新北区实验中学 朱奕

例 1 、已知 AB DB⊥ 于点 B,CD DB⊥ 于点D,AB=6， CD=4， BD=14.在 DB上是否存在点 P，使得 C、 D、 P为顶点的三角形与以 P、 B、 A为顶点的三角形相似 ?如果存在 ,求出 DP长 ;如果不存在 ,请说明理由 .

D

C B

A

例 2 、如图 , 在△ ABC 中 ,∠C=90°,P为 AB 上一点 , 且点 P 不与点 A 重合 ,过 P 作 PE⊥AB 交 AC 边于点 E, 点 E不与点 C 重合 , 若 AB=10,AC=8, 设 AP的长为 x, 四边形 PECB 周长为 y, 求 y与 x 的函数关系式 .

A C

B

E

P

例 4 、如图 , 已知△ ABC 、△ DEF 均为等边三角形 ,点 D 、 E 分别在 AB 、 BC 上 .

如图①当 D 、 E 分别在 AB 、 BC 中点时 , 图中有与△ DBE 相似的三角形吗 ? 请找出 , 并选一个进行说明 .如图②当 D 、 E 分别从 AB 、 BC 中点向 A 、 C以相同速度运动时 , 图中有与△ DBE 相似的三角形吗 ? 请找出 , 并选一个进行说明 .

如图③当 D 、 E 分别是 AB 、 BC 上任意一点 , ② 中的结论是否仍然成立 ? 如果成立 , 请你找出 , 并选一个进行说明 .

F

E

D

B C

A

G

B C

F

A

D

E

H H

G

B C

A

D

E

F

① ② ③

1. 若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形。（ 1 ）操作：请你在如图所示的黄金矩形 ABCD （ AB>AD ）中，以短边 AD 为一边作正方形 AEFD ；（ 2 ）探究：在（ 1 ）中的四边形 EBCF 是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；（ 3 ）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）。

D C

BA

2. 把一个等腰直角三角形和一个正三角形分别分割成 3 个三角形 , 使等腰直角三角形中的3 个小三角形和正三角形中的 3 个小三角形分别相似。请画出三角形的分割线 , 在小三角形的各个角上标出度数 .

如图，在 4×4 的正方形方格中，△ ABC 和△ DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上 .

（ 1 ）填空：∠ ABC= ° ， BC= ；第 3 题图（ 2 ）判断△ ABC 与△ DEF 是否相似，并证明你

的结论 .

4. 如图 , 在矩形 ABCD 中 ,AB=12cm,BC=6cm, 点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 2cm/s的速度移动 , 点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A以 1cm/s 的速度移动 . 如果点 P 、 Q 同时出发 , 用 t(s) 表示移动的时间 (0≤t≤6), 那么当 t 为何值时 , 以点 Q 、 A 、 P 为顶点的三角形和△ ABC 相似 ?

D C

A B

Q

P

5. 如图在 Rt△ABC 中，∠ ACB=90° ，△ ABC 外作一个 Rt△BCD ，使∠ BDC=90° ，设AB=a ， BC=b ， CD=c ，当 a 、 b 、 c 满足什么关系式时 , 这两个三角形相似 ?

A

C

B

D