Click here to load reader
Upload
marijana-djordjevic
View
23
Download
3
Tags:
Embed Size (px)
Citation preview
�. Mihajlović, ZEMRIS, FER 5-1
5 Dinamika
� djelovanje sile� masa, inercija http://www.walter-fendt.de/ph11e/collision.htm
� tijelo ne smatramo točkom� podjela
� direktna � nastalo gibanje nastalo djelovanjem sila � inverzna � koje sile su potrebne kako bi ostvarili zadano gibanjeinverzna dinamika
� polo�aj, brzina, akceleracija� orijentacija, kutna brzina, kutna akceleracija� (http://www.cs.unc.edu/~lin/COMP290-72-S2K/eg.html)
� sustavi čestica� sustavi opruga i čestica (tkanina, kosa)� dinamika fluida
�. Mihajlović, ZEMRIS, FER 5-2
� polo�aj, brzina, akceleracija� polo�aj x(t)� brzina v(t) = dx(t)/dt� akceleracija a(t) = dv(t)/dt = d2x(t)/dt2
� za konstantnu akceleraciju� akceleracija a(t) = a0� brzina v(t) = ∫ a(t) dt = a0 t + v0� polo�aj x(t) = ∫ v(t) dt = ½ a0 t2 + v0 t+ x0
� masa, moment, sila, te�ina� masa m� moment P = m v� sila F = dP/dt = m a, F = ∑ Fidjelovanje sila uzrokuje promjenu momenta (akceleracije)� te�ina F = m g, (Zemlja |g| = 9.8 m/s2)� trenje (statičko, dinamičko), opruge, gustoća fluida
� orijentacija, kutna brzina, kutna akceleracija� inercija rotacije, kutni moment, obrtni moment
�. Mihajlović, ZEMRIS, FER 5-3
� silama djelujemo na određenu točku tijela koje ima zadan raspored mase i početno stanje
� ovisno o svojstvima materijala od kojih je izrađeno tijelo različit je učinak interakcije dvaju tijela
� sustavi (diferencijalnih) jednad�bi se rje�avaju postupcima� Eulerov, obrnuti Eulerov postupak� Runge-Kutta� Adams �
� razlike kori�tenih postupaka su u� stabilnosti� konvergenciji� točnosti� brzini izvođenja
Utjecaj različitih parametara:http://www.cs.berkeley.edu/b-cam/Papers/obrien-2002-GMA/index.html bunnies Theend
�. Mihajlović, ZEMRIS, FER 5-4
5.1. Sustavi čestica (engl. particle systems)
� intenzivno se koriste u računalnoj animaciji od 80�tih godina� http://www.siggraph.org/education/materials/HyperGraph/animation/movies/genesisp.mpg genesis
� pravila pona�anja pojedine čestice mogu biti relativno jednostavna, a slo�en izgled posti�e se velikim brojem čestica
� u sustavu se obično definira rađanje, promjene koje se de�avaju tijekom vremena i umiranje čestica
� koriste se� simulacija vatre, vatrometa
� http://www.geocities.com/SiliconValley/Horizon/8943/Programming.html (applet)
� vode � vodoskok, slap� snijeg, ki�a (oborine)� simulacija tkanine� simulacija većih skupina objekata (pauci)
� utjecaj na pojedinu česticu mo�e biti temeljen na fizikalnim zakonima ili mo�emo kombinirati s ne fizikalnim pravilima
� http://www.siggraph.org/education/materials/HyperGraph/animation/movies/particle75_1_89.mov particleFace
�. Mihajlović, ZEMRIS, FER 5-5
Kinematika čestica
� za pojedinu česticu definiramo polo�aj, brzinu i akceleraciju
� zanima nas polo�aj čestice, uz konstantnu akceleraciju ap:
� vektorska jednad�ba: polo�aj, brzina i akceleracija su vektori u 3D� polo�aj slijedi parabolu u 3D prostoru, a parabola le�i u ravnini
∆x
..xvaxva
xvxv
xx
====
==
&
&
2
2
dt(t)d
dt(t)d (t)jaakceleraci
dt(t)d (t)brzina
(t)polo�aj
2 (t)česticepolo�aj
(t)brzina2
00
0
ttdt
tdt
p
p
avxvx
avav
++==
+==
∫
∫
�. Mihajlović, ZEMRIS, FER 5-6
Masa čestica i sile na česticu
� za pojedinu česticu definiramo masu� sila je definirana kao promjena momenta, odnosno Fuk = ma
� zadati početne polo�aje, brzine i mase čestica � ponavljaj za ∆∆∆∆t1. izračunaj sve sile koje djeluju na čestice i odredi ukupnu silu Fuk
2. izračunaj akceleraciju svih čestica ai = Fuki/mi
3. izračunaj brzine i polo�aje čestica postupkom numeričke integracije
m
Fg = mg
Fč
aF mi ==∑ukF
vxav
==
&
&
�. Mihajlović, ZEMRIS, FER 5-7
Postupci numeričke integracije
� Eulerov postupak� jednostavan za implementaciju� dovoljni dobar za većinu čestičnih sustava u animaciji� zbog akumuliranja pogre�ke nije pogodan za simulacije gdje egzaktno
treba odrediti izračunate vrijednosti
� Runge Kutta postupak (vidi APR)
GPU� efikasno kori�tenje memorije teksture za pohranu podataka o česticama(u RGB komponente pohranimo vektor brzine, pozicije, koristimo procesor
slikovnih elemenata � (Pixel shader) za proračun novog stanja
vxav
==
&
&
tt
nnn
nnn
∆+=∆+=
++
+
11
1
vxxavv
�. Mihajlović, ZEMRIS, FER 5-8
5.2. Sustav opruga i čestica (masa): Opruga:
� u ravnote�nom polo�aju suma sila je nula� Hooke-ov zakon
� k konstanta opruge� ∆x pomak iz ravnote�nog polo�aja
Ravnote�no stanje i jednostavno harmonijsko gibanje:http://www.schulphysik.de/ntnujava/springForce/springForce.htmlhttp://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=350.0http://www.walter-fendt.de/ph14e/springpendulum.htm
Prigu�eno gibanje � dodajemo silu prigu�enja(gubi se dio energije)� b konstanta prigu�enja� v brzina tereta (u smjeru opruge)
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/viewtopic.php?t=39
Ukupna sila:
xksopruge ∆−=F
Fg = mg
Fr= -Fg
vF bb −=
vF bxkmg sukupno −∆−=
�. Mihajlović, ZEMRIS, FER 5-9
Sustav opruga i masa:
� niz kuglica masa mi ve�emo oprugama(http://physics.nad.ru/Physics/English/mech.htm) http://www.mscs.dal.ca/~selinger/lagrange/doublespring.html
x polo�ajl razmak kuglical0 normalna duljina oprugae jed. vektor u smjeru oprugev brzinaa akceleracijam masaF silap moment
Fukupno
xA
F1F2
Fg
vF bxkmg sukupno −∆−= vxavF
a =→=→=→ &&m
ukupno
( )eF llkxk ssopruge −−=∆−= 0
l
( )12 '' vvvF −−=−= bbb
xB
AB
AB
xxxxe
−−=
v1
v2
v1�= v1e
v2 � =v2e
xA
xB
�. Mihajlović, ZEMRIS, FER 5-10
Simulacija tkanine sustavom opruga i masa:
� različite objekte mo�emo opisati sustavom opruga i masahttp://www.andrew.cmu.edu/user/mwkaufma/kaleidoscope/spring.htmlhttp://www.potatoland.org/solid/
� tkaninu mo�emo opisati sustavom opruga i masa(http://student.math.hr/~tambaca/vms/lolic/1/vibracije.html)http://www.andrew.cmu.edu/user/mwkaufma/kaleidoscope/cloth.html
� dodatne opruge smične i pregibne
� druge primjene� http://www.cs.toronto.edu/~arnold/320/05s/lectures/simulation/index.html� http://vau.newmail.ru/struct4.html
�. Mihajlović, ZEMRIS, FER 5-11
Simulacija povezanih i nepovezanih čestica:http://www.cs.ubc.ca/~rbridson/ sand
interpolacija početne i krajnje točke uz C0, C1, C2 kontinuitet(polo�aj, brzina, akceleracija)
izobličavanje objekta � spljo�ti - izdu�i Fizika: http://www-etud.iro.umontreal.ca/~clavetsi/physicsingraphics-details.html fire
dinamika kose:http://www.cs.unc.edu/~geom/HSLOD/ hair
�. Mihajlović, ZEMRIS, FER 5-12
5.3. Dinamika fluida� fluidi - tekućine, plinoviti� kontinuirano mijenjaju oblikpod djelovanjem sile (kruti objekti se pomiču i deformiraju)� fizikalni parametri u opisu fluida
� tlak, gustoća, brzina� viskoznost, povr�inska napetost, smicanje - interakcija s krutim tijelima (kruti fluidi)� promjena vrijednosti ovisno o temperaturi
� tok fluida (ovisno o brzini brzina toka/Mach broj- brzina �irenja zvuka u sredstvu)� nestlačivi Ma < 0.3 - tekućine / stlačivi fluidi - plinovi� laminaran � glatka putanja toka� turbulentan � vrtlo�enje� grijanjem fluidi mogu promijeniti kemijski sastav (svojstva)
� zakon očuvanja mase, energije, linearnog momenta, zakoni termodinamikehttp://www.multires.caltech.edu/teaching/demos/java/stablefluids.htm (applet)http://www-etud.iro.umontreal.ca/~clavetsi/physicsingraphics-details.html water
�. Mihajlović, ZEMRIS, FER 5-13
Navier-Stokesove jednad�be
� opisuju tok Newton-ovog fluida � očuvanje mase i momenta� u - vektor brzine fluida, t - vrijeme� p - tlak
� ρ - gustoća fluida � ν - kinematička viskoznost � unutarnje trenje u fluidu
(npr. gibanje no�a kroz različite fluide daje različit otpor)� f - vanjske sile koje djeluju na fluid
I jednad�ba - izvedenica zakona o očuvanju mase za nestlačive fluide (količina fluida koji uđe u neko određeno područje je jednaka količini fluida koja izađe)II jednad�ba - 4 člana (ovisno o svojstvima fluida neki mogu biti zanemarivi)
� advekcija "ubačen" djelić toka gibat će se u smjeru gradijenta vektora brzine
� razliku tlaka - fluid se giba iz područja vi�eg tlaka u područje ni�eg� difuzija fluida � viskoznost određuje brzinu difuzije� f � suma svih vanjskih sila
(I)0=⋅∇ u
(II)fuuuu +∇+∇−∇⋅−=∂∂ 21)( ν
ρp
t
uu )( ∇⋅
u2∇v
�. Mihajlović, ZEMRIS, FER 5-14
Operatori
� Hamiltonov operator
� gradijent (na skalar)
� divergencija (na vektor)
� Laplaceov operator
Numeričke metode
� računalna dinamika fluida (engl. computational fluid dynamics - CFD). � metoda konačnih razlika FD, (finite volume FV, finite element FE)� za 3D prostor (i, j, k) � aproksimacija prvim članom Taylorovog reda
iz 444444 3444444 2143421
)2(
3
,3
32
,2
2
)1(
,,1
,
...6
)(2
)( +∆
∂∂+∆
∂∂−
∆−
=
∂∂ + x
xux
xu
xuu
xu
jiji
jiji
jixuu
xu jiji
ji ∆−
≈
∂∂ + ,,1
,
( ).,, zyx pppp =∇
2,1,,1
,2
2
)(2
xuuu
xu jijiji
ji ∆+−
≈
∂∂ −+
kz
jy
ix ∂
∂+∂∂+
∂∂=∇
kz
jy
ix ∂
∂+∂∂+
∂∂=∇ φφφφ
zA
yA
xA zyx
∂∂+
∂∂
+∂∂=⋅∇ A
2
2
2
2
2
2
)(zyx ∂
∂+∂∂+
∂∂=∇⋅∇ φφφφ
�. Mihajlović, ZEMRIS, FER 5-15
Diskretizacija prostora
� izračunavanje vrijednosti u sredi�tima elemenata volumena (lijevo)� izračunavanje vrijednosti na rubovima i u sredi�tima ćelija (desno)
pogodnije zbog problema divergencije numeričkih postupaka
Diskretizacija po vremenu
� Eulerov postupak, Runge-Kutta postupci
tlakgustoća
brzina (x)
brzina (y)brzinatlak
gustoća
i-1 i i+1
j-1
j
j+1
( )tt
φ=∂∂u