用前面已介绍的代数插值法或曲线拟合法等。

可采用如下较简单的温度误差校正模型：

第三节 标度变换第三节 标度变换 仪器采集的数据并不等于原来带有量纲的参数值，它仅仅对应于参数的大小，必须把它转换成带有量纲的数值后才能显示、打印输出和应用，这种转换就是工程量变换，又称标度变换。

例：测量机械压力时，当压力变化为 0--100N 时，压力传感器输出的电压为 0--10mV ，放大为 0--5V 后进行 A/D 转换，得到 00H--FFH的数字量（假设也采用 8位 ADC）。

一、线性标度变换一、线性标度变换

若被测量的范围为 A0 ～ Am

A0 对应的数字量为 N0 ， Am 对应的数字量为 Nm ，Ax 对应的数字量为 Nx ；实际测量值为 Ax ；假设包括传感器在内的整个数据采集系统是线性

的，则标度变换公式为：

)NN/()NN)(AA(AA 0m0x0m0x

某智能温度测量仪采用 8 位 ADC，测量范围为 10 ～ 100℃ ，仪器采样并经滤波和非线性校正后（即温度与数字量之间的关系已为线性）的数字量为 28H。此时，式（ 4.32 ）中的 A0=10℃,N0=0FH ， Am=100℃ ， Nm=FF

H=255 ， Nx=28H=40 。 计算 AX

应用实例：

二、非线性参数的标度变换二、非线性参数的标度变换 许多智能仪器所使用的传感器是非线性的。此时，一般先进行非线性校正，然后再进行标度变换。

实例：利用节流装置测量流量时，流量与节流装置两边的差压之间有以下关系

PKG

00m0m0xx G)GG)](NN/()NN[(G

思考题与习题思考题与习题 1.. 与硬件滤波器相比，采用数字滤波器有何优点？2 ．常用的数字滤波算法有哪些？说明各种滤波算法的

特点和使用场合。3 ．各种常用的滤波算法能组合使用吗？若能，请举例

说明；若不能，请说明理由。4 ．设检测信号是幅度较小的直流电压，经过适当放大

和 A/D 转换，由于 50Hz工频干扰使测量数据呈现周期性波动。设采样周期 Ts=1ms，采用算数平均滤波算法，是否能够消除工频干扰？平均点数 N如何选择？

5 ．采用 51 系列单片机实现 4 题，请画出算法流程图，编写汇编程序，加以详细注释。

6 ．在 4 题中又增加了脉冲干扰，设计复合滤波算法，画出算法流程图，编写汇编程序，加以详细注释。

7 ．中值数绝对偏差决策滤波器与中值滤波器有哪些特点？画算法流程图。

8 ．什么是系统误差？有哪几种类型？简要说明系统误差与随机误差根本区别。

9 ．产生零位误差的原因有哪些？产生增益误差的原因有哪些？简述校正方法。

10 ．基准电压 Vr 的精度和稳定性是否影响零位误差、增益误差的校正效果？

11. 系统非线性误差校正的思路与方法。12 ．通过测量获得一组反映被测值的离散数据，

建立起一个反应被测量值变化的近似数学模型。有哪些常用的建模方法？

13 ．什么是代数插值法？简述线性插值和抛物线插值是如何进行的。

14 ．什么是线性拟合法？如何利用最小二乘法来实现多项式拟合。

15 ．试建立标准数据校正表，采用查表内插方法实现系统误差校正，画出流程图，设计程序。

16 ．举例说明什么是标度变换？