APLICACIÓN DE LA INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS CARTESIANAS,

CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS.

Definición

Si f es continua en una región sólida, acotada D IR3 entonces la integral triple de f

sobre D, se define como:

n

in

dvD

limdxdydzzyxf1

),,(

f (xi , yi , zi) iv

iii zyx

siempre que exista el límite. Elemento de volumen: dV = dx dy dz

Propiedades de las integrales triples

1) D

cf (x, y, z) dv = c D

f (x, y, z) dv

2) D

f (x, y, z) g (x, y, z) dv = D

f (x, y, z) dv D

g (x, y, z) dv

3) D

f (x, y, z) dv =

1D

f (x, y, z) dv +

2D

f (x, y, z) dv, D = D1 D2,

D1 D2 = .

Teorema de Fubini para integrales triples

Sea f una función continua en una región D,

D = { (x, y, z) IR3 / a x b, h1 (x) y h2 (x) ; g1 (x, y) z g2 (x, y)}

donde h1 y h2 , g1 , g2 son funciones continuas en sus dominios. Entonces

D

f (x, y, z) dx dy dz = ),(

),(

)(

)(

2

11

yxg

yxg

xh

xh

b

af (x, y, z) dz dy dx

(expresión de la integral triple mediante integrales iteradas).

Ejemplos

1) Calcular D

)1( zyx

dxdydz , donde D está limitada por los planos coordenados

y el plano x + y + z = 1.

Respuesta:

I =

yxyx

zyx

dz1

0

1

0

1

0 )1( dy dx = 2ln

4

1

2) Hallar la integral triple de f (x, y, z) = z , extendida a la región D, del 1er

octante,

limitada por los planos y = 0 , x + y = 2, 2y + x = 6 y el cilindro y2

+ z2 = 4.

Respuesta:

I = dxdyz y

y

y

24

0

226

2

2

0/

2

= dxdyyy

y 2

4 226

2

2

0

= dyyyy

)226(2

4 22

0

=

2

02

1(4 – y

2) (4 – y) dy

= 2

02

1(16 – 4y – 4y

2 + y

3) dy =

20

432

43

4

2

416

2

1

yyyy

=

3

3228

2

14

3

32832

2

1

I =

24

0

26

2

2

0

yy

yz dz dx dy =

3

26 = 8,667

Nota: Una integral del tipo Df (x1,…,xn) dx1 … dxn se calcula en forma

similar.

Coordenadas cilíndricas y esféricas

En el sistema de coordenadas cilíndricas:

Un punto P del espacio se representa por un trio ordenado (r, , z), tal que

a) (r, ) es una representación polar de la proyección de P en el plano XY.

b) Z es la distancia de (r, ) a P.

Z

z

P =(x, y, z)

(r, , z)

y

2 Y

x (r, )

X

Coordenadas cilíndricas a rectangulares

x = r cos , y = r sen , z = z

Coordenadas rectangulares a cilíndricas

r = 22 yx ; = arctg kx

y

z = z

r2 = x

2 + y

2

(0, 0, 0) se llama polo.

Ejemplo

(r, , z) =

3,

6

5,4

(- 2 3 , 2, 3) = (x, y, z)

x = 4 cos 6

5 = 4 32

2

3

, cos

6

5 =? – cos

6

= -

2

3

y = 4 sen 6

5 = 4

2

1 = 2 , sen

6

5 = sen

6

=

2

1

z = 3.

Ejemplos de superficies

1) x2 + y

2 = 9 en coord. rect.

r = 3 en coord. cilíndricas

2) x2 + y

2 = 4z en coord.. rect.

r = 2 z en coord.. cilíndricas

3) x2 + y

2 = z

2

r = z

Nota : Las coordenadas cilíndricas son especialmente convenientes para representar

superficies cilíndricas y superficies de revolución que tenga el eje z como eje de

simetría.

Ejemplos: Sea c una constante, entonces la ecuación:

= c corresponde a un plano

r = c corresponde a un cilíndrico

z = c corresponde a un plano

En el sistema de coordenadas esféricas :

Un punto P del espacio se representa por un trío ordenado (P, , ) donde:

a) es la distancia orientada desde O hasta P. ( 0.)

b) es el mismo ángulo que el usado en coordenadas cilíndricas. 0 < 2 .

c) es el ángulo entre el eje z y el segmento 0

, 0 .

Z

z

P =(x, y, z)

(, ,)

y

r Y

x

X

Coordenadas esféricas a rectangulares

x = sen cos

y = sen sen

z = cos

Coordenadas rectangulares a esféricas

2 = x

2 + y

2 + z

2

tg = x

y

= arc cos

222zyx

z

NOTA: El sistema de coordenadas esféricas es útil para superficies del espacio que

tienen un centro de simetría.

Ejemplos: Sea c una constante, entonces la siguiente ecuación:

= c corresponde a una esfera

= c corresponde a un plano vertical

= c corresponde a un semicono

Elemento de volumen en coordenadas cilíndricas: DV = r d dr dz

Elemento de volumen en coordenadas esféricas: dV = 2 sen d d d

r = sen , luego r d dr = sen d dr.

Integración triple en coordenadas cilíndricas y esféricas

a) En coordenadas cilíndricas

Si f es una función continua en una región R del espacio, entonces:

R

f (x, y, z) dx dy dz = 'R

f (r cos , r sen , z ) r dz dr d.

b) En coordenadas esféricas

Si f es una función continua en una región R del espacio, entonces :

R

f (x,y,z) dx dy dz ='R

f( sen cos, sen sen, cos) 2 sen d d d.

Ejemplos

1) Calcular R

dx dy dz, donde R es la región limitada por un cilindro de radio a

y altura h.

Respuesta:

R

dx dy dz = R

r dr d dz = ha

0

2

00

r dz d dr = a2 h.

(Volumen de un cilindro).

2) Calcular R

dx dy dz, donde R está limitada por una esfera de radio a.

Respuesta:

R

dx dy dz = 'R

2 sen d d d =

0

2

00

a

2 sen d d d

= 3

3

4a (volumen de una esfera).