UNIVERSIDADE DE SO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SO CARLOS PS-GRADUAO EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS INTRODUO MECNICA DO CONTNUO NOTAS DE AULAS(lgebra e Anlise Tensorial) Sergio Persival Baroncini Proena So Carlos, Janeiro de 2011. Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena 1.Espaos Vetoriais Reais Def.1-EspaovetorialsobreocampoRdosnmerosreaisumsistema (V,+, R, ) constitudo por: - um conjunto no-vazio V cujos elementos so chamados vetores; - uma operao binria + sobre V chamada adio de vetores, cujo elemento neutro ser representado por 0; -umcampo9=(R,+,),dotadodasoperaesdesomaemultiplicao, cujoselementossochamadosescalares,sendooselementoszeroe identidade, representados por 0 e 1, respectivamente; -umaaplicao()deRVemVchamadamultiplicaodeescalarpor vetor, que associa ao par (o , x) o vetor representado por o x. Para a operao de adio, as seguintes propriedades devem ser satisfeitas: a)A adio de vetores comutativa , x y y x x y V + = + e (1) b)A adio de vetores associativa ( ) ( ) , , x y z x y z x y z V + + = + + e (2) c)Existe um nico vetor 0 em V, chamado vetor nulo ou elemento neutro, tal que: x 0 x x V + = e (3) d)Paracadavetorx V e ,ochamadovetoropostoousimtricodex tal que: ( ) x x 0 x V + = e (4) Def.2 - sejam dois vetores x e y, define-se por vetor diferena ou subtrao entrexeyaovetorresultantedasomadexcomosimtricodey, representado por x - y, ou seja: ( ) x y x y = + (5) Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena Aoperaodemultiplicaoporescalardeveapresentarasseguintes propriedades: e) ( ) ( ) , e x x x V o | o | o | = e9 ef)1x x x V = eg)( ) , e x x x x V o | o | o | + = + e9 eh) ( ) e , x y x y x y V o o o o + = + e9 e (6 a,b,c,d) Os exemplos que seguem constituem espaos vetoriais. Exemplo 1: o conjunto dos nmeros reais para as definies usuais de soma e produto. Exemplo2:osistema( , , , )nR 9+ dasn-uplasdenmerosreais ( , ,..., )1 2 nx o o o =e( , ,..., )1 2 ny | | | = sendo,i iR o | e , em que as operaes igualdadedevetores,aadiodevetoreseamultiplicaoporescalarso definidos por: se ;( ,..., )( ,..., )1 1 n n1 1 n n1 nx yx yxo | o |o | o | o o= = =+ = + += Exemplo 3: o espao vetorial V cujos elementos so funes reais de mesmo domnio D tais que ( ) ( ) ( )( ) ( ( ))f g x f x g xf x f x o o+ = += Exemplo4:osistema( , , , )m nR9 + detodasasm n matrizessobreo campo 9, sendo a adio de matrizes e a multiplicao de matriz por escalar operaes j conhecidas. 2.Dependncia e independncia linear de um conjunto de vetores Def.3 - sendo V o espao vetorial sobre o campo 9, um subconjunto S com nmero finito de vetores, , ,1 2 nx x x .de V dito ser linearmente dependente se existirem escalares( , ,..., )1 2 no o ono todos nulos tais que: Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena 1 2 n1 2 nx x x 0 o o o + + .+ = (7) Anotaoempregandondicessuperiores,porhora,introduzidaeser justificada mais adiante. Def.4-umsubconjuntoS=Cditolinearmenteindependentesepara quaisquer vetores no-nulos, ,1 nx x . de S, em nmero finito, e escalares jo , a igualdade: 1 2 n1 2 nx x x 0 o o o + + .+ = implicar em...1 2 n0 o o o = = = = Exemplo5: dois vetores (segmentos orientadosclssicos)no-colinearesno plano so linearmente independentes. Exemplo6:osmonmios1,x1,x2,...,xnsovetoreslinearmente independentes no espao dos polinmios em x. Evidentemente, neste caso os ndices superiores indicam potncias. 3. Espaos com produto interno Def.5-Denomina-seprodutointernoemV,todaaplicaoqueassociaa cada par de vetores (x,y) de VV um nico real denotado por (x . y) tal que: i. x y y x = ii. ( ) x y x y o o = iii.( ) x y z x z y z + = + iv.( ) x x 0 > sendo que x x 0 =se e s se x 0 = (8 a,b,c,d) Um espao vetorial com produto interno denominado Espao Euclidiano. Exemplo7-Noespao92oprodutointernoentrex=(x1,x2)ey=(y1,y2) pode ser definido por: 1 1 2 2 1 2 2 1x y x y x y x y x y = + + + (9) Exemplo8-Noespaovetorialdasfunescontnuasnointervalo[a,b] define-se produto interno por: Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena ( ) ( )baf g f t g t dt =}(10) Exemplo9-Noespaodasmatrizesreaisdeordemnndefine-seproduto interno por: ( ) ( )TA B tr A B = (11) ondeaoperaotrao,denotadaportr(.),realizaasomadoselementosda diagonal principal de uma matriz. Def.6 - Sendo V um espao euclidiano, denomina-se norma de um elemento u de V ao nmero real no-negativo obtido por: ( ) .12u u u = (12) A norma assim definida satisfaz s seguintes propriedades: i. u u o o =ii./ ; u 0 p u 0 0 0 > = =iii.u v u v s (desigualdade de Cauchy-Schwarz) iv.u v u v + s +(desigualdade triangular)(13 a,b,c,d) Obs.Qualqueroperaoquenonecessariamentefaausodoproduto interno,comona(12),masquesatisfaaspropriedadesacimaconstitui uma norma. Assim o conceito se estende aos espaos vetoriais quaisquer. Def.7-adistnciaentredoiselementosxeydeumespaovetorialV definida como a norma da diferena entre eles, sendo representada por: ( ) , d x y x y = (14) A medida assim definida satisfaz s seguintes propriedades: i. ( ) ( ) , , d x y d y x =ii. ( ) ( ) , , d x y 0 se x y e d x x 0 > = = (15 a,b,c) Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena iii.( ) ( ) ( ) , , d x y d x z d z y + s + (a distncia o menor caminho entre dois pontos) Um espao com operao distncia definida chamado de espao mtrico. Def.8-DadesigualdadedeCauchy-Schwarzdecorreadefiniodengulo 0 u t s sentre dois vetores no-nulos, representada por: ( )( )cos ,x yx yx yu= (16) Obs.Nosedefinenguloentrevetoresquandopelomenosumdeleso vetor nulo. Outras definies complementares so tambm de interesse: Def.9-Doisvetoresxeysoortogonaissex y 0 = ;logo,onguloentre eles 2tu = . Def.10-UmconjuntodevetoresdeVortogonalseseusvetoresforem ortogonais dois a dois. Def.11 - Um vetor x dito unitrio, ou versor, sex 1 = . Exemplo10-Noespaodasfunescontnuasnointervalo[-1,1]com produto interno definido por: ( ) ( )11f g f t g t dt =}(17) ospolinmios( ) e ( )2f t t g t 3t 1 = = soortogonais,assimcomoas funes( ) cos e ( ) f t 2m t g t sen2n t t t = = , com m e n inteiros quaisquer. 4. Combinaes lineares. Base e dimenso Def.12-umvetorxdoespaovetorialVditoserumacombinaolinear dos vetores, ,1 nx x .de V se existirem escalares, ,...,1 2 no o o tais que: Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena 1 2 n1 2 nx x x x o o o = + + .+ (18) Def.13-umabasedeumespaovetorialVumsubconjuntodeV linearmenteindependentetalquetodovetordoespaopodeserescritode forma nica como uma combinao linear dos vetores da base. Existem infinitas bases em um espao vetorial. Def.14-adimensodeumespaovetorialonmeromximodevetores linearmente independentes do espao. O espao V dito de dimenso finita se admitir uma base finita. O teorema seguinte apenas enunciado. Teorema1 - Em qualquer espao euclidiano: i. Umvetorxortogonalatodovetordoespaose,esse,xovetor nulo. ii.Um conjunto ortogonal de vetores no-nulos linearmente independente. Def.15-Numespaoeuclidiano,umconjuntoortonormalumconjunto ortogonal de vetores unitrios. Exemplo10 - Considerando-se o produto interno definido por i ix y x y =(i = 1,...,n) , os vetores: ( )( )( ), , , ,, , , ,, , , ,12nx 1 0 0 0x 0 1 0 0x 0 0 0 1= .= .=.

(19) so unitrios e constituem uma base ortonormal para o 9n . Os teoremas que seguem so enunciados sem demonstrao: Teorema2 - Todo espao vetorial possui uma base. Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena Teorema3-Numespaodedimensofinitaqualquerconjuntodevetores linearmente independente pode ser estendido a uma base. Corolrio - Se V for um espao de dimenso finita n ento: a)Qualquer conjunto de n + 1 vetores de V linearmente dependente; b) Nenhum subconjunto de V contendo menos de n vetores pode gerar V. Sendocom ( , , ),ie i 1 n = .uma base de V, qualquer vetor x do espao dado por 1 2 n1 2 nx e e e o o o = + +.+pode ser escrito segundo uma notao indicial na forma: iix e o = (20) onde os ioso as componentes de x na base ie , tambm denominadas, por uma razo que ficar clara mais adiante, componentes contravariantes. Nota-se que na notao indicial, a repetio de ndices no mesmo termo tem o significado de somatria, sendo o nmero de parcelas igual dimenso do espao.Ondicerepetidodenominadondicemudo.Alis,parandice mudo pode-se adotar qualquer letra, de modo que segundo uma mesma base o vetor x pode ser representado indiferentemente por: i j ki j kx e e e o o o = = = (21) uma vez que todos os ndices variam de 1 a n . No caso de vetores diferentes, escritos cada um como combinao linear de umamesmabase,convenienteadotarletrasdiferentesparaosndices mudos.Entretanto,anotaoindicial permiterepresentar,porexemplo,um conjunto de m vetores escritos em funo de uma mesma base de dimenso n, do seguinte modo: ji i jx a e = comi = 1, ..., mej = 1, ... , n(22) O que equivalente a: Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena 1 2 n1 1 1 1 2 1 n1 2 n2 2 1 2 2 2 n1 2 nm m 1 m 2 m nx a e a e a ex a e a e a ex a e a e a e= + + .+= + + .+= + + .+.(23) Decorredadefinio15edoteorema2quetodoespaoeuclidianode dimenso finita admite uma base ortonormal. Os vetores da base ortonormal verificam a condio: i j ije e o = (24) ouseja:se e sei j i je e 0 i j e e 1 i j = = = = .Essascondiesso resumidas na (24) pelo smbolo de Kronecker ijo . Emtermosprticos,abaseortonormalpodeserobtidadeumabase ortogonal dividindo-se cada vetor pela sua norma. Sejam iee jfduas bases de Vn (espao vetorial de dimenso n). Ento como os jf sovetoresdeVn,tambmelespodemserrepresentadospor combinaes lineares dos ie : ij j if C e = (25 a) A mesma expresso pode ser colocada em forma matricial admitindo-se, por exemplo,quenascomponentes ijC ondicesuperioriestassociadoao nmerodeumalinhadamatrizCeondiceinferiorjaonmerodeuma coluna. Nessas condies vale tambm a representao: { } | | { }Tf C e = (25 b) sendo | | Cinterpretada como matriz de mudana de base. Sendo, por outro lado, ioe j|as componentes de um vetor x nas bases iee jf , respectivamente, ento: Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena i ji jx e f o | = = Substituindo-se a relao (25 a), segue que: j i ij i ix C e e | o = = (26) Como as componentes segundo uma mesma base so nicas, ento: i j ijC o | = (27 a) ou ainda, matricialmente: { } | |{ } C o | = (27 b) Sendo a matriz C inversvel e conhecidas as componentes io , vale escrever: { } | | { }1C | o= ou { } | | { } D | o = , com| | | |1D C= . Em notao indicial: j i jiD | o = (28) Nota-se,portanto,queavariaodascomponentesdeumvetorescritona base iepara a base jfse d com o inverso da matriz que opera a mudana dos vetores da base iepara os vetores da base jf . Segue da a denominao de componentes contravariantes. AcondiodequeDeCsoinversasumadaoutrapodesercolocadaem notao indicial como: i k kj i jC D o = (29) ondesefezuso,novamente,dosmbolodeKronecker,maisformalmente definido por: Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena

kj0 se k j1 se k jo== =(30) Observa-sequenosvetoresanotaocomndicessuperioresdas componentescontravariantespropositaleestparadiferenciardas componentes covariantes, que se escrevem em relao a uma base dual e so identificadas por um ndice subscrito. Ummesmovetorpodeentoserescritosegundocomponentes contravariantes numa base natural ou covariantes numa base dual. Sendo iee jg versoresdasbasesnaturaledual,ambosserelacionampelaseguinte condio: j ji ie g o = (31) Conclui-se, portanto, que por definio os versores da base dual obedecem a umarelaodeortogonalidadeemrelaoaosversoresdabasenatural regida pela (31). Ointeressepelabasedualexistequandoabasenaturalnoortogonal, entretanto,nestasnotas,porsimplificao,admite-sequeasbasesnaturais adotadas sejam sempre ortonormais, de modo que as componentes naturais e duaisseconfundem.Nessecaso,oposicionamentodosndicesnas representaesdosversoresdabaseoudascomponentesdevetoresem relaoaelastorna-seirrelevante.Segue,porexemplo,queosmbolode Kroneckerpodeserrepresentadoindistintamentecomndicesemposio mista, sobrescritos ou subescritos como: j jii jio o o = = . Por outro lado, em funo de sua propriedade o smbolo de Kronecker pode funcionar, numa deduo, como um trocador de ndices, pois: j i ijo o o = (32) Omesmosmboloserve,ainda,paraindicarasomadoselementosda diagonal principal de uma matriz ( n n ) como segue: Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena ij iiija a o = = (33) (nesse caso fica implcito que:)ii 11 22 nna a a a = + + .+ . 5. Produto vetorial e produto misto Oprodutovetorialdedoisvetoresuevdefinidocomoaoperaoque apresenta as seguintes propriedades: i. ( ) u v v u = ii. ( ) ( ) ( ) u v w u w v w u,v V; , o | o | o | + = + e e9 iii. ( ) ( )u. u v v. u v 0 = =iv. ( ) ( ) ( )( ) ( )2u v . u v u.u v.v u.v = (34 a,b,c,d) O resultado do produto vetorial um vetor ortogonal ao plano definido por u e v, como indica a propriedade iii. EmrelaoaumabaseortonormaldeV,aoperaoprodutovetorial definida por: ( )ijk i j ku v u v e c = (35) onde ijkc ooperadordepermutao,queassumeovalor+1parauma permutaocclica('horria')dosndicesi,jek,-1paraumapermutao anti-cclica e zero no caso de coincidncia nos valores de quaisquer pares ou tripla de ndices. Escrevendo-se u e v em funo de suas componentes na base ortonormal de V ( )i i j ju u e ; v v e = =e substituindo-se na relao anterior, conclui-se que: ( )i j ijk ke e e c = (36) Realizando-se o produto interno da anterior por kee por ( )m ne e resultam, respectivamente: Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena ( )ijk i j ke e .e c = (37) ( ) ( )i j m n ijk mnp k pe e . e e e .e cc = (38) Da anterior seguem os seguintes casos particulares: - se k = p ( ) ( )ijk mnk i j m n im jn in jme e . e e cc o o o o = = (39) - se k = p e j = n ( ) ( )ijk mjk i j m j ime e . e e 2 cc o = = (40) - se k = p, j = n e i = m ijk ijk6 cc = (41) Asduasltimasrelaespodemserverificadasconsiderandooseguinte desenvolvimento: ijk mjk i 21 m21 i 31 m31 i12 m12 i 32 m32 i13 m13 i 23 m23cc c c c c c c c c c c c c = + + + + + Tendo-seemvistaa(34d)ea(16),resultaadefiniodomdulodo produto vetorial: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )222 2 2 22u v u v . u v u.u v.v u.vu v u v cos u,vu v u v sen u,v = = = =(42) Arelaodomdulodoprodutovetorialaoquadradoescritaem componentes fica dada por: Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena ( )( )2ijk mnk i j m nim jn in jm i j m ni i j j i i j ju v u v u vu v u vu u v v u v u vcco o o o == = (43) Seguindo um procedimento anlogo possvel demonstrar que: ( ) ( ) ( ) u v w u.w v u.v w = (44) Geometricamenteomdulodoprodutovetorialcoincidecomareado paralelogramodefinidoporuev.Assim,admite-seadenominao"vetor rea" para o vetor resultante do produto vetorial de dois vetores com mdulo igual rea do paralelogramo por eles definido e com direo normal ao seu plano. Oprodutomistodevetores,simbolizadopor: ( ) u v .w definidopela operao: ( )1 1 1ijk i j k 2 2 23 3 3u v wu v .w u v w u v wu v wc = = (45) O produto misto apresenta as seguintes propriedades: i. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )u v .w w u .v v w .uv u .w u w .v w v .u u,v,w V = = = = = e ii. ( ) ( ) ( ) u v w .d u w .d v w .d u,v,w,d V; , o | o | o | + = + e e9( iii. ( )w. u v 0 =se os vetores so linearmente dependentes. Oresultadodoprodutomisto,emmdulo,podesergeometricamente interpretado como o volume do paraleleppedo de arestas alinhadas com u, v e w. Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena 6.Formas lineares, bilineares e quadrticas Chama-se forma linear em um espao vetorial V toda aplicao f que a cada vetor x de V associa um nico nmero real f(x), de modo que: ( ) ( ) ( ) f x y f x f y + = +( ) ( ) f x f x o o = (46) UmaformabilinearumaaplicaoBqueacadapardevetoresdeV associa um nico nmero real satisfazendo as seguintes condies: ( , ) ( , ) ( , ) B x y z B x z B y z + = +( , ) ( , ) B x y B x y o o =( , ) ( , ) ( , ) B x y z B x y B x z + = +( , ) ( , ) , , B x y B x y x y z V R o o o = e e (47) Uma forma bilinear dita simtrica se: ( , ) ( , ) B x y B y x = (48) SejaBumaformabilinearsimtricadefinidaemumespaovetorialVde dimenso finita. Define-se forma quadrtica associada forma bilinear como a aplicao que a cada vetor x de V associa um nico nmero real( ) B x ' , de modo que: ( ) ( , ) B x B x x ' = (49) Uma forma quadrtica se diz positivo-definida se: ( ) ( , ) 0 B x B x x ' = > (50) 7.Transformaes Lineares em Espaos Euclidianos SendoUeVespaosvetoriaisreais,umafuno: F U V ditauma transformao linear se vale a seguinte relao: ( ) ( ) ( ) F u v F u F v o | o | + = + (51) Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena onde o, | so nmeros reais, u e v so vetores de U e( ), ( ) F u F vso vetores de V. Exemplo 12 - Sejafuma funo de9 em9 tal que:: 3 f x x , ento: a)( ) ( ) f x f x o o =b)( ) ( ) ( ) f x y f x f y + = + De fato: ( ) 3 3 ( ) f x x x f x o o o o = = =( ) 3( ) 3 3 ( ) ( ) f x y x y x y f x f y + = + = + = + A funo f como definida acima uma transformao linear de9 em9. Exemplo13 - Analogamente pode-se mostrar que a funo f de9 em9 tal que: 3 5 f x x +no uma transformao linear de9 em9. Exemplo14-SejaVoespaovetorialdasfunespolinomiaisfsobreo corpo dos nmeros reais, dadas por: 0 10 1:nnf x a x a x a x + + + Seja D o operador de derivao tal que: 11 2( ) : 2nnD f x a a x na x + + + . EntoDumatransformaolineardeVemV,ouseja,emumpontox qualquer do domnio de f: a)[ ( ] ( ) D f x Df x o o =b) 1 2 1 2[ ( ) ( )] ( ) ( ) D f x f x Df x Df x + = + Voltando considerao da (51), se V = R a transformao F denominada formalinear,oufuncionallinear.Oteoremadarepresentaodasformas linearesdizquedadaumaformaFexisteumnicovetora U e talque: ( ) . F v a v v U = e . Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena Por outro lado, sendo x e y vetores de um espao vetorial de dimenso finita, aumaformabilinearBdefinidaemVpode-seassociarumatransformao linear T, tal que: ( , ) . , B x y T x y x y V = e (52) 8.Vetores e valores prprios SejaTumatransformaolinearnumespaovetorialdedimensofinita. Um vetor x do espao que satisfaz a relao: T x x = (53) chamadovetorprpriodatransformao.Oescalar ,quepodeassumir valores reais ou complexos, chamado valor prprio, ou autovalor de T. Existemalgunsteoremasimportantesnoestudodosautovalores.Osseus enunciados so aqui apresentados sem demonstrao. Teorema4:SejaVumespaovetorialrealeuclidiano.SeTuma transformaolinearsimtricadefinidaemV,entotodososseus autovalores so reais. Teorema5:SejaTumatransformaolinearnumespaovetorialde dimensofinita.Oconjuntodeauto-vetoresdeTcorrespondentea autovalores distintos linearmente independente. Teorema 6: Seja T uma transformao linear simtrica num espao vetorial de dimenso finita. Existe em V uma base ortonormal relativa qual a matriz de T diagonal. Teorema 7: Seja T uma transformao linear simtrica num espao vetorial de dimenso finita. Auto-vetores de T associados a autovalores distintos so ortogonais entre si. Teorema 8: Seja V um espao vetorial real euclidiano de dimenso trs. Seja umaformaquadrticadefinidasobreversores 1 2 3, e f f f deVea transformao linear a ela associada. Ento a forma quadrtica passa por um Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena mnimo 3e por um mximo 1 , respectivamente nos versores 3fe 1f , onde 1 2 3 > >so osautovalores reais da transformao. 9.Tensores de segunda ordem Quando os espaos U e V forem um mesmo espao vetorial, a transformao linear: F V V chamada de tensor. UmtensorAdesegundaordemassociaaumvetorarbitrrioaoutrovetor Aa. A transformao em questo tal que: ( ) A a b Aa Ab o | o | + = + (54) O tensor nulo de segunda ordem O associa o vetor nulo ao vetor arbitrrio a: Oa 0 = (55) O tensor identidade I associa o vetor a ele mesmo: Ia a = (56) 9.1 Produto Tensorial OprodutotensorialdedoisvetoresuevdeVotensordefinidopela relao: ( ) ( ) u v w v w u = (57) onde w um vetor de V. Note-sequeoprodutotensorialumatransformaolineardeVemV,ou seja: ( )( ) ( ) ( ) u v x y u v x u v y o | o | + = + (58) 9.2Base e componentes de um tensor Seja V um espao vetorial euclidiano de dimenso finita n, sendo ieversores de uma base. O conjunto de tensores: Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena / , 1, ,i je e c i j n = .(59) constitui uma base para o espao dos tensores de segunda ordem. ArepresentaodeumtensorTemcomponentescomrelaobase tensorial pode ser escrita por: / , 1, ,ij i jT T e e c i j n = = . (60) Poroutrolado,dadootensorT,suascomponentesemrelaobase tensorial podem ser determinadas por: . / , 1, ,ij i jT e Te c i j n = = . (61) 9.3 Algumas Propriedades OtranspostodeumtensorSrepresentadopor TS otensorqueobedecea seguinte propriedade: ,TS u v u S v u v V = e .(62) Decorrem dessa definio e da (57): a)( )Tu v v u = b)( ) ,Tu v L u L v u v V = e . c)( ) . .( ) u v wd w v u d = d)( )( ) ( . )( ) u v c d v c u d = e)( ) ( ) L u v Lu v = (63 a,b,c,d,e) Um tensor dito simtrico se TS S =e dito antissimtrico se TS S = . Da relao (62) sendo S um tensor antissimtrico segue que: , S u v u S v u v V = e (64 a) No caso particular de u = v na relao anterior, resulta: Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena 0 S u u = (65 b) Outrasrelaesdeinteresseenvolvendotranspostodeumtensorsoas seguintes: a)( )T T TS T S T + = +b) ( )TTS S o o =c) ( )TT TST T S =d) ( )TTS S =(66 a,b,c,d) Todotensorpodeserescrito,deformanica,comoasomadesuaparte simtrica e outra antissimtrica, as quais so definidas, respectivamente, por: 12( )TU F F = +12( )TW F F = (67 a,b) ondeF U W = + . Como conseqncia:v Fv v Uv = . O trao de um tensor a aplicao que a cada tensor associa um nmero real definido por: ( ) tr u v u v = (68) O produto interno entre dois tensores S e T o nmero real representado por (S.T) e obtido pela seguinte operao: ( ).TS T tr S T = (69) A norma de um tensor o nmero real no-negativo determinado por: ( )1 2. S S S = (70) A norma obedece s seguintes propriedades: a)S v S v sb)SF S F sIntroduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena c)S G S G + s +d)u v u v = (71 a,b,c,d) OdeterminantedeumtensorSodeterminantedamatrizquerenesuas componentes em relao uma base qualquer: det det[ ] S S = (72) Em termos das componentes do tensor S, a relao anterior pode ser escrita na forma: ijk pqr ip jq kr1det S S S S6 cc = (73) Levando-se em conta que ijk ijk6 cc = , pode-se ainda escrever: ijk pqr ip jq krdet S S S S c c = (74) Com as relaes anteriores pode-se concluir que: ( )3det detdet detdet ( ) det detdet 1TS SS SAB A BIo o====(75 a,b,c,d) Sedet A 0 =o tensor inversvel e, portanto, existe 1A tal que: ( )11det det A A= (76) Com a relao anterior, pode-se mostrar que: ( )11 1AB B A = (77) Uma interpretao geomtrica para o determinante de um tensor de segunda ordempodeserobtidamedianteoprodutomisto,oqual,comojfoivisto, representa o volume de um paraleleppedo. Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena UmtensorTqueatuasobreosvetoresqueconcorremnoprodutomisto transformalinearmenteoparaleleppedoenvolvidoemoutrocujovolume determinado por: ( )pqr pi i qj j rk k ijk i j kv T u T v .T w T u T v T w u v w det T c c = = = (78) Assim sendo: ( )( )T u T v .T w vdet TV u v . w= =(79) Emaplicaesdeinteresse,particularmentequandoTrepresentaumtensor dedeformao,comumimporarestrioquedetT>0,isto:a deformaonoimplicaeminversodovolumeinicial.Nessascondies, os sinais de mdulo na relao anterior podem ser suprimidos. Em outro caso particular, quando ( )w u v = segue que: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )TT u T v .T u v T T u T v . u vdet Tu v . u v u v . u v = = (80) ou ainda, ( ) ( ) ( ) ( )Tdet T u v . u v T T u T v . u v = (81) de onde resulta: ( ) ( ) ( )( )1TT u T v det T T u v = (82) 9.4 Invariantes de um tensor de segunda ordem As propriedades do produto misto permitem mostrar que dado um tensor de segundaordemTarbitrrioeduasbasestambmarbitrriasdefinidaspelos vetores (u,v,w) e (l,m,n) valem as seguintes relaes: Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )T u v .w u Tv .w u v .Tw T l m .n l Tm .n l m .Tnu v . w l m .n + + + + = ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )T u Tv .w u Tv .Tw T u v .Tw T l T m .n l Tm .Tn Tl m .Tmu v . w l m .n + + + + = ( )( )( )( )Tu Tv .Tw Tl Tm .Tnu v . w l m .n = (83 a,b,c) Das relaes anteriores, nota-se que o resultado numrico de cada igualdade o mesmo independente da base adotada e, por isso denominado invariante. Respectivamente para as relaes (83 a,b,c) os invariantes so representados por 1I , 2Ie 3I . Formalmente,invariantessoaplicaesquefazemcorresponderaum tensordesegundaordemumniconmeroreal,independentedabase escolhidapararepresent-lo.DadoumtensorqualquerA,osinvariantes podem ser definidos pelas seguintes operaes: ( )1 iiI tr A A = =( ) ( )2 221 1( )2 2ii ij jiI tr A tr AA A A A ((= = 3det I A = (84 a,b,c) Da (84 a) segue que: Ttr A tr A =( ) ( ) tr AB tr B A = (85) Da (84 c) pode-se concluir que: det detTA A = (86) Admitindo-sequeumtensorAsejadefinidopeloprodutotensorialdedois vetoresarbitrriosuev,isto:A u v = ,asrelaes(83)easdefinies dos invariantes permitem concluir que o segundo e o terceiro invariantes de A se anulam e: Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena ( )( ).det 0tr u v u vu v = =(87 a,b) A partir de uma representao matricial para o tensor A cuja base definida apartirdeumabasedeversores ie ,pode-semostrarqueoprimeiro invariante (trao) coincide com a soma dos elementos da diagonal principal. Osegundoinvariantecoincidecomasomadosdeterminantesmenoresde ordemdoiseoterceiroinvariantedadopelodeterminantedamatrizdo tensor. Doanteriordecorreumapropriedadetilemalgumasaplicaesde interesse, que consiste na derivada do determinante de um tensor em relao a um escalar. Nesse sentido, seja T um tensor inversvel que depende de um parmetro real o. Segue da (79) sucessivamente que: ( ) ( ) u v . w det T T u T v .T w = ( (88 a) ( ) ( )( )d d du v . w det T T u T v .T w T u T v .T wd d ddT u T v . T wdo o oo| | | | = + ( || \ . \ .+ (88 b) Introduzindo o tensor 1dB T Tdo| |= |\ ., ou dBT Tdo| |= |\ ., a anterior assume a forma: ( ) ( ) ( ) ( )( )du v . w det T BT u T v .T w T u BT v .T wdT u T v .BT wo = + ( + (89) ConsiderandoqueTu,TveTwsovetoresecoma(83a)eadefiniodo primeiro invariante, resulta: Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )du v . w det T tr B T u T v .T w tr B det T u v .wdo = = ( (90) Conclui-se, finalmente, que: ( ) ( )1d dTdet T det T tr Td d o o| |= |\ .(91) 9.5 Vetores e valores prprios de um tensor de segunda ordem SejaAumtensordesegundaordemarbitrrio.Umvetorxumvetor prprio de A se existe um escalar que satisfaz a relao: ( )ou 0 Ax x A I x = = (92) Oescalar podeassumirvaloresreaisechamadovalorprprio,ou autovalor de A. Poroutrolado,diz-sequeumautovalordeAsesatisfazaequao caracterstica: ( )det 0 A I = (93) Emformaexpandida,aequaocaractersticapodeserrepresentadana forma: 3 21 2 3I I I 0 + = (94) ondee1 2 3I ,I Iso invariantes do tensor A. UmtensorsimtricoSpossuitrsautovalores ( ) e1 2 3, etrsvetores prprios ( ) e1 2 3e ,e e ,ouautoversores,quecompemumabaseortonormal. Aplicandoa(59)osautoversoresconstituemumabasesegundoaqualo tensor S pode ser escrito tendo os autovalores como componentes: ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3S e e e e e e = + + (95) Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena A forma anterior denominada representao espectral do tensor simtrico. Explorandoessarepresentao,osinvariantesdadospelas(62)assumemas seguintes expresses: ()1 1 2 3I tr S = = + +( )22 1 2 1 3 2 312ii ij jiI S S S (= = + + 3 1 2 3 1 2 3 ijk i j kI S S S c = = (96 a,b,c) Um tensor dito positivo-definido se: a Sa 0 a 0 > = (97) Umtensorsimtricopositivo-definidopossuiautovalorespositivos.Nessa condio,pela(69c)detS>0e,portanto,Sinversvel.Arepresentao espectral do tensor inverso dada por: ( ) ( ) ( )1 1 1 11 1 1 2 2 2 3 3 3S e e e e e e = + + (98) Um tensor antissimtrico possui pelo menos um autovalor no-nulo. 9.6 Relao entre um tensor antissimtrico e o produto vetorial possvelassociaraumvetoradoprodutovetorialumtensor antissimtrico A tal que: ( )com e Av a v a V A LinV = e e (99 a) Adotando-seumabaseortonormal ke ,emformaindicialarelaoanterior passa a ser dada por: ik k ijk j kA v a v c = (99 b) Segue ainda que: Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena 2 2ik ijk jikm ik ikm ijk j ikm ikj j jm j mA aA a a a acc c c c c o== = = = (100) As relaes anteriores permitem determinar as componentes do tensor A e do vetoraumasemfunodasoutras.Taisrelaesescritasemnotao matricial so dadas, respectivamente, por: || { }( )( )( )32 233 23 1 13 312 121 1212010 ;2012A Aa aA a a a A Aa aA A ( (= = ` ( ( )(101) Em particular, se o vetor a se apia no eixo 3x(3a a = ) resulta: ||0 00 00 0 0aA a ( (=( ( (102) Nota-seumacorrespondnciavlidaemtrsdimenses:onmerode componentes independentes de a e de A coincidem. Em geral, diz-se que a o vetor associado ao tensor A e A o tensor do vetor a. Umexemplodautilizaodoconceitode"vetordetensor"apresenta-sena relao seguinte: es a sT v T v T v T v a v v V T LinV = + = + e e (103) onde sT apartesimtricadeT, aT aparteantissimtricaeaovetorde aT . 9.7 Tensor Ortogonal Sejam x e y dois vetores quaisquer de V e Q um tensor tal que: Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena x Qx = ;y Q y = ;x x = ;y y = (104) Observa-sequeotensorQassimdefinidopreservaoprodutointernode vetores, ou seja: x y x y = (105) De outro modo, pela (16), o ngulo entre x e y mantido entrexey . Ainda da (100): Tx y x y Qx Q y Q Qx y = = = .(106) Logo,pode-seconcluirque TQ Q I = ,ouque 1 TQ Q= .OtensorQ chamado de Tensor Ortogonal. Considere-seaaodeumtensorortogonalsobreumdosversoresdeuma base ortonormal: *j je Qe = (107) Assim, explorando as (56) e (57) pode-se concluir que: * *;Ti i i iQ e e Q e e = = (108 a,b) Portanto, conhecidos os versores *ei ie eas componentes do tensor ortogonal podem ser calculadas mediante as seguintes relaes: ( )( )* ** *. . cos ,. cos ,ij i j i j i jTij ji i j i jQ e Qe e e e eQ Q e e e e= = == = =(109 a,b) Ainda,sedet Q 1 = otensorortogonalditoprprioeefetua,conformese mostra em seguida, rotao em torno de pontos ou de eixos que passam por essespontos(eixoderotao).Sedet Q 1 = otensorortogonaldito imprprioeefetuatantorotaoquantoreflexodeeixosemrelaoa planos perpendiculares a estes eixos. Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena Paramostrarqueoefeitodotensorortogonalprpriosobreumvetorpode serinterpretadocomoumarotaodovetoremtornodeumeixo, inicialmente considera-se a seguinte identidade: ( ) ( )TTQ Q I Q I = (110) Operando-se o determinante em ambos os lados da igualdade, encontra-se: ( ) det Q I 0 = (111) Comparando-searelaoanteriorcoma(66),conclui-sequeotensorQ possui um autovalor unitrio e, portanto: TQ p p Q p = = (112) Admitindo-sequepsejaumversor,pode-seacrescentaraeledoisoutros versoresecomporumabaseortonormal.Pelapropriedade(74)ecoma condio de ortogonalidade entre vetores (24), conclui-se que q, r, Qq e Qr soortogonaisaovetorpeestocontidosnummesmoplano.Nessas condies, valem as relaes: ; Qq q r Qr q r o | o = + = + (113) Pela ortogonalidade inicial entre q e r e com a propriedade (74) do tensor Q, conclui-seaindasobreaortogonalidadeentreQqeQr,equeambosso versores, isto : 0; 1 Qq Qr Qq Qr = = = (114) Com as (77) e (79), pode-se escrever o determinante do tensor Q como: ( ) ( ) det Q p q r Qp Qq Qr 1 = = = (115) Seguem,das(79)e(80),substituindo-senelasasdefiniesdadaspelas (78), as seguintes relaes entre os parmetros, , e o | o : Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena 2 22 21101o |o o |ooo |+ =+ =+ = =(116 a,b,c,d) Asrelaesanterioresgarantemaexistnciadeumngulo ( )t u t < sdefinido no plano q-r tal que:cos o o u = =esen | u = = . Por outro lado, comos paresdeversoresdabase(p,q,r) pode-se gerar uma basetensorialeemrelaoelaescreverotensorQnosmoldesdescritos pela (56), isto : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )pp pq prqq qp qrrr rp rqQ Q p p Q p q Q p rQ q q Q q p Q q rQ r r Q r p Q r q= + + + + + + + + (117) AscomponentesdeQpodemserdeterminadasconformeindicaarelao (57)eescritasemfunode, , e o | o aplicando-seas(78)e(79).Nessas condies a (82) assume uma forma mais simplificada: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos Q p p q q r r sen q r r q u u = + + (( (118) Em notao matricial o tensor de rotao descrito pela (83) fica representado por: | |1 0 0Q 0 cos sen0 sen cosu uu u ( (= ( ( (119) Aplicando Q sobre os versores q e r, conclui-se, conforme ilustra a Figura 1, que o efeito o de uma rotao de um ngulo em torno da direo definida por p: Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena { }0 1 0 0 0 0q 1 Qq 0 cos sen 1 cos0 0 sen cos 0 senu u uu u u ( (= = = ` ` ` ( ( ) ) )(120) { }0 1 0 0 0 0r 0 Qr 0 cos sen 0 sen1 0 sen cos 1 cosu u uu u u ( (= = = ` ` ` ( ( ) ) )(121) (det Q =1)qqrp(det Q = -1)*p*q*r*p=q+ Figura 1 Interpretao do tensor de rotao sobre uma base ParafinsdeinterpretaogeomtricadoefeitodaaplicaodotensorQ sobre um vetor x qualquer, considere-se um ponto O para origem em relao qualposicionadaabase(p,q,r)etambmparaorigemdevetores representados geometricamente no espao tridimensional correspondente. A aplicao de Q sobre x leva ao seguinte vetor: ( ) ( )cos cosp q r q ry Qx x p x x sen q x sen x r u u u u = = + + + (122) onde:; ; .p q rx x p x x q x x r = = = Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena Analisandoa(84),eemparticularascomponentesdovetor yemrelao base(p,q,r),nota-se,emprimeirolugar,queacomponentesegundopa mesmadovetorxsegundoaquelemesmoversor.Asoutrascomponentes encontram-se no plano q-r. AqrqxQxA'ayqyrxqxr xQxpqrqoo' Figura 2 Interpretao geral do tensor de rotao AFigura2ilustraumainterpretaogeomtricaparaoefeitodotensorde rotaosobreumvetorx.Narepresentaoespacialclaramentepode-se concluir que a componente de x e de Qx a mesma em relao ao eixo p. Na projeonoplanoq-r,destacam-seascomponentesdeQx,quesegundoa geometria indicada podem ser facilmente determinadas pelas relaes: Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena ( )( )coscos cos sen sencos senqq ry Qxxx xo uo u o uu u= += = (123 a) ( )( )sensen cos sen coscos senrr qy Qxxx xo uo u u ou u= += += +(123 b) Nota-sequeasrelaesanterioresaparecemna(84),validandoa interpretao geomtrica proposta. Pode-se,finalmente,comoauxliodaFigura2,determinarasseguintes relaes para o clculo das componentes/e m do deslocamento do ponto A (posicionado pelo vetor x) respectivamente nas direes de q e r: ( )( )cos 1 sencos 1 senq q q rr r r qx y x xm y x x xu uu u= + = = = +/(124) Em notao matricial a relao anterior fica expressa como segue: ( )( )cos 1 sensen cos 1qrxx mu uu u ( = ` `( ) ) /(125) Incluindoacomponentesegundop,odeslocamentodopontoAfica expresso por: ( )( )cos 1 sen 0sen cos 1 00 0 1qrpxm xp xu uu u ( (= ` ` ( ( ) )/(126) Existe uma relao entre um tensor ortogonal Q e um tensor antissimtrico A dada por: Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena 21 12! !A nQ e I A A An= = + + + + + . .(127) Observa-se que sendo A antissimtrico: 1TT A AQ e e Q = = = (128) A (127 ) pode ser entendida como uma funo de argumento tensorial e valor tensorial. Alm disso, ela apresenta a propriedade de isotropia. Diz-se que uma funo tensorial( ) H F T =apresenta isotropia se: ( )( )T T TQHQ QF T Q F QTQ = = (129) sendo Q um tensor ortogonal. No caso da relao (127 ), tem-se que AH e =e: 221 12! !1 12! !TT A T n TT T T n TIQAQQHQ Qe Q Q I A A A QnQIQ QAQ QA Q QA Qne=| |= = + + + + + |\ .= + + + + +=. .. .(130) Funestensoriaisisotrpicaspodemserconstrudasapartirdefunes analticas. Assim, a (127) resulta de: 21 112! !x ne x x xn= + + + + + . .(131) Poroutrolado,substituindo-senamatrizdotensorortogonal(119)os seguintes desenvolvimentos em srie: 3 5 73! 5! 7!senu u uu u = + +.(132 a,b) 2 4 6cos 12! 4! 6!u u uu = + +. Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena eapssepararasomadematrizesecompar-lacoma(127),conclui-se que: ||0 0 0A 0 00 0uu ( (= ( ( (133) Em notao tensorial: ( ) ( ) A q r r q u = ( (134) 9.9Relaoentreascomponentesdeumtensordesegundaordemnuma mudana de base Hvriassituaesemquegrandezasvetoriaisetensoriaisemgeral precisamserreferenciadasabasesquediferementresiporumarotao. Nesses casos h interesse em relacionar as componentes daquelas grandezas escritas segundo as diferentes bases. Sejam, ento, iee jeas bases em questo, cujos versores se relacionam por uma rotao mediante as relaes: j jk ke Q e = (135) ou e Qe = (136) Certo vetor u pode ser escrito nessas bases pelas relaes: i i j ju u e u e u = = = (137) Levando-se em conta a relao entre os versores das bases: j jk k ji j iu u Q e Q u e = = (138) Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena Segue da anterior a relao entre as componentes do vetor u: Tj ji iu Q u u Q u = = (139) ou u Qu = (140) NocasodeumtensordesegundaordemT,omesmopodeserescrito segundo duas bases tensoriais como: ( ) ( )ij i j kl k lT t e e t e e = = (141) Considerando a relao de rotao entre os versores das bases segue que: ( ) ( ) ( )kl km m ln n kl km ln m n mn m nT t Q e Q e t Q Q e e t e e = = = (142) Entre as componentes do tensor vale, portanto, a relao: mn km kl lnt Q t Q = (143) ou, matricialmente TT Q T Q = (144) ou TT QT Q = (145) Assim, um tensor de segunda ordem numa mudana de base deve obedecer a regra anterior. Uma concluso importante resulta do clculo dos autovalores do tensor T : ( ) ( )det det 0TT I QT Q I = = (146) Explorando uma propriedade do determinante segue que: Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena ( ) ( )( ) ( )det detdet det det det 0T T TT TQT Q I QT Q QI QQ T I Q Q T I Q = = = =(147) Finalmente, conclui-se que: ( ) ( ) det det 0 T I T I = = (148) Ou seja: tambm autovalor para T. 10. Diferenciao em Espaos Vetoriais Seja g uma funo com domnio num intervalo abertoI R ee cujos valores podemserescalares,vetoresoutensores 1.Sendoumescalar,aderivada de g em t, ( g` ), definida por: ( )( ) ( )01( ) limd g tg t g t gdtoo oo ( = = + ( ` (149) A definio de derivada e o conceito de parcela de ordem superior implicam em que se pode escrever o valor da funo em torno de t como: ( ) ( ) ( ) ( ) g t g t g t o o 0 o + = + + ` (150) isto,umtermolinearemo maisumtermoquetendeazeromais rapidamente, ou de ordem superior, quando0 o . Portanto,observandoaconsistnciadimensionalemcadaparcelada(150), conclui-sequeaderivadadeumafunodevalorvetorialumvetorede uma funo de valor tensorial um tensor. Poroutrolado,pode-seaindainterpretarqueaderivadaumaaplicao (linear)que,parao pequeno,permiteaproximaravariao ( ) ( )g t g o o + porumtermolinearnoacrscimo.Esseconceitopodeser generalizado para as aplicaes em espaos vetoriais.

1 g(x) denota o valor de g em x. Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena SejamagoraVeUespaosvetoriaisnormadosefumaaplicaodefinida numaregioemVecomvaloresemU.Diz-sequeamedidadef(v) aproxima-sedezeromaisrapidamentequeamedidadev,oudeordem superior nessa medida ( ( ) ( ) / 0 f v v p v 0 = ) se: 00( )lim 0vvf vv== .(151) Considerando-se, ento, uma aplicao f sobre V que leva a valores em U e sejaWumsubconjuntoabertoemV.Ento,: f W U diferencivelem x W e nadireodovetoruseexistirumatransformaolinear ( ) : Df x V U tal que: ( ) ( ) ( )( ) / 0 f x u f x Df x u u p u 0 + = + + (152) Emparticular( ) D f x uaparcelalinearnoacrscimoedefineoconceito de derivada direcional. No sentido de estender o papel da derivada expresso na (149) para este caso, considere-se uma vizinhana de x na direo de u definida, com o auxlio de um escalar o , na forma:x u o + . Ento, para x e u fixos, tem-se que: *( ) ( ) f x u f o o + = (153) Pode-se, agora, desenvolver a (153) em srie em torno de o : ( ) ( )* * *00 ( )df f fdoo o 0 oo== + + (154) Substituindo-sena(153)etruncandoodesenvolvimentoemsrienotermo linear em o , a relao anterior passa a ser escrita como: ( ) ( )0( )df x u f x f x udoo o oo=+ = + + (155) Para o confronto com a (152) interessante reescrev-la na seguinte forma: Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena ( ) ( ) ( ) f x u f x Df x u o o + = + (156) Segue da comparao entre a (156) e a (155) que: ( )( )0d f x uDf x udooo=+( = (157) Diz-sequearelaoanteriordefineaderivadadirecionaldefeexprimea parte linear do acrscimo de f conforme indica a (152). Emcadacaso,pode-sedeterminarapartelineardoacrscimooupor aplicao da definio dada pela (152) ou por aplicao direta da (157). Porexemplo,seja:V R | dadapor:( ) . v v v | = .Ento,peloconceitode diferenciabilidade: ( ) ( ) ( ) ( ) / 0 v u v D v u u p u | | | 0 + = + + Impondo-se,ento,umacrscimonoargumentoepeladefinioda aplicao dada, tem-se que: ( ) ( ).( ) . 2 . . v u v u v u v v v u u u | + = + + = + + ( ) ( ) 2 . . v u v v u u u | |+ = + Finalmente,deve-semostrarqueu.udeordemsuperiorquando0 u , ou seja, verifica a condio: 00.lim 0uuu uu== . Peladesigualdadedotringulo: ..u uu u u u uuss .Logoolimite indicado na condio igual zero. Assim sendo, ( ) 2 . D v u v u | = Umaobservaoimportantequenocasoanalisado( ) D v u | umaforma linear, pois| uma funo de valor escalar ( :V R | ). Pode-se, portanto, Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena aplicaroteoremadarepresentaodasformaslineareserepresentaro diferencial na forma do produto interno do vetor u por outro vetor: ( ) . ( 2 . ) D v u u v u | | = V = (158) Onde(.) V ooperadorgradientequeassociaacada| umvetor| V . Claramente neste caso:2v | V= . Ao mesmo resultado anterior pode-se chegar aplicando-se a definio (157). Segue, ento, que: 2( ) . 2 . . v u v v v u u u | o o o + = + +| || |0( ) 2 . 2 .( ) 2 .dv u v u u uddv u v udo| o oo| oo=+ = ++ = Aderivadadirecionalsatisfazaspropriedadesusuaisdederivadas,quais sejam as regras do produto e da cadeia. 11. Regras do produto e da cadeia Frequentementenecessriocomputaraderivadadaoperao'produto'de duasfunescujosargumentosevalorespertencemaespaosvetoriais normados.O'produto'podeserrepresentadomedianteoperaesbilineares diferentes,deacordocomostiposdeespaosenvolvidos,comopor exemplo: ( , )( , ) .( , )( , )( , )prod v vprod u v u vprod u v u vprod S v Svprod S S| |o o=== ==(159) Em termos gerais a operao produto pode ser simbolizada por: Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena : prod F G W (160) onde F, G e W so espaos normados de dimenso finita e prod bilinear. Assim,sendo: f D F e: g D G ,ento( , ) : h prod f g D W = definida por: | |( ) ( ), ( ) h x prod f x g x x D = e (161) com D um subconjunto aberto de um espao vetorial de dimenso finita U. Regradoproduto:sejamfegdiferenciveisemx D e .Entooproduto ( , ) h prod f g = diferencivel em x e | | | | | |( ) ( ), ( ) ( ) , ( ), D h x u prod f x Dg x u prod Df x u g x u D = + e (162) Para a demonstrao usam-se as condies de diferenciabilidade de f e g: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )f x u f x Df x u ug x u g x Dg x u u00+ = + ++ = + + E, portanto, da bilinearidade da operao produto: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h x u f x u g x u f x g x f x Dg x u Df x u g x u 0 + = + + = + + + + sendoqueostermosdeordemsuperiorexistemumavezque: 1( ) Df x u k u se 2( ) Dg x u k u s . Para o caso em que U = R, da regra do produto decorrem: ( )( . ) . .( . ) . .v v vv w v w v wT S T S T S| | |---= += += +``` `` `(163) Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena ( )( )( )TS TS TSSv S v S vS S S | | |---= += += +` ```` `(163) Regradacadeia:sejagdiferencivelemx D e efdiferencivelem ( ) y g x = . Ento a composioh f g = diferencivel em x e ( ) ( ) ( ) Dh x D f y dg x = ou, | || |( ) ( ) ( ) Dh x u D f g x Dg x u u D = e (164) Supondo U R =ento, escrevendo t em lugar de x: | | | |( ) ( ) ( )df g t Df g t g tdt= ` (165) 12. Gradiente e divergente Considerem-sefunesgeraisdefinidasnumsubconjuntoabertodeV(um espaovetorialassociadoaoespaodepontos)equepodemsercampos escalares,vetoriaisoutensoriais.Oconceitodederivadadirecional estendido a essa situao geral enseja a introduo dos operadores gradiente e divergente. Num primeiro caso, considere-sef | =como um campo escalar. Ento: ( ) ( ) ( )( ) / 0 x u x D x u u p u | | | 0 + = + + e( ) D x | umaaplicaolineardeVemR.Defato,peloteoremada representao das formas lineares( ) D x u |pode ser escrito como o produto interno vetor u pelo vetor gradiente,( ) x V | V e : ( ) . D x u u | | = V (166) Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena Noutro caso, sef v = um campo vetorial, escreve-se: ( ) ( ) ( )( ) v x u v x Dv x u u 0 + = + + e( ) Dv x umatransformaolineardeVemV,ouseja,umtensor.Neste caso,representa-seessatransformaopor( ) v x V ,lendo-segradientedev em x, de modo que: ( ) ( )tensorDv x u v x u = V (167) Pordefinio,dadoumcampovetorialregularVassociadoaoespao pontual euclidiano, o campo escalar: ( ) divv tr v = V (168) chamado divergente de v. OdivergentedeumcampotensorialSonicocampovetorialcoma propriedade: ( ). ( ) divS a div S a a V = e (169) Nota-se que o resultado da operao anterior um escalar. Assim, comoS a um campo vetorial, a operao( ) div Sa uma forma linear em V2, a qual pode ser representada pelo produto interno de a pelo vetordivSde V. Pelas definies anteriores, observa-se que o gradiente aumenta a ordem do espao e o divergente diminui. SejaVumcampovetorial,umarelaopara( ) v o V ,comR o e ,podeser deduzida a partir da aplicao da regra do produto: ( ) ( ) ( ) ( ) v x h v x D v h h o o o 0 + = + +( ) ( ) ( )vetor vetorescalarD v h Dv h v D h o o o = +_ __

2 Dado a V a operao div(S a) associa um escalar. Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena ( )( )( )( ) . v h vh v hvh v hv v ho o oo oo oV = V + V= V + V= V + V ( )v v v o o o V = V + V (170) Aplicando-se a definio (168) do divergente de um campo vetorial, resulta: ( ) ( )( ) .div v tr v vtr v vo o oo o= V +V= V + V ( )( ) . div v div v v o o o = +V (171) Outras relaes de interesse envolvem ( ) . u v Ve ( ) S v V . Para ( ) . u v V : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).. ) . . ( )u vv x h u x h u x v x D u v h h 0 + + = + +_ ( )( ) ( )( . ) .( ) .( . ). . .. .escalar vetorvetorT TD u v h u Dvh v Duhu v h u vh v uhv u h u v h= +V = V + V= V + V _ __ ( ) .T Tu v v u u v V = V + V (172) Para ( ) S v V : ( ) ( ) ( ) ( ) S x h v x h Sv D Sv h h 0 + + = + + ( )| | ( )( )( ) ( )( )( )vetor vetortensorD Sv h S Dvh DS v hSv h S vh divS v hSv S v divS v= +V =V + V = V + _ __(173) Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena Explorando mais uma vez a relao entre o trao de um campo vetorial e o divergente, da relao anterior obtm-se: ( ) [ ( )] ( ) ( ) tr Sv div Sv tr div S v tr S v V = = + V ( ) ( ) . . .Tdiv S v div S v tr S v div S v S v = + V = + V (174) Tambm se pode mostrar que: ( ) ( )( ) S x h S D S h h o o o 0 + = + + ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )tensor tensorvetorTTD S h DS h D S hdiv S h divS h ShdivS h S hdivS S ho o oo o oo oo o= + = + V= + V = + V _ __ ( )Tdiv S divS S o o o = + V (175) Por outro lado, o divergente de um tensor de segunda ordem pode ser obtido pelacontraoprimeiradogradientedessetensor,sendoessaoperao representada por: divT T I = V (176) Nota-sequenarelaoanteriorT V umtensordeterceiraordem.Uma definioimportanteparaoquesegueadotranspostodeumtensorde terceira ordem. Otranspostodeumtensordeterceiraordemrepresentadopor T o tensor que obedece a seguinte propriedade: . . ,TA B A B A B = (177) onde A e B so tensores de segunda ordem. Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena Os resultados anteriores podem ser empregados na demonstrao da seguinte proposio: TS h div S h V = (178) De fato, operando-se em ambos os lados da igualdade o produto interno pelo tensor identidade de segunda ordem, resulta: ( )( ). ... .TS h I div S h Ih S I tr I divS hh divS divS hV = V = ( =(179) 13. Clculo das componentes do gradiente e do divergente de campos escalares, vetoriais e tensoriais Seja uma base fixa (ou invarivel) em V e|um campo regular de natureza escalar, vetorial ou tensorial. Ento, definindo-se o acrscimo por um vetor h alinhado com o versor keda base, pode-se escrever que: ( ) ( ) ( ) / 0k khx e x D x e p | o | o | 0 o o| |+ = + + | |\ .(180) Portanto, ( ) ( ) ( )01limk kD x e x e xo| | o |o= + ( (181) Oescalaro podeserinterpretadocomoacomponentedovetoracrscimo segundo a direo definida pelo versor ke , ou seja:.k kh h e o = = . Alm disso, se a base est atrelada a um sistema cartesiano adotado, segundo os versores da base definem-se as coordenadas cartesianas kx . Nessas condies o limite indicadona(181)exprimeumaderivadaparcial(direcional)de| em relao a kx : ( )( )kkxD x ex||c=c(182) Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena Oconceitogeralexpressopela(182)podeserusadoparaoclculodas componentes do gradiente e do divergente de campos escalares, vetoriais ou tensoriais. Numprimeirocaso,considere-seque| sejaumcampoescalarregular. Ento, ( )kD x e |fica representado por um produto interno entre o gradiente docampoescalar( | V )eoversordabase.Assimsendo,aderivada direcional fornece as componentes desse gradiente: ( ). ( )k k kkescalarD x e ex|| | |c=V = V =c(183) Conhecidas suas componentes num espao de dimenso n, o vetor| Vpode ser representado pela seguinte combinao linear dos versores da base: 1 21 2k nk ne e e ex x x x| | | ||c c c cV= = + + +c c c c. (184) Sendo,agora,v | = umcampovetorialregular.Segueaseguinterelao entre a derivada direcional e o gradiente do campo vetorial: ( )k kkvetorvD x e vex|c=V =c(185) Comov V um tensor, empregando a relao (61) suas componentes obtm-se do seguinte desenvolvimento: ( )( ) . . .( . )kik kik i k i ik kk ik ik kv v ev e ve e ex xv ve ex xoc cV = V = =c cc c= =c c(186) Umavezconhecidassuascomponentesotensorv V podeserrepresentado pela seguinte combinao linear dos tensores da base: Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena ( ) ( ) , 1, ,ik i kv v e e i k n V = V = . (187) Coma(168)pode-seexprimirarelaoparaoclculododivergentedo campo vetorial: ( ) ( )( )( )( ) .ik i ki iik i k ikik idivv tr v tr v e ev vv e ex xo= V = V ( c c= V = =c c(188) Noutrasituao,considere-seS | = comoumcampotensorialregular. Explorandoodesenvolvimentofeitona(175),emparticularcom ( )k kDS x e divS e = , segue uma relao envolvendo a derivada direcional e o divergente do campo tensorial: ( )k kktensorSDS x e divS exc= =c_(189) Realizando-seaoperaotraosobrearelaoanterior,obtm-sea expresso para o clculo da componente do divergente do campo tensorial: ( ) ( )( ).kkk kS tr SdivS e divS trx x| | c c= = = |c c\ .(190) Escrevendo-seotensorScomocombinaolineardostensoresdabase, resulta: ( ) ( )ik i k ik ik ikk k k itr S tr S e e S Sx x x xo c c c c= = =c c c c(191) Umaaplicaodarelaoanterioraparecenoestudodastenses, particularmente na relao de equilbrio do elemento de volume. Sendob ovetorquereneascomponentesdasforasporunidadedevolumeeTo tensorquereneascomponentesdetensonormaledecisalhamentodo estado de tenso, aquela relao pode ser representada como: 0 divT b + = (192) Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena De fato, a mesma expresso escrita em componentes fica dada por: ( ) ( ) 0 ( 1, 2,3)kk kdivT b e k ( + = = (193) Ou ainda, tendo-se em vista a (191): ( ) 0 ( , 1, 2,3)ikkkiTb e i kx ( c+ = = (c (194) Considerando-seaindependncialineardosversoresdabase,seguequea relao anterior representa o seguinte conjunto de equaes: ( )11 21 3111 2 3T T Tb 0x x xc c c+ + + =c c c ( )12 22 3221 2 3T T Tb 0x x xc c c+ + + =c c c (195) ( )13 23 3331 2 3T T Tb 0x x xc c c+ + + =c c c Normalmente, costuma-se associar os nmeros 1, 2 e 3 com as direes dos eixosderefernciax,yez.Almdisso,ascomponentesdotensorTque possuemndicesiguaissoascomponentesdetensonormaleaquelasde ndicesdiferentesascomponentesdecisalhamento.Nessanotaoa(195) (cuja deduo pode ser obtida a partir da figura abaixo) passa a ser dada por: ( )11 21 3111 2 3b 0x x xo t tc c c+ + + =c c c ( )12 22 3221 2 3b 0x x xt o tc c c+ + + =c c c (196) ( )13 23 3331 2 3b 0x x xt t oc c c+ + + =c c c Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena 14. Teorema da divergncia O teorema da divergncia aplica-se na transformao de integrais de campos definidossobrevolumes(V)paraintegraissobreassuperfciesdecontorno ( S )dessesvolumes.Aorigemdoteoremaestnaintegraoporpartes, como se procura ilustrar em seguida. Considere-seumafunodiferenciveldeduasvariveiseresultantedo produto de duas funes diferenciveis. Ento, pela regra do produto: | |( , ), ( , )f gf x y g x y g fx x xc c c= +c c c(197) Portanto: | || |2 2 21 1 12211( , ), ( , )x x xx x xxxxxg ff dx g dx f x y g x y dxx x xfg dx f gxc c c= +c c cc= +c} } }}(198) Seja,agora,umdomnionoplanox-y.Anormalaocontornotempor cossenos diretores: 1 xn n l = =e 2 yn n m = = . Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena ymxyminx (y)1x (y)2S1S2WandydxandxdyXYaan Figura 3 Interpretao para integrao por partes Segue que: ( )2min 1221min 1( )( )( )( )( )( )mxmxy x yy x yy x yx yx yy x yg gf d f dx dyx xfg dx f g dyxO ( c cO = (c c ( c= + (c } } }} } | | | || | | | ( )2 1min min2 1min min( ) ( )2 1( ) ( )mx mxmx mxy yx y x yy yy yx y x yy yfg d fg dy fg dyxfg d fg l dS fg l dSxOOc= O+ cc= O+ c} } }} } } Nota-sequeosinalnegativonointegrandodaltimaparceladarelao anteriordecorredofatoqueemS1,indicadonaFigura3,acomponente xndanormalapontanosentidocontrrioaodoeixoxdereferncia.Do desenvolvimento anterior, conclui-se que: ouSg ff d g d f gl dSx xO Oc cO = O+c c} } } ( )Sf gd f gl dSxOcO =c} }(199) Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena Analogamente ao ltimo resultado: ( )Sf gd f g mdSyOcO =c} }(200) Emconjunto,asrelaes(199)e(200)sorepresentaesdoteoremada divergncia. De acordo com a interpretao dada ao produto (f g) o teorema assume diferentes representaes. Sendo, em particular,f g | =um campo escalar, as relaes do teorema da divergncia podem ser reunidas na seguinte forma: ,/ 1, 2i iSin dS d d c ix|| |O Oc= O = O =c} } }(201) Passandoparaumanotaointrnseca,cadaumadasrelaesanteriores podeserinterpretadacomointegraisdecomponentesdecamposvetoriais | Ven | : Sd ndS | |OV O =} }(202) Por outro lado, somando-se as relaes (199) e (200): ( ) ( )( )Sf g f gd f gl f g m dSx yOc c(+ O = + (c c } }(203) einterpretando-se(fg)comocomponentesdeumcampovetorialv,isto, 1 2v fg e fg e = + ,oteoremadadivergnciaseexpressaporintegrais envolvendo campos escalares ( divv ) e ( . v n ): ( ) .Sdivvd v n dSOO =} }(204) Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena Arelaoanteriorpodesergeneralizadaconsiderando-sedoisvetores arbitrriosaeb 3esubstituindo-se vpor: ( ). v v a Tb = .Porumlado,segue que: ( ) ( ) ( )( ). . . ..vTv a Tb n Tb v a n a v Tb na v T n b= = (( = _(205) Por outro lado, levando-se em conta as (171), (172) e (174): ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ). . . .. . .. . .. .Tdiv v a Tb v a div Tb Tb v av a divT b Tb vadivT b v a vTb av divT b a vT b a= + V( = + V= + V= + V(206) Voltando integral (204 ) e tendo-se em vista a arbitrariedade dos vetores a e b, resulta; ( ) ( ) ( )TSv divT vT d v T n dSO + V O = ( } }(207) H outros dois casos particulares de interesse da relao anterior. Em primeiro lugar, sendo T = I (tensor identidade), obtm-se: ( )Svd v n dSO V O = } }(208) Num segundo caso, considerando-se v um vetor fixo, da (207) resulta: ( ) ( )TSv divT d v T n dSO O = ( } }(209) de onde se conclui que:

3 a e b so vetores arbitrrios e no campos vetoriais, por isso seus gradientes so nulos! Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena ( ) ( )TSdivT d T n dSOO =( } }(210) Aindasepodeescreveroutraformadeinteresse,explorando-seoproduto vetorial entre os versores de uma base e o conceito de rotacional. Ento: ( ) ou.j k ljk l j k i ijke e e e e e c c = = (211) Orotacionalassociadoaumcampovetorialaocampovetorialdefinido por: ,3 2 1 3 2 11 2 32 3 3 1 1 2ijk k j irot a a ea a a a a ae e ex x x x x xc =| | | | | | c c c c c c= + + |||c c c c c c\ . \ . \ .(212) Considerando-searelao(201)eparticularizandoparaocasoemque ijk ka | c = ,segueque: ( )ijk i kjn a n a c = e , , j ijk k ja | c = ,coincidindo, respectivamente,comasi-zimascomponentesdovetor ( )n a edo rotacional de a. Assim sendo, em modo intrnseco resulta: ( )Srot ad n a dSOO = } }(213) Todasasrelaesentreasintegraisdevolumeedesuperfcieapresentadas constituemformasdoteoremadadivergncia.Portanto,adependerdos camposenvolvidosoteoremadadivergnciaapresenta-sesegundo diferentesformas.Emresumo,asformasdemaiorinteressesodadas segundo uma notao intrnseca por: Sd ndS | |OV O =} }(214) com |um campo escalar. Svd v ndSOV O = } }(215) Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena .Sdivvd v ndSOO =} }(216) ( )Srot vd n v dSOO = } }(217) sendo v um campo vetorial. TSdivT d T ndSOO =} }(218) onde T um campo tensorial. Umaaplicaoparaoteoremadadivergnciaaparecenaponderaoda equao de equilbrio (192) para fins de gerao de uma forma fraca. Parailustrartalaplicao,sejavumcampovetorialhomogneonas condiesdecontornoessenciaisdeumslido,comsignificadode deslocamentosvirtuaisecomgraudecontinuidadesuficienteparaqueas integraisdefinidasqueseguemapresentemvaloresfinitos.Aintegraoda equao de equilbrio (192) ponderada por esse campo escreve-se: ( ) 0 divT v d b vd O O O+ O =} }(219) Substituindo-searelao(174)sobreaprimeiraintegraleobservando-sea simetria do tensor de tenso T, obtm-se: ( ) 0 divTv d T vd b vd O O OO V O+ O =} } }(220) O teorema da divergncia aplicado na primeira integral fornece: ( ) 0STv n dS T vd b vd O O V O+ O =} } }(221) OcontornoSdivididoempartescomplementares tS e uS aondese prescrevemforasedeslocamentos,respectivamente.Considerando-se, ainda,adefiniodotranspostodeumtensornaintegraldecontorno,a relao (t T n = ) que define o equilbrio na parte esttica do contorno (tS ) e Introduo Mecnica do Contnuo - Elementos de lgebra Tensorial Autor: Sergio P.B. Proena lembrandoqueocampovhomogneonapartecinemticadocontorno (uS ), resulta: ( )tST vd t n dS b vd O O V O = + O} } }(222) DadaasimetriadotensorT,entooprodutointernoindicadonoprimeiro integrandoficadadopor: sT v T v V = V .Aotensor sv V pode-sedara interpretao de campo tensorial de deformao virtual e, nessas condies a (222) pode ser interpretada como a expresso do P.T.V.